Ac machinery fundamentals

Fundamentos das Máquinas
Elétricas Rotativas CA

Fundamentos das Máquinas CA
 Energia Mecânica  Energia Elétrica
 Energia Elétrica  Energia Mecânica
 Classes
Síncronos
Indução

Uma simples espira em um campo magnético uniforme

Tensão Induzida [1]
( )
( )
ind
ind sin ab
e
l
v B l
e v B 

= ´
= × ××

1. Segmento ab
2. Segmento bc
3. Segmento cd
4. Segmento da
Resultante
( )senba abe v B l = × ××
0bce =
( )sendc dce v B l = × × ×
0dae =
( )tot 2 sene v B l = × × × ×

 A tensão induzida depende de três fatores:
1. Fluxo da máquina, f
2. Velocidade de rotação, w
3. Constante que depende da construção da máquina, k
( )
( )
ind
max
ind max
2 sen
sen
t
v r
e r B l t
A B
e t
 w
w
w w
f
f w w
= ×
= ×
= × × × × × ×
= ×
= × × ×

Torque Induzido [1]
( )F i l B= × ´
 
r F
 
= ´

1. Segmento ab
2. Segmento bc
3. Segmento cd
4. Segmento da
Resultante
Torque Induzido [2]
( )senba abr i l B = ×× × ×
0bc =
( )sencd cdr i l B = ×× × ×
0da =
( )total 2 senr i l B = × ×× × ×

( )
 ( )
( )
ind
loop
ind loop
ind
2
ind loop
2 sen
sen
sen
S
S
r l
i
S
r i l B
G B
A B
B
A G
B
k
B
B
 
 





 
××
= × × × × ×
×
=
×
=
=
× ×
×
×
´
× × ×
Torque Induzido [3]
loop
i
B
G
×
=
Constante que
depende da
geometria do loop
Para um círculo 2G r= ×

Torque Induzido [4]
 O torque induzido depende de quatro fatores:
1. Intensidade do campo magnético do rotor
2. Intensidade do campo magnético do estator
3. Seno do ângulo entre os campos magnéticos
4. Constante que depende da construção da máquina
( )ind loop Sk B B = × ´
 

O campo magnético girante

O campo magnético girante [1]
 Dois campos magnéticos tendem a se alinhar
 Se um deles for girante o outro tentará perseguí-lo
 Correntes defasadas de 120º
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
'
'
'
sen 0 A
sen 120 A
sen 240 A
aa M
bb M
cc M
i t I t
i t I t
i t I t
w
w
w
= × × - °
= × × - °
= × × - °

A
A’
C’
C
B B’
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035
B C A

-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035
B C A
A
A’
C’
C
B B’

B’
A
C’
B
A’
C
B’
A
C’
B
A’
C
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035
B C A

-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035
B C A
B’
A
C’
B
A’
C
B’
A
C’
B
A’
C

O campo magnético girante sendo
representado como dois pólos que giram

Grandezas elétricas e mecânicas
2
2
2
e m
e m
e m
p
p
f f
p
 
w w
= ×
= ×
= ×
120 e
m
f
n
p
×
=

Ex 4.1 – Chapman 2005
Faça um programa no MatLab que modele o
comportamento do campo magnético girante em um
estator de um motor ca trifásico.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
'
'
'
sen 0 A
sen 120 A
sen 240 A
aa M
bb M
cc M
i t I t
i t I t
i t I t
w
w
w
= × × - °
= × × - °
= × × - °
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
'
'
'
sen 0 0 T
sen 120 120 T
sen 240 240 T
aa M
bb M
cc M
B t I t
B t I t
B t I t
w
w
w
= × × - ° Ð °
= × × - ° Ð °
= × × - ° Ð °
Defasagem espacial
das bobinas

