GESTAR II Tp5 mat

MATEMÁTIC
GESTAR II
PROGRAMA GESTÃO
DA APRENDIZAGEM ESCOLAR
MATEMÁTICADIVERSIDADECULTURALEMEIOAMBIENTE:DEESTRATÉGIASDECONTAGEMÀSPROPRIEDADESGEOMÉTRICAS–TP5GESTARII
Ministério
da Educação
GESTAR II
PROGRAMA GESTÃO
DA APRENDIZAGEM ESCOLAR

Presidência da República
Ministério da Educação
Secretaria Executiva
Secretaria de Educação Básica

PROGRAMA GESTÃO DA
APRENDIZAGEM ESCOLAR
GESTAR II
FORMAÇÃO CONTINUADA DE PROFESSORES DOS
ANOS/SÉRIES FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL
MATEMÁTICA
CADERNO DE TEORIA E PRÁTICA 5
DIVERSIDADE CULTURAL
E MEIO AMBIENTE: DE ESTRATÉGIAS
DE CONTAGEM ÀS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS

Diretoria de Políticas de Formação, Materiais Didáticos e de
Tecnologias para a Educação Básica
Coordenação Geral de Formação de Professores
Programa Gestão da Aprendizagem Escolar - Gestar II
Matemática
Organizador
Cristiano Alberto Muniz
Autores
Ana Lúcia Braz Dias - TP2, TP3 e TP5
Doutora em Matemática
Universidade de Indiana
Celso de Oliveira Faria - TP2, TP4, TP5, AAA1, AAA2 e
AAA3
Mestre em Educação
Universidade Federal de Goiás/UFG
Cristiano Alberto Muniz - TP1 e TP4
Doutor em Ciência da Educação
Universidade Paris XIII
Professor Adjunto - Educação Matemática
Universidade de Brasília/UnB
Nilza Eigenheer Bertoni - TP1, TP3, TP4, TP5 e TP6
Mestre em Matemática
Regina da Silva Pina Neves - AAA4, AAA5 e AAA6
Mestre em Educação
Sinval Braga de Freitas - TP6
Mestre em Matemática
Guias e Manuais
Autores
Elciene de Oliveira Diniz Barbosa
Especialização em Língua Portuguesa
Universidade Salgado de Oliveira/UNIVERSO
Lúcia Helena Cavasin Zabotto Pulino
Doutora em Filosoﬁa
Universidade Estadual de Campinas/UNICAMP
Professora Adjunta - Instituto de Psicologia
Paola Maluceli Lins
Mestre em Lingüística
Universidade Federal de Pernambuco/UFPE
Ilustrações
Francisco Régis e Tatiana Rivoire
DISTRIBUIÇÃO
SEB - Secretaria de Educação Básica
Esplanada dos Ministérios, Bloco L, 5o Andar, Sala 500
CEP: 70047-900 - Brasília-DF - Brasil
ESTA PUBLICAÇÃO NÃO PODE SER VENDIDA. DISTRIBUIÇÃO GRATUITA.
QUALQUER PARTE DESTA OBRA PODE SER REPRODUZIDA DESDE QUE CITADA A FONTE.
Todos os direitos reservados ao Ministério da Educação - MEC.
A exatidão das informações e os conceitos e opiniões emitidos são de exclusiva responsabilidade do autor.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Centro de Informação e Biblioteca em Educação (CIBEC)
Programa Gestão da Aprendizagem Escolar - Gestar II. Matemática: Caderno de Teoria e
Prática 5 - TP5: diversidade cultural e meio ambiente: de estratégias de contagem às
propriedades geométricas. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação
Básica, 2008.
210 p.: il.
1. Programa Gestão da Aprendizagem Escolar. 2. Matemática. 3. Formação de
Professores. I. Brasil. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica.
CDU 371.13

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO BÁSICA
PROGRAMA GESTÃO DA
APRENDIZAGEM ESCOLAR
GESTAR II
FORMAÇÃO CONTINUADA DE PROFESSORES DOS
ANOS/SÉRIES FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL
MATEMÁTICA
CADERNO DE TEORIA E PRÁTICA 5
DIVERSIDADE CULTURAL
E MEIO AMBIENTE: DE ESTRATÉGIAS
DE CONTAGEM ÀS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS
BRASÍLIA
2008

Apresentação..............................................................................................7
Introdução..............................................................................................11
PARTE I
Unidade 17: Matemática e impacto social da tecnologia da informação .....................13
Seção 1: Resolução de Situação-Problema:
Multiplicidade de Possibilidades e a Sociedade Atual.............................................15
Seção 2: Construção do conhecimento matemático
em ação: Multiplicidade e Contagem...................................................................18
Seção 3: Transposição Didática –
Princípio Fundamental de Contagem.......................................................30
Leituras sugeridas......................................................................................33
Bibliografia...........................................................................................34
Texto de referência....................................................................................35
Solução das atividades...............................................................................39
Unidade 18: Matemática e interações sociais..................................................47
Seção 1: Resolução de situação-problema: “Contar
para conhecer” – Métodos de contagem como
forma de descobrir padrões e relações sociais.............................................49
Seção 2: Construção do conhecimento
matemático em ação: Combinações................................................................61
Seção 3: Transposição Didática –
Princípio Multiplicativo de Contagem..............................................................68
Leituras sugeridas..........................................................................................73
Bibliografia............................................................................................74
Solução das atividades.................................................................................81
Unidade 19: Explorando conceitos matemáticos em uma discussão
sobre a reutilização e o uso de novas tecnologias.....................................89
Seção 1: Uma situação-problema: destacando
e estudando o volume máximo de uma caixa................................................90
Seção 2: Entendendo o uso de planilhas eletrônicas para
a resolução de equações e resolução de equações quadráticas.................................96
Seção 3: Transposição didática: trabalhando o uso da calculadora
e a fatoração para a resolução de equações quadráticas..........................................114
Sumário

Bibliografia............................................................................................118
Unidade 20: Os triângulos na vida dos homens –
Congruência de Triângulos............................................................................129
Seção 1: Resolução de situação-problema: como o
desconhecimento da Matemática causa
transtornos na solução de problemas práticos.............................................130
Seção 2: Construção do conhecimento matemático
em ação: polígonos e triângulos congruentes...................................................134
Seção 3: Transposição didática.....................................................................164
Bibliografia............................................................................................176
PARTE II
Socializando o seu conhecimento e experiências de sala de aula..............................195
PARTE III
Sessão Coletiva...........................................................................................201

Caro Professor, cara Professora,
Este Modulo II, que inicia no TP4 (Caderno de Teoria e Prática 4), do GESTAR, é continui-
dade da formação iniciada no Módulo I ( TPs 1,2 e 3). Mesmo trazendo novos contextos,
situações-problema, conceitos, conteúdos matemáticos e de educação matemática, ati-
vidades para o professor e para a sala de aula (por meio da transposição didática), textos
de referências, dentre muitas outras coisas, a estrutura do material formador continua a
mesma, ou seja:
A Proposta Pedagógica de Matemática do Gestar II é estruturada a partir de três
eixos:
• Conhecimentos Matemáticos;
• Conhecimentos de Educação Matemática;
• Transposição Didática.
Nos materiais de ensino e aprendizagem, você encontrará conhecimentos relacio-
nados aos três eixos.
Os Conhecimentos Matemáticos, para o professor do Gestar II, são desenvolvidos
em dois momentos:
a) Apropriando-se da resolução de uma situação-problema como uma estratégia para
mobilizar conhecimentos matemáticos já conhecidos ou buscar outros que emergem
naturalmente no contexto.
b) Investindo na construção de conhecimentos matemáticos, a partir das situações-problema
para se chegar à elaboração de procedimentos e conceitos matemáticos.
O segundo eixo de estruturação dos materiais de ensino de Matemática do GESTAR,
o eixo Conhecimentos de Educação Matemática, perpassa os 3 elementos: situação-pro-
blema, conhecimento matemático em ação e transposição didática.
Ao se trabalhar uma situação problema, faz-se que o cursista vivencie um novo
modo de aprender matemática, a partir de situações do mundo real, e que, para sua
solução, requer a busca e a construção de conhecimentos matemáticos. Essa busca e a
construção ocorrem, portanto, a partir de necessidades geradas por uma situação real
e não impostas dentro de uma concepção linear de currículo. Portanto, faz-se uso de
teorias de Educação Matemática para ajudar o professor a crescer em sua relação com a
matemática e no modo como a utiliza em sua vida. Vivendo, na prática, um processo de
educação matemática, e aprendendo mais sobre essa área do conhecimento, o professor
cursista poderá entender e ajudar a construir a educação matemática de seus alunos.
Os conhecimentos relativos ao terceiro eixo de estruturação dos módulos, a Trans-
posição Didática, visam a ajudá-lo a conhecer, pesquisar e produzir situações didáti-
cas que facilitem o desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos em sala de aula.
(GuiaGeral)
Os autores.
Apresentação

• Unidade 17
• Unidade 18
• Unidade 19
• Unidade 20
PARTE I
TEORIA E PRÁTICA 5
GESTARTP5

Caro Professor, cara Professora,
Este Caderno de Teoria e Prática busca apresentar a atividade Matemática em con-
textos práticos, enfatizando as interações sociais, tratando em especial de questões
associadas à diversidade racial, regional e cultural. Também coloca em relevo o uso
e a importância das novas tecnologias na atual sociedade, o que está presente em
mais de uma unidade.
A partir de situações de estruturas multiplicativas que discutem a presença,
cada vez mais marcante, de códigos e senhas em nossa vida cotidiana, a Unidade 17
mobiliza conceitos e procedimentos associados à contagem. Encontramos diversas
atividades que nos permitem explorar o raciocínio combinatório, aplicando o Princí-
pio Multiplicativo da Contagem e suas representações. O Texto de Referência desta
unidade permite a você, professor em formação, por meio de visualização de estruturas
gráficas e inferências de regularidades, perceber a importância de desenvolvimento
de processos gráficos na resolução de situações de contagem.
Se na Unidade 17 há uma ênfase no Diagrama de Árvore como recurso para a
resolução de problemas de contagem, na Unidade 18 você é convidado a mobilizar
conhecimentos de gráficos e tabelas como ferramentas para a resolução de situações-
problema envolvendo raciocínio combinatório e aplicando princípios e métodos de
contagem. Estas unidades possuem uma forte articulação, uma vez que ambas exploram
conteúdos do mesmo campo conceitual: Princípios de Contagem. As duas Transposi-
ções Didáticas convidam você a explorar com seus alunos estratégias de resolução de
situações de contagem em contextos significativos para os alunos. Nesta perspectiva,
a formação o convida à leitura e reflexão de uma importante temática no campo da
Educação Matemática, ou seja, a Etnomatemática, por meio de um artigo de autoria
do Doutor Professor Ubiratan D’Ambrósio.
A questão do Meio Ambiente, em especial a da reciclagem de embalagens, é na
Unidade 19 motivação para explorar conceitos geométricos associados ao volume,
planificação e ao estudo de ângulos na circunferência. Além disso, a resolução de
equação do 2o
grau e a função quadrática aparecem como ferramentas. Os softwares
de representações dinâmicas são propostos associados a tais conteúdos matemáti-
cos e apresentados como facilitadores: é a oportunidade de muitos professores se
habilitarem a trabalhar com Excel para o estudo de funções, assim como do Cabri
para construções geométricas. Na Transposição Didática, é a calculadora que apa-
rece como ferramenta matemática e didática. A discussão sobre as possibilidades e
limites das novas tecnologias na Educação Matemática é proposta a partir do Texto
de Referência do autor.
A geometria ganha importância ao final deste Caderno quando, na Unidade 20,
um estudo mais aprofundado dos triângulos, como ferramenta na resolução de situa-
ções-problema, é realizado com foco na congruência de triângulos. Este conteúdo é
explorado por meio de diferentes aplicações em situações bem diversas, assim como
Introdução

12
Diversidade cultural e meio ambiente: de estratégias de contagem às propriedades geométricas
permite um maior aprofundamento de provas e demonstrações matemáticas. Encontra-
se, também, a vivência de importantes conceitos de transformações de figuras, tais
como: translação, rotação, simetria e homotetias. O Texto de Referência permite ao
professor leitor refletir sobre a construção do pensamento matemático desenvolvido a
partir da visualização, descrição, raciocínio por continuidade etc.
Os autores.

13
Unidade 17
Matemática e impacto social
da tecnologia da informação
Ana Lúcia Braz Dias e Sinval Braga de Freitas
Iniciando a
nossa conversa
A humanidade ao longo do tempo desenvolveu inúmeras formas de uso da tecnologia. Isto
tanto cria soluções para alguns dos problemas do homem como gera novos desafios. O uso
de recursos tecnológicos da informação como a Internet vem facilitando, por exemplo, o
acesso à rede bancária por meio de um terminal de atendimento ao cliente. Trata-se de um
facilitador na vida do homem moderno, mas ao mesmo tempo vem trazendo inúmeros pro-
blemas de segurança. Conviver com a tecnologia, sabendo utilizá-la de modo adequado é
uma habilidade que pode ser desenvolvida na escola, até mesmo nas aulas de Matemática.
Nesta Unidade, entre outros temas, discutiremos um pouco sobre essa possibilidade.
Em nosso texto inicial, integrando a Matemática com a realidade, trataremos das se-
nhas de acesso usadas para entrar em rede, ler a caixa postal, conferir o extrato bancário,
fazer compras pela Internet, ouvir o correio de voz do celular, entre outras situações.
A Matemática está totalmente presente na criação e na utilização dos recursos tec-
nológicos, e este fato tem que ser considerado na escola. Os alunos poderão se divertir
muito e compreender como os conhecimentos nesta área podem colaborar na melhor e
maior participação das situações sociais.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais prevêem que é importante propor ao aluno
situações em que ele possa coletar e organizar dados e utilizar recursos visuais adequados
(fluxogramas, tabelas e gráficos) para sintetizá-los, comunicá-los e permitir a elaboração
de conclusões1
. E, ainda, a representação e a contagem dos casos possíveis em situações
combinatórias. Dentre as atitudes a serem desenvolvidas, ressaltamos a capacidade de
investigação e a perseverança na busca de resultados, valorizando o uso de estratégias de
verificação e controle de resultados. Assim, nesta Unidade, são propostas algumas ativi-
dades em que você, professor, irá refletir sobre o papel da multiplicidade e da quantidade
de informação na formação e na resolução de novas formas de problemas sociais, além
de algumas situações-problema para início do estudo dos métodos de contagem.
O estudo sobre situações combinatórias, antes dos Parâmetros Curriculares Nacio-
nais, era realizado somente no Ensino Médio. Com as novas propostas, este conteúdo
passou a ser objeto de estudo no Ensino Fundamental, desde as séries iniciais até a 8a
série, necessitando de um aprofundamento mais sistematizado pelos professores para ser
bem explorado no Ensino Fundamental.
1. Os Parâmetros Curriculares Nacionais discutem estas habilidades ao apresentarem os conteúdos para o Ensino Fundamental (1a
parte) e, mais especificamente, ao tratarem dos conceitos e procedimentos para o quarto ciclo em relação ao bloco de conteúdo:
Tratamento da Informação.

14
Como é proposta do Gestar contribuir com o trabalho do professor, disponibilizando
idéias para a transposição didática dos conteúdos, trataremos deste assunto nas Unidades
17 e 18, com diferentes abordagens.
Esta Unidade está organizada em três Seções:
1. Resolução de uma situação-problema
Na situação-problema desta Unidade, veremos como o crescimento da complexidade
do mundo atual gera alguns problemas sociais inesperados, mas também que a grande
quantidade de informação produzida pode ser usada na solução de alguns destes novos
problemas.
2. Construção do conhecimento matemático em ação
Nesta Seção, exploraremos o campo conceitual multiplicativo, o raciocínio recursivo e a
visualização da multiplicação como repetidas iterações.
3. Transposição didática
Esta Seção discute problemas relacionados ao ensino-aprendizagem de conceitos vistos
nas Seções 1 e 2 e sugere ações relacionadas para a sala de aula.
Como as outras Unidades, esta também conterá um Texto de Referência sobre Edu-
cação Matemática, que abordará o tema “Visualização e Pensamento Matemático”.
Definindo o
nosso percurso
Ao longo desta Unidade, esperamos que você possa:
1 - Com relação aos seus conhecimentos matemáticos:
- Ser capaz de aplicar o princípio multiplicativo a problemas de contagem.
- Utilizar o diagrama de árvore como forma de representação do princípio multiplicativo.
Isto será feito nas Seções 1 e 2.
2 - Com relação aos seus conhecimentos sobre Educação Matemática:
- Aprofundar os seus conhecimentos sobre o campo conceitual multiplicativo.
- Alargar os seus conhecimentos de aplicações e problemas que se relacionam no
campo conceitual multiplicativo.
- Considerar problemas multiplicativos como forma de desenvolver o raciocínio com-
binatório e recursivo dos seus alunos.
Isto será feito em pequenos textos ao longo da Seção 2 e no Texto de Referência.
3 - Com relação à sua atuação em sala de aula:
- Elaborar atividades nas quais os seus alunos possam aplicar o princípio multiplicativo
de contagem.
- Elaborar atividades nas quais os seus alunos possam representar e visualizar o cres-
cimento multiplicativo e desenvolver o raciocínio recursivo.
Isto será trabalhado principalmente na Seção 3, mas depende também de seu desen-
volvimento pessoal decorrente do estudo da Seção 2 e do Texto de Referência.

