Cap4 - Parte 6 - Distribuições Discretas Exercicios Resolvidos

Fundamentos de Probabilidade Variáveis Aleatórias

Variável Aleatória Comentário Ao usar a variável aleatória para calcular probabilidades, os modelos de análise são mais fáceis,são totalmente abrangentes com fins de pesquisas, alem de ser o objetivo de análise probabilística em uma pesquisa.

Variável Aleatória Discreta Como foi visto, variável aleatória é a identificação de resultados de um experimento aleatório, quando o espaço amostral que o identifica for numérico. Caso Discreto Quando os resultados são obtidos por “Contagem”.

Distribuições Discretas de Probabilidade O que é São modelos matemáticos criados de forma coletiva no qual para o usuário, bastará interpretar o problema de forma qualitativa e definirá o modelo a usar de forma sucinta, e sem maiores dificuldades.

Distribuições Discretas de Probabilidade Comentário No presente texto serão estudados os modelos de interesse de pesquisa em saúde, os modelos remanescentes para teoria de jogos e outros aspectos científicos não serão vistos.

Distribuições Discretas de Probabilidade Experimento de Bernoulli É todo experimento no qual quando realizado possuirá exatamente dois resultados possíveis, batizados de SUCESSO e FRACASSO.

Experimento de Bernoulli Nota No experimento de Bernoulli, por ter exatamente dois resultados, não indica que ambos terão a mesma chance de ocorrência, ou seja, nem sempre são equiprováveis; A quase totalidade dos experimentos, quando executado, transforma em Experimento de Bernoulli devido ao fato de ter para o idealizador o resultado que Satisfaz o desejado e o que Não-satisfaz.

Experimento de Bernoulli Notação Aqui denota-se: Propriedade: p + q = 1 É equivalente a: q = 1 – p.

Distribuição binomial Característica Para que tenha distribuição binomial é necessário que: Experimento ser realizado em repetições (repetitivo); Em cada Repetição ser um Experimento de Bernoulli;

Distribuição binomial Característica Repetir uma quantia fixa de vezes, denotada por n; Estas repetições serem independentes; Ter uma variável aleatória, digamos X, cuja lei de formação é a quantia de sucessos nas n repetições.

Distribuição binomial Notação Nas condições acima diz ter: “Uma distribuição binomial de parâmetros n e p ”, Ao qual denota: X  b(n,p) O símbolo: ~ lê-se: “Possui Distribuição”

Distribuição binomial Propriedades Se X  b(n,p) , então: Cálculo de probabilidade – Usa a Fórmula:

Distribuição binomial Propriedades Detalhe:

Distribuição binomial Propriedades Fórmula da Combinação:

Distribuição binomial Propriedades Média: Variância: Em que:

Distribuição binomial Exemplo 1 Ao jogar uma moeda cinco vezes de forma consecutiva, ache a probabilidade de que a face cara ocorra: Duas vezes; Nenhuma vez. Solução   Jogar ao acaso uma moeda 5 vezes.

Distribuição binomial Exemplo 1 - Solução Característica do experimento: Jogar 5 vezes: Experimento Repetitivo; Moeda possui 2 faces: É Experimento de Bernoulli; Número de Repetições 5: Quantia fixa;

Exemplo 1 Característica do experimento Qualquer face que ocorra em uma repetição, na próxima a moeda permanece nas mesmas características: Repetições Independentes; Nota: As características acima designam um Experimento Binomial Variável Aleatória X: “número de caras nas 5 repetições”

Exemplo 1 Cálculo de Probabilidade Pela definição da variável aleatória, Sucesso é ocorrer Cara em um lançamento. Assim X  b(n,p) onde n = 5 e

Exemplo 1 Cálculo de Probabilidade Cara duas vezes Desenvolvendo:

Exemplo 1 Cálculo de Probabilidade Nenhuma Cara:

Exemplo 1 Resposta Interpretação: Existe 31,25% de chance de que ocorrerá face cara duas vezes; Existe 3,125% de chance de que ocorrerá face cara em nenhuma vezes;

Distribuição hipergeométrica Condições Iniciais Experimento ser realizado em repetições (repetitivo); Em cada Repetição ser um Experimento de Bernoulli; Repetir uma quantia fixa de vezes, denotada por n; Estas repetições sejam SEM Reposição;

Distribuição hipergeométrica Condições Iniciais Ter uma variável aleatória, digamos X, cuja lei de formação é a quantia de sucessos nas n repetições. Nota Por ser SEM reposição, indica que a cada repetição o original fica reduzido em uma unidade, devido a isto é necessário ter as Condições Iniciais para ter o ponto de partida do experimento.