clear all;
close all;
clc;
% Parametrizando as codições básicas
bmax = 1; % Normalizando bmax para 1
freq = 60; % 60 Hz
w = 2*pi*freq; % freqüência angular (rad/s)
% Primeiro, gere os três componentes do campo
magnético
t = 0:1/6000:5.2/60;
Baa = sin(w*t) .* (cos(0) + j*sin(0));
Bbb = sin(w*t-2*pi/3) .* (cos(2*pi/3) + j*sin(2*pi/3));
Bcc = sin(w*t+2*pi/3) .* (cos(-2*pi/3) + j*sin(-2*pi/3));
% Calculando o Bresultante
Bresultante = Baa + Bbb + Bcc;
% Calculando um círculo que representa o máximo
% valor estimadod para Bresultante
circle = 1.5 * (cos(w*t) + j*sin(w*t));
% Plote a magnitude e a direção dos campos
magnéticos
% resultantes. Note que Baa e perto, Bbb é azul, Bcc
é
% magenta and Bresultante is vermelho
for ii = 1:length(t)
% Plot the reference circle
plot(circle,'k');
hold on
% Plote os quatro campos magnéticos
plot([0 real(Baa(ii))],[0
imag(Baa(ii))],'k','LineWidth',2);
plot([0 real(Bbb(ii))],[0
imag(Bbb(ii))],'b','LineWidth',2);
plot([0 real(Bcc(ii))],[0
imag(Bcc(ii))],'m','LineWidth',2);
plot([0 real(Bresultante(ii))],[0
imag(Bresultante(ii))],'r','LineWidth',3);
axis square;
axis([-2 2 -2 2]);
drawnow;
hold off
end

Força magnetomotriz e distribuição de fluxo em máquinas CA

Comportamento do Fluxo
 O fluxo escolhe o menor caminho (perpendicular)
 A magnitude do fluxo deverá variar senoidalmente
ao longo da superfície do entreferro

Tensão induzida em máquinas CA

Tensão induzida
Campo girando e bobina parada
( )inde v B l= ´


( )cosMB B tw = × × -

( )
( )
( )
ind 2 cos
cos
cos
M m
m
C m
e v B l t
t
N t
w
f w w
f w w
= × × × × ×
× × ×
× × × ×
Segmentos ab, bc, cd, da
( )
( )
( )
cos 180
cos 180
dc
M m
M m
e v B l
v B l
v B t l
v B l t
w
w
= ´
× × Ä
é ù× × × - ° ×ë û
× × × × - °


( ) 0cbe v B l= ´ =


( )
( )
( )
cos 0
cos
ba
M m
M m
e v B l
v B l
v B t l
v B l t
w
w



= ´
× ×
é ù× × × - ° ×ë û
× × × ×
( ) 0cbe v B l= ´ =


v rw= ×

Tensão Induzida em um conjunto de
bobinas trifásicas
 Um conjunto de correntes trifásicas podem gerar
um campo magnético rotativo uniforme
 Um campo magnético rotativo uniforme pode gerar
um conjunto de tensões induzidas trifásicas
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
'
'
'
sen 0 V
sen 120 V
sen 240 V
aa C
bb C
cc C
e t N t
e t N t
e t N t
f w w
f w w
f w w
= × × × × - °
= × × × × - °
= × × × × - °

Tensão rms em um estator trifásico
 Tensão de pico
 Tensão rms
 A tensão rms nos terminais da máquina dependerá
se ela estará conectada em Y ou D.
max
2
C
C
E N
N f
f w
 f
= × ×
× × × ×
max
rms
2
2 C
E
E
N f f
=
× × × ×
( )
( )
max
ind
max
ind max
2 sen
sen
E
e r B l t
A B
e t
w w
f
f w w

= × × × × × ×
= ×
= × × ×

Ex 4.2 – Chapman 2005
As informações que seguem são relativas a um gerador simples de 2
pólos. A densidade de fluxo de pico é de 0,2 T e a velocidade de
rotação do eixo é de 3.600 rpm. O diâmetro do estator é de 0,3 m, o
comprimento da espira é de 0,5 m e há 15 espiras por bobina. A
máquina está conectada em Y.
a. Tensões de fase como
função do tempo?
b. Tensão rms de fase?
c. Tensão rms terminal?