15
Seção 1
Resolução de Situação-Problema:
Multiplicidade de Possibilidades e a Sociedade Atual
• Refletir sobre o papel da multiplicidade e da quantidade de informação na formação e
na resolução de novas formas de problemas sociais.
• Iniciar-se no estudo dos métodos de contagem.
Objetivo
da seção
Integrando a matemática ao mundo real
O uso da tecnologia nas mais variadas esferas da atividade humana vem gerando
soluções para muitos problemas, mas vem também criando novos desafios, como, por
exemplo, as preocupações com a segurança.
Cada vez mais precisamos inventar senhas de acesso e outras barreiras para rea-
lizarmos operações bancárias, utilizarmos serviços e outras atividades, capazes assim
de provar a nossa identidade e evitar fraudes.
Cada vez mais o homem moderno se torna escravo das senhas de acesso. A in-
formática, a Internet e os celulares aumentaram em muito o uso destes códigos. São
senhas para entrar em rede, ler a caixa postal, conferir o extrato bancário, fazer com-
pras pela Internet, ouvir o correio de voz do celular... Haja memória para decorar
tantas senhas!
A senha identifica o verdadeiro dono de uma conta em um sistema e garante acesso
a seus recursos. A senha de um sistema é a prova da identidade do usuário; caso caia
em mãos erradas, as conseqüências podem ser catastróficas. Por isso, todo cuidado é
pouco com a escolha da senha e com a manutenção de seu sigilo.
Por mais que as senhas representem uma forma de segurança, sempre há aqueles
que conseguem criar meios de violar o sistema.
Um novo tipo de crime, conhecido como “engenharia social”, está se tornando
comum. Ataques via engenharia social são feitos por meio de pesquisas de dados
pessoais e outras características relacionadas ao usuário (o time de futebol, a sua data
de nascimento, a da esposa, a dos filhos, o nome da atriz predileta etc.). Estes dados
coletados são usados para auxiliar na descoberta da senha da vítima. Os criminosos
que utilizam esse golpe fazem pesquisas sobre hábitos, gostos, família, emprego e
outras áreas da vida da vítima, assim podem se passar pelo usuário. É um verdadeiro
“roubo de identidade”.

16
Resolução de Situação-Problema: Multiplicidade de Possibilidades e a Sociedade Atual
Seção1
Outra forma de se apoderar de senhas e que é muito utilizada é a dedução. O
criminoso se aproveita da ingenuidade de usuários que deixam senhas em branco ou
usam senhas simples como: o próprio nome, “abcdef”, “asdfg”, “123456” e outros
tipos de senhas comuns para obter acesso ao sistema.
Senhas deduzidas são geralmente senhas muito simples ou muito usadas. Mas,
por que algumas pessoas ainda utilizam senhas tão simples? Um motivo é o medo de
esquecer a senha (quando não se consegue pensar em algo que seja ao mesmo tempo
complexo mas de fácil lembrança). Outra razão é quando o usuário é pego despreve-
nido e tem que fazer uma escolha rápida de senha.
Senhas fáceis são o primeiro motivo de sucesso de crackers2
no acesso a sistemas
de computadores. O administrador pode forçar o usuário a fazer trocas periódicas de
senhas, mas quem vai garantir que ele esteja escolhendo boas senhas para que ninguém
as descubra com facilidade?
A seguir, algumas dicas do que sejam senhas3
ruins e boas:
Senhas Ruins
• O uso da palavra senha como senha. Isto parece idiota, mas existe!
• Senhas com o mesmo nome do login (joao/joao).
• Senhas compostas por letras ou números em seqüência crescente ou decrescente
(abcdef, 123456, 654321 etc.). Estes tipos de senha podem ser adivinhados por
dedução e são as primeiras combinações que crackers usam.
• Palavras relacionadas com o gosto pessoal. Por exemplo: “escort”, “vectra”, “suba-
ru”, se a pessoa é amante de carros.
• O nome da esposa, dos filhos, dos familiares, do animal de estimação, do time de
futebol, do ídolo da TV/filmes ou qualquer coisa relacionada a familiares ou, indi-
retamente, ao usuário.
• Idade, data de aniversário, data de casamento, número de identidade, título de
eleitor, placa de carro ou qualquer coisa que seja característica do usuário.
• Palavras existentes. Um “ataque de dicionário” poderá descobrir facilmente a sua
senha.
• Senhas com menos de oito letras.
• Senhas apenas em minúsculas ou em MAIÚSCULAS.
Senhas Boas
• Uma senha boa nunca deverá ser lida, mas deverá ser de fácil lembrança. Por
exemplo, pense em uma frase importante para você, tipo: “meu sistema operacional
preferido é o Linux”. Pegue a primeira letra de cada palavra: “msopeol”. PRONTO,
está escolhida uma boa senha: fácil de se lembrar e difícil de ser quebrada por
“ataques de dicionário”.
• Uma boa senha deve conter números e letras. A senha acima poderia ser modificada
para “msopeol1”.
• Pode conter letras maiúsculas e minúsculas: “msopeoL1”.
2. Pessoas que se especializam em invadir as redes de computadores usadas por corporações e várias outras organizações. O alvo
primordial dos crackers é o servidor da rede, pois, se eles conseguem acesso a este que geralmente é o mais bem protegido, torna-se
muito fácil conseguir acesso ao restante da rede.
3. Fonte: http://www.pcs.usp.br/~jkinoshi/ftp/foca/foca3/ch-d-contas.html#s-d-contas-cms-senhas

17
Matemática e impacto social da tecnologia da informação
Unidade17
• Deve conter oito caracteres, sempre que possível. Isso aumenta bastante o número de
combinações necessárias para se quebrar uma senha. Mesmo que a senha escolhida
não chegue aos oito caracteres mínimos, você poderá combiná-la com números.
OBS: NUNCA dê pistas sobre a sua senha! Para você isso pode ser um desafio lançado
a outras pessoas e de quase impossível resolução, mas não se esqueça de que muita
gente é especializada neste tipo de dedução.
Atividade 1
Considerando as dicas dadas anteriormente, vamos ver como uma boa senha pode aumen-
tar a dificuldade de alguém adivinhá-la por dedução ou por sorte ou, ainda, recorrendo a
programas de computador que testam todas as possibilidades para aquela senha.
a) Invente uma senha de oito caracteres usando as letras do alfabeto. Procure não cair
nas armadilhas citadas, como colocar as suas preferências ou os nomes de pessoas
da família. Se alguém tentasse descobrir a senha testando todas as possibilidades de
senhas de oito caracteres usando letras do alfabeto, quantas possibilidades teriam que
ser testadas?
b) Agora acrescente também números. Em quanto aumentamos as possibilidades a serem
testadas?
c) Finalmente, defina que as letras tanto possam ser maiúsculas ou minúsculas. Como isto
aumenta o número de possibilidades?
d) Você acha que as dicas dadas foram boas? Que outras dicas você daria para aumentar
o número de senhas possíveis e assim dificultar as tentativas de adivinhação por parte
de pessoas mal intencionadas?

18
Seção 2
Construção do conhecimento matemático
em ação: Multiplicidade e Contagem
Ao longo desta Seção, você deverá ser capaz de:
• Utilizar o princípio fundamental de contagem.
• Desenvolver procedimentos sistemáticos para enumerar possibilidades em problemas
de contagem.
• Ampliar o conceito de multiplicação, como simples adição de parcelas iguais para o
raciocínio combinatório.
• Utilizar diagramas de árvores para representar o princípio multiplicativo.
Objetivo
da seção
Um Princípio Fundamental de Contagem
Adaptação de uma tirinha publicada na revista Linus.

19
Unidade17
O aluno da ilustração está tentando adivinhar o gabarito de uma prova do tipo “ver-
dadeiro ou falso”. Será que o aluno consegue “gabaritar” a prova assim?
Se a prova tiver 20 questões, quantos gabaritos possíveis existem?
Para examinar esta questão, vamos listar todas as possibilidades de gabarito para
algumas provas de “verdadeiro ou falso” ou “V ou F”:
Uma prova com apenas uma questão que tivesse alternativas de respostas V ou F
teria dois possíveis gabaritos. Ou a resposta certa (gabarito) seria V, ou seria F.
Uma prova com duas questões teria quatro possíveis gabaritos: VV, VF, FV, FF.
Com três questões, o número de possibilidades cresce para oito: VVV, VVF, VFV,
VFF, FVV, FVF, FFV, FFF.
Com quatro questões, existem 16 possibilidades: VVVV, VVVF, VVFV, VVFF, VFVV,
VFVF, VFFV, VFFF, FVVV, FVVF, FVFV, FVFF, FFVV, FFVF, FFFV, FFFF.
O número de gabaritos possíveis cresce muito rapidamente conforme o número de
questões aumenta. Listar todas as possibilidades torna-se muito trabalhoso (e entediante).
Precisamos encontrar um modo de descobrir o número de gabaritos possíveis sem
que seja necessário contá-los um por um.
Vamos examinar de forma sistemática como procedemos quando tentamos fazer
uma lista de todas as possibilidades.
No caso de uma prova com duas questões:
Temos que combinar cada resposta possível para a primeira questão com cada res-
posta possível para a segunda questão. Veja o Diagrama 1 abaixo:
As possibilidades resultantes são: VV, VF, FV, FF – representadas no Diagrama 1
por linhas coloridas.
Podemos ilustrar isto de outras formas:
Diagramas de árvores
A primeira questão tem duas possibilidades: pode ser V ou F.
Para cada uma destas possibilidades, temos que imaginar as possibilidades para a
segunda questão:
Diagrama 1

20
Construção do conhecimento matemático em ação: Multiplicidade e Contagem
Seção2
Este tipo de diagrama (Diagrama 2) é conhecido como “diagrama de árvore”: cada
linha, ou “ramo” da árvore, se ramifica em mais linhas, ou “ramos”, conforme o número
de possibilidades que se abram para cada escolha.
Visualizamos as quatro possibilidades resultantes nas quatro linhas coloridas, ou
“ramos”, do diagrama.
Tabelas
Podemos organizar as possibilidades de gabarito para a prova de duas questões também
em uma tabela:
As tabelas podem auxiliar a enumeração de todos os cruzamentos possíveis entre
as possibilidades de dois fatores – por exemplo: duas questões de prova, cada uma com
várias possibilidades de resposta.
Na primeira coluna, colocamos as possíveis respostas para a questão 1, e, na primeira
linha, colocamos as possíveis respostas para a questão 2. Estas não são realmente parte
dos dados – são um cabeçalho (que representamos aqui com células cinzas).
Os dados que nos interessam, ou as possibilidades encontradas, estão nas quatro
células representadas em amarelo – neste caso, quatro possibilidades.
Um estudo mais aprofundado sobre a construção de tabelas para a organização das
possibilidades será realizado na Unidade 18.
F
VF
FF
V
VV
FV
V
F
2a
Questão
1a
Questão
Tabela 1
Diagrama 2

21
Unidade17
Relembrando o que tratamos no Módulo I, retomamos a idéia de que, ao discutir a
Teoria de Quadros, Regine Douady lembra que aprender Matemática é navegar entre
as diferentes e possíveis formas de representação de um mesmo objeto matemático. O
aprender Matemática contempla a valorização de idéias ligadas à intuição e à percepção
espaço/temporal, grandeza e outras. É imprescindível a criação, no espaço da sala de
aula, de um fórum democrático, com permanente troca e confronto de saberes, buscando
a descoberta entre partícipes na construção do conhecimento. Nesse espaço, podemos
encontrar múltiplas formas de resolver uma situação matemática, assim como múltiplas
possibilidades de representá-las. Diversas dimensões devem ser consideradas: – o plano
das idéias; – o plano das representações mentais; – o plano dos registros; – o plano da
comunicação; – o plano da argumentação. É preciso considerar sempre que a construção
do conhecimento matemático constitui-se em um longo e complexo processo que por
vezes não é trabalhado pela escola de forma plena.
Articulando
conhecimentos
Atividade 2
Digamos que você tenha que ajudar os seus alunos a escolher o noivo e a noiva da festa
junina da escola. Como vários alunos queriam participar, foi resolvido que a escolha seria
por meio de um sorteio.
Os candidatos a noivo são: Antônio, Benedito, Carlos e Daniel.
As candidatas a noiva são: Ângela, Beatriz, Célia, Denise, Eunice e Fabrícia.
A turma resolveu sortear primeiro o noivo e depois a noiva.
Fabrícia estava querendo muito que ela e Carlos fossem os escolhidos. Qual a pro-
babilidade de isto acontecer?
a) Qual a probabilidade de Carlos ser sorteado?
b) Qual a probabilidade de Fabrícia ser sorteada?
c) Qual a probabilidade de o casal sorteado ser formado por Carlos e Fabrícia?
d) Mostre, em um diagrama de árvores, todas as possibilidades de casais que podem ser
formados e responda quantos são ao todo?
Na Unidade 7, aprendemos que em uma situação na qual haja n possibilidades de resul-
tados, onde todos têm a mesma chance de acontecer, a probabilidade de cada um destes
resultados é 1/n.
Articulando
conhecimentos

22
Seção2
Quando consideramos simultaneamente dois eventos de probabilidade p e q, res-
pectivamente, e queremos saber a probabilidade de que os dois aconteçam ao mesmo
tempo, a probabilidade de ocorrência simultânea será p vezes q. Isto pode ser explicado
pelo princípio multiplicativo de contagem. Na Atividade 5, temos um exemplo desta
observação.
Atividade 3
Vamos examinar agora o caso de uma prova que combine questões de múltipla escolha
com questões de “verdadeiro ou falso”, da seguinte forma:
a) a primeira questão é de múltipla escolha e pode ter uma entre quatro respostas: a, b,
c ou d;
b) a segunda questão é do tipo “verdadeiro ou falso”;
c) a terceira questão é de múltipla escolha e pode ter uma entre três respostas: a, b, ou c.
Represente as possibilidades para cada questão no diagrama de árvores abaixo (Dia-
grama 3), colocando os gabaritos resultantes na coluna à direita do diagrama.
Diagrama 3

23
Unidade17
Observe o diagrama formado. Há quatro repetições do “tronco” principal da árvore
(colocado dentro do retângulo azul, no Diagrama 4); nele aparecem duas repetições de um
conjunto menor de galhos (colocado dentro do retângulo vermelho, no Diagrama 4); este
conjunto menor de galhos tem três ramos, referentes às três possibilidades da questão 3.
Sintetizando
O conjunto menor de 3 ramos aparece 2 vezes em cada tronco principal, que por sua
vez ocorre 4 vezes.
O total de possibilidades pode ser então computado como:
4 x 2 x 6 = 24 possíveis gabaritos
Na resolução desta situação-problema, resgatamos o conceito de combinação
na multiplicação, conceito este pouco explorado nas séries iniciais, pois o professor
privilegia o conceito aditivo.
Atividade 4
a) Se mudássemos a situação retratada na Atividade 3, colocando, na questão 1 da pro-
va, mais uma alternativa – letra “e” –, em quanto seria acrescido o número total de
gabaritos possíveis?
b) E se, deixando a questão 1 como estava (com quatro possibilidades apenas), colocás-
semos mais uma alternativa na questão 3 – alternativa “d”? Em quanto seria acrescido
o número total de gabaritos possíveis?
Diagrama 4

24
Seção2
Vemos que o acréscimo de uma possibilidade em uma das questões pode não ter o
mesmo efeito no total de gabaritos possíveis que o acréscimo de uma possibilidade teria
em uma outra questão! Por que será que isto acontece?
No item “a”, o total de possibilidades, que era 4 x 2 x 3, passou a ser
(4 + 1) x 2 x 3 = 5 x 2 x 3.
No item “b”, o total de possibilidades, que era 4 x 2 x 3, passou a ser
4 x 2 x (3 + 1) = 4 x 2 x 4.
A unidade adicionada em uma das questões vai significar o acréscimo de diferentes
quantidades no total, pois estamos trabalhando no campo conceitual multiplicativo.
No item “a”, o total de possibilidades, que era 4 x 2 x 3, passou a ser (4 + 1) x 2
x 3 = (4 x 2 x 3) + (1 x 2 x 3), que é o total que tínhamos anteriormente mais uma vez a
quantidade (2 x 3). Os parênteses que colocamos do lado direito da expressão não são
necessários, mas estão lá para evidenciar as duas quantidades somadas.
No item “b”, o total de possibilidades, que era 4 x 2 x 3, passou a ser 4 x 2 x (3 +
1) = (4 x 2 x 3) + (4 x 2 x 1), que é o total que tínhamos anteriormente mais uma vez a
quantidade (4 x 2).
Ao adicionarmos um item no caso “a”, estamos na verdade adicionando a quanti-
dade (2 x 3). Ao adicionarmos um item no caso “b”, estamos na verdade adicionando a
quantidade (4 x 2).
Sintetizando
Ao explicarmos a situação da forma como fizemos acima, estamos tratando a adição
como uma soma de parcelas repetidas. Observe que estamos “traduzindo” a multipli-
cação em termos de uma adição.
Uma forma mais direta de se entender a multiplicação é atribuir a um ou mais dos
fatores envolvidos o papel de “operador” – um número que nos dirá quantas iterações
ou repetições de uma operação devemos fazer.
Assim, em 2 x 3, o número 3 representa uma quantidade, enquanto o 2 representa
quantas vezes deveremos acrescentar a quantidade 3 – quantas iterações ou repetições
serão feitas.
Vamos empregar a interpretação expressa no quadro acima na situação proposta
nas atividades anteriores:
• No diagrama de árvore feito para a situação representada na Atividade 3, como já vi-
mos, há quatro repetições do “tronco” principal da árvore (dentro do retângulo azul,
no Diagrama 4), pois a situação representada é 4 x 2 x 3.
• No item “a” da Atividade 4, no qual adicionamos um item à primeira questão e passa-
mos a ter a situação 5 x 2 x 3, acrescentamos uma repetição do “tronco principal”, o
que nos daria um diagrama com cinco iterações ou repetições deste “tronco”, como o
Diagrama 5 (as partes acrescentadas estão em azul).
• No item “b” da Atividade 4, no qual adicionamos um item à terceira questão e pas-
samos a ter a situação 4 x 2 x 4, acrescentamos um “ramo” na extremidade direita da
“árvore”, e este novo desenho será repetido oito vezes, como no Diagrama 6 (as partes
acrescentadas estão em azul).

25
Unidade17
Dissemos que, ao adicionarmos um item no caso “a”, estamos na realidade adi-
cionando a quantidade (2 x 3). E que, ao adicionarmos um item no caso “b”, estamos
na verdade adicionando a quantidade (4 x 2). Então, na verdade, o que vai influenciar o
efeito do acréscimo de uma unidade a mais em um dos fatores é:
• Quantas vezes esta unidade será repetida.
ou
• A quantidade que esta unidade estará repetindo.
Diagrama 5
Diagrama 6

26
Seção2
Atividade 5
a) Quantos gabaritos seriam possíveis em uma prova de cinco questões, que fosse estru-
turada da seguinte forma: quatro alternativas para a questão 1; cinco alternativas para
a questão 2; quatro alternativas para a questão 3; cinco alternativas para a questão 4;
e três alternativas para a questão 5?
b) Se acrescentarmos uma alternativa à questão 1, o número de gabaritos possíveis passaria
a ser
c) Se mantivermos a questão 1 com quatro alternativas e acrescentarmos uma alternativa
à questão 5, o número de gabaritos possíveis passaria a ser
Como as possibilidades se multiplicam!
Uma observação pode decorrer da discussão destas atividades:
O Diagrama 5 mostra a unidade acrescentada (a alternativa “e” da questão 1 da prova)
como uma repetição a mais da parte em azul (que, por sua vez, representa 2 x 3):
1 x 2 x 3 = 1 vez (2 x 3)
Já no Diagrama 6, a unidade acrescentada (a alternativa “d” da questão 3 da prova) é
representada como uma unidade repetida oito vezes:
(4 x 2) x 1= 8 vezes a unidade acrescentada.
Não poderíamos alternar estas interpretações? Quer dizer, não poderíamos pensar:
• a situação do item “a” como: (2 x 3) vezes a unidade acrescentada;
e
• a situação do item “b” como: 1 vez (4 x 2)?
O que você acha?
É lógico que o número de possibilidades acrescentadas ao problema não se alterará
com esta nova interpretação, pela própria comutatividade da multiplicação:
1 x 2 x 3 = 2 x 3 x 1
e
4 x 2 x 1 = 1 x 4 x 2
Professor, deixamos como desafio a construção de diagramas de árvore destas duas
interpretações, para comparar se as possibilidades que elas originam são as mesmas. Para
isto, basta trocar a ordem em que as questões se apresentam no diagrama de árvore. As pos-
sibilidades originadas se alteram ao desenharmos o diagrama em outra ordem? Vamos pensar
nisto mais adiante, quando examinarmos mais a fundo como “ler” um diagrama de árvore.
Visualizando o Princípio Multiplicativo
Vimos como usar diagramas e tabelas para ajudar-nos a encontrar e a registrar todas as
possibilidades quando temos vários fatores combinados, onde cada um pode assumir um
certo número de valores.

27
Unidade17
As representações gráficas são uma forma poderosa de aguçar o nosso senso de como as
possibilidades se multiplicam quando consideramos um ou vários fatores a mais. A visualiza-
ção é sempre uma forma de desenvolver as nossas intuições sobre conceitos matemáticos.
Diagramas de árvores
Quando usamos um diagrama de árvore para representar uma situação onde se aplica o
princípio multiplicativo, como são visualizadas as possibilidades originadas?
Consulte novamente o diagrama 3 e os dados que você agregou a ele. Lá colocamos,
à direita, linhas horizontais onde você pôde listar os gabaritos formados.
Onde está representado cada um destes gabaritos no diagrama de árvore que você
completou?
Percebemos que cada possibilidade é formada por um caminho diferente, por um
conjunto de segmentos que combinam possibilidades particulares de cada questão da
prova para formar o gabarito.
Vejamos outro exemplo:
O Diagrama 7, a seguir, mostra as possibilidades geradas ao aplicarmos o princípio
multiplicativo à seguinte situação:
“Temos dois tipos de calça: lisa e estampada; dois tipos de blusa: de manga comprida
e de manga curta; e dois pares de sapato: um marrom e um preto. Vamos escolher uma
calça, uma blusa e um par de sapatos. Quantas escolhas diferentes podemos fazer?”
A possibilidade “calça lisa, blusa de manga comprida e sapatos pretos” é representa-
da por um caminho no diagrama. A possibilidade “calça lisa, blusa de manga comprida
e sapatos marrons” é representada por outro caminho. Os dois caminhos têm uma parte
em comum, como vemos no Diagrama 8, partes “a” e “b”:
Diagrama 7

28
Seção2
Diagrama 8: Visualização de possibilidades no diagrama de árvore
Parte a:
Visualização da possibilidade
“calça lisa, blusa de manga comprida
e sapatos pretos”.
Parte b:
Visualização da possibilidade
“calça lisa, blusa de manga comprida
e sapatos marrons”.
Diagrama 8

29
Unidade17
Atividade 6
a) Construa um diagrama de árvore para representar a seguinte situação:
“Temos que montar um cardápio para um almoço. Podemos escolher um entre três
tipos de carnes: ave, peixe ou boi. Também temos quatro tipos de raízes e queremos
usar apenas uma: batata, cenoura, beterraba ou inhame. Além disso, temos três tipos
de verduras, dentre as quais vamos escolher uma: agrião, couve ou espinafre”.
b) Use cores diferentes para mostrar onde estão representadas as possibilidades:
1. peixe, beterraba, couve;
2. ave, beterraba, agrião;
3. boi, batata, espinafre.
c) Faça dois novos diagramas para representar:
1. Um acréscimo de uma possibilidade de verdura: alface.
2. Uma nova possibilidade quanto à carne: “sem carne”.
Use cores diferentes para ressaltar as novas possibilidades criadas.
Atividade 7
Ao jogarmos um dado, seis possibilidades de resultados: os números 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Ao lançarmos uma moeda, temos dois possíveis resultados: cara ou coroa. A Figura 1
mostra dois diagramas de árvore das possibilidades que temos ao lançarmos um dado e
uma moeda simultaneamente, há diferença entre o diagrma (a) e (b).
Figura 1

30
Repare que os diagramas (a) e (b) têm aparências distintas. O diagrama (a) mostra
duas repetições das seis possibilidades de resultados do lançamento de um dado. O dia-
grama (b) mostra seis repetições das duas possibilidades de resultados do lançamento de
uma moeda.
No entanto, as possibilidades representadas são as mesmas.
A ordem em que organizamos o diagrama de árvore não altera as possibilidades
originadas.
Resumindo
Nesta Seção, vimos que:
• Se temos que considerar n fatores e, para cada um deles, temos a1
, a2
, ... , an
possi-
bilidades de escolha, respectivamente, o número total de possibilidades de escolha
que temos é: a1
x a2
x ... x an
. (Princípio fundamental de contagem ou princípio
multiplicativo de contagem).
• Uma boa representação é um importante auxílio na resolução de problemas de conta-
gem. Modos de representação originais precisam ser bem construídos e compreendidos
para tornarem-se uma ferramenta para identificar e organizar possibilidades. Nesta
Unidade, enfocamos o diagrama de árvore como uma forma de representação.
• Se a probabilidade de um evento A acontecer é p, e a probabilidade de um evento
B acontecer é q, a probabilidade de os eventos A e B acontecerem simultaneamente
é p x q.
Seção 3
Transposição Didática –
Princípio Fundamental de Contagem
Ao longo desta Seção, você irá:
• Examinar formas de ajudar os seus alunos a desenvolverem métodos sistemáticos de
contagem, utilizando o princípio multiplicativo.
• Conhecer as principais necessidades e dificuldades dos alunos na utilização do princípio
multiplicativo de contagem.
Objetivo
da seção

31
Unidade17
Na Seção 2, examinamos o princípio fundamental de contagem e os modos de re-
presentação visual do princípio multiplicativo, utilizando diagramas de árvore.
Isto nos levou a ver como multiplicações podem ser vistas como iterações de certos
atos ou operações.
O campo conceitual multiplicativo inclui as operações de iteratividade e de
recursividade, e estas são habilidades e tipos de raciocínio pouco explorados com
os alunos. No entanto, estas habilidades são importantes para o desenvolvimento
de habilidades de contagem que não estejam simplesmente baseadas na aplicação
de fórmulas.
As pesquisas sobre como ensinar o princípio multiplicativo destacam a importância
do uso do diagrama de árvore. Trabalhe com os seus alunos a construção desse tipo de
diagrama, propondo problemas de contagem e adicionando gradativamente mais possi-
bilidades aos fatores envolvidos, como fizemos na Seção 2. Isto permitirá que eles desen-
volvam o raciocínio recursivo.
Atividade 8
Observe uma rima inglesa infantil, datada do século XVIII, que propõe um interessante
problema de contagem. Represente o problema com um diagrama e responda a pergunta
que aparece no final da rima:
A Caminho de St. Ives
A caminho de St. Ives,
Encontrei um homem com sete esposas,
Cada esposa tinha sete sacos,
Cada saco tinha sete gatas,
Cada gata tinha sete filhotes,
Filhotes, gatas, sacos e esposas,
Quantos iam a caminho de St. Ives?
Santo Ivo - St. Ives, em sua língua original, é uma pequena cidade inglesa perto de Cam-
bridge, que deve o seu nome ao bispo persa que morreu na localidade por volta de 600.
Esta é uma atividade muito interessante e muito produtiva que você, professor, deve
desenvolver com os seus alunos.
Atividade 9
Um problema similar ao visto anteriormente aparece no tratado chinês Manual Aritmético
do Mestre Sol, do século III:

32
Transposição Didática – Princípio Fundamental de Contagem
Seção3
Vemos 9 aterros,
cada aterro tem 9 árvores,
cada árvore tem 9 ramos,
cada ramo tem 9 ninhos,
cada ninho tem 9 pássaros,
cada pássaro tem 9 filhotes,
cada filhote tem 9 penas,
cada pena tem 9 cores.
Quantos há de cada?
Novamente faça desenhos ilustrando esta situação, como forma de visualização do
princípio multiplicativo, e encontre a resposta para a pergunta: “quantos há de cada?”
Proponha em sala de aula outros problemas simples, semelhantes aos das atividades,
que envolvam o princípio multiplicativo de contagem em contextos que sejam familiares
aos seus alunos. Registre e sistematize as produções de alguns.
Resumindo
Nesta Seção, nós examinamos algumas formas de ajudar os seus alunos a desenvolve-
rem métodos sistemáticos de contagem, utilizando o princípio multiplicativo e algumas
estratégias de trabalho para o conhecimento das principais necessidades e dificuldades
deles mesmos na utilização do princípio multiplicativo de contagem.
Vimos que o campo conceitual multiplicativo inclui as operações de iteratividade
e de recursividade, que são habilidades importantes para o desenvolvimento de situ-
ações-problema de contagem que não estejam simplesmente baseadas na aplicação
de fórmulas.
Novamente destacamos a importância do uso do diagrama de árvore para ensinar
o princípio multiplicativo e a validade dos desenhos para ilustrar e visualizar este
princípio.

33
Leituras sugeridas
BACKY, A. C.; POPPE, L. M. B.; TAVARES, R.N.O. Prelúdio à Análise Combinatória.
São Paulo: Nacional, 1975.
Neste livro encontramos alguns interessantes problemas para o início do estudo sobre a
análise combinatória.
LIMA, C. P. Genética: o estudo da herança e da variação biológica. São Paulo: Ática,
2002.
Este livro apresenta algumas aplicações do raciocínio combinatório à Genética que poderão
contribuir com o trabalho do professor, ilustrando como a Matemática é um instrumento
de desenvolvimento da ciência.

34
Transposição Didática – Princípio Fundamental de Contagem
Seção3
Bibliografia
BIGODE, A.J.L. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2000.
DANTE, L.R. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2002.
DANTE, L.R. Matemática, contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2002.
IMENES, L.M.P.; LELLIS, M. Matemática. 2a
ed. São Paulo: Scipione, 1997.
LONGEN, A. Matemática: Uma atividade humana. 1a
ed. Curitiba: Base Editora, 2003.
NELSEN, R.B. Proofs Without Words . Exercises in Visual Thinking. Published and distri-
buted by The Mathematical Association of America, 1993.
PAIVA, M. Matemática: Conceitos, Linguagem e Aplicações. 1a
ed. São Paulo: Moderna,
2002.
VASCONCELOS, M.J.; SCORDAMAGLIO, M.T.; CÂNDIDO, S. Matemática. Coleção
Matemática Ensino Médio. Projeto escola e cidadania para todos. São Paulo: Editora do
Brasil, 2004.
Sites Consultados
http://jbonline.terra.com.br/jb/papel/cadernos/internet/2002/01/09/jorinf20020109001.
html
http://www.cs.kent.edu/~potter/wwwace/www610/a-ac.html
http://www.malhatlantica.pt/mathis/Problemas/Ives/Ives.htm
http://www.pcs.usp.br/~jkinoshi/ftp/foca/foca3/ch-d-contas.html#s-d-contas-cms-senhas

35
Texto de referência
Visualização e pensamento matemático4
Adaptado de Proofs without words5
Como parte de uma coletânea de artigos sobre visualização no ensino e na aprendizagem
de Matemática, os autores Einsenberg e Dreyfus escreveram um texto onde afirmam:
O grande matemático Lefschetz via a Matemática não como lógica, mas como imagens.
A respeito do que considerava construir um ser matemático, ele afirmava que “para ser
um acadêmico da Matemática, é preciso nascer... com a habilidade de visualizar”.
HALMOS (apud EINSEBERG; DREYFUS, 1993)6
.
Muitos professores esforçam-se para desenvolver essa capacidade em seus alunos.
O matemático Polya, famoso por seu livro A arte de resolver problemas, tinha sempre um
conselho pedagógico clássico: “desenhe uma figura...”. São também bem conhecidas as
posições de Einsten e Poincaré, de que devemos usar as nossas intuições visuais.
O objetivo deste texto é fazer você refletir sobre esse tema. O que você entende
por visualização? Você consegue diferenciar a visualização de um objeto do cotidiano da
visualização de um objeto matemático? Nesses objetos, estão incluídos sólidos: represen-
tações planas, gráficos e padrões numéricos.
Será possível, a partir da capacidade de visualização de objetos matemáticos, desen-
volver o pensamento matemático? Vale a pena desenvolver essa capacidade nos alunos?
Apresentaremos a seguir uma série de exemplos retirados do livro Proofs without words,
que é traduzido como: problemas sem palavras. Nos três exemplos, você poderá perceber
que existem uma imagem e uma fórmula matemática construída a partir da visualização
desta imagem, ou seja, da construção de uma intuição visual.
Você poderá testar e desenvolver a sua própria capacidade de visualização, refletindo
sobre a validade da implementação dessa proposta em sua prática pedagógica.
Exemplo 1:
4. Nilza Eigenheer Bertoni (tradução e adaptação).
5. Livro Proofs without words, de Roger B. Nelsen. The Mathematical Association of América.
6. Paul Halmos, matemático norte-americano, que realiza pesquisas sobre o ensino da Matemática por meio de problemas.

