Derivação e integração

1

Funções de Uma Variável

Derivação

Definição:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )

1. ( )
2. ( )
3. ( )
4. ( )
5. ( )
6. ( )
7. ( )
8. ( )
9. ( )
10. ( )

11., ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12.0 ( )
1
, ( )-

13. Regra da Cadeia
Na notação de Newton:
( ) , ( ( )- ( ( )) ( )
Na notação de Leibniz:

Teorema sobre continuidade e derivabilidade

Se f for derivável em p, então f será contínua em p.
Ou, equivalentemente, a contra-positiva:
Se f não for contínua em p, então f não é derivável em p.

Integração

1. ∫ ( )

Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC

2

2. ∫
3. ∫
4. ∫
5. ∫
6. ∫
7. ∫
8. ∫
9. ∫ ( ) ( )
10. ∫ ( ) ( )
11. ∫
12. ∫
13. ∫
√

Teorema fundamental do Cálculo

1. Se f é contínua em [a,b], então a função g, definida por

( ) ∫ ( ) ( )

é contínua em [a,b] e derivável em (a,b) e g’(x) = f (x).

2. Se f é contínua em [a,b], então

∫ ( ) ( ) ( )

onde F é qualquer primitiva de f, id est, uma função tal que F’ = f.

Áreas

A área S limitada pela região da reta x = b, x = a, y = 0 e y = f (x), onde f (x) é contínua
em [a,b], é

∫ ( )

A área S da região limitada pelas curvas y = f (x), y = g (x), e pelas retas y = b e y = a,
onde f e g são contínuas e f (x) ≥ g (x) para todo x em [a,b], é

∫ , ( ) ( )-


3

Integração por partes

∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

Exercícios

1. Seja ( ) . Prove que ( ) .

Pela definição de derivada temos:
( )
( )

Resolução do limite em vermelho:

Tomando: , temos então

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
( )
( ) ( )

Quando , então:

( ) ( ) ( )

( ) ( )
( )

( ) [ ( ) ]

Portanto, ( )


4

2. Seja ( ) . Prove que ( ) .

Pela definição de derivada:

( ) . / . /
( )

( ) ( ) * ( ) +

( ) ( )

[ ] [ ]

( ) ( )

[ ] [ ]

( )
[ ]

3. Seja ( ) ( ) . f é contínua e diferenciável em 1?

f é contínua em 1 se
( ) ( )

Calculando o limite, utilizando os limites laterais:
( ) ( ) ( )
Portanto, existe ( ) e é igual a ( ), então a função é contínua no ponto 1.

( ) ( )
f é diferenciável no ponto 1 se o limite existir.

Para
( ) ( ) ( )( )
( )


5

Para
( ) ( )

Conclusão:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

e portanto, f não é diferenciável no ponto 1.

4. Seja ( ) ( ) . f é contínua e derivável em 0?

( ) ( )
f é derivável no ponto 0 se o limite existir.

Para
( ) ( )

Para
( ) ( )

Conclusão:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

e, portanto, f é diferenciável no ponto 0. Logo, se é diferenciável, é também contínua no
mesmo ponto.

5. Use as regras de derivação para calcular f’(x).

( )( ) ( )( ) ( ) ( )
1. ( ) ( ) , - , -

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )

3. ( ) √ √ ( )
√ √

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
, ( )- ( ) ( ) (
)


6

5. ( ) , ( )- ( ) ( )* , ( )-+ ( )* , (
)-+ ( ) , ( )- * , ( )-+ , ( )-
( ) , ( )- , ( )- , ( ) ( )-
( ) , ( )- , ( )- , - ( ) , (
)- ( ) , ( )-

6. Calcule:

1. ∫ . / ∫( )

2. ∫ . / ∫( )

3. ∫( √ ) ∫( ) √

4. ∫ . / ∫( )

5. ∫ ( ) ( )

( )
6. ∫ ( ) ( ( ))

7. ∫ ∫. /

8. ∫( )

7. Calcule:

( ) √
1. ∫ ( ) 0 1 ( ) . /

2. ∫ ( ) , -

3. ∫ ∫ * + , √ - ( √ ) ( √ )
√


7

4. ∫ ∫ . / ∫ ( ) 0 1 0 1

. / . /

5. ∫ ∫ . / ∫ ( ) , - , -

. / . /

8. Calcule, usando mudança de variável:

1. ∫
Fazendo , temos: ( )

Portanto:

∫ ∫ ∫ , - ( )

2. ∫ √
Fazendo , temos ( )

Portanto:

∫ √ ∫ √ ∫ √ [ √ ] ( √ √ )

√ √
( √ √ ) √ √

3. ∫ √
Fazendo , temos ( )

Portanto:

∫ √ ∫ √ ∫ √

Observação:


8

∫√ ∫√ (√ )

(√ )
√ (√ ) | √ (√ ) |

(√ )
√ (√ )
√
Regra geral:

∫√ √ | √ |
onde,
. √ /

4. ∫ √
Fazendo: , temos ( )

Portanto:

∫ √ ∫ ( ) √ ∫ ( )

∫ ( ) [ ]

( )

5. ∫ ( )
Fazendo , temos ( )

Portanto:

∫ ( ) ∫ ∫ * + ( )

6. ∫
Tomando , temos que ( )

Portanto:


9

∫ ∫ ∫ , - ( ) ( )

9. Calcule (usando integração por partes):

1. ∫
Fazendo ( ) ( ) e ( ) ( )

Fórmula: ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

∫ ∫ ( )

2. ∫
Fazendo ( ) ( ) e ( ) ( )

Fórmula: ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

Calculando ∫ ( ) por partes:
Fazendo ( ) ( ) e ( ) ( )

∫ ( ) ∫
Portanto:
∫

10. Calcule:

1. ∫


10

O grau do numerador é estritamente menor do que o do denominador, portanto, existe A
e B, tal que

( ) ( )
( )( )
Então:
( ) ( )

Logo:

∫ ∫( )

2. ∫

Fazendo a divisão , temos quociente ( ) e resto ( ) .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Como ( ) ( ) ( ) ( ), então ( ) ( )
( ) ( )
Logo,

e

∫ ∫( ) ∫( )

Calculando, agora, os valores de A e B:
( ) ( )
( )( )
Tem-se:
( ) ( )
Fazendo , temos: ( ) ( )
Fazendo , temos: ( ) ( )

Portanto:
Por consequência:

∫( ) ∫( )


11

Voltando à integral que se quer calcular:

∫ ( )

3. ∫ ( )

Fazendo , tem-se ( )

( )
∫ ∫ ∫
( )

∫( )
Portanto:
( )
∫ ( )
( )

4. ∫
Fazendo a divisão dos polinômios, obtêm-se ( ) e ( ) .
Portanto,
( )( )

A fração equivale a e pode ser escrita da forma
( )( )
Logo,
( )( ) ( ) ( )
( )( )
e,
( )( ) ( ) ( )
Fazendo temos ( )( )

Então:
Calculando a integral:


12

∫ ∫* +

5. ∫

∫ ∫ ∫
( ) ( )
Fazendo , teremos ( )
Então:
( )
∫ ∫ ∫ ∫( )
( )
( ) ( )


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