Torque Induzido em uma máquina CA

Máquina simples com distribuição senoidal
de fluxo e uma bobina no rotor
( )
( )senS
F i l B
i l B 
= × ´
× × ×
 
( )
ind
senS
r F
r i l B


= ´
× × × ×
 
em um condutor
( )ind 2 senSr i l B = × ×× × ×


Componentes de fluxo magnético
( ) ( ) ( )
180
sen sen 180 sen
 
  
= °-
= °- =
 ( )
 ( )
ind
ind
ind
ind
2 sen
sen
S
C
R S
C i
R S
R S
r l i B
K H B
K H B
k B B
 
 


 
 
×
= × × × × ×
= × × ×
= × ´
= × ´

( )
( ) ( )
( )
net
ind
ind net
ind net R
ind net
ind net sen
S R
R S
B B B
R R
R R
R
R
k B B
k B B B
k B B k B B
k B B
k B B




 
= -
= × ´
= × ´ -
= × ´ - × ´
= × ´
= × × ×
  
 
  
   
 

Isolação dos enrolamentos de uma máquina CA

Vida útil do
isolamento
VidaÚtil(horas)
Temperatura (oC)

Temperatura limite
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
A E B F H
40 40 40 40 40
60
75 80
105
1255
5
10
10
15
TemperaturaAdmissível
Classe de Isolamento
Diferença entre o ponto mais qunte e a temperatura média
Elevação de Temperatura
Temperatura Ambiente

Fluxo de potências e perdas nas máquinas CA

Perdas e Rendimento 
 Cobre
 Núcleo
 Mecânicas: atrito e ventilação.
 Adicionais: o que não se encaixa nas demais
Rotor
Estator
out out
in out loss
P P
P P P
 = =
+
2
3SCL A AP I R= × × SCL = Stator Cooper Losses
2
RCL F FP I R= × RCL = Rotor Cooper Losses
2
h h hp k f B   
2 2
Fou Fou Foup k f B   
0,01 P 
Para a maioria das máquinas

Diagrama de Fluxo de Potência

Regulação de tensão e de velocidade

Regulação de tensão e de velocidade
nl fl
fl
V V
VR
V
-
= Regulação de Tensão
nl fl
fl
SR
w w
w
-
= Regulação de Velocidade

Passos das bobinas e enrolamentos distribuídos

Passo polar
360
p
P



Passo polar em graus mecânicos
Passo fracionário é uma fração do
passo polar pleno. Ex: 5/6
O passo polar em graus elétricos é
sempre de 180˚.

( )ind ... sen cos
2

f w wba dc me e e t
æ ö÷ç= + = = × × × ×÷ç ÷çè ø
Tensão Induzida
( )
cos 90
2
cos 90
2

w

w

dc
M m
M m
e v B l
v B l
v B t l
v B l t
= ´
× × Ä
é ùæ öæ ö÷ç ÷çê ú- × × × - °- ×÷÷ç ç ÷÷çê úç ÷è øè øë û
æ ö÷ç- × × × × - °+ ÷ç ÷çè ø
( ) 0cbe v B l= ´ =


( )
cos 90
2
cos 90
2

w

w



ba
M m
M m
e v B l
v B l
v B t l
v B l t
= ´
× ×
é ùæ öæ ö÷ç ÷çê ú- × × × - °+ ×÷÷ç ç ÷÷çê úç ÷è øè øë û
æ ö÷ç- × × × × - °- ÷ç ÷çè ø
( ) 0cbe v B l= ´ =



Fator de passo
( )ind sen cos
2

f w wme t
æ ö÷ç= × × × ×÷ç ÷çè ø
sen sen
2 2
 m
p
P
k
æ öæ ö × ÷÷ çç= = ÷÷ çç ÷÷ç çè ø è ø
( ) ( )
max
ind indcos cosf w w f w w
p m C p m
e
e k t e N k t= × × × × Þ = × × × ×
Fator de passo

Tensões em enrolamentos de
passo pleno e de passo fracionário [Kosow 2005]
1 1
2 bobinas
soma fasorial nos dois lados da bobina
soma aritmética nos dois lados da bobina 2
C C
p p
C
E E
k k
E n E
= = Þ =
× ×
1
E
2
E
C
E
1
cos
2
E
 
  
 
2

cos sen
2 2
pk
 æ ö æ ö÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
180  = +