36
1 + 2 + ... + n =
1
2
n (n + 1)
Observe que o número de bolas (claras ou escuras) foi indicado pela soma do nú-
mero de bolas em cada coluna e igualado ao número de bolas que ocupam a metade do
retângulo.
Exemplo 2:
No primeiro membro, indique o número total de quadrados (incluindo os que estão
divididos), representado pela soma do número de quadrados em cada coluna.
No segundo membro, pense na área do triângulo retângulo branco acrescida das áreas
dos triângulos retângulos amarelos. Sendo n a quantidade de linhas, ou colunas contadas.
1 + 2 + ... + n =
n2
2
+
n
2
Exemplo 3:

37
Agora é com você!
Iguale a soma total 1 + 3 + .... a um valor que você reconhece visualmente e ge-
neralize.
7. DUVAL, R. Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Berne: Peter Lang. 1995.
BOLDA, C. F. Geometria e visualização: desenvolvendo a competência heurística através da reconfiguração. 152 p. Dissertação
(Mestrado em Educação) – Centro de Ciências da Educação, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 1997.
Atividade 9
Professor, após esse estudo, busque outros exemplos em que o uso de figuras constituiu-se
em elemento fundamental na resolução da situação-problema. Pesquisas7
mostram que, na
resolução de problemas em Matemática, a criação de uma figura auxilia o aluno a melhor
representar o caminho que está sendo pensado, dando um suporte intuitivo e permitindo
a melhor visualização do objeto matemático.
Oriente os seus alunos em experiências da utilização de sua intuição visual, pesqui-
sando novos padrões numéricos e geométricos. Incentive-os a criar novos desafios.

41
Solução das atividades
Atividade 1
Resposta pessoal.
Atividade 2
a) 1/4 ou 25%.
b) 1/6 ou 16,7%.
c) 1/24 ou 4,2%.
d) 24 casais.
^

42
Soluçãodasatividades
Atividade 3
Atividade 4
A resposta está no texto.
Atividade 5
a) 4 x 5 x 4 x 5 x 3 = 1200.
b) 5 x 5 x 4 x 5 x 3 = 1500.
c) 4 x 5 x 4 x 5 x 4 = 1600.
1a
questão: 2a
questão: 3a
questão: Gabarito:

43
Unidade17
Atividade 6
a)
b) 2.
b) 1.
b) 3.

44
c) 1.

45
Unidade17
c) 2.

46
Atividade 7
Respondida no texto.
Atividade 8
Esposas = 7
Sacos = 7 x 7 = 49
Gatas = 7 x 7 x 7 = 343
Filhotes = 7 x 7 x 7 x 7 = 2.401
Total = 2.800
Atividade 9

47
Unidade 18
Matemática e interações sociais
Ana Lúcia Braz Dias e Sinval Braga de Freitas
Iniciando a
nossa conversa
Uma das idéias centrais dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) é a de que a edu-
cação contenha e se oriente por valores de reconhecimento e apreciação da diversidade
cultural. O documento apresenta uma visão afirmativa desta diversidade como riqueza
humana a ser explorada e traz um denso material a ser usado nas escolas, em todas as
disciplinas. O tema da diversidade não se reduz, no entanto, à valorização construtiva da
multiplicidade de culturas e tradições existentes no Brasil, mas abarca também a educação
voltada para a quebra do preconceito, da discriminação e do racismo.
Uma das propostas do PCN é o combate à idéia da uniformidade da sociedade
brasileira, à propagação do mito de que a sociedade brasileira tenha na homogeneidade
uma realidade ou meta.
Incluir no currículo escolar elementos para construir um quadro verdadeiro do que
é o Brasil é fundamental para mudar atitudes preconceituosas, educando as crianças em
uma atmosfera onde se desenvolva o respeito à alteridade, à tolerância, à apreciação de
tradições e a valores alheios.
As diferenças precisam ser vistas como um fato, não somente nas formas de ma-
nifestação cultural, mas também nas heranças genéticas de povos que vieram de várias
partes do mundo para conviver no Brasil, e que trouxeram pluralidade também à aparên-
cia física das pessoas, o que se reflete no acesso aos espaços sociais, na possibilidade de
participação na sociedade, nas formas de afirmação social e de experiências diversas de
construção de cidadania.
É necessário que sejam pensadas ações permanentes que possibilitem ao aluno per-
ceber essa multiplicidade de relações provenientes da pluralidade cultural existente em
nosso país. Em todas as disciplinas, podem-se planejar atividades que permitam identifi-
car, caracterizar, refletir e discutir sobre as diversas formas de inserção social das pessoas
que, em suas diferenças, personificam a pluralidade cultural. A Matemática, como todas
as outras áreas do conhecimento, pode ajudar a desenhar este quadro, no tratamento
das informações existentes sobre as diversas raças do Brasil e o acesso delas à educação,
saúde, emprego e boas condições de vida. A análise matemática dos dados que mostram
quantitativamente o preconceito, a discriminação e o racismo podem, em muito, contribuir
com a formação de idéias e atitudes.
Considerando estas afirmações, a Unidade está organizada em três Seções:
1 – Resolução de uma situação-problema
Na situação-problema desta Unidade, você examinará um modelo matemático, retirado das
aplicações da Matemática às Ciências Sociais, que procura relacionar tamanho de grupos

48
de pessoas com a tendência à geração de conflitos. O problema é apresentado de forma
ilustrativa, permitindo que você possa investigar a situação com profundidade gradativa,
evitando um pouco a complexidade que as questões sociais apresentam para a matemati-
zação. Buscaremos guiá-lo para o exame de algumas relações e para a revisão de alguns
conteúdos presentes neste contexto, tais como: a organização de dados, os problemas de
contagem, combinatória e proporcionalidade. A situação-problema foi selecionada com
a finalidade de ajudá-lo a perceber a necessidade de utilizarmos formas sistemáticas de
contagem, com o objetivo de melhor compreender as questões sociais.
2 – Construção do conhecimento matemático em ação
Professor, continuamos nesta Unidade o estudo iniciado na Unidade 17 sobre as formas
sistemáticas de contagem.
Nesta Seção, exploraremos os métodos de contagem, o princípio fundamental de
contagem e o raciocínio combinatório.
3 – Transposição didática
Esta Seção discute problemas relacionados ao ensino-aprendizagem de conceitos vistos
cação Matemática, que abordará o tema “Etnomatemática”.
Definindo o
nosso percurso
- Resolver situações-problema envolvendo métodos de contagem.
- Explorar o raciocínio combinatório.
- Utilizar a tabela como forma de representação do princípio multiplicativo.
Isto será feito nas Seções 1 e 2.
- Reconhecer a possibilidade de produção de conhecimento matemático por todos os
grupos sociais.
- Perceber a relação entre legitimidade de formas diversas de conhecimento matemá-
tico e a posição sócio-econômica dos grupos que as produzem.
- Elaborar atividades nas quais os seus alunos possam desenvolver formas sistemáticas
de contagem.
- Formular situações em que métodos de contagem permitam que os alunos exercitem
o raciocínio combinatório.

49
Seção 1
Resolução de situação-problema: “Contar
para conhecer” – Métodos de contagem como
forma de descobrir padrões e relações sociais
• Identificar a importância da Matemática no retrato das relações sociais.
• Examinar e criticar um modelo matemático.
• Rever o conceito de probabilidade.
Objetivo
da seção
Pluralidade e relações sociais
“Ação afirmativa” e “cotas” são termos amplamente utilizados no cenário atual bra-
sileiro. Fala-se em cotas de 30% para mulheres em partidos políticos, em cotas de
20% de negros nas universidades, de 10% para portadores de deficiências nos cargos
públicos etc., como forma de conceder oportunidades mais significativas a estes grupos
que não têm tido acesso a estes espaços.
O assunto ainda é tabu, e muita gente prefere evitá-lo considerando que tais medidas
só se justifiquem em países como os Estados Unidos e África do Sul, tão famosos na
mídia por conflitos entre grupos sociais: grupos raciais lutando por igualdade, mulheres
lutando por direitos, homossexuais buscando reconhecimento… Isto tudo parece coisa
que só acontece em outros países. O que estará acontecendo com o Brasil?
Muitas pessoas tendem a acreditar que o motivo de esses grupos se manifestarem e
dos conflitos virem à tona em outros países é que a situação deles lá deve ser pior do
que a que se vive aqui. No entanto, o que faz a questão da convivência entre grupos
sociais diversos ser diferente no Brasil não é tanto a natureza ou a magnitude das injus-
tiças sociais existentes, mas uma diferença na percepção e nas crenças das pessoas.
Tradicionalmente, os brasileiros têm-se enamorado tanto da idéia de harmonia
entre as raças que se negam a admitir que qualquer injustiça social tenha base na cor
ou na aparência das pessoas. As injustiças e discriminações são atribuídas ao que se
acostumou designar “preconceito social” em oposição a “preconceito racial”.
Em tempos recentes, porém, a natureza racial das desigualdades tem sido progres-
sivamente demonstrada pelas pesquisas em Ciências Sociais.
Embora negada com indignação em discussões abertas, a discriminação no em-
prego, na escola e em outras situações do cotidiano tem sido amplamente pesquisada
e documentada, ocorrendo tal como nas sociedades segregadas.

50
Resolução de situação-problema: “Contar para conhecer” – Métodos
de contagem como forma de descobrir padrões e relações sociais
Seção1
Negros deixam a escola antes dos brancos, diz pesquisa
Estudo feito pelo Inep aponta dois dados preocupantes relacionados à desigualdade
racial na educação brasileira. Alunos negros, quando ingressam na escola, param de
estudar antes do que os brancos. Além disso, de 1995 a 2001, apresentaram uma
queda mais acentuada no desempenho.
O levantamento também reforça o resultado de um trabalho de pesquisadores da
PUC (Pontifícia Universidade Católica) do Rio de Janeiro, divulgado em maio. Estu-
dantes negros estão aprendendo menos do que brancos de mesmo nível social e da
mesma escola.
“Isso mostra que o preconceito influencia no desempenho do aluno. Existe um
racismo difuso que impacta a auto-estima do negro.”, diz Carlos Henrique Araújo,
diretor de avaliação da Educação Básica do Inep (Instituto Nacional de Estudos e Pes-
quisas Educacionais), responsável pelo estudo.
Baseada em dados do Saeb (Sistema de Avaliação da Educação Básica) de 2001,
a pesquisa mostra que, dos 3,7 milhões de alunos matriculados na 4a
série em escolas
públicas e privadas, 12% se declararam negros e 44%, brancos.
O percentual de negros diminui para 8% na 8a
série e para apenas 6% no 3o
ano
do Ensino Médio. O caminho é inverso para brancos: 46% e 54%, respectivamente.
“Os negros são sistematicamente expulsos do sistema de ensino”, diz Araújo.
…Para Araújo, esses resultados mostram que o racismo existe, mesmo não sendo
explícito. “O racismo difuso cria uma sensação no aluno de que não conseguirá obter
sucesso.”, afirmou.
Folha de S.Paulo, em Brasília. 15/07/2003 - 04h04.
O que será que vem causando esta alta taxa de evasão de crianças negras da es-
cola? Poderíamos argumentar que o problema é simplesmente econômico – já que as
desigualdades econômicas entre brancos e não-brancos são evidentes. Entre os pobres,
não apenas as famílias negras estão presentes acima de sua proporção na população ge-
ral, como também sua renda per capita está em um nível mais baixo, o que significa que
mais pessoas da família devem trabalhar para conseguir uma renda familiar equivalente.
As crianças freqüentemente precisam deixar de estudar para “ajudar a família”.
No entanto, pesquisas como a descrita no quadro acima são feitas entre crianças de
mesmo nível social e da mesma escola, e ainda assim deixam claras as diferenças entre
as taxas de evasão de crianças brancas e negras.
A resposta parece estar, como apontam visões contemporâneas, nas dificuldades de
convivência que as crianças negras encontram na escola e na baixa expectativa que os
professores têm quanto ao seu sucesso.
As pesquisas passam a ser feitas de modo diferente: ao invés de simplesmente apon-
tarem a desigualdade existente, procuram investigar de perto o dia-a-dia das pessoas,
buscando observar as relações interpessoais entre pessoas de grupos raciais distintos: como
os coleguinhas brancos tratam a criança negra na escola? Como os professores agem com
relação ao aluno negro?

51
Unidade18
Há também tentativas de matematizar os conflitos de relacionamento, criando
modelos numéricos que permitam posteriormente o surgimento de políticas públicas nu-
mericamente adequadas.
Uma dessas tentativas examinou populações diversas e procurou quantificar os con-
flitos existentes. Depois criou um modelo matemático que previa que, em um grupo de
tamanho n, a probabilidade de conflitos era proporcional não a n, mas a n2
. Qual seria
a base matemática para a criação de tal modelo?
Situação-problema – “Quantos grupos dentro de um grupo?”
Matematizando conflitos de relacionamento
Vamos examinar a seguinte situação: por que, em grupos de n pessoas, a ocorrência de
conflitos seria melhor descrita como proporcional ao quadrado de n do que como pro-
porcional ao número de pessoas no grupo propriamente dito?
Para analisar esta situação, vamos ilustrá-la com casos específicos.
Suponha que, no parquinho da escola, exista um grupo de quatro crianças brincando:
João, Maria, Francisco e José.
João se dá bem com Maria e com Francisco, mas não consegue brincar com José sem
criar desavenças. Quando estes dois estão juntos, sempre acabam criando problemas.
Já com Francisco, José se dá bem. Com Maria, porém, ele já não gosta muito de
brincar. Para ele, “meninas são um aborrecimento!”.
Bem, poderíamos continuar analisando como cada aluno interage com o outro. Mas
vai demorar muito para contar a estória toda!
O caso é que, quando os quatro estão juntos, a incidência de desavenças é de
duas por dia.

