Apostila matematica aplicada

Apostila de Matemática Aplicada

Volume 1 – Edição 2004

Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna

1

Capítulo 1 - Revisão

Neste capítulo será feita uma revisão através da resolução de alguns exercícios,
dos principais tópicos já estudados.

Os tópicos selecionados para esta revisão são:

Cálculo Numérico;
Cálculo com Números percentuais;
Cálculo algébrico;
Equações e Sistemas do 1o grau;
Equações e Sistemas do 2o grau.

1.1 Cálculo Numérico

Operações com frações

Adição e Subtração: usamos o menor múltiplo comum.

1 3 1 15 + 18 − 5 28 14
+ − = = =
2 5 6 30 30 15

Multiplicação: O produto de duas frações é uma fração que tem por numerdor o
produto dos numeradores e que tem por denominador o produto dos
denominadores.

3 2 6 3
× = =
4 5 20 10

Divisão: O quociente de duas frações é uma fração resultante do produto da
primeira fração pelo inverso da segunda fração.

1 3 1 4 4 2
÷ = × = =
2 4 2 3 6 3

Cálculo do valor de expressões numéricas: deve-se obedecer à prioridade dos
sinais indicativos e das operações matemáticas.

Prioridade dos Sinais Prioridade das Operações
1 ( ) 1 Exponenciação e Logaritmação
2 [ ] 2 Potenciação e Radiciação
3 { } 3 Multiplicação e Divisão
4 Adição e Subtração

2

Calcule o valor numérico das expressões:

a) 2 + {5[3 − (5 − 10) + 1] + 4} − 3

R: 48
4 71 4 1
b) +  + −
3 52 9 5

R: 221/90 ou 2,46
 43 1   17 2 
c)  +  ×  − 
 11 10   8 5 

R: 30429/4400 ou 6,92
47 
 − 1
53 
d) 2
−3
9

R: -48/125 ou - 0,38
3

   1  
e) 3− 1 + 12  − 13 + 41 −  − 1 − 1
  3  

R: -414
Potenciação

Potenciação de expoente inteiro: Seja a um número real e m e n números
inteiros positivos. Então:

a n = a.a.a.a.....a (n vezes) a n ⋅ a m = a m+ n
a0 =1 a n ÷ ⋅a m = a m − n → a ≠ 0
a1 = a (a )
m n
= a m ⋅n
1 a
n
an
a −n = →a ≠0   = n →b≠0
a b b

1
a) + 5 3 − 2 −4
4

R: 2003/16 ou 125,1875
−3 −5
b) 2 + ( −4)

R: 127/1024
4

c) 14 + (−2)4 − (−2)3 + 07 + 320 + 8 ⋅ 2

R: 42
−2
4 1  1
d)  − + 1 +
1 + 3 2 − (4 − 5)
−2
5 2 

R: 1069/1521
Potenciação de expoente não inteiro: Toda raiz pode ser escrita na forma de
potência.

1
n
a =a n

m
n
am = a n

Observação: se n for par e se a < 0, não caracteriza um número real:
− 25 ∉ R

a) − ( −2) + ( −1) − 25 − 3 − 5 ÷ 25
3 0 2 3

R: 0
− (−2) − 272 3
b)
(−3 + 5)0 − 2

R: 7

5

Exercícios
1) Calcule o valor das expressões:

2 3
1 4 2 2
a)   × + ÷  
4 5 5 3

R: 7/5
 1 1
1 − 
 2 5
b) + 2
3  4
4 1 − 
 5

R: 17/3
1  1
c) + 0,19 ÷  4 − 0,8 ÷ 0,5 − 
4  2

R: 7/20
0,1 − 0,01
d)
0,2 − 0,02

R: 1/2

6

2) Aplicando as propriedades das potências, simplifique as expressões:

256 ⋅ 4 9 9 3 ⋅ 27 4 ⋅ 3 −7
a) b)
87 1
⋅ 243 2
3

125 6 ⋅ 25 −3 12 ⋅10 −3 ⋅ 10 −4 ⋅ 10 9
c) d)
(5 )2 −3
⋅ 25 7 3 ⋅10 −1 ⋅ 10 4

Respostas: a) 2 5 = 32 b) 32 = 9 c) 54 = 625 d) 0,4

3) Escreva os números abaixo como o produto de um número inteiro por uma
potência de 10:

a) 0,3 = b) 3000 = c) 0,005 =

d) 0,0625 = e) 3,45 = f) 8000000 =

4) Calcule o valor de:

