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Controle Estatístico de Qualidade
Vídeo 03
Professor(a): Josiane da Costa Vieira Rezende

Objetivos de aprendizagem
• Estudar sobre:
• Modelos probabilísticos discretos:
• Uniforme Discreta
• Distribuição de Bernoulli
• Geométrica.
• Binomial Negativa.
• Hipergeométrica.
• Fundamentação e propriedades.
• Exemplos de aplicação

Distribuição Uniforme Discreta

● É a variável aleatória discreta mais simples,
pois apresenta um número finito de valores
possíveis com igual probabilidade.
● Uma variável aleatória Y tem uma distribuição
Uniforme Discreta se cada um dos m valores
em seu suporte, isto é, y1
, y2
, . . . , ym
,
apresentar igual probabilidade, no caso
● Denotamos por Y ∼ UD(m).
Distribuição Uniforme Discreta

● O resultado de lançar um dado.
● Último dígito da placa de um veículo.
● Um número de sorteio de Bingo.
● Um número de sorteio da Mega Sena.
● A posição da 1º lâmpada que queima em
uma fita de luzes pisca-pisca
Exemplo de v.a. com distribuição
Uniforme Discreta
Figura1 - Equipamento para jogo de
bingo

O último dígito de uma
imagem de CAPTCHA de
um site é igualmente
provável de ser qualquer
um entre 0 e 9. Sendo
assim, se Y representa o
último dígito, então terá
distribuição Uniforme
Discreta com p(y) = 1/10
para qualquer y ∈ {0, 1, .
. . , 9}.
Exemplo
Figura 2 - Exemplo de
CAPTCHA. Extraído de

● Suponha que Y tenha suporte definido no
conjunto de números inteiros consecutivos a, a
+ 1, a + 2, . . . , b − 1, b, para a < b. Dessa
forma, o número de valores é m = b − a + 1,
cada um com probabilidade p = 1/m. Dessa
forma, tem-se que
● A média é
● A variância é
Média e variância

Figura 3 - Gráficos para a distribuição Uniforme Discreta
Gráficos da distribuição

Na área de teoria das probabilidades e estatística,
a distribuição de Bernoulli, nome em homenagem
ao cientista suíço Jakob Bernoulli, é a distribuição
discreta de espaço amostral {0, 1}, que tem valor 1
com a probabilidade de sucesso de p e valor 0 com
a probabilidade de falha q = 1 - p.
Distribuição de Bernoulli
Figura 1. Jakob Bernoulli.

Se x é uma variável aleatória com essa
distribuição, teremos:
P= (X = 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - q =p.
Propriedades

● Um exemplo clássico de uma experiência de
Bernoulli é uma jogada única de uma moeda. A
moeda pode dar "coroa" com probabilidade p e
"cara" com probabilidade 1− p
● A experiência é dita justa se p =0.5, indicando a
origem dessa terminologia em jogos de aposta (a
aposta é justa se ambos os possíveis resultados
tem a mesma probabilidade).
● A [função de probabilidade] f dessa distribuição é
Exemplo

Também pode ser expresso como
O valor esperado de uma variável aleatória de Bernoulli
X é, e sua variância é Var(x) = p(1-p)
A distribuição de Bernoulli é um caso especial da
distribuição Binomial, com N=1
.
Exemplo

1. Se a face resultante do lançamento de uma moeda: se face
cara → y = 1.
2. Se um anúncio para um cliente é convertido em venda: se
converter → y = 1.
3. Se uma semente germina: se germinar → y = 1.
4. Se o retorno mensal de um investimento é positivo: se lucro
→ y = 1.
5. Se o jogador faz ponto no arremesso à cesta: se acerto → y
= 1.
6. Se um robô consegue resolver um CAPTCHA: se resolver →
y = 1.
7. Se o paciente é diagnosticado com Covid-19: se sim → y =
1.
8. Se um réu é condenado após julgamento: se condenado →
y = 1.
*Nem sempre o que é convencionado como “sucesso” (y =
1) é algo positivo. É apenas uma convenção
Outros Exemplos de v.a. com
distribuição de Bernoulli

Figura 4 - Gráficos para a distribuição de Bernoulli
Gráfico da distribuição de Bernoulli

A Bernoulli é a base para definição
de outras variáveis aleatórias.
1. Número de sucessos em
determinado número de
tentativas (n > 0). Número de
arremessos que acertou no total
de 3 arremessos livres.
2. Número de tentativas até r > 0
sucessos ocorrerem. Número de
arremessos até acertar 3 vezes.
3. Número de ocorrências de cada
classe y1
, y2
, . . . , yk
, k > 1.
Número de arremessos errados,
de 1, 2 e 3 pontos (k = 4).
Importância da v.a. com distribuição
de Bernoulli
Figura 5 - Jogador de basquete
marcando ponto.