Distribuição hipergeométrica Condições Iniciais Considere que no inicio (antes de efetuar a primeira repetição), a situação inicial é que tenha o seguinte diagrama:

Distribuição hipergeométrica Propriedades. Com as condições iniciais acima citado, Se X  hipergeométrica : Cálculo de Probabilidade:

Distribuição hipergeométrica Propriedades. Média: Variância:

Distribuição hipergeométrica Exemplo 1 Em um laboratório de análises clínicas foram realizados 54 exames de HIV, das quais 14 deram soropositivos. Um inspetor irá pegar ao acaso 5 destes exames de forma casual. Ache a probabilidade de que o número de exames escolhidos que tenha soropositivo seja: a. 2; b. 5

Distribuição hipergeométrica Exemplo 1 - Solução   Pegar ao acaso 5 exames. Característica do experimento: Pegar cinco exames: Experimento Repetitivo; Possui dois tipos, Soropositivo ou soronegativo: Experimento de Bernoulli; Número de Repetições cinco: Quantia fixa;

Distribuição hipergeométrica Exemplo 1 - Solução Característica do experimento: A escolha é feita SEM reposição; Nota: As características acima designam um Experimento Hipergeométrico Variável Aleatória X: “número de exames que deu soropositivo entre as 5 selecionadas”

Distribuição hipergeométrica Exemplo 1 - Solução Pela definição da variável aleatória, Sucesso é exame selecionado ser soropositivo. Esta característica indica que X tem distribuição Hipergeométrica, com a situação inicial: r = 14 (Número de sucessos) k = 40 (Número de Fracasso)

Distribuição hipergeométrica Exemplo 1 - Solução . Com as condições iniciais acima citado, X  hipergeométrica : Dois soropositivo

Distribuição hipergeométrica Exemplo 1 - Solução . Cinco soropositivos

Distribuição de Poisson Característica Experimento ser realizado em repetições (repetitivo); Em cada Repetição ser um Experimento de Bernoulli, com o detalhe de que P(sucesso) tende a ZERO; Repetir uma quantia fixa de vezes, denotada por n, e que n tende a infinito; repetições sejam independentes;

Distribuição de Poisson Característica Ter uma variável aleatória, digamos X, cuja lei de formação é a quantia de sucessos nas n repetições. Nota Pela característica da Poisson, percebe-se que são as mesmas da Binomial, com o detalhe é que: i) p  0,000 ; i i) n  ∞.

Distribuição de Poisson Nota – Cont. Por: p  0,000 diz-se que a distribuição de Poisson é a distribuição de eventos raros. Na quase totalidade da Distribuição de Poisson, o valor de p depende da unidade do tempo, é preciso atentar para este fato para achar o seu valor. Por diz-se que a distribuição de Poisson é a distribuição de eventos raros.

Distribuição de Poisson Exemplo de Eventos Raros No caso de saúde, existe uma quantidade muito grande de eventos raros, aos quais pode ilustrar: Ocorrer óbito, em mulheres grávidas devido à gestação; Criança, no útero da mãe, sofrer uma anomalia grave; Na sociedade, escolher um adolescente e ele ser usuário de cocaína; Uma pessoa sofrer o mal de Parkinson; Etc.

Distribuição de Poisson Notações No caso da distribuição de Poisson, a média é denotada por:  , ao qual se compara-la com a da binomial chega que: Denota-se: X ~ Poisson (  )

Distribuição de Poisson Teorema: Se X ~ Poisson (  ) Cálculo de probabilidade: e = 2,71828 . . . (Número e, base do logaritmo natural)

Distribuição de Poisson Teorema: Se X ~ Poisson (  ) Cálculo da Média: Cálculo da variância:

Distribuição de Poisson Exemplo 1 Em Angola, de cada 100 mil mulheres grávidas, 1 500 morrem devido à gravidez (OMS 09/04/2005). Numa comunidade Angolana em que houver 300 mulheres em estado de gravidez, ache a probabilidade de que morrerão: Nenhuma 3 delas 5 delas.

Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução   Avaliar condições de saúde de 300 mulheres grávidas. Característica do experimento: 300 mulheres estarem grávidas: Experimento Repetitivo; Possui dois tipos (sobreviver, não-sobreviver): Experimento de Bernoulli;

Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução Característica do experimento(cont.): Número de Repetições 300: Quantia fixa; Óbito de uma não influência na saúde da outra: Repetições Independentes; Nota: As características acima designam um Experimento Binomial.

Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução Característica do experimento(cont.): Variável Aleatória X: “número de óbitos entre as 300 grávidas” (X possui distribuição binomial) Devido à definição da variável aleatória, Sucesso é ocorrer óbito, e assim:

Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução n = 300 (Número de Repetições); Nota: Em uma pesquisa, este número é chamado de “Prevalência”. Assim: X  b(300 ; 0,015)

Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução Devido aos valores de n e de p, esta variável aproxima de uma distribuição de Poisson com:  = 300x0,0015 = 4,5 Este número indica que em 300 mulheres gestantes em Angola é de se esperar que 4,5 delas virão a óbito devido à gravidez.

Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução Nenhum óbito 3 Óbitos Resposta: 0,1687 é equivalente a:16,87%

Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução Nenhum óbito

Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução 3 Óbitos Resposta: 0,1687 é equivalente a : 16,87%

Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução 5 óbitos Resposta: 0,1708 (17,08%)

Variáveis Aleatórias FIM Prof. Gercino Monteiro Filho

Cap4 - Parte 6 - Distribuições Discretas Exercicios Resolvidos

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados (20)

Semelhante a Cap4 - Parte 6 - Distribuições Discretas Exercicios Resolvidos (20)

Mais de Regis Andrade (20)

Cap4 - Parte 6 - Distribuições Discretas Exercicios Resolvidos