6 4
a) 64 = b) 81=

1 1
c) 25 2 = d) 8 3

7

5) Calcule o valor das expressões:

1 1 −23
a) − 3 8 + 16 4 − (−2) + 27 3 b) 4 ⋅ 0,5 4 + 0,25 + 8

R: a) 5 b) 1

6) Simplifique os radicais:

3
a) 2352 b) 32 c) 5 1024

R: a) 28 3 b) 23 4 c) 4

7) Racionalize os denominadores das expressões:

1 5 1
a) b) c) 3
3 2 5 2

1 2
d) e)
5−2 2+ 3

8

8) Efetue:

2+ 3 2− 3 1 1 1
a) + b) + −
1− 5 1+ 5 2 18 8

− 2 − 15 5 2
Respostas: a) b)
2 12

1.2 Cálculo com Números Percentuais

Os números percentuais são identificados pela notação % e aparecem com muita
freqüência.

Para transformar um número percentual em um número real, devemos dividi-lo
por 100.

70 % = 70 / 100 = 0,7
5 % = 5 / 100 = 0,05
200 % = 200 / 100 = 2

Para transformar um número real em um número percentual, devemos
multiplica-lo por 100.

0,43 => 0,43 x 100 = 43 %
1 => 1 x 100 = 100 %

Exercícios:
a) Calcular 20 % de R$ 1.700,00

R: R$ 340,00
9

b) Uma mercadoria foi comprada por R$ 50,00 e vendida por R$ 80,00.
Determine a taxa de lucro sobre o preço de compra e a taxa de lucro sobre o
preço de venda.
p
Utilize = i , onde p é a parte; P é o todo (ou principal) e i é a taxa na forma
Ρ
real

R: a) 60 % b) 37,5 %
c) Um comerciante remarcou em 5% o preço de suas mercadorias. Qual é o
novo preço de uma mercadoria que era vendida por R$ 70,00.

R: R$ 73,50
d) Um vestido estava exposto em uma loja com preço de etiqueta de R$ 210,00.
Um cliente, alegando que faria pagamento à vista, solicitou um desconto de 15
% e foi atendido. Quanto pagou pelo vestido ?

R: R$ 178,50
e) Um funcionário recebe um salário base de R$ 800,00. Recebe um adicional
de 5 % por tempo de serviço sobre o salário base. Recebe também uma
gratificação de chefia de 30 % sobre o salário base. Desconta-se 10 % de INSS
sobre o salário total. Quanto recebe esse funcionário ?

R: R$ 972,00
10

f) Uma pessoa recebe mensalmente R$ 2.500,00 de salário de uma empresa.
Recebe R$ 1.500,00 de aluguel de um ponto comercial e R$ 1.000,00 de
rendimento de aplicações financeiras. Qual a participação percentual de cada
fonte em sua renda total ?

R: 50 % , 30 % , 20 %

1.3 Cálculo algébrico.

1) Calcule os valor numérico das expressões:

a) a 3 + b3 − 2a 2 + 4ab + 1 , para a = 2 e b = -3

xy − x 2 1 1
b) , para x = − e y=
y 10 100

11
Resposta: a) 29 b) −
100

2) Simplifique as expressões reduzindo-as ao máximo:

( ) ( ) (
a) 3 a 2 + a + 1 + 2 a 2 + 2a − 2 − a 2 + 3a − 3 )

11

b) a (a + b − c) + b(b + c − a ) + c(a − b + c)

Respostas: a) 4a 2 + 4a + 2 b) a 2 + b 2 + c 2

Produtos notáveis:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b) ⋅ (a − b ) = a 2 − b 2

