Metodo dos Esforços
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O documento descreve o método dos esforços para resolver estruturas hiperestáticas. O método envolve substituir vínculos por carregamentos externos para criar uma estrutura equivalente isostática. As deformações da estrutura original e equivalente são igualadas através de equações de compatibilidade para determinar os esforços internos.
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 6 / 37
EXERCÍCIO 02 : Na viga contínua esquematizada abaixo , calcular os diagramas de
esforços internos solicitantes :
20 kN
/m
4,0 m
1,5 m 2,0 m
3,0 m
30 kN40 kN
0 1 2
RV 0 RV 1 RV 2
RH 2
+
–
+
–
N 0 [kN]
V
+
+
–
–
31,67
1,67
38,33
68,33
68,75
28,75
1,25
41,25
[kN]
+
–
M
25,00
55,00
42,50
[kN.m]
40 kN
/m
3,0 m
2,0 m
3,0 m
30 kN
E → constante
1,0 m
20 kN
/m
I 3.I 3.I](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-6-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 9 / 37
∑ −= 12,381esqM ⇒ 5,1.3.201.303.12,38 0 −−+=− VR ⇒ 0 27,29VR kN= +
∑ −= 12,381dirM ⇒ 2.4.403.12,38 2 −+=− VR ⇒ 2 93,96VR kN= +
∑ = 0VF ⇒ 040.420.330210 =−−−+++ VVV RRR ⇒ 1 128,75VR kN= +
∑ = 0HF ⇒ 00 =HR
3,0 m
0 1 2
RV 0 RV 1 RV 2
RH 0
+
–
+
–
N 0 [kN]
V
++
–
–
27,29
42,71
12,71
62,71
66,04
40,00
53,96
[kN]
+
–
M
18,62
38,12
16,42
[kN.m]
40 kN
/m
3,0 m
2,0 m
30 kN
1,0 m
20 kN
/m
I 3.I 3.I
+
1,365 1,35
20,00](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-9-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 13 / 37
vale –23,07 kN.m ; o momento fletor no apoio (3) assume o valor X3 . 1,0 kN.m , ou seja, vale –12,23
kN.m . O sinal negativo indica que os momentos assumem sentido contrário ao escolhido na
proposição dos casos .
Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes
∑ −= 07,232esqM ⇒ 2.4.244.47,3607,23 1 −+−=− VR ⇒ 1 51,35VR kN= +
∑ −= 23,123esqM ⇒ 5,1.3.183.2.4.247.35,5147,3623,12 2 −+−+−=− VR ⇒ 2 75,26VR kN= +
∑ −= 23,123dirM ⇒ 3.2.4.1823,12 4VR+−=− ⇒ 4 43,92VR kN= +
∑ −= 07,232dirM ⇒ 3.6.92,435,3.7.1807,23 3VR++−=− ⇒ 3 51,47VR kN= +
∑ = 0HF ⇒ 01 =HR ; 04 =HR
RV 1
RV 3RV 2
RH 4
+
–
+
–
N 0 [kN]
V
++
– –
51,35
44,65
2,14 m 23,39
30,61
18,0028,08
25,92
[kN]
+
–
M
18,48
36,47
23,07
[kN.m]
18 kN
/m
4,0 m 3,0 m3,0 m 1,0 m
24 kN
/m
RV 4
RH 1
–
+ +
1,70 m 1,56 m
2,95
12,23
9,67
9,00](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-13-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 16 / 37
Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 por Castigliano :
IEIE
kis
IE
dxMM
IE
dx
IE
MM
..3
160
3
1.40.4
.
.
1
3
..
.
.
1
...
.
1
.
.
.
10
10
10 −=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=== ∫∫ϕ
IEIE
kis
IE
dxMM
IE
dx
IE
MM
..3
4
3
1.1.4
.
.
1
3
..
.
.
1
...
.
1
.
.
.
11
11
11 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=== ∫∫ϕ
Montagem sistema linear com equação de compatibilidade :
( R ) = ( 0 ) + X . ( 1 ) ⇒ ϕ1R = ϕ10 + X . ϕ11
IE
X
IE ..3
4
.
..3
160
0 +−= ⇒ 00,40
4
..3
.
..3
160
=+=
IE
IE
X
∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (1) assume o valor X . 1,0 kN.m , ou
seja, vale 40,00 kN.m . O sinal positivo indica que ela assume o mesmo sentido escolhido na
proposição do caso (1) .
Cálculo das Reações de Apoio
∑ = 00M ⇒ 02.4.204.40 1 =+−− VR ⇒ 1 30,00VR kN= +
∑ = 0VF ⇒ 020.4300 =−++ VR ⇒ 0 50,00VR kN= +
∑ = 0HF ⇒ 00 =HR
RV 0 RV 1
RH 0
+
–
+
–
N 0 [kN]
V
+
–
50,0
30,0
[kN]
+
–
M
22,50
40,00
2,50 m
4,0
0
20 kN
/m
MR0
Diagramas de Esforços Internos Solicitantes
Nota : O exercício foi resolvido de duas
maneiras possíveis para demonstrar o método ,
no caso poderia ser utilizada a resolução a) ou
b) , que resultaram iguais como podemos
comprovar no item de cálculo das reações.](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-16-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 18 / 37
Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos
gráficos de momento fletor :
CASO (0)
ϕ10
32 kN
/m
6,0 m
3,0m2,0m
24 kN
2
1
3 4
24 kN
116 kN
76 kN
116
06.3276
0
76
03.6.325.246.
0
24
024
0
1
1
2
2
1
1
1
=
=−+
=
=
=−++
=
=
=−+
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
H
R
R
F
R
R
M
R
R
F
M0 [ kN.m ]
144,00
2
3
0
3 4
120,00
3 4
4
1
120,00](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-18-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 19 / 37
Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 , por Castigliano :
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=== ∫∫ 2
..
3
..
3
..
.
.
1
...
.
1
.
.
.
10
10
10
kiskiskis
IE
dxMM
IE
dx
IE
MM
ϕ
IEIE .
252
2
120.1.5
3
120.1.6
3
144.1.6
.
.
1
10 −=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=ϕ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=== ∫∫ kis
kis
IE
dxMM
IE
dx
IE
MM
..
3
..
.
.
1
...
.
1
.
.
.
11
11
11ϕ
IEIE .
7
1.1.5
3
1.1.6
.
.
1
11 +=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=ϕ
X1 . CASO (1)
1,00
ϕ11
6,0 m
3,0m2,0m
2
1
3 4
0
1
/6 kN
6
1
1
6
1
1
6
1
2
2
1
1
0
0
016.
