Aula 10 minimizaçãode automato
- 1. Curso: Ciência da Computação Aspectos Teóricos da Computação Aula 10 Minimização de um Autômato Finito
- 2. Notas de Aula Aspectos Teóricos da Computação 2/19
- 3. Minimização de um Autômato Finito ● A implementação de um AFD consiste basicamente em um algoritmo que controla a mudança de estado do autômato a cada símbolo lido da entrada. ● O tempo necessário par aceitar ou rejeitar é diretamente proporcional ao tamanho da entrada. ● Em termos de complexidade de algoritmos, AF pertencem à classe de algoritmos mais eficientes em termos de tempo de processamento. (Supondo que toda a a fita de entrada necessita ser lida) Aspectos Teóricos da Computação 3/19
- 4. Minimização de Autômatos Exercício: Seja a palavra w = ababababa Qual autômato abaixo é mais eficiente em termos de processamento para reconhecer essa palavra? 1) q0 a q1 a,b q2 a,b qf a,b 2) q0 a q1 a,b Aspectos Teóricos da Computação 4/19
- 5. Minimização de Autômatos Exercício: Seja a palavra w = ababababa Qual autômato abaixo é mais eficiente em termos de processamento para reconhecer essa palavra? 1) q0 a q1 a,b q2 a,b qf a,b 2) q0 a q1 a,b São iguais. O tempo de processamento não depende do autômato de reconhecimento considerado e sim do tamanho da palavra. Ou seja, qualquer autômato finito determinístico que reconheça a linguagem terá a mesma eficiência. Computação Aspectos Teóricos da 5/19
- 6. Minimização de Autômatos ● O tempo de processamento não depende do autômato de reconhecimento considerado e sim do tamanho da palavra. Ou seja, qualquer autômato finito determinístico que reconheça a linguagem terá a mesma eficiência. ● No entanto podemos trabalhar para minimizar o número de estados de um autômato se isso for possível. ● Dado um AFD qualquer, o objetivo da minimização é gerar o AF equivalente com o menor número de estados possíveis denominado Autômato Finito Determinístico Mínimo ou simplesmente Autômato Finito Mínimo. ● O AFM é único. Assim dois autômatos distintos que aceitam a mesma linguagem, ao serem minimizados, geram o mesmo autômato finito mínimo. ● Basicamente, o algoritmo de minimização unifica os estados equivalentes. Aspectos Teóricos da Computação 6/19
- 7. Estados Equivalentes Estados equivalentes Seja M= (∑, Q, δ,q0, F) um AFD qualquer. Dois estados q e p de Q são ditos equivalentes se, e somente se, para qualquer palavra w pertencente a ∑*, δ(q,w) e δ(p,w) resultam simultaneamente em estados finais, ou não finais. Portanto o processamento de uma entrada qualquer a partir de estados equivalentes resulta na mesma condição de aceita/rejeita. Aspectos Teóricos da Computação 7/19
- 8. Autômato Finito Mínimo Para uma dada linguagem regular L, o correspondente AFDM ou simplesmente AFM é um autômato finito determinístico: Mm= (∑, Qm, δm,q0m, Fm) tal que ACEITA(Mm) = L e que, para qualquer outro autômato finito determinístico M= (∑, Q, δ,q0, F) tal que ACEITA(M)=L, ocorre: #Q ≥ #Qm Aspectos Teóricos da Computação 8/19
- 9. Pré-Requisitos do Algoritmo de Minimização (a)Deve ser determinístico (b)Todos os estados do autômato devem ser estados alcançáveis a partir do estado inicial, Ou seja, não pode haver estados inacessíveis; (c)A função de transição deve ser total (a partir de qualquer estado, são previstas transições para todos os símbolos do alfabeto) Caso o A não satisfaça algum desse pre-reqs, ele deve ser modificado seguindo as regras do slide seguinte. Aspectos Teóricos da Computação 9/19
- 10. ● Gerar um autômato determinístico equivalente. ● Eliminar os estados inacessíveis e suas correspondentes transições. ● Para transformar a função de transição em total, é suficiente introduzir um novo estado não final d e incluir as transições não previstas, tendo d como estado destino. Por fim, incluir um ciclo em d para todos os símbolos do alfabeto. Aspectos Teóricos da Computação 10/19
- 11. Algoritmo de Minimização O algoritmo abaixo identifica os estados equivalentes por exclusão. A partir de uma tabela são marcados os estados não equivalentes. Ao final do algoritmo, as referências não marcadas representam os estados equivalentes. Suponha um AFD M= (∑, Q, δ,q0, F) que satisfaz à observação anterior – Pré Requisitos do Algoritmo de Minimização. - Os passos dos algoritmo são os seguintes: 1. Construção da tabela. Construir uma tabela, relacionando os estados distintos, sendo que cada par (não ordenado) de estados ocorre somente uma vez, como ilustrado a seguir. 2. Marcação dos Estados Trivialmente Não-Equivalentes. Marcar todos os pares do tipo {estado final, estado não final}, pois obviamente, estados finais não são equivalentes a não-finais; 3. Marcação dos Estados Não-Equivalentes. Para cada par (qu,qv} não marcado e para cada símbolo a Є ∑, suponha que: δ(qu,a)=pu e δ(qv,a)=pv Assim: (a) Se pu=pv, então qu é equivalente a qv para o símbolo a e não deve ser marcado; (b) Se pu≠pv e o par {pu,pv} não está marcado, então {qu,qv} é incluído em uma lista a partir de {pu,pv} para posterior análise; (c) Se pu≠pv e o par {pu,pv} está marcado, então: ● {qu,qv} não é equivalente e deve ser marcado; ● Se {qu,qv} encabeça uma lista de pares, então marcar todos os pares da lista (e, recursivamente, se algum par da lista encabeça outra lista); Aspectos Teóricos da Computação 11/19
- 12. Algoritmo de Minimização 4. Unificação dos Estados Equivalentes. Os estados dos pares não marcados são equivalentes e podem ser unificados como segue: ● a equivalência dos estados é transitiva; ● pares de estados não-finais equivalentes podem ser unificados como um único estado não-final; ● pares de estados finais equivalentes podem ser unificados como um único estado final; ● se algum dos estados equivalentes é inicial, então o correspondente estado unificado é inicial; ● todas as transações como origem (respectivamente destino) em um estado equivalente, são preservadas, mas passam a ter origem (respectivamente, destino) no correspondente estado unificado; 5. Exclusão dos Estados Inúteis. Por fim, os estados chamados inúteis devem ser excluídos. Um estado q é dito um estado inútil se é não-final e a partir de q não é possível atingir um estado final. Deve-se observar que o estado d (se incluído) sempre é inútil (o algoritmo para excluir os estados inúteis é simples). Todas as transições com origem ou destino em um estado inútil são excluídas. Aspectos Teóricos da Computação 12/19
- 13. Algoritmo de Minimização q1 q2 ... qn d q0 q1 ... qn-1 qn Aspectos Teóricos da Computação 13/19
