GESTAR II Tp1 mat

MATEMÁTIC
GESTAR II
PROGRAMA GESTÃO
DA APRENDIZAGEM ESCOLAR
MATEMÁTICAMATEMÁTICANAALIMENTAÇÃOENOSIMPOSTOS–TP1GESTARII
Ministério
da Educação
GESTAR II
PROGRAMA GESTÃO
DA APRENDIZAGEM ESCOLAR

Presidência da República
Ministério da Educação
Secretaria Executiva
Secretaria de Educação Básica

PROGRAMA GESTÃO DA
APRENDIZAGEM ESCOLAR
GESTAR II
FORMAÇÃO CONTINUADA DE PROFESSORES DOS
ANOS/SÉRIES FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL
MATEMÁTICA
CADERNO DE TEORIA E PRÁTICA 1
MATEMÁTICA NA ALIMENTAÇÃO E NOS IMPOSTOS

Programa Gestão da Aprendizagem Escolar - Gestar II
Guias e Manuais
Autores
Elciene de Oliveira Diniz Barbosa
Especialização em Língua Portuguesa
Universidade Salgado de Oliveira/UNIVERSO
Lúcia Helena Cavasin Zabotto Pulino
Doutora em Filosofia
Universidade Estadual de Campinas/UNICAMP
Professora Adjunta - Instituto de Psicologia
Universidade de Brasília/UnB
Paola Maluceli Lins
Mestre em Lingüística
Universidade Federal de Pernambuco/UFPE
Ilustrações
Francisco Régis e Tatiana Rivoire
Diretoria de Políticas de Formação, Materiais Didáticos e de
Tecnologias para a Educação Básica
Coordenação Geral de Formação de Professores
Matemática
Organizador
Cristiano Alberto Muniz
Autores
Ana Lúcia Braz Dias - TP2, TP3 e TP5
Doutora em Matemática
Universidade de Indiana
Celso de Oliveira Faria - TP2, TP4, TP5, AAA1, AAA2 e
AAA3
Mestre em Educação
Universidade Federal de Goiás/UFG
Cristiano Alberto Muniz - TP1 e TP4
Doutor em Ciência da Educação
Universidade Paris XIII
Professor Adjunto - Educação Matemática
Nilza Eigenheer Bertoni - TP1, TP3, TP4, TP5 e TP6
Mestre em Matemática
Regina da Silva Pina Neves - AAA4, AAA5 e AAA6
Mestre em Educação
Sinval Braga de Freitas - TP6
Mestre em Matemática
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Centro de Informação e Biblioteca em Educação (CIBEC)
Programa Gestão da Aprendizagem Escolar - Gestar II. Matemática: Caderno de Teoria e
Prática 1 - TP1: matemática na alimentação e nos impostos. Brasília: Ministério da
Educação, Secretaria de Educação Básica, 2008.
228 p.: il.
1. Programa Gestão da Aprendizagem Escolar. 2. Matemática. 3. Formação de
Professores. I. Brasil. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica.
CDU 371.13
DISTRIBUIÇÃO
SEB - Secretaria de Educação Básica
Esplanada dos Ministérios, Bloco L, 5o Andar, Sala 500
CEP: 70047-900 - Brasília-DF - Brasil
ESTA PUBLICAÇÃO NÃO PODE SER VENDIDA. DISTRIBUIÇÃO GRATUITA.
QUALQUER PARTE DESTA OBRA PODE SER REPRODUZIDA DESDE QUE CITADA A FONTE.
Todos os direitos reservados ao Ministério da Educação - MEC.
A exatidão das informações e os conceitos e opiniões emitidos são de exclusiva responsabilidade do autor.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO BÁSICA
PROGRAMA GESTÃO DA
APRENDIZAGEM ESCOLAR
GESTAR II
FORMAÇÃO CONTINUADA DE PROFESSORES DOS
ANOS/SÉRIES FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL
MATEMÁTICA
CADERNO DE TEORIA E PRÁTICA 1
MATEMÁTICA NA ALIMENTAÇÃO E NOS IMPOSTOS
BRASÍLIA
2008

Apresentação......................................................................................................7
PARTE I
Apresentação das unidades...................................................................................11
Unidade 1: Explorando conceitos matemáticos numa discussão sobre alimentação..........13
Seção 1: Integrando a matemática ao mundo real: estudando
proporcionalidade na alimentação dos animais..........................................................15
Seção 2: Construção do conhecimento matemático em ação:
explorações matemáticas no campo conceitual da proporção.......................................22
Seção 3: Transposição didática: convidando os alunos
a analisarem matematicamente sua saúde..................................................................37
Leituras sugeridas...................................................................................................43
Bibliografia...........................................................................................................44
Texto de referência – Resolução de problemas...........................................................45
Soluções das atividades...........................................................................................55
Unidade 2: Alimentação para a saúde ......................................................................59
Seção 1: Situação-problema “Alimentação versus carência alimentar:
uma questão meramente biológica?”.........................................................................60
Seção 2: Construção do conhecimento
matemático em ação: números e álgebra...................................................................64
Seção 3: Transposição didática: pesquisando o consumo
de ferro na nossa alimentação..................................................................................80
Leituras sugeridas...................................................................................................85
Bibliografia...........................................................................................................86
Texto de referência – Teoria dos campos conceituais..................................................87
Soluções das atividades...........................................................................................95
Unidade 3: Imposto de Renda e Porcentagem...........................................................101
Seção 1: Resolução de situação-problema: o conceito de
porcentagem relacionado ao Imposto de Renda........................................................102
Seção 2: Construção do conhecimento
matemático em ação: porcentagem.........................................................................108
Seção 3: Transposição didática: impostos e porcentagens...........................................129
Leituras sugeridas.................................................................................................139
Bibliografia.........................................................................................................140
Texto de referência – Currículo de matemática em rede............................................141
Soluções das atividades.........................................................................................149
Sumário

Unidade 4: Impostos, gráficos, números negativos.....................................................157
Seção 1: Resolução de situação-problema:
Impostos e carga tributária – Cálculos e Porcentagens................................................158
Seção 2: Construção do conhecimento matemático em ação:
representação de dados em gráficos de barras e circulares.
Números negativos e traçado de ângulos.................................................................170
Seção 3: Transposição didática: gráficos de barras e circulares,
traçado de ângulos e números negativos.................................................................182
Leituras sugeridas.................................................................................................189
Bibliografia.........................................................................................................190
Texto de referência – Transposição Didática:
O professor como construtor de conhecimento.......................................................191
Soluções das atividades.........................................................................................199
PARTE II
Socializando o seu conhecimento e experiências de sala de aula.................................205
PARTE III
Sessão Coletiva 1............................................................................................211
Sessão Coletiva 2.................................................................................................216
Anexos.........................................................................................................225

Apresentação
Caro Professor, cara Professora:
Ao iniciar este módulo é importante que você tenha uma visão mais ampla da proposta
de Matemática, como estão estruturados os módulos em unidades e estes em seções. É
necessário, caro professor, que você vá se situando, momento a momento, nos diferentes
estágios e circunstâncias da proposta.
Primeiro reconhecimento que você fará é que a matemática se apresenta na pro-
posta impregnada em diferentes aspectos da vida real e em situações significativas. Um
segundo reconhecimento imediato é da provocação do desenvolvimento dessa visão de
matemática junto aos seus alunos.
Este trabalho foi elaborado, com carinho e muita dedicação, pensando em você,
nos seus interesses, nas suas necessidades e nas suas dúvidas e facilidades. A idéia
central que conduziu a produção da equipe foi, a todo momento, que tipo de proposta
levar a você que possa ser de real valor para ajudá-lo a melhor desenvolver seu trabalho
pedagógico em matemática nas séries finais do ensino fundamental.
Sem dúvida, trata-se de uma proposta muito abrangente quando vemos que se
destina a professores de diferentes regiões do nosso Brasil. Por isso, foi importante nossa
vivência com formação de professores, nos mais diferentes espaços geográficos, para que
a proposta se aproxime o máximo possível dos seus interesses e necessidades.
Pensar na qualidade do trabalho pedagógico em sala de aula em Matemática re-
quereu num duplo pensamento: de um lado, no próprio fazer matemático do professor,
ou seja, o quanto de matemática e que tipo de matemática precisamos saber para desen-
volvermos um bom trabalho; de outro lado, no fazer pedagógico, do como trabalhar a
matemática com nossos alunos.
Essa preocupação fez com que a proposta fosse estruturada a partir de três eixos:
– Conhecimentos matemáticos: um convite ao “fazer matemático”.
– Conhecimentos de Educação Matemática: um convite à leituras, reflexões e dis-
cussões acerca do tema.
– Transposição Didática, que implica conhecimentos para a sala de aula.
Cada caderno será composto de 4 unidades, sendo que em cada unidade você
encontrará conhecimentos relacionados aos três eixos.
Os conhecimentos matemáticos para você, professor do GESTAR, serão desenvol-
vidos em dois momentos:
A – Na seção 1 de cada unidade, ao vivenciar a resolução de uma situação-
problema como uma estratégia para mobilizar conhecimentos matemáticos já conheci-
dos ou buscar outros que emergem naturalmente no contexto.
B – Na seção 2, pela construção de conhecimentos matemáticos em ação, na qual,
a partir da situação-problema da seção 1, procuraremos buscar e elaborar procedimentos
e conceitos matemáticos envolvidos.

Os conhecimentos matemáticos para os alunos serão desenvolvidos na seção 3.
Educar envolve muito mais que preparar uma boa aula, estruturar atividades e apresen-
tar um conteúdo de forma organizada. Você, professor, precisa estar “afiado” também
em outros aspectos da Educação Matemática: o “contrato didático”, as novas dimen-
sões do currículo, o papel das interações dos alunos entre si e com o professor em sua
aprendizagem...
São estes assuntos que compõem o segundo eixo de estruturamento dos módulos
de matemática do GESTAR, o eixo “Conhecimentos de Educação Matemática”, e sobre
os quais vamos conversar em dois espaços:
A – No Texto de Referência que aparece ao final de cada unidade e
B – Em pequenos textos que podem surgir nas seções 2 e 3, que aparecem em
quadros com o título “Aprendendo sobre Educação Matemática”.
Nestes dois espaços você vai encontrar estes assuntos sistematizados textualmente.
Mas esperamos que você aprenda sobre educação matemática também na prática, ao
longo de toda a unidade. Como se dará isto?
Ao iniciarmos cada Unidade com uma situação-problema, já estamos fazendo que
você vivencie um novo modo de aprender matemática, a partir de situações do mundo
real e que, para sua solução, requerem a busca e a construção de conhecimentos mate-
máticos. Essa busca e construção ocorrem, portanto, a partir de necessidades geradas
por uma situação real, e não impostas dentro de uma concepção linear de currículo.
Ou seja, os módulos do GESTAR fazem uso de teorias de Educação Matemática
para ajudá-lo a crescer em sua relação com a matemática e no modo como você a utiliza
em sua vida. Vivendo, na prática, um processo de Educação Matemática, e aprendendo
mais sobre essa área do conhecimento nos quadros e no Texto de Referência, você
poderá entender e ajudar a construir a Educação Matemática de seus alunos.
Os conhecimentos relativos ao terceiro eixo de estruturação dos módulos, a Trans-
posição Didática, aparecem sempre na seção 3. Ela visa a ajudá-lo a conhecer e produ-
zir situações didáticas que facilitem o desenvolvimento, em sala de aula, de conheci-
mentos matemáticos vistos nas seções 1 e 2.
Portanto, as seções 1 e 2 são voltadas para o seu processo de Educação Matemá-
tica. A seção 3 procura ajudá-lo em um dos aspectos da Educação Matemática de seus
alunos: o modo como você poderá fazer, em sala de aula, a Transposição Didática, dos
conteúdos matemáticos que você trabalhou nas seções 1 e 2.
Nós quatro esperamos fielmente que este caderno provoque momentos de dúvidas,
desafios, aventuras e, acima de tudo, alegria e satisfação diante da oportunidade de
expandir seus limites realizando novas e interessantes aprendizagens. Um bom trabalho
e até breve!

• Unidade 1
• Unidade 2
• Unidade 3
• Unidade 4
PARTE I
TEORIA E PRÁTICA 1

GESTAR II
TP1 - Matemática
Caro professor, cara professora:
Iniciar novos caminhos é sempre um bom momento em nossas vidas. Ainda mais se
começamos a caminhada com vontade e disposição, esperando encontrar coisas e pes-
soas interessantes, que nos ajudarão a aumentarmos nosso conhecimento, modificarmos
nossa visão do mundo e desenvolvermos nossas competências para um saber viver e
uma atuação profissional melhores.
É sempre bom conhecermos, de antemão, a rota que vamos percorrer. No TP1, ela
compreende quatro etapas: as Unidades 1, 2, 3 e 4, todas com temas relevantes para
nosso viver no mundo atual.
As unidades são interligadas, duas a duas.
O tema central das duas primeiras é a questão da boa alimentação, condição
essencial de vida e de saúde. A Unidade 1 aborda a alimentação dos animais, em geral.
A Unidade 2 aborda a alimentação do ser humano.
Já as duas unidades seguintes tratam de impostos, algo de que nenhum cidadão
escapa, você sabia disso? A unidade 3 gira em torno do Imposto de Renda; a Unidade 4,
em torno de impostos em geral.
Cada uma delas inicia-se com uma situação-problema relacionada a esses temas.
Isso não é estimulante? Partir de problemáticas importantes e usar a matemática para
resolver situações-problema relacionadas, fazendo hipóteses, tentativas, remexendo em
conhecimentos que já vimos e buscando outros.
Neste TP1, os conhecimentos envolvidos nas situações-problema e desenvolvidos
nas Unidades são básicos para a matemática da 5a
à 8a
série ou 6o
ao 9o
ano.
Assim, nas Unidades 1 e 2 serão tratados medidas e decimais, áreas e volumes,
razão, proporcionalidade, escalas, tabelas e gráficos e equações.
Nossa! Mas, se tanta coisa foi tratada nas duas primeiras unidades, talvez seja bom
voltar a alguns deles e discuti-los mais pausadamente, concorda?
É o que acontece nas Unidades 3 e 4. Levaremos um tempão, na Unidade 3,
esmiuçando o conceito de porcentagem, desenvolvendo aspectos novos relacionados a
esse conceito. Depois, trataremos dos números racionais e irracionais, proporções e
Vem, vamos embora, que esperar não é saber
Quem sabe faz a hora, não espera acontecer
Caminhando - Pra Não Dizer que Não Falei das Flores
Geraldo Vandré

regra de três, razões de semelhança. Na Unidade 4, surgirão gráficos não cartesianos,
números negativos e ângulos.
Ao final de cada Unidade, temos um presente para você. Procure um canto solitá-
rio e uma hora em que lhe dê vontade de pensar sem ninguém para atrapalhá-lo.
Mergulhe no texto de Educação Matemática do final de cada unidade. Deixe seu pensa-
mento ir e voltar do texto para a sua prática, muitas vezes.
Veja o nome de cada texto :
• Resolução de Problemas.
• Teoria dos Campos Conceituais.
• Currículo de Matemática em Rede.
• Transposição didática - O professor como construtor de conhecimento.
Não dá vontade de abrir logo o presente? Boa caminhada a você e a nós todos!

13
Unidade 1
Vamos desenvolver nossas atividades a partir de um assunto de alta relevância: a
necessidade de uma boa alimentação como condição essencial de vida e de saúde.
Assim, você está recebendo um material cujo objetivo é harmonizar os conteúdos abor-
dados neste caderno de Teoria e Prática (TP) e articular os temas escolhidos na constru-
ção das situações-problema e na transposição didática. Logo, as unidades iniciais deste
TP estarão estruturadas em torno da temática alimentação.
A primeira unidade será dedicada a situações que dizem respeito à alimentação dos
animais em geral, e explora o quanto um animal come e o quanto precisaria comer para
ter saúde, e explora situações nas quais a produção de alimentos torna-se um ramo de
interesse tanto da economia como da ecologia.
Na segunda unidade, será explorado o tema “alimentação do ser humano”,
mais especificamente as necessidades nutricionais, assim como a carência de ferro
no organismo decorrente de uma má alimentação. Assim, veremos que a qualidade
da alimentação diz respeito não apenas à quantidade ingerida, mas também à quali-
dade dos alimentos, em especial seus nutrientes. Esse enfoque será trabalhado na
unidade seguinte quando o tema da situação-problema será a qualidade da alimenta-
ção dos brasileiros.
É um assunto repleto de conhecimentos não só físicos e químicos, mas, como
vimos acima, de conceitos matemáticos que nos possibilitam uma exploração de situa-
ções interessantes. Conceitos centrais que serão tratados nesse tema alimentação são
equações, área e volume, tratamento de informações, medidas e decimais (comparação
e operação). Esta unidade está organizada em três seções:
1. Resolução de situação-problema
Na resolução da situação-problema, a partir de um texto sobre a alimentação de
alguns animais, poderemos refletir sobre a questão de proporcionalidade apoiado
sobre diferentes formas de registro de informações matemáticas, em especial a lingua-
gem dos gráficos.
Serão vitais conceitos matemáticos para a resolução da situação tais como a idéia
de escala e, portanto, de razão. A situação-problema será um bom “gancho” para uma
primeira exploração de conceitos de porcentagem que serão aprofundados em unidades
posteriores.
Iniciando a
nossa conversa
Explorando conceitos matemáticos
numa discussão sobre alimentação

TP1 - Matemática na Alimentação e nos Impostos - Parte I
14
2. Construção do conhecimento matemático em ação
A partir das provocações iniciadas na situação-problema, em especial envolvendo
conceitos matemáticos ligados à noção de proporcionalidade, você terá uma importan-
te oportunidade, professor, de revisitar alguns conceitos e alguns procedimentos, ou
mesmo construir novos conhecimentos e sistematizar outros, os quais poderão, quem
sabe, ajudar a conceber formas mais adequadas de resolver a situação-problema pro-
posta na seção 1.
A partir dessa situação e do conteúdo central, teremos a oportunidade de mobilizar
conceitos sobre medidas de comprimento, de superfície, de volume, de massa, de capa-
cidade, de tempo, de ângulos, além da exploração de figuras espaciais. A exploração de
organização de informações em tabelas e gráficos será uma constante ao longo da pro-
posta desta unidade.
3. Transposição didática
Após suas próprias experiências e aventu-
ras matemáticas propiciadas pelas ativida-
des propostas nas seções 1 e 2, é hora de
você, professor, pensar na sua prática de
sala de aula: do que foi vivenciado, o que
podemos levar para seus alunos, com as
devidas adaptações?
Continuando a idéia de propor “ati-
vidades”, como foi feito nas seções ante-
riores, continuare-
mos a convidá-lo a
realizar “atividades”,
mas, agora, é dife-
rente!!!! As ativida-
des são propostas de
ida à sala de aula,
para experimentar
tais aventuras mate-
máticas junto com
os alunos, procurando observar e regis-
trar os resultados para uma futura discus-
são com os demais professores colegas
que também participam do GESTAR.
Nesta primeira unidade o convite será
de levar para a sala de aula experiências
envolvendo medidas, organizando as in-
formações em tabelas e gráficos. A partir
das informações obtidas, explorar a idéia
de “valor médio”. A exploração de fór-
mulas em situações significativas para os
alunos será igualmente proposta.
A seção termina com um pequeno
texto sobre a noção de estética que po-
derá ser levado aos alunos para discus-
são da temática.
Todas as unidades serão seguidas de
um Texto de Referência que tem por ob-
jetivo focalizar as bases teóricas em Edu-
cação Matemática que dão sustentação
ao trabalho e que merece leitura e refle-
xão do professor.
Caro professor,
não deixe de ler o
Texto de Referência,
pois ele é muito im-
portante na sua for-
mação no campo
da Educação Mate-
mática, sendo pro-
duzido ou selecionado por nós pensan-
do especialmente em você. Os textos
trazem sínteses importantes que você só
obteria lendo muitos e variados textos.
O nosso texto dá a você uma primeira
visão sobre temas de alta relevância
para o ensino de matemática.
Nesta unidade o Texto de Referên-
cia trata da importância da resolução de
situações-problema para a aprendizagem
significativa da matemática.
Do que foi
vivenciado, o que
podemos levar para
seus alunos, com as
devidas adaptações?

15
Ao longo desta unidade, esperamos que você possa estar constituindo conheci-
mentos como:
1 – Com relação ao seu conhecimento de conteúdos matemáticos:
– Identificar os conceitos de volume, de medidas, de tratamento de informações, de
números decimais, equações em que estes possam servir de base para a construção de
procedimentos para tomada de decisões e resolução de situações-problema inseridos no
contexto de alimentação.
2 – Com relação aos seus conhecimentos sobre Educação Matemática:
– Caracterizar situações-problema, campo conceitual, currículo em rede e o fazer
matemático do aluno.
3 – Com relação à sua situação em sala de aula:
– Conhecer e produzir, com relação aos temas tratados, situações didáticas adequa-
das à série em que atua envolvendo medidas, tabelas, gráficos e médias, noção de
ângulos e figuras geométricas.
Definindo o
nosso percurso
Seção 1
Integrando a matemática ao mundo real:
estudando proporcionalidade na alimentação dos animais
Esperamos que ao longo desta seção você possa, resolvendo uma situação-proble-
ma, mobilizar e desenvolver conhecimentos relacionados a:
• Reconhecimento da matemática no mundo dos alimentos e da saúde: mobilizar
conceitos de números decimais, área, volume, equações, porcentagem e medidas na
resolução de situação-problema, permitindo o desenvolvimento de um pensamento críti-
co frente a situações envolvendo questões de alimentação e saúde.
• Reconhecimento da existência de um campo conceitual de números e propor-
ções numa situação envolvendo o tema alimentação.
Objetivo
da seção

Integrando a matemática ao mundo real: estudando proporcionalidade na alimentação dos animais
Seção1
16
Veja o texto abaixo:
Os animais são curiosos pelas suas interessantes dietas e padrões de alimentação.
Por exemplo, o urso pardo é um animal muito temido pelo seu tamanho e força,
ainda que prefira comer frutas. E embora o urso polar possa comer quase 20% do
peso do seu corpo durante uma refeição, ele pode fazer esta refeição de seis em seis
dias. Veja a seguir algumas informações sobre a quantidade de comida que diferentes
animais comem normalmente:
• O urso polar macho pode pesar mais do que 680kg e poderá comer cerca de 68kg
durante uma refeição de 30 minutos, isto significa que ele necessita em torno de 11kg
diários, já que faz suas refeições a cada seis dias.
• Um morcego pesa cerca de 28g e poderá comer 28 gramas de comida por dia.
• A abelha rainha pesa cerca de 0,113 grama mas poderá comer cerca de 9 gramas
de comida por dia quando está pondo ovos.
• Em média, um tigre pesa cerca de 227kg e pode comer cerca de 35kg de carne
numa única refeição. Em compensação, os tigres esperam vários dias para atacar um
animal e fazer uma nova refeição, então ele utiliza, em média, 6,4kg de comida para
manter sua energia corporal.
• Em média uma hâmster fêmea pesa cerca de 100g e consome cerca de 11g de
comida por dia.
• Um elefante normalmente pesa 4,1 toneladas e come cerca de 180kg de comida
por dia.
• Em média um beija-flor pesa cerca de 3,1g e deve comer cerca de 10 minutos
durante um dia. O beija-flor deverá consumir aproximadamente 2g de comida por dia.
(Tradução livre – Animals as our Companions, Word’s Largest Math, NCTM)
Resolução de situação-problema:
proporcionalidade na alimentação dos animais
Você acredita nisto? Que uma abelha rai-
nha pode comer mais que um elefante? Mais
que um urso polar ou tigre? E mais, um
morcego come mais do que um elefante,
também.
É necessário analisar com cuidado, já
que a abelha come mais do que o urso se
estabelecermos uma relação entre o peso
daquilo que come com o seu peso.

Explorando conceitos matemáticos numa discussão sobre alimentação
Unidade1
17
Atividade 1
Vamos analisar os dados construindo um gráfico de barras no qual uma das barras
apresente o peso médio do animal (para cada um apresentado no texto) e a outra, a
quantidade de comida de que ele precisa diariamente.
Ao fazer as representações você deve ter observado que, por estar trabalhando com
animais de tamanhos tão diferentes, fica difícil apresentar num mesmo eixo de sistema de
coordenadas o peso de todos os animais (por exemplo, o peso do elefante e o da
abelha). Dessa forma, seria interessante agruparmos os animais maiores em um grupo e
os menos pesados em outro grupo.
Com os animais separados em dois grupos, pode-se fazer uma representação gráfi-
ca em quilos e outra em gramas. Dessa forma, estaremos utilizando escalas diferentes.
Articulando
conhecimentos
Escala: pode ser definida com uma razão entre dois números, dois valores ou
medidas. A escala é dada por um número, indicando a relação entre os dois termos
considerados, e desprovido de uma grandeza, sendo portanto um “número puro”, indica
“quantas vezes um está em relação ao outro”. A escala é muito usada no desenho, como
em reduções e ampliações, em croquis, plantas e mapas, muito útil em navegação e nas
ciências de forma geral. Nas artes, na música, na culinária e no artesanato encontramos
a presença da escala, apesar de muitas vezes as pessoas não tomarem consciênca de tal
presença e de sua importância.
A representação gráfica de escalas é uma constante no nosso dia-a-dia, ou seja,
sobretudo nos mapas e em plantas, nos quais, por meio da definição de segmentos e sua
medição, podemos encontrar a relação existente nas distâncias no desenho com as
Peso
Animal
Animais maiores Animais menores
Urso polar Morcego
Tigre Abelha rainha
Elefante Hâmster
Beija-flor

Seção1
18
Para uma melhor idéia de esca-
la, caso tenha dúvidas sobre o seu con-
ceito, meça com uma régua centime-
trada (graduada em centímetros e em
milímetros) o desenho da figura ao
lado, e reproduza a tartaruga aumen-
tando proporcionalmente três vezes
suas dimensões. Assim, diríamos que
a escala seria de 1:3, ou seja, cada
centímetro do desenho abaixo repre-
sentará 3 centímetros do seu desenho.
distâncias reais. Um uso mais complexo das escalas está presente nos gráficos, muito
presente hoje nas mídias, sendo importante ao leitor crítico levar em conta as escalas
utilizadas para que possa ter uma compreensão adequada do fenômeno representado
graficamente.
Nos mapas antigos observa-se que as escalas utilizadas não respeitam as reais
proporcionalidades das diferentes regiões, apresentando um desequilíbrio entre as
dimensões. Esse desequilíbrio tem um forte cunho político, uma vez que a represen-
tação é influenciada mais pelas condições econômicas e políticas do que pelas de
cunho geofísico.
A escala enquanto razão e sua representação gráfica será objeto de estudo ao
longo deste programa do GESTAR.

Unidade1
19
Atividade 2
Refaça a representação dos gráficos em escalas diferentes, apropriados a cada
um deles.
Veja que o desenho em escalas diferentes nos permite melhor analisar os resultados
e os dados. Observando os gráficos, comparando a quantidade de comida com o peso
do animal, responda às perguntas:
1 – Qual animal come mais?
2 – Qual animal come menos?
3 – Dentre os animais menores, qual come mais? E menos?
4 – Dentre os animais maiores, qual come mais? E menos?
Você pode perceber que fazer essa análise em relação à representação gráfica não
é ainda uma tarefa simples, pois a comparação deve ser feita observando-se a diferença
entre o peso do animal e o quanto come. Então qual seria uma estratégia melhor para
analisar os dados? Uma boa estratégia é usar uma mesma comparação válida para os
animais, tal como comparar a diferença em relação a 100kg para os animais mais pesa-
dos e 100g para os animais menores.

Seção1
20
Claro que essa comparação poderia ser feita em relação a 1.000kg (ou 1.000g) ou
10kg (ou 10g). Isso vai depender do referencial que se queira. Compararemos em rela-
ção a 100, uma vez que na matemática já temos o conceito porcentagem que representa
uma comparação em relação a 100.
Atividade 3
Vamos organizar os dados acima em uma tabela para podermos analisar melhor.
Na primeira coluna, coloque o peso médio de cada animal; na segunda, o quanto de
comida precisa aproximadamente por dia; na terceira coluna, tente fazer o cálculo men-
talmente e registre. Na última coluna, use uma calculadora e calcule qual porcentagem
representa um dia de alimentação a partir do seu peso.
Veja o primeiro exemplo:
Atenção!
Caro professor, esperamos que tenha notado que os dados da alimentação dos ani-
mais referem-se a doses diárias; porém, no caso do tigre, isso não é verdade, o que
vai influenciar nas respostas. Caso não tenha prestado atenção a esse fato, volte à
situação e verifique os dados de cada animal.
ANIMAL PESO MÉDIO COMIDA/DIA % ESTIMADO PORCENTUAL
Urso polar 680kg 11kg 1,5%
Morcego
Abelha rainha
Tigre
Hâmster
Elefante
Beija-flor
A porcentagem é um conceito que mostra uma razão e será objeto de estudo ao
longo deste TP e em outras unidades dos demais Cadernos de Teoria e Prática.
Articulando
conhecimentos

Unidade1
21
Agora seria interessante fazermos um gráfico de coluna, no qual o eixo horizontal
(das abscissas) registre os diferentes tipos de animais da tabela, e no eixo vertical (das
ordenadas) sejam registradas as porcentagens. Para tanto, é importante que no eixo
vertical o intervalo de valores (entre o máximo e o mínimo) possibilite que consideremos
todos os valores percentuais encontrados na tabela anterior.
Atividade 4
Quanto de comida você come por dia em relação ao seu peso? Que tal você fazer
uma estimativa do quanto você come?
Faça também a análise de seu estado de saúde relacionando a proporção entre o
seu peso e a quantidade de comida consumida diariamente por você. Quanto à qualida-
de da nossa alimentação, isso será tema de discussão na Unidade 2 deste TP. Conside-
rando essa razão entre o que você come e seu peso corporal, podemos dizer que você
come proporcionalmente como um elefante, tigre, urso, hâmster, beija-flor, morcego ou
abelha rainha?
Caro professor, devemos perceber que as atividades iniciais desta Unidade nos
levam a tratar de um conjunto de conceitos matemáticos que aparecem nas situações
e no processo de resolução integrada, de tal modo que um conceito perpassa outro,
com procedimento envolvendo mais do que uma única idéia matemática. Tal fato fica
mais evidenciado ao vermos que, ao trabalharmos com proporções, acabamos por
lidar com idéias de múltiplos, ordem de grandeza, razões, divisão, escalas, medidas,
fracionamentos do inteiro e representações gráficas, dentre outros. Esses conceitos
matemáticos coexistem em situações de proporcionalidade, todos eles articulados
entre si. Essa coexistência entre os conceitos e as situações determina o que defini-
mos como campo conceitual. Um campo conceitual é composto por um conjunto de
conceitos que se entrelaçam de forma que um conceito delineia e implica outro. Um
campo conceitual permite ao professor constatar de que forma e em que medida agir
sobre um conceito (por exemplo, tratar o conceito proporção) implica agir sobre
outros a ele conectados, como o de multiplicação.
Aprendendo sobre Educação Matemática

22
Seção 2
Construção do conhecimento
matemático em ação: explorações
matemáticas no campo conceitual da proporção
Esperamos que ao longo desta seção você possa:
• Revisitar seus conceitos de medidas, área, volume, média, gráficos, fórmu-
las e equações.
• Caracterizar campo conceitual.
Objetivo
da seção
A situação-problema proposta na seção anterior permitiu que você utilizasse vários
conceitos e temas matemáticos. Assim a matemática foi utilizada como uma ferramenta
para interpretar e resolver a situação.
A proposta deste curso é que os temas matemáticos sejam trabalhados em REDE.
Assim os conteúdos não seguirão, a priori, a ordem curricular a que estamos acostumados.
Nesta segunda seção estaremos estudando mais profundamente alguns temas mate-
máticos que você utilizou para resolver a situação-problema. Alguns temas você, inclusi-
ve, deve trabalhar com seus alunos em sala de aula. Portanto, é o momento de rever
conceitos, reforçar definições e, assim, poder até mesmo reformular algumas das suas
práticas. Bom trabalho!
Ao final desta seção você deverá:
• ter estudado unidades de medidas de superfície e capacidade, observando suas rela-
ções e aplicabilidade;
• caracterizar a utilização mais adequada de alguns gráficos estatísticos para apresenta-
ção de resultados.
Atividade 5
O Brasil possui uma grande criação de bovinos. Um dos motivos para isso é, além
de um clima e relevo altamente favoráveis, a existência de grandes áreas para formação
de pastos. Segundo informações conseguidas na internet, um boi deve pesar de 400kg a
480kg para ser abatido, e em época de seca ele deve comer de 20kg a 25kg diários de
uma mistura feita de cana-de-açúcar e uréia.
Analisando o peso máximo de 480kg e a alimentação diária de 25kg, quais dos
animais analisados na atividade 1 comem proporcionalmente o que o boi consome por
dia em relação ao seu peso?

Unidade1
23
Atividade 6
Falar sobre a alimentação de bovinos é uma questão séria, dado que esse é um tipo
de carne que nós consumimos com muita freqüência. Por exemplo, você sabia que a
doença denominada de “vaca louca” surgiu porque os criadores de bovinos começaram
a usar restos de carne de bois na alimentação do gado?
O boi é um animal que tipicamente se alimenta de vegetais, é herbívoro. Para agilizar
a sua engorda, os criadores acrescentam carne na dieta dos animais, proporcionando uma
engorda mais rápida. Porém, por ser um animal não adaptado a esse tipo de alimentação,
os bovinos começaram a apresentar algumas anomalias, como a doença da “vaca louca”.
Por isso, todo cuidado na criação e confinamento dos animais é importantíssimo.
Por exemplo, qual seria uma área ideal para o confinamento bovino para uma criação de
100 animais?
Intuitivamente, qual área você consideraria suficiente? Vamos pensar:
Qual área você acha que cada animal precisaria para seu bom desenvolvimento
num processo de confinamento? Quanto de comprimento e largura você acha que o boi
pode ter? Qual área ocuparia esse boi? Deveria existir uma área livre para eles deitarem?
Mãos à obra! Faça os cálculos!
Veja algumas orientações sobre o confinamento de bovinos:
As instalações para confinamento de bovinos de corte devem ser bastante sim-
ples, funcionais, principalmente visando às dificuldades ainda existentes no Brasil
para a prática, de modo que um investimento inicial alto, com instalações sofistica-
das, colocaria em risco o sucesso do empreendimento. Ressalta-se aqui que, nem
sempre, sofisticação se traduz em praticidade. Tem sido observado em determinadas
regiões do país aproveitamento de galpões ociosos (em determinada época do ano)
como local para beneficiamento de cereais, abrigo para animais etc., com bom resul-
tado econômico para a finalidade proposta, de acordo com a região.
Dependendo do número e do tipo de animais, do regime de alimentação, do
período do confinamento, existem diversos sistemas de confinamento, a céu aberto,
parcialmente coberto, fechado ou curral coberto.
Sistema a Céu Aberto: Esse sistema consiste de instalações simples, nas quais os
bebedouros e os cochos podem ser distribuídos ao longo das cercas ou dentro dos
currais (no centro), dependendo do tamanho e da localização, a fim de facilitar o
manejo da alimentação. A área próxima aos cochos e bebedouros deve ser revesti-
da, de alguma forma, para impedir a formação de lama, o que dificulta o acesso dos
animais.
A área necessária para esse sistema de confinamento é de 10m2
a 14m2
por
animal. A prática ensina que não se deve encerrar mais que 150 a 200 animais por
instalação ou piquete.
Sistema Parcialmente Coberto: As características desse sistema são as mesmas do
curral a céu aberto, com exceção dos cochos para a alimentação, que são cobertos,

Construção do conhecimento matemático em ação: explorações matemáticas no campo conceitual da proporção
Seção2
24
e uma cobertura de cama para os animais, que pode ser próxima aos cochos. A
cobertura do cocho deve ter pelo menos 3,5m de largura, com o objetivo de projetar
uma proteção sobre o calçamento.
Sistema Fechado ou Curral Coberto: Nesse sistema, os animais são confinados
no sentido restrito da palavra, ou seja, são colocados em pequenas áreas, limitando-
se a se movimentar entre a procura de alimento e água. A área necessária para esse
tipo de confinamento é de 4m2
por animal, com pé direito nas coberturas de 3,5m a
4 metros. A altura do cocho deve ser de 60cm a 70cm.
Observação: é denominado de “pé direito” a medida da altura interna de uma
construção, ou seja, medindo por dentro do cômodo, a altura entre o piso e o teto. O
termo é usado em engenharia, arquitetura e construção civil, e é muito comum no
vocabulário dos mestres-de-obra, pedreiros etc.
Atividade 7
Os resultados encontrados neste texto estão compatíveis com a sua previsão? O
levantamento que você fez está mais próximo de qual tipo de confinamento?

Unidade1
25
Um elemento interessante na formação de um confinamento é o cocho para que o
animal possa comer ou beber água (apesar de que água seja muito restrita para animais
em engorda). Se todos os cem animais fossem comer ao mesmo tempo, qual seria o
comprimento necessário do cocho?
Atividade 8
Se cada animal em pé pode medir até 1m de largura, qual seria o comprimento
necessário do cocho?
1m x 100 – seriam necessários 100m de cocho. Porém, se o cocho estiver interno
ao curral, o animal pode usar os dois lados. Isto reduziria nosso cálculo pela metade, ou
seja, 50m de cocho. Será que dentro da área de curral pensada acima, haveria espaço
para esse cocho?
Para criar 100 bois em confinamento aberto com área mínima de 10m2
, então será
necessário um curral de 1.000m2
.
Se for construído um cocho de 50m de comprimento com uma área livre para
locomoção do animal (veja figura), qual seria o comprimento mínimo para completar os
10.000m2
?
Ao construir esse cocho de 50m, qual será o seu volume total do interior, sabendo-
se que a altura deva ser de 40cm? Vamos pensar em um cocho com as seguintes
proporções:

Seção2
26
O conceito do cálculo do volume
é similar ao do cálculo da área. Enquan-
to o cálculo da área tem como objetivo
saber quantos quadrados de 1m de lado
cabem na superfície, calcular o volume
significa determinar quantos cubos de 1m
de aresta cabem no espaço. Veja a figura
ao lado.
Tal atividade pode ser realizada com
os blocos do material dourado montes-
soriano, lembrando que o grande cubo
tem 10cm de aresta sendo, portanto, um
exemplo de 1 decímetro cúbico, enquanto
a unidade, ou seja, o pequeno cubo, tem
1cm de aresta, sendo, portanto, um exem-
plo de 1 centímetro cúbico.
Para calcular o volume basta utilizar o conceito multiplicativo. Se na base cabem 5
quadrados de 1cm2
e na largura cabem 4, então na base cabem 20 quadrados. Se
repetirmos esses 20 quadrados 5 vezes, já que cabem 5 quadrados na altura, completa-
mos 100 quadrados. Logo, o volume total do dado é de 100cm3
.
Lembre-se de que a área diz respeito a uma medida de um espaço bidimensional,
representado por uma superfície, enquanto o volume diz respeito a um espaço tridimen-
sional. Para determinarmos a área temos de ter conhecimento de duas dimensões, nor-
malmente denominadas de “largura” e “comprimento”. Para determinarmos o valor de
um volume, necessitamos de três dimensões; além das presentes na superfície, temos de
conhecer a “altura”. Essas idéias serão exploradas em unidades posteriores e nos próxi-
mos TP e, em especial, naquele que tratará privilegiadamente dos espaços e das formas.
Articulando
conhecimentos
Um recado para
sala de aula
Esse trabalho com a relação entre o cm3
e o dm3
, assim como deste com o m3
, em
sala de aula deve ser mais cauteloso. Devemos buscar propor vivências com embalagens
de 1dm3
, ou seja, uma caixa cúbica de 1dm de aresta, preenchendo-a com pequenos
objetos de 1cm3
para o qual a unidade do material dourado montessoriano serve muito
bem. A relação milesimal entre as duas unidades de volume deve ser descoberta pelos
alunos ao tentarem estimar quantas unidades de 1cm3
são necessárias para preencher a
totalidade do volume maior.
O mesmo deve ser feito na relação entre 1m3
e o dm3
. Para tanto, convidar os alunos
a, em equipes, construírem em papelão um cubo de 1m de aresta, e depois estimar
quantos dm3
serão necessários para preenchê-lo, lembrando novamente do material doura-
do, no qual a unidade de milhar é um bom referencial para a visualização do dm3
.
1dm3
1cm3

Unidade1
27
Então, depois de compreender o conceito de volume, podemos calcular o volume
do cocho multiplicando as suas dimensões. Faça o cálculo.
O volume do cocho é:
Atividade 9
Para o cocho que você determinou na atividade anterior, quanto de água é
necessário para enchê-lo? Quantas caixas d’água de 1000l seriam necessárias para
enchê-lo?
Você já deve saber que existe uma relação entre as medidas de volume que
têm como unidade padrão o m3
e as medidas de capacidade que têm como unida-
de padrão o litro. Existe uma relação direta entre as duas unidades: o litro e a
medida de volume expressa em dm3
. Qual é essa relação? Como descobri-la e levar
meus alunos a encontrar a correspondência entre o volume e a capacidade?
Para comprovar isso, meça um 1 litro de areia ou serragem em uma garrafa ou em
um medidor. Depois construa um cubo com cada aresta medindo 10cm de lado, ou seja,
1dm. Despeje a areia contida no litro no cubo. O que você vai observar? Que tal fazer
essa atividade com os seus alunos?
A partir da descoberta realizada, outras relações podem ser estabelecidas; por exem-
plo, 1.000 litros equivalem a _______ m3
. Então, se uma caixa d’água tem um volume
de 1.000 litros, ou seja, uma caixa d’água que seja um cubo de arestas iguais a 1m,
quantas caixas cheias seriam necessárias para encher o cocho? _________________
O litro é uma medida de capacidade de um recipiente utilizada para medir quanto
cabe, por exemplo, numa garrafa, piscina, caixa d’água, botijão de gás etc.
Veja: é importante que você, professor, entenda o conceito de volume, pois muitos
alunos decoram como calculamos o volume sem compreender o seu porquê. Se enten-
de esse raciocínio, o aluno pode usar o mesmo conceito para o cálculo de diversos
volumes, inclusive de sólidos tais como: pirâmide, cone, cilindro etc.
Articulando
conhecimentos
Articulando
conhecimentos
Articulando
conhecimentos

Seção2
28
Então, para determinar o espaço interno de recipientes, podemos usar as medidas
de capacidade e de volume.
Você pode perceber que uma das unidades mais presentes em nosso cotidiano é o
mililitro (ml). Observe as embalagens de alimentos, de remédios, os produtos de higiene
pessoal e os produtos de limpeza: como são indicadas as capacidades?
Atividade 10
Você conta com água encanada na sua casa? Se sim, pegue a conta de água da sua
casa e vamos analisar. Se você mora em prédio, normalmente a conta de água é conjun-
ta para todos os moradores. Peça essa fatura emprestada ao seu síndico para poder
realizar essa atividade.
Se você não conta com água encanada, você pode pedir emprestada uma conta de
um amigo ou conhecido.
Quanto custa cada litro de água que você utiliza na sua casa? Você sabe?
Como fazer para calcular matematicamente o consumo de água e o seu custo
monetário mensal? Como fazê-lo? Caso não saiba, procure pesquisar junto aos colegas.
Descreva as diferentes etapas necessárias do procedimento para se chegar ao valor da
conta de água-esgoto.
O consumo de água é marcado pelo hidrômetro, que é instalado em todos os
estabelecimentos comerciais e residenciais que dispõem de água encanada. O hidrô-
metro mede o volume de água em metros cúbicos. Assim que você puder, dê uma
olhada no hidrômetro da sua casa ou no da sua escola.
Toda conta de água possui um campo com o registro de quantos m3
de água são
utilizados por mês. Procure o campo em que essa medida está registrada e faça a
transformação em litros.
Resposta:
Encontre agora o valor da sua conta pelo seu consumo em litros/mês.
Resposta:

Unidade1
29
Quanto custa um banho que você toma? E o do seu filho, se você tiver? Você já
pensou sobre isso?
Que tal descobrir quanto de água você gasta em um banho? Você tem alguma idéia
de como pode fazer isso?
Água do chuveiro
em 1 minuto
Tempo médio
do seu banho
Volume de água
usada em um banho
X =
Calcule, agora, o custo do seu banho:
Volume de água
usada em um
banho
Custo/litro
de água
Custo total do banho
X =
Professor veja a quantidade de temas matemáticos que você precisou para resolver
essa atividade: área, volume, capacidade, relação entre unidades de volume e capacida-
de, e medidas de tempo e valores monetários. Veja como é possível, realmente, em uma
situação simples, trabalhar tantos temas em rede. Dessa maneira não precisamos ficar
preocupados sobre se esse tema é daquela série ou não. Assim, trabalhamos com um
currículo em rede. Para finalizar a atividade, você poderá levantar algumas perguntas
para seus alunos:
a) Quantas caixas d’água você usa por mês para tomar banho diariamente?
b) Se reduzir 1 minuto no seu banho, quanto posso economizar financeiramente por
mês?
c) Considerados todos os membros da minha casa, quanto gastamos de banho por mês?
d) Para lavar as louças, quanto gastamos de água? (Faça o mesmo procedimento.)
Atividade 11
A alimentação dos bovinos deve seguir uma certa proporcionalidade para garantir a
engorda e a sua saúde. Por exemplo, muitos criadores preferem usar na alimentação dos
seus animais a cana-de-açúcar, pelo seu custo baixo. Porém, quando usada isoladamen-
te, a cana não satisfaz o mínimo de proteína exigido para a saúde dos bovinos. Isso pode
ser corrigido misturando-se uréia e sulfato de amônio. Essa mistura usada na alimentação
dos animais tem baixo custo para os criadores.
Articulando
conhecimentos

Seção2
30
Veja como é feita a mistura:
– Misture 9kg de uréia com 1kg de sulfato de amônia. Ensaque e guarde em local seco.
– Na primeira semana de adaptação do animal com o tipo de alimentação, proceda
assim: misture 500g da mistura acima em 4 litros de água e despeje sobre 100kg de cana
picada (que foi colocada no coxo de alimentação).
– Na segunda semana, misture 1kg da mistura nos mesmos 4 litros de água e despeje
sobre 100kg de cana picada.
O consumo da mistura pelo bovino é livre mas, segundo estudos, o animal conso-
me de 20kg a 25kg diários da alimentação.
Vamos determinar qual porcentagem representa cada ingrediente na mistura
total. Depois, calcule quanto isso representa na alimentação do animal, conside-
rando que ele consome 20kg diários da mistura. Para organizar os dados, elabore
uma tabela:
Considere que na primeira fase são necessárias 500g da mistura para 100kg de
cana-de-açúcar. Então, com os 10kg da mistura ensacada (segundo a receita), serão
utilizados 2.000kg de cana-de-açúcar. Na segunda fase, é utilizado 1kg para 100kg
de cana. Assim com os 10kg da mistura, serão necessários 1.000kg de cana.
Você pode ver que a tabela dá uma visão geral da alimentação do animal. Mas,
assim apresentados, esses dados podem parecer complicados para um leigo e é possível
que não se perceba, realmente, a situação. Por isso, na organização de dados é muito
comum a sua apresentação em forma de gráfico . Assim, poderemos ter uma visão
melhor e mais geral. O profissional poderá ter uma noção da dimensão que muitas vezes
apenas os números não dão num primeiro momento.
Portanto, não é qualquer tipo de representação gráfica que poderá ser utilizada
para análise. Isso vai depender da pergunta a que se deseja responder. Vamos ver algu-
mas dessas possibilidades:
1. Se pretendemos analisar quanto representa cada ingrediente na alimentação
total do animal:
Ingrediente Quantidade Porcentagem Quantidade diária
1a
fase 2a
fase 1a
fase 2a
fase 1a
fase 2a
fase
Uréia 9kg 0,45% x 20
=0,09kg
ou90g
0,89%x20
=0,178kg
ou178g
Sulfato de
amônia
1kg
Cana-de-
açúcar
2.000kg 1.000kg
Total 2.010kg 1.010kg

Unidade1
31
Nesse caso, a interpretação que se deseja fazer está relacionada com o todo. Pre-
tende-se ter uma análise visual em relação ao todo. O melhor a utilizar talvez seja o
gráfico circular.
Vamos fazer esse gráfico para a alimentação na primeira fase do processo de mistu-
ra para a alimentação dos bois.
Sabe-se que uma volta completa em torno de um ponto representa 360o
; então, se
a uréia representa 0,45% da alimentação, 0,45% de 360o
é igual a 1,62o
, pois:
0,45% de 360° = 0,45/100 x 360° = 1,62°
Para medir ângulos, assim como as medidas de tempo, utiliza-se a base sexagesi-
mal, ou seja, 60. As razões históricas sobre tal opção encontram-se em textos sobre a
história da geometria; sobre a construção histórica de ângulos, são encontradas no
texto de Antônio José Lopes, “Um ângulo é mais do que duas semi-retas de mesma
origem” (ver em http://www.tvebrasil.com.br/salto/gq/gqtxt3.htm). A idéia de ângulo
pode estar associada à noção de inclinação, abertura, rota, desvio e mudança de
direção, caminho, curvas, rotação, região compreendida entre duas retas concorrentes
não colineares, entre outras idéias. A idéia de ângulo agudo é central na construção do
conceito de ângulo.
Há uma forte associação da medida do ângulo com o círculo. A partir de uma
sobreposição da origem do ângulo com o centro da circunferência, podemos dividir esta
em partes iguais, utilizando cada região circular como unidade de medida para o ângu-
lo. Alguns dos sistemas de medida de ângulos são aqueles que tomam por base:
• O grado: a circunferência é dividida em 400 partes.
• O radiano: a circunferência é dividida por arcos de mesmo comprimento que o
seu raio.
• O grau: a circunferência é dividida em 360 partes.
O grado e o radiano (este segundo valendo aproximadamente 57º), apesar de
pouco presentes em contextos culturais, são muito utilizados em matemática, sobretudo
no campo da trigonometria (objeto de estudo escolar principalmente no ensino médio e
no ensino superior). Já o sistema de medida de ângulos em graus é bem freqüente em
situações mais usuais fora da escola.
A história diz que a opção pelo sistema tem por base duas razões principais:
• A sua associação ao movimento dos astros, em especial do planeta Terra, que definem
movimentos circulares, e usados para as antigas navegações;
• o uso do sistema sexagesimal, base 60, utilizado por muitos povos antigos, como os
egípcios, em função do grande número de divisores que ele possui. Se dividirmos a
circunferência em 360 partes iguais, isso aumenta a possibilidade de encontrarmos divi-
sões exatas.
Articulando
conhecimentos

Seção2
32
Em função disso, mesmo havendo outros sistemas para medir ângulos, no ensino
fundamental praticamente assume-se que a unidade de medida padrão de ângulo é o
grau. Seus submúltiplos são: minutos e segundos.
Assim:
1 grau (1o
) = 60 minutos
1 minuto (1’) = 60 segundos
Dessa forma, a mudança de unidade do ângulo é diferente da decimal. Enquanto
na decimal você precisa de 10 unidades para passar para a unidade seguinte, nos sub-
múltiplos dos ângulos, precisamos de 60 unidades para alcançarmos a unidade posterior.
Quando representamos 1,62o
, veja que usamos depois da vírgula uma representa-
ção decimal. Se quiséssemos transformar para minutos e segundos, 1,62o
seria represen-
tado assim: 1o
37’12’’. Vamos estudar essas transformações mais profundamente em uni-
dades posteriores.
Para resolver esta atividade, a representação em decimal será suficiente.
Procure junto aos seus alunos dividir o círculo em partes iguais, por exemplo:
quatro partes, dez partes, doze partes, vintes partes e, por último, trinta e seis partes.
Você pode medir ângulos com essas partes, em especial explorando a utilização de
medidas e construções utilizando:
• circunferência dividida em 4 partes: cada uma é denominada de ângulo reto;
• circunferência dividida em 36 partes: cada uma corresponde a 10º.
Isso permite aos alunos ter uma visão mais real das unidades. Quando chega a 10º,
tendo-o em suas mãos, pode ter uma visão, antes mesmo de manipular o transferidor, do
quanto corresponde a 1º.
Essas divisões podem ser associadas às frações, e permitem um trabalho curricular-
mente mais bem integrado.
Para mais idéias consulte o livro paradidático Ângulos, dos autores Imenes, Jakubo
e Lellis, da Editora Atual.
Calcule quantos graus representam o sulfato de amônio e a cana.
Sulfato de amônia:
Cana:
Utilizando o transferidor, faça a marcação dos pontos. Como a parte que repre-
senta a mistura (sulfato de amônia e uréia) é muito pequena, no gráfico circular, junte
os dois valores:
Um recado para
sala de aula

Unidade1
33
O transferidor é o
instrumento usado
para medir ângulos.
Você pode encontrá-
lo em formatos de
360o
e 180o
.
Para medir um ân-
gulo é preciso colocar
opontocentraldotrans-
feridor no vértice de um
dos lados do ângulo ali-
nhado com o 0o
.
Observe que no centro do transferidor há um ponto. Esse ponto é o centro do
ângulo. Alinhe o zero do transferidor com o 0o
marcado no círculo acima. Depois
marque o ângulo na direção do aumento da contagem do transferidor.
Com o gráfico pronto você pode ter uma noção melhor do que representa cada
ingrediente na refeição do bovino.
2. Qual a relação que existe entre os ingredientes em cada estágio de preparação da
alimentação dos bois?
Nesse caso a melhor representação gráfica a se utilizar será o gráfico de barras ou
de colunas, pois torna mais fácil visualizar as relações.
O gráfico circular permite que você faça uma interpretação de cada parte (ou
seja, quantidade de amônia, uréia e cana) em relação ao todo (toda a mistura). Por
outro lado, o gráfico de barras ou colunas permite a você analisar cada parte em
relação às outras partes.
Construa o gráfico de barras usando o referencial abaixo, com cores diferentes para
cada estágio.
Sugestão: como a quantidade de uréia e sulfato é muito pequena em relação à
quantidade de cana-de-açúcar, faça um outro gráfico apenas com as quantidades de
uréia e de sulfato.
Amônia
Uréia
Cana
100%

Seção2
34
Observe que, no gráfico de barras ou colunas, para se determinar o total será
preciso somar as partes.
Atividade 12
Os animais, na engorda, não podem ficar privados de alimentação. Os criadores
devem estar sempre atentos à reposição da mistura. Um criador fez a seguinte anotação
sobre a quantidade de alimentos colocada nos cochos durante uma semana:
DIA QUANTIDADE (kg)
Domingo 980
Segunda-feira 1.050
Terça-feira 1.055
Quarta-feira 1.100
Quinta-feira 974
Sexta-feira 920
Sábado 1.021
Para poder interpretar esses dados, a representação gráfica pode nos auxiliar. Po-
rém, o gráfico circular ou de barras não é conveniente nesse caso. Podemos usar o
gráfico de linhas, em que no eixo horizontal dispomos os dias da semana e no eixo
vertical, a quantidade de alimento seguindo uma escala.
Qtde
kg
Dias da semana
Amônia
Uréia
100%

Unidade1
35
Utilizando o gráfico feito, crie três questões que poderiam ser respondidas somente
pela análise visual dos dados apresentados no gráfico. Bom trabalho!
Como você observou, nas atividades até aqui propostas tanto nesta seção como na
seção da situação-problema, estão envolvidas noções importantes sobre a melhor utiliza-
ção de gráficos. Os dados podem ser organizados sob diversas formas e cada uma delas
tem um impacto diferente na imagem da informação apresentada. Além disso, cada uma
estará mais de acordo com uma dada perspectiva ou adequada para um tipo de resposta
que se pretende ter.
Você observou na situação-problema a importância do uso de diferentes escalas
para apresentar os dados e quão importante foi essa adequação de escalas para a melhor
compreensão dos dados. O uso adequado dos gráficos para o tratamento de informa-
ções é um item de grande importância no ensino de estatística.
Ainda podemos lançar mão de computadores que aumentam consideravelmente as
possibilidades de interpretação e análise dos dados. Existem hoje programas, tais como o
programa computacional Excel, que podem ser muito úteis para o tratamento das infor-
mações, permitindo a estruturação, o registro e as investigações dos dados mais rapida-
mente em várias categorias e, ainda, tornando possível organizar os dados numa grande
diversidade de formas.
Num campo conceitual os conceitos aparecem de forma integrada e articulada, e
nas situações-problema os conceitos são, na verdade, elementos de um mesmo cam-
po: uns dão vida e sentido aos outros. Se assumimos essa perspectiva teórica, que tem
por base a Teoria dos Campos Conceituais do pesquisador francês Gérard Vergnaud,
não podemos conceber a idéia de um currículo escolar de Matemática que trate dos
conceitos de forma isolada, fragmentada, distantes uns dos outros. Dessa forma, uma
concepção de currículo que contempla essa possibilidade de trabalhar os conceitos
de forma integrada, sem destruir as conexões que os articulam, seria a de um currícu-
lo em rede, que, dentre outras características (que trataremos ao longo da formação),
possibilita tratar do conhecimento numa visão mais integrada e holística, levando em
conta que uma dada situação permite explorar uma multiplicidade de conceitos e
procedimentos que se articulam entre si, permitindo ver o conhecimento matemático
não como algo estanque e estático, mas conceber e representar o conhecimento
como algo dinâmico, interativo e complexo, fazendo que o conhecimento trabalhado
pela escola esteja mais próximo dos modelos da vida real.

Seção2
36
Resumindo
Nesta seção você estudou temas relacionados a medidas e tratamento de in-
formação.
Volume: O conceito do cálculo do volume é similar ao do cálculo da área.
Enquanto o cálculo da área tem como objetivo saber quantos quadrados cabem na
superfície, calcular o volume significa determinar quantos cubos cabem no sólido.
Portanto, para determinar o volume de um paralelepípedo basta multiplicar as suas
três dimensões.
Relação entre unidade de volume e capacidade: 1 litro equivale a 1dm3
.
Tratamento de informação:
Vimos neste TP quatro tipos de representação gráfica para diferentes objetivos:
– para análise da parte com o todo: recomenda-se o gráfico circular;
– para análise da relação entre as partes: recomendam-se gráficos de barras ou
colunas;
– para análise do crescimento ou diminuição em relação ao tempo: recomenda-se o
gráfico de linhas.

37
Seção 3
Transposição didática: convidando os
alunos a analisarem matematicamente sua saúde
Com relação à sua atuação em sala de aula, você poderá conhecer, nesta seção:
• Como desenvolver junto aos seus alunos uma situação-problema que permita trans-
ferir para a sala de aula as vivências realizadas na resolução da situação proposta na
seção 1.
• Como explorar uma fórmula matemática.
• Como coletar informações e organizá-las em tabelas.
• Como explorar a idéia de valor médio.
Objetivo
da seção
Que tal fazer as atividades 1 e 2 da seção 1 com os seus alunos? Amplie o texto,
cole no mural da sua sala e não diga nada por alguns dias. Apenas tente ouvir os
comentários dos alunos e procure incitá-los à discussão sobre o assunto. Depois leve o
texto da atividade 1 e discuta questões relativas à organização dos dados para análise,
à necessidade de usar uma escala e ao papel da porcentagem nessa interpretação.
Em seguida, peça para os alunos anotarem o quanto comem em média por dia.
Peça que façam tal anotação durante uma semana, assim você pode introduzir o
conceito de média.
Depois dos resultados em mão, faça a interpretação e peça que os alunos relacio-
nem o quanto comem com os dados relativos aos animais.
Peça aos alunos para analisarem o quanto comem diariamente. Pode ser que,
num determinado dia, um aluno tenha comido mais como um tigre, e, em outros,
como um hâmster.
Atividade 13
Levar uma balança para a sala de aula e verificar o quanto pesa o que cada um
come na merenda escolar quando ela é composta de arroz/feijão, e/ou macarrão e/ou
legumes, mingau, angu etc. Fazer uma tabela por grupo de 6 alunos cada. Calcular o
peso médio de quanto come cada aluno no grupo.
A partir do valor médio do grupo, considerando as médias dos demais grupos,
discutir uma forma de determinar quanto cada um come, em média, na turma.
Determinada a média da turma, explorar:
• Cada aluno deve verificar se come mais ou menos que a média da turma.

Transposição didática: convidando os alunos a analisarem matematicamente sua saúde
Seção3
38
• No grupo, construir estratégia para registrar “come ‘x’ a mais que a média ou
come ‘x’ a menos que a média (o que pode ser o início para o uso dos sinais
“positivo” e “negativo”).
• Realizar uma análise das incidências tais como: os que estão com consumo abaixo da
média são na sua maioria meninos ou meninas, os que estão com consumo acima da
média em sua maioria são os mais altos e/ou mais gordos e/ou mais velhos?
Fazer uma tabela relacionando o peso de quanto come cada aluno com o peso de
cada aluno. Discutir com os alunos (se possível construindo um gráfico relacionando
massa de alimento x massa corporal) se podemos ou não estabelecer relação de depen-
dência entre essas variáveis.
Fazer um levantamento de quanto pesam os pratos de merenda de alguns adultos
presentes na escola, bem como de alguns professores e funcionários. Registrar em tabela
e calcular quanto consome em média um adulto, buscando relacionar o quanto come
um adulto em relação a:
• idade;
• sexo;
• peso;
• signo do zodíaco;
• natureza de trabalho que realiza na escola.
A idéia de correlação entre as variáveis pode ser aí explorada, por exemplo: o
quanto uma pessoa come sofre influência do horóscopo? Quais são as variáveis que
podem, aí, serem consideradas?
Usando a fórmula abaixo, “define” o “peso ideal”, cada aluno deve fazer seu
cálculo, e depois registrar em gráfico os resultados de toda a turma, identificando o
índice médio da turma, os que estão bem abaixo e os que estão bem acima desse índice.
Para tanto, fornecemos abaixo a fórmula e os significados dos índices por intervalos.
Discuta com sua turma como se aplica essa fórmula e ressalte a necessidade de se
realizar a medida da altura e do peso de cada um.
O Índice de Massa Corporal1
Esse índice pode ser obtido dividindo-se o peso corporal pelo quadrado da altura em metros.
Por exemplo: uma pessoa que pese 67kg e meça 1,64m, tem um IMC de 24,9kg/m2
(67
divididos pelo quadrado de 1,64).
1. Fonte: http://www.maxway.com.br/Emagrec2.htm
ÍNDICE DE MASSA
CORPORAL
=
PESO em kg
[ALTURA (em metros)]2

Unidade1
39
A aplicação dessa fórmula é um método eficaz e prático para se avaliar o grau de
risco associado à obesidade. Os estudos populacionais mostram que o menor risco de
mortalidade corresponde à faixa de IMC que vai dos 20kg/m2
aos 25kg/m2
. Entre 25 e 30
já se observa um aumento do risco. Os pacientes que aí se situam são rotulados como
“sobrepesados” ou “com excesso de peso”. Entre 30 e 35, considera-se “obesidade
leve”, entre 35 e 40, “obesidade moderada”, e acima de 40, “obesidade mórbida”.
Abaixo dos 20kg/m2
também se observam maiores índices de mortalidade, principalmen-
te por doenças pulmonares e desnutrição. Estão nessa faixa, por exemplo, os portadores
de anorexia nervosa (perda de apetite por problemas psicológicos). A faixa ideal, portan-
to, situa-se entre 20kg/m2
e 25kg/m2
.
Analisar o comportamento desse gráfico em relação à variação do índice médio da
turma, sobretudo discutindo o seu significado: na maioria dos casos na nossa turma
estamos precisando ganhar ou perder peso? Por que esse fato está ocorrendo? Qual o
significado sociocultural disso e o que fazer para mudar essa realidade no âmbito da
nossa escola? Questionar se essa fórmula funcionaria bem para avaliar o desenvolvimen-
to de jovens e crianças ou se é aplicável mais para o adulto.
Introduzir as variações desse índice de acordo com o desenvolvimento do indiví-
duo, conforme tabelas abaixo:
• o índice de massa corporal por faixas de risco;
• as tabelas de peso e altura.
Apesar de muito sujeitas a erros, as tabelas de peso e altura ainda são largamente
utilizadas em todo o mundo para estimar-se o peso ideal. Elas são derivadas de dados
obtidos por companhias de seguro americanas, que as desenvolveram a partir da ob-
servação de dados de mortalidade e longevidade de sua população segurada. Os
pesos chamados de “ideais” são, na verdade, médias das faixas de peso ideal para
cada grupo etário analisado. As tabelas abaixo mostram os pesos de referência para
cada um desses grupos. Reparem que na tabela dos indivíduos mais idosos esses pesos
já são bem mais altos.
ALTURA (em metros) PESO para homens (em kg) PESO para mulheres(em kg)
1,47 - 51,7
1,50 - 52,8
1,52 - 53,9
1,55 - 55,3
Pesos de referência para adultos entre 20 e 55 anos
A unidade kg/m2
indica a quantidade de massa concentrada em uma dada superfície.
Pode-se expressar como sendo “massa por superfície”.
Articulando
conhecimentos

Seção3
40
Os métodos utilizados para o cálculo do peso ideal de adultos não são adequados
para indivíduos em fase de crescimento. Nesses casos, o método mais prático é baseado
na utilização de gráficos de peso e altura em função da idade, conforme é demonstrado
na figura a seguir. Por exemplo, se uma menina apresenta uma altura de 1,45 metro e
está pesando 53kg, para sua idade, de 10 anos e 9 meses, a estatura de 1,45 metro a
coloca um pouco acima da linha média de crescimento, chamada de percentil 50. O
ponto situado no percentil equivalente a esse na curva de peso seria o seu peso teórico
ideal, correspondendo, no caso, a cerca de 38kg. Se dividirmos o peso atual pelo peso
ideal e multiplicarmos esse resultado por 100, chegaremos ao percentual do peso da
criança em relação ao peso ideal. Nesse exemplo teríamos 53 / 38 = aproximadamente
1,4 x 100 = 140; ou seja, essa menina estaria com 140% do seu peso ideal, ou com um
excesso de 40%, ou 15kg.
Aproveitar para discutir a noção/conceito de índice enquanto razão. Observar que
no momento em que comparamos nossa razão peso/altura com os índices que definem
os intervalos de obesidade, acabamos por fazer uma proporcionalidade entre nosso
estado físico com uma outra razão considerada como “ideal”.
Articulando
conhecimentos
ALTURA(em metros) PESO para homens (em kg) PESO para mulheres(em kg)
1,57 60,3 56,7
1,60 61,2 58,0
1,63 62,4 59,4
1,65 63,5 60,8
1,68 64,9 62,1
1,70 66,2 63,5
1,73 67,6 64,9
1,75 68,9 66,2
1,78 70,3 67,6
1,80 71,9 69,0
1,83 73,9 -
1,85 75,3 -
1,88 76,9 -
1,91 78,9 -
Cálculo de peso ideal para crianças e adolescentes

Unidade1
41
Discutir essa noção de estética e saúde com os alunos sobre a noção e valor social
do tipo físico “bonito” ou “belo” de um jovem garoto ou garota, refletindo sobre sua
coincidência ou não com o que é considerado como “bom” índice pela fórmula. Discu-
tir a variação da noção de beleza física ao longo da história da humanidade e em
diferentes culturas nos tempos atuais.
Podemos agora voltar a discutir a relação entre a ingestão de alimentos, e, portanto,
de energia, procurando estabelecer uma lógica entre energia absorvida e energia consu-
mida como fator determinante, não apenas de saúde física, mas também de estética e
beleza corporal. A beleza que encontramos na natureza é essencialmente traduzida por
relações de proporcionalidade.
Podemos entender por que, segundo o grego Pitágoras (VI século AC) e seus segui-
dores, “toda coisa sendo número”. Para os pitagóricos, o próprio Universo parecia regido
pelas relações numéricas, que permitem ao homem ver toda a harmonia, equilíbrio e
regularidade que rege toda criação divina. Essa harmonia era chamada de “música das
esferas”, harmonia silenciosa, a harmonia sendo “a unificação do diverso e colocação em
concordância o discordante” ou ainda “ajustamento”, “ reunião”, “acordo das partes com
o todo”.
As leis numéricas da harmonia, uma vez formuladas, serão generalizadas a todas as
representações de tudo aquilo que consideramos belo. As proporções sendo, então, no
sentido largo, relações entre números, significaria a busca de uma proporção “JUSTA”.
Na proporcionalidade matemática encontraríamos explicação e compreensão humanas
para a harmonia do Universo, ou seja, de toda e qualquer criação divina.
Toda uma tradição artística das formas é também fundada sobre mesma idéia de
harmonia (como é o caso da simetria, do grego symmetria, que significa JUSTA PROPOR-
ÇÃO). Conta-se, por exemplo, de Alberti (1404-1472), humanista e arquiteto italiano,
que, dirigindo uma construção, teria dito: “a menor alteração desacordaria toda músi-
ca”... e mais, que “as proporções pelas quais a harmonia dos sons toca nosso ouvido são
exatamente as mesmas que agradam ao nosso espírito”.
Da mesma maneira, a divisão de um segmento em “média” e “extrema razão” (con-
ceitos matemáticos aplicados à engenharia e à arquitetura) permite, a partir dos termos
extremos, constituir uma proporção qualificada pelo monge italiano Luca Pacioli (1445-
1514) de razão áurea, magnificamente ilustrada por Leonardo da Vinci, na sua obra Divina
Proporção (1509), contribuindo ao conhecimento desse apogeu da estética, pois essa
razão conduz à definição do famoso número de ouro. Até nossos dias, a última notícia de
um sistema de proporções (Le Modulor) é aquele do arquiteto Le Corbusier (1887-1965).
Friamente definida por Euclides no seu muito célebre V Livro dos Elementos, as
proporções constituíram durante toda a Idade Média um corpo de saber autônomo e
distinto da geometria e da aritmética. Levado até um grau de sutileza a qual nós mal
imaginamos hoje. Mas, divinos ou musicais, uma vez colocadas como referência estéti-
ca, em todos os tempos dominaram os espíritos dos artistas, tanto aqueles que quiseram a
elas se conformar como aqueles que quiseram negá-las como contrário ao desenvolvi-
mento, à fantasia de um mundo vivo.
Articulando
conhecimentos

Seção3
42
Resumindo
No eixo de Educação Matemática, além da experiência de realizar atividades
propostas na seção 1 junto com seus alunos e também explorar a atividade envolven-
do medidas do corpo, você teve oportunidade de refletir, ler, sistematizar alguns
aspectos sobre campo conceitual, currículo em rede e representação gráfica.
Nesse início do programa de Matemática do GESTAR, consideramos muito, muito
mesmo, importante que você faça uma primeira leitura e reflexões sobre a importân-
cia da resolução de situações-problema para a aprendizagem matemática. Para tanto,
preparamos especialmente para você um Texto de Referência, o qual esperamos que
você leia com atenção e faça a atividade de reflexão que segue o texto. As atividades
junto ao Texto de Referência têm por objetivo ajudá-lo na reflexão do tema.

Unidade1
43
Leituras sugeridas
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Parâmetros Curriculares Nacionais. 1996.
disponível em: <http://www.paulofreire.org/proj/pec6par.htm>
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de matemática. Ática, 1991.
NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS. Normas para o Currículo e a
avaliação em matemática escolar. Associação de professores de Matemática de Portu-
gal,1989.
IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Glo-
bo, 1989.
IMENES, Luis Márcio. Os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1993.
PERIÓDICOS:
BOLEMA - BOLETIM DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Departamento de Matemática –
UNESP, 1989. p.178.
BOLETIM DO GEPEM. Rio de Janeiro: Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação
Matemática – Universidade Santa Úrsula.
BOLETIM INFORMATIVO DA SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTI-
CA. Disponível em: <www.sbem.com.br>
CADERNOS DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. São Paulo.
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA. SBEM.
FOLHETIM DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA .Bahia:Univ. Estadual de Feira de Santana –
NEMOC – Núcleo de Educação Matemática Omar Catunda – Dep. de Ciências Exatas.
NEWSLETTER UFPR – GPHM – Grupo de Pesquisa em História da Matemática – Dep.
de Matemática. Curitiba.
PRO-POSIÇÕES. Campinas: 1993 v.4, n.1.
REVISTA DO GEEMPA: Grupo de Estudos sobre Educação, Metodologia de Pesquisa e
Ação. Porto Alegre.
RPM – REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: SBM.
TEMAS & DEBATES. Sociedade Brasileira de Educação Matemática.
ZETETIKÉ: Faculdade de Educação – UNICAMP. Campinas.

44
IMENES, Luiz Inácio; JAKUBO, José; LELLIS, Marcelo. Ângulos. São Paulo: Atual, 1985.
LESTER, F. O que aconteceu à investigação em resolução de problemas de matemática?
A situação nos Estados Unidos. Em: FERNANDES, D.; BORRALHO, A.; AMARO, G.
(org.) Resolução de Problemas: Processos cognitivos, concepções de professores e de-
senvolvimento curricular. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional, 1994.
POLYA, George. A arte de resolver problemas.Rio de Janeiro: Interciência, 1978. dispo-
nível em: <http://www.maxway.com.br/Emagrec2.htm>
LOPES, Antônio José. Um ângulo é mais do que duas semi-retas da mesma origem.
Disponível em: <http://www.tvebrasil.com.br/salto/gq/gqtxt3.htm>
Bibliografia

45
Texto de referência
Resolução de problemas
Ana Lúcia Braz Dias
O grande objetivo da escola é preparar o aluno para resolver situações problemáti-
cas que ele encontra em seu cotidiano e que encontrará em sua vida adulta. Espera-se
que cada área da aprendizagem escolar contribua para este objetivo.
A matemática também pode contribuir para a resolução de situações problemáticas.
Por exemplo, é certo que os conhecimentos construídos sobre números e opera-
ções, sobre as formas, sobre medições, sobre a organização e a interpretação da informa-
ção quantitativa poderão ser necessários nesta tarefa.
Mas o que dizer da própria disposição para se resolver problemas, da capacidade
de interpretar um problema, de examinar informações diversas e decidir quais são rele-
vantes para a solução, de delinear estratégias de solução e de tomar decisões importantes
ao longo do processo?
Ou sobre a capacidade argumentativa de defender uma idéia logicamente a partir
de informação coletada da realidade e tratada matematicamente?
O ensino de matemática deveria ser capaz de levar os alunos a desenvolver estas
habilidades. Afinal, ao longo dos séculos, para quê se tem desenvolvido a matemática,
senão com o objetivo de resolver problemas e de defender idéias?
A linha de pesquisa e a proposta pedagógica denominada Resolução de Proble-
mas, que teve muitos adeptos nos anos 90, popularizou o termo “resolver problemas” no
ensino de matemática. Quase todo professor de matemática afirma usar a metodologia
de resolução de problemas em sala de aula.
Mas é comum haver equívocos quanto ao que foi realmente o movimento de
Resolução de Problemas e do que se tratava.
Neste texto, vamos discutir dois aspectos relacionados a esse tema.
– Primeiro, vamos discutir a Resolução de Problemas como foi preconizada nos
anos 90;
– Depois, vamos comparar a proposta do GESTAR – que estaremos chamando de
Resolução de Situações-Problema – com as várias vertentes da Resolução de Problema,
Resolução de problemas – uma linha de pesquisa
e uma proposta pedagógica
Uma pergunta incial: O que é um problema? Nem sempre a palavra “problema” é
utilizada com o mesmo sentido por diferentes pessoas. Até mesmo professores e educa-
dores matemáticos apresentam definições diferentes.
Às vezes eles utilizam termos adicionais para ressaltar certas características do que
está sendo considerado um problema:

46
– “problemas abertos” (com mais de uma resposta possível),
– “problemas de dois ou mais passos” (requerendo duas ou mais operações para sua solução),
– “problemas realistas” (contextualizados em situações reais),
– “problemas não-rotineiros”,
– “problemas-processo” (enfatizando que o real problema é encontrar o caminho da
solução, e não a resposta),
– “problemas-desafio”,
– “problemas mal-estruturados” (que não contém em seu enunciado todas as informa-
ções necessárias para sua resolução).
Desse modo, as definições de “problema” na literatura especializada variam quanto
a alguns fatores:
• Alguns autores consideram importante que os problemas admitam várias soluções ou
que requeiram a tomada de decisão quanto a algumas de suas condições para que uma
solução seja definida. Outros já aceitam chamar de problema aqueles para os quais haja
resposta bem definida à qual o professor espera que os alunos cheguem.
• Para alguns educadores, os problemas propostos aos alunos devem ser contextualiza-
dos em situações reais. Outros admitem problemas puramente matemáticos.
Em nenhum destes casos, porém, a resolução de problemas se reduz à utilização
ou à aplicação imediata de resultados apresentados em aula.
Entretanto, há pontos sobre os quais os autores concordam que devem se aplicar a
todos os problemas.
Pontos que se aplicam a todos os problemas
• A solução não é evidente, nem o caminho para ela. O problema propõe um desafio
ou leva a conflitos cognitivos. Em um problema não é possível tirar conclusões, descobrir
imediatamente as operações a fazer ou dar soluções “de cara”. A pessoa que o resolve
faz um esforço cognitivo para saber como proceder.
• Um problema requer um processo de resolução, que envolve mais de uma ação:
várias operações, ou uma cadeia lógica de argumentos, ou vários procedimentos diferen-
tes, como a organização dos dados, o desenho de diagramas, ou a tentativa de generali-
zação de algo que se percebe ser válido para alguns casos particulares.
• Os obstáculos ou desafios colocados em um problema exigem uma reorganização dos
conhecimentos anteriores, que levam a pessoa que o resolve a assimilações e adaptações
em seus esquemas mentais – ou seja, a novas aprendizagens.
• O enunciado de um problema não induz nem o método, nem a solução (nada de
questões intermediárias que “preparem o caminho”, nem palavras-chave como “junte”,
“ao todo”).
A pessoa a quem o problema se apresenta deve percebê-lo como um dilema a ser
resolvido e deve estar envolvido com sua resolução. É isto que faz o problema ser
“problema dele”, faz com que ele se engaje em sua resolução, e não simplesmente o
ignore, ou tente resolvê-lo sem convicção.

Unidade1
47
Problemas para uns e não para outros
Vemos que, dentro de um grupo de alunos, uma atividade pode ser um problema para
alguns, enquanto que para outros essa mesma atividade pode não ser um problema. O
fato de não constituir problema pode ocorrer porque:
– alguns alunos já têm em suas estruturas mentais o caminho de encontrar a resposta,
– outros podem não se incomodar com a presente falta de solução para a problemática.
E mesmo dentre aqueles para os quais uma situação é um problema, a forma
na qual cada um interage com o problema varia, em função dos conhecimentos
prévios que cada um tem, da imagem que cada um faz sobre sua própria capacida-
de em produzir uma solução, e ainda, o interesse e o significado que cada um
atribui à experiência.
Uma analogia com uma situação fora da matemática: em um passeio a uma
cachoeira desconhecida por todos do grupo da excursão, entrar em um ribeirão pode
ser um problema tanto para aqueles que sabem nadar – mas que desconhecem as
forças e direções da correnteza e a existência de rochedos naquele ribeirão em
particular – como para aqueles que não sabem nadar.
Do mesmo modo que ocorre na vida, também com os problemas que apresenta-
mos a nossos alunos em sala de aula os indivíduos apresentam diferentes conhecimentos
prévios, fazendo que um mesmo problema se apresente de forma bem diferente de uma
pessoa para outra.
Problemas versus exercícios
Muitos professores pensam que a realização de exercícios onde os alunos aplicam um
conceito que acabaram de estudar se encaixa dentro da proposta pedagógica de resolu-
ção de problemas. Isto não é verdade.
Os professores que acham que “problemas” são sinônimos de “exercícios” pro-
põem a realização de exercícios após suas exposições teóricas, para os alunos treina-
rem ou praticarem procedimentos anteriormente mostrados. As únicas ações exerci-
das pelos alunos neste tipo de atividade são a imitação, a repetição e, às vezes, a
memorização.
O que é uma atividade de resolução de problemas?
Para que haja autêntica atividade de resolução de problemas, é necessário que haja:
• um “verdadeiro” problema, que satisfaça os pontos levantados;
• elaboração de estratégias de solução (e não a imitação de um exemplo);
• uma indefinição inicial, da parte de quem resolve o problema, quanto aos conheci-
mentos matemáticos que ele deverá mobilizar no processo de resolução;
• a validação da solução.

48
Pode envolver também:
• a idealização e realização de experiências;
• a construção de novos conhecimentos matemáticos;
• a atividade de socialização, com argumentação quanto a estratégias a serem tomadas e
a justificativa de ações escolhidas.
O que é a metodologia de Resolução de Problemas?
Quando foram publicados os Parâmetros Curriculares Americanos, ao final dos anos 80,
dizendo que a resolução de problemas deveria ser o principal objetivo do ensino de
matemática, desencadeou-se um grande movimento em torno da Resolução de Problemas.
Houve várias interpretações diferentes em torno de como se incorporaria a resolu-
ção de problemas em sala de aula, dentro e fora dos Estados Unidos.
Surgiram basicamente três formas diferentes de se entender a resolução de proble-
mas e seu papel no ensino de matemática1
:
– ensinar para a resolução de problemas,
– ensinar sobre resolução de problemas e
– ensinar via resolução de problemas.
No ensino de matemática para a resolução de problemas, a meta final é que os
alunos sejam capazes de resolver certos problemas, então o conteúdo matemático é
ensinado para este fim.
No ensino sobre resolução de problemas, a forma como se procurou alcançar a meta
de resolver problemas foi comentando com os alunos o processo de resolução de proble-
mas: suas fases, estratégias comumente utilizadas, posturas que se deve ter para conseguir
resolver problemas. Os professores que utilizam esta estratégia basearam-se muito no livro
“A arte de resolver problemas”, de George Pòlya (1945/1973) (veja quadro).
1 Schroeder, T. L. & Lester, F. K. Developing understanding in mathematics via problem solving. In: Paul R. Trafton & Albert P. Shult
(Orgs.). New directions for elementary school mathematics – 1989 Yearbook, p. 31-42. Reston, VA: National Council of Teachers
of Mathematics, 1989.
Primeiro
É preciso compreender o problema
Compreensão do problema
Nesta fase, é importante indagar: qual é a in-
cógnita? Quais são os dados? Qual é a condi-
ção? A condição imposta é suficiente, insufici-
ente, excessiva ou contraditória?
Desenhar uma figura e adotar uma notação
adequada também ajudam.

Unidade1
49
Segundo
Encontre a conexão entre os dados
e a incógnita
Estabelecimento de um plano
Perguntas que ajudam: já viu esse problema
antes, ou sob uma forma ligeiramente diferente?
Conhece um teorema ou uma propriedade que
poderia ser útil? Se você não consegue resolver
o problema proposto, resolve primeiro algum
problema correlacionado, ou uma mais especí-
fico, ou parte do problema: para isso, mantém
apenas uma parte da condição. Verifica se você
já utilizou todos os dados e a condição.
Terceiro
Executa o seu plano
Execução do plano
Nesta etapa, verifica se cada passo está correto.
Quarto
Examina a solução obtida
Retrospectiva
Verifica o resultado, o raciocínio feito. Vê se
seria possível chegar ao resultado por um ca-
minho diferente. Finalmente, vê se é possível
utilizar o resultado, ou o método, para outros
problemas
Ensinar via resolução de problemas significa considerar o problema como um ele-
mento disparador de um processo de construção do conhecimento matemático. Ou seja,
problemas visam contribuir na formação dos conceitos antes mesmo de sua apresentação
em linguagem matemática. É a necessidade de resolver o problema que leva o aluno a
se apropriar, sozinho ou coletivamente, dos instrumentos intelectuais necessários à cons-
trução de uma solução.
Isto não significa que o problema seja utilizado apenas como um ponto de partida
motivador que gera a exposição dos conceitos necessários à sua solução.
A resolução do problema, nesta abordagem, é o próprio caminho ao longo do qual
os conceitos vão sendo construídos. É na ação de resolver um problema particular que
conhecimentos e procedimentos são elaborados.
A institucionalização destes conhecimentos (reconhecimento pelo grupo, generali-
zação,) é que ocorre após a resolução do problema.
2 Lester, F. O que aconteceu à investigação em resolução de problemas de matemática? A situação nos Estados Unidos. In: Domingos
Fernandes, António Borralho e Gertrudes Amaro (Orgs.), Resolução de Problemas: Processos cognitivos, concepções de professores
e desenvolvimento curricular. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional, 1994.
Quais têm sido as conclusões das pesquisas
sobre Resolução de Problemas?
Após pesquisas sobre experiências de ensino de resolução de problemas, alguns pontos
parecem claros2
:

50
• Para melhorar as suas capacidades de resolução os alunos devem resolver muitos
problemas.
• As capacidades de resolução de problemas demandam tempo para se desenvolverem.
• A maioria dos alunos beneficia-se significativamente de um ensino planejado sistemati-
camente com base em resolução de problemas.
Ensinar os alunos sobre resolução de problemas, isto é, ensiná-los acerca de estra-
tégias de resolução comumente usadas, fases de resolução de problemas – como por
exemplo o modelo de quatro fases de resolução de problemas de Pólya – pode melhorar
a sua competência, mas não atinge o ponto central do envolvimento do aluno na cons-
trução geral da resolução.
Que fatores interferem na competência de resolução de problemas?
Pesquisas com diferentes indivíduos em processo de resolução de problemas mostraram
que o que faz uma pessoa ser competente em resolver problemas não é só o conjunto de
seus conhecimentos.
É claro que os conhecimentos disponíveis para a pessoa que tenta resolver um
problema influem bastante para o êxito na obtenção de uma solução. Eles incluem tanto
os conhecimentos matemáticos quanto os conhecimentos extra-matemáticos relaciona-
dos ao problema. Conhecimentos de problemas parecidos e de estratégias de resolução
de outros problemas também aumentam as chances de sucesso. Mas não basta só isso.
Durante a resolução de problemas, são mobilizados, além dos conhecimentos,
habilidades de:
• criar estratégias para a solução do problema;
• monitoração do processo;
• atitudes e afetividade.
A criatividade na elaboração de estratégias é importante. Muitos alunos perdem
tempo tentando selecionar a estratégia adequada para resolver o problema, dentre aque-
las ensinadas pelo professor. Outros já se permitem criar, aparecendo com soluções
surpreendentes.
A monitoração é aquela habilidade de prestar atenção ao próprio processo de
resolução do problema e tomar decisões. Por exemplo:
• decidir quando já se trabalhou muito tempo por um caminho que parece não estar
levando à solução, e que é hora de tentar outra estratégia;
• pensar sobre experiências passadas, o que se fez naquelas situações, e quais foram as
conseqüências;
• selecionar as estratégias mais adequadas dentre aquelas que a pessoa conhece e
detectar que mudanças precisam ser feitas.
Dentre os aspectos de atitudes e afetividade, mencionamos a disposição de investigar
frente a desafios, a confiança na própria capacidade de resolver problemas, a motivação, o
interesse e a iniciativa, todos determinantes no processo de resolução de problemas.

Unidade1
51
Como os Parâmetros Curriculares Nacionais
entendem a Resolução de Problemas?
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática citam essa tendência como eixo
organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemática.
Esse documento enfatiza que não podemos considerar como resolução de pro-
blemas os exercícios de aplicação e de repetição de procedimentos, nem devemos ver
essa proposta como aplicação de conceitos ou forma de avaliar se os alunos aprende-
ram ou não um conceito ensinado.
Ao invés disso, o documento defende a resolução de problemas como meio de
desenvolver habilidades e atitudes (por exemplo, a capacidade de mobilizar conheci-
mentos, de gerenciar informações, de fazer analogias, de argumentar, de justificar) e de
elaborar novos conceitos matemáticos.
Ou seja, os conhecimentos e habilidades englobam conteúdo matemático e as
atividades cognitivas próprias da resolução de problemas. O objetivo desloca-se da
resposta do problema para o processo de resolução.
“Resolver um problema não se re-
sume em compreender o que foi pro-
posto e em dar res-
postas aplicando pro-
cedimentos adequa-
dos. Aprender a dar
uma resposta correta,
que tenha sentido,
pode ser suficiente
para que ela seja
aceita e até seja convincente, mas não
é garantia de apropriação do conhe-
cimento envolvido.
Nos PCN a resolução de problemas é o contexto tanto para a elaboração de novos
conceitos matemáticos quanto para a adaptação de antigos esquemas mentais a novas
situações. A concepção adotada sobre resolução de problemas é portanto a de ensinar
via resolução de problemas.
Quanto às formas de aplicação da metodologia de resolução de problemas, os
Parâmetros Curriculares Nacionais defendem que:
• um problema, e não a definição de um conceito, seja o ponto de partida da atividade
matemática;
• o aluno seja estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o problema, a
transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, a formular problemas a
partir de determinadas informações, a analisar problemas abertos (que admitem diferen-
tes respostas em função de certas condições);
• o aluno compare seus resultados com os de outros alunos.
Além disso, é necessário desenvol-
ver habilidades que permitam provar
os resultados, testar
seus efeitos, comparar
diferentes caminhos
para obter a solução.
Nessa forma de traba-
lho, a importância da
resposta correta cede
lugar a importância
do processo de resolução.”
(PCN de 5a
. a 8ª séries, 1998, p. 42)
a importância da resposta
correta cede lugar a
importância do processo
de resolução

52
A proposta do GESTAR: Resolução de Situações-Problema
Como já dissemos, há várias interpretações do que seja um problema e de como se deve
estruturar o ensino em torno da resolução de problemas.
Nós do GESTAR acreditamos que resolver problemas é o principal motivo para a
aprendizagem da matemática e também temos nossa própria interpretação de como se
deve estruturar o ensino para que a aprendizagem seja significativa. Vamos nos referir à
nossa proposta como Resolução de Situações-Problema, por acreditar que este termo
reflita melhor o tipo de problemas utilizados por nós.
A resolução de situações-problema tem aspectos comuns com as atividades de
resolução de problemas:
• Não considera como resolução de problemas os exercícios de aplicação e de repetição
de procedimentos;
• As atividades dos alunos devem constituir para eles experiências significativas e com
valor próprio, e não uma preparação para estudos posteriores;
• Requer envolvimento, empenho, autonomia e criatividade por parte do aluno;
• O problema deve propor verdadeiros desafios – os alunos não sabem a princípio que
conhecimentos eles deverão mobilizar no processo de resolução;
• Pretende desenvolver habilidades e atitudes próprias da resolução de problemas, como
a capacidade de gerenciar informações e de selecionar estratégias e conhecimentos para
a resolução de uma situação problemática;
• O objetivo não está na resposta ao problema, mas no processo de resolução;
• Demanda a validação das soluções obtidas.
Tem também, no entanto, algumas características que a diferenciam de algumas outras
atividades de resolução de problemas:
• O ponto de partida para toda atividade matemática é a colocação de uma situação-
problema.
• As situações-problema são selecionadas por sua relevância para a vida daqueles a que
elas são propostas e não pelos conteúdos matemáticos que elas podem envolver. A
seleção com base em conteúdos, além de não ser uma meta, não seria possível, já que
entre os problemas da vida real é muito difícil encontrar algum que envolva conceitos
matemáticos de uma única parte da matemática.
• As situações-problema propostas devem ser problemas do mundo real.
• Como os problemas da realidade raramente emergem como questões bem formuladas,
as situações-problema freqüentemente trazem informação insuficiente para a solução,
demasiada informação ou informação desorganizada.
• Muitas vezes as situações-problema não têm resposta única, nem exigem um tipo
único de solução. É necessário tomar decisões quanto aos aspectos do problema que se
encontram em aberto (“mal-estruturados”) e cada decisão tomada define um caminho
diferente para uma solução.
• Na resolução de situações-problema são habilidades críticas:

Unidade1
53
- a identificação de informação ou de conteúdo relevante;
- a busca de informações;
- o estudo de várias hipóteses;
- a tomada de decisão com relação aos aspectos que estão em aberto, tornando-os
definidos para fim da resolução;
- a identificação das suposições que devem ser feitas nas diferentes perspectivas
que podem ser adotadas para a solução.
• Para resolver as situações-problema, os alunos usam conhecimentos que já têm, mas
também constróem novos conhecimentos em ação.
• A atividade de socialização é prevista como forma de desenvolver habilidades de
argumentação e justificativa na validação de soluções perante o grupo (no caso dos
cadernos de Teoria e Prática, isso é feito durante as oficinas).
Veja exemplos de um problema rotineiro e de uma situação-problema3
:
Problema tradicional
O pai do Marco tem um terreno retangular de 6m por 9m e resolveu cercá-lo com uma
rede de arame, cujo metro custa R$37,00. Para fixá-la, vai precisar de 10 estacas a
R$10,00 cada uma. Quer também colocar um portão de 1m de comprimento, cujo
preço é R$570,00. Qual é o preço total desses materiais ?
Você pode reconhecer, nesse problema, as seguintes características:
• fornece todas as informações necessárias;
• não dá informações supérfluas;
• o aluno deve usar conceitos matemáticos;
• o aluno deve combinar os dados do problema por meio de operações conhecidas;
• a resposta ao problema é um único número.
Situação-problema
O pai do Marco tem um terreno retangular de 6m por 9m e resolveu cercá-lo com uma
rede de arame, que necessita de estacas para fixação. Ele quer também colocar um
portão. Procurando materiais, ele encontrou:
• rede de arame a R$37,00 o metro, que necessita de postes para fixação, colocados de
1,5m em 1,5m.
• rede de arame a R$51,00 o metro, que necessita de postes para fixação, colocados de
3m em 3m.
3 Bertoni, Nilza. Matemática II. Unidade 1 – Trilhando novos caminhos. Em Salgado, M.U.C. e Miranda, G.V. Coleção Veredas.
Módulo 2. Volume 1, p.76 – 78. Belo Horizonte: Secretaria de Estado da Educação de Minas Gerais, 2002.