0
0
0
=
=+−
=
=
=−+
=
=
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
R
R
F
R
R
M
R
F
1
/6 kN
M1 [ kN.m ]
2
3
0
3 4
1,00
4
11,00
1,00](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-19-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 20 / 37
Montagem sistema linear com equação de compatibilidade :
( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) ⇒ 11110 .0 ϕϕ X+= ⇒
11
10
1
ϕ
ϕ
−=X
00,36
7
.
.
252
1 =⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
IE
IE
X
∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (1) assume o valor X1 . 1,0 kN.m ,
ou seja, vale 36,00 kN.m . O sinal positivo indica que o momento assume o mesmo sentido ao
escolhido na proposição dos casos .
Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes
( )1
61 116,00 36,00. 110,00VR kN= + − =
( )1 24,00 36,00. 0 24,00HR kN= + =
( )1
62 76,00 36,00. 82,00VR kN= + + =
82,00
82,00
–
–
110,00
110,00
0
N [ kN ]
82,00
–
110,00
24,00
0
V [ kN ]
+
+
24,00
2,56 m](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-20-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 21 / 37
EXERCÍCIO 06 : Na estrutura esquematizada abaixo , calcular as reações de apoio e
os diagramas de esforços internos solicitantes :
Resolução :
Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso Real) :
84,00
84,00
105,06
36,00
0
M [ kN.m ]
2,56 m
36 kN
/m
4,0 m
E , I → constantes
2,0m2,0m18 kN](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-21-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 23 / 37
1,00
M0 [ kN.m ]
72,00
2
3
0
34
72,00
34
4
1
72,00
X1 . CASO (1)
4
1
1
4
1
1
4
1
2
2
1
1
0
0
014.
0
0
0
=
=−
=
=
=−+
=
=
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
R
R
F
R
R
M
R
F
M1 [ kN.m ]
2
3
034
1,004
11,00
1,00
1,00
ϕ11
1
/4 kN
1
/4 kN
0
2
1
34
4,0 m
2,0m2,0m](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-23-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 25 / 37
83,25
83,25
–
–
60,75
60,75
0
N [ kN ]
83,25
60,75
V [ kN ]
+
1,69 m
18,00
18,00
–
–
0
45,00
51,26
M [ kN.m ]
1,69 m
27,00
45,00
0](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-25-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 27 / 37
Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica , Caso (1) e Caso (2) , com seus
respectivos gráficos de momento fletor :
CASO (0)
38,36
04.1362,15
0
62,15
04.212.4.135,2.174.
0
4
02117
0
1
1
2
2
1
2
2
=
=−+
=
=
=−++−
=
=
=+−+
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
H
R
R
F
R
R
M
R
R
F
15,62 kN
4,00 kN
36,38 kN
ϕ20 21
3 4
13 kN
/m
4,0 m
2,5m2,5m
17 kN
4,0m1,0m
21 kN
δ10
M0 [ kN.m ]
26,00
1
3
0
3 4
42,50
3 4
4
2
42,50
1,00
20,00 4
2
21,00
0](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-27-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 28 / 37
X1 . CASO (1)
0
00
0
0
04.
0
1
01
0
1
1
2
2
1
2
2
=
=+
=
=
=+
=
=
=−
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
H
R
R
F
R
R
M
R
R
F
0
1,00 kN
0
ϕ21
21
3 4
4,0 m
5,0m
δ11
1,00 kN
M1 [ kN.m ]
3 4
5,00 4
2
5,00
5,003
1
5,00](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-28-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 29 / 37
Cálculo dos giros ϕ20 , ϕ21 , ϕ22 , edas flechas δ10 , δ11 , δ12 , por Castigliano :
∫∫ == dxMM
IE
dx
IE
MM
...
.
1
.
.
.
10
10
10δ
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−++−+++=
3
..
.2.
6
.
3
..
.
2
.
.2.
6
.
.
.
1
21212110
kis
kk
iskis
kk
is
kk
is
IE
δ
( ) ( ) ( )
IEIE .
02,192
3
5.20.5
45.2.
6
21.1
3
5.26.8
15,42.
2
5.4
5,25.2.
6
5,42.5,2
.
.
1
10 +=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−++−+++=δ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=== ∫∫ 3
..
..
3
..
.
.
1
...
.
1
.
.
.
11
11
11
kis
kis
kis
IE
dxMM
IE
dx
IE
MM
δ
X2 . CASO (2)
4
1
1
4
1
1
4
1
2
2
1
2
0
0
014.
0
0
0
=
=−
=
=
=−+
=
=
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
R
R
F
R
R
M
R
F
0
1,00 kN.m
ϕ22
21
3 4
4,0 m
5,0m
δ12
1
/4 kN
1
/4 kN
M2 [ kN.m ]
3 4
0
4
2
1,00
1,00
3
1
1,00](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-29-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 31 / 37
31,61
31,61
– –
20,39
20,39
N [ kN ]
–
13,61 13,61
31,61
–
3,39 V [ kN ]
+
+
13,61
2,43 m
–
+
3,39
13,61
13,61
7,39
20,39
13,617,39
–
19,07
3,14
8,48
M [ kN.m ]
25,55
1,57 m
10,49
3,14
25,55
12,86](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-31-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 33 / 37
Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica , Caso (1) e Caso (2) , com seus
respectivos gráficos de momento fletor :
CASO (0)
70
0404.2050
0
50
0404.402.4.204.404.
0
40
040
0
1
1
2
2
1
1
1
=
=−−+
=
=
=+++−−
=
=
=+−
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
H
R
R
F
R
R
M
R
R
F
M0 [ kN.m ]
40,00
2
4
0
43
240,00
43
3
1
240,00
50 KN
40 KN
70 KN
ϕ10
2
1
3 4
20 KN
/m
4,0 m
2,0m2,0m
40 kN
6,0m
I
I
2.I
40 kN
40 kN.m
δ20
120,00
80,00](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-33-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 34 / 37
X1 . CASO (1)
4
1
1
4
1
1
4
1
2
2
1
1
0
0
014.
0
0
0
=
=−
=
=
=−+
=
=
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
R
R
F
R
R
M
R
F
M1 [ kN.m ]
2
4
043
1,003
11,00
1,00
1,00 1
/4 kN
1
/4 kN
0 ϕ11
2
1
3 4
4,0 m
2,0m2,0m
6,0m
I
I
2.I
δ21](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-34-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 35 / 37
Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 , ϕ12 , edas flechas δ20 , δ21 , δ22 , por Castigliano :
∫∫ +=
2
3
10
3
1
1010 ...
.
1
...
..2
1
dxMM
IE
dxMM
IE
ϕ ( ) ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
3
..
.2.
6
.
.
.
1
2
..
.
