Aula transformações de coordenadas
- 1. Universidade do Estado da Bahia TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS Prof. Margareth da Silva Magalhães
- 2. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E² 1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS
- 3. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E² 1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS Um ponto P do plano tem coordenadas: x e y em relação ao sistema xOy. x’ e y’ em relação ao sistema x’O’y‘.
- 4. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E² 1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS Fórmulas de Translação: x = x’ + xo. y = y’ + yo.
- 5. EXEMPLO Considere a circunferência de equação x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0 em relação ao sistema xOy. Faça uma translação de eixo tal que a nova origem seja O’=(3,4). Obtenha a equação da circunferência em relação ao novo sistema de coordenadas x’Oy’.
- 6. RESOLUÇÃO: a) Fórmulas de translação x = x’ + 3 y = y’ + 4 • Substituição x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0
- 7. RESOLUÇÃO: a) Fórmulas de translação x = x’ + 3 y = y’ + 4 b) Substituição x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0 x’² + y’² = 4
- 8. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E² 1. ROTAÇÃO DE EIXOS Mantendo-se fixa a origem O, faz- se uma rotação nos eixos x e y de um mesmo ângulo, no sentido anti-horário. Obtemos assim um novo sistema x’O’y’ por uma rotação de xOy.
- 9. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E² 1. ROTAÇÃO DE EIXOS a) Fórmulas de rotação x = x’cosθ – y’sen θ y = x’sen θ + y’cos θ
- 10. EXEMPLO A equação 5x² + 6xy + 5y² - 8 = 0 representa um elipse no sistema xOy. Obter a equação da mesma elipse uma vez efetuada a rotação de eixos de amplitude θ = 45°.
- 11. RESOLUÇÃO a) Fórmulas de rotação x = x’cosθ – y’sen θ y = x’sen θ + y’cos θ θ = 45°
- 12. RESOLUÇÃO a) Fórmulas de rotação b) Substituição 5x² + 6xy + 5y² - 8 = 0 4x’² + y’² - 4 = 0
- 13. COORDENADAS POLARES NO PLANO Até agora, sempre usamos as coordenadas retangulares, onde um ponto do plano é representado por um par de números reais que representam as distâncias entre um ponto e os eixos coordenados y P(x, y) x
- 14. COORDENADAS POLARES NO PLANO P(r, θ) r θ O (Polo) Eixo polar
- 15. COORDENADAS POLARES NO PLANO Coordenadas Retangulares ou Cartesianas
- 16. COORDENADAS POLARES NO PLANO Coordenadas Polares
- 17. COORDENADAS POLARES NO PLANO P(r, θ) r θ O Eixo polar -r P(-r, θ) = P(r, θ + π)
- 19. TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS CARTESIANAS - POLARES y x = r.cosθ y = r.senθ r x² + y² = r² θ O x
- 20. Exercícios
- 21. Exercícios
- 23. PARÁBOLA Definição Considere-se, em um plano α, um ponto F e uma reta d que não contém F. Denominamos parábola de foco F e diretriz d, ao lugar geométrico dos pontos do plano α que eqüidistam de d e F.
- 26. PARÁBOLA Aplicações Práticas Cabo principal de uma ponte pênsil (CATENÁRIA) Lançamento de um projétil.