52
Seção1
Agora, imagine que chegam no parquinho mais quatro criancinhas: Isabela, Pedro,
Juliana e Tamires. “Fulano se dá com cicrano, que briga com beltrano…”. Todo professor
sabe como são essas coisas. E quanto mais crianças dentro de uma sala de aula, ou de
um parquinho, mais difícil é de se manter a disciplina e de não haver nenhuma briga!
Mas será que estas duas variáveis: tamanho do grupo e quantidade de conflitos têm se
mostrado proporcionais? Não, não têm. A quantidade de desavenças cresce muito mais
rápido do que o tamanho do grupo.
O seu desafio é oferecer uma explicação para isso!
Atividade 1
Imagine que o número de conflitos no parquinho fosse proporcional ao número de alunos.
Como ficaria a Tabela 1? Preencha com os aumentos que deveríamos esperar no número
de conflitos:
Variação no grupo que está
brincando no parquinho:
Chegaram Jorge e Marcelo
Chegaram Marta, Priscila, Karen e
Felipe
Mais duas crianças
Mais oito crianças
Aumento no número de conflitos
observados:
Mais uma briguinha
Mais duas desavenças
Tabela 1- Registrando os conflitos
Lembre-se de que, para que duas grandezas variem proporcionalmente, uma mesma
variação em uma das grandezas deve fazer com que a outra grandeza também varie em
quantidades constantes. No caso aqui considerado, se a chegada de duas crianças (varia-
ção de “+2” no número de crianças) corresponde a mais uma briga (variação de “+1” no
número de conflitos observados), para que estas grandezas variem proporcionalmente,
toda vez que o número de crianças variar em “+2”, o número de conflitos observados
deverá variar em “+1”. Conseqüentemente, se o número de crianças variar em “+4”, o
número de conflitos observados deverá variar em “+2”, que foi o que aconteceu e está
representado na segunda linha da Tabela 1.
Atividade 2
Só que o modelo construído em pesquisa feita com dados reais sobre grandes populações
não bate com este tipo de proporcionalidade. Cada pessoa a mais no grupo não aumenta
de forma igual o número de conflitos!
Por que será?

53
Unidade18
Você se lembra da estória que estávamos contando sobre quem se dá bem com
quem? Ela estava ficando longa, eram muitos pares de crianças para se descobrir quais
costumavam se confrontar e quais não. Continue o trabalho:
a) No grupo de João, Maria, Francisco e José, quantos pares de crianças podemos formar?
Tente fazer uma lista.
b) E quando o grupo aumentou para: João, Maria, Francisco, José, Isabela, Pedro, Juliana
e Tamires?
Você deve estar percebendo que a nossa discussão está se baseando na suposição
de que os conflitos ocorram entre pares conflitantes. E é nesta suposição que o modelo
matemático que citamos se baseou.
Atividade 3
Complete a Tabela 2. Procure um jeito de contar e de registrar as suas conclusões: Faça
listas, diagramas ou calcule mentalmente – o que você achar melhor.
Problemas que envolvem
o cálculo do número
de agrupamentos que
podem ser feitos com
os elementos de um
conjunto, submetidos
a certas condições, são
resolvidos por meio de
métodos que constituem a
análise combinatória.
Será que existe um modo de se quantificar os pares sem a necessidade de realmente
se contar os pares? Quer dizer, será que você consegue deduzir uma fórmula em termos
de n que o permita determinar o número de pares possíveis em um grupo de tamanho n
qualquer? Tente!
Número de
pessoas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Número de
pares possíveis
1
3
6
10
Número de pessoas
que chegaram
+2
+3
+4
+5
Tabela 2

54
Seção1
Atividade 4
Vamos investigar o crescimento do número de pares possíveis em relação ao número de
pessoas no grupo:
a) Coloque, no Gráfico 1, os dados da Tabela 2:
b) O que lhe parece? Parece uma boa aproximação dizer que o número de pares
possíveis no grupo está crescendo proporcionalmente ao quadrado do número de
pessoas no grupo? A função quadrática tem gráfico em forma de parábola. Para
investigar a questão, que tal colocar também no Gráfico 1 os pontos relativos ao
quadrado de n?
c) Duas grandezas são proporcionais quando a razão entre elas permanece constante.
Dê uma olhada na razão entre o número de pares possíveis no grupo e o quadrado
do número de pessoas no grupo (colocamos estes dados na Tabela 3 para ajudá-lo
em seus cálculos). O que você observa? Qual a sua opinião? O modelo oferece uma
aproximação satisfatória? Podemos dizer que conforme aumenta a quantidade de
pessoas em um grupo, e supondo que os conflitos surjam devido a interações entre
pares, a quantidade de conflitos cresce proporcionalmente ao quadrado do tamanho
do grupo?
Gráfico 1

55
Unidade18
Tabela 3
Número de pessoas (n ) Número d e pares possíveis (p ) N2 n2
p
2 1 4
3 3 9
4 6 16
5 10 2 5
6 15 3 6
7 21 4 9
8 28 6 4
9 36 8 1
10 4 5 100
11 5 5 121
12 6 6 144
13 7 8 169
14 9 1 196
15 105 225
16 120 256
17 136 289
18 153 324
19 171 361
20 190 400
21 210 441
22 231 484
23 253 529
24 276 576
25 300 625
26 325 676
27 351 729
28 378 784
29 406 841
30 435 900
31 465 961
32 496 1024
33 528 1089
34 561 1156
35 595 1225
36 630 1296
37 666 1369
38 703 1444
39 741 1521
40 780 1600
4
3
2,66666667
2,5
2,4
2,33333333
2,28571429
2,25
2,22222222
2,2
2,18181818
2,16666667
2,15384615
2,14285714
2,13333333
2,125
2,11764706
2,11111111
2,10526316
2,1
2,0952381
2,09090909
2,08695652
2,08333333
2,08
2,07692308
2,07407407
2,07142857
2,06896552
2,06666667
2,06451613
2,0625
2,06060606
2,05882353
2,05714286
2,05555556
2,05405405
2,05263158
2,05128205

56
Seção1
Ampliando o nosso registro em tabelas
Na Unidade 17, apresentamos uma situação-problema em que construímos uma tabela
para enumerar todos os cruzamentos possíveis entre as possibilidades de dois fatores, por
exemplo: duas questões de prova, dois gêneros (menino e menina).
E se tivermos mais do que dois fatores para trabalhar? Será que poderemos usar tabe-
las para nos ajudar a visualizar como isto aumentaria o número de possibilidades – bem
como a organizar todas as possibilidades possíveis e não nos perder na contagem?
Você pode procurar outros meios de fazer isto.
Colocamos algumas idéias a seguir:
Atividade 5
Digamos que, além de escolher o noivo e a noiva para o casamento da festa junina, pre-
cisemos escolher o padre. Os alunos que estão dispostos a ser o “padre” são: Augusto(A),
Bruna(B) e Cristina(C).
Para cada casal encontrado na Atividade 2, da Unidade 17, abrimos três possibili-
dades de “padre”. Quantos trios diferentes de noivo, noiva e padre vamos ter?
Você já deve ter construído, na Atividade 2, uma tabela para representar todos os
casais possíveis. Talvez você tenha feito uma tabela como a abaixo, onde colocamos um
fator e as suas possibilidades na horizontal (na primeira linha), outro fator e as suas pos-
sibilidades na vertical (primeira coluna). Os possíveis cruzamentos são visualizados nas
células interiores, que sombreamos de amarelo. Como estas células estão organizadas em
6 linhas e 4 colunas (uma tabela 6 x 4), são 24 possibilidades no total.
Ângela (A)
Beatriz (B)
Célia (C)
Denise (D)
Eunice (E)
Fabrícia (F)
Noiva
Noivo Antônio (A) Benedito (B) Carlos (C) Daniel (D)
Ao acrescentarmos um fator a mais – quem será o padre –, com três possibilidades,
como aumenta o número de elencos possíveis para o casamento da festa junina?
Precisamos fazer um novo cruzamento de cada uma das 6 x 4 possibilidades de
casais com cada possibilidade para “padre”.
Tabela 4

57
Unidade18
As tabelas que vimos até agora usam duas “direções” ou dimensões para organizar
dois fatores. Como poderíamos estender esta idéia para registrar três fatores? Como ficaria
uma tabela de três entradas? Você tem alguma sugestão?
Podemos visualizar tabelas “empilhadas” ou colocadas lado a lado:
Cristina
A
B
C
D
E
F
A B C D
Bruna
A
B
C
D
E
F
A B C D
Augusto
A
B
C
D
E
F
A B C D
Tabela 5
Tabela 6
Tabela 7

58
Seção1
Augusto
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
Bruna
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
Cristina
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
Nos dois exemplos acima, vemos o padrão 6 x 4 das células amarelas se repetirem
3 vezes, uma para cada possível “padre”.
O total de possibilidades fica então representado pelas células amarelas – não vamos
contar as células dos cabeçalhos.
6 x 4 x 3 = 72
É claro que podemos simplificar as tabelas desprezando os cabeçalhos anteriores.
Ainda assim podemos ver o padrão de 3 vezes 6 x 4:
Tabela 8
A B C
Tabela 9

59
Unidade18
Podemos também simplesmente construir uma nova tabela para o cruzamento entre
as 24 possibilidades de casais e os 3 padres:
Casal A B C
E se agora considerarmos 6 candidatas a noiva, 4 candidatos a noivo e 3 a padre
em cada uma das 4 turmas da escola?
Tabela 10

60
Seção1
Vamos ver repetido 4 vezes o padrão que tínhamos antes, uma vez para cada tur-
ma. Podemos imaginar as três tabelas empilhadas que tínhamos, guardadas agora em 4
arquivos diferentes, um para cada turma:
TURMA A
C
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
B
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
TURMA B
C
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
B
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
TURMA C
C
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
B
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
TURMA D
C
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
B
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
As células amarelas agora são 6 x 4 x 3 x 4 = 288.
Tabela 11

61
Seção 2
Construção do conhecimento
matemático em ação: Combinações
Ao longo desta Seção, você deverá ser capaz de:
• Resolver situações-problema envolvendo métodos de contagem.
• Utilizar tabelas para representar o princípio multiplicativo.
• Utilizar métodos de contagem para determinar probabilidade.
Objetivo
da seção
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), encontramos o bloco de conteúdos
denominado “Tratamento da Informação”, onde são agrupadas noções de Estatística,
Probabilidade e Combinatória, com ênfase nos Problemas de Contagem envolvendo o
princípio multiplicativo. Nesta Unidade estão sendo retomados os problemas nos quais se
aplicam o princípio fundamental de contagem e que envolvem o raciocínio combinatório,
porém utilizaremos a tabela como uma outra forma de representação das possibilidades de
combinação. A continuidade deste conteúdo justifica-se por este estar presente no contexto
social atual e ser muito útil na análise de dados e na tomada de decisões em diferentes
situações onde se deve combinar fatores e características diferenciadas.
Um exemplo de como colocar em ação o conteúdo pode ser observado na situação-
problema da Atividade 6, onde temos que pensar na melhor maneira de formar grupos com
crianças: se há três crianças em uma fila, de quantas formas elas podem ser distribuídas?
Onde, para não perdermos as contas, devemos aplicar alguns princípios de contagem,
escrevendo sistematicamente as possibilidades.
Atividade 6

62
Construção do conhecimento matemático em ação: Combinações
Seção2
Observando as crianças no parque de diversões, em uma fila para brincar no
pula-pula, vi que elas mudavam de lugar, procurando ficar perto de seus colegas
para poderem pular juntos. Elas estavam agitadas; quem estava na frente até acei-
tava ceder a vez para poder pular com um coleguinha diferente, mas também não
valia ficar tão atrás assim. Enquanto a sua vez não chegava, as crianças passavam
bastante tempo procurando a melhor distribuição, ou seja, a melhor maneira de
formarem grupos com os mais amigos, muitas vezes caindo em distribuições já
consideradas.
Se há três crianças em uma fila, de quantas formas elas podem ser distribu-
ídas?
Para não nos perdermos, como aconteceu com as crianças, repetindo as
arrumações ou possivelmente esquecendo algumas, vamos escrever todas as pos-
sibilidades de forma organizada.
Vejamos:
1o
lugar 2o
lugar 3o
lugar
Digamos que as crianças sejam: Alberto, Bruno e Carlos.
Vamos começar escolhendo quem vamos colocar no primeiro lugar. Lembre-se,
queremos saber de quantas formas, no total, podemos arranjar as crianças. Então
todos têm a chance de ficar no primeiro lugar.
São três crianças. Então há três possibilidades para o 1o
lugar da fila. Vamos
começar por Alberto.
Alberto 2o
lugar 3o
lugar
Uma vez escolhido Alberto para o 1o
lugar da fila, quantas possibilidades temos para
o 2o
lugar? Como Alberto não pode mais ser escolhido, pois está no 1o
lugar, temos duas
possibilidades: Bruno ou Carlos.
Duas possibilidades:
Alberto Bruno 3o
lugar
Alberto Carlos 3o
lugar
Depois de escolhermos quem ficará no 2o
lugar, o 3o
lugar ficará obrigatoriamente
escolhido: a outra criança ficará em terceiro.
Depois precisaremos repetir o procedimento para o caso de Bruno e Carlos fica-
rem em primeiro. Ao final, ficamos com seis possibilidades:

63
Unidade18
1o
lugar
Alberto
Alberto
Bruno
Bruno
Carlos
Carlos
2o
lugar
Bruno
Carlos
Alberto
Carlos
Alberto
Bruno
3o
lugar
Carlos
Bruno
Carlos
Alberto
Bruno
Alberto
Vejamos, em um diagrama de árvore, como se dão estas possibilidades.
A árvore de possibilidades é um instrumento importante utilizado no estudo de Com-
binatória; auxilia na visualização das possibilidades de como combinar os elementos
envolvidos na situação. Pense em como explorar este instrumento em suas aulas, opor-
tunizando ao aluno o exercício do raciocínio combinatório e a sistematização de formas
de contagem.
Um recado para
sala de aula
Em muitas situações reais encontramos a possibilidade de formular problemas deste tipo:
de quantas formas podemos organizar um grupo de objetos? Dizemos que estamos fazendo
uma permutação de um conjunto de objetos (ou pessoas, ou itens), quando procuramos
todos os arranjos possíveis destes objetos, cada arranjo contendo cada elemento uma
vez, e sendo a ordem em que os elementos estão dispostos a única diferença entre dois
destes arranjos.
Tabela 12
Diagrama 1

64
Seção2
Às vezes procuramos saber quais são estes diferentes arranjos; outras vezes, nos
interessa apenas saber quantos deles há.
Atividade 7
Professor, você deve ter observado que a distribuição das pessoas à mesa neste jantar
parece não ter sido muito bem feita! Parece que todos preferiam sentar-se em lugares
diferentes.
De quantas maneiras as seis pessoas do jantar mostrado na figura poderiam ser dis-
tribuídas, se mudarmos a ordem em que elas estão assentadas?
Eu quero
sentar perto
da Maria.
Eu não gos-
to de sentar
no meio
Ficar na ponta
não é divertido,
vamos trocar de
lugar, Alberto.
Deste lugar eu
não consigo
conversar com
o Bruno.
Eu queria sen-
tar na ponta.
Vamos trocar
de lugar?

65
Unidade18
A história da Matemática nos permite conhecer quais foram as situações-problema que
levaram à construção dos conceitos. Veja, por exemplo, que a análise combinatória surgiu
dos jogos de azar. Os métodos de contagem foram sendo elaborados a partir da necessida-
de de se calcular o número de possibilidades existentes nos jogos. Grandes matemáticos
estudaram este tema: Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, Pierre
de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
Articulando
conhecimentos
A possibilidade da realização de contagens e da sistematização de métodos de
contagens em nosso dia-a-dia é muito freqüente, embora muitas vezes não estejamos
atentos a isto. Veja, na Atividade a seguir, uma situação em que um simples princípio
de contagem pode simplificar o nosso cálculo de opções para a escolha de meios
de transporte.
Atividade 8
Em 1999, era possível fazer uma viagem de ida e volta de São Paulo ao Rio de Janeiro
utilizando trem, avião, ônibus ou carro. Hoje o trem está ativo apenas para carga. Quantas
opções de viagem tinha uma pessoa que escolhesse um desses meios de transporte para
ir e um para voltar?
O princípio de contagem utilizado nesta Atividade é simples, mas muito impor-
tante, pois pode resolver situações do nosso cotidiano. São muitos os resultados que
podem ser previstos, bem como as possibilidades a serem estudadas, levando-se em
conta esse modo de pensar.
Professor, ao realizar compras de móveis, você certamente deve ter planejado a
melhor compra, pensando no espaço disponível para a colocação do móvel, na neces-
sidade e real utilidade do móvel, na sua beleza (todos gostam de um ambiente bonito
e confortável) e também no seu preço (será que posso pagar? A prestação cabe no meu
orçamento?). Na Atividade a seguir, temos opções de mesas e cadeiras para você montar
um cantinho para os seus estudos. Veja:

66
Seção2
Você deve estar percebendo que a presença da análise combinatória em nosso dia-a-dia
é bem maior do que muitas vezes imaginamos. Assim, não faz sentido este conteúdo ser
trabalhado de modo estanque, descontextualizado. Trabalhando com análise combinatória
você estará envolvendo o conceito de números, a ação de contar, as construções de padrões,
a generalização de padrões, possibilitando a elaboração de fórmulas que nos permitem
contar de forma mais rápida e eficiente. Os seus alunos podem divertir-se muito realizando
problemas de contagem e combinação.
Um recado para
sala de aula
Mesa Estante
R$ 150,00
Mesa Compacta
R$ 107,00
Mesa Classic
R$ 75,00
Cadeira Classic
R$ 117,00
Cadeira Diretor
R$ 119,00
Cadeira Giratória
R$ 51,00
Atividade 9
Quantas opções diferentes tem um consumidor que quer comprar uma das cadeiras e duas
das mesas diferentes anunciadas a seguir? Em qual delas ele gasta mais? E menos1
?
1. Questão adaptada do livro Matemática. Coleção Matemática Ensino Médio. Projeto Escola e Cidadania para todos – ver Bibliografia.

