Exercícios de torque

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Resistência
dos
Materiais

Aula
11
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Estudo
de
Torção
e

Ângulo
de
Torção.

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M.Eng.


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Ângulo
de
Torção

O
projeto
de
um
eixo

depende
de
limitações
na

quan5dade
de
rotação
ou

torção
ocorrida
quando
o

eixo
é
subme5do
ao
torque,

desse
modo,
o
ângulo
de

torção
é
importante
quando

se
analisam
as
reações
em

eixos
esta5camente

indeterminados.

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dos
Materiais

Ângulo
de
Torção

φ
=
Ângulo
de
torção
de
uma
extremidade
do
eixo
em

relação
à
outra.

T(x)
=
Torque
interno
na
posição
arbitrária
x.

J(x)
=
Momento
de
inércia
polar
do
eixo
expresso
em
f(x).

G
=
Módulo
de
elas5cidade
ao
cisalhamento
do
material.

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Resistência
dos
Materiais

Cálculo
para
Área
e
Torque

Constantes

Normalmente,
o
material
é
homogêneo,
de
modo
que

G
é
constante,
bem
como,
a
área
da
seção
transversal
e

o
torque
aplicado
também
são
constantes,
portanto,
a

equação
que
determina
o
ângulo
de
torção
pode
ser

expressa
do
seguinte
modo:

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dos
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Cálculo
para
Área
e
Torque

Constantes

Se
o
eixo
es5ver
sujeito
a
diversos
torques
diferentes,
ou

a
área
da
seção
transversal
e
o
módulo
de
elas5cidade

mudarem
abruptamente
de
uma
região
para
outra,
o

ângulo
de
torção
pode
ser
determinado
a
par5r
da

adição
dos
ângulos
de
torção
para
cada
segmento
do

eixo,
assim:

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Convenção
de
Sinais

A
direção
e
o
sen5do
do
torque
aplicado
é
deﬁnido
a
par5r

da
aplicação
da
regra
da
mão
direita.
Torque
e
ângulo

serão
posi5vos
se
a
direção
indicada
pelo
polegar
for
no

sen5do
de
afastar-‐se
do
eixo.

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EIXO
SUJEITO
A
DIVERSOS
TORQUES

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Exercício
1

As
engrenagens
acopladas
ao
eixo
de
aço
com
uma
das

extremidades
ﬁxa
estão
sujeitas
aos
torques
mostrados
na

ﬁgura.
Supondo
que
o
módulo
de
elas5cidade
de

cisalhamento
seja
G
=
80
GPa
e
o
eixo
tenha
diâmetro
de

14
mm,
determinar
o
deslocamento
do
dente
P
da

engrenagem
A.
O
eixo
gira
livremente
no
mancal
em
B.

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Solução
do
Exercício
1

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Exercício
2

O
Parafuso
de
aço
A-‐36
com
8
mm
de

diâmetro
está
parafusado
ﬁrmemente

ao
bloco
em
A.
Determine
as
forças

conjugadas
F
que
devem
ser
aplicadas
à

chave
de
torque
de
modo
que
a
tensão

de
cisalhamento
máxima
no
parafuso

seja
de
18
Mpa.
Calcule
também
o

deslocamento
correspondente
de
cada

força
F
necessários
para
causar
essa

tensão.
Considere
que
a
chave
de

torque
seja
rígida.

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Solução
do
Exercício
2

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Exercícios
Propostos

[P43]
O
eixo
de
aço
A-‐36
é
composto
pelos
tubos
AB
e
CD
e
uma
seção

maciça
BC.
Está
apoiado
em
mancais
lisos
que
permitem
que
ele
gire

livremente.
Se
as
engrenagens,
presas
às
extremidades
dos
eixos,

forem
subme5das
a
torques
de
85
Nm,
determine
o
ângulo
de
torção

da
engrenagem
A
em
relação
à
engrenagem
D.
Os
tubos
têm
diâmetro

externo
de
30
mm
e
diâmetro
interno
de
20
mm.
A
seção
maciça
tem

diâmetro
de
40
mm.

T
T
c
c
c
2
Prob. 5–48
400 mm
400 mm
250 mm
85 N mи
85 N mи
A
B
C
D
Prob. 5–49
•5–49. The A-36 steel axle is made from tubes AB and CD
and a solid section BC. It is supported on smooth bearings
that allow it to rotate freely. If the gears, fixed to its ends, are
subjected to torques, determine the angle of twist
of gear A relative to gear D. The tubes have an outer
diameter of 30 mm and an inner diameter of 20 mm. The
solid section has a diameter of 40 mm.
85-N # m
100 ft
Pr
A
Prob
5–51. The engine of the
to the rotor shaft AB w
1200 Determine
of the shaft AB if the allow
and the vibrations limit th
0.05 rad.The shaft is 2 ft lo
*5–52. The engine of the
to the rotor shaft AB w
1200 Determine t
the shaft AB if the allowab
and the vibrations limit th
0.05 rad.The shaft is 2 ft lo
rev>min.
rev>min.

