Resolução - P2 - Modelo B - Geometria Analítica
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1) A reta u é perpendicular às retas s e t e sua equação é (x-3)/(y-2)=(y-1)/(x+1). A distância entre r e u é √5 unidades. 2) Para que a reta r seja paralela ao plano π e não contenha a reta r, m e n devem satisfazer m=√3 e n=√3. A equação da reta r é (x-1)/(y-2)=(y-3)/(x). 3) A distância entre os planos π1 e π2 é √10 unidades e a distância
![( ) ( ), ( )
| | √
( ) ( )
√ √ √
(b) a distância entre as retas e .
Reescrevendo as equações na forma paramétrica:
r e s são paralelas, então:
( ) ( ) ( )
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |( ) ( )| |( )| √ ( )
( ) ( )
| | |( )| |( )|
( ) ( ) √ √
4. Faça um esboço e determine o centro, vértices, focos e excentricidade da cônica:
[ ] [ ]
[( ) ] [( ) ]
Observe que no primeiro colchete temos o equivalente a e no segundo
. Para que a segunda equação seja equivalente a primeira devemos
subtrair 9 no primeiro colchete e subtrair 16 no segundo.
[( ) ] [( ) ]
( ) ( )
Dividindo a equação por 144:
( ) ( )
A equação acima representa uma hipérbole.
Centro: ( ).
√
Vértices (considerando que o centro da hipérbole é a origem):
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3](https://image.slidesharecdn.com/resoluop2b-110502172556-phpapp01/85/Resolucao-P2-Modelo-B-Geometria-Analitica-3-320.jpg)
![Focos (considerando que o centro da hipérbole é a origem):
( ) (√ )
( ) ( √ )
Efetuando as translações (considerando o centro como ( )), temos:
( )e ( )
( )e ( )
(√ )e ( √ )
Excentricidade:
√
5. Defina elipse como lugar geométrico. Identifique seus principais elementos e indique
sua equação geral.
Sejam e pontos distintos, 2c sua distância e a um número real tal que a > c. O
lugar geométrico E dos pontos X tais que ( ) ( ) , chama-se elipse.
Cada um dos pontos e é chamado foco da elipse, o segmento é chamado
segmento focal, seu ponto médio, centro da elipse, e 2c, distância focal. A reta é
chama-se reta focal, e qualquer segmento cujas extremidades (distintas) pertencem a E
chama-se corda da elipse. [1]
Equação geral: .
1
CAMARGO, I. BOULOS, P. Geometria Analítica. 3 ed rev e ampl. São Paulo: Prentice Hall, 2005. p. 287
4](https://image.slidesharecdn.com/resoluop2b-110502172556-phpapp01/85/Resolucao-P2-Modelo-B-Geometria-Analitica-4-320.jpg)
Resolução - P2 - Modelo B - Geometria Analítica
- 1. 2ª Avaliação de Geometria Analítica (Resolução) 1. Sejam as retas ( ) ( ), ( ) ( ) e ( ) ( ), onde . Determine a equação vetorial da reta u perpendicular e concorrente às retas s e t. Calcule a distância entre r e u. i) Determinação da equação da reta ( ) ( ) ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ é vetor diretor de u ⃗ ( ) Pela condição do problema , ou seja, ⃗ . ( ) ( ) Pela condição do problema , ou seja, ⃗ . ( ) ( ) Então, ( ) ( ) ( ) ⃗ ( ) ( ) ( ) Equação da reta u: ( ) ( ) ii) Cálculo da distância |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ | r e u são paralelas, então ( ) ( ) |⃗ | ( ) ( ) |⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| |( ) ( )| |( )| √ √ ( ) ( ) |⃗ | |( )| |( )| 2. Seja . Determine: (a) m e n de modo que a reta ( ) ( ) e o plano sejam paralelos, mas não contém r. e r são paralelos se, e somente se, ⃗ , ou seja ⃗ . ( ⃗ é o vetor normal de e o vetor diretor de r) ⃗ ( ) ( ) não contém r se ( ) não pertencer à . 1
- 2. R não pertence à , se, e somente, se √ Logo, e r são paralelos e não contém r se √ . (b) uma equação vetorial da reta r concorrente com s, paralela ao plano e perpendicular à reta AB, onde ( ) ( ), , ( )e ( ). Equação da reta AB: ̅̅̅̅ ( ) ( ) ( ) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ é o vetor diretor de r. ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) Condição 1: r é paralela ao plano , então ⃗ ⃗ ( ) ( ) Condição 2: r é perpendicular à AB, então ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) Substituindo na equação acima: ( ) Assim: ( ) ( ) ( ) Então ( ) ( ) 3. Calcule: (a) a distância entre os planos e 2
- 3. ( ) ( ), ( ) | | √ ( ) ( ) √ √ √ (b) a distância entre as retas e . Reescrevendo as equações na forma paramétrica: r e s são paralelas, então: ( ) ( ) ( ) |⃗⃗⃗⃗⃗ | |( ) ( )| |( )| √ ( ) ( ) ( ) | | |( )| |( )| ( ) ( ) √ √ 4. Faça um esboço e determine o centro, vértices, focos e excentricidade da cônica: [ ] [ ] [( ) ] [( ) ] Observe que no primeiro colchete temos o equivalente a e no segundo . Para que a segunda equação seja equivalente a primeira devemos subtrair 9 no primeiro colchete e subtrair 16 no segundo. [( ) ] [( ) ] ( ) ( ) Dividindo a equação por 144: ( ) ( ) A equação acima representa uma hipérbole. Centro: ( ). √ Vértices (considerando que o centro da hipérbole é a origem): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3
- 4. Focos (considerando que o centro da hipérbole é a origem): ( ) (√ ) ( ) ( √ ) Efetuando as translações (considerando o centro como ( )), temos: ( )e ( ) ( )e ( ) (√ )e ( √ ) Excentricidade: √ 5. Defina elipse como lugar geométrico. Identifique seus principais elementos e indique sua equação geral. Sejam e pontos distintos, 2c sua distância e a um número real tal que a > c. O lugar geométrico E dos pontos X tais que ( ) ( ) , chama-se elipse. Cada um dos pontos e é chamado foco da elipse, o segmento é chamado segmento focal, seu ponto médio, centro da elipse, e 2c, distância focal. A reta é chama-se reta focal, e qualquer segmento cujas extremidades (distintas) pertencem a E chama-se corda da elipse. [1] Equação geral: . 1 CAMARGO, I. BOULOS, P. Geometria Analítica. 3 ed rev e ampl. São Paulo: Prentice Hall, 2005. p. 287 4