3) Desenvolva os seguintes produtos notáveis:

a) (2x + 3) b) (3x − y )
2 2

c) (5x + 1)⋅ (5x − 1) ( )(
d) 2a 2 + 3b ⋅ 2a 2 − 3b )
4) Simplifique as expressões:

a) (x − 2) + x 2 − 2(x − 1)
2 2

b) (m − 1) − (m + 1)⋅ (m − 1)
2

3x 4 − 10x 2
c)
x5 − x2

12

x 2 − 16
d)
x+4

e)
(x + 3)2
x2 − 9

xy 2 − x 2 y
f)
2 xy

x 2 + 10x + 25
g)
x+5

x 2 + 6x + 9
h)
2x + 6

y − z y2 − z2
i) ÷
x + w x2 − w2

3x 2 − 10 x+3 y−x
Respostas: a) 2 b) -2m+2 c) d) x − 4 e) f)
x3 −1 x−3 2
x+3 x−w
g) x+5 h) i)
2 y+z
13

5) Efetue as operações indicadas:

a)
x+3
⋅
(x + 1) 2

2(x + 1) (x + 3)⋅ (x − 3)

1− x
1− x +
b) 1+ x
1 1
+
1− x 1− x 2

x +1
b) (1 − x )
2
Respostas: a)
2(x − 3)

1.3 Equações e sistemas do 1o grau.

1) Resolva as equações:

x − 2 2x + 8
a) + =5
4 5

14

x +1 x − 2 17
b) − = 2
x x +1 x + x

Respostas: a) x = 6 b) x = 4

2) Um produto teve seu preço aumentado em 20% para pagamento a prazo,
resultando em um total de R$ 600,00. Qual era o preço a vista do produto?

R: 500

3) Duas pessoas tem juntas R$ 135,00. Quanto cada uma possui, sabendo-se que
uma possui o dobro da outra?

R: 45 e 90

4) Uma pessoa fez um acordo com uma administradora para pagar o saldo de
seu cartão de crédito em três vezes sem juros. O primeiro pagamento
corresponde à metade da dívida e o segundo pagamento. R$ 300,00. Qual o
valor da dívida, se o último pagamento era de 20 % da dívida original?

R: 1000

15

5) Resolva os sistemas de equações do 1o grau

x + y = 5
a) 
3x − y = 11

2 x + 3 y = 8
b) 
5x − 2 y = 1

2x − 9 y = −47
c) 
− x + 20 y = 101

Respostas: a) 4 , 1 b) 1 , 2 c) -1 , 5

6) A soma de dois números é 21 e a sua diferença é 51. Calcule os dois números.

Resposta: -15 e 36

16

7) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e pede 3 pontos por
exercício que erra. Ao fim de 50 exercícios tinha 130 pontos. Quantos exercícios
ele acertou?

Resposta: 35

8) A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos. Daqui a dois anos, a
mais velha terá o dobro da idade da mais nova. Qual é a idade de cada uma?

R: 28 e 13 anos

1.4 Equações e sistemas do 2o grau.

1) Resolva as equações:

a) 2x 2 − 50 = 0 b) (2x + 1) − 5(x + 1) + 4 = 0
2

x −3 1
c) +1 = d) 5x 2 + 6x + 1 = 0
x2 −4 x−2

Resposta: a) -5, 5 b) 0, 3/2 c) -3, 3 d) -1, -1/5

17

2) Resolva os seguintes sistemas de equações:

x + y = 2
a)  2
x + y 2 = 10

x + y = 9
b)  2
x + y 2 − 2x − 2 y = 23

Respostas: a) (-1;3),(3;-1) b) (4;5) , (5;4)

3) Resolva:

a) x 4 + x 2 − 2 = 0

b) x 2 − 5x − 20 = 2

c) 2x 2 + x − 6 = x + 2

Respostas: a) -1, 1 b) -3, 8 c) -2, 5

18

4) Um jardim de forma retangular tem 96 m2 de área. Se aumentarmos o
comprimento desse jardim em 3 m e a largura em 2 m, a área do jardim passa a
ter 150 m2. Calcule as dimensões originais do jardim.

Resposta: c = 12 m e l = 8 m

19

Capítulo 2 - Funções

2.1 Definição

Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x,y) no qual duas
duplas ordenadas distintas não podem ter o mesmo primeiro número, ou seja,
garante que y seja único para um valor específico de x. Em outras palavras, o
valor de y depende do valor de x.

Exemplo: a área de um quadrado é função do comprimento do seu lado; o
salário é função das horas trabalhadas; o número de unidades de certo produto
demandadas pelos consumidores depende de seu preço; etc.