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Exercícios
Propostos

[P44]
As
extremidades
estriadas
e
as
engrenagens
acopladas
ao
eixo

de
aço
A-‐36
75x109
Pa
estão
subme5das
aos
torques
mostrados.

Determinar
o
ângulo
de
torção
da
extremidade
B
em
relação
à

extremidade
A.
O
eixo
tem
diâmetro
de
40
mm.

PTER 5 TORSION
m-diameter A-36 steel shaft is subjected
wn. Determine the angle of twist of the
A
m
20 Nиm
30 Nиm
D
800 mm
600 mm
200 mm
Prob. 5–53
*5–56. The splined ends and gears attached to the A-36
steel shaft are subjected to the torques shown. Determine
the angle of twist of end B with respect to end A. The shaft
has a diameter of 40 mm.
300 Nиm
A
200 Nиm
500 Nиm
300 mm
400 mm
500 mm
400 Nиm
B
D
C
Prob. 5–56
•5–57. The motor delivers 40 hp to the 304 stainless steel

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Exercícios
Propostos

[P45]
A
turbina
desenvolve
150
kW
de
potência,
que
é
transmi5da

às
engrenagens
de
tal
modo
que
C
e
D
recebem
quan5dades
iguais.

Se
a
rotação
do
eixo
de
aço
A-‐36
de
100
mm
de
diâmetro
for
igual
a

150
rev/min,
determine
a
tensão
de
cisalhamento
máxima
absoluta

no
eixo
e
a
rotação
da
extremidade
B
em
relação
a
E.
O
mancal
em
C

permite
que
o
eixo
gire
livremente.

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Exercícios
Propostos

[P46]
Os
eixos
de
30
mm
de
diâmetro
são
feitos
de
aço
ferramenta

L2
e
estão
apoiados
em
mancais
que
permitem
aos
eixos
girarem

livremente.
Se
o
motor
em
A
desenvolver
um
torque
T
=
45
Nm
no

eixo
AB,
enquanto
a
turbina
em
E
é
ﬁxa
e
não
pode
girar,
determine

a
quan5dade
de
rotação
das
engrenagens
B
e
C.

5
*5–68. The 30-mm-diameter shafts are made of L2 tool
steel and are supported on journal bearings that allow the
shaft to rotate freely. If the motor at A develops a torque of
on the shaft AB, while the turbine at E is fixed
from turning, determine the amount of rotation of gears B
and C.
T = 45 N # m
600 mm
900 mm
B
C
T1
75 mm
Probs. 5–66/67
45 Nиm
A
0.75 m
50 mm1.5 m
0.5 m
B
C
E
D
75 mm
Prob. 5–68
0.6
Probs. 5–6
A
T1
T2
Tn
d1
d2
L1
Prob. 5–7
5–71. Consider the general pr
made from m segments, each havi
modulus If there are n torqu
write a computer program that
the angle of twist of its end A. S
program using the values
Td1 = 0.25 m,T1 = -450 N # m,
c2L2 = 1.5 m,G1 = 30 GPa,
L
Gm.

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Exercícios
Propostos

[P47]
O
conjunto
é
feito
de
aço
A-‐36
e
é
composto
por
uma
haste

maciça
de
15
mm
de
diâmetro
conectada
ao
interior
de
um
tubo
por

meio
de
um
disco
rígido
em
B.
Determine
o
ângulo
de
torção
em
A.
O

tubo
tem
diâmetro
externo
de
30
mm
e
espessura
de
parede
de
3

mm.

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Referências
Bibliográﬁcas

•  hCp://www.cronosquality.com/aulas/rm/index.html

•  Hibbeler,
R.
C.
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Resistência
dos
Materiais,
7.ed.
São

Paulo
:Pearson
Pren5ce
Hall,
2010.

•  BEER,
F.P.
e
JOHNSTON,
JR.,
E.R.
Resistência
dos
Materiais,
3.o

Ed.,
Makron
Books,
1995.

•  Rodrigues,
L.
E.
M.
J.
Resistência
dos
Materiais,
Ins5tuto
Federal

de
Educação,
Ciência
e
Tecnologia
–
São
Paulo:
2009.

•  BUFFONI,
S.S.O.
Resistência
dos
Materiais,
Universidade
Federal

Fluminense
–
Rio
de
Janeiro:
2008.

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