2ª frequencia am2 2012/2013
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1. O documento apresenta 4 questões de análise matemática sobre séries de Fourier, continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Os alunos devem justificar resumidamente todas as respostas e indicar os cálculos realizados.
![Departamento de Matem´atica da Universidade de Coimbra
An´alise Matem´atica II
Mestrado Int. em Eng.a Mecˆanica e Lic. Eng.a Gest˜ao Ind.
2.a Frequˆencia 27.05.2013
Dura¸c˜ao: 1h 30m.
Importante: Justifique resumidamente todas as suas afirma¸c˜oes e indique os c´alculos que efectuar. N˜ao ´e permitido
o uso de calculadoras, nem a consulta de quaisquer textos.
1. Considere a sucess˜ao de n´umeros reais bn =
1
2
2
−2
(−x) sin
nπx
2
dx .
(a) A s´erie
∞
n=1
bn sin
nπx
2
´e a s´erie de Fourier de uma certa fun¸c˜ao. Qual? Porquˆe?
(b) Como sabe, aquela s´erie converge qualquer que seja x ∈ R. Seja S(x) a respectiva soma. Fa¸ca, justifi-
cando, um esbo¸co da fun¸c˜ao S(x) para x ∈ [−4, 4].
2. (a) Dˆe exemplo de uma fun¸c˜ao f : R2
→ R que seja descont´ınua em todos os pontos do eixo dos XX.
(b) Dˆe exemplo de uma fun¸c˜ao f : R2
→ R, diferenci´avel, tal que
∂f
∂x
= 2x + y2
e
∂f
∂y
= 2xy.
(c) Existir´a alguma fun¸c˜ao f : R2
→ R, diferenci´avel, tal que
∂f
∂x
= xy e
∂f
∂y
= xy?
(Sugest˜ao: Pense nas derivadas de segunda ordem de uma tal fun¸c˜ao f.)
3. Considere a fun¸c˜ao f : R2
→ R definida por f(x, y) =
x3
− y4
x2 + 3y4
se (x, y) = (0, 0), f(0, 0) = 0.
(a) Diga se existe ou n˜ao lim
(x, y)→(0, 0)
f(x, y) e, caso exista, indique o seu valor.
(b) O que pode concluir quanto `a continuidade de f em (0, 0)? E quanto `a diferenciabilidade de f em (0, 0)
pode tirar alguma conclus˜ao?
(c) Calcule
∂f
∂x
(0, 0).
4. Considere a fun¸c˜ao f : R2
→ R definida por f(x, y) = xy + 3y + e(x2
y)
.
(a) Calcule
∂f
∂x
e
∂f
∂y
.
(b) Diga, justificando, se f ´e (ou n˜ao) diferenci´avel em todos os pontos de R2
.
(c) Calcule D−→v f(0, 2) sendo −→v =
3
5
,
4
5
.
(d) No ponto (0, 2) f cresce ou decresce na direc¸c˜ao e sentido de −→v ? Com que taxa de varia¸c˜ao?
(e) Indique, no ponto (0, 2), a direc¸c˜ao e o sentido nos quais o crescimento de f ´e maior. Qual a taxa de
varia¸c˜ao?](https://image.slidesharecdn.com/2afre201213-150605170518-lva1-app6891/85/2-frequencia-am2-2012-2013-1-320.jpg)
2ª frequencia am2 2012/2013
- 1. Departamento de Matem´atica da Universidade de Coimbra An´alise Matem´atica II Mestrado Int. em Eng.a Mecˆanica e Lic. Eng.a Gest˜ao Ind. 2.a Frequˆencia 27.05.2013 Dura¸c˜ao: 1h 30m. Importante: Justifique resumidamente todas as suas afirma¸c˜oes e indique os c´alculos que efectuar. N˜ao ´e permitido o uso de calculadoras, nem a consulta de quaisquer textos. 1. Considere a sucess˜ao de n´umeros reais bn = 1 2 2 −2 (−x) sin nπx 2 dx . (a) A s´erie ∞ n=1 bn sin nπx 2 ´e a s´erie de Fourier de uma certa fun¸c˜ao. Qual? Porquˆe? (b) Como sabe, aquela s´erie converge qualquer que seja x ∈ R. Seja S(x) a respectiva soma. Fa¸ca, justifi- cando, um esbo¸co da fun¸c˜ao S(x) para x ∈ [−4, 4]. 2. (a) Dˆe exemplo de uma fun¸c˜ao f : R2 → R que seja descont´ınua em todos os pontos do eixo dos XX. (b) Dˆe exemplo de uma fun¸c˜ao f : R2 → R, diferenci´avel, tal que ∂f ∂x = 2x + y2 e ∂f ∂y = 2xy. (c) Existir´a alguma fun¸c˜ao f : R2 → R, diferenci´avel, tal que ∂f ∂x = xy e ∂f ∂y = xy? (Sugest˜ao: Pense nas derivadas de segunda ordem de uma tal fun¸c˜ao f.) 3. Considere a fun¸c˜ao f : R2 → R definida por f(x, y) = x3 − y4 x2 + 3y4 se (x, y) = (0, 0), f(0, 0) = 0. (a) Diga se existe ou n˜ao lim (x, y)→(0, 0) f(x, y) e, caso exista, indique o seu valor. (b) O que pode concluir quanto `a continuidade de f em (0, 0)? E quanto `a diferenciabilidade de f em (0, 0) pode tirar alguma conclus˜ao? (c) Calcule ∂f ∂x (0, 0). 4. Considere a fun¸c˜ao f : R2 → R definida por f(x, y) = xy + 3y + e(x2 y) . (a) Calcule ∂f ∂x e ∂f ∂y . (b) Diga, justificando, se f ´e (ou n˜ao) diferenci´avel em todos os pontos de R2 . (c) Calcule D−→v f(0, 2) sendo −→v = 3 5 , 4 5 . (d) No ponto (0, 2) f cresce ou decresce na direc¸c˜ao e sentido de −→v ? Com que taxa de varia¸c˜ao? (e) Indique, no ponto (0, 2), a direc¸c˜ao e o sentido nos quais o crescimento de f ´e maior. Qual a taxa de varia¸c˜ao?