Ex 2-3 – Kosow 2005
Uma armadura com 72 ranhuras, tendo 4 pólos, é enrolada com bobinas abrangendo 14
ranhuras (ranhura 1 até ranhura 15). Calcule:
a. O ângulo abrangido por uma bobina de passo inteiro.
b. O espaço ocupado por bobina em graus elétricos.
c. O fator de passo, usando
d. O fator de passo, usando
cos
2

pk
æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø
sen
2
p
p
k
æ ö°÷ç= ÷ç ÷çè ø
72 ranhuras ranhuras72
pólo4 pólos
ou 18 ranhuras ocupam 180 GE 90 GM
=
=
14
180 140
18
p° = × ° = °
180 140
cos cos 0,94
2 2

pk
æ ö æ ö°- °÷ ÷ç ç= = =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
140
sen sen 0,94
2 2
p
p
k
æ ö æ ö° °÷ ÷ç ç= = =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Ex 2-4 – Kosow 2005
Uma armadura com 6 pólos, 96 ranhuras, é enrolada com bobinas
tendo um passo fracionário de 13/16. Calcule o fator de passo:
13 180
16sen sen 0,957
2 2
pk

æ ö× °÷æ ö ç ÷ç÷ç ÷= = =ç÷ç ÷÷ çç ÷è ø ç ÷çè ø

Enrolamentos Distribuídos
Fator de Distribuição
2 sen sen
2 2
sen2 sen
22
f
 

d
C
Oa n n
E
k
n E
nn Oa
æ öæ ö æ ö÷ç ÷ç ÷ç× × × ÷ ×÷ç ÷ç ç÷÷ç ÷ ÷ç çè øè ø è ø
= = =
æ ö æ öæ ö× ÷ ÷ç ÷ çç ×× × × ÷ ÷÷ç çç ÷÷ ç÷ç ÷ç è øè øè ø
 

1C
E
2C
E
3C
E
4C
E
Ef
O
2

2

a
b
c d e
f g
h
i sen
2
sen
2
f
f


bobina
d
C bobina
d
C
eE
k
n E e
n
E
k
n E
n
= =
´
æ ö× ÷ç ÷ç ÷çè ø
= =
æ ö× ÷ç× ÷ç ÷çè ø
å
å
Número de ranhuras por pólo por fase
Graus elétricos entre
ranhuras adjacentes

Número de
Pólos
Graus
Elétricos para
180 graus
mecânicos
Número de
Fases
4 720 3
Número de
Ranhuras
Graus
Elétricos por
Ranhura
Ranhuras por
Pólo por
Fase
Fator de
Distribuição
12 60 1 1
24 30 2 0,96592583
48 15 4 0,9576622
84 8,57142857 7 0,95582071
Ex 2-5 – Kosow 2005
Calcule o fator de distribuição, kd , para uma armadura trifásica de
quatro pólos tendo:
a. 12 ranhuras
b. 24 ranhuras
c. 48 ranhuras
d. 84 ranhuras
180 4 pólos 720 graus elétricos
pólo
° × =
( ) ( )
720 elétricos
4 pólos 60 graus elétricos por ranhura
12 ranhuras
12 ranhuras
1 ranhura por pólo e por fase
4 pólos 3 fases
60
sen 1
2
1,000
60
1 sen
2

d
n
k
°
= × =
= =
×
æ ö°÷ç × ÷ç ÷çè ø
= =
æ ö°÷ç× ÷ç ÷çè ø

Fator de Distribuição kd – Considerações
 Para um dado número de fases, o FATOR DE
DISTRIBUIÇÃO é função única do número de
ranhuras distribuídas sob um dado pólo.
60
30
15
8.57
1 2 4
7
1.00
0.97
0.96 0.96
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
1
1.01
0
10
20
30
40
50
60
70
12 24 48 84
Número de Ranhuras
Graus Elétricos
por Ranhura
Ranhuras por
Pólo por Fase
Fator de
Distribuição

Harmônicos e Passo Fracionário

Efeito do passo fracionário e da distribuição
de bobinas na forma de onda
Bonina 1 Bonina 2 Bonina 3 Bonina 4 Bonina 5 Somatório
N S

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