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Aula03: Variáveis Aleatórias
Discretas
Análise de Dados & Big Data – USJT- 2022
conteúdo baseado em BONAT, W; KRAINSKI, E; MAYER, F. Introdução à Análise Exploratória de Dados. Departamento de
EstaRsSca da UFPR. Disponível em hXp://cursos.leg.ufpr.br/estbas-slides/. Consultado em 23/08/2020.

Resumo
Fenômeno aleatório: situação ou acontecimento cujos resultados não
podem ser previstos com certeza.
Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um fenômeno
aleatório, denotado por Ω.
Eventos: subconjuntos de Ω, denotado por A, B, . . ..
Conjunto vazio: conjunto sem eventos, denotado por ∅.
União A ∪ B: ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B.
Intersecção A ∩ B: ocorrência simultânea de A e B.
Eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos: A ∩ B = ∅.
Eventos complementares: A ∪ Ac = Ω e A ∩ Ac = ∅.

Definição de v.a e notação
Deﬁnição
Variável aleatória - Descrição numérica do resultado de um fenômeno
aleatório.
Notação
X denota a variável aleatória. (maiúsculo)
x denota os valores realizados da v.a. (minúsculo)
Probabilidade de X assumir o valor x é denotada P(X = x)
Exemplo
X: Numero de alunos em uma sala de aula.
Uma possível realização x = 50.

Tipos de dados, espaço amostral e v.a
Tipos de dados
1 Dados na reta real, Ω = ℝ
2 Dados estritamente posi3vos, Ω = ℝ$
3 Dados posi3vos com zeros, Ω = ℝ% = [0, ∞)
4 Proporções, Ω = (0, 1)
5 Direções, Ω = [0, 2.)
6 Contagens, Ω = ℕ% = {0, 1, 2, … }
Tipos de espaço amostral
Espaço amostral Discreto: Contém apenas um número ﬁnito ou contável de elementos.
Espaço amostral Con2nuo: Contém um número inﬁnito de elementos.
Tipos de variáveis aleatórias
Variável aleatória é con4nua se seu espaço amostral é conInuo.
Variável aleatória é discreta se seu espaço amostral é discreto.

Descrição probabilística de v.a
Dada a realização de um experimento aleatório qualquer, com um certo
espaço de probabilidade, desejamos estudar a estrutura probabilís.ca
de quan:dades associadas à esse experimento.
Note que antes da realização de um experimento, não sabemos seu
resultado, entretanto seu espaço amostral pode ser estabelecido com
precisão.
Podemos atribuir probabilidades aos eventos deste espaço amostral,
dando origem a ideia de distribuição de probabilidade.
Em geral vamos dis:nguir a distribuição de probabilidade de v.a’s
discretas e conCnuas.

Deﬁnição de função de probabilidade
A função de probabilidade (fp) da v.a discreta X, que assume os valores
!", !$, . . . , !&, . . . , é a função que atribui probabilidades a cada um dos
possíveis valores: {[!), *(!))], . = 1, 2, … }, ou seja,
4 5 = !. = * !. = *), . = 1, 2, …
com as seguintes propriedades:
1 A probabilidade de cada valor deve estar entre 0 e 1
0 ≤ * !) ≤ 1, . = 1, 2, …
2 A soma de todas as probabilidades é igual a 1
8
)
* !) = 1

Exemplo: Experimento cara e cara
CK
KK
CC
KC
Ω
Elementos de Ω
ℝ
Valores de X
0 1 2 C = cara
K = coroa
Lançamento de duas moedas. X = número de resultados cara (C)

X Frequência (fi) Frequência relativa (fri)
0 1 1/4
1 2 2/4
2 1 1/4
Total 4 1
Podemos montar uma tabela de distribuição de frequência para a variável aleatória
X = número de resultados cara (C).
Assim podemos associar a cada valor de X sua probabilidade correspondente,
como resultado das frequências relativas.
! " = 0 = ⁄
1 4
! " = 1 = ⁄
2 4 = 1/2
! " = 2 = ⁄
1 4

X ! " = $% = &($%)
0 1/4
1 2/4
2 1/4
Total 1
Desta forma, a distribuição de probabilidade da variável aleatória X = número de
resultados cara (C) é a tabela:
Note que as propriedades de função de probabilidade estão satisfeitas:
1. As probabilidades &($%) estão entre 0 e 1.
2. A soma de todas as probabilidades &($%) é 1.

Exemplo: Censo
Com dados do último censo, a assistente social de um Centro de Saúde
constatou que para as famílias da região, 20% não tem filhos, 30% tem
um filho, 35% tem dois, e as restantes se dividem igualmente entre
três, quatro ou cinco filhos.
Descreva a função de probabilidade da v.a N definida como número de
filhos.

Exemplo: Censo
A escolha de valores de ! número de filhos é feita entre as diversas
opções de valores para !. Isto é, não importa qual a família escolhida,
mas apenas qual é a resposta dada quanto ao número de filhos. Desse
modo, estamos sorteando um valor de ! dentre 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. A
função de probabilidade dessa variável segue das informações
disponíveis, isto é, como 20% das famílias não tem filhos, então a
probabilidade de uma família sorteada ao acaso não ter filhos é "(! =
0) = 0,20. De forma semelhante, temos que "(! = 1) = 0,30 e
"(! = 2) = 0,35. Para completar a caracterização probabilísKca da
variável aleatória !, falta obter as probabilidades "(! = 3), "(! = 4)
e "(! = 5). Segundo as informações fornecidas, elas são iguais e,
digamos, têm um valor -.

Exemplo: Censo
Usando a deﬁnição de função discreta de probabilidade, temos que:
! " = 0 + ! " = 1 + ⋯ + ! " = 5 = 1
0,20 + 0,30 + 0,35 + , + , + , = 1
0,85 + 3, = 1 ⇒ , =
0,15
3
= 0,05
Logo, a função de probabilidade para " é dada pela tabela:
0 1 2 3 4 5
Freq. 0,20 0,30 0,35 0,05 0,05 0,05

Função de distribuição de probabilidade
Em muitas situações, é ú/l calcularmos a probabilidade acumulada até
um certo valor.
Deﬁnimos a função de distribuição ou função acumulada de
probabilidade de uma v.a ! pela expressão:
" # = %(! ≤ #)
para qualquer número real #.

Exemplo: Vacinação
Uma população de 1000 crianças foi analisada num estudo para determinar
a efe6vidade de uma vacina contra um 6po de alergia.
No estudo, as crianças recebiam uma dose da vacina e, após um mês,
passavam por um novo teste. Caso ainda 6vessem 6do alguma reação
alérgica, recebiam outra dose da vacina. Ao ﬁm de 5 doses todas as crianças
foram consideradas imunizadas.
Os resultados estão na tabela a seguir.
Para uma criança sorteada ao acaso qual a probabilidade dela ter recebido 2
doses? E até 2 doses?
1 2 3 4 5
Freq. 245 288 256 145 66

ni fi fac
1 245 0,245 0,245
2 288 0,288 0,533
3 256 0,256 0,789
4 145 0,145 0,934
5 66 0,066 1,000
Total 1000 1,000
Tabela de frequência
Gráfico de F(X)
A probabilidade da criança ter recebido exatamente duas doses é obIda pela
frequência relaIva. No caso, !(2) = 0,288

Já a probabilidade da criança ter recebido até duas doses é obtida pela frequência
acumulada. Assim,
! 2 = $ % ≤ 2 = $ % = 1 + $ % = 2 = 0,533
Note que podemos escrever
! - = $ % ≤ - = 0,533 ./0/ 2 ≤ - < 3
Função de distribuição
! - =
0 23 - < 1
0,245 23 1 ≤ - < 2
0,533 23 2 ≤ - < 3
0,789 23 3 ≤ - < 4
0,934 23 4 ≤ - < 5
1 23 - ≥ 5

Exemplo: Casos de Câncer
Num estudo sobre a incidência de câncer foi registrado, para cada paciente com
esse diagnós6co, o número de casos de câncer em parentes próximos (pais, irmãos,
6os, ﬁlhos, primos e sobrinhos). A distribuição de frequência para 26 pacientes é a
seguinte:
Estudos anteriores assumem que a incidência de câncer em parentes próximos
pode ser teoricamente modelada pela seguinte função discreta de probabilidade:
Os dados observados concordam com o modelo teórico?
0 1 2 3 4 5
ni 4 4 6 6 2 4
0 1 2 3 4 5
pi 0,1 0,1 0,3 0,3 0,1 0,1

ni
observados
ei
esperados
0 4 2,6
1 4 2,6
2 6 7,8
3 6 7,8
4 2 2,6
5 4 2,6
Total 26 26,0
O número de observações de incidência esperado seguindo o modelo teórico é
calculado como !" = 26×'"

Conclusão:
Podemos ver no gráfico que os dados observados seguem a mesma
tendência do modelo teórico, porém seus valores são discrepantes.
É uma amostra pequena, mas parece não haver boa adaptação entre os
dois conjuntos de números.