54
• portão com 1m de comprimento, por R$570,00.
• portão com 1,5m de comprimento, por R$750,00.
• estacas, a R$10,00 cada uma.
• arame para amarrar a rede a cada estaca, a R$2,00 o metro. É necessário 1m de arame
para amarrar as redes a cada estaca.
• tinta para pintura da casa, a R$40,00 o galão.
O pai do Marco quer saber o que deve comprar para fazer a cerca com o portão e
gastar o mínimo possível.
Características da situação-problema:
• requer o estudo de várias hipóteses:
a) cerca mais barata com portão mais barato (porém mais estacas e mais arame);
b) cerca mais barata com portão mais caro (porém mais estacas e mais arame);
c) cerca mais cara e portão mais barato (porém menos estacas e menos arame);
d) cerca mais cara com portão mais caro (porém menos estacas e menos arame);
• requer estudo da colocação das estacas;
• requer decisões – o número de estacas numa lateral nem sempre dá exato. O que
fazer: colocar uma estaca a mais ou uma a menos?
• pode haver respostas distintas, dependendo da opção proposta no item anterior;
• o problema tem dado supérfluo – o preço da tinta.
Vemos então que o que caracteriza uma situação-problema não é simplesmente a exi-
gência de que ela esteja contextualizada no mundo real.
Um problema tradicional, ainda que use o contexto do mundo real, pode ser estruturado
pelo professor fornecendo as informações já organizadas para sua solução (como aconte-
ceu com o problema tradicional apresentado acima).
Atividades
1. Identifique, na situação proposta na seção 1 desta unidade, a presença ou não das
características que definem uma situação-problema, apontadas no texto.
2. Analise nas situações propostas no livro didático que você adota, suas semelhanças
com problemas e com situações-problema.
3. Faça uma síntese dos principais pontos a serem observados por você no momento de
planejamento de situação matemática a ser trabalhada em sala de aula.

Unidade1
57
Soluções das atividades
Atividade 8
Volume: 4.500.000cm3
.
Atividade 9
1.000 litros equivalem a 1m3
.
Seriam necessários 4,5 caixas d’água de 1m3
para encher o cocho.
Atividade 11
Sulfato de amônia: 0,18o
Cana-de-açúcar: 358,2o
Gráfico circular:
Ingrediente Quantidade Porcentagem Quantidade diária
1a
fase 2a
fase 1a
fase 2a
fase 1a
fase 2a
fase
Uréia 9kg 0,45% x 20
= 0,09kg
ou 90g
0,89%x20
= 0,178kg
ou 178g
Sulfato de
amônia
1kg
Cana-de-
açúcar
2.000kg 1.000kg
Total 2.010kg 1.010kg
0,05% x 20
= 0,01kg
ou10g
0,1% X 20
= 0,02kg
ou 20g
99,5% x 20
= 19,9kg
99,01 x 20
= 19,802kg

Soluçõesdasatividades
58
Atividade 12

59
Unidade 2
Estamos desde a primeira unidade desenvolvendo nossas atividades a partir de um
assunto de alta relevância: a necessidade de uma boa alimentação como condição
essencial de vida e de saúde. Buscando uma articulação entre os temas escolhidos para
a construção de situações-problema e conseqüente transposição didática, vamos ampliar
o tema da alimentação para a questão da saúde humana, e, em especial, a preocupação
de uma boa alimentação para nossas crianças e o desenvolvimento saudável de nossos
alunos. Assim, essa unidade desse TP estará estruturada em torno da temática Alimenta-
ção para a saúde.
Essa unidade será dedicada a situações que dizem respeito à alimentação e a
importância de ingerirmos alimentos ricos em ferro evitando, assim, a incidência de
anemia, um mal tão presente na sociedade brasileira. Assim, continua sendo explorado o
tema “alimentação do ser humano”, mais especificamente, as necessidades nutricionais
assim como a carência de ferro no organismo decorrente de uma má alimentação.
Conceitos centrais que serão tratados nesse tema Alimentação são equações, área e
volume, tratamento de informações, medidas e decimais (comparação e operação), e
continuidade dos conteúdos da unidade anterior permitindo tanto um aprofundamento
dos mesmos quanto uma maior sistematização.
Iniciando a
nossa conversa
Ao final da Unidade, esperamos que você possa:
1. Em relação ao seu conhecimento de conteúdos matemáticos:
– Identificar os conceitos de volume, de medidas, de tratamento de informações, de
números decimais e equações para que possam servir de base à construção de
procedimentos para tomada de decisões e resolução de situações-problema inseri-
dos no contexto de Alimentação.
2. Com relação aos seus conhecimentos sobre Educação Matemática:
– Caracterizar situações-problema, currículo em rede e o fazer matemático do
aluno.
3. Com relação à sua situação em sala de aula:
– Conhecer e produzir, com relação aos temas tratados, situações didáticas adequa-
das à série em que atua.
Definindo o
nosso percurso
Alimentação para a saúde

60
Seção 1
Situação-problema “Alimentação versus
carência alimentar: uma questão meramente biológica?”
• Reconhecer a matemática no mundo dos alimentos e da saúde: mobilizar concei-
tos de números decimais, porcentagem e equações na resolução de situação-problema
permitindo o desenvolvimento de um pensamento crítico frente a situações envolvendo
questões de alimentação e saúde.
• Reconhecer a existência de um campo conceitual de números e proporções
numa situação envolvendo alimentação e saúde.
Objetivo
da seção
“O corpo de um atleta precisa de muito mais energia que o de uma recepcionista. Um
operário de construção tem muito mais chance de ser magro que um executivo”, afirma
a nutricionista paulista Flora Spolidoro, responsável pela criação da dieta do aventureiro
dos oceanos, Amyr Klink (que busca atravessar sozinho os oceanos em pequena em-
barcação). Flora diz que dependendo do tipo de atividade que exerce, o organismo
gasta mais ou menos energia.
Assim, segundo esta nutricionista, em entrevista concedida a revista “Superinteres-
sante” (publicada no nº 6, junho de 1993), tudo que o corpo humano ingere é tratado
por ele, indistintamente, como alimento. Um organismo plenamente desenvolvido utili-
za esse alimento como matéria-prima para regenerar boa parte das células e para gerar
energia que o conserva vivo. Em repouso absoluto, ele tem a potência de uma lâmpa-
da: consome 100 watts de energia, o correspondente a 2100 quilogramas por dia.
Cerca de 20% dessa energia é utilizada pela musculatura esquelética, 5% pelo cora-
ção, 19% pelo cérebro, 10% pelos rins e 27% pelo fígado e pelo baço. Assim vemos
que a alimentação é vital para a vida, seja para os esportistas seja o homem comum,
pois a qualidade de nossas vidas depende daquilo que comemos. Um dos fenômenos
que indica carência alimentar é o índice de prevalência de anemia, ou em outros
termos, a falta de ferro no organismo. Esse índice serve não apenas para avaliação da
saúde de um indivíduo, mas também, de um dado grupo ou de uma comunidade. Esse
índice pode dizer muito mais do que sobre a simples quantidade de alimento ingerido
por um sujeito ou uma comunidade: ele diz respeito essencialmente sobre a qualidade
da alimentação. Esse fato vai ser importante nas nossas discussões assim como no
desenvolvimento de nossas atividades.
Por trás do apetite normal que faz barrigas roncarem, existe uma fome oculta.
Ameaçadora, ela compromete a saúde de mais da metade do planeta. Sem deixar
praticamente nenhum rastro, a anemia se instalou na sociedade e é responsável por
Integrando a matemática ao mundo real

Unidade2
61
Nesse contexto da problemática da anemia, analise o quadro de incidência da falta
de ferro na população brasileira. Ainda não foi realizada uma pesquisa nacional no
Brasil sobre a incidência da falta de ferro na população. Porém, alguns estudos isolados
em estados revelam a face do problema. Conheça os resultados das principais pesquisas:
uma geração de crianças, adolescentes e adultos apáticos, fracos e com rendimento
escolar e no trabalho cada vez menor.
“É uma doença que não mata nem chama a atenção. Mas é perigosa e deletéria
para o indivíduo e para o desenvolvimento social do país” avisa a consultora de nutri-
ção da Organização Pan-Americana de Saúde (OPAS), Leonor Pacheco. Pesquisas
comprovam a perda intelectual que ocorre em anêmicos. O Fundo das Nações Unidas
para a Infância (Unicef) provou que bebês e crianças com anemia perdem nove pontos
do Coeficiente de Inteligência (QI).
Quando falamos em má alimentação, pensamos logo em falta de alimentos, o que
pode não corresponder à realidade, pois uma alimentação inadequada implica consi-
derarmos as proporções de nutrientes ingeridos e sua relação com as necessidades de
cada um. Por falar em “proporção”, discutir sobre alimentação será uma oportunidade
impar para tratar de conceitos matemáticos importantes no ensino fundamental, não
somente o conceito de proporção, mas também das medidas, dos decimais e do trata-
mento de informações.
A anemia cresce independente da classe social. Amostras de sangue de 1.256
crianças de 0 a 5 anos de idade da cidade de São Paulo demonstraram que 46,9%
sofriam de anemia.
A solução para o problema de falta na alimentação de ferro foi a de enriquecer
certos produtos com o nutriente. A preferência é por produtos consumidos em larga
escala no país. No Brasil, as soluções começam a ser pensadas agora. (Texto baseado
na reportagem de Daniela Guima, “Falta ferro à mesa” publicada em 30 de março de
2002, pelo Correio Braziliense, página 08 do primeiro caderno.)
CIDADE
Porto Velho (RO)
Maceió (AL)
Sergipe
Pernambuco
Salvador (BA)
Paraíba
Piauí
São Paulo (SP)
Porto Alegre (RS)
Criciúma (SC)
IDADE
2 a 5 anos (1990)
6 a 10 anos (2000)
0 a 5 anos (1998)
0 a 5 anos (1997)
0 a 5 anos (1996)
0 a 5 anos (1992)
mães 14-49 anos (1991)
0 a 5 anos (1995/6)
0 a 3 anos (1997)
0 a 3 anos (1996)
AMOSTRA
279
454
720
780
606
1.287
809
1.256
557
476
PREVALÊNCIA DE ANEMIA
38,4%
25,4%
31,4%
46,7%
46,4%
36,4%
26,2%
46,9%
47,8%
54,0%
PESQUISAS BRASILERIAS

Situação-problema “Alimentação versus carência alimentar: uma questão meramente biológica?”
Seção1
62
Atividade 1
Discuta e construa uma argumentação sobre a afirmação abaixo:
“Observa-se que as cidades de Criciúma-SC, Porto Alegre-RS e São Paulo-SP têm,
nessa ordem, os maiores índices de prevalência de anemia. Isso significa que nessas
cidades a população tem maiores dificuldades econômicas para fazer frente às necessi-
dades alimentares de suas crianças.”
Professor, sem dúvida essas cidades estão longe de estarem nas regiões mais pobres
do nosso país. Ao contrário: estão nas regiões de maior produção agrícola e industrial do
Brasil e com maior renda per capita, o que é um dos índices de riqueza. Então não
podemos atribuir ao fator econômico o alto índice de anemia nessa região.
Um relatório da Unicef divulgado em 1998 define bem as causas desse pro-
blema de saúde pública: “A abundância e disponibilidade de tipos errados de
alimentos, consumidos sem moderação e na forma de dietas mal equilibradas, atu-
am como vilões nesse processo: alimentos nutricionalmente deficientes, como refri-
gerantes, batatas fritas, doces, e refeições rápidas, dificultam o consumo de produ-
tos benéficos”.
Isso indica que a prevalência de ferro do organismo é também uma questão
cultural, ou seja, diz respeito aos hábitos alimentares de um indivíduo e de um
grupo. Isso implica que a educação alimentar dada em casa, na escola e na socie-
dade é um fator importante que vem definir o consumo de alimentos ricos em ferro.
Atividade 2
Situando-se na tabela abaixo, ou seja, observando as categorias contidas na primei-
ra coluna e a quantidade de ferro, em miligrama por cada categoria, considerando seu
sexo e idade, construa a proposta de três cardápios diferentes, de forma que:
• Cada cardápio tenha três produtos diferentes.
• Você irá comer o peso de meio quilo (ou o mais próximo possível disso).
• Você ingerirá a quantidade mínima diária de ferro nessa refeição.
• Procure fazer uma combinação adequada na combinação dos alimentos pensando
no sabor.
Renda per capita: corresponde ao quociente entre o produto interno bruto de
uma região pelo número de habitantes.
Articulando
conhecimentos

Unidade2
63
Atividade 3
Consultando a tabela de recomendação de ingestão diária de ferro, podemos calcular
quanto de ferro um homem deve ter ingerido até completar os 30 anos de idade. Para isso,
caro professor, defina a expressão que nos forneça esse valor, lembrando que a tabela
informa o consumo diário e que queremos saber o consumo ao longo dos anos de vida.
Sem dúvida, a composição deste cardápio exigiu a mobilização de várias noções
envolvendo comparações e operações de decimais. Também foi mobilizada a noção
de proporcionalidade, uma vez que a quantidade de ferro depende da massa de
alimento ingerida. Essa é mais uma oportunidade de observar como os diferentes
conceitos matemáticos aparecem de forma integrada em situações significativas, de-
vendo o professor aproveitar dessas situações para trabalhar o conteúdo matemático
de forma mais integrada e dinâmica, rumo à constituição de um currículo em rede.
Crianças até 10 anos
Homens entre 11 e 18 anos
Homens a partir de 19 anos
Mulheres entre 11 e 50 anos
Mulheres a partir de 51 anos
Mulheres grávidas
Mulheres lactantes
10mg
12mg
10mg
15mg
10mg
30mg
15mg
RECOMENDAÇÃO DIÁRIA DE INGESTÃO DE FERRO
ALIMENTOS RICOS EM FERRO
Alimento
Carne de boi magra
Feijão preto
Feijão roxinho
Feijão verde
Alface
Brócolis
Agrião
Couve
Quantidade por 100g
3,20mg
4,30mg
3,30mg
1,40mg
1,10mg
1,30mg
2,60mg
2,20mg
ALIMENTE-SE DIREITO

64
(*) mg = massa expressa em miligramas, ou seja, milésima parte do grama.
Atividade 4
Calcule quanto em quilograma esse homem deve comer minimamente de cada um
dos alimentos abaixo, supondo ser a única fonte de consumo de ferro (ou seja, o indiví-
duo não consome nenhuma outra fonte de ferro em suas refeições), para que não seja
acometido de anemia (baseando-se na tabela “Alimente-se direito” da atividade 2):
Feijão roxinho:
Alface:
Couve:
Seção 2
Construção do conhecimento
matemático em ação: números e álgebra
Vamos agora estudar um pouco mais sobre os temas que você utilizou para resolver
a situação-problema. O objetivo desta seção é de aprofundar nos seguintes temas:
• Relação entre números inteiros, fracionários e decimais.
• Números decimais: significados e operações.
• Conceitos básicos de equações do primeiro grau e algumas maneiras de propor a
sua solução.
Objetivo
da seção
Faixa etária Ingestão diária Qtde de anos
no período
Qtde de dias
no período
mg* de ferro
por ano
Até 10 anos
11 a 15 anos
19 a 30 anos
TOTAL
10
12
10
10 anos 10 x 3.650
=36.500mg
3.650 dias

Unidade2
65
Atividade 5
Na situação-problema desta Unidade você utilizou números inteiros, fracionários e deci-
mais. Propomos, então, que trabalhemos um pouco sobre os vários sistemas de numeração.
Por exemplo, se o retângulo abaixo representa uma fração de 4/5, desenhe logo
abaixo o que represente 4/10, 3/4, 8/10, 90% e 75%.
4/5 =
4/10
3/4
8/10
90%
75%
Sem dúvida, a resolução desse problema poderá ser feita de várias formas. Aqui
vamos apresentar uma das formas.
Encontrar o 4/10 parece fácil, porque 4/10 = 2/5. Se 4/5 é representado pela figura
inicial, então 2/5 é a metade da figura inicial.
Para determinarmos os 3/4 sugerimos que encontre o que representa 1/5 e, a
partir daí, encontre o todo, ou seja, 5/5. Com o inteiro completado, divida o inteiro em
4 partes e tome 3.
Já 8/10 parece tarefa fácil, já que 8/10 é equivalente a 4/5. Mas, mesmo assim
vamos dividir o inteiro em 10 partes, o que será útil para determinarmos 90%. Para
encontramos os 75%, vamos dividir o inteiro em 100 partes e tomar 75.
4/5 =
4/10 =
4/5 =
2/5 ou
4/10 =
1/5 =
5/5 =
4/4 =
3/4 =

Construção do conhecimento matemático em ação: números e álgebra
Seção2
66
Você deve ter observado as relações que apareceram. Por exemplo: 75% é equiva-
lente a 3/4 e 4/5 é equivalente a 80%.
Agora tente fazer o cálculo mentalmente. Sem o uso de representações gráficas.
Sabendo que 2/5 é 12, quanto é:
3/5?
1/6?
1/10?
10%?
5%?
95%?
Assim, podemos ver as várias formas com que os números podem ser representa-
dos, sendo cada forma mais conveniente para um tipo de representação do que outra.
Existem momentos em que uma fração é mais utilizada do que a porcentagem.
Por exemplo: nos livros de receita usa-se: “1/2 de um copo de leite e não 50% de um
copo de leite”.
Ao receber um desconto numa loja é mais fácil a vendedora dizer que o desconto
é de 10% sobre o valor do produto do que 1/10 ou 0,1.
Quando você está no caixa de um mercado é comum a vendedora pedir 25
centavos para completar o troco do que 25% de um real ou 25/100 de real.
Então a utilização adequada de um sistema de numeração vai depender da sua
aplicabilidade, por isto é importante que você trabalhe com as interpretações múltiplas
dos números.
1 inteiro =
80% = 4/5 =
10/10 =
90%=9/10 =
10/100 =
75%=75/100 =
A aprendizagem matemática é vinculada à aprendizagem de diferentes represen-
tações de um mesmo conceito, e saber transitar entre essas diferentes representações
sinaliza para uma aprendizagem real. Nesse sentido, a teoria de Douady insiste na
importância de que uma dada situação matemática seja tratada em diferentes qua-
dros, em especial, na aritmética, no algébrico e no geométrico. Assim, o professor

Unidade2
67
Atividade 6
Os números decimais estão sempre presentes no nosso dia-a-dia. Vamos analisar
um pouco mais sobre esta forma de representação numérica.
Escreva na segunda coluna um número inteiro que esteja mais próximo do número
da primeira coluna, depois os represente na reta numérica.
Número
2,01
1,71
1,501
-1,2999
-0,049998
0,095
Inteiro mais próximo
2
não deve se contentar com a resolução de uma situação-problema em apenas um
quadro (no algébrico, por exemplo), mas deve buscar com seus alunos a construção
de diferentes formas de soluções em mais de um quadro (no geométrico, por exem-
plo), procurando evidenciar com seus alunos a existência de uma forte e importante
articulação entre os processos presentes nos diferentes quadros. Essa é, por certo,
uma postura que contribuirá para a construção, na escola, de uma concepção de
matemática menos fragmentária e mais articulada e dinâmica .
Para maior conhecimento desta teoria procure ler o texto de referência “A flexibili-
zação da aprendizagem matemática – Representação e Teoria de Quadros”, unidade 6.
Para pensar quem é o maior número ou quem está mais próximo, você pode ter
usado o seguinte raciocínio:
2,01 está entre 2 e 3. então vamos transformar o 2 e 3 para uma fração de
denominador 100, assim e . Com o mesmo denominador, é pos-
sível analisar os números. Logo, 201 está mais próximo de 200 do que de 300.
2,01=
201
100
2 =
200
100
3 =
300
100

Seção2
68
É importante, professor, que você mostre para os seus alunos essa explicação
antes de estipular qualquer regra. Sugerimos que você deixe que seus alunos façam
alguns exemplos com frações, para que, a partir daí, eles possam criar alguma regra.
Se desejarmos colocar em ordem crescente os números 0,6; 0,61 e 0,625, então
podemos pensar nos números como: 600, 610 e 625 quando já compreendemos que
estes são os numeradores de uma fração com denominador 1.000. E que depois de os
transformar para o mesmo denominador basta nos dedicarmos a estudar o numerador.
Entretanto, é necessário observarmos que o número decimal guarda as mesmas
propriedades dos números naturais uma vez que se encontram na mesma base, ou
seja, na base dez. Estando no sistema decimal, os procedimentos de comparação,
adição e subtração entre decimais possuem forte conexão com os desenvolvidos
previamente com os números naturais. A escola deve buscar valorizar iniciativas
dos alunos em expandir tais procedimentos já aplicados em situações envolvendo
dinheiro ou medidas, pois nelas os alunos já se utilizam de procedimentos ditos
“espontâneos” mas que permanecem válidos para as situações com as demais for-
mas de números decimais.
A descoberta pelo aluno de que ainda permanece a propriedade fundamental
do sistema decimal (em que a quantidade DEZ de uma ordem forma um número de
ordem imediatamente superior como quando manipula cédulas e moedas) permitirá
tanto ampliar os algoritmos até então válidos como permitirá ao aluno desenvolver
e propor formas de realizar as operações aditivas com os decimais.
Essas formas não somente ocorrem graças a essa compreensão, como os proce-
dimentos operatórios revelam de que forma o aluno compreende a noção de núme-
ro decimal.
O trabalho entre os números decimais e as frações sempre é altamente salutar,
mas não devemos nos esquecer da importância sociocultural da aprendizagem dos
decimais, uma vez que, em situações comuns do cotidiano, como no comércio, no
trabalho, nos esportes, nos meios de comunicação, os decimais são infinitamente
mais presentes, aplicados e úteis do que as frações.
Voltando à tabela dos números de anemia, responda às seguintes perguntas:
a) Qual é o total, percentualmente, dos índices de anemia da região Nordeste?
b) Podemos dizer que o índice de anemia de Criciúma é o dobro dos índices do Piauí?
Atividade 7
Articulando
conhecimentos

Unidade2
69
Você, professor, quando estiver na sala de aula pode criar várias outras pergun-
tas interessantes para motivar seus alunos ao cálculo com números decimais a partir
dessa situação-problema. Assim, vamos pensar um pouco na forma como são feitas
as operações com decimais que, normalmente, são apresentadas aos alunos de uma
forma mecânica.
Adição e subtração
Vamos calcular: 5,5 + 2,61. Como o nosso interesse é compreender como é feito este
cálculo, vamos transformar para frações esses números.
Somar 5,5 com 2,61 é a mesma coisa que:
O mesmo procedimento podemos adotar para a subtração.
Multiplicação de decimais
Vamos determinar o produto de 0,58 e 9,1, para isso vamos também transformá-los em
frações para ver o que acontece.
0,58 x 9,1 =
O que foi feito? Quando fazemos a operação no mesmo algoritmo utilizado com os
números naturais, o que devemos acrescentar é a relação entre os decimais, ou seja,
Décimo de décimo = centésimo
Décimo de centésimo = milésimo
Centésimo de décimo = milésimo
Décimo de milésimo = déci-milésimo.
Assim os procedimentos adotados para a multiplicação dos naturais são ainda váli-
dos para a obtenção de produto entre décimos, observando as relações acima.
Ao fazer o cálculo como exposto abaixo como você explicaria um número em
centésimos multiplicado por um número com décimos se transformar em milésimo?
Reduzindo ao mesmo denominador:
Um recado para
sala de aula
0,58
9,1
5,278
x

Seção2
70
Talvez em sala de aula a demonstração utilizando o exemplo monetário possa ser
mais útil e significativa do que a explicação com frações.
Divisão de decimais
A divisão por decimais é um conteúdo no qual os alunos encontram maior dificuldade.
O cálculo, normalmente, é feito mecanicamente sem a compreensão do seu significado
matemático.
Vamos ver duas formas de compreender a divisão de decimais, fazendo o
calculo: 6,345 : 2,35
A divisão será melhor realizada se reduzimos as duas frações ao mesmo denominador.
Então, o cálculo 6,345 : 2,35 é o mesmo que podemos fazer entre 6.345 : 2.350.
Outra forma seria fazer a simples transformação:
Observando os dois exemplos, escreva uma regra para a divisão de decimais e justifique.
Você já deve ter ouvido e usado inúmeras vezes a explicação de que se o número
0,58 tem duas casas decimais e 9,1 tem apenas uma, no resultado haverá 3 casas
decimais, porque 2 casas + 1casa = 3 casas.
Na verdade, a contagem de casas significa o produto de um centésimo 1
100
( )
por um décimo O que você acha de, em vez de explicar para os alunos apenas
a contagem da casa, usar a seguinte explicação: produto de centésimos e décimos é
igual a milésimos?
As demonstrações acima apenas confirmam que existe uma articulação conceitual
e procedimental da adição, subtração e multiplicação de números decimais com o siste-
ma de numeração decimal. Isso pode ser facilmente visto, por exemplo, na adição,
subtração e para alguns casos da multiplicação com valores monetários.
Por exemplo, quando fazemos a operação R$2,45 + R$3,71 devemos adicionar os
centavos de real e os décimos de real de cada valor. Quando adicionamos os 4 com 7
décimos de real, ao completarmos 10 décimos completamos um real. Veja então como a
operação é feita: centavos com centavos, décimos de real com décimos de real.
Mesmo raciocínio utilizamos para os números decimais. Devemos somar décimos
com décimos, centésimos com centésimos etc.
1
10
( ).
6,345 : 2,35 =

Unidade2
71
Um procedimento que vale a pena experimentar junto aos alunos para a idéia de
multiplicação de decimais com o primeiro fator menor que um é o de tomar uma tira de
papel como sendo o inteiro, tendo esse inteiro marcas que o dividem em dez partes
iguais, e cada décimo, por sua vez, divisões em decimais.
Por exemplo, fazer 0,2 x 0,3 deve significar “pegar 2 décimos de 3 décimos”.
Assim, peguemos 0,3. Se quisermos dois décimos dos 0,3, empilhamos e cortando dois
décimos destes.
A cada corte, teremos 1 décimo de 0,3, ou seja, 3 centésimos. Com dois cortes
teremos 0,03 + 0,03, totalizando 6 centésimos.
Atividade 8
É muito comum alunos, e até mesmo adultos, não compreenderem o motivo pelo
qual a multiplicação de números decimais pode resultar em algo menor do que os fatores
iniciais, ainda mais quando se considera que a multiplicação pode significar a soma de
parcelas iguais. No mesmo sentido, ficam atordoados quando a divisão de dois números
decimais apresenta um resultado maior que o inicial. Como isso pode acontecer se
estamos dividindo?
Vamos procurar responder a algumas destas perguntas. Pensemos numa área repre-
sentada no plano cartesiano pelo retângulo de base 3 e altura 1:
Área da figura é 1 x 3 = 3
Um recado para
sala de aula

Seção2
72
Observando os gráficos, é fácil perceber que a área do retângulo de dimensões 3 e
x é menor quando x for menor que 1 e maior quando x for maior que 1. Portanto, esta
verificação pode nos mostrar que o resultado de uma multiplicação nem sempre é um
número maior (multiplicando 3 por um número menor que 1 resulta um produto que é
menor que 3).
Quanto à divisão que envolve números decimais cujo resultado pode ser maior do
que o número inicial, vamos pensar na seguinte situação.
Normalmente quando chegamos de uma compra no supermercado que fazemos
mensalmente devemos dividir, por exemplo, a carne em pequenas porções para não
precisar descongelar toda a carne quando for precisar de apenas uma pequena parte.
Então se compramos 3kg de carne e desejamos fazer pacotes de 1kg, o cálculo é
fácil: serão 3 pacotes de 1kg cada.
3 : 1 = 3
Se desejamos dividir em pacotes de 250g quantos pacotes de carne serão feitos?
Área da figura é 0,6 x 3 = 1,8
Área da figura é 1,3 x 3 = 3,9

Unidade2
73
Portanto, a divisão indica que o número de pacotes (12) é maior que o número
inicial (3 quilos), já que são necessários quatro 0,25 para completar um inteiro. Então se
uma divisão for feita por um número menor que 1, o seu resultado será maior.
Atividade 9
Na situação-problema você poderia ter utilizado equações para resolver a questão
proposta na atividade 4. O uso de letras em matemática, algo que fazemos hoje com
tranqüilidade, a história nos mostra que nem sempre foi assim.
História da Álgebra
Ao longo de seu curso de primeiro ou segundo graus, você deve ter resolvido
várias expressões algébricas. Lembra-se? Você provavelmente teve que passar por
listas inteiras de exercícios com enunciados exclusivamente simbólicos, sem ne-
nhum vocábulo.
Para que a álgebra chegasse a este estágio, ela passou por três etapas de desenvol-
vimento:
1) o primitivo, ou retórico, em que tudo era completamente escrito em palavras;
2) o estágio intermediário, sincopado, em que eram adotadas algumas abreviações;
3) o estágio simbólico ou atual, em que se usam exclusivamente símbolos mate-
máticos.
Esta classificação do registro do pensamento algébrico em três estágios nos permite
uma compreensão do sentido evolutivo de sua história, mas isto não significa que não se
possa, atualmente, expressar um pensamento algébrico simples de forma retórica ou
sincopada, se isto facilitar a comunicação.
A fase retórica
O pensamento algébrico já foi demonstrado por povos antigos, como os babilônios e os
egípcios. No entanto, eles registravam seus problemas de álgebra e suas soluções inteira-
mente com palavras. Veja, por exemplo, este problema babilônico encontrado no table-
te de argila no
AO8862, encontrado em escavações na área da Assíria:
Comprimento largura. Eu multipliquei comprimento e largura, portanto encontran-
do a área. Então eu somei à área o excesso de comprimento comparado à largura: 3,3
(isto é, o 183 foi o resultado encontrado). Além disso, eu somei comprimento e largura:
27. Quero que me digas o comprimento, a largura e a área.
Dados: 27 e 183 as somas
Resultados: a) Comprimento = 15; Largura = 12; Área = 180;
b) Comprimento = 14; Largura = 13; Área = 182.
Articulando
conhecimentos

Seção2
74
Não parece um daqueles problemas encontrados em livros de Matemática, onde se
espera que o aluno substitua comprimento, área e largura por letras, por exemplo, x, y e
z, monte uma equação e resolva o problema?
Imagine a dificuldade que ele encontraria para escrever a expressão
(ax+b)(cx+d)(ex+f).
A álgebra sincopada
O estágio seguinte é o da álgebra sincopada, que constitui uma forma mista de repre-
sentação na qual se usam alguns símbolos, muitas abreviações, e palavras. Diofante de
Alexandria foi o primeiro autor a fazer uso sistemático de abreviações nos problemas e
nas operações com números.
Diofante representava um número desconhecido, que chamamos uma in-
cógnita, por um símbolo que lembra a letra grega s e usava também símbolos
para representar potências específicas de números. O quadrado era Dg
, o cubo
era Kg
, a quarta potência, que ele chamava “quadrado-quadrado”, era Dg
D e a
sexta potência, ou “cubo-cubo”, era Kg
K. Pela notação de Diofante fica claro
que ele conhecia as regras para combinação de expoentes que conhecemos
hoje (xm
x xn
=xm+n
). Ele tinha até nomes especiais para as potências negativas.
Só que sua notação ainda não deixava tão evidente, como é para nós hoje, as
tais relações entre expoentes.
A notação sincopada tornou-se comum na Europa renascentista. Na notação de
Regiomontanus (1436-1476), por exemplo, a expressão:
5 m Radice de 21, ecce valor rei
significava:
As letras vinham sendo usadas para representar quantidades desconhecidas (incógnitas)
ou para generalizar números.
Outro matemático muito importante para o desenvolvimento da álgebra foi Viète
(1540- 1603), que propôs a utilização sistemática do cálculo literal para tratar de forma
geral um tipo de problema. Tomemos um exemplo simples:
1. A área de um retângulo na qual as dimensões são 3m e 4m é 3 x 4m².
2. A área de um retângulo é o produto de sua largura pelo seu comprimento.
3. A= L x C.
Resolvemos, segundo Viète, inicialmente um problema particular, para em seguida
exprimir uma regra dando a solução do problema geral correspondente, condensando,
enfim, isso por uma fórmula algébrica.
Viète fez o primeiro passo em direção à criação de uma linguagem matemática,
tendo de um lado os símbolos (a utilização de letra em álgebra) e de outra parte o
emprego dos mesmos.
(Tradução livre da internet: http://math93.free.fr/viete.htm)

Unidade2
75
Mas a álgebra na forma como temos expressada hoje por letras (principalmente o
uso do x para representar valores desconhecidos) só foi sistematizada pelo matemático e
filósofo René Descartes. Foi ele que sugeriu o uso das últimas letras do alfabeto para os
valores desconhecidos de uma equação e as primeiras letras para os valores conhecidos.
Pesquise um pouco mais sobre as contribuições de René Descartes para o desen-
volvimento da álgebra.
Claro que esta é uma história sistematizada e resumida, houve vários matemáticos
que foram importantes para a formação da álgebra como temos hoje.
A solução de uma equação pode ser feita a partir de algumas interpretações mate-
máticas.
Apesar de os professores optarem por procedimentos únicos para a resolução das
equações, é importante saber e trabalhar com os alunos as múltiplas possibilidades de
resolver equação.
A maioria dos procedimentos são, no fundo, calcados
nos princípios aditivos e multiplicativos da igualdade. Esses
princípios podem ser ilustrados por uma balança.
Quando existe um equilíbrio, ou seja, uma
igualdade, entre os dois membros de uma sen-
tença matemática, somando ou subtraindo o
mesmo valor de ambos membros, a igualdade
não se altera.
Vejamos dois exemplos:
120 + 50 = 170, ou então, 2x (120 + 50) = 2 x 170
240 +100 = 340.
Essa propriedade acaba por se constituir em forte ferramenta
para o desenvolvimento de procedimentos algébricos. Iremos a seguir mostrar apenas
dois destes, ressaltando desde o início que o processo utilizado escondendo-se um dos
termos é apenas um recurso didático que busca decompor uma situação complexa em
estrutura mais simples. É um recurso de grande limitação em termos de resolução de
equações mais complexas, mas que pode muito contribuir para o início do aprendiza-
do da resolução de equações.
Iniciemos com situações bem simples.
Uma das formas de interpretar uma equação e sua resolução é utilizando a aritmé-
tica que, no fundo, utiliza-se dos princípios aditivos e multiplicativos da igualdade.
Sabe-se que 2 + 5 = 7, logo:
a) 2 = 7 - 5 ou
b) 7 - 2 = 5.
Por quê? Apliquemos o princípio aditivo:
2 + 5 = 7 2 + 5 - 5 = 7 - 5 2 + 0 = 7 - 5 2 = 7 - 5

Seção2
76
Observando uma equação temos que:
x + 5 = 7, então
x = 7 – 5, se utilizarmos o item a.
Ao resolver 2 + x = -4, podemos usar o item b:
-4 - 2 = x
Dessa forma podemos resolver várias equações utilizando a generalização de regras
da aritmética.
Ainda:
Se 4 x 3 = 12, então:
c) ou
d)
Assim na equação 4x = 12, podemos escrever segundo c:
Ou se tivermos a expressão na forma de d: , então x = 4 . 3
Assim, resolver uma equação significa reescrevê-la na forma de uma expressão que
isole a incógnita em um dos membros.
Resolva a equação a seguir usando as generalizações acima. Justifique cada passo seu.
3 =
12
4
4 =
12
3
Atividade 10
Uma forma de encaminhar a resolução de equações é esconder o valor que se deseja
conhecer. Para isto você pode usar os dedos para esconder o valor que deseja. É um
recurso que, como já dissemos, é altamente limitado em termos da variedade de equações
para os quais podemos aplicar o recurso. Mas pode ajudar a visualização do aluno das
diferentes etapas de resolução que, para início de aprendizagem, pode ser interessante.
Vamos pensar um pouco na solução da equação abaixo:
Tampe com um dedo a parte , então: qual número somado com +2 tem como
resposta –4?
? + 2 = -4

Unidade2
77
Refletindo sobre a operação com inteiro, você deve ter encontrado –6.
Tampe agora o numerador da fração e responda à pergunta: qual número dividido
por 5 é igual a –6.
De mesma forma, você encontra -30.
3x = -30
Usa-se a mesma estratégia para descobrir qual o número multiplicado por 3 é -30.
Finalmente, x = -10.
Esse método, apesar de eficiente, não pode ser utilizado para a resolução de todo
tipo de equação, mas pode ser muito útil para que os alunos compreendam o significado
da incógnita. Mas é necessário pensar se essa técnica sempre funciona. Será, por exem-
plo, num caso onde aparecem variáveis em ambos os membros da igualdade é viável a
aplicação desse recurso. Entretanto, para início da aprendizagem da resolução da equa-
ção, o recurso nos parece eficaz sobretudo no que se refere à construção do significado
da resolução de uma equação: encontrar o valor para o qual, substituindo na variável,
obtemos uma sentença matemática fechada verdadeira.
Resolva a equação abaixo utilizando esse método:
Atividade 11
O livro de al-Khowarizmi intitulado “Al-jabr” trazia algumas regras para a resolução
de equações algébricas. Era parecido com um livro de receita que tinha como objetivo
ajudar na solução desse tipo de equações.
Alguns professores e livros didáticos apresentam a equivalência de equações a
partir do exemplo da balança de dois pratos, uma vez que ao utilizar tal balança o aluno
pode conseguir resolver as equações de forma mais intuitiva.
O segundo processo apela diretamente para o processo ilustrado pela balança onde
exploramos as propriedades fundamentais presentes na resolução de uma igualdade.
Com isso, podemos lançar mão desse fato para auxiliar no processo de isolamento da
variável em um dos membros da igualdade.
Vamos, então, aplicar esse mesmo conceito na equação abaixo:
x+ 5 = 8
Se desejamos isolar o “x” devemos tirar o 5. Fazemos isto anulando-o, ou seja,
acrescentado o “-5” nos dois membros da equação.

Seção2
78
x+ 5 – 5 = 8 – 5
x = 3
Vejamos outro exemplo:
2x = 10
Para isolarmos o x, devemos reduzi-lo a 1, dividindo por 2. Como a divisão foi feita
no primeiro membro o mesmo deve ser feito no segundo.
x = 5
O mesmo, fazemos no exemplo seguinte:
Resolva a equação seguinte usando a equivalência. Escreva os termos
nos dois membros. Não tenha pressa. O importante é você ter clareza sobre a
equivalência.
4 + 3x = -11
Atividade 12
Em um papiro egípcio escrito em torno de 1.600 a.C. encontraram-se alguns exem-
plos de equações e suas soluções. Um método utilizado por eles é o que hoje denomina-
mos de “falsa posição”. Nesse tipo de solução utiliza-se um valor desconhecido para a
incógnita e calcula-se o valor da expressão para aquele valor. Como normalmente esse
valor não resolve a equação, determina-se o seu fator de proporcionalidade e encontra-
se o seu valor verdadeiro. Veja a solução da equação a seguir:
Vale a pena levar um balança de dois pratos para a sala de aula quando for
introduzir o assunto “resolução de equações”. Porém, a utilização da balança fica difícil
quando tratamos de números negativos e algumas situações com decimais.
Também vale a pena trabalhar com os alunos a solução escrevendo nos dois mem-
bros o termo a ser cancelado. Depois vá reduzindo os passos à medida que eles forem
percebendo as regularidades do método.
Um recado para
sala de aula

Unidade2
79
Vamos resolver a equação . Para começar vamos escolher uma solução
por tentativa. Como x está sendo dividido por 4, vamos escolher um múltiplo de 4
(digamos 8), assim o primeiro membro fica determinado
Entretanto o x que satisfaz a equação tem como resultado 15. Fazendo a proporção:
Para o nosso problema temos que:
Então, x = 12.
O método da falsa posição também pode ser usado para a resolução de equações
quadráticas. Mas vamos deixar para conhecê-la oportunamente.
É interessante apresentar este tipo de solução para os alunos como uma curiosidade.
Agora é sua vez de tentar, resolver a equação a seguir pelo método da falsa posição:
Adição e subtração entre dois números decimais: deve ser feita obedecendo ao
mesmo raciocínio feito pelos números inteiros. Deve-se somar décimos com déci-
mos, centésimos com centésimos e assim por diante.
Multiplicação de números decimais: O produto de dois números decimais terá o núme-
ro de casas decimais definido pela soma do número de casas decimais de cada fator.
Divisão de decimais: deve-se igualar o número de casas decimais e fazer o cálcu-
lo como se não tivesse casas decimais.
Observações importantes com números decimais:
• Quando a divisão envolve números decimais o resultado pode ser menor do que o
número inicial.
• Se uma divisão for feita por um número menor que 1, o seu resultado será maior
que o dividendo.
• Para saber se um número é maior ou menor, iguale o número de casas decimais e
depois interprete os números como se não fossem decimais.
Equações do primeiro grau: Existem algumas formas para resolver equações:
• Ocultamento do termo com a incógnita. (Atividade 10)
• Igualdade ou equivalência dos dois membros podendo utilizar a balança de dois
pratos. (Atividade 11)
Método da falsa posição. (Atividade 12)
Resumindo

80
Seção 3
Transposição didática: pesquisando
o consumo de ferro na nossa alimentação
• Transpor a proposta de atividade da seção 1 para a sala de aula realizando-a com os
alunos.
• Possibilitar aos alunos uma visão mais crítica sobre uma certa realidade graças à
aquisição de novos conceitos matemáticos.
• Observar, registrar e documentar o processo de transposição didática.
Objetivo
da seção
Levar para a sala de aula o tema “alimentação” como gerador de situações mate-
máticas é também permitir uma discussão mais ampla abordando questões sociais,
econômicas, educativo-culturais e, sobretudo, políticas e éticas.
Portanto, mais que estar mobilizando conceitos e procedimentos matemáticos
ligados às medidas, porcentagens, médias, gráficos, fórmulas e equações, o tema gera-
dor da situação-problema permite dar um sentido ao conteúdo matemático como
ferramenta de interpretação de determinado fenômeno que é ao mesmo tempo bioló-
gico, cultural e econômico, muito ligado à questão da fome, da carência alimentar e,
portanto, das noções de saúde e de qualidade de vida.
Nesta perspectiva, a transposição didática deve levar em conta que a proposta
tenta permitir essa articulação entre objetos matemáticos e contextos significativos.
Vamos nessa seção propor uma expansão da atividade desenvolvida numa situação-
problema, a ser realizada numa turma de 5ª ou 6ª séries.
A questão da aprendizagem e do ensino da matemática implica um confronto
tendo, por um lado, o saber acumulado dessa ciência, cujo conhecimento requer um
alto grau de abstração lógica e conceitual e, por outro, tendo a construção de estrutu-
ras de pensamento pela criança e pelo jovem que não podem assimilar esse conheci-
mento científico, inadequado tanto às suas necessidades quanto às suas capacidades
cognitivas. A escola, não podendo trabalhar a matemática tal qual é tratada na uni-
versidade, requer do professor uma transformação do saber, adequando aos interesses
e necessidades do aluno, transformação essa denominada de transposição didática.
Para saber mais, visite o Texto de Referência sobre este tema.
Articulando
conhecimentos

Unidade2
81
Atividade 13
Inicialmente promova junto aos alunos uma pesquisa de prevalência de anemia em
sua região. Para tanto muitas podem ser as fontes de investigação, tais como posto
médico, hospital, imprensa local, arquivos públicos, Secretaria de Saúde, entrevista com
o médico comunitário, dentre outros.
A pesquisa de prevalência de anemia deve ser realizada após uma discussão com
a turma sobre a importância da alimentação sobre a saúde. É importante um levanta-
mento prévio sobre as possíveis fontes de informações, estimulando os alunos a recor-
rerem aos organismos ligados à prefeitura e ao Estado. Igualmente importante é a
discussão acerca da natureza dos dados a serem coletados, podendo ser tanto de
ordem quantitativa como de ordem qualitativa. Um trabalho fundamental a ser con-
duzido pelo professor é a confrontação das diferentes naturezas de informações cole-
tadas pelos alunos.
É fundamental que o objetivo esteja claro entre os alunos antes da ida a campo, ou
seja, que a intenção é buscar informações sobre a freqüência de anemia na sua região e
que os dados serão organizados por idade, sexo, local de habitação, nível socioeconô-
mico, dentre outras categorias. Portanto, não apenas as fontes de informações e a forma
de coleta das informações quantitativas são importantes, mas também as estratégias de
organização destes dados são altamente relevantes para permitir a realização de uma
análise do fenômeno que favoreça exploração didática.
Uma primeira aproximação da exploração matemática dos alunos decorre da
exploração dos componentes de produtos alimentícios extraídos da informação nutrici-
onal (cuja presença é obrigatória nas embalagens dos produtos). Solicitar a identifica-
ção dos componentes presentes nos produtos com atenção especial na presença ou
ausência de ferro como componente do produto. Essa já seria uma primeira forma de
organização das informações obtidas entre produtos (os que têm e os que não têm ferro
em sua composição).
Os produtos selecionados em função da existência de ferro no seu componente
podem, por sua vez, ser classificados pelo índice de concentração. Por exemplo, tome-
mos dois produtos que apresentam ferro em suas composições:
• Alimento achocolatado em pó : 2,2mg em 25g de produto, ou seja, aproximadamente
duas colheres de sopa.
• Flocos de milho pré-cozido: 0,5mg em 50g de produto, ou seja, aproximadamente
1/2 xícara.
A observação da presença de ferro nesses produtos (apenas exemplos) abre muitas
possibilidades de exploração matemática, sobretudo em termos das medidas e suas pro-
porções. Comparar e classificar a riqueza de presença de ferro tem muitas implicações
lógico-matemáticas:
• Considerar que a concentração é indicada em diferentes quantidades de produto (25g
para o achocolatado e 50g para os flocos de milho).
• Considerar a quantidade média de ingestão diária: consumimos maior quantidade
absoluta de achocolatado ou de flocos de milho por dia?