Distribuição Geométrica
17
Professora: Adriana Viana

● Um experimento aleatório consiste em fazer tentativas
de Bernoulli, de modo que:
1. As tentativas sejam independentes.
2. Cada tentativa apresente apenas um de dois
resultados possíveis (0: fracasso ou 1: sucesso).
3. A probabilidade de um sucesso em cada tentativa,
0 < p < 1, é constante.
4. Seja Y a variável aleatória que conta o número de
tentativas feitas até o primeiro sucesso.
5. Definida nestas condições, Y tem distribuição
Geométrica com parâmetro p
Características de uma v.a. com
distribuição Geométrica
18

● A variável aleatória Y tem distribuição geométrica de
parâmetro 0 < p < 1 se sua função de probabilidades é dada
por alguma das duas parametrizações a seguir:
Distribuição Geométrica
19
1. Parametrização do número
de tentativas
Essa parametrização
apresenta:
Denotamos por Y ∼ Geom(p).
2. Parametrização do número
de fracassos
Essa parametrização
apresenta:

Figura 6 - Gráficos para a distribuição Geométrica na parametrização de
número de tentativas.
Gráfico da distribuição Geométrica

● Uma das propriedades da distribuição
geométrica é a falta de memória, segundo a
qual
○ P(Y > y+a|Y > a) = P(Y > y), para qualquer a
> 0.
● Assim, sob distribuição geométrica, a
probabilidade de sucesso para a próxima
tentativa após ter feito a = 10 tentativas é a
mesma se já tivesse feito a = 100 tentativas ou
após a primeira tentativa (a = 1).
Propriedade da falta de memória

Uma estatística precisa consultar
informações públicas
disponibilizadas em um site
governamental que é protegido com
um sistema de CAPTCHA. Para
isso, ela programou um algoritmo
baseado em OCR (optical character
recognition) que resolve
corretamente as CAPTCHAS com p
= 0.5.
1. Qual a probabilidade de
quebrar a CAPTCHA na
segunda tentativa?
2. Se o site tiver uma regra de
bloquear o acesso após 7 ou
mais tentativas erradas, para
evitar ação de robô, qual a
chance dela ser bloqueada?
Exemplo: algoritmo para quebrar
CAPTCHA
Figura 7 - Exemplo de CAPTCHA.

1. Usando a função de probabilidade, tem-se:
2. Aplicando a fórmula, obtem-se pela regra do
complementar
Solução

Distribuição Binomial Negativa

É uma generalização da distribuição Geométrica.
Um experimento aleatório consistem em fazer tentativas de
Bernoulli, de modo que
1. As tentativas sejam independentes.
2. Cada tentativa apresente apenas um de dois resultados
possíveis (0: fracasso ou 1: sucesso).
3. A probabilidade de um sucesso em cada tentativa, 0 < p
< 1, é constante.
4. Seja Y a variável aleatória que conta o número de
tentativas feitas até r-ésimo sucesso.
5. Definida nestas condições, Y tem distribuição Binomial
Negativa com parâmetros p e r.
6. Quando r = 1, obtém-se a distribuição Geométrica.
distribuição Binomial Negativa

A variável aleatória Y tem distribuição Binomial Negativa com parâmetros r
> 0 e 0 < p < 1 se sua função de probabilidades é dada por alguma das
duas parametrizações a seguir.
Distribuição Binomial Negativa
1) Parametrização do número de
tentativas
Essa parametrização apresenta:
Denotamos por Y ∼ BNeg(r, p).
2) Parametrização do número de
fracassos
Essa parametrização apresenta:

Figura 8 - Gráficos para a distribuição Binomial Negativa com a
parametrização do número de tentativas.
Gráfico da distribuição Binomial
Negativa

Um jogador de vídeo game é
confrontado com uma série de
oponentes independentes em um
jogo online. Dada sua experiência,
ele tem 25% de chance de perder
para um oponente. O jogador
contínua a enfrentar oponentes até
perder 3 vezes para então o jogo
encerrar. O resultado com cada
oponente é independente de
confrontos prévios.
1. Qual a probabilidade de sair do
jogo sem uma vitória?
2. Qual a probabilidade de
enfrentar 5 oponentes para sair
do jogo?
3. Qual o número esperado de
oponentes em um jogo?
Exemplo: vitórias no vídeo game
Figura 9 - Jogo no vídeo game.

1. Fazendo uso da função de probabilidade,
tem-se
2. Novamente, aplicando a função de
probabilidade
3. O número médio de oponentes usa a expressão
para o valor esperado
Solução

● A distribuição Binomial Negativa tem importante aplicação
como alternativa à distribuição de Poisson na modelagem de
número de eventos por unidade de tempo, espaço, etc.
● Observe a dualidade entre Binomial e Binomial Negativa. Na
primeira, o número de tentativas é fixo e a v.a. é o número
de sucessos. Na segunda, o número de sucessos é fixo e a
v.a. é o número de tentativas.
● Como visto, a distribuição Geométrica é caso particular da
distribuição Binomial Negativa quando r = 1.
● Pela propriedade da falta de memória da Geométrica, a
distribuição Binomial Negativa pode ser obtida considerando
a soma de r v.a. independentes de distribuição Geométrica
de parâmetro p (soma das tentativas)
Relações com a Binomial Negativa

Distribuição Hipergeométrica

● Considere o experimento aleatório
de retirar sem reposição r > 0
elementos de um conjunto de m +
n elementos em que m > 0 são de
um tipo (sucesso) e n > 0 de outro
(fracasso).
● Considere que todos os elementos
têm igual probabilidade de serem
retirados.
● Defina Y como o número de
elementos de um tipo, e.g.
sucesso, contidos na amostra
retirada. I Sob essas condições, Y
tem distribuição hipergeométrica
distribuição Hipergeométrica
Figura 10 - Cartas de um
baralho.

● Uma das principais aplicação da
distribuição hipergeométrica é em
situações envolvendo amostragem
aleatória simples sem reposição.
● Na área de Controle Estatístico de
Qualidade, aplica-se em problemas
de amostragem de aceitação de
lotes.
● Uma aplicação bastante interessante
é na estimação de tamanho de
população usando captura e
recaptura, como visto no vídeo de
motivação desta Unidade Didática.
○ Na pesca: tamanho de cardumes ou
estoque pesqueiro.
○ Na segurança pública: determinar o
número de pessoas participando de
manifestações populares.
Usos da Hipergeométrica
Figura 11 - Pescadores puxando a
rede

Uma variável aleatória Y tem distribuição
hipergeométrica de parâmetros m, n e r se sua função
de probabilidades é dada por
Denotamos por Y ∼ Hip(m, n, r).
A v.a. Hipergeométrica tem média e variância dadas
por
Distribuição Hipergeométrica

Figura 12 - Gráficos para a distribuição Hipergeométrica.
Gráfico da distribuição
Hipergeométrica

● No ambiente virtual de
aprendizado Moodle, uma
professora pode selecionar ao
acaso sentenças para
apresentar uma questão de
verdadeiro e falso. Suponha
que para um assunto, ela tenha
30 sentenças ao todo, das quais
10 são falsas.
1. Qual a probabilidade de um
aluno receber na prova uma
questão com 6 sentenças e
todas serem falsas (e o
aluno não ter o que
marcar)?
2. Qual a probabilidade de ter
3 verdadeiras e 3 falsas?
3. Qual o número médio de
questões falsas na prova?
Exemplo: questões no Moodle
Figura 8. Uma questão de verdadeiro ou
falso.

1. Faz-se o uso da função de probabilidade,
2. Idem ao anterior
3. Usa-se a expressão da esperança matemática,
Solução

Sejam Y1
∼ Bin(r, p) e Y2
∼ Hip(m, n, r). Sabe-se pelas
expressões que
À medida que N>> r, tem-se que e com isso V(Y2
)
= V(Y1
). O termo (1) é conhecido como fator de correção
para população finita.
O que isso significa na prática? Que a distribuição Binomial
pode ser usada como alternativa à distribuição
Hipergemométrica, de forma a aproximá-la para o cálculo de
probabilidades, quando o tamanho da população é muito
grande (N → ∞).
Relação entre Binomial e
Hipergeométrica

● Modelos adicionais
● Existem muitos modelos
probabilísticos discretos.
● Vários são generalizações
dos modelos apresentados.
● Outros são construções
considerando outras
premissas ou necessidades.
● Modelos probabilísticos
fazem suposições que
podem ser limitantes ou
frágeis em certos contextos.
● O emprego adequado de
uma distribuição em uma
situação prática é
fundamental para a utilidade
dos resultados obtidos.
Considerações Finais
● Alguns modelos
○ Lei de Benford.
○ Beta-binomial.
○ Poisson-binomial.
○ Poisson generalizada.
○ COM-Poisson.
○ Gamma Count.
○ Hipergeométrica não
central de Fisher.
○ Hipergeométrica não
central de Wallenius.
○ E outros.

Neste vídeo educativo você aprendeu sobre:
● Distribuição de Bernoulli
● Modelos probabilísticos discretos adicionais.
○ Geométrica.
○ Binomial Negativa.
○ Hipergeométrica.
● Fundamentação e propriedades.
● Exemplos de aplicação
Interaja no ambiente virtual, ele é o nosso meio de comunicação!
Bons estudos!
Finalizando...
40

Referências
(ON-LINE) SELEME, Robson; STADLER, Humberto. Controle da qualidade : as
ferramentas essenciais. Curitiba: InterSaberes, 2012. (Administração da produção).
Disponível em: https://sinef.fumec.br/jsp/login.jsp. Classificação: Ac.75502.
MONTGOMERY, Douglas C. Introdução ao controle estatístico da qualidade. 4.ed. Rio
de Janeiro: LTC Ed., c2004. xiv,513p. ISBN 9788521614005 (broch.). Classificação:
658.56 M787i.Pf c2004 4.ed. (BU) Ac.52937
PALADINI, Edson P. Gestão da qualidade: teoria e prática. São Paulo: Atlas, 2004. 339
p. ISBN 3 97 852243678. Classificação: 658.56 P153g 2004 (BU) Ac.39146

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