- 27. PARÁBOLA Elementos da Parábola F: foco; d: diretriz; V: vértice; p: parâmetro que representa a distância do foco a diretriz ( p≠ 0); Reta VF: eixo de simetria da parábola. AA’: corda focal mínima (LACUS RECTUM)
- 28. PARÁBOLA Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0) 1. O eixo de simetria coincide com o eixo x Considere uma parábola com concavidade voltada para a direita representada no sistema cartesiano xOy. A diretriz tem equação x = -p/2:
- 29. PARÁBOLA Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0) 1. O eixo de simetria coincide com o eixo x P = (x,y) F = (p/2,0) P’ = (-p/2, y)
- 30. PARÁBOLA Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0) 1. O eixo de simetria coincide com o eixo x
- 31. PARÁBOLA Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0) 1. O eixo de simetria coincide com o eixo x
- 32. PARÁBOLA Equações da Parábola com vértice V = (xo, yo) 1. O eixo de simetria paralelo ao eixo x y’² = 2px’ Fórmulas de Translação: x = x’ + xo. y = y’ + yo. ( y- yo )² = 2p(x - xo)
- 33. PARÁBOLA Equações da Parábola com vértice V = (xo, yo) 1. O eixo de simetria paralelo ao eixo x ( y- yo )² = 2p(x - xo) Desenvolvendo e isolando x:
- 34. PARÁBOLA Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0) 1. O eixo de simetria coincide com o eixo y Considere uma parábola com concavidade voltada para cima. A diretriz tem equação: y = -p/2 P = (x, y) F = (0, p/2) P’ = (x, -p/2)
- 35. PARÁBOLA Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0) 1. O eixo de simetria coincide com o eixo y
- 36. PARÁBOLA Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0) 1. O eixo de simetria coincide com o eixo y
- 37. PARÁBOLA Equações da Parábola com vértice V = (xo, yo) 1. O eixo de simetria paralelo ao eixo y x’² = 2py’ Fórmulas de Translação: x = x’ + xo. y = y’ + yo. ( x- xo )² = 2p(y - yo)
- 38. PARÁBOLA Equações da Parábola com vértice V = (xo, yo) 1. O eixo de simetria paralelo ao eixo y ( x- xo )² = 2p(y - yo) Desenvolvendo e isolando x:
- 39. PARÁBOLA Equações da Parábola (geral): Eixo de simetria paralelo ao eixo x: x = ay² +by + c a > 0 (p > 0) a < 0 (p < 0) p = 1/(2a) Eixo de simetria paralelo ao eixo y: a > 0 (p > 0) a < 0 (p < 0) y = ax² +bx + c
- 40. ELIPSE Definição É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) do mesmo plano, é uma constante (2ª), onde 2a > d(F1F2). d(P , F1) + d(P, F2) = 2a d(Q , F1) + d(Q, F2) = 2a
- 41. ELIPSE Aplicações Práticas a) A trajetória dos planetas ao redor do sol não é circular e sim elíptica. a) Arcos em formas de semi-elipse são muito usados na construção de pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos). a) O monumento arquitetônico de Roma antiga foi o Coliseu> A planta baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188 m e o eixo menor 156 m.
- 42. ELIPSE Elementos da Elipse F1 e F2 : focos; 2c: distância focal (distância entre os focos = d(F1F2)); O: centro da elipse; A1, A2, B1, B2 : vértices da elipse; 2a: eixo maior (distância entre os vértices = d(A1A2)); 2b: eixo menor (distância entre os vértices = d(B1B2)).
- 43. ELIPSE Elementos da Elipse Excentricidade: a² = b² + c² 0<ε<1
- 44. ELIPSE Equações da Elipse de centro na origem O = (0, 0) 1. O eixo maior coincide com o eixo x Sejam: P = (x,y) um ponto qualquer da elipse. F1 = (-c,0); F2 = (c,0) Por definição: d(P , F1) + d(P, F2) = 2a
- 45. ELIPSE Equações da Elipse de centro na origem O = (0, 0) 1. O eixo maior coincide com o eixo x
- 46. ELIPSE Equações da Elipse de centro na origem O = (0, 0) 1. O eixo maior coincide com o eixo y Sejam: P = (x,y) um ponto qualquer da elipse; F1 = (0, c) e F2 = (0, -c) Por definição e de forma análoga: d(P , F1) + d(P, F2) = 2a
- 47. ELIPSE Equações da elipse com origem O’ = (xo, yo) e cujo eixos são paralelos aos eixos coordenados 1. O eixo maior é paralelo ao eixo x Fórmulas de Translação: x = x’ + xo. y = y’ + yo.
- 48. ELIPSE Equações da elipse com origem O’ = (xo, yo) e cujo eixos são paralelos aos eixos coordenados 1. O eixo maior é paralelo ao eixo y Fórmulas de Translação: x = x’ + xo. y = y’ + yo.
- 49. ELIPSE Equações da Elipse (reduzida): Eixo maior é paralelo ao eixo x: (x – xo)² + (y – yo)² = 1 a² b² Eixo maior é paralelo ao eixo y: (x – xo)² + (y – yo)² = 1 b² a²