..2
1
21
kis
kk
is
IE
kis
IE
( )
IEIEIE ..3
2120
3
1.40.4
120240.2.
6
1.4
.
.
1
2
1.240.6
.
..2
1
10 =⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=ϕ
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+= ∫∫ 3
..
.
.
1
...
..2
1
...
.
1
...
..2
1
2
3
10
3
1
1011
kis
IE
kis
IE
dxMM
IE
dxMM
IE
ϕ
( )
IEIEIE ..3
13
3
1.1.4
.
.
1
1.1.6.
..2
1
11 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=ϕ
X2 . CASO (2)
5,0
05,0
0
5,0
02.14.
0
1
01
0
1
1
2
2
1
1
1
=
=+−
=
=
=+−
=
=
=−
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
H
R
R
F
R
R
M
R
R
F
M2 [ kN.m ]
2
4
43
4,00
3
1
6,00
6,00
1,00
1,00 kN
0,5 kN
0,5 kN
ϕ12
2
1
3 4
4,0 m
2,0m2,0m
6,0m
I
I
2.I δ22
4,00](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-35-320.jpg)
![ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 37 / 37
Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes
( )1 70,00 55,441.0,25 23,716. 0,50 44,28VR kN= − + − =
( )1 40,00 55,441.0 23,716. 1,00 16,28HR kN= − + − =
( )2 50,00 55,441. 0,25 23,716.0,50 75,72VR kN= − − + =
44,28
44,28
–
–
75,72
75,72
N [ kN ]
–
16,28 16,28
0
44,28
–
16,28
V [ kN ]
+
+
23,72
2,21 m
–
+
40,00
16,28
35,72
16,28
23,72
16,28
–
47,44
25,12
55,44
M [ kN.m ]
42,24
2,21 m
14,88
40,00
42,24
6,78](https://image.slidesharecdn.com/24042012154841968485893-140707081744-phpapp01/85/Metodo-dos-Esforcos-37-320.jpg)
Metodo dos Esforços
- 1. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 1 / 37 MÉTODO DOS ESFORÇOS Na resolução de estruturas hiperestáticas (aquelas que não podem ser resolvidas com as 3 equações fundamentais da estática , a saber : somatória forças verticais igual a zero , somatória forças horizontais igual a zero , somatória momento fletor referente a um ponto igual a zero) , nós podemos lançar mão do método dos esforços. Este processo de cálculo consiste na utilização de uma estrutura equivalente a que desejamos calcular, na qual substituímos um vínculo entre barras ou entre barra e apoio por um carregamento externo. Vejamos alguns exemplos de modificação abaixo : A estrutura equivalente deve ser isostática, caso a estrutura continue hiperestática após a primeira modificação, executamos outra modificação e assim por diante até encontrar uma estrutura equivalente isostática. A estrutura equivalente deve ser desdobrada em: ISOSTÁTICA BÁSICA – corresponde a estrutura equivalente com os carregamentos externos da viga original . CASO (1) – corresponde a estrutura equivalente com o carregamento originado pela primeira modificação. CASO (2) – corresponde a estrutura equivalente com o carregamento originado pela segunda modificação. CASO (n) – corresponde a estrutura equivalente com o carregamento originado pela enésima modificação. Vale um comentário quanto a numeração da estrutura: deve-se procurar numerar os nós da estrutura de forma que o ponto 1 coincida com a modificação 1 , o ponto 2 com a modificação 2 e assim por diante, e, caso seja possível, desaconselha-se duas modificações no mesmo nó. ≡ X ≡ X ≡ X ≡ XX ≡ XX ≡ X X
- 2. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 2 / 37 Para conseguirmos determinar as incógnitas que superam o número de equações fundamentais da Estática vamos usar equações de compatibilidade de deformação (seja esta deformação a flecha, o giro, ou o giro relativo). Ou seja , valendo a sobreposição de efeitos : - na modificação do apoio móvel do nó “1” por uma força “X”, temos que a soma da flecha devida ao carregamento externo original com a flecha devida a força “X” será igual a zero (condição de apoio na estrutura original). δ1R = δ10 + δ11 → 0 = δ10 + δ11 - na modificação do engastamento do nó “1” por um momento fletor “X” e um apoio fixo, temos que a soma do giro devido ao carregamento externo original com o giro devido ao momento “X” será igual a zero (condição de engastamento na estrutura original). ϕ1R = ϕ10 + ϕ11 → 0 = ϕ10 + ϕ11 - na modificação da ligação rígida entre barras no nó “1” por uma articulação com momentos fletores relativos “X”, diremos que a soma do giro relativo devido ao carregamento externo original com o giro relativo devido aos momentos fletores relativos “X” será igual a zero (condição de ligação rígida - continuidade - na estrutura original). ϕR1R = ϕR10 + ϕR11 → 0 = ϕR10 + ϕR11 Os cálculos relativos a flecha, giro e giro relativo serão desenvolvidos com o Teorema de Castigliano e auxílio da Tabela de Kurt Beyer. Para tanto devemos construir os diagramas de momento fletor da Isostática Básica e dos “n” Casos. Uma vez que o Teorema de Castigliano utiliza de um diagrama de momento gerado por um carregamento unitário, convém em cada Caso (“n”) colocarmos em evidência Xn tornando assim cada Caso (“n”) em um carregamento unitário multiplicado por Xn. Cria-se a equação de compatibilidade na seguinte forma : REAL = CASO (0) + X1 . CASO (1) + X2 . CASO (2) + ... + Xn . CASO (n) Castigliano : dx IE MMo ⋅ ⋅ ⋅ = ∫ 1 δ , dx IE MMo ⋅ ⋅ ⋅ = ∫ 1 ϕ , dx IE MMo R ⋅ ⋅ ⋅ = ∫ 1 ϕ Encontradas as deformações por Castigliano , montamos um sistema linear devido as equações de compatibilidade com a seguinte forma :