Transposição didática: pesquisando o consumo de ferro na nossa alimentação
Seção3
82
Atividade 16
Na mesma perspectiva, pode-se realizar um estudo da presença do ferro em pratos
típicos do Brasil.
Leve ao conhecimento dos seus alunos as informações contidas no quadro “Alimen-
te-se direito” com a recomendação diária de ingestão de ferro nas diversas faixas etárias.
Esses dados podem ser enriquecidos a partir de uma pesquisa (que poderia envol-
ver o professor de Ciências) na investigação de produtos naturais tais como leite, ovos,
carnes, legumes, verduras e frutas, quanto à presença de ferro nos mesmos.
Fazendo uma correspondência entre essas recomendações de ingestão diária
com o resultado da pesquisa sobre a presença de ferro em diversos produtos alimen-
tícios, descobrir:
• Considerar o custo do produto em relação à realidade sociocultural que viabilize a
aquisição e consumo do produto: presença do produto na compra familiar.
Os hábitos alimentares e costumes culturais da região que podem definir o altíssimo
consumo ou sua ausência: freqüência de consumo do produto.
Utilizando o resultado da investigação realizada pelos alunos, proponha aos alunos
a elaboração de cardápios buscando otimizar a presença de ferro na alimentação ofere-
cida pela escola. A questão da relação entre oferta e período de tempo tem que ser aí
considerada, uma vez que a repetição de pratos tem que respeitar uma certa periodicida-
de, caso contrário, corre-se o risco de tornar um alimento rico em ferro em um candidato
à rejeição por parte de todos (comer com muita freqüência uma mesma coisa, num curto
espaço de tempo); O trabalho aliado ao calendário, em especial ao calendário escolar, e
a discussão acerca de custos devem estar aí presentes.
Atividade 14
Faça uma análise sobre quais conteúdos matemáticos estarão presentes e serão
explorados por você, professor, preenchendo o seguinte quadro:
Atividade 15
Objetivos da atividade Conceitos matemáticos explorados na atividade

Unidade2
83
Atividade 17
Considerando os conteúdos matemáticos abaixo, de que forma eles são explorados
nas diferentes atividades propostas? Para cada questão diga em que atividade o conceito
se fez presente (e de que forma).
Números decimais:
Medidas:
• Quanto deveríamos consumir destes produtos, combinando-os da melhor forma possí-
vel, para ingerirmos a dose mínima diária de ferro?
• Cada membro da família (o aluno considerará sua própria família) deve consumir
quanto desses produtos diariamente, considerando suas idades?
• Investigando os preços desses produtos no comércio local e a quantidade neces-
sária para toda família do aluno durante todo um mês: quanto isso pesa no orça-
mento familiar?
• Que tipo de alterações deveriam ser feitas na merenda escolar para que a escola
pudesse garantir essa ingestão mínima diária?
Caro professor, procurando observar de que forma os conceitos matemáticos surgi-
ram nas atividades propostas, propomos abaixo uma atividade objetivando um olhar
crítico para as mesmas procurando quando e como esses conceitos se fazem presentes.
Razão:
Proporção:

Transposição didática: pesquisando o consumo de ferro na nossa alimentação
Seção3
84
Tratamento da informação:
Médias:
Atividade 18
Em cada item acima, reflita sobre as dificuldades (no caso de tê-las indentificado) para:
• Os alunos realizarem as atividades.
• O professor planejar e desenvolver as atividades com seus alunos.
• O professor sistematizar os conteúdos.
• O professor avaliar as necessidades dos alunos na superação de suas dificuldades.
• O professor conceber um replanejamento para superação das dificuldades.
Agora, distanciando-se do tema alimentação, e relembrando as atividades propos-
tas na seção “Construção do conhecimento matemático em ação”, pense em pelo menos
três outros temas transversais que possibilitariam a mobilização destes e de outros conteú-
dos matemáticos.

Unidade2
85
Leituras sugeridas
BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto. Parâmetros Curriculares Nacionais. 1996.
Disponível em: <http://www.paulofreire.org/proj/pec6par.htm>
MALBA TAHAN. Antologia da matemática: histórias, fantasias, biografias, lendas, para-
doxos, curiosidades.... Saraiva, 1967.
LINS, Romulo Campos e GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra para o
século XXI. Campinas: Papirus, 1997. p.176.
STRUIK, D. J. Por que estudar história da matemática? Em: GAMA, Ruy. História da
técnica e da tecnologia. São Paulo: Queiroz – edUSP, 19 . p. 191-214.
PERIÓDICOS:
BOLEMA - BOLETIM DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Departamento de Matemática –
UNESP, 1989. p.178.
BOLETIM DO GEPEM. Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática – Uni-
versidade Santa Úrsula. Rio de Janeiro.
BOLETIM INFORMATIVO DA SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTI-
CA. Disponível em: <www.sbem.com.br>
CADERNOS DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. São Paulo.
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA. SBEM.
FOLHETIM DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA . Univ. Estadual de Feira de Santana – NE-
MOC – Núcleo de Educação Matemática Omar Catunda – Dep. de Ciências Exatas.
Bahia.
NEWSLETTER. CURITIBA, PR: UFPR – GPHM – Grupo de Pesquisa em História da
Matemática – Dep. de Matemática.
PRO-POSIÇÕES. Campinas: v.4, n.1, mar. 1993.
REVISTA DO GEEMPA. Grupo de Estudos sobre Educação, Metodologia de Pesquisa e
Ação. Porto Alegre.
RPM – REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: SBM.
TEMAS & DEBATES. Sociedade Brasileira de Educação Matemática.
ZETETIKÉ. Faculdade de Educação – UNICAMP. Campinas.

86
<http://math93.free.fr/viete.htm>
Bibliografia

87
Teoria dos campos conceituais
Gerard Vergnaud - CNRS e Université René Descartes
A teoria dos campos conceituais é uma teoria cognitivista, que busca propiciar
uma estrutura coerente e alguns princípios básicos ao estudo do desenvolvimento e da
aprendizagem das competências complexas, sobretudo as que dependem da ciência e
da técnica. Por fornecer uma estrutura à aprendizagem, ela envolve a didática, embora
não seja, em si uma teoria didática. Sua principal finalidade é propor uma estrutura
que permita compreender as filiações e rupturas entre conhecimentos, em crianças e
adolescentes, entendendo-se por “conhecimentos”, tanto as habilidades quanto as in-
formações expressas. As idéias de filiação e ruptura também alcançam as aprendiza-
gens do adulto, mas estas ocorrem sob condições mais ligadas aos hábitos e formas de
pensamento adquiridas, do que ao desenvolvimento da estrutura física. Os efeitos da
aprendizagem e do desenvolvimento cognitivo ocorrem, na criança e no adolescente,
sempre em conjunto.
A teoria dos campos conceituais não é específica da Matemática, embora inici-
almente tenha sido elaborada para explicar o processo de conceitualização progres-
siva das estruturas aditivas, das estruturas multiplicativas, das relações número –
espaço e da álgebra.
Conceitos e esquemas
Um conceito não pode ser reduzido à sua definição, principalmente se nos interessamos
por sua aprendizagem e seu ensino. É através das situações e dos problemas a resolver
que um conceito adquire sentido para a criança. Esse processo de elaboração pragmáti-
ca é essencial para a psicologia e para a didática, como também, aliás, para a história
das ciências. Falar em elaboração pragmática não significa abstrair a natureza dos pro-
blemas para os quais um conceito novo oferece resposta – tais problemas tanto podem
ser teóricos, como práticos. Também não exclui a análise do papel da linguagem e do
simbolismo na conceitualização. Esse papel é muito importante.Simplesmente, se preten-
demos dimensionar concretamente a função adaptativa do conhecimento, devemos pre-
servar um lugar central para as formas que ela assume na ação do sujeito. O conheci-
mento racional é operatório ou não.
Podem-se distinguir:
1) Classes de situações em que o sujeito dispõe, no seu repertório, em dado momento de
seu desenvolvimento e sob certas circunstâncias, das competências necessárias ao trata-
mento relativamente imediato da situação;
2) Classes de situações em que o sujeito não dispõe de todas as competências necessári-
as, o que obriga a um tempo de reflexão e exploração, a hesitações, a tentativas frustra-
das, levando-o eventualmente ao sucesso ou ao fracasso.
O conceito de “esquema” interessa às duas classes de situações, mas não funci-
ona do mesmo modo nos dois casos. No primeiro caso, observam-se, para uma
mesma classe de situações, comportamentos amplamente automatizados, organiza-
dos por um só esquema; no segundo caso, observa-se a sucessiva utilização de

88
vários esquemas, que podem entrar em competição e que, para atingir a solução
desejada, devem ser acomodados, descombinados e recombinados. Este processo é
necessariamente acompanhado por descobertas.
Chamamos “esquema” a organização invariante do comportamento para uma clas-
se de situações dada. É nos esquemas que se devem pesquisar os conhecimentos-em-
ação do sujeito, isto é, os elementos cognitivos que fazem com que a ação do sujeito
seja operatória.
Tomemos um primeiro exemplo no campo da motricidade: o esquema que organi-
za o movimento do corpo do atleta no instante do salto em altura representa um impres-
sionante conjunto de conhecimentos espaciais e mecânicos.Ainda que o comportamen-
to do saltador sofra determinadas variações, a análise de suas sucessivas tentativas apre-
senta numerosos elementos comuns.Entenda-se que estes elementos comuns envolvem o
decurso de tempo da mobilização dos músculos que contribuem para garantir a eficiên-
cia das diferentes fases do movimento. Essa organização perceptivo-motora pressupõe,
portanto, categorias de ordem espacial, temporal e mecânica (orientações no espaço,
distância mínima, sucessão e duração, força, aceleração e velocidade...). Bem como
conhecimentos-em-ação que poderiam assumir a forma de teoremas geométricos e me-
cânicos, se explicitados. Essa explicitação, aliás, é uma das abordagens do treinamento e
da análise do movimento.Favorecida pelas técnicas de vídeo e pela competência profis-
sional dos treinadores, ela é, ainda assim, muito fragmentária.
As próprias competências matemáticas são sustentadas por esquemas organizado-
res do comportamento. Vejamos alguns exemplos elementares:
• O esquema da enumeração de uma pequena coleção por uma criança de cinco anos,
por mais que varie de forma (contar bombons, pratos à mesa, pessoas sentadas espalha-
das no jardim etc.), não deixa de abranger uma organização invariante, essencial para o
funcionamento do esquema: coordenação dos movimentos dos olhos e gestos dos dedos
e das mãos em relação à posição dos objetos, enunciação coordenada da série numéri-
ca, cardinalização do conjunto enumerado por destaque tonal ou pela repetição da
última palavra-número pronunciada: um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete...sete!
• O esquema da resolução de equações da forma ax + b = c atinge rapidamente um alto
grau de disponibilidade e confiabilidade entre alunos de sexta séries, iniciantes em álge-
bra, quando a, b, c, têm valores numéricos positivos e b < c (o que não ocorre quando
alguns dos parâmetros a, b, c e c-b são negativos). A seqüência dos registros escritos
produzidos pelos alunos mostra claramente uma organização invariante, apoiada ao
mesmo tempo em hábitos adquiridos e em teoremas do tipo:
“mantém-se a igualdade subtraindo b dos dois lados”;
“mantém-se a igualdade dividindo por a dos dois lados”.
O funcionamento cognitivo dos alunos envolve operações que se automatizam
progressivamente (trocar o sinal quando se troca o membro, isolar x de um lado da
igualdade) e decisões conscientes que permitem perceber os valores particulares das
variáveis de situação. A confiabilidade do esquema para o sujeito baseia-se, em última
análise, no conhecimento que ele possui, explícito ou implícito, das relações entre o
algoritmo e as características do problema a resolver.

Unidade2
89
A automatização, evidentemente, é uma das manifestações mais visíveis do caráter
invariante da organização da ação. Para uma classe de situações dadas, contudo, uma
série de decisões conscientes também pode ser objeto de uma organização invariante.
A automatização, aliás, não impede que o sujeito conserve o controle das condições
sob as quais tal operação é ou não apropriada. Tomemos, por exemplo, o algoritmo da
adição em numeração decimal; sua execução é amplamente automatizada pela maior
parte das crianças no fim da escola primária. As crianças, contudo, são capazes de gerar
uma série de ações diferentes em função das características da situação: reserva ou não,
zero intercalar ou não, decimal ou não. Enfim todos os nossos comportamentos abran-
gem uma parte de automatismo e outra de decisão consciente.
Percebe-se também com esses exemplos que os algoritmos são esquemas, ou ainda
que os esquemas são objetos do mesmo tipo lógico que os algoritmos. Falta-lhes eventu-
almente efetividade, ou seja, a capacidade de chegar a bom termo após um número
finito de passos. Os esquemas são, em geral, eficazes, mas sempre efetivos.Quando a
criança utiliza um esquema ineficaz para determinada situação, a experiência a leva a
mudar de esquema, ou seja, modificar o esquema. Podemos dizer, como Piaget que os
esquemas estão no processo de adaptação das estruturas cognitivas; assimilação e aco-
modação.
Retomemos o exemplo do algoritmo da adição de números inteiros. Ele é comu-
mente apresentado como um conjunto de regras:
• começar pela coluna das unidades, primeira à direita;
• continuar pela coluna das dezenas, depois a das centenas etc.;
• calcular a soma dos números em cada coluna. Se a soma dos números de uma coluna
é inferior a dez, inscrever esta soma na linha total (linha de baixo). Se for igual ou
superior a dez, escrever apenas o algarismo das unidades desta soma e reservar o das
dezenas, levando-o ao alto da coluna situada imediatamente à esquerda, para somá-lo
aos demais dessa coluna;
• e assim sucessivamente, caminhando da direita para a esquerda, até acabarem
as colunas.
Explicitar tais regras é difícil, quase impossível, para as crianças, mesmo que sejam
capazes de executar a série das operações. Sempre há muito de implícito nos esquemas.
Por outro lado, deve-se observar que, sem a numeração de posição e a conceitua-
lização a ela associada (decomposição polinomial dos números), o esquema algoritmo
não pode funcionar. Percebe-se isto entre os alunos mal-sucedidos, que não sabem
conciliar informações recebidas em termos de dezenas, centenas, milhares. Um esquema
apóia-se sempre em uma conceitualização implícita. Consideremos os erros dos alunos
nas operações de subtração. Percebe-se que os mais freqüentes (omitir o recurso, subtrair
o número menor do maior em cada coluna independentemente de sua posição embaixo
ou em cima) se prendem a uma conceitualização insuficiente da notação decimal. Pode,
por certo, haver malogros na execução automatizada de um esquema, mas não são esses
malogros que explicam os erros principais.
No caso da enumeração, podem facilmente identificar-se duas idéias matemáticas
indispensáveis ao funcionamento do esquema: as da bijeção e do cardinal, sem as quais,
sem dúvida, não há comportamento de enumeração possível. É, aliás, nesses dois pontos

90
que se observam os erros. Algumas crianças não conseguem “cardinalizar”, ou seja,
identificar o último número-palavra pronunciado como representante da medida do con-
junto inteiro. Outros (eventualmente os mesmos) omitem elementos, ou contam duas
vezes o mesmo elemento. Similarmente, não existe álgebra verdadeiramente operatória
sem o reconhecimento dos teoremas relativos à conservação da igualdade. Estes não são
os únicos elementos cognitivos úteis, mas são decisivos.
Designam-se pelas expressões “conceito-em-ação” e “teorema-em-ação” os conhe-
cimentos contidos nos esquemas. Pode-se também designá-los pela expressão mais glo-
bal “invariantes operatórias”.
Tal como definimos, o conceito de esquema se aplica facilmente à primeira categoria
de situações citadas anteriormente – para as quais o sujeito dispõe das competências neces-
sárias – e menos à segunda categoria, em que o sujeito hesita e tenta várias abordagens.
No entanto, a observação dos alunos em situação de resolução de um problema,
bem como a análise de suas hesitações e erros, mostram que o comportamento em
situação aberta é também estruturado em esquemas. Tomam-se estes no vasto repertó-
rio dos esquemas disponíveis, especialmente entre os ligados às classes de situações
que pareçam ter afinidade com a situação tratada no presente.Simplesmente, como
essa afinidade é parcial e eventualmente ilusória, os esquemas são apenas esboçados,
e as tentativas geralmente interrompidas antes de chegar a um resultado. Muitos esque-
mas podem ser sucessivamente evocados, ou mesmo simultaneamente, em uma situa-
ção nova para o sujeito (ou por ele considerada nova). A título de ilustração, cite-se o
caso de uma situação em que um grupo de crianças de quinta série teve que comparar
o volume de um objeto sólido cheio, como o de um recipiente (situação nova para
eles). O primeiro esquema mobilizado foi o da comparação das alturas, como se tratas-
se de comparar a quantidade de suco de laranja em dois jarros do mesmo formato. Essa
ação de comparar os níveis não leva a qualquer conclusão. O segundo esquema
observado foi o da imersão (parcial) do objeto cheio no recipiente. Evidentemente,
como o recipiente também já estava cheio, a água transbordou. A conclusão do aluno
foi de que o objeto cheio era maior! Só depois, com a aplicação de outras ações mais
operatórias chegou-se a um procedimento verdadeiramente “decisório”, que possibili-
tou a solução. Diversos esquemas, aparentados, mas não pertinentes, tinham sido
tentados antes que surgissem as soluções.
Esse exemplo ilustra a idéia de que o funcionamento cognitivo de um sujeito ou de
um grupo de sujeitos em uma situação dada baseia-se no repertório dos esquemas dispo-
níveis formados anteriormente, de cada um dos sujeitos individualmente. As crianças
descobrem, em situação, novos aspectos e, ao mesmo tempo, eventuais novos esque-
mas. Já que os comportamentos em situações se baseiam no repertório inicial dos esque-
mas disponíveis, não se pode teorizar adequadamente sobre o funcionamento cognitivo
criando um impasse ao desenvolvimento cognitivo. A teoria dos campos conceituais
dirige-se a este problema crítico.
Existem vários exemplos de esquemas na aprendizagem da Matemática. Cada es-
quema se relaciona a uma classe de situações com características bem definidas. Ele
pode, contudo, ser aplicado por um sujeito individual a uma classe mais restrita do que
aquela à qual poderia ser aplicado eficazmente.Coloca-se, então, um problema de ex-
tensão do esquema a uma classe mais ampla: pode-se agora falar em deslocamento,
generalização, transferência ou descontextualização. Não se pode esperar que tal pro-
cesso intervenha sem que sejam reconhecidas pelo sujeito analogias e parentescos (se-

Unidade2
91
melhanças em certos critérios, diferenças em outros) entre a classe de situações em que o
esquema já é operatório para o sujeito e em relação às novas situações a vencer. O
reconhecimento de invariantes é, pois, a chave da generalização do esquema.
Um esquema também pode, todavia, ser aplicado por um sujeito individual a
uma classe mais ampla. Ele se torna, então, imperfeito, e o sujeito deve restringir-lhe
o alcance, decompondo-o em elementos distintos suscetíveis de serem recompostos
de forma diversa para as diferentes subclasses de situações, eventualmente acrescen-
tando elementos cognitivos suplementares. Notam-se aí procedimentos de restrição e
de acomodação. Se, por exemplo, é preciso contar várias centenas de elementos de
um conjunto, o esquema de enumeração deve ser enriquecido por procedimentos de
reagrupamento, enumerações parciais, adições; ou, como no exemplo da álgebra, se
os valores de a, b e c fogem às condições vistas anteriormente (c – b negativo, por
exemplo), a solução de equações do tipo ax + b = c vai exigir importantes adapta-
ções do esquema inicial.
Na solução dos problemas da aritmética dita elementar, as crianças enfrentam mui-
tas dificuldades conceituais. É, pois, em termos de esquemas que se deve analisar a
escolha das boas operações e dos bons dados para resolver um problema em que exis-
tam várias possibilidades de opção. A tomada de informação na leitura do enunciado, a
tomada de informações físicas (medidas, por exemplo), a busca de informações em
documentos (livro escolar, quadro estatísticos etc.), a combinação adequada destas infor-
mações para as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, em geral obe-
decem a esquemas, sobretudo entre alunos que dominam tais situações. Para os outros
alunos, trata-se de resolver o problema, pois as situações em jogo ainda não são triviais
para eles. Os procedimentos heurísticos são, todavia, esquemas não efetivos, como os
algoritmos, e nem sempre eficazes.
O esquema totalidade dinâmica organizadora da ação do sujeito para uma classe
de situações específica, é portanto um conceito fundamental da psicologia cognitiva e
da didática. Nem sempre é reconhecido como tal. Por outro lado, carece de análise.
Mesmo percebendo facilmente que um esquema é composto de regras de ação e de
antecipações, visto que gera uma série de ações para se atingir um objetivo, nem
sempre se reconhece que ele é também composto, de modo essencial, por invariantes
operatórias (conceitos-em-ação e conhecimentos-em-ação) e por inferências. As infe-
rências são indispensáveis ao funcionamento do esquema em cada situação em parti-
cular, hic et nunc: de fato, como já vimos, um esquema não é um estereótipo e, sim,
uma função temporalizada de argumentos, que permite gerar diferentes seqüências de
ações e tomadas de informações, em função dos valores das variáveis de situação. Um
esquema é sempre um universal, porque está associado a uma classe, e porque essa
classe geralmente não é definida.
Em resumo, a operacionalidade de um conceito deve ser provada através de situa-
ções variadas. O pesquisador deve analisar uma grande variedade de comportamentos e
esquemas para compreender em que consiste do ponto de vista cognitivo, este ou aquele
conceito. Por exemplo, o conceito de relação só é entendido através de uma diversidade
de problemas práticos e teóricos; o mesmo em se tratando dos conceitos de função ou de
número.Cada um desses conceitos comporta, de fato, várias propriedades, cuja pertinên-
cia é variável de acordo com as situações a tratar. Algumas podem ser logo compreendi-
das, outras, mais tarde, no decurso da aprendizagem. Uma abordagem psicológica e
didática da formação dos conceitos matemáticos leva-nos a considerar um conceito
como um conjunto de invariantes utilizáveis na ação. A definição pragmática de um

92
conceito recorre, portanto, ao conjunto das situações que constituem a referência de
suas diversas propriedades, e ao conjunto dos esquemas utilizados pelos sujeitos nes-
sas situações.
No entanto a ação operatória não é a totalidade da conceitualização do real; longe
disso. Não se discute a veracidade ou falsidade de um enunciado totalmente implícito.Não
se identificam os aspectos do real aos quais se deve prestar atenção sem ajuda das
palavras, enunciados, símbolos e sinais. O emprego de significantes explícitos é indis-
pensável à conceitualização.
Isto é o que leva a considerar um conceito como uma trinca de conjuntos:
C = (S, I, Y)
S – conjunto das situações que dão sentido ao conceito (referência).
I – conjunto das invariantes em que se baseia a operacionalidade dos esquemas
(significado).
Y – conjunto das formas de linguagem (ou não) que permitem representar simbolica-
mente o conceito, suas propriedades, as situações e os procedimentos de tratamento
(significante).
Estudar o desenvolvimento e o funcionamento de um conceito, no decurso da
aprendizagem ou quando de sua utilização, é necessariamente considerar esses três
planos ao mesmo tempo.Geralmente não há bijeção entre significantes e significados,
nem entre invariantes e situações.
Campos conceituais
Consideremos, primeiramente, um campo conceitual como um conjunto de situa-
ções. Por exemplo: para o campo conceitual das estruturas aditivas, o conjunto das
situações que requerem uma adição, uma subtração, ou uma combinação destas
operações; para as estruturas multiplicativas, o conjunto das situações que requerem
uma multiplicação, uma divisão, ou uma combinação destas operações. A primeira
vantagem dessa abordagem pelas situações é permitir a produção de uma classifica-
ção baseada na análise de tarefas cognitivas e dos procedimentos que possam ser
adotados em cada um deles.
O conceito de situação não tem aqui o sentido de situação didática, mas o de
tarefa. A idéia é que toda situação complexa pode ser analisada como uma combina-
ção de tarefas, cuja natureza e dificuldades específicas devem ser bem conhecidas.
A primeira vantagem dessa abordagem pelas situações é permitir a produção de uma
classificação baseada na análise de tarefas cognitivas e dos procedimentos que po-
dem ser adotados em cada um deles.
Alguns pesquisadores privilegiam, nessa análise, modelos de complexidade de-
pendentes, seja da lingüística, seja das teorias do tratamento da informação. A teoria
dos campos conceituais, ao contrário, privilegia modelos que atribuem papel essen-
cial aos conceitos matemáticos em si mesmos. É claro que a forma dos enunciados e
o número de elementos em jogo são fatores pertinentes da complexidade, mas seu
papel é secundário.

Alimentação para saúde
Unidade2
93
A lógica também não é um quadro suficientemente operatório para esclarecer a
complexidade relativa das tarefas e subtarefas, dos procedimentos e das representações
simbólicas. Ela é muito redutora, situando no mesmo plano objetos matemáticos que,
embora eventualmente incluídos no mesmo padrão lógico (predicado de primeira
ordem,classe de funções propsicionais de certo tipo, lei de composição...) não geram os
mesmos problemas de conceitualização . Relativamente a uma psicologia cognitiva cen-
trada nas estruturas lógicas, como a de Piaget, a teoria dos campos conceituais surge,
sobretudo, como uma psicologia dos conceitos, mesmo quando o termo “estruturas”
intervém na própria designação do campo conceitual considerado: estruturas aditivas,
estruturas multiplicativas. De fato, se a primeira entrada de um campo conceitual é a das
situações, podemos também identificar uma segunda, a dos conceitos e dos teoremas.

VERGNAUD, G. (1990). La Théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique
des mathématiques.
Bibliografia

Unidade2
97
Atividade 5
4/5 =
4/10 =
3/4 =
8/10 =
90% =
75% =
3/5 = 18
1/6 = 5
1/10 = 3
10% = 3
5% = 1,5
95% = 28,5
Atividade 6
Atividade 7
a) 212,5%
b) Índice de anemia de Criciúma é quase o dobro do de Piauí. Porém não é exatamente
o dobro.
Número
2,01
1,71
1,501
-1,2999
-0,049998
0,095
Inteiro mais próximo
2
2
2
-1
0
0

98
Atividade 9
1) a + b = c então c – a = b
2) Reduzimos ao mesmo denominador o pri-
meiro membro.
3) a : b = c então a = b x c
4) Adicionamos o primeiro membro.
5) Mesmo procedimento no passo 3.
Atividade 10
Atividade 11
4 + 3x = -11
4 – 4 + 3x = -11 –4
3x = -15

Unidade2
99
Atividade 12
, vamos colocar como falsa posição o número 6 que é múltiplo de 3.
Então:

101
Unidade 3
Imposto de Renda e Porcentagem
Nilza Eigenheer Bertoni
Seguindo a mesma organização das outras unidades, esta também será composta
por três seções:
– Resolução de uma situação-problema
– Conhecimento matemático em ação
– Transposição didática
A seção 1, que introduz a Matemática integrada ao mundo real e articula-se a uma
situação-problema, versará sobre o Imposto de Renda.
A seção 2, que explora conteúdos matemáticos introduzidos na situação-problema,
desenvolverá, com maior ênfase, o tema Porcentagem. Articulado a ele, vão aparecer,
entre outras, algumas questões como números racionais e irracionais, proporções e regra
de três, razões de semelhança etc.
A seção 3, destinada à transposição didática, apresentará uma situação-problema ade-
quada aos alunos, relacionada a impostos e porcentagens; sugestões para ações no cotidiano
escolar e para um projeto a ser desenvolvido pelos alunos e trabalhado em sala de aula.
Como as demais unidades, esta também incluirá um texto de referência, desenvol-
vendo o tema Currículo em Rede.
Nós, da equipe, gostaríamos muito que vocês se envolvessem conosco neste
trabalho – com pique, entusiasmo, seriedade, aprofundamento, e fizessem anotações
sobre o que pode ser melhorado.
Ao longo desta Unidade, esperamos que você possa:
1– Com relação ao seu conhecimento de conteúdos matemáticos:
– vivenciar a resolução de uma situação-problema relacionada a porcentagem;
– estabelecer conexões entre esse conceito e outros relacionados: número racional e
irracional, razão, proporção.
Iniciando a
nossa conversa
Definindo o
nosso percurso

102
Esses conhecimentos serão desenvolvidos nas seções 1 e 2.
2 - Com relação aos seus conhecimentos sobre Educação Matemática:
– rever a importância das situações-problema no ensino-aprendizagem da Matemáti-
ca (seção 1);
– repensar o significado de transposição didática (seção 3);
– caracterizar o fazer matemático do aluno (seção 3);
– refletir sobre aprendizagem ativa (seção 3);
– compreender o conceito de currículo em rede (Texto de Referência).
3 – Com relação à sua atuação em sala de aula:
– conhecer e produzir, com relação aos temas tratados, situações didáticas adequa-
das à série em que atua.
Esse objetivo será tratado na seção 3.
Seção 1
Resolução de situação-problema: o conceito de
porcentagem relacionado ao Imposto de Renda
• Resolver uma situação-problema.
• Reconhecer no mundo real, identificar e ressignificar os conceitos de porcenta-
gem, razão, proporção.
Um recado inicial
Apesar de estarmos distantes, queremos manter um diálogo interativo com você -
queremos que, assim como nós vamos dizer e fazer coisas, você também esteja
ativo, pensando, anotando dúvidas e idéias, resolvendo as atividades. Desse modo
seu diálogo com o Formador e com seus colegas, nas oficinas, será muito mais rico.
Encare isso com prazer – segundo De Masi, em O ócio criativo, “o lazer deve
impregnar o trabalho e a criação”.
Lápis e papel à mão! Fique aceso e curta, como nós!
Objetivo
da seção

Unidade3
103
Ajustando as contas anuais com o Leão
Todos os anos, até março ou abril, muitos brasileiros têm uma obrigação não muito
agradável a cumprir. Por todo lado que se vá, encontramos pessoas falando sobre
esse assunto, perguntando uma à outra: você já fez o seu? Ou então gente falando:
Ai, tenho que fazer o meu...
Você já sabe do que estamos falando: é do famoso Imposto de Renda. É a hora de
se fazerem os ajustes com a Receita Federal – calcular de quanto deve ser a contribui-
ção relativa ao ano que passou e comparar o que efetivamente foi pago com o
resultado desse cálculo.
Pode ocorrer de se ter ultrapassado o que se devia e, nesse caso, haverá uma
diferença a receber. Mas também pode ocorrer de não se ter pago o que se devia e aí
o jeito é pagar o que falta.
Entre os professores é comum haver essa preocupação?
Você e seus colegas costumam fazer a declaração de Imposto de Renda anual?
Afinal, quem é obrigado a declarar o Imposto de Renda da Pessoa Física?
Até 2001, o Imposto de Renda devia ser pago por todos os brasileiros cuja renda
mensal fosse igual ou superior a R$900,00. Houve uma mudança em 2002, sendo
que a renda mensal mínima para declaração de Imposto de Renda passou a 1058,00
(sobre isso falaremos na situação-problema).
Mas não confunda renda mínima com salário. Estão sujeitos a pagamento de
Imposto de Renda não só o trabalho assalariado, mas também aplicações financeiras,
venda de bem móvel ou imóvel, aplicação em bolsa de valores, rendimento de
aluguéis e, de modo mais geral, rendas e proventos de qualquer natureza. Em con-
junto, eles formam a renda mensal da pessoa.
Esse imposto foi instituído por um decreto-lei no ano de 19431
, e sofreu várias
alterações após essa data. Mudanças nas regras para o cálculo do Imposto de Ren-
da devem ser feitas periodicamente, garantindo que as pessoas continuem a pagar
de um modo coerente com o que ganham. Se as taxas permanecem as mesmas por
longos anos, e a inflação sobe ou o poder aquisitivo nesse período decai, as pesso-
as acabam tendo que pagar mais do que podem. Uma mudança desse tipo foi
muito discutida em anos recentes, e a situação-problema fala sobre as alterações
propostas. Entre outros pontos, discutia-se que a taxa de 15% era excessivamente
alta para salários de até R$900,00 reais mensais, enquanto a taxa de 27,5% seria
baixa para grandes rendas.
1 Decreto-Lei no
5.844, de 23/09/1943, denominado “Dispõe sobre a cobrança e fiscalização do Imposto de Renda”.
Integrando a matemática ao mundo real

Resolução de situação-problema: o conceito de porcentagem relacionado ao Imposto de Renda
Seção1
104
Finalmente, em maio de 2002, foi assinada a lei que altera as regras para o
cálculo do Imposto de Renda de Pessoa Física.
Essa alteração declara isentas as pessoas que ganham até R$1.058,00 mensais;
impõe também que, a partir desse salário, até R$2.115,00, a taxa para o cálculo do
imposto a pagar seja de 15%. Desse modo, a taxa de 15% passou a valer para salários
um pouco maiores, atendendo nesse ponto ao que se pretendia. Para salários maiores
do que R$2.115,00, a taxa é de 27,5%. Nessa questão, há dois pontos a considerar:
por um lado, essa taxa passou a valer a partir de um patamar mais alto de salários (na lei
anterior, ela já valia a partir de R$1.800,00) e isso favoreceu parte da classe média. Por
outro lado, ela permanece a mesma qualquer que seja o valor atingido pela renda, não
atendendo ao ponto que considerava essa taxa baixa para grandes rendas.
Além de isenção, algo a receber?
Há um ponto interessante em mudanças pretendidas para o Imposto de Renda. Exis-
tem estudos jurídicos que consideram que a isenção, até certo patamar, não basta.
Seria necessário, visando a maior justiça social, o que tem sido chamado imposto
negativo. Ele consistiria em uma importância a ser paga ao cidadão de mais de 25
anos, quando sua renda mensal estivesse abaixo de uma renda mínima garantida por
lei. Nesse caso, ele receberia 30% dessa diferença.
No Brasil, a maioria dos professores do ensino básico fica isenta de fazer a declara-
ção do Imposto de Renda, se não tiver outras rendas além do seu salário.
Você acha que um salário justo para o professor deveria atingir a renda mínima
exigida para a declaração do Imposto de Renda? Todavia, nesse caso, você teria tam-
bém que pagar mais imposto. Será que ainda assim valeria a pena? Na oficina após esta
Unidade, você poderá discutir essa questão.
Atualmente há programas de computador que fazem todos os cálculos do Imposto
de Renda de uma pessoa, bastando que ela lance seus dados nos lugares apropriados.
Situação-problema:
Mudanças no salário... e no Imposto de Renda
* Ponte, J. P. (1992). Matemática e realidade: Uma relação didáctica essencial. Actas do ProfMat 92 (13-24). Lisboa: APM
No Texto de Referência da Unidade 1 foi tratado o tema “Situação-problema”.
Para destacar a importância de tais situações no ensino e na aprendizagem da Mate-
mática, lembramos aqui o que afirma o educador matemático português João Pedro
da Ponte*: “o ensino da Matemática focado exclusivamente nesta disciplina não
garante o desenvolvimento da capacidade da sua utilização no quadro das situações
concretas. E é um fato bem conhecido que os alunos têm extremas dificuldades em
usar o pouco que sabem nas situações mais simples. O domínio da Matemática e a
capacidade de fazer dela uma adequada utilização são competências distintas - se
consideramos ambas importantes, temos de dar atenção às duas no processo de
ensino-aprendizagem”.
Aprendendo sobre Educação Matemática – Situação-problema

Unidade3
105
Mas é sempre interessante que as pessoas tenham idéias dos itens sobre os quais se paga
imposto, das deduções a que se tem direito e acompanhem discussões que tratam de
mudanças periódicas nesse imposto. Isso faz parte da formação do cidadão e da luta do
professor por um salário melhor.
Nossa situação-problema inicial, nesta Unidade, é uma questão que foi proposta no
primeiro vestibular parcial de matemática de 2002 da Universidade de Brasília, destinado
a alunos que terminaram o 1o
ano do ensino médio. Ela envolve apenas conteúdos do
ensino fundamental. Leia com atenção.
Na tabela aparecem três colunas: da renda mensal, da alíquota e da parcela a
deduzir. Leia mais sobre isso.
Amansaram o Leão
O governo e os parlamentares brasilei-
ros fecharam acordo para corrigir em
17,5% a tabela progressiva para o cál-
culo do Imposto de Renda (IR) para as
pessoas físicas. Por estar congelada des-
de 1996, essa tabela contribuiu para os
recordes de arrecadação – de janeiro a
novembro de 2001, entraram R$178
bilhões, sendo que 20% desse total fo-
ram pagos por pessoas físicas – e, cla-
ro, tirou poder aquisitivo, principalmen-
te da classe média assalariada.
Na prática, a correção significará mais
dinheiro no bolso de cerca de 4,5 mi-
lhões de pessoas que pagam mensalmen-
te o IR via tabela progressiva. As tabelas
da figura ao lado apresentam a forma
atual de cálculo do IR e a nova sistemá-
tica com o reajuste aprovado na Câma-
ra dos Deputados, que entrará em vigor
em 2002. O exemplo mostrado na figu-
ra – salário de R$4.000,00 (rendimento
tributável) – elucida a forma de utilização das tabelas para o cálculo do imposto.
http://www.istoe.com.br. Acesso em 20/12/2001 (com adaptações).
A aliquota é o mesmo que a porcentagem a ser paga ao governo, calculada sobre a
soma das rendas mensais. Ela varia conforme a faixa da renda mensal.
A parcela a deduzir é um valor a ser descontado do cálculo da porcentagem. Esse
valor é apresentado no manual para o cálculo do Imposto de Renda do ano. Quem
sugere as regras, calculando as porcentagens a serem aplicadas e as parcelas a deduzir,
são os tributaristas (profissionais especializados em tributos ou impostos) do governo
(regras que depois devem ser aprovadas pelo governo). A função da parcela a deduzir é
tornar gradativas as passagens entre os valores a pagar, de uma faixa a outra. Se elas não
existissem, uma pessoa que está no final de uma faixa e outra no início da faixa seguinte
pagariam valores muito diferentes. A parcela a deduzir evita isso.

Resolução de situação-problema: o conceito de porcentagem relacionado ao Imposto de Renda
Seção1
106
Atividade 1
Você deve procurar resolver os quatro itens propostos na questão do vestibular. Se
não conseguir terminar algum deles, deixe seu rascunho mostrando como você tentou,
até que ponto foi, e prossiga na leitura da unidade.
Com base no texto 1 e considerando que o rendimento tributável de um indivíduo
é o valor de renda utilizado para o cálculo do IR, julgue os itens seguintes:
1. Do total arrecadado com o IR de janeiro a novembro de 2001, mais de 140 bilhões de
reais não são oriundos do pagamento efetuado por pessoas físicas.
2. No exemplo comparativo referente ao salário de R$4.000,00 esquematizado na figu-
ra. O IR a ser pago na nova sistemática aprovado na Câmara será 17,5% inferior ao de
sistemática anterior.
3. Na tabela vigente em 2001, um contribuinte com uma renda tributável mensal de
R$1.800,00 pagava R$135,00 de IR.
4. Existe um valor do rendimento tributável a partir do qual o contribuinte pagará mais
imposto de renda na nova sistemática do que na anterior.

Unidade3
107
Atividade 2
Na verdade, um valor chama atenção no texto: é a questão dos 17,5%. Pense e
responda:
a) A que valores foi ou será aplicada essa porcentagem?
b) Dê dois valores da tabela sobre os quais foi aplicada a porcentagem de 17,5% e os
dois valores resultantes, que também constam na tabela.
c) Essa porcentagem de 17,5 acarreta aumento ou redução nos ítens a que foi aplicada?
Atividade 3
Nas atividades 1 e 2 há um total de 7 itens.
a) Marque quantos desses itens você fez e acha que acertou:
b) Expresse isso em porcentagem sobre o total de itens:

108
Revendo seus conceitos: Porcentagem
A questão do vestibular mencionou o termo porcentagem várias vezes.
Provavelmente você sabe que x% de uma quantidade significa x centésimos dessa
quantidade.
Desse modo, o item 1) da questão do vestibular pode ser resolvido sem dificuldade.
Mas atenção: o texto fala na arrecadação de 178 bilhões e diz que 20% desse total foram
pagos por pessoas físicas. O item quer saber se a arrecadação que não veio das pessoas
físicas é maior que 140 bilhões. Se você não havia feito antes, faça agora esse item.
Para fazer a próxima atividade, será útil você saber o sentido do termo fração.
Para testar seus conhecimentos sobre porcentagem, faça a próxima atividade.
Imagine que você encontra a seguinte questão em um concurso:
Assumindo que “Porcentagem é uma fração de denominador 100”, analise as
situações abaixo e assinale aquelas em que os números envolvidos representam por-
centagens:
( ) 1. O IR a ser pago na nova sistemática aprovada na Câmara será 17,5% inferior ao
da sistemática anterior.
Atividade 4
Lembrete
Estamos usando o termo fração no sentido de um número racional p/q, com p e q
sendo números naturais, q 0 (de modo geral, um número racional é aquele que
pode ser posto na forma p/q, p e q números inteiros, q 0).
Objetivo
da seção
• Identificar o conceito de porcentagem, estabelecendo conexões entre ele e
outros relacionados: razão, número racional e irracional, proporção, regra de três.
• Identificar aspectos relevantes na construção de um conceito matemático.
Seção 2
Construção do conhecimento matemático
em ação: porcentagem

Unidade3
109
a) Faça o que foi pedido no concurso: assinale os itens que você considera corretos.
b) Contrariando o que a maioria dos candidatos havia feito, o gabarito do concurso foi:
“Apenas a situação 2 deve ser assinalada”. Especialistas que resolveram a prova deram a
seguinte solução:
1. 17,5% não é uma porcentagem pois não é uma fração de denominador 100.
2. As frações 67/100 e 58/100 são porcentagens, pois têm denominador 100.
3. 0,132 não é uma porcentagem, pois não é uma fração de denominador 100.
4. não é uma porcentagem, pois não é uma fração.
A questão para você é: você concorda com o gabarito ou discorda dos especialistas?
Se você não concorda, quais são os seus argumentos?
( ) 2. Compare as frações 67/100 e 58/100.
( ) 3. A porcentagem de aumento da gasolina foi de 0,132.
( ) 4. O novo terreno terá uma área maior que a anterior.
Atividade 5
a) Encontre em um livro didático alguma afirmação ou definição referente à porcentagem.
b) Veja esta afirmação: “Um registro em que aparece o símbolo % é equivalente a
uma fração de denominador 100”. Você acha que está correta? Justifique.

Construção do conhecimento matemático em ação: porcentagem
Seção2
110
O que é realmente uma porcentagem?
É comum ouvirmos expressões como: “Resolvi 100 por cento da prova!” “Acertei
50 por cento das questões ...” Elas nos dão uma idéia de quanto da prova foi resolvida,
ou de quanto das questões foram acertadas.
Veja as fotografias:

Unidade3
111
O estádio está com 30% de seus lugares ocupados. Imagine que se faça o seguinte:
separamos o estádio todo em partes, cada uma com capacidade para 100 pessoas.
Atividade 6
No primeiro caso, você diria: 100 por cento lotado !
Já no segundo, você daria alguns palpites: Mais de 50 por cento das cadeiras
vazias! O público preencheu talvez 30 ou 40 por cento do estádio...
Esse é um primeiro significado de porcentagem: ela nos dá a porção do todo que
está sendo considerada.
Essa porção do todo refere-se sempre a quantos centésimos do todo estão sendo
considerados. Nos exemplos acima, apareceram 100, 50, 30 e 40 centésimos, que
podem ser escritos 100%, 50%, 30% e 40%.
Nesses caso, a quantidade de centésimos tomada é um número natural, e as por-
centagens são representadas por frações com denominador 100, como 50/100.
Vamos entender melhor essa questão dos centésimos.
Para achar 30% da capacidade do estádio de futebol, um modo é você dividir a
capacidade total por 100 (obtendo um centésimo) e depois multiplicar por 30. Ou, se
você conhece uma interpretação correta para a multiplicação de frações, basta você
fazer (30/100) x (capacidade total). Leia sobre isso no quadro a seguir.
Porcentagem relacionada a certa quantidade em 100
Os centésimos que aparecem nas porcentagens podem ser vistos de outro modo. Veja
isso na atividade seguinte.
Articulando
conhecimentos 1
Um fato básico e importante na multiplicação de frações é que ela nos fornece quanto
vale uma fração de um número natural, ou quanto vale uma fração de outra.
Assim:
(2/5) x 650 = 1300/5 = 260, que corresponde a 2 quintos de 650.
(1/2) x (1/4) = 1/8, que corresponde à metade de 1 quarto.
Uma conseqüência é que, para sabermos quanto valem, por exemplo, 5/12 de
1500, basta fazer a multiplicação de um pelo outro.
Esse fato é válido também para números reais, e fica mais evidente quando um
deles está na forma de quociente. Por exemplo:
x A = de A
O efeito da multiplicação de frações (ou fração como operador)

Seção2
112
Aposto que você respondeu 30. Mas, e a justificativa? Há muitos modos... Antes de
olhar a resposta, experimente usar seu raciocínio e sua capacidade de dar uma explica-
ção clara a seus alunos.
Sua resposta pode ter sido por uma regra de três (como a que apresentamos no
Caderno de Respostas).
Mas vamos pensar no que ocorre no estádio em uma concepção mais geométrica.
Primeiro, vamos ver um caso particular:
Digamos que o estádio tem capacidade para 50.000 e 30% estão ocupados, isto é,
são 15.000 pessoas presentes.
Se você dividir o estádio em setores com 100 lugares, obterá 500 setores.
Você terá que distribuir as 15.000 pessoas por esses 500 setores: 15.000 500 =
30. Ou seja: se 30% estão ocupados, serão 30 pessoas em cada 100 lugares.
Para sua reflexão:
Para você, existe alguma diferença entre as situações de as 15.000 pessoas esta-
rem lotando 150 setores e a de estarem igualmente distribuídas entre 500 setores?
Qual seria?
Pois é. Por meio de um exemplo, fica claro. Mas, em matemática, fica sempre uma
dúvida: o que vale para um caso valerá para todos os casos possíveis?
Quantas pessoas devemos chamar para cada parte dessas, de modo a distribuir igual-
mente todos os presentes?
Responda e mostre como foi seu raciocínio, descrevendo qual foi a linha do seu
pensamento, as imagens mentais que você utilizou etc.
Em resumo: 30% de uma quantidade = 30 centésimos do total de unidades = 30
em cada 100 unidades
..

Unidade3
113
Vamos rever o quadro apresentado, no qual sintetizamos o que foi desenvolvido:
30% de uma quantidade = 30 centésimos do total de unidades = 30 em cada
100 unidades
A partir dele, já temos dois caminhos para o cálculo de x% de certa quantidade:
1 – Determinar quanto vale x centésimos da quantidade.
2 – Verificar qual foi a variação em 100 unidades.
Vamos construir uma justificativa geral. Veja que podemos generalizar progressiva-
mente o raciocínio feito:
Se você substituir 30 por um número n, vai generalizar a porcentagem de ocupa-
ção e terá a justificativa geral.
Para espairecer, veja um desafio relacionado a essa questão:
Um tempinho para você pensar... Daqui a pouco virá a resposta. Se você ainda
tiver fôlego, veja de outro jeito a história de 30% corresponder a 30 em cada 100:
30 em 100 é o mesmo que 60 em 200, ou 90 em 300 ...
Falando de outro modo:
Uma distribuição igualitária de 30 em 100 é o mesmo que 2x30 em 2x100, ou
3x30 em 3x100, ou nx30 em nx100.
Um preso, condenado à prisão perpétua, teve sua pena reduzida em 50%.
As autoridades ficaram perplexas: como calcular o tempo que ele ainda deveria
permanecer preso? Como poderiam saber quanto tempo ele ainda teria de vida, para
poder reduzir sua permanência na prisão em metade desse tempo?
O que fizemos
Digamos que o estádio tem capacidade
para 50.000 e 30% estão ocupados, isto
é, são 15.000 pessoas presentes.
Se você dividir o estádio em setores
com 100 lugares, obterá 500 setores.
Generalizando a capacidade do estádio
Digamos que o estádio tem capacidade T
e 30% estão ocupados, isto é, são xT
pessoas presentes.Se você dividir o es-
tádio em setores com 100 lugares, ob-
terá setores.
Você terá que distribuir as 15.000 pesso-
as por esses 500 setores: 15.000 500 =
30. Ou seja: se 30% estão ocupados, se-
rão 30 pessoas em cada 100 lugares.
..
Você terá que distribuir as xT pessoas
por esses T setores:
100
30
100
T
100
30
100
=30.30
100
T
100
xT ..

Seção2
114
O último parágrafo do quadro nos dá a resposta sobre a questão do preso.
Se ele vai ter uma redução de 50% da pena, isso corresponde a 50 dias em cada
100 que teria que ficar; ou poderia ser 25 em cada 50; ou 5 em cada 10; ou 1 em cada
2, ou 1/2 em cada dia ... Foi isso que resolveram: 12h por dia preso, 12 horas solto; mais
uma vez mostrando que 50% é igual a 50 em 100 ou 0,5 em 1.
O número que expressa a parte do todo indicada por uma porcentagem - qual
é sua natureza?
Vamos voltar a pensar nas atividades 4b e 5b, aquelas que procuravam saber de que
tipo é o número associado a uma porcentagem. Isto é, transformando x% em um número
que expresse a parte do todo que está sendo considerada, esse número:
• É uma fração?
• Tem sempre denominador 100?
• Ou é de outro tipo?
Para refletir e tirar suas próprias conclusões, veja alguns exemplos:
Exemplo 1
No caso de 30% da capacidade do estádio, a porcentagem corresponde a 30/100 dessa
capacidade. Nesse caso, o número é uma fração de denominador 100.
Exemplo 2
Você já sabe que x% de Q significa x/100 de Q. Assim, 17,5% de uma quantia significa
17,5/100 dessa quantia. Ou, escrito de outra forma, 175/1.000 da quantia.
Articulando
conhecimentos 2
Essa segunda interpretação da porcentagem (quantos em cem) articula-se naturalmente
com o conceito de proporções.
Quando estabelecemos uma relação percentual entre dois valores de grandezas,
estamos imaginando que ambas variam proporcionalmente. Isso ocorreu com as grande-
zas número de pessoas e número de lugares no estádio.
Veja as proporções:
valores da grandeza quantidade de pessoas
valores da grandeza quantidade de lugares
Repare que os quocientes entre os valores da primeira grandeza e os valores corres-
pondentes da segunda grandeza são constantes. Isso caracteriza uma variação proporci-
onal direta entre essas grandezas.
Não significa porém que, quando temos 15.000 pessoas no estádio, teremos sem-
pre 30 pessoas em 100 lugares quaisquer. Mas significa que podemos distribuir as pesso-
as de modo a ter 30 em cada 100 lugares.
Porcentagem e proporção

Unidade3
115
Repare que, no primeiro caso, poderemos ter uma fração com denominador 10.
Por exemplo: 10% = 10/100 = 1/10.
Repare que, nesse caso, o número que expressa a porcentagem é uma fração, com
denominador 1.000. Com denominador 100, não seria fração, porque o numerador não
seria um número natural. (Veja que isto lhe dá uma dica para responder à questão 5b.
Reveja o que você respondeu lá.)
Aproveitando o assunto: se uma quantidade aumentar em 64/1.000 do seu valor,
qual será a porcentagem de aumento? Sem problema: 64/1.000 = 6,4/100. A porcenta-
gem de aumento foi de 6,4%.
Esses dois exemplos começam a nos dizer algo sobre o número que expressa a
porcentagem.
O número que expressa uma porcentagem de x%:
• é uma fração decimal com denominador 100, se x for um número natural;
• é uma fração decimal com denominador potência de 10 maior que 100 se x for um
número decimal com uma quantidade finita de casas decimais.
Mas será que uma porcentagem será sempre expressa por uma fração de denomi-
nador 100, ou, de forma mais geral, por uma fração decimal? Ou será que, às vezes, x%
pode significar uma fração não decimal? Ou até um número que não é fração (não
racional)?
Continue lendo e refletindo sobre essas questões nas próximas atividades.
Articulando
conhecimentos 3
É aquela cujo denominador é uma potência de 10, ou que seja equivalente a uma fração
com denominador desse tipo. Para que isso ocorra, é necessário que, na forma irredutí-
vel, seu denominador não admita fatores diferentes de 2 ou 5. Tais frações são chamadas
frações decimais.
Exemplo: 3/20 (20 = 2² x 5) é equivalente a 15/100 (o denominador é potência de 10).
Porém 7/30 não é fração decimal (30 = 2 x 3 x 5 3 é um fator diferente de 2 e
de 5). Não é equivalente a nenhuma fração com denominador potência de 10.
Sintetizando:
Frações decimais: o denominador não admite a fração pode ser escrita com deno-
fatores diferentes de 2 ou 5 minador potência de 10.
Fração decimal

Seção2
116
Em 2002 o salário mínimo aumentou de R$180,00 para R$200,00. Resolva:
a) Qual foi a porcentagem de aumento?
b) Essa porcentagem é uma fração? Seu denominador é uma potência de 10?
Então, fez a atividade? Se você encontrou 100/9 ou 11,111...%, acertou. O au-
mento foi ligeiramente maior que 10%. Olhando esses números, você pode dizer que é
uma fração decimal?
Não. Embora seja uma fração, 100/9 não é uma fração decimal, pois não pode ser
escrita numa forma com denominador potência de 10 (outra justificativa é que, colocada
na forma irredutível, apresenta um denominador que contém fatores diferentes de 2 e de
5). Concluindo, encontramos uma porcentagem dada por um número que não é uma
fração decimal, e você poderá acrescentar isso ao quadro:
Atividade 7
– é uma fração decimal com denominador 100, se x for um número natural;
– é uma fração decimal com denominador potência de 10 maior que 100, se x for um
número decimal com um número finito de casas decimais;
– pode ser uma fração não decimal.

Unidade3
117
Em um quadrado de área 2m², o lado foi aumentado em 2cm. Qual a porcentagem
de aumento do lado? E da área?
Atividade 8
Sintetizando – só há duas formas para a representação decimal de uma fração:
exata
(quantidade finita de casas decimais)
infinita periódica
(quantidade infinita de casas
decimais, com período)
Articulando
conhecimentos 4
Você deve pensar em uma fração p/q como representando p partes de um todo que foi
dividido em q partes iguais e também como o resultado da divisão de uma quantidade p
em q partes iguais. Veja uma explicação contextualizada para esse fato dada por Tropfke
(1980), em sua História da Matemática Elementar:
“A tarefa de dividir k objetos em n partes (por exemplo dividir 7 pães por 10
pessoas) apareceu, na prática, antes de qualquer costume escrito. Talvez se tenha inicial-
mente dividido cada um dos objetos em 10 partes – desse modo obtinha-se a “fração
tronco” 1/10, que podia ser considerada, de certo modo, como uma nova unidade, e
então reunia-se 7 dessas novas unidades. A fração geral 7/10 é assim, por um lado,
entendida como o resultado da divisão 7 : 10; por outro, como reunião de 7 unidades
(iguais a) 1/10".
Desse modo, vê-se que a divisão de um número p por um número q ( 0) resulta
em p/q.
Por outro lado, podemos efetuar a divisão p q usando a representação decimal,
obtendo como resultado um número que pode ter uma parte inteira e uma parte decimal.
Como os resultados de uma mesma divisão devem ser iguais, poderemos igualar o quoci-
ente decimal à fração p/q. Essa divisão nos dá, portanto, a representação decimal de p/q.
Mas, o que ocorre na divisão de dois naturais ? Ela pode ser exata e teremos um
número finito de casas decimais após a vírgula. Ou ela pode ter um resto não nulo,
em um processo interminável. Como os restos possíveis vão de 1 a 9, em certo
momento haverá repetição. Acrescentando o zero para continuar a divisão, apare-
cem dígitos no quociente que já apareceram antes, formando um ciclo de algarismos
repetidos – o período.
Representação decimal de uma fração
..

Seção2
118
Você já resolveu a atividade 8? É muito importante que você a resolva. Imagine que
está trabalhando em um grupo e que todos estão empenhados em fazer essa atividade. E
você, vai ficar parado? Uma sugestão: no lado, que vale m, o aumento foi de 0,02m.
Qual seria o aumento em 100m? (Calcule rapidinho.)
A partir dos resultados obtidos, temos duas novas questões:
Primeira questão com base na atividade 8:
Como interpretar o número que representa a porcentagem de aumento do lado?
Se você teve cuidado no cálculo, deve ter obtido que essa porcentagem foi de
%, dada pelo número /100. Você acha que é uma fração? Reveja o conceito de
fração: é um número do tipo a/b, em que a e b são números naturais, e b é diferente de
zero. O número /100 não se apresenta nessa forma nem pode ser escrito em tal
forma. O denominador (100) é um número natural, mas o numerador ( ) não é um
número natural.
Na verdade, esse é um número irracional, e podemos acrescentar mais uma frase
ao quadro que estamos construindo, com base nos exemplos e atividades:
• é uma fração com denominador 100, se x for um número natural;
• é uma fração com denominador potência de 10, se x for um número decimal com
um número finito de casas decimais;
• pode ser uma fração não decimal;
• pode ser um número irracional.
Ou seja, concluímos que, embora x% seja o mesmo que x/100 (e isso nos baste
para resolvermos a maioria dos problemas), para identificar a natureza desse número
precisamos conhecer x. Portanto:
Observação:
Na resolução dessa questão, aparece o número , que não deve ser substituído por um
valor decimal, que é só aproximado. Deixe na forma de raiz, inclusive na resposta.

Unidade3
119
Livros que afirmam que x% é equivalente a uma fração de denominador 100
estão errados.
Segunda questão baseada na atividade 8:
Como interpretar o número que expressa a porcentagem de aumento da área?
Agora repare na natureza do número que dá a porcentagem de aumento da área:
• o aumento da área foi de , o que corresponde a da
área inicial. Esse não é um número racional.
Refletindo sobre a construção de um conceito matemático
Reparou no caminho que percorremos? Ele começou na atividade 4, em que se
questionava se a expressão “porcentagem é uma fração de denominador 100” estaria
correta, e foi até a atividade 8. Pelo caminho, fomos colhendo contra-exemplos,
refletindo, ampliando nosso modo de ver o conceito de porcentagem.
Articulando
conhecimentos 5
Até aqui, só tratamos de porcentagens positivas. Mas elas poderiam ser dadas também
por números inteiros negativos, por números racionais negativos e por números irracio-
nais negativos. Por exemplo, se um preço diminui, podemos dizer que houve uma
variação percentual negativa.
Porcentagens negativas
Números irracionais são os números reais que não são racionais, isto é, não podem
ser postos na forma p/q. Quanto à representação decimal, não podem ser finitos nem
infinitos periódicos. Existe uma prova matemática de que não pode ser posto na forma
p/q. Também é possível apresentar diretamente números irracionais por meio de repre-
sentações decimais que não são finitas nem periódicas. Veja abaixo:
0,12112111211112...........
Seguindo o padrão, esse número é infinito e sem período, portanto irracional.
Não é correto concluir que um número é irracional pelo fato de não apresentar
período nas casas decimais que se consegue determinar. É possivel um número apresen-
tar uma quantidade enorme de casas decimais sem período, e depois o período aparecer.
Articulando
conhecimentos 6
Número irracional

Seção2
120
Construindo estratégias e procedimentos
para o cálculo de porcentagens
Você pode construir procedimentos próprios para determinação da porcentagem. Não é
necessário memorizar modos de calcular. As regras acabam se tornando tão numerosas
que nos confundem. Mas se nos apoiamos em nosso entendimento mais profundo dos
conceitos, teremos sempre condições de encontrar um caminho para nossos cálculos. E
acabaremos chegando a alguns procedimentos operatórios padronizados que podem
ser usados.
Seria legal se estivéssemos juntos e cada um pudesse dizer como gosta de calcular
x% de uma quantidade Q. Poderia surgir:
E aí? Será que as três obterão resultados iguais? Teste você mesmo, na próxima
atividade.
É um caminho que leva à construção e internalização de um conceito
matemático.
Partimos de uma interrogação inicial – porcentagem é isso? – e logo trata-
mos de ver se todos os casos estão de acordo com aquela concepção inicial, ou
se há alguma situação que não se encaixa (algum contra-exemplo).
Em nosso caso, os contra-exemplos foram mostrando que porcentagem
nem sempre era uma fração de denominador 100, nem sempre era uma fração
decimal (denominador potência de 10) e nem sempre era uma fração.
Esse caminho levou a uma série de refinamentos sobre porcentagem, tor-
nando esse conceito mais complexo e confiável.

Unidade3
121
Atividade 9
Veja a lógica matemática dos três processos:
1o
) É o próprio conceito de x centésimos – divide-se o total por 100 e toma-se x vezes
esse valor.
2o
) Como já vimos, x% significa x em 100, mas quanto isso representa em Q? Para isso,
ela fez uma regra de três: 9,5 em 100 é igual a quanto em 250?
Por trás da regra de três, está o conceito de proporção, que envolve a igualdade
de duas razões. Veja o quadro.
Calcule, dos três modos sugeridos, quanto dá 9,5% de 250 reais.
Qual a lógica desse procedimento ? Na verdade, devíamos calcular
9,5
100
de 250.
3o
) Pelo terceiro processo, fazemos .
Mas você sabe que, para sabermos quanto vale uma fração de uma quantidade, basta
multiplicar a fração por essa quantidade (isso é algo que os alunos devem saber bem).
Mas será que não apareceria mais nenhuma idéia, sobre o cálculo de porcenta-
gens? (Pode ser que você já esteja tendo outra...).
Articulando
conhecimentos 7
A igualdade de duas razões, ou de dois quocientes, implica uma proporção: as quanti-
dades expressas nos numeradores são proporcionais às quantidades expressas nos deno-
minadores. Como, numa igualdade entre razões, vale a propriedade do produto em
cruz, tendo-se três valores em uma igualdade desse tipo, poderemos determinar o quar-
to: Se então 3 x 22 = 5,5 x x e portanto x = 12. Veja, no final da unidade,
porque vale o produto em cruz.
Regra de três e proporção
3
5,5
=
x
22
9,5
100
x 250 =
95
1.000
x 250

Seção2
122
Você saberia calcular mentalmente 9,5% de 250?
10% é bem simples de calcular... Para ter 9,5%, é só subtrair 0,5% desse valor...
será que é fácil esse cálculo mental? Veja: 0,5% é metade de 1% ...Agora é com você.
Termine o cálculo!
Como será que vamos digitar para calcular essa porcentagem? Se você já sabe,
muito bem. Se não sabe, pode tentar... algo como a seguir.
Ligo a calculadora, apertando o botão ON/CE. Aparece 0. no visor.
Eu vou tentar as teclas 9,5 % 250 =
Droga! Sabe o que apareceu? Nem conto, faça você mesmo na sua e veja.
Apago o visor, apertando ON/CE de novo.
Nova tentativa: % 9,5 250 =
Ainda não funcionou! Mas não desisto:
250 % 9,5 =
Droga de novo! Não apareceu o resultado desejado.
Deve ser necessário uma nova tecla na jogada. Vou tentar x
250 x 9,5 %
FUNCIONOU!!! Nem precisei apertar o igual. Quando apertei % , já apareceu.
E se eu apertasse igual no fim?
Vá pegar sua calculadora

Unidade3
123
250 x 9,5 % =
Atrapalhou de novo! Apareceu 5.937,5! Pensando bem, esse número é o resultado
de 250 x 23,75. A calculadora multiplicou o valor inicial 250 pelo valor encontrado.
E se eu tentar 9,5 x 250 %
Também funcionou!!!
Então é isso: Se queremos saber quanto vale x% de uma quantidade Q, multiplica-
mos (na calculadora) Q por x (ou x por Q) e apertamos %. E nada mais.
a) Responda:
a1
) Como a calculadora interpreta o símbolo % ao final de uma multiplicação?
a2
) Tente justificar os resultados incorretos que surgiram no visor da calculadora.
b) Calcule, usando a calculadora:
b1
) 12% de um salário de 524 reais.
b2
) O salário após um aumento de 12%.
b3
) O salário após uma redução de 12%.
Atividade 10
Repare porque os dois processos são válidos: calcular x% de Q (x/100 x Q) é o
mesmo que calcular Q% de x (Q/100 x x).

Seção2
124
Uso de frações no cálculo mental de porcentagens
Eu já ia mudar de assunto quando me lembrei de mais uma possibilidade para o cálculo
de porcentagem, que é bem útil quando a porcentagem é uma fração equivalente a outra
mais simples. Vamos lá:
• 10% de Q = 10/100 de Q = 1/10 de Q é só dividir Q por 10.
• 5% de Q = Metade de 10% de Q é só dividir Q por 10 e o resultado por 2.
• 25% de Q = 25/100 de Q = 1/4 de Q é só dividir Q por 4.
• 75% de Q = 75/100 de Q = 3/4 de Q é só dividir Q por 4 e multiplicar por 3.
• 30% de Q =30/100 de Q = 3/10 de Q é só dividir Q por 10 e multiplicar por 3.
• 17,5% de 2.200 = (10% + 7% + 0,5%) de 2.200 =
Mais sobre porcentagem e cálculo mental
Em uma sala, havia 99 mulheres e 1 homem (a porcentagem de mulheres era de
99%) . Quantas mulheres devem sair para se reduzir essa porcentagem a 98%?
Faça uma estimativa:
Você acha que deverão sair: Menos que 5 mulheres
De 6 a 10 mulheres
Mais que 10 mulheres
Atividade 11
10%
7% = 7 x 1% = 7 x 22 =
0,5% = metade de 1% =
220
154
11
385
Faça uma comprovação mental:
10% de 2.200 são 220; 20% são 440.
17,5% tem que ser um valor um pouco
menor. 385 deve estar certo.

Unidade3
125
Uma porcentagem de 98% significa 98/100 ou 49/50 do valor ao qual se refere.
Portanto, para se ter essa porcentagem, algumas possibilidades serão: 1) ficar com 98
mulheres em 100 participantes ou 2) 49 mulheres em 50 participantes. A primeira
hipótese não é possível – se uma mulher sair (para ficarem 98) o total de participantes
será 99, e não 100. Já no outro caso, se saírem 50 mulheres (para ficarem 49), o total
de participantes será 50, o que confere com a redução da porcentagem. Essa é a
solução: devem sair 50 mulheres, para que a porcentagem fique reduzida a 98%.
Pensando a respeito para resolver a atividade:
Você acertou em sua estimativa? Seu palpite foi de que deviam sair mais do que 10
mulheres?
Resolvendo a atividade de outro modo:
O resultado que obtivemos pensando e desenvolvendo de modo natural pode ser
comprovado de inúmeras maneiras. Chamando de x o número de mulheres que devem
sair, o problema impõe que a razão entre o número de mulheres restantes (99-x) e o
número total de pessoas que ficam (100-x) seja igual a 98 em 100 (para dar a porcenta-
gem de 98%):
= ou 9.900 – 100x = 9.800 – 98x, portanto 100 = 2x e x=50
Você estranhou o resultado do problema das 99 mulheres e de um homem?
Não foi muita mulher que saiu, para abaixar apenas 1% na porcentagem das mu-
lheres?
O ponto chave do entendimento é que houve alteração na quantidade total a que
as porcentagens se referiam. No início, a porcentagem era com relação a 100 pessoas.
Depois, com a saída de x mulheres, a porcentagem seria com relação a 100-x pessoas.
Isso muda muito!
Veja como seria um problema parecido, em que o todo de referência não muda:
Em uma sala onde havia 99 mulheres e 1 homem, houve duas votações. Na
primeira, o homem e todas as mulheres votaram (elas representaram 99% das pessoas
presentes). Na segunda votação, quantas devem se abster, para que a porcentagem dos
votos das mulheres caia a 98% das pessoas presentes?
Atividade 12
99 – x
100 – x
98
100

Seção2
126
Novo salário: 1.400,00 + 168,00 = 1.568,00
Mas será que seria possível fazer em uma só etapa ? Observe:
Novo salário
O resultado é 1.568,00.
Ou seja:
Ou seja, fazendo apenas a multiplicação por 1,072 (fator multiplicativo) pude-
mos calcular o resultado do salário após o aumento.
Do mesmo modo que calculamos o resultado de um aumento percentual por
meio de um fator multiplicativo, podemos calcular o resultado de uma redução
percentual.
3 - Se um salário de R$1.400,00 tiver uma redução de 12%, qual será o novo
salário?
Seu cálculo mental já deve estar avançando...
Porcentagem e fator multiplicativo no cálculo do resultado de um
aumento ou redução percentual
Muitas vezes estamos interessados não em saber quanto uma porcentagem repre-
senta de uma quantidade, mas em saber como ficará essa quantidade após ter esse
aumento percentual.
Casos de salário são sempre interessantes.
Exemplos:
1 - Se um salário de R$1.400,00 tiver um aumento de 12%, qual será o novo salário?
Vamos lembrar uma das muitas maneiras de fazer esse cálculo. Pode-se fazer em
duas etapas:
a) Calcular 12% do salário
b) Somar esse valor ao salário
Para sabermos como fica uma quantidade após um aumento de 12%, basta mul-
tiplicá-la por 1,12.
Veja outro exemplo, que é uma variação dessa situação:
2 - Se um salário de R$1.400,00 tiver um aumento de 7,2%, qual será o novo salário?
Novo salário:

Unidade3
127
Mas, como é sempre bom saber que em matemática muitos caminhos podem dar
certo, aprenda a calcular pelo fator multiplicativo:
Novo salário
= 1.400,00 x (0,88) = 1.232,00.
Ou seja:
Para sabermos como fica uma quantia após uma redução de 12%, basta multipli-
cá-la por 1 – 0,12 = 0,88.
Novamente, podemos ter uma variação dessa situação:
4 - Se um salário de R$1.400,00 tiver uma redução de 0,2%, qual será o novo salário?
Novo salário:
1% vale 14 reais
2% são 28 reais.
0,2% são 2,80.
Subtraio 3 e somo 20 centavos:
1.400 – 3 = 1.397
1.397 + 20 centavos = 1.397,20
= 1.400,00 x (0,998) =
Mentalmente, seria até mais fácil:
10% são 140
Abaixa para 1.260.
2% = 2 x 14 = 28
Abaixa para ... (Em vez de tirar 28,
tiro 30 e somo 2). Fica 1.232.

Seção2
128
Numere a segunda coluna de acordo com a primeira, associando cada situação
com o fator multiplicativo correspondente (podem sobrar itens).
1 – Aumento de 2% ( ) 0,75
2 – Aumento de 5,5% ( ) 1,055
3 – Diminuição de 25% ( ) 0,945
4 – Diminuição de 5,5% ( )1,02
( ) 1,55
Atividade 13
Nesta seção, você revisou conteúdos já vistos e avançou em outros não vistos,
entre os quais estavam:
• o conceito de porcentagem;
• o fato de a porcentagem referir-se, em geral, a uma razão (e não a uma fração);
• a caracterização de fração decimal (tem denominador potências de 10 ou, na forma
irredutível, o denominador não tem fatores diferentes de 2 ou 5);
• a identificação de fração não decimal (na forma irredutível, o denominador tem
algum fator diferente de 2 e 5) com sua representação decimal periódica;
• o fato de existirem razões (quocientes) que não são frações;
• o efeito de multiplicar-se uma fração ou uma razão por um número ou por outra
fração/razão;
• razões e proporções;
• fração vista como parte do todo ou como um quociente ( e qual a lógica disso);
• o fato de fração poder ser escrita na forma p/q, com p e q números racionais,
q 0, ou na forma decimal finita, ou na forma decimal infinita periódica;
• existência de números que não podem ser escritos nessas formas, e portanto não
são frações.
Além disso, encontrou diversos processos para cálculos de porcentagens:
• por regra de três;
• com uso de fatores multiplicativos;
• por cálculo mental;
• com uso da calculadora.
Resumindo

129
b) Alguns dos fatores que podem ter levado a uma ressignificação são:
• A inserção do conceito em uma situação real.
• O fato de a resposta não ser imediata.
Objetivo
da seção
Esperamos que, ao longo desta seção, você possa:
• Conhecer e produzir, com relação aos temas tratados nas seções 1 e 2, situações
didáticas adequadas à série em que atua, envolvendo:
– Porcentagens de impostos que aparecem em notas fiscais.
– Projetos de coleta de dados de preços e comparação entre imposto pago no
preço promocional e sobre o preço normal.
– Uso de dados encontrados em jornais e revistas para elaboração de questões
variadas relativas a porcentagem.
• Repensar o significado de transposição didática.
• Caracterizar o fazer matemático do aluno.
• Refletir sobre aprendizagem ativa.
Você deve estar pensando em como planejar suas aulas, aproveitando o que viu
aqui. Para isso, é importante que você reflita antes sobre o que significou para você esse
aprendizado. Só após isso você poderá decidir se ele será válido também para seus
alunos, se necessita de adaptações etc. Vamos propor algumas questões para ajudá-lo
nessa reflexão.
Seção 3
Transposição didática: impostos e porcentagens
Atividade 14
a) Você reviu o conceito de porcentagem no contexto de uma situação-problema.
Você considera que houve uma “ressignificação” do conceito que você tinha ante-
riormente? Ou seja, você conseguiu perceber algo, em relação às porcentagens, que
antes não percebia? A compreensão foi aprofundada?

Seção3
130
Os pontos que você levantou nos itens a), b) e c) da atividade 14 podem ajudá-lo a
prever quais seriam algumas reações dos alunos quando se depararem com uma propos-
ta similar a esta que apresentamos e também poderiam motivar seus alunos (e você
mesmo) a procurar ultrapassar alguns pontos menos adequados que você detectou. Você
deve avaliar se vale a pena trabalhar o conceito de porcentagem em uma situação-
problema, deve procurar tornar esse conceito significativo ou mesmo ressignificá-lo para
as séries mais adiantadas, estudar fatores que podem levar a essa ressignificação e pensar
em modos alternativos de trabalhar, caso ache adequado.
Nesta seção, você encontrará algumas situações e idéias para seu trabalho em sala
de aula e será instigado a formular outras.
c) Se a atividade não se constituiu em avanço ou desafio para você, por que você acha
que isso aconteceu?
• A apresentação de aspectos que desestabilizaram suas concepções anteriores.
• A apresentação de aspectos e procedimentos diversificados a respeito do conceito.
Em quais desses pontos você havia pensado?
Refletindo sobre o que foi feito nesta Unidade, você deve perceber que já houve
uma reelaboração do conhecimento matemático. Os textos matemáticos que você
estudou na seção 2 fizeram uma adaptação do saber puro e sistematizado para um
conhecimento mais dinâmico e adaptado à vida real. Esse processo já se constitui em
uma primeira transformação do saber matemático, visando à sua aprendizagem, e
constitui, por isso, o que se chama de transposição didática.
É necessário a realização de um processo análogo sobre os conhecimentos a
serem adquiridos pelos alunos. Dessa reelaboração ou transposição didática estare-
mos tratando na seção 3.
Para fazer a transposição didática, é importante considerar:
• Que situações-problema podem se constituir em desafio para os alunos?
• Como julgar, nessas situações: a relevância, o grau de motivação do aluno em
resolvê-las, a abrangência dos conceitos envolvidos, a capacidade das mesmas em
propiciar questões e mesmo respostas variadas?
• Quais os vários aspectos do conceito matemático envolvido que se fazem necessá-
rios em outras situações e contextos?
• Quais as relações entre esses vários aspectos?
Quais conhecimentos seus alunos já possuem a respeito? É preciso garantir que a
situação não seja simples demais nem tão complexa a ponto de ser desanimadora.
Aprendendo sobre Educação Matemática – Transposição didática

Unidade3
131
Um exemplo de situação-problema adequada à sala de aula
Além do IRPF - Imposto de Renda da Pessoa Física, existem outras formas de contribui-
ção fiscal. Por exemplo, ao comprar alimentos, vestuário, equipamentos, medicamentos,
livros, ou ainda, ao pagar serviços como diversão (entrada de um circo, parque ou
cinema), transporte (passagem do ônibus), há incidência de impostos tais como ICMS
(Imposto sobre Circulação de Mercadorias e Serviços), IPI (Imposto sobre Produtos Indus-
trializados), dentre outros.
Ao consultar uma nota fiscal (documento obrigatório a cada transação comerci-
al), podemos constatar o quanto é pago em impostos pela compra ou prestação de
serviço. A emissão da nota fiscal é a garantia de que os cofres públicos receberão os
recursos para investir em educação, saúde, saneamento, segurança, cultura, etc.
Essa forma de arrecadação das contribuições acontece não apenas no Brasil, mas na
grande maioria dos países.
Situação-problema para os alunos
Vamos tomar como exemplo a seguinte nota fiscal, emitida no Brasil, de compra de
equipamentos domésticos:
Em muitos países os turistas têm direito à devolução dos impostos pagos, bastando
apresentar as notas fiscais em locais pré-determinados. Isso baseia-se na idéia de que
os impostos são pagos pelos cidadãos do país e devem reverter em benefícios para
eles. Embora os turistas usufruam de alguns desses benefícios (como cidades limpas,
transportes organizados etc), isso ocorre por pouco tempo e os governos desses países
consideram que os turistas não têm que pagar por isso. Na verdade, gastando nesses
países, os turistas já contribuem para seu desenvolvimento.

Seção3
132
Leve cópias da nota para seus alunos, que devem estar distribuídos em grupos, e
peça que resolvam as questões a), b) e c) que serão propostas. Percorra os grupos,
observe as idéias e estratégias que criam. Se algo sair errado e eles não perceberem, não
diga que está errado. Faça uma pergunta que os leve a repensarem o que foi feito.
a) Na nota fiscal vemos que sobre a quantia de R$1.180,91 será pago um valor de
R$141,71 de ICMS, ou seja, Imposto sobre Circulação de Mercadorias e Serviços. Deter-
mine a porcentagem de imposto cobrado.
b) Vemos também que, sobre a mesma quantia, foi pago um valor de R$118,09 de IPI
(Imposto sobre Produtos Industrializados). Qual a porcentagem cobrada de IPI?
c) O valor total da nota corresponde a uma compra com desconto de R$669,09. Qual
seria o valor do imposto a pagar sem o desconto? Você pode concluir que quando se dá
um desconto, paga-se também menos imposto?
Para responderem às questões a, b e c, os alunos devem ter tempo para pensar,
tentar, errar, levantar hipóteses, criar estratégias, argumentar, representar seus procedi-
mentos na forma oral, manipulativa e escrita.
Você deve estar reparando que, mais do que dar ênfase à apresentação da matemá-
tica pelo professor, estamos dando ênfase ao fazer matemático do aluno. Mas, o que
seria isso? Leia o quadro.
O “fazer matemático” no espaço escolar deve ter um significado bem mais amplo
do que o simples decorar definições e regras de procedimentos (as regrinhas mágicas).
O fazer matemático do aluno, visto no contexto de resolução de situações com
significado, tem que incluir uma ação efetiva do aluno na busca de soluções de reais
desafios. Esse fazer deve significar o lançar-se em uma grande aventura de tentativas,
de erros, de levantamento de hipóteses, de criação de estratégias, de argumentação,
de capacidade de representação oral, manipulativa e escrita de seus procedimentos.
As formas de agir dos alunos, também chamadas “esquemas de ação”, traduzidas
por procedimentos, são parte essencial do seu fazer matemático na escola. O profes-
sor não deveria apressar-se em mostrar “como faz” ou “como deveria fazer”, pois é
importante no ensino da matemática a capacidade do professor em observar e fazer
revelar os procedimentos mais espontâneos apresentados pelos alunos na resolução
da situação. Aí revela-se a parte mais importante e rica do fazer matemático na
escola, parte que por vezes é excluída do processo em função da pressa que temos
em chegar em certos resultados, de modo único.
Isso nos lembra Piaget em seu livro Epistemologia Genética*, quando fala da
epistemologia da matemática** ao afirmar que grande parte da produção cognitiva da
criança no processo de resolução de problema tem fortes semelhanças com o traba-
lho do matemático. Cabe-nos refletir sobre o que a escola tem feito com esse potenci-
al. Nesse mesmo sentido, temos a afirmação da pesquisadora francesa Stella Baruk:
“toda criança que nasce é um ser matemático. Se, quando cresce, vem a não saber
ou não gostar de matemática é porque não soubemos trabalhar esse ser”.
Aprendendo sobre Educação Matemática – O fazer matemático do aluno

Unidade3
133
* Epistemologia Genética
O termo aparece com fre-
qüência nos discursos e
textos da área das ciênci-
as humanas, em especial
na educação, sendo rele-
vante para o profissional
que tem a aprendizagem
como objeto de trabalho.
Epistemologia refere-
se ao conhecimento e aos
processos pelos quais ele
é produzido. Genética re-
fere-se à gênese ou às ori-
gens, aos processos mais
embrionários e evolutivos,
tendo a ver com os aspec-
tos históricos de um de-
terminado fenômeno.
Assim, o termo ‘’epis-
temologia genética” refe-
re-se aos processos evo-
lutivos pelos quais são
constituídos os conheci-
mentos. É um termo mui-
to utilizado por Jean Pia-
get em seus trabalhos, sen-
do título de uma impor-
tante obra que trata de
uma discussão teórica so-
bre a construção do co-
nhecimento, em especial,
do conhecimento mate-
mático. No campo da
epistemologia genética,
Piaget estudou o desen-
volvimento das estruturas
mentais das crianças, bus-
cando compreender os
processos da inteligência
humana. Seus estudos ti-
veram na aprendizagem
de conceitos matemáticos,
tais como número, noção
de espaço, tempo e cau-
salidade, o centro de suas
investigações científicas.
** Epistemologia da Matemática
A epistemologia da matemática diz respeito aos pro-
cessos pelos quais se constitui o conhecimento ma-
temático. Podemos conceber duas perspectivas di-
ferentes para a epistemologia da matemática e das
demais ciências: a evolução desse conhecimento
na humanidade e no indivíduo.
Na primeira perspectiva, chamada epistemolo-
gia filogenética (filo refere-se à espécie), busca-se
compreender como a humanidade, ao longo de
sua evolução cultural, vem construindo e recons-
truindo o conhecimento matemático. Estuda-se como
o homem, buscando resolver situações-problema,
construiu ferramentas que foram agregadas às suas
estruturas mentais, tais como as idéias de número,
medida, proporção, simetria etc. A epistemologia
das ciências tem mostrado como grandes impasses
e dificuldades encontradas pelo homem ao longo
da história têm servido para promover o avanço do
conhecimento.
Na segunda perspectiva, chamada epistemolo-
gia ontogenética (onto refere-se ao ser individual),
busca-se compreender como se desenvolvem os
processos cognitivos (ligados à inteligência) desde a
fase de bebê até a terceira idade. Piaget, que estu-
dava esses processos, considerava-se um “episte-
mólogo”. Trabalhar com a aprendizagem requer essa
compreensão da forma como se estrutura o pensa-
mento do indivíduo, desde a infância até a idade
adulta, e, portanto, o professor precisa questionar e
refletir sobre a relação mútua entre a aprendizagem
e o desenvolvimento humano.
Nesse campo, a escola tem um duplo papel:
favorecer a aprendizagem e o desenvolvimento dos
alunos, respeitando e fomentando os processos de
estruturação da inteligência, e também dar acesso
aos alunos aos processos históricos pelos quais o
homem, nos diferentes contextos de tempo e cultu-
ra, construiu o seu conhecimento.
Articular o desenvolvimento do aluno com o
desenvolvimento do homem ao longo da história
da civilização é uma possibilidade na educação ma-
temática. Assim, epistemologicamente falando, po-
demos associar as primeiras formas de contar ou
operar utilizadas por uma criança com as formas
primitivas de quantificações usadas na pré-história.

Seção3
134
Projeto a partir da situação-problema
A questão que levantamos pode gerar um projeto, a ser desenvolvido na rua, em casa,
na escola:
Peça aos alunos que façam uma coleta de folhetos de propaganda (distribuídos em
lojas e supermercados ou como encartes em jornais) em que são indicados valores com
e sem desconto de cada mercadoria.
a. Cada grupo fica responsável por certa classe de produtos e calcula quanto de impostos
seria recolhido sobre os valores com e sem o desconto.
b. Imaginando que 1.000 clientes comprassem tais produtos (1 unidade, 1kg, 1l) no
preço da promoção, quanto o comerciante pagará a menos de ICMS?
A partir da situação-problema sugerida para os alunos, várias outras questões po-
dem ser tratadas, relacionadas aos Temas Transversais dos PCN (Parâmetros Curriculares
Nacionais). Por exemplo, uma discussão sobre o item c): os cofres públicos ganham ou
perdem no momento em que o comerciante concede um desconto? Por um lado, há uma
perda de recolhimento de impostos. Mas será que os descontos não vão estimular as
vendas e portanto arrecadar mais? Há vantagens ou desvantagens para a população
quando o comércio concede descontos aos seus clientes?
Ações no cotidiano escolar
Além da situação-problema e do projeto proposto, outras ações devem se inserir,
de modo natural, no cotidiano escolar. Porcentagens estão associadas a muitas
situações da vida.
Selecionar uma lista de dados em revistas e jornais e acrescentar questões para
serem resolvidas pode gerar uma boa atividade em grupos. As questões devem envolver
diferentes usos da porcentagem. Os alunos devem ser estimulados a pensar em grupo e a
resolver de diferentes modos, os quais devem ser coletivizados. Nessas questões, pode
ser pedido:
• O cálculo de x% sobre um total T (x e T são dados)
• Dados dois valores, saber em quanto por cento o primeiro deve ser aumentado para
dar o segundo; saber em quanto por cento o segundo deve ser reduzido para dar o
primeiro (porcentagem de aumento e redução). Exemplos:
Se um televisor de R$480,00 entrou em oferta por R$444,00, qual foi a porcenta-
gem de redução?
Se um televisor de R$480,00 passou a ser vendido por R$504,00, qual foi a
porcentagem de aumento?
Atividade 15
Elabore outra exploração possível envolvendo porcentagens por meio de uma situ-
ação-problema.

Unidade3
135
• Dado um valor T e um aumento A havido sobre T, saber de quantos por cento foi o
aumento. Idem para redução havida. Exemplo:
Um aparelho de som no valor de R$180,00 teve um aumento de R$27,00. Qual foi
a porcentagem de aumento?
• Relacionar porcentagem com certa quantidade em 100. Exemplos:
Em uma escola, 62% dos alunos são meninas.
Assinale a alternativa correta:
( ) Em todas as classes dessa escola, 62% dos alunos são meninas.
( ) Agrupando-se as salas de modo que dê 100 alunos, 62 serão meninas.
( ) É possível distribuir os alunos em um número exato de grupos de 100, cada um com
62 meninas. Isto é, a razão entre o número de meninas em cada grupo e o total do grupo
será igual a 62/100.
( ) É possível distribuir os alunos em certo número de grupos de 100 com 62 meninas em
cada um; se houver uma quantidade restante com y alunos sendo x meninas, a razão x/
y será igual a 62/100.
• Calcular percentual sobre percentual. Exemplo:
Se um preço x teve um aumento de 8%, e alguns meses depois o novo preço foi
reajustado em 6%, qual foi o percentual final de aumento sobre x?
Um modo de pensar é:
O aumento percentual total foi de 14,48%.
Outro modo de calcular:
O aumento foi de
• Sabendo que uma quantidade Q desconhecida teve uma diminuição quantitativa
conhecida, e sabendo-se o percentual de Q restante, calcular Q. Veja o exemplo na
atividade 16.
Atividade 16
Observe atentamente o mapa a seguir. A Península Antártica é a faixa branca que
tem esse nome escrito, mais a faixa cinza à direita dessa faixa, que corresponde à uma
massa de gelo, denominada plataforma Larsen B, localizada na parte leste da Península
Antártica. Essa plataforma era uma massa compacta de gelo e por ela chegaram missões
científicas em veículos pesados. As linhas pontilhadas indicam como parte dessa massa
de gelo tem desaparecido ao longo dos últimos anos.

Seção3
136
Lembrete
O nome do continente é
Antártida.
O nome da grande pe-
nínsula no pólo Sul é An-
tártica.
Devido ao aquecimento
da Terra, em menos de 2 me-
ses, uma área de 3.250km²,
equivalente a 720 milhões de
toneladas de gelo, partiu-se em
milhares de icebergs, que fica-
ram à deriva e vão se derreten-
do aos poucos.
Nos últimos 5 anos essa
plataforma perdeu 5,7 mil km² e
sua área atual representa apenas
40% da extensão de origem. (Cor-
reio Braziliense, 20/03/2002)
Questões que podem ser
propostas:
a) 5,7 mil km² é maior ou me-
nor que 3.250km²?
b) Qual era a extensão original
da plataforma ?
Ou seja, chamando a extensão original de Q e sabendo-se que houve uma perda
de 5,7 mil km², tendo sobrado 40% de Q, pergunta-se quanto valia Q?
Distribua as atividades e situações-problema aos grupos e deixe-os trabalharem,
manifestarem suas hipóteses e suas dúvidas.
Percorra os grupos e não se esqueça de que há várias maneiras de fazer os cálcu-
los, como regra de três, multiplicação de uma fração ou uma razão por certo valor, uso
de fatores decimais etc. Observe se esses ou outros procedimentos interessantes surgem
Uma aprendizagem ativa supõe que os alunos envolvam-se, em pensamento e
atividades, nos temas que estão sendo tratados. Cuidado! A aprendizagem ativa não
se limita a algumas perguntas que o professor faz à classe antes de começar a discur-
sar, nem se constitui numa atividade que se “faz” após uma explicação do professor.
Ela está diretamente relacionada com o fazer matemático do aluno.
Aprendendo sobre Educação Matemática – Aprendizagem ativa

Unidade3
137
Para saber mais – A representação fracionária de um número decimal
Você aprendeu a passar da forma fracionária para a forma decimal de uma fração, no
quadro Articulando conhecimentos 4. Mas como seria o contrário: passar da forma
decimal para a forma fracionária ?
Se você partir de uma representação decimal finita ou exata de uma fração, isso
será fácil:
Se você tiver uma representação decimal infinita periódica, será um pouco mais
complicado passá-la para a forma fracionária, pois para entender isso precisará usar
equações. Apenas para dar uma idéia:
1) Imagine que você quer saber a forma fracionária de 0,77777... Como você não
conhece essa fração, pode chamá-la de x:
x = 0,7777... (1)
Podemos fazer muitas mudanças nessa equação, de modo que as novas equa-
ções terão ainda a mesma solução x. Algum matemático descobriu que uma mudan-
ça útil para descobrir a forma fracionária é multiplicar a equação por 10:
10x = 7,777... (2)
Descobriu também que, em seguida, devemos subtrair a equação (1) da equação (2):
Temos 9x = 7, e podemos concluir que x = 7/9.
Será verdade? Faça a divisão de 7 por 9 (pode ser na calculadora) e comprove o
resultado.
2) Se a representação decimal tiver um período com 2 algarismos, multiplique por
100 e faça de modo parecido ao anterior. Para descobrir a representação fracionária
de 0,383838... , faça x = 0, 383838... Portanto:
100 x = 38, 383838...
100x - x = 38,383838... - 0,3838...
99x = 38
x = 38/99. Novamente, faça a divisão e comprove!
Se a representação decimal tiver uma parte não periódica após a vírgula, deve-
mos proceder em duas etapas. Primeiro, multiplicar por uma potência de 10 tal que a
parte inteira do número resultante englobe a parte não periódica. Por exemplo,
x = 5,12343434... deve ser multiplicado por 100, obtendo-se 100x = 512,343434...
Depois, pensamos nesse número como .
nas soluções. Peça a dois representantes de cada grupo que apresentem e expliquem as
soluções. Ao final das apresentações, você terá oportunidade de fazer boas revisões
sobre os itens do RESUMINDO da seção 2.
12,859 = 12 + = 12859
1.000
859
1.000
512 + 0,3434... = 512 + 34
99

Seção3
138
Fazendo-se os cálculos (na forma fracionária) e dividindo-se o resultado por 100,
obtemos a forma fracionária do número dado.
Mas lembre-se: um número decimal infinito e sem período não pode ser escrito
na forma fracionária, pois trata-se de um número irracional.
Resumindo
Nesta seção, você teve a oportunidade de:
• Conhecer e produzir situações didáticas adequadas à série em que atua, envolvendo:
– Porcentagens de impostos que aparecem em notas fiscais.
– Projetos de coleta de preços e comparação entre imposto pago no preço pro-
mocional e imposto pago sobre o preço normal.
– Uso de dados encontrados em jornais e revistas para elaboração de questões
variadas relativas a porcentagem.
– Relação com preservação ambiental – perda de massa de gelo polar por eleva-
ção da temperatura terrestre.
• Repensar o significado de transposição didática.
• Caracterizar o fazer matemático do aluno.
• Refletir sobre aprendizagem ativa.

Unidade3
139
Leituras sugeridas
TINOCO, L. A. A. (coord.). Razões e Proporções. Instituto de Matemática/UFRJ – Projeto
Fundão – SPEC/PADCT/CAPES. Rio de Janeiro, 1997.
O livro originou-se de uma apostila do Projeto Fundão, voltado para a formação de
professores em serviço. Introduz de modo claro os conceitos de razão e proporção,
explora a Propriedade Fundamental das Proporções e traz aplicações à resolução de
problemas. Trabalha com grandezas diretamente e inversamente proporcionais, explora
a divisão de um todo em partes diretamente e inversamente proporcionais, e apresenta
problemas de proporcionalidade envolvendo três grandezas, explorando, para isso, re-
gras de três simples e composta.
O livro articula o tema trabalhado a representações gráficas e a questões geométri-
cas, como semelhança e o Teorema de Tales. Encontram-se no livro muitas atividades,
bastante úteis à compreensão dos conceitos envolvidos e adequadas para a sala de aula.
IMENES, L.M.; JAKUBO, J.; LELLIS, M. Proporções. Coleção Para que serve Matemática?
São Paulo: Atual, 1992.
O livro é formado de pequenos textos relacionados ao tema proporções, atraentes e
de leitura agradável. Eles abordam várias respostas à questão: para que servem as propor-
ções? Além de vários exemplos do mundo real que usam o conceito de proporção, o
professor terá oportunidade de clarear seu entendimento sobre proporções diretas e in-
versas e sobre a questão da divisão proporcional de lucros e despesa.
Trata-se de um livro curto, paradidático, com atividades úteis para o professor e
para o aluno.