- 14. Exemplo de Minimização Considere o AFD abaixo: Qual é a Passo 1. Construção da tabela. linguagem aceita? Passo 2. Marcação dos pares do tipo {estado final, estado não final}. b Passo 3. Análise dos pares de estado não q0 q1 a marcados, sendo que a tabela resultante é b ilustrada na figura 2 se sendo o símbolo @ usado para marcar os pares marcados nesta a etapa: a) Análise do par {q0,q4): q2 q3 δ(q0,a)=q2 δ(q0,b)=q1 b b δ(q4,a)=q3 δ(q4,b)=q2 Como {q1,q2} e {q2,q3} são não marcados, então a b b a {q0,q4}é incluído nas listas encabeçadas por {q1,q2} e {q2,q3}; a a q4 q5 b) Análise do par {q0,q5): δ(q0,a)=q2 δ(q0,b)=q1 O afd satisfaz os pré-requisitos de δ(q5,a)=q2 δ(q5,b)=q3 minimização e portanto não é Como {q1,q3} e {q2,q3} são não marcados (e necessário incluir o estado d. como {q2,q2} é trivialmente equivalente), então {q0,q5} é incluído na lista encabeçada por {q1,q3}; Aspectos Teóricos da Computação 14/19
- 15. Exemplo de Minimização c) Análise do par {q1,q2): f) Análise do par {q4,q5): δ(q1,a)=q1 δ(q1,b)=q0 δ(q4,a)=q3 δ(q4,b)=q2 δ(q2,a)=q4 δ(q2,b)=q5 δ(q5,a)=q2 δ(q5,b)=q3 Como {q1,q4} é marcado, então {q1,q2} também é Como {q2,q3} é não marcado, então {q4,q5} é marcado. Como {q1,q2} encabeça uma lista, o incluído na lista encabeçada por {q2,q3}; par {q0,q4} também é marcado ; Passo 4. Como os pares {q2,q3} e {q4,q5} são não d) Análise do par {q1,q3): marcados, as seguintes unificações podem ser δ(q1,a)=q1 δ(q1,b)=q0 feitas: ● q23 representa a unificação dos estados não δ(q3,a)=q5 δ(q3,b)=q4 finais q2 e q3. Como {q1,q5} bem como {q0,q4} são marcados, ● q45 representa a unificação dos estados então {q1,q3} também é marcado. Como {q1,q3} finais q4 e q5. encabeça uma lista, o par {q0,q5} também é marcado ; O autômato mínimo resultante possui quatro estados e é ilustrado na figura a seguir. Observe e) Análise do par {q2,q3): a preservação das transições cujos estados δ(q2,a)=q4 δ(q2,b)=q5 origem ou destino foram unificados. δ(q3,a)=q5 δ(q3,b)=q4 Como {q4,q5} é não marcado, então {q2,q3} é incluído na lista encabeçada por {q4,q5} Aspectos Teóricos da Computação 15/19
- 16. Exemplo de Minimização q1 X b q0 q1 a q2 X b q3 X a b q0 q1 a q4 X X X q23 b q5 X X X a a,b a,b q0 q1 q2 q3 q4 q2 q2 q45 b b a b b a q1 X {q0,q5} a a a a q2 q2 q2 X @ {q0,q4} q3 X @ {q0,q4} {q4,q5} q4 @ X X X q5 @ X X X {q2,q3} q0 q1 q2 q3 q4 Aspectos Teóricos da Computação 16/19
- 17. Teoremas Teorema Autômato Finito Mínimo O autômato construído usando o algoritmo de minimização apresentado é um autômato finito determinístico com menor número de estados que aceita a linguagem. Teorema Unicidade do Autômato Finito Mínimo O autômato finito determinístico mínimo de uma linguagem é único. Aspectos Teóricos da Computação 17/19
- 18. Ler ● Seçao 4.6 do livro. Aspectos Teóricos da Computação 18/19
- 19. Exercícios 1. Seja M um afd com estados A, B, C, D, E e F, sendo A o estado inicial; C e F são os estados finais. Os símbolos de entrada são a e b, e δ como na tabela abaixo. M aceita as cadeias que tem um número de a's da forma 6n+2 ou 6n+5. Na realidade, bastaria exigir que o número de a's fosse da forma 3n+2, o que corresponde a um afd com apenas 3 estados, e, por essa razão, M não é mínimo, e deve ter estados equivalentes. Verifique se esse autômato é mínimo e se não for minimize. 2. Verifique se o afd abaixo é mínimo. Aspectos Teóricos da Computação 19/19