- 3. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 3 / 37 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ++++= ++++= ++++= nnnnnnnR nnR nnR XXX XXX XXX ϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕ ...... ..................... ...... ...... 22110 2222211202 1122111101 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ++++= ++++= ++++= nnnnnn nn nn XXX XXX XXX ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ ......0 ..................... ......0 ......0 22110 222221120 112211110 Os valores encontrados nos fornecem os vínculos ou esforços internos aos quais se referem, tornando possível agora a resolução da estrutura original utilizando-se as 3 equações fundamentais da estática, seguindo o cálculo das reações de apoio e a construção dos diagramas de esforços internos solicitantes da estrutura original, a saber N (esforço normal) , V (esforço cortante) e M (momento fletor) . EXERCÍCIO 01 : Na viga contínua esquematizada abaixo , calcular os diagramas de esforços internos solicitantes : Resolução : Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso Real) : 20 kN /m 4,0 m 1,5 m 2,0 m 3,0 m 30 kN40 kN E , I → constantes 20 kN /m 4,0 m 1,5 m 2,0 m 3,0 m 30 kN40 kN X X 0 1 2 ϕR1R = 0
- 4. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 4 / 37 Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos gráficos de momento fletor : Cálculo dos giros relativos ϕR10 , ϕR11 por Castigliano : ∫= dx IE MM R . . . 10 10ϕ ( ) ( )⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++++== ∫ βαϕ 1. 6 .. 1. 6 .. 3 .. 3 .. . . 1 ... . 1 1010 kiskiskiskis IE dxMM IE R 20 kN /m 4,0 m 1,5 m 2,0 m 3,0 m 30 kN40 kN 0 1 2 ϕR10 CASO (0) M0 kN.m 40,0 22,5 + M0 kN.m 30,0 30,0 4,0 m3,0 m 0 1 2 1,0 M1 kN.m 1,0 X . CASO (1) 1,0 ϕR11
- 5. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 5 / 37 ( ) ( ) IEIE R ..3 385 5,01. 6 1.30.4 5,01. 6 1.30.3 3 1.40.4 3 1.5,22.3 . . 1 10 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++++=ϕ ∫= dx IE MM R . . . 11 11ϕ IEIE kiskis IE dxMM IE R ..3 7 3 1.1.4 3 1.1.3 . . 1 3 .. 3 .. . . 1 ... . 1 1110 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +== ∫ϕ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( R ) = ( 0 ) + X . ( 1 ) ⇒ ϕR1R = ϕR10 + X . ϕR11 IE X IE ..3 7 . ..3 385 0 ++= ⇒ 00,55 7 ..3 . ..3 385 −=−= IE IE X ∴ podemos assim afirmar que o momento fletor no apoio (1) assume o valor X . 1,0 kN.m , ou seja, vale –55,00 kN.m . O sinal negativo indica que ele assume sentido contrário ao escolhido na proposição do caso (1) . Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes ∑ −= 00,551esqM ⇒ 5,1.3.205,1.403.55 0 −−+=− VR ⇒ 0 31,67VR kN= + ∑ −= 00,551dirM ⇒ 2.4.202.304.55 2 −−+=− VR ⇒ 2 41,25VR kN= + ∑ = 0VF ⇒ 020.73040210 =−−−+++ VVV RRR ⇒ 1 137,08VR kN= + ∑ = 0HF ⇒ 02 =HR
- 6. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 6 / 37 EXERCÍCIO 02 : Na viga contínua esquematizada abaixo , calcular os diagramas de esforços internos solicitantes : 20 kN /m 4,0 m 1,5 m 2,0 m 3,0 m 30 kN40 kN 0 1 2 RV 0 RV 1 RV 2 RH 2 + – + – N 0 [kN] V + + – – 31,67 1,67 38,33 68,33 68,75 28,75 1,25 41,25 [kN] + – M 25,00 55,00 42,50 [kN.m] 40 kN /m 3,0 m 2,0 m 3,0 m 30 kN E → constante 1,0 m 20 kN /m I 3.I 3.I
- 7. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 7 / 37 Resolução : Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso Real) : Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos gráficos de momento fletor : X X0 1 2 ϕR1R = 0 40 kN /m 3,0 m 2,0 m 3,0 m 30 kN 20 kN /m I 3.I 20 kN.m 40 kN M0 kN.m 45,0 22,5 + CASO (0) 0 1 2 ϕR10 40 kN /m 3,0 m 2,0 m 3,0 m 30 kN 20 kN /m I 3.I 20 kN.m 40 kN M0 kN.m 20,0 20,0
- 8. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 8 / 37 Cálculo dos giros relativos ϕR10 , ϕR11 por Castigliano : ∫∫∫∫∫ +=+== 2 1 10 1 0 10 2 1 10 1 0 1010 10 ... ..3 1 ... . 1 . ..3 . . . . . . . dxMM IE dxMM IE dx IE MM dx IE MM dx IE MM Rϕ ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= 6 .. 3 .. . ..3 1 1. 6 .. 3 .. . . 1 10 kiskis IE kiskis IE R αϕ IEIEIE R ..6 305 6 20.1.3 3 1.45.3 . ..3 1 3 2 1. 6 20.1.3 3 1.5,22.3 . . 1 10 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++=ϕ ∫∫∫∫∫ +=+== 2 1 11 1 0 11 2 1 11 1 0 1111 11 ... ..3 1 ... . 1 . ..3 . . . . . . . dxMM IE dxMM IE dx IE MM dx IE MM dx IE MM Rϕ IEIEIE kis IE kis IE R ..3 4 3 1.1.3 . ..3 1 3 1.1.3 . . 1 3 .. . ..3 1 3 .. . . 1 10 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =ϕ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( R ) = ( 0 ) + X . ( 1 ) ⇒ ϕR1R = ϕR10 + X . ϕR11 IE X IE ..3 4 . ..6 305 0 ++= ⇒ 12,38 4 ..3 . ..6 305 −=−= IE IE X ∴ podemos assim afirmar que o momento fletor no apoio (1) assume o valor X . 1,0 kN.m , ou seja, vale –38,12 kN.m . O sinal negativo indica que ele assume sentido contrário ao escolhido na proposição do caso (1) . Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes 3,0 m3,0 m 0 1 2 1,0 M1 kN.m 1,0 X . CASO (1) 1,0 ϕR11
- 9. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 9 / 37 ∑ −= 12,381esqM ⇒ 5,1.3.201.303.12,38 0 −−+=− VR ⇒ 0 27,29VR kN= + ∑ −= 12,381dirM ⇒ 2.4.403.12,38 2 −+=− VR ⇒ 2 93,96VR kN= + ∑ = 0VF ⇒ 040.420.330210 =−−−+++ VVV RRR ⇒ 1 128,75VR kN= + ∑ = 0HF ⇒ 00 =HR 3,0 m 0 1 2 RV 0 RV 1 RV 2 RH 0 + – + – N 0 [kN] V ++ – – 27,29 42,71 12,71 62,71 66,04 40,00 53,96 [kN] + – M 18,62 38,12 16,42 [kN.m] 40 kN /m 3,0 m 2,0 m 30 kN 1,0 m 20 kN /m I 3.I 3.I + 1,365 1,35 20,00
- 10. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 10 / 37 EXERCÍCIO 03 : Na viga contínua esquematizada abaixo , calcular os diagramas de esforços internos solicitantes : Resolução : Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso Real) : Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos gráficos de momento fletor : 18 kN /m 4,0 m 3,0 m E , I → constantes 3,0 m 1,0 m 24 kN /m 18 kN /m 4,0 m 3,0 m3,0 m 24 kN /m 18 kN 9 kN.m X1 X2X2 X3X3 1 2 3 4 ϕ1R = 0 ϕR2R = 0 ϕR3R = 0 M0 kN.m 20,25 48,00 + M0 kN.m 9,00 CASO (0) 18 kN /m 4,0 m 3,0 m3,0 m 24 kN /m 18 kN 9 kN.m 1 2 3 4 ϕ10 ϕR20 ϕR30 20,25
- 11. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 11 / 37 Cálculo dos giros relativos ϕR20 , ϕR30 , ϕR21 , ϕR22 , ϕR23 , ϕR31 , ϕR32 , ϕR33 , e dos giros ϕ10 , ϕ11 , ϕ12 , ϕ13, por Castigliano : IEIE kis IE dxMM IE dx IE MM . 64 3 1.48.4 . . 1 3 .. . . 1 ... . 1 . . . 10 10 10 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ === ∫∫ϕ IEIE kis IE dxMM IE dx IE MM ..3 4 3 1.1.4 . . 1 3 .. . . 1 ... . 1 . . . 11 11 11 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ === ∫∫ϕ M1 kN.m 1,00 X1 . CASO (1) 4,0 m 3,0 m3,0 m 1,00 1 2 3 4 ϕ11 ϕR21 ϕR31 M2 kN.m 1,00 X2 . CASO (2) 4,0 m 3,0 m3,0 m 1,00 1 2 3 4 ϕ12 ϕR22 ϕR32 1,00 M3 kN.m 1,00 X3 . CASO (3) 4,0 m 3,0 m3,0 m 1,00 1 2 3 4 ϕ13 ϕR23 ϕR33 1,00
- 12. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 12 / 37 IEIE kis IE dxMM IE dx IE MM R ..3 2 6 1.1.4 . . 1 6 .. . . 1 ... . 1 . . . 21 21 2112 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ==== ∫∫ϕϕ 00. . 1 ... . 1 . . . 31 31 3113 ===== ∫∫ IE dxMM IE dx IE MM Rϕϕ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=== ∫∫ 3 1.25,20.3 3 1.48.4 . . 1 3 .. 3 .. . . 1 ... . 1 . . . 20 20 20 IE kiskis IE dxMM IE dx IE MM Rϕ IE R ..4 337 20 +=ϕ IEIE kiskis IE dxMM IE dx IE MM R ..3 7 3 1.1.3 3 1.1.4 . . 1 3 .. 3 .. . . 1 ... . 1 . . . 22 22 22 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=== ∫∫ϕ IEIE kis IE dxMM IE dx IE MM RR ..2 1 6 1.1.3 . . 1 6 .. . . 1 ... . 1 . . . 32 32 3223 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ==== ∫∫ϕϕ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+=== ∫∫ 6 .. 3 .. 3 .. . . 1 ... . 1 . . . 30 30 30 kiskiskis IE dxMM IE dx IE MM Rϕ IEIE R . 36 6 1.9.3 3 1.25,20.3 3 1.25,20.3 . . 1 30 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+=ϕ IEIE kiskis IE dxMM IE dx IE MM R . 2 3 1.1.3 3 1.1.3 . . 1 3 .. 3 .. . . 1 ... . 1 . . . 33 33 33 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=== ∫∫ϕ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) + X2 . ( 2 ) + X3 . ( 3 ) ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +++= +++= +++= 33332231130 23322221120 13312211110 ...0 ...0 ...0 RRRR RRRR XXX XXX XXX ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ resolvendo o sistema por forma matricial : ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 30 20 10 3 2 1 333231 232221 131211 R R RRR RRR X X X ϕ ϕ ϕ ϕϕϕ ϕϕϕ ϕϕϕ ⇒ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 00,36 25,84 00,64 00,250,00 50,033,267,0 067,033,1 3 2 1 X X X ∴ 23,12 07,23 47,36 3 2 1 −= −= −= X X X ∴ podemos assim afirmar que : o momento reativo no engaste (1) assume o valor X1 . 1,0 kN.m , ou seja, vale –36,47 kN.m ; o momento fletor no apoio (2) assume o valor X2 . 1,0 kN.m , ou seja,
- 13. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 13 / 37 vale –23,07 kN.m ; o momento fletor no apoio (3) assume o valor X3 . 1,0 kN.m , ou seja, vale –12,23 kN.m . O sinal negativo indica que os momentos assumem sentido contrário ao escolhido na proposição dos casos . Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes ∑ −= 07,232esqM ⇒ 2.4.244.47,3607,23 1 −+−=− VR ⇒ 1 51,35VR kN= + ∑ −= 23,123esqM ⇒ 5,1.3.183.2.4.247.35,5147,3623,12 2 −+−+−=− VR ⇒ 2 75,26VR kN= + ∑ −= 23,123dirM ⇒ 3.2.4.1823,12 4VR+−=− ⇒ 4 43,92VR kN= + ∑ −= 07,232dirM ⇒ 3.6.92,435,3.7.1807,23 3VR++−=− ⇒ 3 51,47VR kN= + ∑ = 0HF ⇒ 01 =HR ; 04 =HR RV 1 RV 3RV 2 RH 4 + – + – N 0 [kN] V ++ – – 51,35 44,65 2,14 m 23,39 30,61 18,0028,08 25,92 [kN] + – M 18,48 36,47 23,07 [kN.m] 18 kN /m 4,0 m 3,0 m3,0 m 1,0 m 24 kN /m RV 4 RH 1 – + + 1,70 m 1,56 m 2,95 12,23 9,67 9,00
- 14. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 14 / 37 EXERCÍCIO 04 : Na viga hiperestática esquematizada abaixo , calcular os diagramas de esforços internos solicitantes : Resolução : a) utilizando a flecha do apoio (1) para montagem da equação de compatibilidade : Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso Real) : Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos gráficos de momento fletor : Cálculo das flechas δ10 , δ11 por Castigliano : IEIE kis IE dxMM IE dx IE MM . 640 4 4.160.4 . . 1 4 .. . . 1 ... . 1 . . . 10 10 10 −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=== ∫∫δ 4,0 m E , I → constantes 20 kN /m 4,0 m X 20 kN /m 0 1 δ1R = 0 M0 kN.mCASO (0) 4,0 m 20 kN /m 0 1 δ10 M1 kN.mX . CASO (1) 4,0 m 0 1 δ11 1,0 kN 4 160