67
Unidade18
Nas Atividades a seguir, você estudará outras possibilidades de exemplificar e explo-
rar a idéia de análise combinatória, observando a senha do cartão de uma conta corrente
em um banco. Você pode simular esta situação com os seus alunos.
Atividade 10
Uma pessoa, ao abrir uma conta corrente em um banco, deve escolher uma senha composta
por quatro algarismos sem repetição para utilizar o seu cartão. Se esta pessoa gosta dos
algarismos 7, 3, 5, 8 e deseja colocá-los em uma certa ordem para formar a senha, pergun-
ta-se: qual é o número total de senhas que podem ser formadas com esses algarismos?
Atividade 11
Suponha agora que um banco utilize dez opções de dígitos (0, 1, 2,...,9) para a composição
da senha do cartão do cliente. A senha do cliente é dada por uma seqüência de quatro
dígitos distintos. Se uma pessoa esqueceu a senha do cartão e quer tentar descobri-la,
quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir?
Resumindo
Nesta Seção, os conteúdos de Matemática trabalhados foram:
• Métodos e princípios de contagem.
• Raciocínio combinatório.
• Aplicação da idéia de proporcionalidade.
• Utilização de tabelas para representar o princípio multiplicativo.
• Utilização de métodos de contagem para determinar probabilidade.

68
Seção 3
Transposição Didática –
Princípio Multiplicativo de Contagem
Ao longo desta Seção, você irá:
• Conhecer diferentes tipos de problemas de contagem.
• Elaborar atividades nas quais os seus alunos possam desenvolver formas sistemáticas
de contagem.
Objetivo
da seção
Combinatória é a matemática da contagem. Mais especificamente, é a arte de enu-
merar todos os possíveis modos nos quais um dado número de objetos pode ser misturado
ou agrupado, de forma a haver a certeza de que não se deixará escapar nenhum resultado
possível em sua contagem.
Os problemas resolvidos em combinatória podem envolver simplesmente uma
reestruturação dos objetos dados (mudando a ordem em que se encontram) ou podem
envolver a seleção de amostras, ou formação de grupos menores de objetos tirados do
grupo original.
Quando o problema envolve a seleção de amostras, às vezes se permite a repetição
de um ou mais elementos na amostra; às vezes, não.
Às vezes o problema considera importante a ordem em que os objetos aparecem na
amostra; às vezes, não.
De acordo com esses dois aspectos, quantos tipos de problemas podemos formar?
Ordem é importante? Sim Não
Pode haver repetição?
Com repetição
e com ordem
Com repetição
e sem ordem
Sim
Não Sem repetição e
com ordem
Sem repetição
e sem ordem
Vemos que há então quatro tipos básicos de problemas que podemos propor para os
alunos. É importante que eles consigam trabalhar e propor estratégias próprias de solução
para estes quatro tipos de problemas. O ensino deve desenvolver o raciocínio combina-
Tabela 13

69
Unidade18
tório dos alunos e a sua habilidade de propor estratégias próprias de resolução de proble-
mas, ao invés de enfatizar a aplicação de fórmulas prontas para problemas identificados
por terminologia específica (você talvez já tenha tido que gastar tempo identificando se
um problema é permutação, arranjo ou combinação, e decorando fórmulas para cada
um destes casos – não vamos exigir isso dos alunos de 5a
a 8a
séries! Isso será objeto de
aprendizagem no Ensino Médio.).
Pesquisadores2
fizeram uma análise das principais características que podem ser
variadas em problemas de combinatória para formar novos tipos de problemas, esque-
matizando-as de forma a ajudar professores a elaborar exemplos representativos de cada
tipo de problema para os seus alunos.
De acordo com esta análise, os problemas de combinatória podem ser de três tipos:
a) de seleção; b) de distribuição; e c) de partição.
a) Em problemas de seleção, é dado um grupo de objetos dos quais se pede para selecio-
nar, escolher, tirar amostras, extrair ou formar grupos menores de objetos.
Por exemplo:
Há quatro bolas numeradas em uma caixa, com os dígitos 2, 4, 7 e 9. Retiramos uma
bola e anotamos o número que está escrito nela. Então colocamos a bola de volta na caixa.
Repetimos este processo até formar um número de três dígitos. Por exemplo, podemos
obter o número 222. Quantos números diferentes podemos formar desta maneira3
?
b) Em problemas de distribuição, é dado um grupo de objetos e se pede para que se
distribua, atribua, guarde, ou se aloque alguns deles em um determinado número de
lugares, como no exemplo abaixo:
Suponha que tenhamos três convites idênticos, que podemos colocar em quatro en-
velopes diferentes: um amarelo, um azul, um vermelho e um verde. Só podemos colocar
um convite em cada envelope. Por exemplo, podemos colocar um convite no envelope
amarelo, um no azul e outro no verde, deixando o vermelho vazio. De quantas maneiras
diferentes podemos fazer isto?
Muitos aspectos destes problemas podem ser variados para formar problemas de
tipos e níveis de dificuldade diferentes. Por exemplo:
• Os objetos a serem distribuídos podem ser iguais (como no exemplo dado) ou não.
• Os lugares ou recipientes (envelopes, como no exemplo dado) podem ser iguais ou não
(no exemplo dado, eles eram diferentes).
• A ordem em que os objetos ocupam os recipientes pode ser importante ou não (no
exemplo dado, a ordem não era importante porque os convites eram idênticos).
• Pode haver um número máximo de objetos permitidos em cada recipiente ou não (no
exemplo dado, só era permitido um convite por envelope).
• Pode ser permitido ficar com recipientes vazios nos resultados ou não.
c) Em problemas de partição, pedimos para repartir, dividir, decompor um grupo de
objetos em subgrupos.
2. Dubois (1984); Carmen Batanero, Juan D. Godino e Virginia Navarro-Pelayo (1997).
3. Os problemas dados nesta Seção foram extraídos de Carmen Batanero, Juan D. Godino e Virginia Navarro-Pelayo (1997).

70
Transposição Didática – Princípio Multiplicativo de Contagem
Seção3
Por exemplo:
João e Maria têm quatro figurinhas numeradas de 1 a 4. Eles decidem repartir suas
figurinhas, ficando cada um com duas. Por exemplo, Maria poderia ficar com as figu-
rinhas 1 e 2, e João com as figurinhas 3 e 4. De quantos modos eles podem repartir as
figurinhas entre si, desta forma?
ou
Quatro crianças – João, Maria, José e Aline – foram passar férias na casa da vovó.
A avó deles tem dois quartos na casa onde pode acomodar as crianças – uma suíte e
um quarto de hóspedes. De quantas formas a vovó pode acomodar as crianças? Por
exemplo, ela pode colocar todas as crianças no quarto de hóspedes. Ou pode colocar
as meninas na suíte e os meninos no quarto de hóspedes. Quantas arrumações dife-
rentes ela pode fazer?
Alguém que tenha estudado análise combinatória mais a fundo pode reconhecer
no problema das quatro crianças na casa da vovó um arranjo de dois objetos (os quartos
disponíveis) tomados quatro a quatro, com possibilidade de repetição (um quarto para
cada criança). Por exemplo, podemos atribuir, para João, Maria, José e Aline, “suíte,
suíte, suíte e quarto de hóspedes”, respectivamente4
.
Mas o aluno de 8a
série pode resolver este problema sem saber disso.
Ele pode, por exemplo, separar o problema nas seguintes possibilidades5
.
• quatro crianças no quarto de hóspedes e nenhuma criança na suíte;
• três crianças no quarto de hóspedes e uma criança na suíte;
• duas crianças no quarto de hóspedes e duas crianças na suíte;
• uma criança no quarto de hóspedes e três crianças na suíte;
• nenhuma criança no quarto de hóspedes e quatro crianças na suíte.
E, para cada um destes casos, exaurir todas as possibilidades, jogando com os nomes
das crianças.
4. Não é nosso objetivo aprender a diferença entre o que é chamado combinação, arranjo ou permutação – por isso não vamos entrar
em detalhes aqui. O nosso objetivo é que você desenvolva estratégias para resolver diferentes problemas.
5. Adaptação da solução feita por uma aluna de 14 anos e relatada em Batanero et al, 1997.
Professor, ressaltamos aqui dois pontos importantes:
• Nesta proposta, trabalhamos na perspectiva da existência de um Currículo em Rede,
em que é muito importante que as idéias sejam gradativamente lançadas, pois os
conceitos não se formam em um único momento, muito menos de modo isolado, e
encontram-se interligados, e a sua formação dá-se por um processo complexo e demo-
rado, o que exigirá que eles sejam retomados sempre em novas atividades, em várias
situações-problema. É incoerente, nesta perspectiva teórica e metodológica, pensar em
um único momento de explicitação conceitual. Assim, as idéias, no currículo em rede,
são lançadas, amadurecidas, transferidas, desestabilizadas e resgatadas.
Articulando
conhecimentos

71
Unidade18
• É importante promover uma articulação entre conceito e procedimento. Observe que os
registros não servem apenas para comunicar as idéias matemáticas dentro de um grupo,
mas também podem e devem constituir-se em ferramenta do processo do pensamento
matemático: o registro ajuda o sujeito a refletir, levantar hipóteses, replanejar os seus
procedimentos. Antes mesmo de ser um objeto de comunicação ao outro, o registro na
atividade matemática deve servir de instrumento para o próprio aluno refletir sobre os
seus processos de construção do conhecimento matemático.
Umdosprincipaismotivosquelevamalunosacometeremerrosnacontagemdepossibilida-
des é a falta de uma forma sistemática de representação e registro de todas as possibilidades.
É importante ajudar os seus alunos a perceberem a necessidade da adoção de uma
forma de registro que os possibilite enumerar todos os possíveis modos nos quais um dado
número de objetos pode ser agrupado, de forma a ter a certeza de não deixar escapar ne-
nhum resultado possível em sua contagem.
Uma das formas em que isto pode ser feito é fornecendo atividades semi-estruturadas,
onde tabelas ou listas já estão montadas ou parcialmente preenchidas e com as quais os
alunos podem trabalhar para completar o registro dos resultados possíveis.
Na Atividade 12, a tabela já fornece uma forma sistemática que garante que todas as
possibilidades serão catalogadas.
Atividade 12
Professor, utilize a tabela abaixo para representar os resultados possíveis, completando a
última coluna com os devidos desenhos.
Tabela 14

72
Seção3
Professor, experimente pedir aos seus alunos que eles criem situações envolvendo
contagens e probabilidades e promova na classe uma troca entre eles, permitindo que
cada um resolva o que foi proposto pelo colega.
Resumindo
Nesta Seção, vimos que:
• Combinatória é a matemática da contagem. Possibilita a enumeração de todos os
possíveis modos de combinar um dado número de objetos e desenvolver formas
sistemáticas de contagem.
• O ensino deve desenvolver o raciocínio combinatório do aluno e a sua habilidade
de propor estratégias próprias de resolução de problemas, ao invés de enfatizar
a aplicação de fórmulas prontas.
• Os tipos de problemas que podemos formar considerando a importância da or-
dem, ou se pode ou não haver repetição.
• Pesquisadores mostraram que os problemas de combinatória podem ser de três
tipos:
- problemas de seleção: é dado um grupo de objetos dos quais se pede para sele-
cionar, escolher, tirar amostras, extrair, ou formar grupos menores de objetos;
- problemas de distribuição: é dado um grupo de objetos e se pede para distribuir,
atribuir, guardar, ou alocar alguns deles em um determinado número de lugares;
- problemas de partição: pedimos para repartir, dividir, decompor um grupo de
objetos em subgrupos.
• Alguns erros cometidos pelos alunos na contagem de possibilidades são conseqüência
da falta de uma forma sistemática de representação e registro de todas as possibili-
dades.
• É importante fornecer atividades semi-estruturadas, onde tabelas ou listas já estão
montadas ou parcialmente preenchidas e com as quais os alunos podem trabalhar
para completar o registro dos resultados possíveis.

73
Unidade18
Leituras sugeridas
D’ AMBRÓSIO, U. Etnomatemática – Elo entre as tradições e a modernidade. Coleção
Tendências em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.
O autor desenvolve conceitos sobre a essência da teoria Etnomatemática, trazendo uma
abrangente visão humanística da matemática.

74
Seção3
Bibliografia
DANTE, L.R. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2002.
DANTE, L.R. Matemática contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2002.
IMENES, L.M.P.; LELLIS, M. Matemática. 2a
ed. São Paulo: Scipione, 1997.
LONGEN, A. Matemática: Uma atividade humana. 1a
ed. Curitiba: Base Editora, 2003.
PAIVA, M. Matemática Conceitos, Linguagem e Aplicações. 1a
ed. São Paulo: Moderna,
2002.
VASCONCELOS, M.J.; SCORDAMAGLIO, M.T.; CÂNDIDO, S. Matemática. Coleção
Matemática Ensino Médio. Projeto escola e cidadania para todos. São Paulo: Editora do
Brasil, 2004.
Sites Consultados
http://www.educacional.com.br
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geometria.htm
http://vello.sites.uol.com.br/ubi.htm

75
Etnomatemática
Ubiratan d’Ambrósio*
Temos evidências de uma espécie, um tipo de australopiteco, que viveu há cerca
de 2,5 milhões de anos e utilizou instrumentos de pedra lascada para descarnar animais.
É fácil entender que, ao se alimentar de um animal abatido, a existência de um instru-
mento, como uma pedra lascada, permite raspar o osso, e assim não só aproveitar todos
os pedacinhos, mas também retirar dos ossos nutrientes que não seriam acessíveis ao
comer só com os dentes. A espécie passou a ter mais alimento, de maior valor nutritivo.
Esse parece ter sido um fator decisivo no aprimoramento do cérebro das espécies que
dominaram essa tecnologia.
O que tem isso a ver com Etnomatemática?
Na hora em que esse australopiteco escolheu e lascou um pedaço de pedra, com
o objetivo de descarnar um osso, a sua mente matemática se revelou. Para selecionar a
pedra, é necessário avaliar as suas dimensões e lascá-la o necessário e o suficiente para
cumprir os objetivos a que ela se destina, exige avaliar e comparar dimensões. Mas ava-
liar e comparar dimensões é uma das manifestações mais elementares do pensamento
matemático. Esse é um primeiro exemplo de como o homem desenvolve os instrumentos
materiais e intelectuais para lidar com o seu ambiente. Um primeiro exemplo de Etnoma-
temática é aquela desenvolvida pelos australopitecos do neolítico.
O homem busca explicações para todos os fenômenos da natureza e, naturalmen-
te, associa essas explicações ao que vê mas não entende: clima, dia e noite, astros no
céu. O que está acontecendo e o que se percebe e se sente a todo instante podem ser
indicadores do que vai acontecer. Esse é o mistério. Como perguntar ao divino o que vai
acontecer? Através de técnicas de “consulta” ao divino. Essas técnicas são as chamadas
artes divinatórias. Como influenciar o divino para que aconteça o desejável, o necessário,
o agradável? Através de culto, sacrifício, magia.
As religiões são sistemas de conhecimento que permitem mergulhar no passado,
explicando as causas primeiras, desenvolvendo um sentido de história, organizando tradi-
ções e influenciando o futuro. O conhecimento das tradições é compartilhado pelo grupo.
Continuar a pertencer ao grupo após a morte depende de assumir, em vida, o comporta-
mento que responda ao conhecimento compartilhado. Esse comportamento, compatível
e aceito pelo grupo, é subordinado a parâmetros que chamamos de valores.
Uma das coisas mais importantes no nosso relacionamento com o meio ambiente é a
obtenção de nutrição e de proteção das intempéries. Conhecendo o meio ambiente, temos
condições de fazer com que a capacidade de proteger e nutrir dependa menos de fatores como
o tempo. Ao dominar técnicas de agricultura e de pastoreio e de construções, os homens pu-
deram permanecer num mesmo local, nascer e morrer no mesmo local. Perceberam o tempo
* Professor Emérito de Matemática da Universidade Estadual de Campinas / UNICAMP. Presidente da Sociedade Brasileira de História
da Matemática. Desenvolve pesquisas sobre Etnomatemática. As mais recentes publicações estão disponíveis no site: http://vello.
sites.uol.com.br/ubi.htm.

