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3/19/2014
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MECÂNICA DOS MATERIAIS
(Tecnologia e Sistemas Estruturais III – 10616)
2 – TORÇÃO DE EIXOS CIRCULARES
Professor: Tiago Toitio (tiago.toitio@uniube.br)
NOTA: slides são apenas um material de apoio para direcionar o estudo. Nunca substitui os livros, que devem ser consultados sempre, para estudo e pesquisa.
CONTEÚDO
2.1 – Introdução à torção
2.2 – Deformações por torção de barra circular
2.3 – Barras circulares de materiais elásticos lineares
2.4 – Torção não-uniforme
2.5 – Tensões e deformações em cisalhamento puro
2.6 – Transmissão de potência por eixos circulares

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Torção rotação de um elemento submetido a momentos torsores (torques)
ao redor de um eixo longitudinal.
Torque: T = F . d (produto da força que produz o torque pelo braço de momento)
Figura 1 – Representações de momentos torsores (torques).

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Binário (Conjugado) duas forças paralelas de mesma intensidade, sentidos
opostos e separados por uma distância perpendicular d. Como a força resultante é
nula, o único efeito de um binário é produzir rotação ou tendência à rotação em
determinada direção.
Momento T devido a um binário:
P – força do binário [N]
d – distância entre as forças do binário [m]
dPT 
Figura 2 – Momento torsor (torque) devido a um binário.

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Seja uma barra prismática de seção transversal circular submetida a torques T
agindo nas extremidades (Figura 3).
Suponha que a extremidade esquerda da barra esteja fixa. Então, sob a ação to
torque T, a extremidade direita irá rotacionar (com relação à extremidade
esquerda) de um pequeno ângulo f ângulo de torção f (x).
Devido a essa rotação, uma linha longitudinal retilínea pq na superfície da barra se
tornará uma curva helicoidal pq’.
Figura 3 – Deformações por torção de uma barra de seção circular.

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Considere agora um elemento de barra entre duas seções transversais distantes
dx uma da outra (Figura 4).
Em uma superfície externa indentifica-se um pequeno elemento abcd indeformado.
Após a aplicação do torque, a seção transversal direita rotaciona em relação à
extremidade esquerda em um pequeno ângulo de torção df. O elemento
deformado é ab’c’d.
Os ângulos entre as faces do elemento ab’c’d não são mais 90º o elemento
está num estado de cisalhamento, isto é, submetido à deformações de
cisalhamento g.
Figura 4 – Deformações por torção de um elemento dx.

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Deformação de cisalhamento na superfície da barra:
df / dx razão de torção (ângulo de torção por unidade de comprimento)
Deformação de cisalhamento no interior da barra:
dx
dr
máx
f
g

.
.máx
rdx
d
g

g
f
g 


Deformações de cisalhamento g tensões de cisalhamento t.
Lei de Hooke para cisalhamento:
gt  G

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FÓRMULA DA TORÇÃO:
tmáx. – tensão de cisalhamento máxima devida ao torque [N/m²]
T – torque [N.m]
r – raio do eixo de seção circular [m]
p – momento de inércia polar [m4]
p
máx
I
rT 
.t
Momento de inércia polar para seção transversal circular:
d – diâmetro do círculo [m]
r – raio do círculo [m]
322
44
dr
Ip






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ÂNGULO DE TORÇÃO:
f – ângulo de torção [rad]
T – torque [N.m]
G – módulo de elasticidade de cisalhamento [N/m²]
p – momento de inércia polar [m4]
pIG
LT


f
Torção não-uniforme torques podem agir em qualquer ponto ao longo do
eixo da barra, que não necessariamente é prismática.
Análise de torção não-uniforme aplicar as fórmulas de torção para os
segmentos individuais da barra e somar os resultados; ou aplicar as fórmulas para
elementos diferenciais e integrar.

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Barra consistindo de segmentos prismáticos com torque constante ao longo de
cada segmento:
   


n
i ipi
ii
n
i
i
IG
LT
11
ff

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Eixos rotativos transmitem potência mecânica de um dispositivo para outro.
Exemplos: virabrequim de um automóvel, eixo propulsor de um navio, eixo de uma
bicicleta, etc.
Potência é transmitida através de um movimento rotatório do eixo, e a quantidade
de potência transmitida depende da magnitude do torque e da velocidade de
rotação. Um problema comum de dimensionamento é determinar o tamanho
necessário de um eixo de forma que ele transmita uma potência numa velocidade
de rotação especificada sem exceder as tensões admissíveis para o material.
Figura 5 – Eixo transmitindo um torque constante T a uma velocidade angular w.