- 15. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 15 / 37 IEIE kis IE dxMM IE dx IE MM ..3 64 3 4.4.4 . . 1 3 .. . . 1 ... . 1 . . . 11 11 11 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ === ∫∫δ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( R ) = ( 0 ) + X . ( 1 ) ⇒ δ1R = δ10 + X . δ11 IE X IE ..3 64 . . 640 0 +−= ⇒ 00,30 64 ..3 . . 640 =+= IE IE X ∴ podemos assim afirmar que a reação vertical no apoio (1) assume o valor X . 1,0 kN , ou seja, vale 30,00 kN . O sinal positivo indica que ela assume o mesmo sentido escolhido na proposição do caso (1). Cálculo das Reações de Apoio ∑ = 00M ⇒ 02.4.204.300 =+−− RM ⇒ 0 40,00RM kN= + ∑ = 0VF ⇒ 020.4300 =−++ VR ⇒ 0 50,00VR kN= + ∑ = 0HF ⇒ 00 =HR b) utilizando o giro do engaste (1) para montagem da equação de compatibilidade : Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso Real) : Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos gráficos de momento fletor : 4,0 X 20 kN /m 21 ϕ1R = 0 M0 kN.mCASO 4,0 20 kN /m 21 ϕ10 M1 kN.mX . CASO (1) 4,0 21 ϕ11 1,0 kN.m 1 40
- 16. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 16 / 37 Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 por Castigliano : IEIE kis IE dxMM IE dx IE MM ..3 160 3 1.40.4 . . 1 3 .. . . 1 ... . 1 . . . 10 10 10 −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=== ∫∫ϕ IEIE kis IE dxMM IE dx IE MM ..3 4 3 1.1.4 . . 1 3 .. . . 1 ... . 1 . . . 11 11 11 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ === ∫∫ϕ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( R ) = ( 0 ) + X . ( 1 ) ⇒ ϕ1R = ϕ10 + X . ϕ11 IE X IE ..3 4 . ..3 160 0 +−= ⇒ 00,40 4 ..3 . ..3 160 =+= IE IE X ∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (1) assume o valor X . 1,0 kN.m , ou seja, vale 40,00 kN.m . O sinal positivo indica que ela assume o mesmo sentido escolhido na proposição do caso (1) . Cálculo das Reações de Apoio ∑ = 00M ⇒ 02.4.204.40 1 =+−− VR ⇒ 1 30,00VR kN= + ∑ = 0VF ⇒ 020.4300 =−++ VR ⇒ 0 50,00VR kN= + ∑ = 0HF ⇒ 00 =HR RV 0 RV 1 RH 0 + – + – N 0 [kN] V + – 50,0 30,0 [kN] + – M 22,50 40,00 2,50 m 4,0 0 20 kN /m MR0 Diagramas de Esforços Internos Solicitantes Nota : O exercício foi resolvido de duas maneiras possíveis para demonstrar o método , no caso poderia ser utilizada a resolução a) ou b) , que resultaram iguais como podemos comprovar no item de cálculo das reações.
- 17. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 17 / 37 EXERCÍCIO 05 : Na estrutura esquematizada abaixo , calcular as reações de apoio e os diagramas de esforços internos solicitantes : Resolução : Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso Real) : 32 kN /m 6,0 m E , I → constantes 3,0m2,0m 24 kN X1 ϕ1R = 0 32 kN /m 6,0 m E , I → constantes 3,0m2,0m 24 kN 2 1 3 4
- 18. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 18 / 37 Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos gráficos de momento fletor : CASO (0) ϕ10 32 kN /m 6,0 m 3,0m2,0m 24 kN 2 1 3 4 24 kN 116 kN 76 kN 116 06.3276 0 76 03.6.325.246. 0 24 024 0 1 1 2 2 1 1 1 = =−+ = = =−++ = = =−+ = ∑ ∑ ∑ V V V V V H H H R R F R R M R R F M0 [ kN.m ] 144,00 2 3 0 3 4 120,00 3 4 4 1 120,00
- 19. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 19 / 37 Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 , por Castigliano : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−=== ∫∫ 2 .. 3 .. 3 .. . . 1 ... . 1 . . . 10 10 10 kiskiskis IE dxMM IE dx IE MM ϕ IEIE . 252 2 120.1.5 3 120.1.6 3 144.1.6 . . 1 10 −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−=ϕ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=== ∫∫ kis kis IE dxMM IE dx IE MM .. 3 .. . . 1 ... . 1 . . . 11 11 11ϕ IEIE . 7 1.1.5 3 1.1.6 . . 1 11 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=ϕ X1 . CASO (1) 1,00 ϕ11 6,0 m 3,0m2,0m 2 1 3 4 0 1 /6 kN 6 1 1 6 1 1 6 1 2 2 1 1 0 0 016. 0 0 0 = =+− = = =−+ = = = ∑ ∑ ∑ V V V V V H H R R F R R M R F 1 /6 kN M1 [ kN.m ] 2 3 0 3 4 1,00 4 11,00 1,00
- 20. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 20 / 37 Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) ⇒ 11110 .0 ϕϕ X+= ⇒ 11 10 1 ϕ ϕ −=X 00,36 7 . . 252 1 =⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−= IE IE X ∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (1) assume o valor X1 . 1,0 kN.m , ou seja, vale 36,00 kN.m . O sinal positivo indica que o momento assume o mesmo sentido ao escolhido na proposição dos casos . Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes ( )1 61 116,00 36,00. 110,00VR kN= + − = ( )1 24,00 36,00. 0 24,00HR kN= + = ( )1 62 76,00 36,00. 82,00VR kN= + + = 82,00 82,00 – – 110,00 110,00 0 N [ kN ] 82,00 – 110,00 24,00 0 V [ kN ] + + 24,00 2,56 m
- 21. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 21 / 37 EXERCÍCIO 06 : Na estrutura esquematizada abaixo , calcular as reações de apoio e os diagramas de esforços internos solicitantes : Resolução : Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso Real) : 84,00 84,00 105,06 36,00 0 M [ kN.m ] 2,56 m 36 kN /m 4,0 m E , I → constantes 2,0m2,0m18 kN
- 22. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 22 / 37 Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos gráficos de momento fletor : CASO (0) 90 04.3654 0 54 02.4.364.184. 0 18 018 0 1 1 2 2 1 1 1 = =−+ = = =+−− = = =+− = ∑ ∑ ∑ V V V V V H H H R R F R R M R R F X1 ϕ1R = 0 2 1 34 36 kN /m 4,0 m E , I → constantes 2,0m2,0m 18 kN ϕ1018 kN 90 kN 54 kN 2 1 34 36 kN /m 4,0 m 2,0m2,0m 18 kN
- 23. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 23 / 37 1,00 M0 [ kN.m ] 72,00 2 3 0 34 72,00 34 4 1 72,00 X1 . CASO (1) 4 1 1 4 1 1 4 1 2 2 1 1 0 0 014. 0 0 0 = =− = = =−+ = = = ∑ ∑ ∑ V V V V V H H R R F R R M R F M1 [ kN.m ] 2 3 034 1,004 11,00 1,00 1,00 ϕ11 1 /4 kN 1 /4 kN 0 2 1 34 4,0 m 2,0m2,0m