2.2 Sistema Cartesiano Ortogonal

É um sistema constituído por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si. O eixo x
é denominado eixo das abscissas e o eixo y é o eixo das ordenadas. Esses eixos
dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.

y

2o Quadrante 1o Quadrante
b P(a,b)

a x

3o Quadrante 4o Quadrante

Esse sistema é utilizado para localizar um ponto no plano; assim, o ponto P(a,b)
indicado na figura tem abscissa a e ordenada b. (a,b) é denominado par
ordenado e representam as coordenadas do ponto P.

20

2.3 Função Polinomial do 1o grau

Toda função polinomial representada pela fórmula f(x) = ax+b ou y = ax+b,
definida para todo a,b e x reais e com a diferente de zero, é denominada função
do 1o grau.

Exercício: Construa no plano cartesiano o gráfico da seguinte função:

y = 2x-1

x -2 -1 0 1 2 3
y

y

x

Observação:

1) para a > 0 a função do 1o grau é crescente, e para a < 0 ela é decrescente.

2) denomina-se zero ou raiz da função f(x)=ax+b o valor de x que anula a
função, isto é, torna f(x)=0

Exercício: Calcule a raiz da função do exemplo acima:

2.4 Função Polinomial do 2o grau

Toda função polinomial representada pela fórmula f(x) = ax2+bx+c ou
y = ax2+bx+c, definida para todo a,b,c e x reais e com a diferente de zero, é
denominada função do 2o grau ou função quadrática.

21

Exercício: Construa no plano cartesiano o gráfico da seguinte função:

a) y = x2 - 2x - 3

X -2 -1 0 1 2 3 4
Y

y

x

b) y = - x2 + 2x + 3

X -2 -1 0 1 2 3 4
Y

y

x

22

Observação:

1) para a > 0 o gráfico da função do 2o grau é uma parábola com concavidade
voltada para cima, e para a < 0 ela é uma parábola com concavidade voltada
para baixo.

2) denomina-se zero ou raiz da função f(x)=ax2 + bx + c o valor de x que anula a
função, isto é, torna f(x)=0

3) no cálculo das raízes tem-se:
Se ∆ >0 a função tem duas raízes (zeros) diferentes
Se ∆ =0 a função tem uma raiz (zero)
Se ∆ <0 a função não tem raízes (zeros)

 b ∆
4) o vértice da parábola é um ponto que é determinado por  − ,− 
 2a 4a 
5) quando a > 0 (concavidade para cima), o vértice é o ponto de mínimo da
função. Quando a < 0 (concavidade para baixo), o vértice é o ponto de máximo
da função.

Exercícios: Construa no plano cartesiano o gráfico das seguintes funções e
determine os pontos de máximo ou de mínimo, conforme o caso:

a) y = - x2 + 2x - 4

X -1 0 1 2 3
Y
y
x

23

b) y = 2x2

X -2 -1 0 1 2
Y
y

x

Capítulo 3 - Estudo da Reta

3.1 Condição de alinhamento de 3 pontos

Se três pontos estão alinhados, ou seja, pertencem a mesma reta, deve-se
satisfazer a seguinte condição:

y 2 − y1 y3 − y1
=
x 2 − x1 x 3 − x1

y

y3 C
y2 B

y1 A

x1 x2 x3 x

24

Exercício: Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados:

a) A(-2,6) B(4,8) C(1,7) b) A(0,2) B(-3,1) C(4,5)

3.2 Coeficiente angular ou inclinação de uma reta (m).

É o valor que expressa a tangente trigonométrica do ângulo de inclinação da
reta.

y 2 − y1
m=
x 2 − x1
Obs: Duas retas são paralelas quando seus respectivos valores de m forem
1
iguais. Quando forem perpendiculares m1 = −
m2

y y y

m>0 m=0 m<0

x x x

Observação: quando a reta ficar na vertical, todos os seus pontos possuem a
mesma abscissa (x1 = x2), e o valor de m tende ao infinito.

3.3 Equação geral e reduzida de uma reta.

A equação geral é do seguinte formato:

(y − y1 ) = m(x − x1 ) ,
resultando em:
ax + by + c = 0

25

Exemplo: Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-1,-2) e B(5,2).