76
necessário para a germinação e para a gestação, o tempo que decorre do plantio à colheita.
Num certo momento, uma configuração no céu coincide com plantinhas que começam a
brotar. É uma mensagem divina. Aprende-se a interpretar essas mensagens que geralmente
são traduzidas em períodos característicos do que chamamos as estações do ano.
A inseminação foi mais difícil de ser percebida, mas o tempo que vai da gestação ao
nascimento é mais facilmente reconhecido. A regularidade do ciclo menstrual e o relacio-
namento de sua interrupção com a gestação são logo reconhecidos. O reconhecimento, e
registro, do ciclo menstrual, associado às fases da Lua, parece ter sido uma das primeiras
formas de Etnomatemática.
A agricultura teve grande influência na história das idéias dos povos da bacia do
Mediterrâneo. As teorias que permitem saber quais os momentos adequados para o plantio
surgem subordinadas às tradições. Chamar essas estações e festejar a sua chegada, como
um apelo e posterior agradecimento ao responsável pela regularidade, um divino, marcam
os primeiros momentos de culto e de religião. A associação de religião com a Astronomia,
com a agricultura e com a fertilidade é óbvia.
A Matemática começa a se organizar como um instrumento de análise das condições
do céu e das necessidades do cotidiano. Em todos os rincões do planeta e em todos os
tempos, foram desenvolvendo-se idéias matemáticas importantes na criação de sistemas
de conhecimento e, conseqüentemente, comportamentos necessários para lidar com o
ambiente, para sobreviver e para explicar o visível e o invisível.
A cultura, que é o conjunto de comportamentos compatibilizados e de conhecimen-
tos compartilhados, inclui valores. Numa mesma cultura, os indivíduos dão as mesmas
explicações e utilizam os mesmos instrumentos materiais e intelectuais no seu dia-a-dia.
O conjunto desses instrumentos se manifesta nas maneiras, nos modos, nas habilidades,
nas artes, nas técnicas, nas ticas de lidar com o ambiente, de entender e explicar fatos e
fenômenos, de ensinar e compartilhar tudo isso, que é o matema próprio ao grupo, à co-
munidade, ao etno. O conjunto de ticas de matema num determinado etno é o que chamo
Etnomatemática. Claro, em ambientes diferentes, as Etnomatemáticas são diferentes.
Uma das coisas principais que aparecem no início do pensamento matemático são
as maneiras de contar o tempo. Na História da Matemática (e agora falo da matemática
acadêmica), que tem a sua origem na Grécia, os grandes nomes são ligados à Astrono-
mia. A geometria, na sua origem e no próprio nome, está relacionada com as medições
de terreno. Como nos conta Heródoto, a geometria foi apreendida dos egípcios, onde era
mais do que uma simples medição de terreno, tendo tudo a ver com o sistema de taxação
de áreas produtivas. Por trás desse desenvolvimento, vemos todo um sistema de produção
e uma estrutura econômica, social e política, exigindo medições da terra e, ao mesmo
tempo, aritmética para lidar com a economia e com a contagem dos tempos.
Enquanto esse sistema de conhecimento se desenvolvia, há mais de 2.500 anos, nas
civilizações em torno do Mediterrâneo, os indígenas aqui da Amazônia estavam também
tentando conhecer e lidar com o seu ambiente, desenvolvendo sistemas de produção e sis-
temas sociais que igualmente necessitavam de medições de espaço e de tempo. Igualmente,
os esquimós, as civilizações andinas e aquelas da China, da Índia, da África sub-Sahara,
enfim, de todo o planeta. Todas estavam desenvolvendo as suas maneiras de conhecer.
Sistema de conhecimento é o conjunto de respostas que um grupo dá aos pulsões
de sobrevivência e de transcendência, inerentes à espécie humana. São os fazeres e os
saberes de uma cultura.

77
Há cerca de 2.500 anos, surge uma alternância de poder na região do Mediterrâneo.
Egípcios e babilônicos alternam a sua hegemonia, subordinando o seu conhecimento e
comportamento a um amplo politeísmo. São desafiados pela grande inovação, propos-
ta pelos judeus, de um deus único e abstrato. Os gregos e, logo a seguir, os romanos,
igualmente politeístas, expandem o domínio do Mediterrâneo para o leste, conquistando
civilizações milenares, como as da Pérsia e as da Índia, e para o norte europeu, conquis-
tando os povos bárbaros. Grécia e Roma impõem os seus sistemas de conhecimento e a
sua organização social e política. Com a adoção do monoteísmo cristão, Roma impõe a
sua ciência, tecnologia, filosofia, política e religião à grande parte da Eurásia acima do
Trópico de Câncer.
O Império Romano, impondo as suas maneiras de responder aos pulsões de sobrevi-
vência e de transcendência, mostrou-se eficiente no encontro com outras culturas, tendo
sucesso na conquista e na expansão. O apogeu desse sucesso se dá na transição do século
XV para o século XVI. Em cerca de 25 anos, navegadores da Espanha e de Portugal circu-
navegaram o globo. Foram logo acompanhados por outras nações européias e, através dos
mares, foram para o Norte, Sul, Leste, Oeste, para todos os lados, conquistando povos e
levando as explicações e modos de lidar com o ambiente, modos e estilos de produção
e de poder. Iniciou-se o processo de globalização do planeta.
Claro que, ao falarmos em conquista, estamos admitindo um conquistador e um
conquistado. O conquistador não pode deixar o conquistado se manifestar. A estratégia
fundamental no processo de conquista de um indivíduo, grupo ou cultura (dominador) é
manter o outro indivíduo, grupo ou cultura (dominado) inferiorizado. Uma forma, muito
eficaz, de manter um indivíduo, grupo ou cultura inferiorizado é enfraquecer as raízes
que dão força à cultura, removendo os vínculos históricos e a historicidade do dominado.
Essa é a estratégia mais eficiente para efetivar a conquista.
A remoção da historicidade implica a remoção da língua, da produção, da religião,
da autoridade, do reconhecimento da terra e da natureza e dos sistemas de explicação
em geral. Por exemplo, hoje qualquer índio sabe o Pai Nosso e crê em Deus e em Cristo,
embora todo esse sistema não tenha nada a ver com as suas tradições. Ao remover o sis-
tema de produção, o dominado passa a comer e a gostar do que o dominador come. Os
sistemas de sobrevivência e de transcendência são substituídos. Os sistemas dos conquis-
tados foram simplesmente eliminados e, em alguns casos, o próprio indivíduo conquistado
foi eliminado, numa evidente prática de genocídio.
Durante cerca de 300 anos criou-se a figura do culturalmente excluído. Não só a
cultura foi eliminada, mas também indivíduos dessa cultura, como aconteceu com os in-
dígenas na costa Atlântica das Américas e no Caribe, que foram exterminados. Em poucos
casos, alguns indivíduos sobreviveram. Ou foram cooptados e assimilados à cultura do
dominador ou se mantiveram como grupos culturais marginalizados e excluídos. Uma
cultura latente, muitas vezes disfarçada ou clandestina, se manteve nessa clandestinidade
durante o período da colonização.
Nas escolas ocorre uma situação semelhante. A escola ampliou-se, acolhendo jovens
do povo, aos quais se oferece a possibilidade de acesso social. Mas esse acesso se dá em
função de resultados que são uma modalidade de cooptação. Sistemas adequados para
a seleção dos que vão merecer acesso são criados e justificados por convenientes teorias
de comportamento e de aprendizagem. Um instrumento seletivo de grande importância é
a linguagem. O latim foi padrão, depois substituído pela norma culta da linguagem. Mas
não só a linguagem. Logo a Matemática assumiu o papel de instrumento de seleção. Ainda

78
hoje, quantas crianças se inibem ao falar porque sabem que falam errado e, como não
são capazes de falar certo, silenciam. E quantas crianças ainda são punidas por fazerem
contas com os dedos!
O indivíduo passa alguns anos adquirindo as suas raízes culturais. Ao chegar à es-
cola, normalmente existe um processo de aprimorar, transformar e substituir essas raízes.
É o que se passa no processo de conversão religiosa. O momento de encontro cultural
tem uma dinâmica muito complexa. Esse encontro se dá entre povos, como se passou
na conquista e na colonização, entre grupos e, igualmente, no encontro da criança ou
do jovem, o qual tem as suas raízes culturais, com a outra cultura, a cultura da escola,
com a qual o professor se identifica. O processo civilizatório, e podemos dizer o mes-
mo do processo escolar, é essencialmente a condução dessa dinâmica. Geralmente tem
resultados negativos e perversos que se manifestam sobretudo no exercício de poder
e na eliminação ou exclusão do dominado. Poderia também ter resultados positivos e
criativos que se manifestam na criação do novo.
Tanto a conversão quanto a exclusão dependem de o indivíduo esquecer e mesmo
rejeitar as suas raízes. Mas um indivíduo sem raízes é como uma árvore sem raízes ou
uma casa sem alicerces. O indivíduo tem que ter um referencial, e esse referencial se
situa nas suas raízes, não nas raízes de outros. Se não tiver raízes, ao cair se agarra a
outro e entra num processo de dependência, campo fértil para a manifestação perversa
de poder de um indivíduo sobre outro.
A Etnomatemática se encaixa nessa reflexão sobre a descolonização e a verda-
deira abertura de possibilidades de acesso para o subordinado, para o marginalizado
e para o excluído. A estratégia mais promissora para a educação nas sociedades em
transição da subordinação para a autonomia é restaurar a dignidade de seus indivídu-
os, reconhecendo e respeitando as suas raízes. Essa é, no meu pensar, a vertente mais
importante da etnomatemática. Reconhecer e respeitar as raízes de um indivíduo não
significa ignorar e rejeitar as raízes do outro, mas, num processo de síntese, reforçar as
suas próprias raízes.
No caso da Educação Matemática, a proposta da Etnomatemática não significa
a rejeição da matemática acadêmica, como sugere o título tão infeliz que o jornal
Chronicle of Higher Education deu para uma excelente matéria que publicou sobre
Etnomatemática: “Good Bye, Pythagoras”. Não se trata de ignorar nem rejeitar a mate-
mática acadêmica, simbolizada por Pitágoras. Por circunstâncias históricas, gostemos
ou não, os povos que, a partir do século XVI, conquistaram e colonizaram todo o
planeta, tiveram sucesso graças ao conhecimento e comportamento que se apoiava em
Pitágoras e seus companheiros da bacia do Mediterrâneo. Hoje, esse conhecimento
e comportamento, incorporados na modernidade, conduzem nosso dia-a-dia. Não se
trata de ignorar nem rejeitar conhecimento e comportamento modernos. Mas sim de
aprimorá-los, incorporando a ele valores de humanidade, sintetizados numa ética de
respeito, solidariedade e cooperação.
Conhecer e assimilar a cultura do dominador se torna positivo, desde que as
raízes do dominado sejam fortes. Na Educação Matemática, a Etnomatemática pode
fortalecer essas raízes. De um ponto de vista utilitário, o qual não deixa de ser muito
importante como uma das metas da escola, é um grande equívoco pensar que a Etno-
matemática pode substituir uma “boa matemática acadêmica”, que é essencial para
um indivíduo ser atuante no mundo moderno. A Etnomatemática terá utilidade muito
limitada na sociedade moderna. Mas, igualmente, muito da matemática acadêmica

79
é absolutamente inútil na sociedade moderna. Quando digo “boa matemática acadê-
mica”, estou excluindo o que é desinteressante, obsoleto e inútil e que, infelizmente,
domina os programas vigentes.
É óbvio que uma “boa matemática acadêmica” será conseguida se deixarmos de
lado muito do que está nos programas sem outra justificativa que não um conservado-
rismo danoso e uma justificativa de caráter propedêutico: “é necessário aprender isso
para adquirir base para poder aprender aquilo”. O fato é que o aquilo deve cair fora e,
com maior razão, o isso.
Por exemplo, é inadmissível pensar hoje em aritmética e álgebra sem a plena
utilização de calculadoras. O raciocínio quantitativo, que dominou a Educação Mate-
mática e a própria Matemática a partir da Baixa Idade Média, está hoje integrado nas
calculadoras e computadores. O raciocínio qualitativo é a grande contribuição para ra-
mos da Matemática que se desenvolveram na segunda metade do século XX, tais como
estatística, probabilidades, programação, modelagem, fuzzies e fractais.
O raciocínio qualitativo, também chamado analítico, esboçado a partir do século
XVII, deve ser incorporado aos programas, naturalmente com ampla utilização de com-
putadores. Esse tipo de raciocínio é essencial para se chegar a uma nova organização
da sociedade e é o que permite exercer crítica e análise do mundo em que vivemos.
A Etnomatemática privilegia o raciocínio qualitativo. Um enfoque etnomatemático
sempre está ligado a uma questão maior, de natureza ambiental ou de produção, e a
etnomatemática raramente se apresenta desvinculada de outras manifestações culturais,
tais como arte e religião. A Etnomatemática se enquadra perfeitamente numa concepção
multicultural e holística de educação.
O multiculturalismo está se tornando a característica mais marcante da educação
atual. Com a grande mobilidade de pessoas e famílias, as relações interculturais serão
muito intensas. O encontro intercultural gera conflitos que só poderão ser resolvidos
a partir de uma ética que resulta do indivíduo conhecer-se e conhecer a sua cultura
e respeitar a cultura do outro. O respeito virá do conhecimento. De outra maneira, o
comportamento revelará arrogância, superioridade e prepotência, o que resulta, inevi-
tavelmente, em confronto e violência.
A nossa missão de educadores tem como prioridade absoluta obter PAZ nas gerações
seguintes. Não podemos nos esquecer de que as gerações futuras viverão num ambiente
multicultural, as suas relações serão interculturais e o seu dia-a-dia será impregnado de
tecnologia. Talvez convivam humanos com indivíduos clonados e transgênicos e mesmo
com andróides. Um cenário de ficção, como se vê nos filmes “Caçador de Andróides”
e “Matrix”, pode se tornar realidade. Não sabemos como lidar com isso.
As gerações futuras é que vão organizar o mundo do futuro. Não sabemos o que
fazer num futuro tão diferente. A maneira como as gerações passadas lidaram com o
futuro, ancoradas em todo o conhecimento oferecido pela modernidade, originou o
nosso presente. Um presente angustiante, de iniqüidades, injustiças, arrogância, exclu-
são, destruição ambiental, conflitos inter e intraculturais, guerras. Não é isso que quero
legar para os meus bisnetos e tataranetos e gerações futuras.
A educação nessa transição não pode focalizar a mera transmissão de conteúdos
obsoletos, na sua maioria desinteressantes e inúteis no momento atual, e inconseqüentes
na construção de uma nova sociedade. O melhor que podemos fazer para as nossas

80
crianças é oferecer a elas os instrumentos comunicativos, analíticos e materiais para
que elas possam viver, com capacidade de crítica, numa sociedade multicultural e im-
pregnada de tecnologia.
A proposta pedagógica da Etnomatemática é fazer da Matemática algo vivo, lidando
com situações reais no tempo (agora) e no espaço (aqui). E, por meio da crítica, ques-
tionar o aqui e o agora. Ao fazer isso, mergulhamos nas raízes culturais e praticamos
dinâmica cultural.
Por tudo isso, eu vejo a Etnomatemática como um caminho para uma educação re-
novada, capaz de preparar gerações futuras para construir uma civilização mais feliz.