- 24. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 24 / 37 Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 , por Castigliano : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−=== ∫∫ 2 .. 3 .. 3 .. . . 1 ... . 1 . . . 10 10 10 kiskiskis IE dxMM IE dx IE MM ϕ IEIE . 144 2 72.1.4 3 72.1.4 3 72.1.4 . . 1 10 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++−=ϕ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=== ∫∫ kis kis IE dxMM IE dx IE MM .. 3 .. . . 1 ... . 1 . . . 11 11 11ϕ IEIE ..3 16 1.1.4 3 1.1.4 . . 1 11 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=ϕ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) ⇒ 11110 .0 ϕϕ X+= ⇒ 11 10 1 ϕ ϕ −=X 00,27 16 ..3 . 144 1 −=⋅−= IE IE X ∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (1) assume o valor X1 . 1,0 kN.m , ou seja, vale 27,00 kN.m . O sinal negativo indica que o momento assume o sentido contrário ao escolhido na proposição dos casos . Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes ( )1 41 90,00 27,00. 83,25VR kN= − + = ( )1 18,00 27,00. 0 18,00HR kN= − = ( )1 42 54,00 27,00. 60,75VR kN= − − =
- 25. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 25 / 37 83,25 83,25 – – 60,75 60,75 0 N [ kN ] 83,25 60,75 V [ kN ] + 1,69 m 18,00 18,00 – – 0 45,00 51,26 M [ kN.m ] 1,69 m 27,00 45,00 0
- 26. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 26 / 37 EXERCÍCIO 07 : Na estrutura esquematizada abaixo , calcular as reações de apoio e os diagramas de esforços internos solicitantes : Resolução : Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso Real) : 13 kN /m 4,0 m E , I → constantes 2,5m2,5m 17 kN 4,0m1,0m 21 kN X2 ϕ2R = 0 21 3 4 13 kN /m 4,0 m 2,5m2,5m 17 kN 4,0m1,0m 21 kN X1 δ1R = 0
- 27. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 27 / 37 Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica , Caso (1) e Caso (2) , com seus respectivos gráficos de momento fletor : CASO (0) 38,36 04.1362,15 0 62,15 04.212.4.135,2.174. 0 4 02117 0 1 1 2 2 1 2 2 = =−+ = = =−++− = = =+−+ = ∑ ∑ ∑ V V V V V H H H R R F R R M R R F 15,62 kN 4,00 kN 36,38 kN ϕ20 21 3 4 13 kN /m 4,0 m 2,5m2,5m 17 kN 4,0m1,0m 21 kN δ10 M0 [ kN.m ] 26,00 1 3 0 3 4 42,50 3 4 4 2 42,50 1,00 20,00 4 2 21,00 0
- 28. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 28 / 37 X1 . CASO (1) 0 00 0 0 04. 0 1 01 0 1 1 2 2 1 2 2 = =+ = = =+ = = =− = ∑ ∑ ∑ V V V V V H H H R R F R R M R R F 0 1,00 kN 0 ϕ21 21 3 4 4,0 m 5,0m δ11 1,00 kN M1 [ kN.m ] 3 4 5,00 4 2 5,00 5,003 1 5,00
- 29. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 29 / 37 Cálculo dos giros ϕ20 , ϕ21 , ϕ22 , edas flechas δ10 , δ11 , δ12 , por Castigliano : ∫∫ == dxMM IE dx IE MM ... . 1 . . . 10 10 10δ ( ) ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −++−+++= 3 .. .2. 6 . 3 .. . 2 . .2. 6 . . . 1 21212110 kis kk iskis kk is kk is IE δ ( ) ( ) ( ) IEIE . 02,192 3 5.20.5 45.2. 6 21.1 3 5.26.8 15,42. 2 5.4 5,25.2. 6 5,42.5,2 . . 1 10 +=⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −++−+++=δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++=== ∫∫ 3 .. .. 3 .. . . 1 ... . 1 . . . 11 11 11 kis kis kis IE dxMM IE dx IE MM δ X2 . CASO (2) 4 1 1 4 1 1 4 1 2 2 1 2 0 0 014. 0 0 0 = =− = = =−+ = = = ∑ ∑ ∑ V V V V V H H R R F R R M R F 0 1,00 kN.m ϕ22 21 3 4 4,0 m 5,0m δ12 1 /4 kN 1 /4 kN M2 [ kN.m ] 3 4 0 4 2 1,00 1,00 3 1 1,00
- 30. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 30 / 37 IEIE . 33,183 3 5.5.5 5.5.4 3 5.5.5 . . 1 11 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++=δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−==== ∫∫ 2 .. 2 .. . . 1 ... . 1 . . . 21 21 2112 kiskis IE dxMM IE dx IE MM ϕδ IEIE . 50,22 2 5.1.5 2 1.5.4 . . 1 2112 −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−== ϕδ ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −+++−=== ∫∫ 2 .. 2 .. 3 .. .2. 6 . . . 1 ... . 1 . . . 2120 20 20 kiskiskis kk is IE dxMM IE dx IE MM ϕ ( ) IEIE . 50,44 2 1.21.1 2 1.20.5 3 26.1.4 5,421.2. 6 1.4 . . 1 20 +=⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −+++−=ϕ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=== ∫∫ kis kis IE dxMM IE dx IE MM .. 3 .. . . 1 ... . 1 . . . 22 22 22ϕ IEIE . 33,6 1.1.5 3 1.1.4 . . 1 22 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=ϕ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) + X2 . ( 2 ) ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ ++= ++= 222211202 122111101 .. .. ϕϕϕϕ δδδδ XX XX R R ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ +−= −+= 21 21 . . 33,6 . . 50,22 . 50,44 0 . . 50,22 . . 33,183 . 02,192 0 X IE X IEIE X IE X IEIE ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ +−=− −=− 21 21 .33,6.50,2250,44 .50,22.33,18302,192 XX XX ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ −= −= 074,19 388,3 2 1 X X ∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (2) assume o valor X2 . 1,0 kN.m , ou seja, vale 19,07 kN.m ; e a reação horizontal no apoio (1) assume o valor X1 . 1,0 kN, ou seja , vale 3,39 kN. O sinais negativos indicam que o momento e a reação horizontal assumem o sentido contrário ao escolhido na proposição dos casos . Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes ( )1 41 36,38 3,388.0 19,074. 31,61VR kN= − − + = ( )2 4,00 3,388. 1 19,074.0 7,39HR kN= − − − = ( )1 42 15,62 3,388.0 19,074. 20,39VR kN= − − − =