Solução: primeiro determina-se o valor de m.

y 2 − y1 2 − (−2) 4 2
m= = = =
x 2 − x1 5 − (−1) 6 3

Utilizando o ponto A:

(y − y1 ) = m(x − x 1 )
(y − (−2)) = 2 (x − (−1))
3
(y + 2) = 2 (x + 1)
3
3(y + 2 ) = 2(x + 1)
3y + 6 = 2x + 2
− 2 x + 3y + 6 − 2 = 0
2 x − 3y − 4 = 0

A equação reduzida é da seguinte forma:

y = mx + b
o que graficamente pode ser representado por:
y

b

x

No exemplo anterior tem-se utilizando m = 2/3 e o ponto A:
(y − y1 ) = m(x − x 1 ) ⇒ (y − (−2)) = 2 (x − (−1) ) ⇒
3
(y + 2) = 2 (x + 1) ⇒ y + 2 = 2 x + 2 ⇒
3 3 3
2 2 2 4
y = x+ −2⇒ y = x−
3 3 3 3

26

Exercícios:
1) Dada a reta de equação 2x - y + 5 = 0, escreva a equação da reta paralela à
reta dada e que passa pelo ponto A(-2,2)

Resposta: 2x -y + 6 = 0

2) São dados os pontos A(4,3) e B(-2,-5). Determine a equação da reta t, que
passa pelo ponto C(8,-6) e que é paralela à reta determinada pelos pontos A e B.

Resposta: 4x - 3y -50 = 0

3.4 Interseção de retas.

Consideremos duas retas r e s, que se interceptam num ponto P(a,b). Como o
ponto P deve pertencer as duas retas, suas coordenadas (a,b) devem satisfazer as
equações das duas retas, simultaneamente. Portanto, obtemos as coordenada
(a,b) do ponto P, resolvendo o sistema formado pelas equações das duas retas.

Exemplo: Determine o ponto de interseção das retas x + y−4 = 0e
2x − y + 1 = 0

x + y − 4 = 0

2x − y + 1 = 0
___________
3x − 3 = 0 ⇒ x = 1
1+ y − 4 = 0 ⇒ y = 3
P(1,3)

27

Pode-se também igualar as equações na sua forma reduzida:

x + y − 4 = 0 ⇒ y = − x + 4

2x − y + 1 = 0 ⇒ y = 2x + 1
− x + 4 = 2x + 1
− x − 2x = 1 − 4
− 3x = −3
x =1⇒ y = 3

3.5 Aplicação em administração

Exemplo: Uma empresa investe R$ 1800 em equipamentos. O contador da
empresa usa o método da linha reta para a depreciação em 10 anos, que é a
estimativa de vida do equipamento, isto é, o valor contábil do equipamento
decresce a uma taxa constante, de tal forma que ao fim dos 10 anos aquele valor
contábil será zero. Suponhamos que o valor contábil do equipamento seja y ao
fim de x anos. Assim, quando x =0 , y = 1800, e quando x = 10 , y = 0. A
equação da reta que dá a relação entre x e y é a da reta que une os pontos
(0,1800) e (10,0), então:

y 2 − y 1 0 − 1800
m= = = −180
x 2 − x1 10 − 0

Utilizando o ponto (10,0):

(y − y1 ) = m(x − x 1 )
(y − 0) = −180(x − 10)
y = −180x + 1800

Observe que a inclinação da reta é -180, e este número dá a quantia segundo a
qual o valor contábil muda a cada ano; decresce R$ 180 por ano.

Exercícios:
1) Uma companhia comprou uma máquina no valor de R$ 15000. Sabe-se que o
valor residual após 10 anos será de R$ 2000. Usando o método da linha reta para
depreciar a máquina de R$ 15000 para R$ 2000 em 10 anos, qual o valor da
maquinaria depois de 6 anos ?

28

Resposta: R$ 7200

2) O fabricante de determinada mercadoria tem um custo total consistindo de
despesas gerais semanais de R$ 3000 e um custo de manufatura de R$ 25 por
unidade. (a) Se x unidades são produzidas por semana e y é o custo total
semanal, escreva uma equação relacionando x e y. (b) Faça um esboço do
gráfico da equação obtida em (a).