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Trabalho W [J] realizado por um torque T de intensidade constante:
y ângulo de rotação (deslocamento angular) [rad]
Potência [W] (taxa em que trabalho é realizado):
w velocidade angular [rad/s] * w = 2 . (frequência [Hz])
y TW
dt
d
T
dt
dW
P
y

w
y

dt
d
w TP
EXEMPLO 1. Uma barra de aço sólida de seção transversal circular tem diâmetro
d = 40 mm, comprimento L = 1,3 m e módulo de elasticidade G = 80 GPa. A barra
está submetida a torques T agindo nas extremidades.
a. Esboçar a distribuição de tensões cisalhantes em uma linha radial na seção
transversal do eixo.
b. Se os torques têm intensidade T = 340 N.m, calcular a tensão de cisalhamento
máxima na barra e o ângulo de torção entre as extremidades.

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EXEMPLO 2. Um eixo propulsor de um pequeno iate é feito de uma barra de aço
sólida de seção transversal circular de diâmetro d = 104 mm e módulo de
elasticidade G = 80 GPa.
Se a tensão de cisalhamento admissível é 48 MPa e a razão de torção admissível
é 2,0º em 3,5 metros, calcular o torque que pode ser aplicado ao eixo.
EXEMPLO 3. Um eixo de aço (G = 78 GPa) deve ser fabricado com uma barra
circular sólida (maciça) ou com um tubo circular. O eixo deve transmitir um torque
de 1200 N.m sem exceder uma tensão de cisalhamento admissível de 40 MPa
nem a uma razão de torção de 0,75º/m.
a. Calcular o diâmetro necessário d0 do eixo maciço.
b. Calcular o diâmetro externo necessário d2 do eixo vazado se a espessura t do
eixo for especificada como um décimo do diâmetro externo.
c. Calcular a razão dos diâmetros e a razão dos pesos dos eixos maciço e
vazado.

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EXEMPLO 4. Um eixo sólido de aço (G = 80 GPa) de diâmetro d = 30 mm gira
livremente em mancais nos pontos A e E. O eixo é acionado pela engrenagem C,
que aplica um torque T2 = 450 N.m na direção indicada (Figura 5). As engrenagens
em B e D são giradas pelo eixo e têm torques resistentes T1 = 275 N.m e T3 = 175
N.m, respectivamente, em sentido oposto a T2. Os segmentos BC e CD têm
comprimentos LBC = 500 mm e LCD = 400 mm.
Calcular a tensão de cisalhamento máxima para cada parte do eixo e o ângulo de
torção entre as engrenagens B e D.
Figura 5 – Exemplo 4.

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EXEMPLO 5. Um maciço de aço (G = 76 GPa) de seção circular é submetido aos
torques T1 = 2300 N.m e T2 = 900 N.m agindo nas direções indicadas.
Dados: L1 = 760 mm; L2 = 510 mm; d1 = 58 mm; d2 = 45 mm.
a. Calcular a tensão de cisalhamento máxima no eixo.
b. Calcular o ângulo de torção (em graus) na extremidade C.
EXEMPLO 6. Um tubo vazado construído em metal monel (G = 66 GPa) é
submetido a torques agindo nas direções indicadas. As magnitudes dos torques
são T1 = 100 N.m, T2 = T4 = 50 N.m e T3 = T5 = 80 N.m. O tubo tem diâmetro
externo d2 = 25 mm. A tensão de cisalhamento admissível é 80 MPa e a razão de
torção admissível é 6º/m.
Calcular o máximo diâmetro interno permitido d1 do tubo.

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EXEMPLO 7. Um motor rotacionando um eixo circular maciço de aço transmite 30
kW de potência para uma engrenagem em B. A tensão de cisalhamento admissível
para o aço é 42 MPa.
a. Calcular o diâmetro necessário d do eixo se ele é operado a 500 rpm.
b. Calcular o diâmetro necessário d do eixo se ele é operado a 4000 rpm.
RESPOSTAS DOS EXEMPLOS:
Exemplo 1 tmáx. = 27,1 MPa e f = 0,02198 rad (1,26º)
Exemplo 2 Tmáx. = 9164 N.m
Exemplo 3 a. d0 = 58,8 mm. b. d2 = 67,1 mm. c. 1,14 e 0,47
Exemplo 4 tmáx.BC = 51,9 MPa e tmáx.CD = 33,0 MPa. fBD = 0,0106 rad
Exemplo 5 tmáx. = 50,3 MPa. fC = 0,14º
Exemplo 6 d1 = 20,7 mm
Exemplo 7 a. d = 41,1 mm. b. d = 20,55 mm

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