Principais Modelos Discretos
Algumas variáveis aleatórias aparecem com bastante frequência em
situações práticas e possuem modelos já estudados de função de
probabilidade. Não iremos nos aprofundar nestes modelos, mas é
importante que vocês conheçam os principais:
Modelo Uniforme Discreto: ocorre quando se atribui a mesma
probabilidade para cada valor assumido pela variável aleatória. Por
exemplo, se temos uma rifa com 100 bilhetes numerados de 1 a 100.
Você tem 5 bilhetes com a numeração sequencial de 21 a 25. Seu
colega também tem 5 bilhetes, mas com os números 1, 11, 28, 68 e 93.
Quem tem mais chances de ganhar?

Embora pareça uma estratégia melhor “espalhar” os números para ter
mais chances de ganhar, na verdade cada bilhete tem a probabilidade
1/100 de ganhar. Portanto, o que conta não é o número, mas a
quantidade de bilhetes. Se você e seu colega tem 5 cada, a chance de
ambos é a mesma.
Modelo Bernoulli: ocorre quando se atribui 0 ou 1 à ocorrência de
fracasso ou sucesso, respectivamente, com ! representando a
probabilidade de sucesso, 0 ≤ ! ≤ 1. Sua função discreta de
probabilidade é dada por
X 0 1
pi 1 - p p

Modelo Binomial: a repe'ção de ensaios de Bernoulli independentes e
com a mesma probabilidade de sucesso p dá origem à mais importante
variável aleatória discreta denominada modelo Binomial. Sua função de
probabilidade é dada por
! " = $ =
%
$
&'
(1 − &),-'
, $ = 0, 1, 2, … , %
com ,
'
representando o coeﬁciente binomial calculado por
%
$
=
%!
$! % − $ !

Outros modelos discretos*
Modelo Geométrico: a v.a X tem distribuição
! " = $ = %(1 − %)*
, 0 ≤ % ≤ 1 . $ = 0, 1, 2, …
Modelo Poisson: a v.a X tem distribuição
! " = $ =
.*
1*
$!
, 1 > 0 . $ = 0, 1, 2, …
Modelo Hipergeométrico: a v.a X tem distribuição
! " = $ =
4
*
564
76*
5
7
, $ = max 0, ; − < − = , … , min(;, =)
* só para mencionar, não serão aprofundados neste curso.

Exercício 1
Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4. para dois
lançamentos independentes dessa moeda, estude o comportamento
da variável número de caras e faça um gráfico de sua função de
distribuição.
fonte: (MAGALHÃES; LIMA, 2015, p. 79, ex. 1)

Exercício 2
Um caminho para chegar a uma festa pode ser dividido em três etapas.
Sem enganos o trajeto é feito em 1 hora. Se enganos acontecem na
primeira etapa, acrescente 10 minutos ao tempo do trajeto. Para
enganos na segunda etapa, o acréscimo é 20 e, para a terceira, 30
minutos. Admita que a probabilidade de engano é 0,1; 0,2 e 0,3 para a
primeira, segunda e terceira etapas, respecDvamente. É provável haver
atraso na chegada à festa? Determine a probabilidade de haver atraso
e o atraso não passar de 40 minutos.

Exercício 3
Um pai leva o filho ao cinema e vai gastar nas duas entradas R$ 15. O
filho vai pedir para comer pipoca com a probabilidade 0,7 e, além
disso, pode pedir bala com a probabilidade 0,9. Esses pedidos são
atendidos pelo pai com probabilidade 0,5; independentemente um do
outro. Se a pipoca custa R$ 2 e a bala R$ 3, estude o gasto efetuado
com a ida ao cinema.

Exercício 4
Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição:
! " =
0 %& " < 10
0,2 %& 10 ≤ " < 12
0,5 %& 12 ≤ " < 13
0,9 %& 13 ≤ " < 25
1 %& " ≥ 25
Determine:
a. A função de probabilidade de X.
b. P(X ≤ 12)
c. P(X < 12)
d. P(12 ≤ X ≤ 20)
e. P(X > 18)

Bibliograﬁa
• (MAGALHÃES; LIMA, 2015) Magalhães, MN; Lima, ACP. Noções de
Probabilidade e Estatística. São Paulo: EDUSP, 2015 (7ª edição).
• (BUSSAB; MORETTIN, 2017) Bussab, WO; Morettin, PA. Estatística
básica. 9ª Edição. Editora Saraiva, 2017. [Disponível online na Minha
Biblioteca
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547220228]

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