140
BERTONI, N.E. Frações: da forma fracionária à decimal - A lógica do processo. In:
Revista do Professor de Matemática, 34. Rio de Janeiro: SBM, 1997. p. 9-13.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (5a
a 8a
série). Brasília: MEC/SEF, 1998. p.148.
PIAGET, Jean. Epistemologia Genética; trad. Nathanael C. Caixeiro. São Paulo: Abril
Cultural. 1983.
TROPFKE, J. Geschichte der Elementarmathematik (Volume 1). Berlin, New York: de
Gruyter, 1980.
Bibliografia

141
Currículo de matemática em rede
Na proposta da matemática do GESTAR de 5ª a 8ª séries, são pontos chaves na
construção do conhecimento matemático:
• resolução de situação-problema,
• exploração do conhecimento em ação,
• significação da matemática em situações de contextos da realidade do professor,
• concepção de situação didática como atividade meio da aprendizagem matemática,
tendo por objetivo maior do ensino a capacitação do aluno em resolver situações mate-
máticas fora do contexto escolar.
Isto imprime novas concepções acerca da produção do conhecimento matemático,
numa visão mais dinâmica do processo construído, seja pelo aluno, seja pela civilização
ao longo de sua história.
Os campos conceituais e o currículo em rede
Esta nova visão sobre o conhecimento matemático leva em consideração a complexida-
de do movimento, das lógicas, das relações e dos conceitos presentes na atividade
matemática quando esta se realiza em contextos mais amplos que os das situações-
didáticas.
Nesta concepção de conhecimento matemático, um suporte teórico importante é a
noção dos campos conceituais. Esta importância diz respeito à inadequação da fragmen-
tação do conhecimento matemático. Vergnaud, autor da Teoria dos Campos Conceitu-
ais1
, sustenta em sua tese que:
1 Maior explicitação da teoria dos campos conceituais pode ser encontrada no texto de referência sobre “Conceitos em Ação”
2 Epistemológico diz respeito à construção de conhecimento, ligado à teoria das ciências com seus métodos e fundamentos lógicos
acerca do processo de produção, validação e difusão do conhecimento.
Cada conceito matemático deve ser considerado como participante de um cam-
po conceitual, que agrupa, dá sentido e dinamicidade a cada conceito definindo o
campo.O conjunto de conceitos interconectados constitui o que denominamos de
campo conceitual.
Desse modo, o estudo de um conceito matemático nos obriga a considerar as
múltiplas relações deste com os demais conceitos pertencentes a um mesmo campo
epistemológico2
.

142
Tal enfoque aproxima-se, necessariamente, de uma visão curricular diferente da-
quela caracterizada pela fragmentação do conhecimento e de uma alocação linear dos
conteúdos, um atrás do outro, como corrente de pré-requisitos cujos elos são impossíveis
de serem rompidos: para mobilizar o conteúdo de um elo desta corrente linear, os elos
anteriormentes posicionados devem ter sido trabalhados e aprendidos.
Pontos essenciais na concepção de currículo em rede
Buscamos no GESTAR uma concepção de aprendizagem da matemática e de seu ensino
que leve em conta a integração entre os vários elementos internos da matemática (seus
objetos, suas representações e teoremas) assim como da matemática com outras áreas do
conhecimento humano. Essa concepção está fundada na idéia de currículo em rede,
caracterizado por:
• Cada conteúdo, ou nó da rede, articula-se com os demais, via uma sucessão de
cruzamentos e amarrações.
• Cada nó, ou seja, cada conteúdo, é para o educador uma porta de entrada que dá
possibilidades de acesso a outros a este conectado.
• Para atingir um nó, que representa um conteúdo a ser trabalhado, muitos são
os caminhos possíveis. O caminho mais curto nem sempre é o melhor para a
aprendizagem.
• Ao “puxar” um ponto, ou seja, ao agir sobre um conteúdo, os demais também
mexem, sendo uns mais e outros menos, dependendo tanto da proximidade episteme-
ológica (articulação conceitual entre eles) quanto do tipo de conexão conceitual que
existe entre eles.
• A forma como “pegamos” ou “dobramos” a rede pode fazer com que pontos que
estariam inicialmente distantes, possam conceitualmente vir a se encontrarem próximos.
Essa concepção de currículo em rede no ensino da matemática ganha força e forma
a partir sobretudo de novas maneiras de se considerar as possibilidades de organização
curricular e de prática pedagógica propagadas no meio da educação matemática, e mais
recentemente, nos Parâmetros Curriculares Nacionais. Alguns dos elementos que contri-
buem para a construção do currículo em rede e ajudam na construção de um currículo
mais dinâmico e menos fragmentário são:
• Temas transversais: são contextos mais amplos que a própria matemática, de interesse
sociocultural da comunidade escolar nos quais a matemática pode ser inserida como
instrumento de leitura e de transformação da realidade.
• Pedagogia de projetos: ações pedagógicas de previsão de transformação de uma
realidade local onde a matemática pode formecer ferramentas para a ação reflexiva e
pragmática.
• Modelagem no ensino: tradução de uma dada realidade num modelo matemático.
Implica na construção de uma outra realidade, essa abstrata, cujo modelo pode servir de
manipulação pelo aluno. De certa forma, agir sobre o modelo deve significar agir sobre a
realidade. O modelo se aproxima do ideal quanto mais os resultados produzidos no
modelo abstrato implicarem resultados análogos na realidade.

Unidade3
143
O que faz com que concebamos um currículo em rede?
A fragmentação dos conteúdos, a linearidade em forma de pré-requisitos, a não-trans-
posição de conhecimentos de uma situação para outra (os conhecimentos são ilhados,
não favorecendo a transposição de saberes), o conhecimento construído em contextos
que não permitem ao aluno ver a possibilidade de sua aplicação na realidade (o
conhecimento é de tal forma esfacelado e desconfigurado, que o aluno não sabe como
reordená-lo, reorganizá-lo, reintegrá-lo a situações reais) e o ensino da matemática
como disciplina formal são alguns dos problemas citados até o presente momento que
impulsionam educadores matemática, como D’Ambrósio e Machado, a proporem uma
educação matemática mais articulada, dinâmica, mais significativa em relação aos
contextos culturais.
O que se busca num currículo em rede?
Essa visão fragmentada do conhecimento é negada nos últimos tempos em outras
áreas do conhecimento, onde se propõe novos paradigmas sustentados em idéias de
interação, relação, integração, conexão, interligação, teia e rede, tais como nos
aponta Pires3
:
• Interdisciplinaridade na Pedagogia
• Analogia na Ciência
• Sistêmica da vida na Biologia
• Teia na Física
• Inteligências múltiplas na Psicologia
• Conhecimento em rede na Comunicação
• Hipertexto na Tecnologia da Informação
• Teias de aprendizagem na Educação
Esses termos revelam que a busca por nova abordagem da constituição do conheci-
mento não é uma exclusividade da educação matemática, mas, ao contrário, a nossa
preocupação enquadra-se num contexto de inquietação sobre o significado de conheci-
mento no mundo atual, em uma perspectiva mais ampla.
3 Tese de doutorado pela USP sob orientação de Nilson José Machado.
Ainda não sabemos como as mudanças radicais influenciando a Arte, Literatura,
Matemática, Filosofia, Teoria Política, Ciência e Teologia [...] afetarão a educação e o
currículo [...] acredito que vai surgir um novo senso de ordem educacional, assim
como novas relações entre professores e alunos, culminando em um novo conceito
de currículo. O sistema de ordenamento linear, seqüencial, facilmente quantificável
que domina a Educação, atualmente - que se centra em inícios claros e fins definidos

144
– pode dar lugar a um sistema ou rede mais complexo, pluralista e impredizível. Tal
rede complexa, como a própria vida, estará sempre em transição, em processo. Uma
rede em processo é uma rede transformativa, continuamente emergente – indo além da
estabilidade para aproveitar os poderes criativos inerentes à instabilidade. (Doll, Jr. W.E.
Currículo: uma perspectiva pós-moderna. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997, p 19.
O que se busca é por vezes a ruptura com as fronteiras das disciplinas, permitindo
uma maior e melhor navegação entre diferentes objetos de conhecimento, sobretudo
vendo a complexidade das situações-problema que a realidade nos impõe, que não
podem ser resolvidas exclusivamente por uma área de conhecimento. A competência
em resolver situações-problema é associada à capacidade do aluno em navegar entre
diferentes áreas de conhecimento estabelecendo conexões entre elas.
Para dar conta da complexidade da realidade4
, não será com modelos excessiva-
mente simplificados que a escola poderá formar indivíduos aptos para a vida.
4 Ver em Edgar Morin a Teoria da Complexidade.
O professor como elemento importante
na construção de um currículo em rede
A construção de um currículo em rede só é possível a partir de uma nova postura do
professor diante do conhecimento. Enquanto o professor tiver uma visão fragmentada do
conhecimento matemático dividido de forma absoluta em álgebra, geometria, análise,
topologia etc., pouca contribuição ele poderá dar para essa construção.
A construção de um currículo em rede requer que o professor aceite a possibilidade
de realizar um trabalho pedagógico não linear, que não se baseie na lógica do currículo
fundado em disciplinas. É vital que o professor busque promover as interconexões entre
os conceitos e procedimentos matemáticos presentes no processo de resolução de situa-
ção-problema, e esse é um objetivo importante na nossa formação no GESTAR.
A construção de um currículo de matemática em rede requer um trabalho coletivo
de todos os envolvidos no projeto pedagógico da escola e na construção do currículo.
Somente na construção de um novo projeto pedagógico da escola é que o professor
poderá sentir-se apoiado na busca de uma construção de novas formas de estruturação
do conhecimento.
Caso o professor não conceba, de forma integrada, a idéia da matemática com suas
subáreas, seus campos, seus objetos, não podemos pensar na sua participação na cons-
trução de um currículo em rede.

Unidade3
145
Um nova visão curricular: a perspectiva de rede
A proposta de trabalhar o ensino de matemática a partir da concepção do currículo em
rede é inovadora, sobretudo porque apela novos paradigmas acerca tanto da matemática
quanto de sua aprendizagem e de seu ensino. Tanto que o tema foi estudado na tese de
doutorado da pesquisadora e educadora matemática da PUC-SP, professora Célia Maria
Carolino Pires5
. Alguns pontos importantes apontados por Pires que contribuem para
nossa reflexão acerca do currículo em rede são:
• “A escola não pode, desse modo, deixar de considerar que compreender é apreender
significados. Mais que isso, deve levar em conta que aprender o significado de um objeto
ou de um acontecimento é vê-lo em suas relações com outros objetos ou acontecimen-
tos. Ou seja, os significados constituem feixes de relações. Essas relações articulam-se em
teias, em redes, construídas socialmente e individualmente, e estão em permanente esta-
do de atualização. Enfim, seja em nível individual ou social, a idéia de conhecer asseme-
lha-se à de enredar.
Outra discussão importante refere-se ao fato de que, ao propiciar a cada pessoa a
possibilidade de desenvolver capacidades como a de estabelecer conexões entre diferen-
tes contextos de significação, a de transferir relações de um feixe a outro, a de desenvol-
ver novos significados, a escola estaria contribuindo para o desenvolvimento da inteli-
gência” (página 140).
• “(...) a análise de uma situação-problema leva o aluno a tecer uma rede em que podem
ser observados os princípios que a caracterizam, ou seja, de metamorfose (quando se
reconstróem/renegociam elementos do problema), de heterogeneidade (muitos elemen-
tos de características diferentes integram um problema – texto, interpretação, representa-
ções etc.), de multiplicidade (cada elemento pode se revelar composto por toda uma
nova rede), de exterioridade (quando se vai buscar elementos novos fora do próprio
campo matemático ou em outros campos da Matemática) etc.” (p. 166 e 167).
• “Um desenho curricular deve ser composto por uma pluralidade de pontos, ligados
entre si por uma pluralidade de ramificações/caminhos, em que nenhum ponto (ou
caminho) seja privilegiado em relação a outro, nem univocamente subordinado a qual-
quer um. Os caminhos percorridos, embora lineares, não devem ser vistos como os
únicos possíveis; um percurso pode incluir tantos pontos quantos desejarmos e, em
particular, todos os pontos da rede. Então, não existe um caminho logicamente necessá-
rio e, eventualmente, o mais curto pode ser mais difícil e menos interessante que outro
mais longo. Escolhidos alguns temas (nós), não importa quais, os primeiros fios começam
a ser puxados, dando início a percursos ditados pelas significações numa ampliação de
eixos temáticos. Com isso, há condições de se fazer com que o estudo de qualquer
conteúdo seja significativo para o aluno e não justificado apenas pela sua qualidade de
pré-requisito para o estudo de outro conteúdo. Esse procedimento abre perspectivas para
a abordagem interdisciplinar, pois na medida em que cada professor busca relações de
cada tema com outros assuntos – estejam eles no interior de sua disciplina ou fora dele –
ela muito provavelmente ocorrerá” (p. 195-196).
5 Tese de doutorado em Educação “Currículos de Matemática e Movimentos de Reforma” Universidade de São Paulo.

146
Resolução de situação-problema e o currículo em rede
A resolução de situação-problema é um bom exercício e início na experimentação do
professor de novas dinâmicas de relações entre os conteúdos matemáticos. Na situa-
ção-problema os objetos e conceitos matemáticos aparecem sob uma lógica não ade-
quada ao currículo tradicional e fundado nas disciplinas.
Lançar-se no contexto da resolução de situação-problema é uma porta de entrada
interessante para uma ressignificação do currículo de matemática, que nos leva a per-
ceber o quanto é artificial a fragmentação curricular imposta pela escola.
Na conclusão de sua tese, Pires acentua a importância da resolução de situação-
problema da construção de uma proposta curricular em rede, distanciando de uma
concepção linear na organização do conhecimento matemático:
(...) “a resolução de problemas surge como estratégia de grande importância e a
pesquisa nessa área deve ser cada vez mais incentivada. Os princípios de funciona-
mento de rede nos mostram que, sendo seus nós e caminhos heterogêneos – isto é, as
relações ora de natureza lógica, ora de natureza causal, correlacional –, em termos
curriculares, as analogias e metáforas devem ser usadas com mais freqüência nas práti-
cas docentes e incorporadas aos procedimentos metodológicos” (página 198).
Whitehead6
destaca a importância da experiência e a conexão da atividade mate-
mática com a realidade, ao escrever que:
“Não ensine assuntos demais... aquilo que você ensinar, ensine cuidadosamente
.. faça com que as idéias introduzidas na educação de uma criança sejam poucas e
importantes, e faça com que elas sejam lançadas em todas as combinações possíveis”
(página158).
Whitehead acreditava que a abstração matemática estava historicamente (e erro-
neamente) associada a proposições universais separadas das experiências dos sentidos.
Para ele, as abstrações matemáticas transmitem o poder de criar, de tornar concreta
uma infinidade de possibilidades. A experiência não é veículo para nos ajudar a com-
preender a realidade separada de nós mesmos ... A experiência é a realidade de nossa
existência.
Como reflexão final, deixamos as idéias de Doll acerca do currículo em rede:
“Nessa estrutura, os métodos tradicionais de avaliação tornam-se irrelevantes;
a autoridade deixa de ser um “fora de” externo e passa a ser um “aqui” comunal e
dialógico. [...] Finalmente, o currículo não será visto como uma “pista de corridas”
[...] e sim como uma passagem de transformação pessoal” (1997, página 20).
6 Inglês, foi um excelente matemático e um filósofo provocativo. Foi professor das Universidades de Cambridge (Inglaterra) e de
Harvard 5 (Estados Unidos).

Unidade3
147
Atividades
1. Escolha uma das situações-problema proposta neste TP. Identifique os diferentes con-
ceitos matemáticos nele mobilizados. Reflita sobre as articulações entre esses conceitos
durante o processo de resolução. Tente fazer um esquema (chamado também de mapa
conceitual) representando as interações entre os diferentes conceitos.
2. Analise a proposta curricular de Matemática de sua escola e busque verificar a existên-
cia de alguma tentativa de se constituir o currículo de Matemática na forma de rede.

Unidade3
151
Atividade 1
Arrecadação de janeiro a novembro de 2001: 178 bilhões
20% desse total: 20/100 de 178 = 35,6 bilhões pagos por pessoas físicas.
178 – 35,6= 142,4 bilhões pagos pelas pessoas não físicas. Como essa quantia é maior
do que 140 bilhões, o item deve ser julgado CORRETO.
Redução havida: 740,00 – 677,00 = 63,00
Um modo de resolver:17,5% de 740,00 = 17,5/100 de 740,00 = 17,5 x 7,40 = 129,50.
A redução havida (63,00) foi menor do que 17,5%.
Outra solução: 63,00 corresponde a quantos % de 740,00?
63,00 = x 740,00 x = 6.300,00 740,00 = 630 74 = 8,51
Ou seja, a redução foi de apenas 8,51%. O item está errado.
No caso de um salário de R$1.800,00, a tabela fornece a alíquota de 15% e a parcela a
deduzir de R$135,00. Ou o candidato já sabe calcular o Imposto de Renda ou pode
calcular observando o exemplo abaixo da tabela:
15% de 1.800,00 = 270,00, menos 135,00 dará 135,00. O item está correto.
Os que recebiam de 900 a 1.057,51 pagavam antes e não pagam na nova.
1057,51: Antiga: 15/100 x 1.057,51 – 135,00
Nova: 15/100 x 1.057,51 – 158,625 O valor diminui.
1800,00: Antiga: 15/100 x 1.800,00 – 135,00
Nova: 15/100 x 1.800,00 – 158,625 O valor diminui.
2115,00: Antiga: 27,5/100 x 2.115,00 – 360,00 = 221,625
Nova: 15/100 x 2.115,00 – 158,625 = 158,625. O valor diminui.
Haveria um valor x tal que 27,5/100 de x – 423,00 > 27,5/100 de x – 360?
Ou: – 423,00 > – 360? Isso nunca ocorre. O item 4 está errado.
.. ..
Atividade 2
a) A porcentagem de 17,5% foi aplicada aos limites das faixas da tabela progressiva
antiga para o cálculo do Imposto de Renda.
b) Veja dois valores aos quais foi aplicada essa porcentagem (poderiam ser outros)
LIMITES
Tabela antiga Tabela nova
Até 900,00
Acima de 1.800
Até 900,00 + (17,5% de 900,00) = 1.057,50
Acima de (1.800+17,5% de 1800) = 2.115
c) 17,5% foi uma porcentagem de aumento nos limites das faixas, que acarretou diminui-
ção no Imposto de Renda a ser pago.
A resposta correta é: Depende. Sobre as faixas, significa aumento; sobre o imposto,
significa diminuição.
x
100

152
Atividade 3
Resposta pessoal.
Atividade 4
Resposta pessoal. Assumindo que porcentagem é uma fração de denominador 100, os
especialistas estavam corretos. Mas, na verdade, a questão está mal formulada, pois essa
afirmação é falsa.
Lendo o desenvolvimento da Unidade após a atividade, você poderá concluir se sua
opinião estava correta ou não.
Atividade 8
a) Porcentagem de aumento do lado
É preciso atenção nesse cálculo. O lado aumentou de 2cm=0,02m= m
Atividade 6
Pode-se pensar: 30/100 de T (total) em T corresponde a quanto em 100?
Atividade 7
Pelo quadro Resumindo, temos dois modos de calcular:
1) 20 corresponde a quantos centésimos de 180?
2) 20 reais em 180 reais corresponde a quantos reais em 100 reais?
Ambos caminhos nos mostram que a porcentagem vale (100/9)% =11,1111...%.
Atividade 5
a) Resposta pessoal.
b) De acordo com o que você viu no exemplo 2, não podemos dizer que essa afirmação
é matematicamente correta, pois há casos em que ela não vale.
2
100

Unidade3
153
Atividade 9
1o
) 250 100 = 2,5 ; 9,5 x 2,5 = 23,75
2o
)
3o
)
..
Isso poderia dar a impressão de que a porcentagem de aumento do lado foi de 2%.
Cuidado! Porcentagem significa a variação em 100 unidades às quais o todo se refere. Se
estamos lidando com metros, é a variação em 100m. Veja:
Se o aumento no lado (que vale m) foi de 2cm (0,02m), qual seria o aumento em 100
m? Podemos achar a porcentagem por uma proporcionalidade. Ou seja:
o aumento do lado
foi de %.
Outro modo de calcular seria vendo quantos centésimos do todo o aumento representa:
b) Porcentagem de aumento da área
A área inicial vale 2m2
. Após o aumento do lado a área fica:
( + 0,02)² = 2 + 0,0004 + 2( x 0,02)
Aumento (absoluto) da área (ou diferença entre as duas áreas): 0,0004 + 0,04 2.
Aumento percentual da área:
Multiplicando em cruz a última igualdade temos:
(0,0004 + 0,04 ) x 100 = 2x. Logo 0,04+ 4 = 2x e portanto
x = 0,02+2
Outra maneira de calcular seria procurando responder à pergunta: o aumento da área
corresponde a quantos centésimos do seu valor?
aumento da área
Multiplicando os dois membros por 100, temos: 0,04 + 4 2= ? x 2
Dividindo ambos os membros por 2, obteremos que a porcentagem de aumento da área
foi de (2 +0,02)%.
valor da área

154
Atividade 10
a1
) Como uma ordem para dividir por 100.
a2
) Justificativas possíveis:
– Teclando 9,5 % 250 =
Após as duas primeiras teclas aparece 0; teclando-se 250 e = permanece no visor
250. Significa que a calculadora não atribui qualquer significado a um número seguido
de %, por isso ela limpa o visor.
– Teclando % 9,5 250 =
Teclando %, nada aparece no visor, significando que a calculadora não atribui
significado a esse símbolo isoladamente. Teclando-se 9,5 e depois 250 ela forma o
número 9,5250; teclando-se o = ela simplifica esse número para 9,525.
– Teclando 250 % 9,5 =
Após as duas primeiras teclas aparece 0 (a calculadora limpa o visor pois não
atribui qualquer significado a um número seguido de %); teclando-se 9,5 e = permanece
no visor o 9,5.
b) Calcule, usando a calculadora:
b1
) 12% de 524
524 x 12 % (aparece 62,88 no visor).
5 2 4 x 1 2 %
ou
1 2 x 5 2 4 %
b2
) Devemos somar 524 ao resultado obtido em a). Você deve ter tentado isso de várias
maneiras. Em algumas calculadoras, basta fazer:
5 2 4 x 1 2 %
e, após surgir 62,88 no visor, teclar + =
Aparecerá no visor o total 586,88.
Você pode também usar a memória da calculadora. Para isso, logo após aparecer
62,88 no visor, digite M+ e limpe o visor. Para somar 524, tecle esse valor e depois M+
(ele também vai para a memória da calculadora). Limpe o visor. Tecle MRC (ou MR,
dependendo da calculadora). Pronto - a calculadora fará uma soma algébrica dos valo-
res positivos ou negativos armazenados e lhe dá a resposta: 586,88.
Resumindo: Para calcular 524 mais um aumento de 12% (usando memória):
5 2 4 x 1 2 % M+ C 5 2 4 M+ C MRC

Unidade3
155
Usamos C para indicar a tecla que limpa o visor (Pode ser ON/CE, CLR, etc.).
A operação é comutativa: você poderá digitar 524, colocá-lo na memória, limpar;
depois começar o cálculo de 12% de 524, colocá-lo na memória e limpar. Ao final,
clique MR para obter o total.
b3
) Pelo modo mais fácil:
5 2 4 x 1 2 % M- C 5 2 4 M+ C MRC
Usamos C para indicar a tecla que limpa o visor (Pode ser ON/CE, CLR, etc.).
Repare que você usou M- porque queria que o valor 62,88 fosse armazenado com
sinal negativo.
MRC também pode ser usado para apagar a memória da calculadora: clique e fique
apertando até desaparecer o M do visor.
Atividade 11
Resposta no texto.
Atividade 12
Basta que uma mulher se abstenha na 2a
votação. Teremos 98 votos femininos em
100 pessoas presentes.
Atividade 13
(3) (2) (4) (1) ( )
Atividade 14
Resposta pessoal.
Situação-problema para os alunos
a)
b) 118,09 representa 10% de 1.180,91
c) Valores dos impostos sem desconto:
ICMS: 12% de 1.850,00 = 0,12x1.850,00 = 222,00
IPI: 10% de 1.850,00 = 185,00
Sim, quando se obtém um desconto, paga-se também menos imposto.
Atividade 15
Resposta pessoal.

156
Atividade 16
a) 5,7 mil = 5.700,00 > 3.250
b) Q - 5,7 mil = (40/100) Q
100Q - 570 mil = 40Q
100Q - 570.000 = 40Q
60Q = 570.000
Q = 9.500km2

157
Unidade 4
Impostos, gráficos, números negativos
Nilza Eigenheer Bertoni
Olá! Como vão os estudos?
Você já sabe que, em cada Unidade dos módulos, nossa intenção é discutir assun-
tos integrando situações-problema, conteúdos matemáticos específicos, conteúdos de
educação matemática e propostas de situações para a sala de aula. Esperamos que isso
possa gerar muita reflexão e troca de idéias entre vocês.
O tema desta unidade propicia o desenvolvimento do conhecimento matemático
integrado a vários outros: a matemática dos muitos impostos e taxas pagos pelo cidadão
brasileiro, o crescimento da carga tributária em dez anos, o pagamento de impostos
indiretos e a má organização dos contribuintes.
A situação-problema da seção 1, que na unidade anterior abordou o Imposto de
Renda, nesta unidade tratará dos diversos impostos pagos por uma pessoa, em nosso país.
Se, na unidade anterior, o tema da situação-problema não atingia diretamente muitos
professores (por estarem isentos daquele imposto), o tema desta unidade atinge todos indis-
tintamente. Você ficará surpreso de ver a quantidade de impostos que paga, até sem saber.
Esse tema vai gerar reflexões sobre a possibilidade de se fazerem certas economias e sobre
uma participação maior nas campanhas contra aumento de taxas e impostos.
A situação-problema ensejará o desenvolvimento, na seção 2, de gráficos não
cartesianos, que nos permitirão avaliar melhor o impacto dos impostos em nosso orça-
mento. Outros conhecimentos matemáticos aparecerão naturalmente – números negati-
vos, ângulos – formando entre si uma rede interconectada.
Na seção 3, que trata de idéias para o desenvolvimento dos conteúdos junto aos
alunos, vamos entrar no terreno do que tem sido chamado educação tributária, relevante
na formação do cidadão. Os alunos não precisam saber muitas leis e regras, mas podem
e devem saber fatos do cotidiano nos quais podem interferir.
Por fim, o texto de referência sobre educação matemática abordará o tema transpo-
sição didática. Você poderá saber melhor porque esse é o título geral da terceira seção
de todas as unidades.
Ao longo desta unidade, esperamos que você possa:
1 – Com relação aos seus conhecimentos matemáticos:
- Resolver uma situação-problema relacionada à economia de gastos em situações
da vida cotidiana (seção 1).
Definindo o
nosso percurso
Iniciando a
nossa conversa

158
- Apresentar dados em tabelas e gráficos não cartesianos, estabelecendo conexões
entre eles e conceitos relacionados: proporções, números negativos, traçado de
ângulos. Esses conteúdos serão desenvolvidos na seção 2.
2 – Com relação aos seus conhecimentos sobre educação matemática:
- Identificar vantagens da aprendizagem de conhecimentos em ação e integrados,
desenvolvendo a proposta curricular de forma mais solta e flexível (seções 2 e 3).
- Rever o papel de variadas representações na exploração de um conceito matemá-
tico – a teoria do Jogo de Quadros em educação matemática (seção 3).
- Compreender o conceito de transposição didática, desenvolvido no texto de refe-
rência.
3 – Do ponto de vista de sua atuação em sala de aula, integrando a teoria e a prática em
educação matemática:
- Conhecer e produzir situações didáticas, envolvendo gráficos, números negativos,
proporções e traçado de ângulos, adequadas à série em que atua.
- Compreender a educação matemática integrada à formação global do aluno, em
particular à educação tributária.
Esses conhecimentos serão desenvolvidos na seção 3.
Seção 1
Resolução de situação-problema: Impostos
e carga tributária – Cálculos e Porcentagens
• Identificar taxas pagas pelo cidadão de nosso país aos governos federal, estadual
e municipal e construir tabelas para sua apresentação.
• Mobilizar conhecimentos e habilidades para resolver uma situação-problema.
Objetivo
da seção
Lápis e papel à mão e bastante disposição! Se ela estiver faltando, levante-se, faça
um alongamento dos membros e da coluna, vá respirar ar puro, tome água, suco ou
café e volte tinindo, para participar de um trabalho criativo que o nosso grupo
idealizou e realizou para você. Muitas surpresas o esperam! Sucesso!

Unidade4
159
Situação-problema
Introdução ao problema
A professora Selma percebeu que seu salário não estava dando para os gastos mensais
que estava acostumada a fazer. Trabalhando dois períodos e com filhos pequenos, estava
muito difícil conseguir aumentar sua renda. O jeito foi cortar gastos, mas, mesmo após
isso, o salário continuou insuficiente.
Ela não queria admitir mas percebeu que o cigarro, além de fazer mal à saúde,
pesava bastante no orçamento. Comparado com o gasto mensal de pão, o de cigarro
ganhava longe. Por que será que cigarro é tão caro? Será que o Brasil precisa importar
fumo? – pensou ela. Um colega da escola deu-lhe uma dica: é por causa do imposto,
disse ele. Isso foi suficiente para a professora Selma começar a pensar se não daria para
ela economizar em impostos, mas legalmente, sem sonegação. Ela começou a ler, pes-
quisar, perguntar e a descobrir quanto pagava de impostos. Mas o problema dela era
saber se haveria possibilidade de economizar nesses impostos, e de quanto poderia ser
essa economia.
Integrando a matemática ao mundo real – A carga tributária do brasileiro
Na Unidade anterior, você viu a questão do IRPF (Imposto de Renda de Pessoa
Física), do ICMS (Imposto sobre Circulação de Mercadorias e Serviços) e do IPI
(Imposto sobre Produtos Industrializados). Serão eles os únicos impostos pagos por
você e sua família, ou haverá outros?
Na verdade, esses impostos fazem parte do que é chamada a carga tributária do
cidadão – impostos que são pagos aos governos federal, estadual e municipal. Como
veremos, há muito mais impostos além desses três.
Na maioria das vezes, o cidadão não sabe exatamente em que situações está
pagando impostos e como os cálculos desses impostos são feitos. Por exemplo: ao
comprar em supermercados, farmácias e lojas, está pagando imposto? Quanto? Paga
mais ao comprar arroz ou ao comprar cigarro? Às vezes, mesmo sabendo da existên-
cia do imposto, não confere se ele está sendo cobrado corretamente. Ocorre ainda
de o cidadão desconhecer os direitos que adquire por meio de determinado paga-
mento e, por isso, não reclamá-los. É o caso do seguro obrigatório para veículos, sem
o qual eles não podem ser licenciados. Esse seguro garante uma indenização a
qualquer pessoa vítima de um acidente de trânsito, seja motorista, passageiro ou
pedestre. Em inúmeros casos, por desconhecer o que o seguro garante, ou os locais e
prazos para fazer a solicitação, a vítima deixa de receber a indenização.
Nos últimos tempos, vários assuntos sobre impostos têm sido veiculados na mídia.
Entre os temas bastante discutidos estão o aumento da arrecadação tributária, os impostos
indiretos, a bitributação e a necessidade de uma reforma tributária. Exemplos de impostos
indiretos são o IPI e o ICMS, que você paga, por exemplo, ao comprar mercadorias. Mais
recentemente, a necessidade de os contribuintes organizarem-se em associações e partici-
parem ativamente das mesmas tem sido discutida. São organizações nas quais os contri-
buintes se organizam para contestar judicialmente questões ligadas à tributação e defen-
der a implantação de leis mais justas relacionadas ao assunto.

Resolução de situação-problema: Impostos e carga tributária – Cálculos e Porcentagens
Seção1
160
Para entender bem as informações que ela colheu ao longo de algumas semanas,
você deverá fazer, na atividade abaixo, um cálculo semelhante ao que a professora
Selma fez, voltado, entretanto, para seus próprios gastos com impostos. Será uma
atividade longa pois, afinal, corresponde ao que ela precisou de quase um mês para
fazer. Por outro lado, as coisas estarão mais fáceis para você, que poderá aproveitar os
resultados da pesquisa sobre impostos feita pela professora, entrando com seus própri-
os gastos. Após a atividade, contudo, virá a situação-problema: a partir do seu orça-
mento doméstico e dos impostos que você paga, saber em quais deles você poderá
economizar, e quanto.
Atividade 1
Prepare-se: esta será uma longa atividade. Isso ocorre com freqüência, quando
queremos ir a fundo na matemática presente em nossa vida. A tarefa é a seguinte: você
deverá fazer um levantamento sobre os impostos e taxas que você e sua família pagam
obrigatoriamente, todo ano, seja ao município, ao estado ou à Federação, seguindo as
informações que a professora Selma conseguiu.
Calcular o montante dos gastos com taxas e impostos não é tarefa rápida nem
simples. A professora Selma lembrou-se ou ficou sabendo desses impostos aos poucos,
foi agrupando-os e calculando os gastos que tinha com cada um deles. Como ela, nós
dividimos essa atividade em várias etapas (cinco ao todo), agrupando em cada uma
alguns impostos.
Os tributos cobrados no Brasil dividem-se em: Impostos, Taxas, Contribuições
Parafiscais, Contribuições de Melhoria e Empréstimos Compulsórios. Como exemplos
de taxas, que podem ser cobradas pelos governos federal, estadual e municipal, temos
a Taxa de Conservação e Limpeza, Taxa de Coleta de Lixo, Taxa de Iluminação Públi-
ca, Taxa de Emissão de Documentos, Taxa de Alvará etc. As Contribuições Parafiscais
ou Especiais são cobradas principalmente pelo governo federal. Entre outras, temos:
INSS, FGTS, PIS/PASEP, CPMF, COFINS, CONTRIBUIÇÃO SINDICAL.
Os primeiros impostos lembrados pela professora, além do Imposto de Renda,
foram o IPTU e o IPVA. Além disso, ela lembrou-se do INSS, que é a contribuição
previdenciária obrigatória paga por servidores titulares de cargos efetivos da União, dos
estados, do Distritro Federal e dos municípios. Você começará sua lista por eles. Para
saber mais sobre cada um, leia os lembretes após a tabela.
Etapa 1 - Cálculo do que foi pago de IRPF, INSS, IPTU e IPVA
Construa uma tabela indicando esses tributos e quanto você pagou de cada
um deles.
Se ficou isento, marque R$0,00 no IRPF. Se teve que declarar, pegue sua declaração
de Imposto de Renda de Pessoa Física (IRPF), os carnês de IPTU e de IPVA seu ou de seu
marido. No do IPTU, veja se consta Taxa de Limpeza Urbana - TLP; no do IPVA, considere
também o DPVAT (ambos estão explicados nos lembretes). Na declaração do IR, não procu-
re o valor final (Imposto Devido ou Imposto a Restituir), mas procure o valor do Imposto a
Pagar. Esse é o valor que você efetivamente pagou, ao longo do ano, e complementou
depois, ou teve restituição, se já havia pago um valor maior. Agora preencha a tabela:

Unidade4
161
Lembrete
IPTU significa Imposto Predial e Terri-
torial Urbano. É um imposto munici-
pal, pago anualmente pelos proprietá-
rios de casas, prédios ou terrenos. Se o
imóvel está alugado, cabe ao inquili-
no pagar esse imposto. Portanto, se
você paga aluguel, pagou também o
IPTU.
Se você olhar seu carnê de paga-
mento do IPTU, conforme o município
em que você mora, verá que ele tem o
nome IPTU/TLP. Nesse caso, além do
IPTU, aparece um valor corresponden-
te à TLP – Taxa de Limpeza Urbana.
Lembrete
IPVA significa Imposto sobre Proprie-
dade de Veículo Automotor. É um im-
posto estadual, cobrado anualmen-
te, pago por todas as pessoas que
possuem carro, moto, aeronave ou
embarcação.
Esses proprietários têm mais uma taxa:
o Seguro Obrigatório (sem o que o veí-
culo não será licenciado), cuja sigla é
DPVAT, que significa Danos Causados
por Veículos Automotores. Ele garante
uma indenização a qualquer pessoa
vítima de um acidente de trânsito, seja
motorista, passageiro ou pedestre.
Lembrete
A contribuição para o INSS – Instituto Nacional do Seguro Social – vem todo mês
descontado do seu salário. Esse seguro cobre auxílio-doença, auxílio-acidente,
salário-maternidade, salário-família, aposentadoria. Ele corresponde a 11% do sa-
lário bruto. Some os valores mensais descontados e acrescente uma linha na
tabela para ela.
E aí? Será que se acabaram os impostos?
Etapa 2 – Impostos nas contas de luz e telefone
Você deverá lançar, na tabela que você iniciou, os impostos que você paga junto
com as tarifas de luz e telefone. Vá com calma, leia antes os comentários a seguir.
Será que você pensa, como ocorria com a professora Selma, que essas contas
incluem apenas o consumo de energia e o tempo gasto ao telefone, incluindo quan-
do muito uma taxa de assinatura básica? Pois está enganado. Nessas contas, estão
escondidos vários impostos: no caso do telefone, ocorrem tanto na operadora nacio-
nal quanto na regional. Veja os exemplos a seguir, que vão ajudá-lo a calcular seus
impostos pagos:
-
Impostos e taxas pagos Mensal Anual
Imposto de Renda (nada, se for isento ou
valor do Imposto a Pagar na declaração)
INSS
IPTU (total do ano)
TLP
IPVA
DPVAT (Seguro obrigatório)
-
-
-
-

Seção1
162
Na conta da Embratel (21) aparece o Resumo da Fatura:
O valor do ICMS corresponde a 35,04% do total dos serviços e o do PIS+COFINS a 5,11%.
Na conta da BrasilTelecom (14), temos:
Veja agora a conta de luz. Em Brasília, por exemplo, na conta da CEB (Companhia
Energética de Brasília), consta:
É bom saber que nem todo mundo paga ICMS sobre a conta de luz. Veja:
Cliente residencial, com consumo mensal de até 50kwh – isento
Cliente residencial, com consumo mensal entre 51kwh e 200kwh – 12%
Cliente residencial, com consumo mensal acima de 200kwh – 25%
A fatura inclui também uma Contribuição de I. Pública.
Veja o nome por extenso de alguns impostos que apareceram. Deixaremos para
depois a explicação do que é o ICMS (que apareceu nas três contas) e de quanto você
paga por ele, pois esse imposto vai incidir também em outras despesas.
PIS – Programa de Integração Social
COFINS – Contribuição para o Financiamento da Seguridade Social
FUNTTEL – Fundo para o Desenvolvimento Tecnológico das Telecomunicações
Agora você pode começar a anotar os seus dados para fazer a etapa 2 desta
atividade. Pegue suas contas de telefone (da operadora nacional e da operadora regio-
nal) e de luz do mês.
Observe se aparecem nelas PIS, COFINS e FUNTTEL. Fixe a atenção inicialmente no
PIS e COFINS. Anote o valor pago no mês (em cada conta telefônica) e multiplique cada
um por 12 para obter o valor aproximado anual. Some os dois totais, pois serão marcados
juntos. Reserve uma linha na sua tabela para o total desses dois impostos nas contas
telefônicas. Procure também o PIS e COFINS na conta de água, multiplique por 12 e lance
na tabela. Faça o mesmo para o FUNTTEL – lançando seu total em outra linha. Finalmente,
anote a Contribuição de Iluminação Pública mensal e multiplique por 12.
Acrescente à sua tabela os dados obtidos com relação a essas três contribuições.

Unidade4
163
Etapa 3 – O ICMS, o IPI e o ISS.
– Lançar na tabela os impostos pagos do ICMS, do IPI e do ISS (após as instruções a seguir).
Veja primeiro o que são esses impostos (dois deles apareceram na situação-proble-
ma para os alunos na Unidade anterior) e saiba como calculá-los.
O ICMS
Este imposto tem um nome comprido: Imposto sobre Operações Relativas à Circula-
ção de Mercadorias e sobre Prestações de Serviços de Transporte Interestadual e
Intermunicipal e de Comunicação (ufa!...). O pior é que a mordida dele é do mesmo
tamanho do nome. Sabe em que ocasiões você paga ICMS? Quando paga suas
contas de luz e telefone, quando faz compras no comércio ele aparece. Ele varia
conforme o produto e conforme o estado brasileiro onde estamos. Na maioria dos
casos, esse imposto não aparece explicitamente, porque já está embutido no preço
dos produtos. Entretanto, para certos alimentos básicos, como o arroz e o feijão, o
ICMS cobrado é de 7%. Para produtos considerados supérfluos, como cosméticos e
perfumes, é de 25%. Mas os campeões nessa lista são os cigarros e as bebidas destila-
das, para os quais você pode calcular uma média de 50% de imposto. No Estado de
São Paulo, para a maioria dos produtos, corresponde ao percentual de 18%, mas
atinge 85% para cigarros, 80% para bebidas destiladas e 70% para cerveja. Outros
itens em que o imposto é grande são os refrigerantes. Nos estados das regiões Sul e
Sudeste, o ICMS é, na maioria dos casos, de 12%; nos estados das regiões Norte,
Nordeste e Centro-Oeste e no Estado do Espírito Santo é de 7%. Não há como fugir
dele: como dissemos, no preço que você paga esse imposto já está embutido. O
comerciante deve repassá-lo ao governo estadual, mas, se não houver nota ou
cupom fiscal comprovando a venda, o comerciante embolsa esse imposto. Para
muitos estados, o ICMS é a maior fonte de recursos financeiros.
Se você pedisse e guardasse as notas fiscais de tudo que compra, poderia calcular o
que pagou de ICMS. Mas tente fazer uma estimativa: quanto você gasta no mês em
supermercado, papelaria, lojas, shopping, gasolina etc.? Não incluir gastos com cigarros,
bebidas, cosméticos, perfumes e eletrodomésticos. Multiplique cada um por 12 meses.
Suponha que obteve R$4.800,00 nas compras gerais. Nesse total, está incluída a por-
centagem mais usual sobre mercadorias do seu estado (7 por cento, para os estados das
regiões Norte, Nordeste e Centro-Oeste).
Todavia, como você pode saber qual o imposto aí incluído? Para isso, precisará
saber qual teria sido o preço das suas compras anuais, sem o ICMS, e fazer a diferença
entre ele e o preço realmente pago, que dará o valor do imposto.
Impostos e taxas Mensal Anual
PIS + COFINS:
Telefone
Luz
FUNTTEL (telefone)
Contribuição de I. Pública

Seção1
164
x + 7 x = 4.800,00
100
x + 0,07 x = 4.800,00
x(1+ 0,07) = 4.800,00
x(1,07) = 4.800,00 x = 4.800,00 1,07 x 4.486,00
..
Se esse era o preço das compras sem o imposto, você pagou de ICMS:
4.800,00 – 4.486,00 = 314,00.
Em resumo: divida o total de suas despesas anuais por 1,07 e calcule a diferença
entre o valor obtido e o total pago.
– Faça uma lista separada para cigarros, bebidas, cosméticos e perfumes, somando
a despesa anual em cada um desses itens. Lembre-se de que, entre os cosméticos, estão
incluídos algodão, cotonete, absorvente higiênico, aparelho de barbear, artigos de ma-
quiagem, creme dental, desodorante, fralda descartável, esmalte, perfume, sabonete,
xampu, escova de dentes etc.
Para cigarros e bebidas, calcule 40% de imposto (divida o total gasto por 1,4 e veja
a diferença entre esse valor e o total gasto).
Para cosméticos e perfumes, faça uma estimativa dos gastos e faça um cálculo
análogo. Como você pode pôr uma média de 15% de imposto, divida o total de suas
despesas anuais por 1,15 e calcule a diferença entre esse quociente e o total pago.
Para eletrodomésticos, olhe na nota fiscal – ela traz o valor do ICMS pago.
Mas não se esqueça de que esse foi apenas o valor que você conseguiu calcular
do ICMS pago por você, que, na realidade, foi bem maior, porque você colocou
apenas as compras das quais se lembrou.
Para o ICMS, abra pelo menos seis linhas na sua tabela: duas para as contas de luz
e telefone, uma para as de mercadorias gerais compradas, outra para as de supérfluos e
outra para as de eletrodomésticos. Se você é um felizardo que comprou um carro 0 km,
olhe também quanto pagou desse imposto.
Acrescente à sua tabela mais essa parte.
ICMS:
Luz
Telefone
Compras gerais
Cigarros e bebidas
E para achar o valor das compras anuais sem o imposto, você usará seus conhecimentos
de porcentagem. Chamamos esse valor de x e lembramos que ele foi acrescido de 7%,
para dar o total gasto.