3) O custo total para um fabricante consiste de um custo de manufatura de R$ 20
por unidade e de uma despesa diária fixa. (a) Se o custo total para produzir 200
unidades em 1 dia é de R$ 4500, determine a despesa fixa diária. (b) Se x
unidades são produzidas diariamente e y é o custo total diário, escreva uma
equação relacionando x e y. (c) Faça um esboço do gráfico da equação obtida em
(b).

29

4) Uma fábrica de equipamentos eletrônicos está colocando um novo produto no
mercado. Durante o primeiro ano o custo fixo para iniciar a nova produção é de
R$ 140.000 e o custo variável para produzir cada unidade é R$ 25. Durante o
primeiro ano o preço de venda é de R$ 65 por unidade. (a) Se x unidades são
vendidas durante o primeiro ano, expresse o lucro do primeiro ano como uma
função de x. (b) Se 23.000 unidades forem vendidas, qual será o lucro. (c)
Quantas unidades precisam ser vendidas para não haver prejuízo ?

Respostas: b) 780.000 c) 3.500

5) O custo mensal de uma fábrica que produz esquis é de R$ 4.200, e o custo
variável de R$ 55 por par de esquis. O preço de venda é de R$ 105. (a) Se x
unidades são vendidas durante um mês, expresse o lucro mensal como uma
função de x. (b) Se 600 pares forem vendidos em um mês, qual será o lucro. (c)
Quantas unidades precisam ser vendidas para não haver prejuízo durante um
mês ?

Respostas: b) 25.800 c) 84

30

6) Um fabricante de relógios pode produzir um determinado relógio a um custo
de R$ 15 por unidade. Está estimado que se o preço de venda for x, o número de
relógios vendidos por semana será de 125 - x. (a) Expresse o lucro semanal
como uma função de x. (b) Se R$ 45 for o preço de venda, qual será o lucro
semanal ? (c) Qual o valor de venda para se obter um lucro máximo ?

Respostas: b) 2.400 c) 70

7) Um fabricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um
custo de R$ 10 cada um, estima-se que se o preço de venda for x, o número de
brinquedos vendidos por dia será de 45 - x. (a) Expresse o lucro diário como
uma função de x. (b) Se R$ 30 for o preço de venda, qual será o lucro diário ?
(c) Qual o valor de venda para se obter um lucro máximo ?

Respostas: b) 300 c) 27,5

3.6 Equações de Demanda e de Oferta

Geralmente, a quantidade de mercadoria demandada no mercado pelos
consumidores irá depender do preço da mesma. Quando o preço baixa, os
consumidores procuram mais a mercadoria. Caso o preço suba, os consumidores
procurarão menos.

31

Seja p o preço de uma unidade e x o número e unidades demandadas, uma
relação entre p e x é denominada equação de demanda. Para representar essa
equação em um gráfico, usualmente utiliza-se o eixo vertical para o preço e o
horizontal para a demanda.

Exemplo: Uma companhia de turismo tomou conhecimento de que quando o
preço de uma visita a pontos turísticos é de R$ 6, a média do números de
ingressos vendidos por viagem é 30, e quando o preço passa a R$ 10, o número
médio de ingressos vendidos é somente 18. Supondo linear a equação de
demanda, encontre-a e trace um esboço.

Solução: A equação da reta que dá a relação une os pontos (30,6) e (18,10),
então:

y 2 − y 1 10 − 6 1
m= = =−
x 2 − x 1 18 − 30 3

Utilizando o ponto (30,6):

(y − y1 ) = m(x − x 1 )
(y − 6) = − 1 (x − 30)
3
1
y = − x + 16
3
1
p = − x + 16
3
Equação de Demanda

16,0

14,0

12,0
Preço do ingresso

10,0

8,0

6,0

4,0

2,0

0,0
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Número de ingressos demandados

32

Exercício 1) Dez relógios de pulso são vendidos quando o seu preço é R$ 80,00;
20 relógios são vendidos quando o seu preço é R$ 60,00. Qual é a equação da
demanda ? Trace o gráfico.