- 31. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 31 / 37 31,61 31,61 – – 20,39 20,39 N [ kN ] – 13,61 13,61 31,61 – 3,39 V [ kN ] + + 13,61 2,43 m – + 3,39 13,61 13,61 7,39 20,39 13,617,39 – 19,07 3,14 8,48 M [ kN.m ] 25,55 1,57 m 10,49 3,14 25,55 12,86
- 32. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 32 / 37 EXERCÍCIO 08 : Na estrutura esquematizada abaixo , calcular as reações de apoio e os diagramas de esforços internos solicitantes : Resolução : Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso Real) : 20 kN /m 4,0 m E → constante 2,0m2,0m 40 kN 6,0m 2,0 m I I I 2.I X1 ϕ1R = 0 2 1 3 4 20 kN /m 4,0 m 2,0m2,0m 40 kN 6,0m I I 2.I 40 kN 40 kN.m X2 δ2R = 0
- 33. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 33 / 37 Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica , Caso (1) e Caso (2) , com seus respectivos gráficos de momento fletor : CASO (0) 70 0404.2050 0 50 0404.402.4.204.404. 0 40 040 0 1 1 2 2 1 1 1 = =−−+ = = =+++−− = = =+− = ∑ ∑ ∑ V V V V V H H H R R F R R M R R F M0 [ kN.m ] 40,00 2 4 0 43 240,00 43 3 1 240,00 50 KN 40 KN 70 KN ϕ10 2 1 3 4 20 KN /m 4,0 m 2,0m2,0m 40 kN 6,0m I I 2.I 40 kN 40 kN.m δ20 120,00 80,00
- 34. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 34 / 37 X1 . CASO (1) 4 1 1 4 1 1 4 1 2 2 1 1 0 0 014. 0 0 0 = =− = = =−+ = = = ∑ ∑ ∑ V V V V V H H R R F R R M R F M1 [ kN.m ] 2 4 043 1,003 11,00 1,00 1,00 1 /4 kN 1 /4 kN 0 ϕ11 2 1 3 4 4,0 m 2,0m2,0m 6,0m I I 2.I δ21
- 35. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 35 / 37 Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 , ϕ12 , edas flechas δ20 , δ21 , δ22 , por Castigliano : ∫∫ += 2 3 10 3 1 1010 ... . 1 ... ..2 1 dxMM IE dxMM IE ϕ ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −++⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 .. .2. 6 . . . 1 2 .. . ..2 1 21 kis kk is IE kis IE ( ) IEIEIE ..3 2120 3 1.40.4 120240.2. 6 1.4 . . 1 2 1.240.6 . ..2 1 10 =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −++⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =ϕ ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=+= ∫∫ 3 .. . . 1 ... ..2 1 ... . 1 ... ..2 1 2 3 10 3 1 1011 kis IE kis IE dxMM IE dxMM IE ϕ ( ) IEIEIE ..3 13 3 1.1.4 . . 1 1.1.6. ..2 1 11 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=ϕ X2 . CASO (2) 5,0 05,0 0 5,0 02.14. 0 1 01 0 1 1 2 2 1 1 1 = =+− = = =+− = = =− = ∑ ∑ ∑ V V V V V H H H R R F R R M R R F M2 [ kN.m ] 2 4 43 4,00 3 1 6,00 6,00 1,00 1,00 kN 0,5 kN 0,5 kN ϕ12 2 1 3 4 4,0 m 2,0m2,0m 6,0m I I 2.I δ22 4,00
- 36. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 36 / 37 ( )⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=+== ∫∫ 21 2 3 21 3 1 212112 .2. 6 . . . 1 2 .. . ..2 1 ... . 1 ... ..2 1 kk is IE kis IE dxMM IE dxMM IE δϕ ( ) IEIEIE ..3 59 46.2. 6 1.4 . . 1 2 1.6.6 . ..2 1 2112 −=⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −== δϕ ∫∫ += 2 3 20 3 1 2020 ... . 1 ... ..2 1 dxMM IE dxMM IE δ ( ) ( ) ( )⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−+++−++⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= 21221221112120 .2. 6 . ..2....2. 6 . 3 . . . 1 3 .. . ..2 1 kk is kikikiki s kk is IE kis IE δ ( ) ( ) ( )⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−+++−++⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= 24.2. 6 80.2 120.4.26.1204.240240.6.2. 6 4 46. 3 40.4 . . 1 3 240.6.6 . ..2 1 20 IEIE δ IE..3 14560 20 −=δ ∫∫ += 2 3 22 3 1 2222 ... . 1 ... ..2 1 dxMM IE dxMM IE δ ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +++++⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 22122111 ..2....2. 63 .. . . 1 3 .. . ..2 1 kikikiki skis IE kis IE ( ) IEIEIE ..3 476 4.4.26.44.66.6.2. 6 4 3 4.4.4 . . 1 3 6.6.6 . ..2 1 22 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +++++⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =δ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) + X2 . ( 2 ) ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ ++= ++= 222211202 122111101 .. .. δδδδ ϕϕϕϕ XX XX R R ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ +−−= −+= 21 21 . ..3 476 . ..3 59 ..3 14560 0 . ..3 59 . ..3 13 ..3 2120 0 X IE X IEIE X IE X IEIE ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ +−= −=− 21 21 .476.5914560 .59.132120 XX XX ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ += −= 716,23 441,55 2 1 X X ∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (1) assume o valor X1 . 1,0 kN.m , ou seja, vale 55,44 kN.m , sendo que o sinal negativo indica que o momento assume sentido contrário ao escolhido na proposição dos casos ; e a reação horizontal no apoio (2) assume o valor X2 . 1,0 kN, ou seja , vale 23,72 kN , o sinal positivo indica que a reação horizontal assume o sentido o escolhido na proposição dos casos .
- 37. ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 37 / 37 Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes ( )1 70,00 55,441.0,25 23,716. 0,50 44,28VR kN= − + − = ( )1 40,00 55,441.0 23,716. 1,00 16,28HR kN= − + − = ( )2 50,00 55,441. 0,25 23,716.0,50 75,72VR kN= − − + = 44,28 44,28 – – 75,72 75,72 N [ kN ] – 16,28 16,28 0 44,28 – 16,28 V [ kN ] + + 23,72 2,21 m – + 40,00 16,28 35,72 16,28 23,72 16,28 – 47,44 25,12 55,44 M [ kN.m ] 42,24 2,21 m 14,88 40,00 42,24 6,78