Unidade4
165
Cosméticos e perfumes
Eletrodomésticos
Carro 0km
O IPI
Quando você compra produtos industrializados, paga também, além do ICMS, o IPI –
Imposto sobre Produtos Industrializados. Ele incide sobre alimentos industrializados
(como enlatados, leite, óleo, açúcar, sal, café, chá, bebidas e refrigerantes), sabão,
produtos de limpeza, tecidos, calçados, móveis, brinquedos, livros, jornais, revistas,
plásticos, papel, cortiça, óculos, filmes fotográficos, relógios, louças e vidros, remédi-
os, instrumentos musicais, eletrodomésticos, veículos, armas e outros. Sempre que
você compra essas coisas, paga o IPI, embutido no preço ou explícito.
É bem complicado calcular quanto se paga de IPI. Os índices percentuais sobre os
produtos variam muito, de 5% a mais que 50%, e, na maioria das vezes, ficam embuti-
dos nos preços. Para calculá-lo por baixo, você teria que listar suas despesas anuais com
os itens do quadro anterior e, tomando por base uma média de 10% de IPI, calcular esse
imposto por meio da diferença:
Total anual gasto nos itens do quadro anterior – (Total pago 1,10)
Como a lista é difícil de fazer, você pode optar por incluí-la ou não em sua tabela,
conforme seu grau de exigência na avaliação dos seus impostos.
E lá vem outro imposto também embutido e que acaba sendo difícil de calcular: o
ISS – Imposto sobre Serviços.
..
ISS – Imposto sobre Serviços
Ele está incluso, entre outros, nos preços pagos a profissionais liberais, escolas, hotéis, Correi-
os, diversões públicas, bingos, hospitais, clínicas e laboratórios, planos de saúde, transporte.
Para calcular quanto pagou de ISS, faça uma estimativa dos seus gastos anuais
nesses itens e, tomando por base que aí estão incluídos 5% de ISS, faça aquele cálculo
que você já conhece: divida o total estimado por 1,05 e calcule a diferença entre o valor
obtido e o total pago. Isso é o que você pagou de ISS (3o
item da etapa 3, que também
deverá ser lançado em sua tabela).
Correspondente à 3a
etapa de construção da sua tabela, acrescente:
ICMS:
Luz
Telefone
Compras gerais
Cigarros e bebidas

Seção1
166
Esses três últimos impostos que comentamos – o ICMS, o IPI e o ISS – sãm impostos
incidentes sobre mercadorias e serviços. Quem paga ao governo são os industriais, os
comerciantes, os prestadores de serviços, que repassam esse impacto tributário para o
cliente.
Etapa 4 – A conta de água
Calcule impostos e taxas incluídos na conta de água – PIS, COFINS, ICMS, o que
você achar. Acrescente-os à sua tabela.
Será que nessa conta aparece mais algum imposto? Parece que não, mas, em
alguns estados, lá aparece algo diferente: a tarifa esgoto. No Distrito Federal, por exem-
plo, você paga o seu consumo de água e depois paga para mandá-la embora. A tarifa
esgoto custa o mesmo tanto que o consumo de água. Olhe na sua conta de água e veja
se há essa tarifa. Em caso positivo, acrescente essa despesa na sua lista Se você mora em
apartamento, pergunte ao síndico sobre impostos e tarifas que aparecem na conta de
água e divida o total anual pago pelo prédio pelo número de apartamentos.
Etapa 5 – A discutida CPMF e o IOF
Acrescente à sua tabela seus pagamentos referentes à CPMF e ao IOF, depois de ler
o texto a seguir.
Você já está achando que não falta mais nada? Aí é que vem uma contribuição
muito discutida – a CPMF, ou Contribuição Provisória sobre Movimentação Financeira,
cujo nome completo é Contribuição Provisória sobre Movimentação ou Transmissão de
Valores e de Créditos e Direitos de Natureza Financeira.
Ela incide toda vez que você movimenta sua conta bancária. Para fazer compras,
pagar contas, pagar médicos e dentistas, para abastecer o carro, pagar ônibus ou outros
transportes, você precisa fazer saques, dar cheques, pagar em caixas bancários. E aí paga
CPMF. Veja – você paga uma taxa para poder pagar outras coisas que já têm impostos
embutidos. Por isso se diz que CPMF é uma bitributação – é imposto sobre imposto, ou
efeito cascata.
Para calcular a CPMF, você tem dois caminhos possíveis:
• nos extratos das suas contas bancárias, constam os débitos de CPMF. Some-os;
• pense em quanto depositam do seu salário mensal. Você gasta-o todo ou sobra um
pouco? Como a taxa de CPMF é de 0,38%, sobre sua movimentação bancária, ela acaba
incidindo sobre a parte do salário que você gasta (em cheques, saques, transferências,
Impostos e taxas
Água (soma dos impostos)
Tarifa esgoto
Mensal Anual
Eletrodomésticos
IPI
ISS

Unidade4
167
pagamentos etc.). Aplique 0,38% sobre a parte gasta e leve para a tabela (de acordo com
o que você sabe sobre porcentagem, basta multiplicar a parte gasta por 0,0038).
Pronto. Você já pode fazer o primeiro item da etapa 5 desta atividade lançando o
valor encontrado em uma linha para CPMF, em sua tabela .
Por fim (ufa!) verifique se você fez alguma operação financeira, sobre a qual incide o
IOF – Imposto sobre Operações Financeiras. Por exemplo: operações de crédito realizadas
por instituições financeiras, operações de câmbio, operações de seguro realizadas por
seguradoras, operações relativas a títulos e valores imobiliários, operações com ouro.
Atenção!
Nas operações de financiamento de imóvel, realizadas por agentes do Sistema Finan-
ceiro da Habitação, em que a contratação de seguro é obrigatória, a alíquota do IOF
fica reduzida à zero.
Então, faça mais uma pesquisa. Verifique com cuidado se realizou alguma operação
na qual pagou IOF. Olhe com cuidado seu cheque especial. Ultrapassou o limite? Procure
ver quanto pagou de IOF, ao longo do ano, e complete sua tabela, finalizando o segundo
item da etapa 5. Ao final, veja a página seguinte, sua tabela ficará assim, mas com os
impostos já lançados.
Atenção!
Quando utilizamos nosso limite de cheque especial, considera-se o financiamento do
saldo devedor em nossa conta corrente como nova operação de crédito. Neste caso,
o cálculo do IOF será apurado pelo somatório dos saldos devedores diários.
Atualmente, os juros vigentes para as operações de crédito, são de 0,0411% ao dia,
para pessoas físicas. Para transferências de recursos para o exterior por meio de cartões de
crédito, são de 2%. O IOF incide também sobre prêmios obtidos de seguros. A base de
cálculo do IOF é o valor dos prêmios pagos de acordo com as seguintes porcentagens:
Seguro de vida ou similares
Seguro de acidentes pessoais e do trabalho
Outras operações de seguros
2%
2%
7%

Seção1
168
Subtotal
10-Água(totaldosimpostos)
11 - ISS
12 - CPMF
13 - IOF
Subtotal
TOTAL
Impostos e taxas pagos
Mensal Anual
R$ % R$ %
1 - Imposto de Renda (va-
lor do Imposto a Pagar na
declaração)
2 - INSS
3 - IPTU (total do ano)
4 - TLP
5 - IPVA
6 - DPVAT (Seguro obri-
gatório)
7 - PIS +COFINS+FUNTEL
Telefone
Luz
8 - Contribuição de Ilumi-
nação Pública
Subtotal
9 - ICMS:
Luz
Telefone
Compras gerais
Cigarros e bebidas
Eletrodomésticos
Carro 0km

Unidade4
169
Situação-problema
Como dissemos, após uma longa atividade seria apresentada uma situação-problema.
Vamos lá:
Você também deve estar interessado em diminuir seus gastos, e um meio para isso
é reduzir os impostos que paga. Use a tabela construída com os seus dados na ativida-
de 1, para fazer um planejamento de redução no gasto com impostos. Mencione
impostos em que isso pode ser feito (no seu caso), como essa redução seria feita (no
que você economizaria, que produtos deixaria de comprar etc.) e calcule de quanto
poderia ser a redução.
Atividade 2
Compare o total de impostos pagos no ano com o seu salário bruto anual. Verifique
que porcentagem o total de impostos representa no salário total do ano.
E então? Está meio assustado com os resultados? Em um artigo de Jander Ramon,
publicado no jornal O Estado de São Paulo de 11/03/2003, encontramos a informação
de que o trabalhador brasileiro é o segundo do mundo a sofrer maior carga tributária
sobre salários, atrás apenas do dinamarquês. A informação consta do estudo “Radiogra-
fia da Tributação no Brasil”, elaborado pelo Instituto Brasileiro de Planejamento Tributário
(IBPT). http://www.estado.estadao.com.br/jornal/03/03/13/news164.html
Essa notícia é particularmente alarmante pelo fato de, na mesma época, ter sido
divulgado que o Brasil estava na 54a
posição entre países, quanto aos benefícios sociais
recebidos pelo cidadão.

170
Seção 2
Construção do conhecimento matemático em
ação: representação de dados em gráficos de barras
e circulares. Números negativos e traçado de ângulos
• Construir gráficos a partir de dados de uma tabela, identificando gráficos não cartesia-
nos, estabelecendo conexões entre eles e outros conceitos relacionados: proporções,
números negativos, traçado de ângulos.
• Ressignificar e compreender a lógica de operações com números inteiros.
• Construir ângulos com auxílio do transferidor.
Objetivo
da seção
O que fazer com os dados da tabela construída
Você tem uma série de dados numéricos na tabela construída na seção 1. Já deu para
assustar, ante a quantidade de impostos que você paga? E olhe que essa foi uma avalia-
ção por baixo. Podemos ter esquecido alguns impostos, principalmente municipais, que
variam muito de uma cidade a outra. Além disso, você fez uma estimativa aproximada.
Pode não ter achado várias notas de compras. O IPI varia tanto de produto para produto
que nem sabemos o que pagamos embutido nos preços.
Assim mesmo, esses dados podem nos informar bastante, dar uma idéia melhor
sobre o que está acontecendo, se os colocarmos na forma de gráficos.
Lembrete
Você conhece gráficos não cartesianos: de barras, colunas, pictográficos (que se
utilizam de figuras simbólicas), circulares (também chamados gráficos-pizza, ou de
setores). Lembre-se:
Gráficos cartesianos – os que usam dois eixos com escalas e um sistema de
coordenadas.
Gráficos não cartesianos – os que não têm essas características.
Nesta seção, veremos alguns gráficos não cartesianos.
Construindo um gráfico de colunas
Você pode começar traçando duas semi-retas perpendiculares. No eixo horizontal,
marque pontos equidistantes para colocar cada um dos impostos: IR, INSS, IPTU,
TLP, IPVA, DPVAT, PIS + CONFINS, FUNTTEL, ICMS, ISS, TARIFA ESGOTO, CPMF,
IOF. Veja qual foi o menor e o maior valor anual pago, com relação a esses itens.
Para o eixo vertical, encontre uma escala de marcação de valores que contemple

Unidade4
171
Atividade 3
a) Do modo como foi indicado, faça seu gráfico de colunas para os impostos que você
pagou no ano passado.
b) Quais os três maiores impostos ou taxas pagos?
c) Quais os três menores impostos ou taxas pagos?
esses valores. Por exemplo, se esses valores foram R$25,00 e R$370,00, é bom
você marcar de 20 em 20, até 380. Serão 19 intervalos. Se você marcar meio
centímetro para cada intervalo, o eixo vertical ficará com 9,5cm. Se as diferenças
forem maiores, marque os intervalos menores – 3mm, 2mm ou até 1mm.
Para cada imposto, faça uma coluna cuja altura seja igual ao valor pago pelo
imposto, medido na escala vertical. No exemplo, a 1a
coluna, que é a do IR, tem
altura correspondente a R$370,00.

Construção do conhecimento matemático em ação: representação de dados em gráficos de barras e circulares.
Números negativos e traçado de ângulos.
Seção2
172
Construindo um gráfico circular ou de setores
Vamos pensar também em fazer um gráfico circular para representar os valores da
tabela da atividade 1. A idéia é representar seu salário anual pelo círculo todo (360°).
Seu salário anual, e portanto o círculo, ficará dividido em 14 fatias (setores) desi-
guais: 13 para os impostos da tabela e a outra fatia para “outras despesas” (que serão
anuais) e correspondem ao que sobra do seu salário, depois de pagos os impostos. O
tamanho de cada fatia será determinado pelo ângulo central do círculo. Para achar
esse ângulo, é só pensar que deve haver uma proporção: se 360° correspondem a
um salário anual conhecido, descubra qual ângulo corresponde a determinado im-
posto. No nosso exemplo, vamos imaginar que o salário era de R$1.200,00
(R$15.600,00 anuais), que o IR foi de R$1.500,00 e o menor imposto pago foi de
R$86,00. Veja as proporções dadas pelas igualdades de duas razões que aparecem a
seguir (como falta um termo, cada uma é chamada regra de três: três termos são
conhecidos e procura-se o quarto).
Calculando, você terá x 34,6° e y 1,98° 2°
Para fazer um gráfico circular devemos marcar esses ângulos em um círculo.
Para isso você pode usar o transferidor, como já foi feito na Unidade 1 deste TP.
Pegue o transferidor e apoie sua linha horizontal sobre o diâmetro horizontal do
círculo, com a marca 0 sobre o centro do círculo. Veja como marcar esses ângulos
no círculo.
Para marcar o segundo ângulo, de 2°, você aumentou 2° ao valor do primeiro.
Desse modo, pouco a pouco, você vai colocando todas as fatias dos impostos
pagos dentro do círculo do seu salário anual. A parte que sobrar é o que restou do
salário depois de pagos os impostos.
Observe também quais são as fatias mais largas, correspondentes aos maiores
impostos.
360º
15.600
=
xº
1.500
360º
15.600
=
yº
86

Unidade4
173
a) Construa um gráfico de setores (ou gráfico circular, ou gráfico-pizza), conforme indica-
do, tendo seu próprio salário anual para representar o círculo e os valores que você
pagou de cada imposto para representar setores do círculo.
b) Expresse o valor de cada imposto pago, bem como o que sobrou do salário anual em
termos de porcentagem do salário anual. Verifique se a soma das porcentagens dá 100%.
Atividade 4

Seção2
174
Outra coisa que é bom saber é: quais impostos vão para o governo federal, quais
vão para o governo estadual e quais vão para os municípios. Veja:
Impostos federais Impostos estaduais Impostos municipais
IR
INSS
COFINS + PIS
CPMF
IPI
IOF
CPMF
ICMS
IPVA
IPTU
TLP
ISS
TARIFA ESGOTO
IMPOSTO DE TURISMO
PEDÁGIO
a) Some separadamente seus impostos federais, estaduais e municipais. Faça um gráfico
de três colunas, uma para cada subtotal.
b) Qual governo leva a maior parte dos seus impostos? E a menor?
É comum os municípios estabelecerem taxas sobre os mais variados serviços. Algu-
mas são contestadas na Justiça, principalmente por meio da Ordem dos Advogados
(OAB), e podem ser julgadas pelo Tribunal de Justiça e virem a ser declaradas ilegais. No
Distrito Federal, foi suspensa por liminar da Justiça e aguarda julgamento a Taxa de
Fiscalização, Prevenção e Extinção de Incêndio. Mas muitas taxas permanecem e inci-
dem sobre pessoas físicas ou jurídicas, como: responsáveis por feiras, exposições, barra-
cas e estandes, bancas de revistas, circos; inspeção sanitária (cobrada de açougues,
cantinas, restaurantes, depósitos de alimentos e de bebidas, clínicas, hospitais, casas de
espetáculo e diversões); quem explora transporte de passageiros; quem promove propa-
ganda em lugares públicos; taxa de fiscalização de obras em áreas particulares. Procure
saber, na prefeitura do seu município, algumas das taxas cobradas.
Atividade 5

Unidade4
175
Um gráfico de blocos tridimensional
Os impostos têm subido, os preços têm subido, mas os salários estão estáveis ou, para
muitos que não têm trabalho fixo, estão decrescendo. A ilustração a seguir, um gráfico
inovador e criativo, mostra de quanto variaram, em porcentagem, os salários médios dos
trabalhadores brasileiros, de 1994 a 2001.
Podemos ver que, em 1994, houve um aumento percentual de 6% nesse salário
médio; e esse aumento foi ainda maior em 1995: 11%; o aumento não foi tão grande em
1996, mas ainda foi significativo:7%; já em 1997 houve um aumento de apenas 2%. Em
1998 o salário médio permaneceu estável, sua variação foi de 0%. Em 1999, porém,
houve uma queda no rendimento médio, em 5,5 por cento. Isso é indicado, no gráfico,
por uma variação negativa, em um bloco abaixo da reta horizontal. Após essa queda em
1999, o salário médio continuou baixando, mas a variação foi pequena, em 2000:
0,6%. Em 2001 continua a haver diminuição do salário médio dos trabalhadores brasilei-
ros, dessa vez em 3,9%.

Seção2
176
a) Considerando em conjunto os anos de 1994 a 1998, qual foi a variação total do
salário médio dos trabalhadores brasileiros, em porcentagem?
b) Considerando os anos de 1999 a 2001, qual foi a variação total do salário médio dos
trabalhadores brasileiros, em porcentagem?
c) Considere separadamente as variações dos itens a) e b) e diga se cada uma foi de
aumento ou de diminuição.
Saber interpretar gráficos é um conhecimento importante. Você terá oportunidade
de refletir sobre o gráfico anterior e interpretá-lo na próxima atividade. O gráfico anterior
mostrou apenas as variações sofridas pelo salário médio, de 1994 a 2002. Mas, e se você
quisesse acompanhar o tamanho do salário médio, nesses anos?
Gráficos de colunas ou circulares? Vantagens e desvantagens
Você viu como gráficos circulares são adequados para descrever porcentagens de um
todo: o círculo representa o todo e para cada porcentagem determinamos um ângulo
correspondente, até preencher o círculo. Entretanto, não há como representar neles
valores negativos. Nos gráficos de coluna os valores negativos ficam bem visíveis,
abaixo do eixo horizontal. Entretanto, veja uma desvantagem: ao representarmos
porcentagens por colunas com os valores das mesmas, não fica visível que a soma
das colunas parciais daria uma coluna correspondente ao total. Apesar disso, gráficos
de colunas também podem ser usados na representação de porcentagens.
Faça um gráfico de blocos ou de colunas, apoiados sobre uma reta horizontal.
Represente o salário médio inicial de 1993 (que não é informado no jornal) por uma
coluna (ou um bloco) de altura arbitrária, sem indicar seu valor. A partir daí, represente
como ficaria esse salário médio nos anos seguintes, após as variações sofridas de acordo
com o gráfico anterior.
Atividade 7
Atividade 6

Unidade4
177
Vamos voltar a pensar sobre a atividade 6. Provavelmente, no item b) você somou
os valores 5,5 , 0,6 e 3,9. No item c), você deve ter respondido que essa variação foi de
diminuição. Ou seja, para somar valores negativos, você somou como se fossem positi-
vos e a interpretação dada foi equivalente a atribuir sinal negativo ao resultado. É o que
estamos chamando de aquisição de conhecimento em ação.
Compare a forma como foi introduzida a soma de números inteiros, vinculada a
uma situação do contexto social que induziu uma ação operatória natural. É um exem-
plo, portanto, do que chamamos conhecimento em ação. É bem diferente do que
fazem muitos livros didáticos, que começam dando uma regra, em termos bem mate-
máticos, do tipo:
“Para somar números negativos somamos seus valores absolutos e atribuímos sinal
negativo ao resultado”.
Na maioria das vezes, nem explicam as razões da regra, e fazem que os alunos as
apliquem em exercícios matemáticos, sem contextualização que as torne mais claras.
Desse modo, o conhecimento matemático fica impositivo, sem compreensão e sem signi-
ficado, e o aluno deve incorporá-lo ao acervo da memória, para poder usá-lo em outra
ocasião. Do modo como propomos, o aluno constrói naturalmente os procedimentos e
atribui significado ao que faz. Em outra situação, não terá problema em proceder de
modo análogo.
Um recado para
sala de aula
a) Consulte um livro didático de 6a
série e verifique como ele introduz a soma de núme-
ros negativos. Cite título, autor, editora e ano de publicação. Transcreva o trecho corres-
pondente, e analise se a proposta do autor é semelhante ou não à que apresentamos,
mostrando semelhanças e diferenças.
b) Para você, qual proposta é mais eficaz para a aprendizagem? Por quê?
Atividade 8

Seção2
178
c) Agora responda: qual delas você acha mais fácil de desenvolver em sala de aula?
Por quê?
d) Para o aluno, qual proposta é mais fácil de ser assimilada: a do conhecimento em
ação ou a da regra? Por quê?
A multiplicação de dois números negativos
É provável que você já se tenha questionado sobre a razão de outras regras de sinais nas
operações com os números negativos. Por exemplo, sobre o fato de o produto de dois
números negativos dar um número positivo.
a) Você já encontrou em algum livro didático uma explicação lógica para essa regra?
Caso tenha encontrado, copie a explicação, citando o título, o autor, a editora e o ano
de publicação.
b) Você considera que a explicação encontrada é clara para os alunos ?
c) Você tem outro modo de explicar esse fato aos seus alunos? Se não tem, pense em um,
usando a sua criatividade e os seus conhecimentos matemáticos.
Atividade 9

Unidade4
179
Procurando um significado para
a multiplicação de dois números negativos
Talvez um bom início para resolver essa questão seja refletir sobre a interpretação da
multiplicação de dois números negativos.
Lembremos que em uma multiplicação, mesmo entre números positivos, os dois
números a serem multiplicados não têm significados iguais, como ocorre com as parcelas
de uma soma.
Na multiplicação de dois números naturais, o primeiro fator indica quantas vezes o
segundo deve ser adicionado. O resultado da adição é o produto dos dois.
A mesma interpretação aplica-se quando o primeiro fator é um número natural e o
segundo, um número negativo:
3 x (-2) pode ser visto como o resultado da adição de três parcelas iguais a (-2), isto é:
(-2) + (-2) + (-2), igual a -6.
Entretanto, que interpretação dar quando o primeiro fator é negativo? Por analogia
e coerência matemática, podemos dizer que ele indica quantas vezes o segundo deve
ser subtraído, ou retirado.
Uma abordagem financeira
Agora pense um pouco: se valores negativos são retirados ou desaparecem (por exem-
plo, no caso de dívidas serem perdoadas) então sua situação financeira melhora, certo?
Veja um exemplo simulado:
Saldos e parcelas a receber: 205,00 + 55,00 + 20,00 = 280,00
Dívidas: 40,00 + 60,00 + 60,00 + 60,00 + 60,00 = 280,00
No fundo, você está zerado. Tudo que você tem ou receberá já está comprometi-
do. Veja a tabela:
Saldo
40,00
60,00
60,00
60,00
60,00
280,00
Débitos
205,00
55,00
20,00
Créditos
Totais 280,00 0,00
Entretanto, suponha que uma liminar da Justiça impediu a prefeitura de cobrar-lhe
as quatro parcelas de 60,00. Como fica sua situação agora?

Seção2
180
Saldo
40,00
Débitos
205,00
55,00
20,00
Créditos
Totais 280,00 240,0040,00
Será coincidência? Você estava sem nada e agora tem R$240,00 para gastar, exata-
mente o valor de 4 parcelas de R$60,00. Será que retirar quatro dívidas de R$60,00
corresponde a somar R$240,00? Ou seja:
Será que (-4) x (-60,00) = 240,00?
Uma abordagem matemática
Ao ampliar o conjunto dos números naturais para o conjunto dos números inteiros, os
matemáticos procuravam definir as novas operações (positivos com negativos e negativos
com negativos) de modo coerente com as operações que já existiam e conservando as
propriedades que valiam para essas operações com números naturais. Desse modo,
foram descobrindo como definir as operações entre os números inteiros, pela exigência
da validade de certas propriedades, como a distributividade e a comutatividade.
Lembrete
Propriedade distributiva: para três números naturais quaisquer a, b e c vale ax(b+c) =
axb + axc
Propriedade comutativa da multiplicação: para dois números naturais quaisquer
a e b vale axb = bxa
Essas propriedades eram tão úteis para os cálculos que os matemáticos quiseram
mantê-las para os números inteiros, racionais e reais.
1) Mantendo para os números inteiros a propriedade distributiva da multiplicação em
relação à adição os matemáticos sabiam que deviam ter:
3 x [4 + (-4)] = 3 x 0 = 0 (A)
Por outro lado, impondo a distributividade, obtinham:
3 x [4 + (-4)] = 3 x 4 + 3 x (-4) = 12 + 3 x (-4) (B)
De (A) e (B) concluíam que 12 + 3 x (-4) = 0, ou seja, que a soma de 12 com 3 x (-4) dá zero.
Então pensavam: qual o número que somado a 12 dá 0? Só pode ser:
–12. Concluíam que 3 x (-4) = -12.
Isso confirmava uma outra idéia dos matemáticos, a de que deviam ter:
3 x (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12.
Desse modo, para a e b números naturais, sabiam que a x -b = -(a x b).
2) Mantendo para os números inteiros a propriedade comutativa da multiplicação

Unidade4
181
Do mesmo modo, impondo que a multiplicação nos inteiros fosse comutativa,
obtinham: –b x a = a x -b = -(b x a).
Faltava ainda saber quanto deveria valer o produto de dois inteiros negativos. Veja
como fizeram isso, impondo novamente a distributividade:
Partindo de um exemplo numérico: - 4 x (-3+3) = -4 x 0 = 0 e impondo que
valesse a distributividade:
0 = (-4) x (-3 + 3) = (-4) x (-3) + (-4) x 3 = (-4) x (-3) + (-12)
Como o único número que somado a –12 e dá 0 é 12, concluíam que (-4) x (-3)
devia valer 12.
Na seção 3 você poderá ver outros modos de evidenciar, para os alunos, que o
produto de dois números negativos dá um número positivo.
Interpretando o sinal de outros produtos – Sintetizando o que fizemos
Pela abordagem matemática, foi possível chegar ao sinal do produto (-3)x(-4).
Para isso, inferimos antes o resultado do produto 3x(-4) e de (-4) x 3 (usando a
comutatividade).
A abordagem financeira interpretou o resultado de (-3)x(-4) diretamente, sem
passar pelos outros produtos. Contudo, seria possível dar também a eles uma interpre-
tação financeira. Por exemplo:
3 x (-4) pode ser visto descrevendo a existência de 3 dívidas de 4 cada uma, o
que corresponderia a uma dívida total de 12, descrita por -12. Ou seja: 3 x (-4)= -12.
Já (-4) x3 pode ser visto como a retirada de 4 parcelas positivas de 3 (créditos), o
que corresponde à retirada de 12 no total, equivalente, portanto, a um débito de 12.
Ou seja: (-4) x3 = -12.
Nesta seção, os conteúdos de Matemática trabalhados foram:
Gráficos não cartesianos:
- Gráficos de colunas (planos) ou de blocos (tridimensionais).
- Gráficos circulares e sua construção (proporções, medidas de ângulos, uso do trans-
feridor).
- Vantagens e desvantagens do gráfico de colunas e do gráfico circular.
Números inteiros:
- a lógica dos sinais atribuídos aos resultados de operações com números inteiros (sob
os pontos de vista matemático e financeiro).
Resumindo

182
Seção 3
Transposição didática: gráficos de barras
e circulares, traçado de ângulos e números negativos
• Conhecer e produzir situações didáticas envolvendo gráficos, números negativos, pro-
porções e traçado de ângulos, adequadas à série em que atua.
• Compreender a educação matemática integrada à formação global do aluno, em
particular à educação tributária.
• Identificar vantagens da aprendizagem de conhecimentos em ação e integrados, de-
senvolvendo a proposta curricular de forma mais solta e flexível.
• Rever, no caso específico da aprendizagem dos números inteiros, uma aplicação da
teoria do Jogo de Quadros em educação matemática.
Objetivo
da seção
Nesta seção, o texto principal é sobre trabalhos que podem ser desenvolvidos
em sala de aula a respeito de gráficos não cartesianos e números inteiros. Dentre
esses trabalhos, aparecerão adaptações para os alunos do que foi trabalhado na
seção anterior, sugestões de uma nova situação-problema etc.
Veja, antes disso, algumas questões consideradas relevantes pela nossa propos-
ta e que, por isso, devem ser levadas em conta no planejamento de atividades em
sala de aula.
• Você acha que seu compromisso deve ser cumprir todo o programa ou proporcio-
nar a aquisição de conhecimentos pelos alunos de uma forma significativa?
Conhecimentos que surgem em situações significativas e que mobilizam ações
mentais do aluno têm mais chance de poderem ser recuperados pelo aluno a qual-
quer hora.
Um exemplo: ao lembrar-se de situações do contexto real que conduzem natu-
ralmente à soma de números negativos, ou de positivos com negativos (como foi o
caso do gráfico sobre o salário médio dos brasileiros ao longo dos anos) e ao
lembrar-se de como foi seu raciocínio, ou suas ações mentais, frente aos problemas
levantados, o aluno conseguirá entender, de modo natural, como se opera com esse
tipo de números.
• Ao contrário da aprendizagem significativa e que mobiliza ações mentais próprias
do aluno, a aprendizagem reduzida à aquisição de um grande número de regras não
Conhecimento como processo em ação, significativo e integrado

Unidade4
183
Nesta seção, vamos destacar alguns pontos a respeito de gráficos e números negati-
vos que têm sido pouco contempladas nos livros didáticos. Ao considerar nossas suges-
tões na elaboração do seu planejamento de aulas, esperamos que você tenha em mente
os pontos que salientamos acima sobre conhecimento como processo em ação, significa-
tivo e integrado.
O fato de esses pontos terem sido abordados, nesta Unidade, de modo mais
significativo no contexto do mundo real e mais lógico do ponto de vista matemático
torna possível sua adaptação para uso a partir da 5a
série. A partir da 6a
série, não
apresentam restrição. Não se prenda ao fato de você não estar ainda desenvolvendo
números negativos, nem tampouco ao fato de a construção de ângulos não constar do
programa da série.
Gráficos circulares e traçado de ângulos
Nessa parte, o professor deve estimular os alunos a trazerem para a sala de aula as
situações matemáticas presentes no contexto de vida. Esse material deverá ser organiza-
do em sala de aula, possibilitando aos alunos uma análise dos mesmos, tirando daí
conclusões e inferindo conceitos matemáticos.
Embora seja comum os livros didáticos trazerem exemplos interessantes, baseados em
dados da realidade, observa-se que, nos gráficos de colunas, quase nunca aparecem
colunas correspondentes a valores negativos e, nos gráficos circulares (de setores ou gráfi-
cos-pizza), raramente é trabalhada a determinação dos ângulos e seu desenho no círculo,
com transferidor ou compasso.
Será que você entendeu bem a construção feita com transferidor, entre as atividades
3 e 4? Verifique, fazendo-a você mesmo. Procure papel, lápis, régua e transferidor para
possibilita ao aluno nem a manutenção nem o resgate mental do conhecimento
adquirido, quando se faz necessário. Ao esquecer uma regra, o aluno não tem cami-
nhos lógicos para sua recuperação.
Veja que isso é o que ocorre, muitas vezes, no ensino tradicional: enfatizando a
memorização de regras, o aluno não vivencia uma aprendizagem significativa, na
qual a situação apresentada faz sentido para ele e lhe possibilita elaborar ações ou
modos naturais de pensar e operar ante a mesma. Ao invés disso, ele reproduz
apenas o que o professor disse para ele fazer.
• Integrar os conhecimentos matemáticos entre si para a solução de um problema,
tornando-os significativos e lógicos para os alunos, produz uma aprendizagem mate-
mática mais consistente – os conhecimentos matemáticos, em vez de ficarem frag-
mentados, vão se relacionando entre si. Não importa que, propondo situações-
problema mais amplas, seja necessário ao professor adiantar tópicos ainda não vistos.
Um exemplo: ao introduzir situações que levam a gráficos circulares, pode ser
que o aluno não tenha aprendido a fazer correspondência entre porcentagens de
um todo e ângulos de um círculo, ou não saiba ainda fazer uso do transferidor.
Aprender esses fatos no contexto de uma situação-problema, integrando-os e perce-
bendo as relações entre eles, ajudará a compreender esses conhecimentos de um
modo mais aprofundado.

Transposição didática: gráficos de barras e circulares, traçado de ângulos e números negativos
Seção3
184
Uma situação-problema adequada aos alunos
Constatar o uso que fazem do próprio tempo é importante para a formação dos alunos.
a) Peça a eles que reflitam, façam seus cálculos e preencham com cuidado a tabela
a seguir:
Atividades diárias Tempo gasto
Sono
Estudo (na escola, outros cursos, em
casa)
Atividades físicas (malhação, esporte,
jogos etc.)
Lazer (TV, papos, namoro etc.)
Trabalho fora ou dentro de casa
(arrumar a cama, ajudar nas tarefas da
casa, outros serviços)
Tempo restante
b) Depois desafie-os a representar num círculo que representa o dia todo (24 horas ou
1.440 minutos) a parte correspondente a cada uma das atividades. Os círculos devem ser
grandes e não devem ter todos o mesmo raio, pois isso não importa. Se dois alunos
querem comparar os tempos que gastaram em certa tarefa, deverão comparar os ângulos
correspondentes, e isso não depende do comprimento escolhido para representar os seus
lados. Embora cada aluno deva fazer seu próprio gráfico, eles podem formar grupos para
discutir os problemas que surgem. Eles precisarão de proporções para saber o valor dos
ângulos e saberem desenhá-los.
Deixe-os agir sozinhos. À medida que vão fazendo cálculos, sugira que marquem
os valores dos ângulos que acharam na tabela. Por exemplo:
Atividade Ângulo
Sono
Tempo
7h = 420min 105°
420 x x = 105°
1440 360
Se não estão acostumados ao uso do transferidor, talvez façam certa estimativa para
os ângulos. Para um desenho mais exato, sugira o uso do transferidor. Deixe-os tentar o
seu uso (adolescentes são muito investigativos). Percorrendo a sala, faça observações
sobre a posição do transferidor, o uso das escalas etc.
Lembrete no dedo: pro-
videnciar transferidor!
realizar a próxima atividade. Não tem? Empreste ou com-
pre e volte amanhã. O desafio da atividade é importante
e está à sua espera.
=

Unidade4
185
c) Os membros do grupo devem comparar entre si como é a divisão do tempo do dia
para cada um. O professor também pode pedir que verifiquem qual o aluno da classe:
que mais dorme, que mais estuda, que mais trabalha, que tem mais lazer, que mais
pratica atividades físicas.
Ao final, pode ser proposta uma pesquisa em grupos: cada grupo pode escolher o
tema da pesquisa, de modo que seja possível apresentar o seu resultado num gráfico
circular, a ser desenhado num cartaz. O cartaz deve apresentar também uma tabela com
os itens pesquisados, os valores encontrados na pesquisa e os valores correspondentes
dos ângulos.
Gráficos de barras e números negativos
Você viu, na seção 2, como gráficos com colunas correspondentes a valores negativos
podem auxiliar na construção do significado desses números e no entendimento das
operações entre eles.
Uma abordagem por observação de padrões
Observe a tabela:
Multiplicar por 2
Resultados
3 2 1 0 -1 -2
6 4 2 0
A tabela nos diz que 3 x 2 = 6; 2 x 2 = 4; 1 x 2 = 2; 0 x 2 = 0.
Observando os números da segunda linha, você percebe que eles seguem um
padrão. Que padrão é esse? Seguindo-o, você pode imaginar qual será o próximo núme-
ro dessa linha, mesmo sem olhar para os valores da primeira. O próximo número deve
ser -2, porque os números da segunda linha diminuem de 2 unidades cada vez que
mudam de coluna, e 0 - 2 = - 2. Do mesmo modo, você conclui que o último número
deve ser - 4. Isso lhe permite escrever:
(-1) x 2 = -2 e
(-2) x 2 = -4.
Outras tabelas permitem inferir os resultados de outras multiplicações. Veja as su-
gestões apresentadas nos PCN de 5a
a 8a
séries, no capítulo Orientações didáticas para
terceiro e quarto ciclos, na parte chamada Números Inteiros.
Procure, em livros didáticos, jornais ou revistas, exemplo de uma situação interes-
sante para seus alunos que apresente um gráfico de colunas, das quais algumas têm
valores negativos. Proponha perguntas que os façam operar com esses números de modo
natural, seguindo seu próprio raciocínio.
Na seção 2, trabalhamos a multiplicação de números inteiros por uma abordagem
financeira e por outra matemática (porém não imposta e decorada). Contudo, existem
ainda outros caminhos para o desenvolvimento desse tópico.
Atividade 10

Seção3
186
Uma abordagem por processos de cálculo não convencionais
Vamos tentar fazer a operação:
0 - 2 x (-3) ou, de 0, tirar 2 vezes –3: 0
- 2 x ( -3)
Como podemos fazer isso, se não dispomos de nenhum -3 para ser retirado? Podemos
usar um artifício, escrevendo 0 (zero) de outra maneira:
0 + 3 - 3 + 3 - 3
- 2 x -3
Retirando duas vezes a quantidade -3, sobram 0 + 3 + 3 = 6
Portanto, 0 - 2 x -3 = - 2 x -3 = 6.
Cálculos como esses nos permitem obter naturalmente muitos resultados envolven-
do operações com números negativos, sem uso de regra alguma.
Você reparou que as operações entre números inteiros foram trabalhadas e explicadas
em diferentes representações (ou quadros, como você aprendeu na Unidade 2 do
TP1): financeira, matemática, por observação de padrões e por cálculos alternativos?
Trata-se de um exemplo concreto de como explorar um conceito em diferentes qua-
dros. Como já salientamos, isso aumenta o entendimento conceitual dos alunos e
atende às diferenças de cognição e de compreensão entre eles, pois cada aluno
compreende melhor um conceito sob certa abordagem.
Antes de terminar esta Unidade, apresentaremos trechos de textos relativos à quan-
tidade de impostos pagos pelos brasileiros e à má-organização dos contribuintes, no
sentido de fraca mobilização ante projetos de novos impostos. São textos que têm a ver
com a educação do cidadão e, portanto, com a educação escolar, ligados ao que se
chama educação tributária. Esse conhecimento, embora vise principalmente ao adulto
contribuinte, é adequado também à preparação do jovem para a cidadania. Nessa pers-
pectiva, você poderá dialogar com os alunos sobre esses textos e sobre alguns itens da
situação-problema construída na seção 1.
Veja como o conhecimento de alguns dos itens pode influir no comportamento
atual do jovem:
1 – Vimos que, para consumo elétrico mensal inferior a 200kwh, o imposto sobre o
total baixa de 25% para 12%. Saber isso pode mobilizar o jovem a procurar não
desperdiçar energia elétrica. Afinal, não é apenas o preço de alguns quilowatts-hora a
menos, mas também uma redução significativa do imposto incidente. O professor
pode solicitar que tragam uma conta de luz em que o consumo ficou um pouco
abaixo de 200kwh e outra em que ultrapassou um pouco esse limite, e analisar a
diferença dos totais a pagar em ambas.
2 – Vimos também que, para cada tanto de água que se gasta, será paga a água e
mais outra quantia igual pelo seu escoamento. Na verdade, a economia de cada litro
de água será contada em dobro. A conscientização desse fato também pode motivar
Aplicando a Teoria dos Quadros

Unidade4
187
o jovem a consumir apenas a quantidade necessária de água. Também os que
moram em apartamentos devem pensar a respeito: afinal, o preço total será rateado
entre todos os moradores.
3 – Se os pais usam o crédito concedido pelo banco em suas contas bancárias, eles
pagarão imposto (IOF), além de juros. Esse conhecimento pode tornar mais comedi-
das as demandas de consumo do jovem.
Trechos de textos
1 – Brasil é recordista em impostos indiretos – Denise Neumann. (Jornal O Estado de São
Paulo, 14/03/99)
“A carga tributária no Brasil recai de forma bastante desigual sobre os contribuintes.
Dez entre dez assalariados que recolhem Imposto de Renda são unânimes em afirmar
que pagam muito imposto.
Um olhar detalhado sobre a participação de cada tributo no bolo total e a compara-
ção dos dados brasileiros com outras economias mostram que o contribuinte pessoa
física paga relativamente pouco imposto direto no Brasil [...] O problema está nos impos-
tos indiretos embutidos nos preços dos produtos e serviços. O Brasil é um dos campeões
em cobrança de impostos sobre a produção.
[...]
A carga tributária no Brasil incide de forma perversa sobre a produção e circulação
de bens e serviços, apostam os economistas. Quase a metade da arrecadação [...] pro-
vém de recolhimento de ICMS, IPI, Cofins e Pis/Pasep [...] O consumidor paga estes
impostos e como o valor do tributo acaba embutido no preço da mercadoria, o pobre e
o rico recolhem, indiretamente, o mesmo imposto,[...]
Outro recorde brasileiro é a tributação sobre operações financeiras. Em muitos países
esta modalidade de tributo nem existe [...] Nesta conta entram principalmente CPMF e IOF,
que juntos permitiram uma arrecadação superior a R$11 bilhões no ano passado.”
2 – Carga tributária cresceu 50% em 10 anos – Denise Neumann e Márcia de Chiara.
(Jornal O Estado de São Paulo, 14/03/99)
”O peso dos impostos no dia-a-dia das empresas e dos cidadãos cresceu quase
50% – em porcentagem do Produto Interno Bruto (PIB) – nos últimos dez anos, sem a
contrapartida da melhoria dos serviços básicos de educação, saúde, segurança pública,
entre outros. Em 1988, a parcela de renda da sociedade transferida para os cofres públi-
cos correspondia a 20,01% do PIB. No ano passado, já consideradas as tributações
indiretas – como multas de trânsito, pedágios, Contribuição Provisória sobre a Movimen-
tação Financeira (CPMF), taxas de limpeza pública etc. – a carga tributária já estava em
28,5% do PIB, segundo números da Secretaria da Receita Federal (SRF).
[...]
Proporcionalmente, entre 1988 e 1999, quem mais avançou sobre o bolso do
contribuinte foram as prefeituras. A carga tributária municipal dobrou neste período. Em
1988, as prefeituras arrecadavam o equivalente a 0,62% do PIB. Hoje esta arrecadação
já está em 1,21%, A parcela do governo federal cresceu de 14,93% para 19,10% do PIB
e a carga dos governos estaduais saiu de 4,48% para 7,53% do PIB.”

Seção3
188
3 – http://jovempan.uol.com.br/jpam/
”A carga tributária brasileira aumentou em quase 300% de 1986 para cá. A maior
parte desse aumento ocorreu nos chamados tributos cumulativos, com a incidência em
cascata, como o PIS, a Cofins e a CPMF, que já era um absurdo e agora aumentou de
0,30% para 0,38%. São tributos que se escondem nos preços dos produtos.
[...]
As empresas e os consumidores pagam, em média, 40% de impostos nos produtos
que comercializam e adquirem no Brasil. Aqui, os impostos incidem em cascata e nisso
se somam a CPMF, o PIS e a Cofins [...]”
4 – Contribuintes ainda estão mal-organizados – Márcia de Chiara. (Jornal O Estado de
São Paulo, 14/03/99)”
“Enquanto as associações de consumidores lesados ou insatisfeitos proliferam dia a
dia [...] os órgãos de defesa dos direitos do contribuinte ainda são incipientes no Brasil.
Isso não ocorre em outros países, como Estados Unidos, Canadá e Inglaterra, por exem-
plo, nos quais é comum associações de contribuintes (taxpayer), que se organizam para
contestar judicialmente questões ligadas à tributação.
[...]
Não é por falta de demanda que entidades de defesa do contribuinte não têm a
mesma atuação de órgãos de defesa do consumidor. Só na Internet existem 46.711
páginas que tratam da questão tributária. O site do Movimento Nacional de Defesa do
Contribuinte já recebeu 4.661 visitas desde o início da sua operação.
[...]
Contribuinte – “No ano passado, eu paguei mais impostos ao governo do que gastei com
as minhas três filhas”, diz o advogado tributarista Raul Haidar. Na sua análise, os motivos que,
em qualquer sociedade, levam o cidadão a pagar impostos para manter o Estado, como
garantir justiça e segurança pública, hoje no Brasil são precariamente cumpridos”.
– Sugestões para coleta pessoal de dados pelos alunos e apresentação em tabelas e
gráficos circulares ou de barras.
– Análise e conclusões a partir do material organizado (inferência de conceitos e
processos matemáticos).
– A interpretação de valores negativos, em gráfico de colunas.
– A construção cuidadosa dos gráficos de setores, usando-se proporções e traçado de ângulos.
– Novas interpretações para o sinal do produto nos números inteiros.
– Considerações sobre a aquisição do conhecimento como processo significativo e integrado.
– Uma iniciação dos alunos à educação tributária.
– Um exemplo de uso da Teoria dos Quadros no ensino e na aprendizagem dos
números negativos.
Resumindo

Unidade4
189
Leituras sugeridas
LOPES, Maria Laura Mousinho Leite. (org.). Tratamento da Informação. Rio de Janeiro:
UFRJ/Instituto de Matemática/Projeto Fundão, 1998.
O livro inclui atividades destinadas a todo o ensino básico – das séries iniciais ao ensino
médio, que foram aplicadas em salas de aula. Traz comentários sobre essas aplicações e
as dificuldades apresentadas pelos alunos.
IMENES, Luís Márcio; JAKUBO, José; e LELLIS, Marcelo. Ângulos. Coleção Pra que serve
Matemática? São Paulo: Atual, 1992.
Trata-se de um livro paradidático, útil ao professor e ao aluno. É um texto curto, que
oferece atividades, sugestões e idéias criativas para a exploração do tema Ângulos, de
forma leve e prazerosa.
IMENES, Luís Márcio; JAKUBO, José; e LELLIS, Marcelo. Números Negativos. Coleção
Pra que serve Matemática? São Paulo: Atual, 1992.
Este também é um livro paradidático, curto, nos moldes do anterior, tratando do
tema Números Negativos. O professor pode contar com ele como auxílio às suas
aulas. Ou então sugerir sua leitura aos alunos e depois organizar uma atividade de
relatos e comentários.

190
BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Mate-
mática – 5a
a 8a
série. Brasília: MEC/SEF, 1998.
FREMONT, Herbert . Teaching Secondary Mathematics through applications. 2.
ed. Bos-
ton: Prindle, Weber & Schmidt, 1979. p. 342.
LINDQUIST, Mary Montgomery e SHULTE, Albert P. (org). Aprendendo e Ensinando
Geometria. São Paulo: Atual, 1994. p. 308.
OYAMA, Thaís. O predador. In: Revista VEJA, 176. Ano 35, n.34, p. 76-82.
NEUMANN, Denise. Brasil é recordista em impostos indiretos. In: Jornal O Estado de
São Paulo, 14/03/99.
____ .Carga tributária cresceu 50% em 10 anos. In: Jornal O Estado de São Paulo, 14/
03/99.
DE CHIARA, Márcia. Contribuintes ainda estão mal-organizados. In: Jornal O Estado de
São Paulo, 14/03/99.
Sites Utilizados
<http://www.fiema.org.br/iof.asp>
<http://www.bandeirante.com.br/dúvida10.htm>
<http://www.fazenda.sp.gov.br/oquee/oq_icms.asp>
<http://www.defenda-se.int.br/cgi-j...>
<http://www.bol.com.br/serviços/imposto/ipva-taq.html>
<http://www.estado.estadao.com.br/edicao/pano/99/03/13/eco809.html>
<http://jovempan.uol.com.br/jpam/>
<http://www.tributarista.org.br/content/estudos/reforma.html>
<http://www.estado.estadao.com.br/jornal/03/03/13/news164.html>
Bibliografia

Unidade4
191
Transposição Didática: O professor
como construtor de conhecimento
Matemática: como conhecimento científico e como objeto de ensino
Comumente, considera-se a Matemática como um corpo de conhecimentos produzido
ao longo da história da humanidade, na busca de resolução de problemas. Esta idéia
nos remete aos grandes nomes na história da matemática, aos grandes desafios dessa
ciência, aos seus métodos axiomáticos, discussões acerca da dedução e da indução,
das provas e demonstrações.
Esse é o “fazer matemático” produzido por matemáticos em centros de excelência
de produção científica ou individualmente, em especial por grandes nomes como o de
Galois, Pitágoras, Bháskara. O desenvolvimento do conhecimento da matemática tem
um papel inegável no desenvolvimento da humanidade.
Entretanto, ao construirmos a escola, ao nos colocarmos como professor, tendo a
aprendizagem como meta e finalidade de nossa atuação profissional, não podemos con-
ceber a idéia de transmitir aos nossos alunos esse conhecimento científico (saber) tal
como ele é trabalhado em âmbito científico.
A questão da aprendizagem e do ensino da matemática implica em reflexão, por
um lado, sobre o saber acumulado dessa ciência, cujo conhecimento requer um alto
grau de abstração lógica e conceitual e, por outro, sobre a construção de estruturas de
pensamento pela criança e pelo jovem, que não podem assimilar esse conhecimento
científico, inadequado tanto às suas necessidades quanto às suas capacidades cognitivas.
A escola, não podendo trabalhar a matemática tal qual é tratada em níveis superio-
res, requer dos responsáveis e envolvidos no processo escolar uma transformação desse
saber matemático, que cabe também ao professor, adequando-o aos interesses e neces-
sidades do aluno. Essa transformação é denominada de transposição didática.
A transposição aparece como um elemento de ligação entre o conhecimento cien-
tífico da matemática e a matemática que o aluno, no seu nível de desenvolvimento
psicológico, é capaz de aprender e de produzir.
Transposição: reconstruindo um saber para uma
transmissão fora da academia e para os não cientistas
A idéia de transposição extrapola o muro da escola e o seu currículo.
De modo geral, podemos conceber a idéia de transposição a partir da necessidade
de maior divulgação dos conceitos científicos, junto àqueles que não produzem ciênci-
as. Pretende-se fazer chegar a eles conhecimentos relevantes, que não podem ser adqui-
ridos apenas pela intuição ou senso comum. Tal preocupação está presente não só entre
os professores, na escola, mas também entre os divulgadores científicos, que escrevem
publicações destinadas a pessoas sem formação acadêmica ou com formação em outras
áreas de conhecimento. Isso requer uma segunda produção do conhecimento, fazendo
com que ele seja mais acessível, sem, no entanto, deixar de ser fiel à sua essência.