y

x
Resposta: y = −2x + 100

Exercício 2) Uma firma analisou suas vendas e conclui que seus clientes irão
comprar 20% a mais de unidades dos seus produtos para cada redução de R$
2,00 no preço unitário. Quando preço é R$ 12,00 a firma vende 500 unidades.
Qual a equação da demanda para esse produto, trace o gráfico.

y

x

33

x
Resposta: y = − + 22
50

As equações de oferta em geral são positivas, isto é , a medida que o preço
aumenta a oferta aumenta. Nesse caso só interessam os valores positivos de x e
y.
Exercício 3) Quando o preço for de R$ 50,00, 50 máquinas fotográficas estão
disponíveis no mercado; quando o preço for de R$ 75,00 , 100 máquinas estão
disponíveis. Qual a equação da oferta ? Trace o gráfico.

y

x

x
Resposta: y = + 25
2

34

Capítulo 4 - Método dos Mínimos Quadrados (Regressão Linear)

O método dos mínimos quadrados é um modelo matemático que determina a
reta que pode representar (se ajustar a ) uma série de valores x e y que não se
alinham perfeitamente.

Exemplo: A tabela abaixo nos fornece a receita total anual das vendas de uma
fábrica durante os seus primeiros 04 anos de operação, onde x é o número de
anos em operação e y é o número de milhões em vendas anuais.

x 1 2 3 4
y 5 8 7 12

A reta denominada reta de regressão é escrita no formato y = mx + b , onde os
valores de m e b são o resultado de um sistema de duas equações do 1o grau
demonstradas abaixo:

( )
 ∑ x i2 ⋅ m + (∑ x i )⋅ b = ∑ (x i ⋅ y i )
 onde n é o número total de pontos
(∑ x i )⋅ m + n ⋅ b = (∑ y i )
Portanto monta-se a seguinte tabela:

xi yi xi2 xi . yi
1 5 1 5
2 8 4 16
3 7 9 21
4 12 16 48
∑ = 10 ∑ = 32 ∑ = 30 ∑ = 90
E resolve-se o sistema:

( )
 ∑ x i2 ⋅ m + (∑ x i )⋅ b = ∑ (x i ⋅ yi )


(∑ x i )⋅ m + n ⋅ b = (∑ yi )
30 ⋅ m + 10 ⋅ b = 90 30 ⋅ m + 10 ⋅ b = 90
 ⇒ ⇒ −2 ⋅ b = −6 ⇒ b = 3
10 ⋅ m + 4 ⋅ b = 32 30 ⋅ m + 12 ⋅ b = 96
Substituindo:
10 ⋅ m + 4 ⋅ 3 = 32
10 ⋅ m = 32 − 12
20
m= =2
10
Resposta: a equação de reta que se melhor ajusta é : y = 2x + 3

35

Exercícios: Determine a reta de regressão para os seguintes dados:

a)
xi yi xi2 xi . yi
1 3

3 5

5 6

7 5

9 7

11 8

∑ = ∑ = ∑ = ∑ =

3 65
Resp: y = x+ ⇒ 9x − 21y + 65 = 0
7 21
36

b) Um quadro foi comprado em 1965 por U$ 1200. Seu valor era U$ 1800 em
1970, U$ 2500 em 1975, e U$ 3500 em 1980. Qual o seu valor em 1990 ?

xi yi xi2 xi . yi

∑ = ∑ = ∑ = ∑ =

Resp: y = 152 x + 1110 ⇒ y(25) = 4910

37

c) Na tabela abaixo, x dias passaram-se desde o aparecimento de certa doença, e
y é o número de novos casos da doença no x-ésimo dia. (a) Ache a reta de
regressão para os pontos dados. (b) Use a reta de regressão para estimar o
número de novos casos da doença no sexto dia.

xi yi xi2 xi . yi
1 20

2 24

3 30

4 35

5 42

∑ = ∑ = ∑ = ∑ =

Resposta: a) y = 5,5x + 13,7 b) 47

38

BIBLIOGRAFIA:

DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Editora Ática, 1999.

GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr, J. R. Matemática Fundamental. São Paulo:
Editora FTD Ltda, 1994.

LEITHOLD, L. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda,
1988.

MEDEIROS, Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Editora Atlas S.A., 2002.

WEBER, J. E. Matemática para Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 2a ed.
1986.

39

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