Estatística Aula10 Modelos probabilisticos

1
ESTATÍSTICA AULA 10
Modelos probabilísticos mais
comuns – Unidade 7
Para variáveis aleatórias discretas
Professor Marcelo Menezes Reis

2
Aulas prévias
 Conceitos básicos de probabilidade:
 Experimento aleatório, espaço amostral,
eventos, definições de probabilidade,
probabilidade condicional, independência.
 Variável aleatória:
 Conceito, variáveis discretas e contínuas,
valor esperado e variância.

3
Conteúdo desta aula
 Principais modelos probabilísticos:
 Variáveis aleatórias discretas:
binomial,
Poisson.
 Como usá-los no cálculo de
probabilidades.

4
Modelos para variáveis discretas
 Variável aleatória discreta: contradomínio
finito ou infinito numerável.
 Modelo binomial: aplicável a casos em
que o contradomínio é finito.
 Modelo de Poisson: também aplicável a
casos em que o contradomínio é infinito
numerável.

5
Modelo binomial
 Seja o seguinte experimento aleatório:
 Número finito (n) de ensaios.
 Cada ensaio tem apenas 2 resultados
possíveis: “sucesso” ou “fracasso”.
 Os ensaios são INDEPENDENTES
entre si.
p = prob. de sucesso 1- p = prob. de
fracasso são CONSTANTES.

6
Modelo binomial
 Experimento binomial
 X = no. de “sucessos” em n realizações.
 X segue o modelo binomial com os
parâmetros n e p.
 X = {0, 1, ..., n}
 E(X) = n × p V(X) = n × p × (1- p)

7
Modelo binomial
 Observar o número de caras em 3
lançamentos de uma moeda: n=3; p=0,5
 Observar o número de meninos nascidos
em 3 partos de uma família: n=3; p = x
 Observar o número de componentes
defeituosos em uma amostra de 10 que
apresentaram anteriormente 1% de
defeituosos: n = 10; p= 0,01.

8
Fórmula binomial
 A probabilidade de ocorrências de k
sucessos em n tentativas será:
k
n
k
k
,
n )
p
1
(
p
C
)
k
X
(
P 





)!
k
n
(
!
k
!
n
C k
,
n




9
Exemplo 1
 Veja o 3º exemplo da Unidade 7.
 Estudos anteriores mostraram que há
73% de chance de consumidoras
apresentarem uma reação positiva a
anúncios publicitários com crianças. Uma
agência apresentou um novo anúncio para
5 consumidoras. Qual é a probabilidade
de que pelo menos 3 das 5 consumidores
apresentem reação positiva?

10
Exemplo 1
 Para cada consumidora (“ensaio”) há
apenas 2 resultados: reação positiva ou
não.
 Há um número finito de realizações, n = 5.
 Definindo “sucesso” como reação positiva,
e considerando as consumidoras
“independentes”.

11
Exemplo 1
 A variável aleatória X, número de
consumidoras com reação positiva em 5
que assistiram o novo anúncio terá
distribuição binomial com parâmetros
 n = 5 e p = 0,73 (e 1- p = 0,27).
 Evento de interesse: X ≥ 3

12
Exemplo 1
 P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)
284
,
0
)
27
,
0
(
73
,
0
)!
3
5
(
!
3
!
5
)
27
,
0
(
73
,
0
C
)
3
X
(
P 2
3
2
3
3
,
5 









383
,
0
)
27
,
0
(
73
,
0
)!
4
5
(
!
4
!
5
)
27
,
0
(
73
,
0
C
)
4
X
(
P 1
4
1
4
4
,
5 









207
,
0
)
27
,
0
(
73
,
0
)!
5
5
(
!
5
!
5
)
27
,
0
(
73
,
0
C
)
5
X
(
P 0
5
0
5
5
,
5 









 P(X  3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
= 0,284 + 0,383 + 0,207 = 0,874

13
Modelo de Poisson
 Experimento binomial mas com n “infinito”.
 Modelo binomial não pode ser usado.
 Modelo de Poisson:
 Analisar as ocorrências em um período
contínuo.
 Uso de uma quantidade constante: valor
esperado.

14
Modelo de Poisson
 m =  × t
  = taxa de ocorrência do evento em um
período contínuo (histórico ou
experimental).
 t = período contínuo (tempo, área,
comprimento) sob análise.

15
Modelo de Poisson
 A variável aleatória X, número de
sucessos em um período contínuo t
seguirá o modelo de Poisson com os
parâmetros  e t.
!
k
m
e
)
k
X
(
P
k
m




 Onde m =  × t; e = 2,71...

16
Modelo de Poisson
 E(X) = m =  × t V(X) = m =  × t
 Modelo usado para modelar filas.
 Número mensal de acidentes de tráfego
em um cruzamento.
 Número de itens defeituosos produzidos
por hora em uma indústria.

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Tô afim de saber...
 Sobre modelos probabilísticos para
variáveis aleatórias discretas:
 BARBETTA, P.A., REIS, M.M., BORNIA,
A.C. Estatística para Cursos de
Engenharia e Informática. 2ª ed. São
Paulo: Atlas, 2008, capítulo 5.
 STEVENSON, Willian J. Estatística
Aplicada à Administração. São Paulo:
Ed. Harbra, 2001, capítulo 4.

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Próxima aula
 Modelos probabilísticos para variáveis
aleatórias discretas:
 Uniforme.
 Normal.
 t de Student.

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