192
1 Prof°. Dr. Luiz Carlos Pais publicou um capítulo intitulado “Transposição Didática” na obra Educação Matemática, uma introdução,
sob sua própria direção, editado pela EDUC-PUC-SITUAÇÃO-PROBLEMA, em 1999.
Transposição de saber e transposição de conhecimento
Em um sentido geral, temos dois tipos de transposição:
Um primeiro tipo refere-se à transposição das próprias experiências, de um indiví-
duo a outro. A essa comunicação ou troca, denominamos de transposição de conheci-
mento, no sentido de transposição da bagagem intelectual e cultural de um indivíduo ou
aluno a outro, daquilo que ele produz e assimila do seu meio, por meio de suas experi-
ências significativas.
A assimilação é sempre acompanhada de transposição, em especial quando a
aprendizagem é mediada por outra pessoa, sobretudo, mediada pelo professor. Isso por-
que, quando assimilamos algo novo, fazemos sempre uma reelaboração desse conheci-
mento. Ou seja, aquilo que é transferido de um sujeito para outro é transformado pelo
receptor por meio de suas interpretações e adaptações no seu conjunto de conceitos.
Quando concebemos o aluno como produtor de conhecimento, devemos conside-
rar essa reconstrução do conhecimento feita por ele. O objeto de conhecimento assimila-
do nunca é imagem fiel do objeto tal qual encontra-se na sua origem.
Exemplos dessa recriação são encontrados no cotidiano escolar, sendo muitas
vezes confundidos com erros.
Certo aluno sabia escrever corretamente os números na seqüência de 1 a 10.
A professora trabalhou a noção do zero e pediu à classe que escrevessem os
números, do 0 ao 10.
O aluno escreveu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. Indagado porque não escrevera o 0
inicial, ele respondeu que não era necessário, pois o zero já estava lá, no final.
Neste caso, a razão do erro pode estar no modo como a tarefa foi proposta:
escreva os números de 0 a 10. A lógica do aluno foi: se o 0 já estava contemplado no
10, por que escrevê-lo? Um modo mais claro seria pedir que o aluno indicasse o
número de bolas contidas em 11 caixas, a primeira vazia, as seguintes com uma,
duas, três bolas etc.
Um aluno, aprendendo sobre números inteiros, apareceu com essa notação: 3 + -
5. A professora falou que estava errado. Entretanto, esse foi o modo encontrado pelo
aluno para distinguir algo que ele percebera: que nas operações entre inteiros, existe
o sinal da operação e o sinal próprio do número. O modo usual seria escrever 3 + (-
5), que os livros se apressam em colocar como 3 - 5, omitindo qualquer explicação.
Um segundo tipo de transposição refere-se ao conhecimento ou saber científico,
que é o conhecimento de uma sociedade, validado por uma coletividade, em especial pela
academia científica, ao ser transformado ou adaptado para amplos setores da população.
Baseado no texto de Luiz Carlos Pais1
, vemos três tipos de transposição de saber,
variando conforme o saber envolvido (texto adaptado):

Unidade4
193
2 Contrato Didático é um termo criado por Guy Brousseau do qual nos trataremos no Texto de Referência da segunda unidade do TP3.
3 Prof°. Dr. Benedito Antonio da Silva, publicou um capítulo intitulado “Contrato Didático” na obra Educação Matemática, uma
introdução, editado pela EDUC-PUC de São Paulo, em 1999.
Se o conjunto das transformações sofridas pelo saber for visto num processo mais
amplo, então a transposição didática poderá ser analisada a partir de três tipos de sabe-
res, que correpondem a uma fase inicial desse saber e suas transformações:
• científico - que é um saber normalmente desenvolvido nas universidades ou institutos
de pesquisa. O seu reconhecimento e a defesa de seus valores são particularmente
sustentados por uma cultura científica.
• saber a ensinar - para viabilizar a passagem do saber científico para o saber escolar é
necessário um trabalho didático efetivo, a fim de proceder uma reformulação visando à
prática educativa, obtendo-se o que é definido como saber a ensinar. Esse saber é ligado
a uma forma de didática que serve para apresentar o saber ao aluno. Ele envolve redes-
coberta do saber e está quase sempre presente nos livros didáticos, nos programas e
outros materiais de apoio.
• saber ensinado - o processo de ensino resulta no saber ensinado. Para o professor, é
aquele registrado em seu plano de aula e que não necessariamente coincide com aquela
intensão prevista nos objetivos programados para o saber a ensinar. Por outro lado, não
há nenhuma garantia de que, em nível individual, o resultado da aprendizagem corres-
ponda exatamente ao conteúdo pretensamente ensinado.
Finalmente, lembramos que o saber científico é validado pelos paradigmas internos
a cada ciência e o saber ensinado está mais diretamente sob o controle de um contrato
didático2
que rege as relações entre professor, aluno e saber.
Em Benedito A. da Silva3
encontramos (texto adaptado):
A relação professor-aluno está subordinada a muitas regras e convenções que
funcionam como se fossem cláusulas de um contrato. Esse conjunto de regras, que
quase nunca é explícito, normatiza as relações professor-alunos-conhecimentos e é
denominado de contrato didático.
No ensino de Matemática, o professor cumpre seu contrato dando aulas expositi-
vas e passando exercícios aos alunos [...] O aluno, por seu lado, cumpre seu contrato
se ele bem ou mal compreende a aula dada e consegue resolver, corretamente ou
não, os exercícios.
Transposição: um objeto de estudo da didática – quando
educadores e o professor constróem um novo conhecimento
Como já vimos, em parte, no texto adaptado de Pais, a transposição didática ocorre em
vários níveis.
No início, do nível de produção científica original para o nível de conhecimentos
desenvolvidos na universidade, pois os alunos de um curso superior não aprendem as
teorias nos livros originais onde primeiro elas apareceram, embora isso possa ocorrer em

194
nível de pós-graduação. Quem define esse nível de adaptação são os autores de livro
para o ensino superior.
Também há uma transposição quando, a partir do corpo de conhecimentos de uma
ciência, os educadores destacam os conteúdos que farão parte de uma proposta curricu-
lar nacional para o Ensino Básico. Embora haja uma tendência de conservadorismo
nessas propostas, mudanças ocorrem de vez em quando. No caso da Matemática, mu-
danças curriculares significativas ocorreram por ocasião do Movimento de Matemática
Moderna no Ensino e por meio dos Parâmetros Curriculares Nacionais.
São propostas que definem não só novos conteúdos, mas também novas metodolo-
gias. O currículo escolar não deve ser uma lista dos saberes matemáticos a serem assimi-
lados pelos alunos ao longo de um período escolar, mas deve transparecer os caminhos
para a transformação desses conteúdos por meio da transposição didática, a ser feita pela
equipe pedagógica e pelo próprio professor.
A partir de uma proposta nacional, são feitas transposições na elaboração das
propostas estaduais e, depois, nas dos municípios e escolas.
Também os autores de livros didáticos para o Ensino Básico fazem uma transposi-
ção. Com base nos conteúdos propostos em nível nacional ou regional, eles devem
transpor os conteúdos, do modo como são ensinados nas universidades, para outras
formas mais adaptadas à cognição e ao interesse dos alunos, crianças e jovens.
Por fim, o professor, conhecendo a proposta nacional, a estadual e a da sua escola,
tendo ou não um livro didático como apoio, deverá realizar uma priorização dos conteú-
dos, uma reformulação das maneiras de apresentá-los e a elaboração de metodologias
adequadas, fazendo uma transposição daquelas propostas e do livro para a realidade
de sua região, de sua escola e dos seus alunos.
Neste texto, vamos dar ênfase à transposição a ser efetuada pelo professor.
Transposição revelando os saberes e
concepções do professor de matemática
Ao recriar o saber matemático, produzindo o saber didático, o professor é influenciado
por suas próprias concepções acerca do que é matemática. As transposições didáticas,
presentes ou ausentes no processo pedagógico, são frutos das próprias concepções do
professor sobre o fazer matemática dos alunos e também da escola como espaço de
construção de conhecimento.
A transposição é, portanto, uma reveladora das crenças e concepções do professor
em relação à Matemática e ao seu trabalho pedagógico. Ou seja, a atuação do professor
no ensino de Matemática é uma conseqüência do modo como vê a Matemática, modo
esse construído ao longo de suas experiências de aluno, de formação profissional e de
exercício da profissão.
Esses modos de ver a Matemática podem ser variados e opostos.
O professor pode vê-la como uma ciência fechada e hermética produzida por
alguns gênios, difícil de ser desvendada, ou, de modo oposto, pode reconhecer que
grande parte dessa ciência foi construída pelos homens, a partir das necessidades de
suas vivências. Nesse sentido, vale lembrar o que ocorreu com conhecimentos geométri-
cos. Muito antes de Euclides construir a Geometria, os artesãos e trabalhadores egípcios
detinham muitos conhecimentos práticos a esse respeito.

Unidade4
195
Quando queriam construir um ângulo reto, que é muito necessário em constru-
ções, os construtores e mestres de obra de antigamente faziam o seguinte. Eles toma-
vam uma corda, na qual faziam nós igualmente espaçados.
Depois faziam com a corda um tri-
ângulo, dobrando e deixando 3, 4 e 5
espaços em cada lado.
Eles sabiam que o triângulo assim
construído tinha um ângulo reto.
Talvez esse conhecimento fosse só baseado na experiência, e eles nem mesmo
reparassem que 3² + 4² = 5². Na verdade, sempre que temos três números a, b e c
satisfazendo a² + b² = c², então o triângulo construído com lados de medidas a, b e
c é retângulo, o que foi formalizado, mais tarde, por Pitágoras...
Também é possível que o professor veja a Matemática como uma ciência que tem
forma única, ou, em uma visão oposta, como uma ciência que pode ter múltiplas formas.
Em geral, os livros didáticos apresentam um único processo para realizar cada
operação. Muitas vezes, o professor entende que esse é o único processo existente e
que todos os alunos devem fazer desse modo.
Entretanto, os processos apresentados nos livros para a soma, subtração, multipli-
cação e divisão de números naturais, datam do início do século passado. Durante
muitos séculos, os homens fizeram os mais variados procedimentos para obter resulta-
dos de operações, e, ainda hoje, eles apresentam variações entre países. Se o aluno
constrói um procedimento diferente, isso evidencia que ele compreende e atribui
significado ao que está fazendo, o que deve ser estimulado. Veja alguns processos
diferenciados para o algoritmo da soma:
O aluno soma as unida-
des, soma as dezenas e
depois junta tudo.
Esse processo é útil em so-
mas de muitas parcelas. Os
resultados das somas das
unidades, das dezenas etc.
são registrados separada-
mente.
Neste processo, a soma
começa pelas centenas.

196
A Matemática também pode ser vista como uma ciência feita só de abstrações
mentais ou, ao contrário, uma ciência integrada às atividades humanas.
Também pode haver diferenças na visão do professor sobre as finalidades do ensino
de Matemática, por exemplo, preparar o aluno para saber calcular e aplicar fórmulas, ou
formar o homem que pensa e raciocina.
Como conseqüência, um olhar atento ao livro didático é necessário: quais são as
concepções e crenças do seu autor? O livro apresenta a matemática articulada ao con-
texto sócio-cultural ou desenvolve os conteúdos desvinculados da realidade? Apresenta
sempre um modo único de resolver ou apresenta várias soluções? Recomenda que o
professor deixe o aluno pensar, antes de dar logo o modo de resolver?
Dependendo do que encontrar no livro, a transposição demandará um grau maior
ou menor de envolvimento e criatividade, por parte do professor.
No caso da proposta do GESTAR, há mais um ponto relevante que requer do
professor uma ação de transposição didática. Sendo essa proposta fundada na resolução
de situações-problema, é necessário que ele planeje suas ações em sala de aula de
acordo com a proposta, refletindo sobre quais situações ele deve propor aos alunos,
como deve conduzir o processo de resolução, que tipo de informação vai fornecer se os
alunos precisarem de algum conhecimento que ainda não estudaram, como conduzirá o
processo de discussão, validação e registro das soluções encontradas. Situações-proble-
ma são momentos ricos para os alunos buscarem conhecimentos que já têm e percebe-
rem que outros lhes faltam. Nesse interrelacionamento de conhecimentos é que se cons-
trói um currículo em rede.
Há professores que nem tentam realizar as transposições didáticas, e isso já revela
muito sobre sua postura frente à Matemática, ao conhecimento do aluno e à sua função
enquanto professor.
A escola tem que ser um espaço de aprendizagem também para o professor, bus-
cando criar oportunidades de discussão e experimentação de melhores formas de reali-
zação da transposição didática do saber matemático.
Competências necessárias ao professor
ao planejar a transposição didática
Uma primeira competência do professor de matemática é relacionar-se bem com a mate-
mática, conhecer e refletir sobre seus conteúdos, entender as relações entre eles e perce-
ber a relevância dessa ciência no mundo real.
Saber o conteúdo é apenas o início de um longo processo.O professor deve ainda saber
transformar esse objeto de ensino, adequando-o à situação de aprendizagem. Isso requer que o
professor domine também saberes da psicologia, pedagogia e didática específica.
Produzir esse processo adaptativo do saber, para torná-lo acessível ao aluno, é uma
produção de conhecimento de alto valor social e cultural, do qual o professor, a escola e
a sociedade não podem abrir mão. Ela indica o nível que a atuação profissional do
professor pode atingir.
Não existe uma metodologia pronta e acabada, à espera do professor, para ser
aplicada aos alunos: cada aluno é um aluno, cada sala é uma sala, cada situação é uma
situação bem particular e singular, exigindo constantemente do professor um permanente

Unidade4
197
processo de recriação e readaptação do processo de transposição didática.
Ao fazê-lo, o professor está produzindo um conhecimento que não é matemático
tal qual concebido na academia, mas é um conhecimento adaptado ao processo de
aprendizagem. Esse conhecimento permitirá ao aluno ter, gradativamente, acesso aos
aspectos e conceitos da matemática mais presentes na sócio-cultura, expressos em uma
linguagem acessível, sem perder, contudo, a fidelidade às idéias científicas que sustentam
esses conceitos.
Em cada unidade dos módulos do GESTAR, o professor encontrará uma seção de
Transposição Didática, que o ajudará na transposição dos conteúdos desenvolvidos nos
módulos para um saber a ser desenvolvido em sala de aula. Mais do que aproveitar essas
idéias, será importante que o professor planeje e construa, ele próprio, essa transposição,
esforçando-se por registrar, tanto quanto possível, todas as etapas realizadas – a reflexão
sobre a relevância dos conteúdos, o planejamento, o desenvolvimento em sala de aula,
as dificuldades encontradas, o envolvimento e as soluções dos alunos, as intervenções
que foram necessárias.
Transposição Didática: um compromisso do professor
de Matemática com o aluno e com a ciência
Um pé lá, outro cá, diria o ditado popular. Com um pé no saber matemático, apresenta-
do nas propostas curriculares e nos livros didáticos, o compromisso do professor, en-
quanto educador, é refletir sobre esses conteúdos, priorizando-os de acordo com sua
realidade, e produzir um novo conhecimento, em termo de metodologias, para garantir
que seus alunos tenham acesso ao saber. Entretanto, ele não pode nem negligenciar o
processo de construção de conhecimento pelo aluno, valorizando em demasia a mate-
mática enquanto um conjunto pronto de conhecimentos, e nem descaracterizar a produ-
ção matemática desenvolvida ao longo dos séculos.
Há necessidade de planejar com cuidado a transposição didática, tendo clareza
sobre o que realmente é um fato matemático que deve ser transformado em objeto de
ensino. Cabe ainda reconhecer quando um objeto de ensino não é objeto matemático,
mas uma criação didática para facilitar a transposição didática.
Também a metodologia usada requer cuidados. Em um processo em que há pouca
clareza na distinção entre conteúdo como um objeto de ensino, que merece ser estuda-
do, aprofundado e relacionado, e conteúdo como ferramenta didática, ou seja, um meio
auxiliar de promover aprendizagem, acabamos por constatar a presença desses últimos,
os instrumentos, como se fossem objetos matemáticos, tais como o Tangran, Mosaicos,
Material Dourado, entre outros. Muitas vezes eles se tornam um fim em si mesmos, sendo
confundidos com os próprios objetos de ensino, isto é, conceitos matemáticos. Nesses
casos, o trabalho com eles não garante a aquisição de conceitos. Isso denota um desco-
nhecimento do professor da própria didática matemática e de sua própria área de atua-
ção. O estudo da Didática da Matemática é uma forma de levar o professor a uma maior
compreensão acerca das melhores formas de realização da transposição didática.
A articulação necessária e desejável entre o conhecimento
científico e o cultural na transposição da matemática
Nessa transposição, o conhecimento matemático científico (muito distante da compreen-
são do aluno) e o conhecimento matemático cultural (muito próximo da realidade e do

198
cotidiano do aluno) devem se articular. Se de um lado o saber matemático consiste na
busca de uma generalização, o professor deve buscar contextualizar, em situações de
significado para o aluno, esse saber matemático. Voltando ao texto de Pais4
, vemos:
Na realidade, quando se fala de competência técnica, o trabalho do professor
envolve um importante desafio que consiste em realizar uma atividade que é, num
certo sentido, inversa daquela do pesquisador.
Pois, enquanto o matemático elimina as condições contextuais de sua pesquisa
e busca níveis mais amplos de abstração e generalidade, o professor de matemática,
ao contrário, deve recontextualizar o conteúdo, tentando relacioná-lo a uma situação
que seja mais significativa para o aluno.
Todavia, o contexto reconstituído nunca é o mesmo daquele em que o saber foi
elaborado, pois, no meio científico, prevalece uma realidade totalmente distinta daquela
da escola. Enquanto para o pesquisador o saber é o objeto principal de sua atividade; na
prática escolar o conhecimento é um instrumento educacional que tem natureza própria.
São essas diferenças que fazem com que, em sala de aula, prevaleça sempre a existência
de uma situação didática (grifo nosso) com toda sua especificidade pedagógica.
É evidente que o trabalho intelectual do aluno não é diretamente comparável
com o trabalho do matemático ou do professor de matemática. Mesmo assim, essas
atividades guardam entre si algumas correlações cuja análise é de interesse para a
educação matemática. O aluno deve ser sempre estimulado a realizar um trabalho
em direção à uma “iniciação científica”. Nesse sentido, a atitude intelectual do
aluno, diante de um problema, deveria ser semelhante ao trabalho do matemático
diante de sua pesquisa. Aprender a valorizar sempre o espírito de investigação. Esse
é um dos objetivos maiores da educação matemática, ou seja, despertar no aluno o
hábito permanente de fazer uso de seu raciocínio e de cultivar o gosto pela resolu-
ção de problemas. Não se trata evidentemente de problemas que exigem o simples
exercício da repetição e do automatismo (p. 28-29) .
Atividades
a) Escolha um conteúdo matemático (o de funções, por exemplo), e reflita sobre as diferen-
ças entre esse conteúdo trabalhado nos seus cursos na universidade e o trabalho de trans-
posição realizado por você, buscando favorecer seu aprendizado pelos seus alunos.
b) Escolha um conteúdo matemático trabalhado por você mais recentemente, e identifi-
que os diferentes tipos de saberes: o saber científico, o saber a ensinar, o saber ensinado.
Para tanto, apóie-se no seu planejamento, no livro didático, instrumentos de avaliação
elaborado e aplicado por você, ou outros instrumentos que julgar convenientes.
c) Para você, refletindo sobre sua prática educativa, em que sentido podemos afirmar
que “o professor constrói um novo conhecimento matemático”?
d) Você vê a sua escola, a partir de seu trabalho pedagógico, como um espaço de
produção de conhecimento matemático? Por quê?
4 Prof°. Dr. Luiz Carlos Pais publicou um capítulo intitulado “Transposição Didática” na obra Educação Matemática, uma introdução,
sob sua própria direção, editado pela EDUC-PUC-SITUAÇÃO-PROBLEMA, em 1999.

Unidade4
201
Atividade 1
Resposta pessoal.
Atividade 2
Resposta pessoal.
No caso de um salário bruto anual de R$15.600,00 e um total de impostos igual a
R$1.750,00, teremos:
•
• Mental
1.750 correspondem aproximadamente a 11,25% de 15.600
Situação-problema
Podem ser feitas economias, por exemplo:
• No ICMS da conta de luz
Se você gasta mais do que 200kwh ao mês, tente reduzir seu consumo a esse
limite. O ICMS pago cairá de 25% a 12%. Em sua tabela geral (atividade 1), na linha
correspondente a Luz, você pode reduzir o valor à metade.
Anote a economia
• no ICMS das contas telefônicas
As porcentagens cobradas para o ICMS são elevadas:
25% para a Brasil Telecom (14)
35% para a Embratel (21)
No mínimo, são 25% de impostos sobre a conta, todo mês.
Para reduzi-lo, seria necessário reduzir o valor da conta. Isso pode ser feito fazendo
interurbanos apenas nos horários de tarifa reduzida, evitando chamadas para telefone
celular e diminuindo as ligações locais (compare o número de pulsos de cada mês).
Fazendo uma estimativa da economia:
Consulte novamente a tabela do ICMS (atividade 1), na linha correspondente a
Telefone. Esse valor representa 25% = 1/4 do seu gasto básico anual com telefone.
Multiplique-o por 4. Planeje uma redução nesse total e divida o novo valor reduzido por
4, para saber qual seria o valor do ICMS. Fazendo a diferença, você poderá calcular de
quanto ele seria reduzido.

202
Na linha da tabela correspondente a cigarros, cosméticos e perfumes, multiplique o
valor por 4, pois o ICMS para eles é de 25%. Esse é o gasto básico que você teve nesses
itens, sem imposto. Planeje uma redução nesse total e divida o novo valor reduzido por
4, para saber qual seria o valor do ICMS. Fazendo a diferença, você poderá calcular de
quanto ele seria reduzido.
Anote a economia
Economia total (em impostos)
(Investigamos apenas alguns itens da tabela. Cada pessoa deve investigar os itens
em que poderia fazer economia).
Atividade 3
Resposta pessoal.
Atividade 4
Resposta pessoal.
Atividade 5
Resposta pessoal.
Atividade 6
a) 6 + 11 + 7 + 2 = 26
b) 5,5 + 0,6 + 3,9 = 10. O sinal deve ser negativo: -10.
Ou: -5,5 – 0,6 – 3,9 = -10
c) No item a, a variação foi de aumento. No item b), de diminuição.
Anote a economia
(Haveria também reduções, menores, nos impostos PIS, Cofins e Funttel)
• No ICMS das mercadorias compradas

Unidade4
203
Atividade 8
a)Resposta pessoal. Você deverá apresentar objetivamente pontos de semelhança e dife-
rença, por exemplo sobre a contextualização que levou à definição ou regra; se ficaram
claras as razões de se calcular daquela maneira etc.
b) Resposta pessoal. Você deverá apresentar objetivamente pontos que atestam a eficácia
de uma ou outra proposta.
c) Resposta pessoal. Temos encontrado alguns professores que, honestamente, afirmam
que pela regra é mais fácil de ensinar, porque é mais rápido, mais direto.
d) Resposta pessoal. Temos encontrado professores que acham que pela regra os alunos
assimilam mais. Outros ficam em dúvida – dizem que os alunos não se lembram quase
das regras, quando aprendem por elas; mas não sabem se aprenderiam mais pelo conhe-
cimento em ação, contextualizado. Sua resposta deve expressar realmente seu pensa-
mento a respeito.
Atividade 9
Resposta pessoal.
Atividade 10
Resposta pessoal.
Atividade 7
x1
= x + 6% x
x2
= x1
+ 11% x1
x3
= x2
+ 7 % x2
x4
= x5
= x3
+ 2% x3
x6
= x5
- 5,5% x5
x7
= x6
- 0,6% x6
x8
= x7
- 3,9% x7

PARTE II
TEORIA E PRÁTICA 1
Socializando o seu
conhecimento e
experiências de
sala de aula

207
Este momento final tem por objetivo:
• Rever e sintetizar por escrito as principais idéias tratadas na unidade;
• Refletir sobre os desafios propostos na transposição didática, registrando-as por escrito;
• Elaborar uma produção escrita a ser entregue ao Formador na próxima oficina, contendo
produções dos seus alunos.
Para tanto, três tarefas devem ser preparadas para serem levadas à oficina e sociali-
zadas entre os colegas:
Tarefa 1
Uma síntese por escrito dos principais conceitos matemáticos trabalhados na Unidade.
Esse documento será destinado a seu uso pessoal durante a oficina.
Tarefa 2
Uma listagem contendo: a) o ponto mais interessante, e b) duas das maiores dificuldades
encontradas na realização do trabalho da proposta de transposição com seus alunos.
Esse documento será um apoio seu para discussão da transposição didática na oficina.
Esta lista é de seu uso pessoal para servir de apoio na socialização das experiências
realizadas.
Tarefa 3
Esta tarefa é composta por três produções:
a) Aplique a pelo menos uma turma de alunos a atividade 13. Você pode fazer as
adaptações que julgar necessárias para o bom êxito da atividade atendendo às necessi-
dades do grupo.
b) Para criar uma memória de sua produção, para seu próprio uso no futuro, a começar
pela oficina: organize, registre e catalogue em uma pasta (ou coisa similar) as produções
mais significativas de alguns de seus alunos.
c) Procure escrever com suas próprias palavras aproximadamente 10 linhas sobre a
importância dessa atividade para a aprendizagem matemática de seus alunos; comente
fatos ocorridos em sala de aula e outros observados na produção dos alunos. Esse mate-
rial deve ser entregue ao seu Formador ao final da oficina.
Socializando o seu conhecimento
e experiências de sala de aula – unidade 2

208
Como já foi exposto, esta parte consta de três itens:
• Rever e sintetizar por escrito as principais idéias tratadas na Unidade.
• Refletir sobre os desafios propostos na Transposição Didática, registrando-os por escrito.
• Elaborar uma produção escrita a ser entregue ao Formador na próxima oficina, conten-
do produções dos seus alunos.
Para tanto, você deverá preparar as três tarefas a seguir, para serem levadas à oficina
e socializadas entre os colegas:
Tarefa 1
Faça uma síntese por escrito dos principais conceitos trabalhados na Unidade. Este
documento será destinado a seu uso pessoal durante a oficina.
Tarefa 2
Organize uma lista contendo: a) o ponto mais interessante e b) duas das maiores dificul-
dades encontradas na realização do trabalho da proposta de transposição com seus
alunos. Esse documento será um apoio seu para participação na oficina no que se refere
à parte da transposição didática.
Tarefa 3
a) Aplique aos alunos o que foi proposto em Situação-problema para os alunos,
partes a, b e c.
b) Organize, registre e catalogue em uma pasta as produções mais significativas de alguns
de seus alunos, obtidas na aplicação.
c) Escreva aproximadamente 10 linhas sobre a importância dessa atividade para a apren-
dizagem matemática de seus alunos; comente fatos ocorridos em sala e outros observa-
dos na produção dos alunos.
Ao final da oficina, entregue ao seu Formador o material dos itens b) e c).
Socializando o seu conhecimento
e experiências de sala de aula – unidade 3
TP1 - Matemática na Alimentação e nos Impostos - Parte II

209
PARTE III
TEORIA E PRÁTICA 1
SESSÃO COLETIVA

211
Sessão Coletiva 1
Unidade 1
Parte A (110 minutos)
O trabalho proposto na primeira unidade envolvendo ALIMENTAÇÃO buscou
mobilizar conceitos matemáticos importantes no Ensino Fundamental, tais como núme-
ros decimais, medidas de massa e superfície, razão e proporção, porcentagens, repre-
sentações gráficas com construção e interpretação de tabelas e gráficos, noção de
média e escalas.
A situação-problema apela essencialmente para a noção de proporcionalidade em
vários aspectos: ao comparar a quantidade de alimento consumido com seu peso, assim
como envolve a noção de escala e o cálculo de porcentagens, dentre outras.
As atividades concernentes à seção 2, Construção do conhecimento em ação,
permite uma «revisitação» de conceitos matemáticos que, por vezes, podem nos
ajudar a encontrar uma boa solução para a situação-problema proposta na seção 1.
Nesta segunda seção constatamos a presença da exploração de idéias e procedimen-
tos envolvendo área, massa, proporcionalidade, volume e sua relação com medidas
de capacidade, transformação de unidades lineares (metros e litros) e não lineares
(superfície e volume).
Reunido em grupos de 4 professores cada, realizaremos uma discussão sobre os
diferentes procedimentos desenvolvidos, assim como as maiores dificuldades para a
realização das atividades inerentes à resolução da situação-problema. Mas antes,
realizaremos uma atividade presente no TP e proposta para os alunos. Agora é nossa
vez de colocarmos em prática nossos conhecimentos e realizar as discussões.
(20 minutos) Sem uso da calculadora, cada participante deve calcular seu Índice de
Massa Corporal dada pela fórmula, como vimos no TP1:
Este índice pode ser obtido dividindo-se o peso corporal pelo quadrado da altura
em metros. Por exemplo: uma pessoa que pese 67kg e meça 1,64m, tem um IMC de
24,9kg/m2
,(67 dividido pelo quadrado de 1,64).
Atividade 1
Cada qual deve encontrar a faixa na qual se encontra:
[ALTURA (em metros)]²

TP1 - Matemática na Alimentação e nos Impostos - Parte III
SessãoColetiva
212
ÍNDICE RESULTADO
Abaixo de 20
Entre 20 e 25
Entre 26 e 30
Entre 31 e 35
Entre 36 e 40
Acima de 40
Abaixo do ideal
PESO IDEAL
Acima do ideal
Obesidade leve
Obesidade moderada
Obeso
Cada grupo deve descobrir o índice médio do grupo, verificar quem está acima ou
abaixo da média, e se o grupo, como um todo, está em boa forma física ou não. Afinal,
esta oficina vai demandar muita energia: bom para quem está em forma, e melhor ainda
para os grupos que precisam melhorar seus índices. Descobrir quanto cada um deve
ganhar/perder para ficar com o IMC igual ao do grupo:
Discussão livre (15 minutos) no pequeno grupo trocando diferentes interpretações possí-
veis da situação-problema e estratégias de resolução utilizadas pelos diferentes integrantes
do grupo. Faça o registro das estratégias consideradas mais interessantes e criativas,
escrevendo-as numa folha grande fornecida pelo formador, analisando e discutindo as
principais diferenças entre esses procedimentos. Escolha um relator do grupo que apre-
sentará (com ajuda dos demais membros) os procedimentos utilizados e suas curiosida-
des e diferenças observadas pela sua equipe.
Atividade 2
Cada relator expõe oralmente o cartaz com os procedimentos mais interessantes abrindo
espaço para discussão com os demais participantes (30 minutos) procurando centrar a
discussão nas produções diferentes daquelas habitualmente por nós utilizadas em sala de
aula, assim como presentes nas soluções propostas, e, em especial, nas dificuldades com
conceitos matemáticos constatadas nas buscas de soluções.
Atividade 3
Retomando os pequenos grupos, discutir (15 minutos) em cada equipe qual foi a maior
dificuldade na resolução entre as muitas atividades propostas na seção 2 do TP1. Sem
dúvida no grupo deverá aparecer mais de uma dificuldade, mas o grupo deverá, sem
perda de tempo, optar por apenas uma e buscar compreender as razões dessas dificulda-
des. Lembremos que uma dúvida não escolhida pelo grupo, poderá ser escolhida por
outro grupo, assim, sendo ainda objeto de discussão na próxima atividade.
Atividade 4

213
Socializar as dificuldades no grande grupo (30 minutos), de acordo com os pontos
apresentados pelos grupos. A discussão deve ser no sentido de buscar compreender as
possíveis causas das dificuldades apresentadas no conteúdo matemático e possíveis for-
mas de suas superações. Ao longo das discussões, um relator previamente escolhido
deverá registrar no quadro as principais conclusões do grupo.
Atividade 5
Parte B (90 minutos)
Esse momento é destinado a uma discussão acerca das experiências realizadas com
os alunos a partir das atividades propostas na seção de Transposição Didática.
Poderão ser debatidas tanto dificuldades de ordem metodológicas, ou seja, no
fazer pedagógico, como de ordem matemática, ou seja, dificuldades matemáticas
de nossos alunos.
Essa seção 3 propõe inicialmente realizar com seus alunos as atividades 1 e 2
da seção, deixando por um tempo a informação «Alunos descobrem que uma
abelha come mais que um elefante». Você fez o solicitado? De que forma? Quais as
reações dos alunos diante dessa informação?
Em grupo, faça um quadro num cartaz com as seguintes informações:
Atividades
• Estratégias didáticas utilizadas
• Conteúdos matemáticos envolvidos
• Dificuldades de ordem matemática apresentadas pelos alunos
• Dificuldades de ordem didática, (aqueles pontos que não o deixou satisfeito quanto os
resultados)
• Resultados: produtos tirados da atividade como painéis, seminários, construções etc.
• Pesar quanto cada um come
• Calcular a média entre os pesos
• Construção e análise da tabela
• Utilizar a fórmula de índice de massa corporal
Atividade 6

SessãoColetiva
214
No grande grupo, apresentando os painéis, realizar uma discussão sobre as produções
de cada grupo, buscando destacar os pontos comuns entre os diferentes grupos. (60
minutos)
Atividade 7
Parte C (30 minutos)
Esse momento tem por objetivo introduzir o professor na temática e no conteúdo mate-
mático a serem tratados na próxima unidade deste caderno de Teoria e Prática.
Para tanto, divida a turma em grupos de 4 professores cada e solicite que discutam
a veracidade ou falsidade das afirmações a seguir, a partir da análise das informações do
quadro abaixo:
CIDADE
Porto Velho (RO)
Maceió (AL)
Sergipe
Pernambuco
Salvador (BA)
Paraíba
Piauí
São Paulo (SP)
Porto Alegre (RS)
Criciúma (SC)
IDADE
2 a 5 anos (1990)
6 a 10 anos (2000)
0 a 5 anos (1998)
0 a 5 anos (1997)
0 a 5 anos (1996)
0 a 5 anos (1992)
mães 14-49 anos (1991)
0 a 5 anos (1995/6)
0 a 3 anos (1997)
0 a 3 anos (1996)
AMOSTRA
279
454
720
780
606
1.287
809
1.256
557
476
PREVALÊNCIA DE ANEMIA
38,4%
25,4%
31,4%
46,7%
46,4%
36,4%
26,2%
46,9%
47,8%
54,0%
PESQUISAS BRASILERIAS
A cada item, os professores devem, em grupo, tomar uma posição se a afirmativa é
falsa ou verdadeira, sempre buscando justificar sua posição :
• A dimensão da amostra considerada na pesquisa é de acordo com a dimensão da
população real de cada estado.
• O estado de Sergipe possui um número de crianças com carência de ferro bem maior
do que o estado de Alagoas.
• Há um maior índice de carência de ferro em crianças em São Paulo do que em
Salvador.

215
• Criciuma possui o maior número de crianças entre 0 e 3 anos de idade com carência
de ferro do que as demais regiões consideradas no estudo.
• Da amostra considerada, aproximadamente 325 crianças possuem uma alimentação
considera rica em ferro.
Caro professor, as discussões e dúvidas apresentadas ao longo da realização da
atividade 7 serão tratadas na unidade 2 deste TP1. Portanto, vamos retornar para casa e
para a escola buscando, com carinho, atenção e energia, ler e fazer as atividades que
propomos a seguir. Em breve, nos encontraremos novamente na oficina após a unidade
3 e antecedendo a unidade 4.

216
Sessão Coletiva 2
Unidade 3
Parte A
Mesmo que você esteja isento da declaração do Imposto de Renda, aqui na oficina você
terá oportunidade de simular um salário maior e calcular o Imposto de Renda que você
teria que pagar. Caso declare, a atividade vai lhe interessar desde já. De qualquer modo,
é um conhecimento importante para o cidadão e útil para você ajudar familiares e
amigos nessa tarefa. Além disso, esperamos que você realmente tenha um projeto e lute
para atingir um melhor salário. Você deverá fazer sua declaração pela tabela nova.
Verifique se um melhor salário seria vantajoso, mesmo pagando mais imposto.
Olhe, na situação-problema da Unidade 3, a tabela nova e imagine que o seu
salário bruto (sem descontos) é de R$1.058,50 mensais. Calcule por partes, ou blocos,
quanto seria seu Imposto de Renda, conforme indicações abaixo.
a) 1o
BLOCO – RENDIMENTOS
Marque seus rendimentos tributáveis, isso é, sobre os quais incide imposto. Para
isso, multiplique seu salário bruto assumido (R$1.058,50) por 13, acrescente 1/3 de um
salário (das férias). Se tiver mais do que uma fonte pagadora, inclua o salário de todas.
Total dos rendimentos:
b) 2o
BLOCO – DEDUÇÕES
Marque agora o que é possível deduzir, usando seus dados pessoais reais (mesmo
que sejam aproximados).
b1) Contribuições à Previdência oficial (INSS)
Calcule 11% de 13 salários:
b2) Dependentes:
(Para a declaração feita no início de 2002, a dedução de cada dependente foi de
R$1.080,00.)
b3) Despesas com instrução:
(Some os gastos pessoais e de seus dependentes feitos com instrução – o limite, para
cada um, é de R$1.700,00.)
b4) Despesas médicas:
(Some as despesas pagas a médicos, dentistas, clínicas e laboratórios, suas e de seus
dependentes.)
Atividade 1

217
b5) Pensão judicial:
(Se você paga alguma, inclua o total anual.)
Total do 2o
bloco:
c) 3o
BLOCO – CÁLCULO DO IMPOSTO DEVIDO
A 1a
coisa a fazer é calcular a diferença entre o total do 1o
bloco e o total do 2o
bloco, que será chamada Base de Cálculo:
c1) Base de Cálculo:
c2) Cálculo do imposto devido:
Observe novamente a tabela nova para o cálculo do imposto:
Renda mensal (bruta) Alíquota Parcela a deduzir
Até R$1.057,50
De R$1.057,51 a R$2.115,00
Acima de R$2.115,00
–
15%
27,5%
Isento
R$158,625
R$423,00
Estamos supondo que sua renda mensal cai na segunda faixa. Portanto, calcule
15% da Base de Cálculo. Desses 15%, deduza R$158,625. Pronto, esse será o Imposto
devido.
Cálculo do Imposto devido: 15 x (Base de cálculo) – 158,625
100
Imposto devido:
d) 4o
BLOCO – VERIFICAR O IMPOSTO JÁ PAGO
Aqui deve-se marcar o total dos seus impostos já pagos, isto é, retidos na fonte ou
pagos de outra maneira.
Você deve calcular quanto seria retido, no caso de receber um salário de
R$1.058,00. Nesse caso, você teria um desconto mensal de 15% do seu salário, isto é
15 x 1.058,00 =
100
Multiplique o resultado obtido por 13 (desconto nos 13 meses de
salário): (esse seria o seu imposto já pago).
e) 5o
BLOCO – FAZER O AJUSTE (QUANTO SOBRA OU QUANTO FALTA)
Agora está na hora de ver se você teria pago mais do que devia e portanto teria
restituição ou se ainda lhe faltaria pagar algo.
Se o imposto pago (item d) é maior que o imposto devido (item c2), faça a diferen-
ça. Esse seria o seu IMPOSTO A RESTITUIR. Marque-o a seguir:
Imposto a restituir:

SessãoColetiva
218
Se o imposto pago (item d) é menor que o imposto devido (item c2), faça a
diferença. Esse seria o seu IMPOSTO A PAGAR (além do que já tivesse pago mensalmen-
te). Marque-o a seguir:
Imposto a pagar:
Discussão coletiva
1 – Repare que sua renda mensal poderia ser de até R$1.057,50 e você continuaria
isento do Imposto de Renda. Supondo que fosse de R$1.058,50, você já teria que pagar
o imposto que calculou. Qual salário seria mais vantajoso?
2 – Com relação ao texto desta unidade, comente alguns pontos que chamaram sua
atenção, a respeito de frações e de porcentagem.
E aí? Foi meio pesada essa Parte A? Mas “formar-se para a cidadania” não pode
ficar só nas intenções, implica aprender sobre o que um cidadão deve saber. Entretanto,
anime-se: a Parte B será bem recreativa.
Parte B
Transposição Didática
Leiam em conjunto:
A atividade que apresentaremos envolve geometria, arte, recortes, pintura, frações e
porcentagem. Com paciência, você poderá confeccionar aqui e com seus alunos um
cartão para mensagens ou um objeto decorativo. E explorar a matemática associada a ele.
(Adaptada do texto Descobrindo a magia dos
fractais com cortes de papel, publicado na revista Edu-
cação e Matemática, da Associação de Professores de
Matemática de Portugal, no
55, nov/dez de 99.)
2a) Veja o modelo no anexo A.
- Recorte a moldura da figura;
- pinte os quatro retângulos menores de uma mes-
ma cor;
- pinte os dois retângulos médios de outra cor (só a
parte que fica fora dos retângulos menores, já pinta-
dos);
- pinte o retângulo central, maior, de outra cor (ape-
nas a parte que fica fora do que já foi pintado).
Atividade 2
a
a
b b

219
Para fazer os próximos cortes, dobre a folha como acima (a dobra divide ao meio as
laterais dos retângulos médios).
Fonte: Educação e Matemática no 55, Nov/Dez 99
2b) Todos os cortes serão feitos apenas na direção vertical da folha (direção da lateral
maior). Para fazer os primeiros cortes, dobre a folha e corte nos dois traços que apare-
cem, conforme a ilustração 1.
Faça o mesmo para os retângulos pequenos: primeiro os que estão no topo (como
mostra a figura) dobre a folha dividindo cada um ao meio e corte as laterais. Depois faça
o mesmo para os dois retângulos pequenos centrais.
Corte essas laterais
Ilustração 1

SessãoColetiva
220
Faça o mesmo procedimento para os quatro
retângulos menores: abra um pouco a folha vinca-
da, puxe os retângulos menores e torne a vincar.
O seu cartão está pronto. Repare que, ao abri-
lo um pouco, os retângulos ficam salientes.Veja o
modelo pronto (um pouco mais complicado do
que o que você fez) e use sua habilidade manual!
De agora em diante, você deve trabalhar com a folha na posição horizontal.
2c) Faça as dobras. Um jeito prático de dobrar é o seguinte:
Vinque a folha no meio, formando aproximadamente um ângulo reto, e puxe o
retângulo maior de modo que fique saliente. Feche a folha com o retângulo puxado e
vinque bem:
Abra um pouco a folha vincada e puxe cada retângulo médio, de modo que
fiquem salientes. Feche a folha e vinque bem.
Fonte: Mesma anterior

221
Gostou do efeito?
Para melhorar o efeito, você pode fazer uma capa: use uma folha de papel do
mesmo tamanho que a folha inicial (será melhor se for cartolina). Cole-a por fora, como
se fosse capa. Cuidado: cole nela apenas as partes planas do seu trabalho (não as
salientes).
A geometria e a arte já apareceram. Mas, onde estão as frações e a porcentagem?
Vamos lá.
Um fabricante desses cartões queria saber qual a área saliente, isto é a área ocupa-
da pelos retângulos. Chame de A a área da folha inicial. Não é preciso trabalhar com
suas medidas.
2d) Fazendo somas, calcule a fração da folha que ficou saliente (pintada). Escreva essa
fração nas formas fracionária e decimal.
2e) Reveja o processo de construção do modelo e pense: se você quisesse fazer mais
uma etapa, quantos novos retângulos apareceriam? Qual seria a nova área pintada, em
decimais?
Uma informação: fazendo vários outros cortes e aumentando a parte saliente, você
conseguiria ver que a área saliente aproxima-se de 0,3333..... = 1/3.

SessãoColetiva
222
Aprendendo sobre fractais
Repare que, no modelo do cartão, o padrão pode se repetir indefinidamente, sempre
nas mesmas proporções. Dizemos que o padrão apresenta auto-similaridade. Figuras
geométricas com essa característica são chamadas fractais. Existem fractais planos e
não planos (isso pode ser informado aos seus alunos).
Parte C
Conversando sobre a próxima unidade
Leiam em conjunto e respondam oralmente. Veja o que disse a professora Lídia:
Atividade 3

223
Menos vezes menos dá mais
As razões para isso
Só o bom Deus
Sabe quais
a) Você acha que existem famílias que pagam apenas os impostos citados pela professora
Lídia? Procurem lembrar-se de impostos pagos pela sua família.
Aguarde o próximo capítulo, digo, Unidade, e veja, na situação-problema que será
apresentada na seção 1, as respostas a essas questões ameaçadoras ao seu bolso.
b) Você concorda que a professora Lídia não tenha pago Imposto de Renda? Justifique
sua resposta.
A atividade anterior preparou para o que você verá na seção 1 da próxima Unidade.
Veja o que haverá nas demais seções.
A seção 2 abordará, na próxima Unidade, gráficos e números negativos. Em
particular, vamos explorar gráficos de setores.
c) Você já pensou em como ensinar seus alunos a construírem esses gráficos corretamen-
te? Com cálculos e transferidor? (Pode ir pedindo para os alunos providenciarem um,
porque terão oportunidade de usá-lo.)
Como mencionamos, vamos chegar aos números negativos.
d) Você tem alguma dificuldade em desenvolver esse tópico ?
Algumas propostas fazem os alunos engolirem certas regras de operação entre esses
números, ou dão algumas explicações não convincentes. Nossa intenção é ultrapassar
essas inadequações, tomando como ponto de partida um exemplo do contexto social,
um gráfico de colunas, que apresenta valores negativos, aproveitaremos a ocasião para
inferir de modo natural operações entre esses números.
Há um provérbio inglês que pode ser traduzido mais ou menos assim:
e) E você, acha que é possível dar um sentido à temida multiplicação de dois negativos,
que resulta em um valor positivo?
Portanto, não perca no próximo capítulo – desculpe, Unidade – conhecer as ra-
zões pelas quais menos por menos dá mais.

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