Matriz inversa
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O documento trata do cálculo da matriz inversa, que existe para matrizes quadradas cujo determinante é diferente de zero. O método tradicional de ensino é descrito, mas se torna complexo para matrizes de ordem três, por isso é sugerido um cálculo algorítmico que envolve determinantes, cofatores e transpostas. Um exemplo prático é fornecido para ilustrar o processo de determinação da matriz inversa.
Matriz inversa
- 1. 1 MATRIZ INVERSA Dada uma matriz quadrada A, se det A ≠ 0 então existe uma matriz A-1, chamada matriz inversa de A. A-1 é dada por: A-1 × A = I, onde I é a matriz identidade (matriz que possui os números da diagonal principal iguais a um e os demais igual a zero). Tradicionalmente, no ensino básico, ensina-se a calcular a matriz inversa de A por meio da multiplicação dela por uma B, com todos os elementos como incógnitas, e igualando esta multiplicação à matriz identidade. Neste caso, B é a inversa de A. É um método cômodo para matrizes de ordem dois, entretanto, para uma matriz de ordem três, com poucos ou nenhum elemento nulo, torna-se trabalhoso, pois implicará na resolução de três sistemas de equações, de três variáveis. Uma forma alternativa para encontrar uma matriz inversa é por meio da seguinte igualdade: onde det A é o determinante da matriz A e (cof)T é a transposta da matriz dos cofatores de T. O cálculo torna-se mais fácil quando se pensa de forma algorítmica, passo a passo. Considerando uma matriz dada por ( ) i) Calcula-se seu determinante | | Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC
- 2. 2 ii) Calcula-se a matriz dos cofatores de A Cada elemento da matriz dos cofatores de A é também uma matriz. De forma geral, cada elemento é dado da seguinte forma: | | onde, i é a linha do elemento e j a coluna. O determinante de segunda ordem que é formado pelos elementos x, y, w e z é obtido ignorando-se a linha e a coluna do elemento aij, e selecionando os quatro números que sobram. O termo (- 1)i+j determina o sinal da matriz conforma a posição. Para as posições a13 e a22, por exemplo, o sinal é positivo, e para as posições a32 e a21 é negativo. Assim sendo, podemos estabelecer uma máscara de sinais para a matriz cofatora, de tal modo: ( ) De modo bastante literal, a matriz cofatora é dada por: | | | | | | | | | | | | ( | | | | | |) Seu desenvolvimento em termos de aij é trivial, portanto não será feito. iii) Cálculo da transposta da matriz Tendo-se obtido a matriz cofatora de A, é trivial o cálculo da transposta, também chamada de matriz adjunta de A. No matriz transposta, as linhas tornam-se colunas e as colunas tornam-se linhas. | | | | | | | | | | | | ( | | | | | |) iv) Finalmente, volta-se para a equação de cálculo da inversa Obtem-se: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC
- 3. 3 | | | | | | | | | | | | ( | | | | | |) Exemplo: Calcule a matriz inversa de ( ). i) Cálculo do determinante: | | ii) Montagem da matriz dos cofatores: | | | | | | | | | | | | ( ) ( | | | | | |) iii) Montagem da matriz adjunta: ( ) iv) Calculo da inversa: ( ) ( ⁄ ⁄ ) ⁄ ⁄ Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC