PPT_02_CalculoNumerico.pptx.pdf

Cálculo Numérico
Vídeo 02
Professor(a): Josiane da Costa Vieira Rezende

Objetivos de aprendizagem
• Estudar sobre Erros nas soluções de cálculos por
softwares .

Ponto Flutuante
• No computador , para representar ponto
flutuante (float, double, etc), utiliza-se:
– Representação normalizada
(1001,1)2
= 0,10011 x 24
Mantissa de tamanho 5
• O primeiro número após a vírgula deve ser
sempre 1.

Ponto Flutuante
• Fórmula geral
onde:
β é a base em que o computador opera (2);
t é o número de dígitos na mantissa
e é o expoente (inteiro com sinal)

Ponto Flutuante
• Número finito de bits para representar ponto
flutuante
• O padrão IEEE 754 define a forma de
representação de ponto flutuante para os
principais sistemas operacionais
• Formatos básicos:
Sinal Expoente(+/-) Significando
Simples (32bits) 1 [bit31] 8 [bits30-23] 23 [bits22-00]
Dupla (64 bits) 1 [bit63] 11 [bits62-52] 52 [bits51-00]

Ponto Flutuante
• Sinal: 0 = + e 1 = -
• Combinações: Sinal + Expoente + Mantissa
• Normalmente
– Float: 32 bits
– Double: 64 bits

Ponto Flutuante
• Exemplo:
– Sinal: 0 🡪 positivo
– Expoente: (00000110)2
= (6)10
– Mantissa: (10011110001000000000000)2
– Conversão:
• (0. 10011110001)2
* 26
= (100111.10001)2
= (39,53125)10
0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Expoente Mantissa ou Significado

Limitações na Representação de Ponto
Flutuante
■ Exemplo: Máquina no seguinte sistema:
Logo o formato dos números nesse sistema:
Menor valor representado em módulo:
Maior valor representado em módulo:

Flutuante
• Quantidade finita de bits gera os seguintes
erros:
– Truncamento ou Arredondamento
– Overflow
– Underflow

Flutuante
• Truncamento ou Arredondamento
• Exemplo:
– Considere
– x = 235.89 = 0.23589 * 103
– Como a mantissa possui 3 dígitos, x não pode ser
representado exatamente
• Possíveis soluções:
– Truncamento: x = 235.89 = 0.235 * 103
– Arredondamento: x = 235.89 = 0.236 * 103

Flutuante
• Underflow
• Exemplo:
– Considere a máquina:
– x = 0.345 * 10-7
– O expoente e=-7 não pode ser representado por
que é maior que o mínimo (-5)
– x gera erro de underflow

Flutuante
• Overflow
• Exemplo:
– Considere a máquina:
– x = 0.875 * 109
– O expoente e=9 não pode ser representado por
que é maior que o máximo (5)
– x gera erro de overflow

Flutuante
■ Considere
x arredondamento truncamento
1.25
10.053
-253.15
2.71828
0.000002 Underflow Expoente<-4
817235.89 Overflow Expoente>+4

Flutuante
■ Considere uma máquina com sistema de
representação de números definido por: base 10,
precisão de 4 dígitos na mantissa e expoente no
intervalo: [-6; 6]. Pede-se:
a) Qual o menor e o maior número em módulo
representado nesta máquina?
Menor: 0.1000x10-6
= 10-7
, Maior: 0.9999x106
=
999900
b) Como será representado o número 189,27
nesta máquina se for usado o arredondamento? E se
for usado o truncamento?
Trunc.: 0.1892x103
, Arred.: 0.1893x103
c) Se a = 2578 e b = 0,6 qual o resultado de a + b
se for usado o arredondamento? E se for usado o
truncamento?
Trunc.: 0.2578x104
, Arred.: 0.2579x104

Tipos de Erros
• Erro Absoluto (EAx
)
– Diferença entre o valor exato (x) e o valor aproximado ( )
–
• Erro Relativo
– É o erro absoluto dividido pelo valor aproximado
–

Tipos de Erros
• Geralmente, x não é conhecido.
• Obtém-se um limite inferior e um superior
• Exemplo
– π ∈ (3.14, 3.15)
– logo, |EAπ
| = |π- | < 0.01

Tipos de Erros
• Precisão com erro relativo
– Seja
• = 2112.9 de forma que |EAx
| < 0.1
• = 5.3 de forma que |EAy
| < 0.1
– Portanto, x é representado com maior precisão que y

Erros de Arredondamento e
Truncamento em Ponto Flutuante
• Exemplo:
– Seja x =
• x = 1,4142135623730950488016887242097...
– Em um computador, a mantissa possui tamanho
limitado
– Seja uma mantissa de tamanho 8 e base 10, x será
representado:
• Arredondamento: 0.14142136 * 10
• Truncamento: 0.14142135 * 10

• Seja x um ponto flutuante escrito na forma:
– , onde
– 0.1 ≤ fx
< 1 e 0.1 ≤ gx
< 1
– fx
corresponde aos dígitos de x que serão
representados
– gx
corresponde aos últimos dígitos, que não serão
representados
• Por exemplo, se t=4 e x = 234.57, então fx
=
0.2345 e gx
= 0.7

• No truncamento, gx
é desprezado
• Com isso, = fx
* 10e
– , visto que |gx
|<1
–

• No arredondamento, fx
é modificado de
acordo com gx
• O arredondamento mais utilizado é o
simétrico:

• Portanto, quando

• Portanto, para e para temos
• Importante:
– Apesar de incorrer em erros menores, o
arredondamento tem maior tempo de execução,
por isso o truncamento é mais utilizado.

Análise de Erros em Operações
Aritméticas de Ponto Flutuante

• Em todas as operações de ponto flutuante, o
erro no resultado é composto por:
– Erro das parcelas ou fatores
– Erro no resultado da operação
• No exemplos a seguir considere:
– Base 10
– Mantissa com 4 dígitos
– Acumulador de resultados com precisão dupla

• Exemplo 1:
– Dado x = 0.937*104
e y=0.1272*102
, obter x+y
– Adição em aritmética de ponto flutuante requer
alinhamento dos pontos decimais, logo:
• x = 0.937*104
e y =0.001272*104
– Então
• x+y = 0.937*104
e y =0.001272*104
= 0.938272 * 104
– Resultado com arredondamento
•
– Resultado com truncamento
•

• Exemplo 2:
– Sejam x e y do exemplo anterior, obter xy
xy = (0.937*104
) * (0.1272*102
)
xy = (0.937*0.1272) * 106
xy = 0.1191864 * 106
•
•

Os exemplos anteriores mostram que as
parcelas ou fatores de uma operação podem
estar exatos, mas o sistema não pode garantir
que o resultado armazenado seja exato

• Então, o erro relativo em uma operação com
ponto flutuante, sem erro nas parcelas ou
fatores, é:
– Arredondamento
– Truncamento

Propagação de Erros
• Erros relativo e absoluto quando há erro nos fatores
ou parcelas
– Suponhamos que o erro final é arredondado
– Sejam x e y, tais que:
– Adição
– Então:

Análise de Erros - Propagação
• Erro Relativo da Adição ⇨ Soma dos erros
relativos de cada parcela, ponderados pela
participação de cada parcela no total da soma.
• Erro Relativo da Subtração ⇨ Diferença entre
os erros relativos do minuendo e do
subtraendo, ponderados pela participação de
cada parcela no resultado da subtração.

• Erro Relativo da Multiplicação ⇨ Soma dos
erros relativos dos fatores.
• Erro Relativo da Divisão ⇨ Diferença entre os
erros relativos do dividendo e do divisor

• Nos erros anteriormente formulados, ainda
não consideramos o erro de arredondamento
ou truncamento no resultado final
• A análise completa da propagação do erro se
faz considerando os erros nas parcelas ou
fatores e no resultado de cada operação
efetuada

Ex.: Dada a soma x+y (x e y representados exatamente), faça
o cálculo de ER(x+y)
Como x e y são exatamente representados, ERx+y
se resume
ao Erro Relativo de Arredondamento (RA) no resultado
da soma.
EAx
= EAy
= 0,
∴ EAx+y
= 0

• Sistema de aritmética de ponto flutuante de
4 dígitos, precisão dupla
< Ex.: Seja x = 0,937 x104
, y = 0,1272 x102
e z
= 0,231 x101
, calcular x+y+z e ER(x+y+z)
, sabendo que
x, y e z estão exatamente representados.
Solução:
Alinhando as vírgulas decimais ( Alinhar sempre para o
maior expoente dentre os operadores ) :
x = 0,937000 x104
y = 0,001272 x104
e
z = 0,000231 x104

• Ex.: Seja x = 0,937 x104
, y = 0,1272 x102
e
z = 0,231 x 101
, calcular x+y+z e ER(x+y+z)
,
sabendo que x, y e z estão exatamente
representados.
Solução:
A soma é feita por partes: (x+y)+z
x+y = 0,937000 x104
+ 0,001272 x104
x+y = 0,938272 x104
(arredondamento)
x+y = 0,9383 x 104
= s
s+z = 0,9383 x 104
+ 0,000231 x 104
s+z = 0,938531 x 104
(arredondamento)
x+y+z = 0,9385 x 104

Solução:
s = x+y = então s = x + y = 0,9383 x 104
Cálculo do Erro Relativo:
EAx
=EAy
=0,
∴ ERx+y
=0

Solução:
EAz
=0,
∴ ERz
=0

Solução:

• Ex. :
Solução:

Neste vídeo educativo você aprendeu sobre
Erros nas soluções de cálculos por softwares.
Interaja no ambiente virtual, ele é o nosso
meio de comunicação!
Bons estudos!
Finalizando...
42
Professora: Adriana Viana

Referências
(ON-LINE) FRANCO, Neide Bertoldi. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Prentice
Hall, 2006. Disponível em: https://sinef.fumec.br/jsp/login.jsp>. Classificação: Ac.74113
(ON-LINE) SPERANDIO, Décio; MENDES, João Teixeira; SILVA, Luiz henry Monken e.
Cálculo numérico. São Paulo: Pearson, 2014. Disponível em:
https://sinef.fumec.br/jsp/login.jsp>. Classificação: Ac.74539
FRANCO, Neide Bertoldi. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
505p. ISBN 15 110 9788576050872. Classificação: 510.56 F825c 2006 Ac.51091
RUGGIERO, Márcia A. Gomes; LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo numérico:
aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, c1997.
406 p. ISBN 9788534602044. Classificação: 510.56 R931c c1997 2. ed. Ac.53254
SPERANDIO, Décio; MENDES, João Teixeira; SILVA, Luiz henry Monken e. Cálculo
numérico: características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos. São
Paulo: Pearson, 2003. ix, 354p. ISBN 9788587978741. Classificação: 510.56 S749c
2003 Ac.66847

PPT_02_CalculoNumerico.pptx.pdf

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a PPT_02_CalculoNumerico.pptx.pdf (20)

Mais de JosianeRezende11 (18)

Último (20)

PPT_02_CalculoNumerico.pptx.pdf