83
Atividade 1
Atividade 2
a) 6 pares.
Variação no grupo que está brincando
no parquinho
Chegaram Jorge e Marcelo
Chegaram Marta, Priscila, Karen e Felipe
Mais duas crianças
Mais oito crianças
Aumento no número de conflitos
observados
Mais uma briguinha
Mais duas desavenças
Mais uma briga
Mais quatro brigas
Francisco José Francisco e José
Maria Francisco
José
Maria e Francisco
Maria e José
João Maria
Francisco
José
João e Maria
João e Francisco
João e José
b) São 28 pares.
Maria
João Maria
Francisco
José
Isabela
Pedro
Juliana
Tamires
João e Maria
João e Francisco
João e José
João e Isabela
João e Pedro
João e Juliana
João e Tamires
Francisco
José
Isabela
Pedro
Juliana
Tamires
Maria e Francisco
Maria e José
Maria e Isabela
Maria e Pedro
Maria e Juliana
Maria e Tamires

84
Francisco José
Isabela
Pedro
Juliana
Tamires
Francisco e José
Francisco e Isabela
Francisco e Pedro
Francisco e Juliana
Francisco e Tamires
José Isabela
Pedro
Juliana
Tamires
José e Isabela
José e Pedro
José e Juliana
José e Tamires
Isabela Pedro
Juliana
Tamires
Isabela e Pedro
Isabela e Juliana
Isabela e Tamires
Pedro Juliana
Tamires
Pedro e Juliana
Pedro e Tamires
Juliana Tamires Juliana e Tamires
Atividade 3
Número de
pessoas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Número de
pares possíveis
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
66
78
91
Número de pessoas
que chegaram
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+9
+10
+11
+12
+13
+14

85
Unidade18
Número de pares possíveis =
n(n - 1)
2
Onde n = número de pessoas.
Atividade 4
a) Gráfico 1
b) Gráfico 2
Comparando os dois gráficos, podemos concluir que é uma boa aproximação dizer
que o número de pares possíveis no grupo está crescendo proporcionalmente ao quadrado
do número de pessoas no grupo.
c) A razão entre essas grandezas não permanece constante, por isso não são proporcionais,
porém, com a construção do Gráfico 2, pudemos observar a aproximação satisfatória de
que quando aumenta a quantidade de pessoas em um grupo, e supondo que os conflitos
surjam devido a interações entre pares, a quantidade de conflitos cresce proporcionalmente
ao quadrado do tamanho do grupo.

86
Atividade 5
Foi resolvida junto com o professor.
Atividade 6
Foi resolvida junto com o professor.
Atividade 7
720 maneiras.
Atividade 8
16 opções.
Ida
Trem
Volta
Trem
Avião
Ônibus
Carro
Ida
Ônibus
Volta
Trem
Avião
Ônibus
Carro
Trem
Avião
Ônibus
Carro
CarroTrem
Avião
Ônibus
Carro
Avião
Atividade 9
Cadeira Giratória
Mesa Estante
Mesa Compacta
Mesa Estante
Mesa Classic
Mesa Compacta
Mesa Classic
Mesa Estante
Mesa Compacta
Mesa Estante
Mesa Classic
Mesa Compacta
Mesa Classic
Mesa Estante
Mesa Compacta
Mesa Estante
Mesa Classic
Mesa Compacta
Mesa Classic
Cadeira Diretor
Cadeira Classic

87
Unidade18
Gastará mais comprando: uma Cadeira Diretor – Mesa Estante e Mesa Compacta
– R$ 376,00.
Gastará menos comprando: uma Cadeira Giratória – Mesa Compacta e Mesa Classic
– R$ 233,00.
Atividade 10
24 senhas possíveis.
Atividade 11
As seqüências serão do tipo xyzs. Para a primeira posição, teremos 10 alternativas; para
a segunda, 9; para a terceira, 8; e para a quarta, 7. Podemos aplicar a fórmula de ar-
ranjos, mas, pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:
10 x 9 x 8 x 7 = 5040.
Atividade 12

89
Unidade 19
Explorando conceitos matemáticos em uma discussão
sobre a reutilização e o uso de novas tecnologias
Celso de Oliveira Faria
Iniciando a
nossa conversa
Lembremos a organização das nossas Unidades:
1 – Resolução de uma situação-problema
A Unidade propõe uma nova situação-problema relacionada à reutilização de embalagens,
o que levará ao uso de conhecimentos relacionados à geometria.
2 – Construção do conhecimento matemático em ação
Na Seção 2, você verá como a situação-problema permitirá o estudo das equações qua-
dráticas e de alguns métodos de resolução. Para isso, serão utilizadas várias estratégias,
incluindo o uso de calculadora e de computador. Então, serão propostas algumas atividades
matemáticas no computador.
3 – Transposição Didática
A Seção 3 discute problemas relacionados ao ensino-aprendizagem de conceitos vistos
cação Matemática, que abordará o tema “Educação Matemática e Informática: caminho
e utopias de inclusão”, que consiste na análise do uso da calculadora e do computador
nas aulas de Matemática.
Definindo o
nosso percurso
Esperamos que, ao longo desta Unidade, você possa:
- Vivenciar a resolução de uma situação-problema que diz respeito ao conhecimento
geométrico como estratégia para mobilizar conhecimentos, construir conceitos em
ação e desenvolver habilidades relacionadas a:
• volume máximo de uma caixa planificada;
• estratégias variadas para a resolução da equação quadrática;
• o uso de calculadoras e planilhas eletrônicas para o estudo de alguns gráficos;
• o uso de software livre para o estudo de relações na circunferência.
Esses conhecimentos serão desenvolvidos nas Seções 1 e 2.

90
Uma situação-problema: destacando e estudando o volume máximo de uma caixa
Seção1
- Adquir conhecimentos sobre:
• o uso da calculadora e de softwares livres na sala de aula.
3 - Com relação à sua situação em sala de aula:
- Conhecer e produzir, de acordo com os temas tratados, situações didáticas adequadas
à série em que atua.
Esse objetivo será tratado na Seção 3.
Seção 1
Uma situação-problema: destacando
e estudando o volume máximo de uma caixa
Esperamos que, ao longo desta Seção, você possa:
• Propor uma solução para a situação.
• Determinar experimentalmente um modelo de caixa que seja reutilizada.
• Elaborar uma estratégia para determinar um volume máximo de uma caixa planificada
reutilizada.
Objetivo
da seção
Leia o texto a seguir da Revista Nova Escola de 2001:
Consumir é destruir
“Gastar ou corroer até a destruição; devorar; destruir; extingüir.” Que tal usar essa
definição, extraída do Dicionário Aurélio, para começar um trabalho em classe sobre o
que é consumir com responsabilidade? “Cabe a todo professor ensinar que o conceito

91
Explorando conceitos matemáticos em uma discussão sobre a reutilização e o uso de novas tecnologias
Unidade19
de consumo responsável significa permitir que as futuras gerações usufruam dos mesmos
recursos naturais de que dispomos atualmente”, diz a psicóloga Vera Marta Junqueira,
diretora de Estudos e Pesquisas da Fundação de Proteção e Defesa do Consumidor,
o Procon. Ou seja, de nada adianta “querer levar vantagem”, como preconizava um
velho comercial de cigarros. Se a gente fizer tudo o que tiver vontade agora, a chance
de não sobrar nada é grande.
Em 1998, o Procon realizou uma pesquisa intitulada “Consumidor e Meio Am-
biente”. Ela revela que, embora seja uma preocupação de muitos, a natureza ainda
não influencia as atitudes cotidianas. Em alguns casos, faltam informações básicas.
“É comum as pessoas dissociarem a eletricidade da quantidade de água nas represas,
por exemplo”, afirma Vera. “Sem falar na noção, largamente difundida, de que vive-
mos num país onde a abundância impera.” O mesmo ocorre com o lixo. Quem sabe
explicar o que acontece depois que colocamos o saco do lado de fora do portão de
casa ou no depósito do edifício em que moramos?
Por isso, é preciso mudar hábitos. Só assim vamos conseguir um novo modelo
de desenvolvimento. Não basta ir a um supermercado e olhar o preço e a data
de validade dos produtos. Tão importante quanto, é pensar no impacto que eles
causam na natureza. Exatamente como fazem as escolas da rede municipal de São
José dos Campos, a 97 quilômetros de São Paulo. No projeto de consumo res-
ponsável, os professores levam a garotada ao aterro sanitário da cidade para que
todos vejam, com os próprios olhos, como boa parte das compras do carrinho vão
direto para o lixo e que, portanto, compensa escolher determinadas embalagens
em detrimento de outras.
Um bom conceito a trabalhar é a chamada equação dos 3R:
• Reduzir – consumir menos é fundamental. Hoje, o Brasil produz 88 milhões de
toneladas de lixo por ano, cerca de 440 quilos por habitante.
• Reutilizar – é impossível reduzir a zero a geração de resíduos. Mas, muito do que
jogamos fora deveria ser mais bem reaproveitado. Potes e vasilhames de vidro e
caixas de papelão podem ser úteis em casa ou nas indústrias de reciclagem. E o
destino de restos de comida, como cascas e folhas, tinha de ser a compostagem.
• Reciclar – o “erre” mais conhecido é sinônimo de economia de matérias-primas.
Vidro, papel, plástico e metal representam, em média, 50% do lixo que vai para
os aterros. Além disso, a reciclagem pode virar dinheiro. O economista Sabetai
Calderoni, do Núcleo de Políticas Estratégicas da USP e autor do livro “Os Bilhões
Perdidos no Lixo”, calcula em 5,8 bilhões de reais por ano o total que o Brasil deixa
de arrecadar com materiais recicláveis. Uma fortuna equivalente a dezessete vezes
o orçamento do Ministério do Meio Ambiente.
Saber usar essa equação é ensinar a poupar o planeta. “Nas cidades, temos muito
a aprender sobre a relação com a natureza”, afirma Christopher Flavin, presidente
do Worldwatch Institute. “Toda ação tem uma conseqüência, e o aluno precisa re-
fletir sobre isso”, emenda Maluh Barciotte. Ela oferece um “truque” para envolver a
garotada: estimular as consultas ao serviço de atendimento ao cliente para conhecer
melhor as empresas.
http://novaescola.abril.com.br/ed/144_ago01/html/repcapa2.htm, publicado no dia 26/05/2005.

92
Seção1
Questões relativas à preservação do meio ambiente têm sido freqüentes no dia-
a-dia. Muitos assuntos são tratados por nós com distanciamento. Não temos nenhuma
iniciativa em alterar o nosso cotidiano. Um exemplo é o apresentado no texto, onde
não se atenta para o fato de que uma lâmpada acesa desnecessariamente possa envolver
o desperdício de água.
Atividade 1
Que tipos de economias feitas por você, sua família e a escola podem gerar algum tipo
de preservação ao meio ambiente?
Algumas ações podem gerar trabalhos interessantes. Tais como latas de alumínio que po-
dem ser usadas em vários trabalhos. Ou garrafas pet de refrigerante que podem ser usadas
até para a confecção de enfeites para a casa.
No quesito “reutilizar”, dos 3R, podemos reaproveitar caixas de papelão de
leite e suco.

93
Unidade19
Situação-problema
Separe uma caixa de papelão de suco e mostre como transformá-la em uma caixa para
guardar congelados ou alimentos na geladeira.
Atividade 2
Pegue uma caixa igual à de cima, uma tesoura (e se precisar, use cola e régua) e a trans-
forme em uma caixa para guardar congelados.
Desenhe o formato da caixa que confeccionou.
A caixa que você criou tem tampa? Lembre-se de que é fundamental que caixas
usadas para guardar alimentos em freezer ou geladeira tenham tampas. Pense mais um
pouco e aprimore o modelo usando a borda da caixa como tampa. (Não recorte ainda.
Faça um desenho para o seu novo modelo).

94
Seção1
a) Este modelo é melhor do que o que foi feito por você? Ou seja, reutiliza todo o material,
usa poucos cortes e tem tampa?
b) Faça este modelo com a caixa de suco e calcule o volume.
Atividade 4
a) Instrua seus alunos sobre a confecção do modelo anterior. Por exemplo, a que distância
da base deve ser feito o corte da parte de cima, a qual será usada como encaixe.
b) Repita essas instruções para os seus alunos ou para alguém da sua casa e veja se todos
entenderam e se a sua explicação é suficiente.
Atividade 5
Com alguma criatividade é possível fazer uma série de reutilizações com as embalagens
de produtos que compramos no mercado. Pegue, agora, uma caixa qualquer da sua casa.
Pode ser de leite ou de outro produto que venha em caixa e vamos tentar reutilizá-la para
guardar alguma coisa ou até mesmo para virar um enfeite.
Atenção
É importante ler as instruções das embalagens para verificar se estas podem ser reuti-
lizadas. Por exemplo, em caixas de sabão em pó está escrito que a embalagem não
pode ser reutilizada para outro fim. Leia as instruções e reutilize apenas as caixas per-
mitidas. Talvez a caixa de sabão em pó possa ser reutilizada para guardar prendedores
de roupa ou para outras coisas que não envolvam alimentação.
Atividade 3
Ao lermos um livro sobre reutilização, encontramos o seguinte modelo feito por um grupo
de estudantes:

95
Unidade19
A tarefa a ser feita por você é a seguinte: planifique a caixa que conseguiu, corte
as suas laterais e monte uma outra sem tampa, conforme o modelo abaixo. O desafio é
conseguir o maior volume possível com essa caixa. Para os cálculos, utilize uma calcu-
ladora.
Depois de trabalhar, escreva aqui as dimensões da caixa planificada e qual o volume
obtido por você.

96
Seção 2
Entendendo o uso de planilhas eletrônicas
para a resolução de equações quadráticas
Esperamos que, ao longo desta Seção, você possa:
• Construir os seguintes conhecimentos matemáticos em ação:
- o uso de planilhas eletrônicas para a resolução de equações;
- a resolução de equações quadráticas por vários métodos;
- o uso de software livre de geometria para estudar os ângulos na circunferência.
• Em relação à Educação Matemática você estará vendo:
- o uso do computador e da calculadora na sala de aula.
Objetivo
da seção
Atividade 6
Voltando ao problema do volume, use o retângulo abaixo, varie o tamanho do qua-
drado das quinas e encontre o volume máximo. Use uma calculadora para fazer os
cálculos.

97
Unidade19
Registre aqui os seus resultados:
Tamanho do lado do
quadrado da quina
Volume da
caixa
Tamanho do lado do
quadrado da quina
Volume da
caixa
Qual o volume máximo encontrado?
Sintetizando
Você deve ter observado que o tamanho do quadrado das quinas influencia direta-
mente na altura da caixa ao ser montada. Como se trata de um quadrado, o tamanho
do lado do quadrado é igual ao da altura da caixa. Quanto menor o tamanho do lado
do quadrado, menor a altura e vice-versa.
Tabela 1

98
Entendendo o uso de planilhas eletrônicas para a resolução de equações quadráticas
Seção2
Atividade 7
A partir dos dados da Tabela 1 da Atividade 6, apresente graficamente os resultados e
assinale o volume máximo.
Volume
da caixa
Dimensão do lado do quadrado
Atividade 8
Vamos escrever a função que representa o volume da caixa.
a) A representação algébrica da área da base da caixa é .
b) Do volume é .
c) Desenvolva a expressão e a coloque na forma geral. Isto é, com os expoentes das va-
riáveis em ordem decrescente.

99
Unidade19
O estudo de funções já foi apresentado em TP anteriores. É importante lembrar que a aná-
lise de padrões e funções envolve as habilidades de reconhecer, descrever e generalizar.
Dessa forma, a construção de modelos matemáticos permite prever comportamentos de
fenômenos do mundo real que apresentam algum tipo de regularidade.
As representações gráficas, tabelas de dados, expressões ou equações são funda-
mentais para perceber e interpretar relações. Na situação discutida até aqui, você pode
representar a relação por meio de gráfico, tabela de dados e expressão. Com isso, você
percebeu que as funções são compostas por variáveis que têm uma relação dinâmica,
ou seja, alterações em uma das variáveis conduzem a alterações em outras. E também
percebeu que o aumento irrestrito de uma variável nem sempre conduz a um aumento
proporcional e também irrestrito. Por isso, conceitos como valor máximo e mínimo são
fundamentais para o estudo das funções.
Assim como nas equações, o grau de uma função polinomial está relacionado com
o maior expoente da variável. Isso quando a função está colocada na sua forma geral.
Articulando
conhecimentos
Você deve ter percebido que a função encontrada é do terceiro grau. Agora, vamos,
então, fazer o gráfico por meio de tabela. Para isso, podemos usar duas formas:
1. Construa uma tabela e substitua o x por valores entre 0,5 e 3, variando 0,1 entre cada
valor. Para isso use calculadora.
2. Sugerimos que você use uma planilha eletrônica do computador da sua casa ou escola.
Temos planilhas do Linux, software gratuito que muitas escolas usam, ou o Excell da Mi-
crosoft. Recomendamos que se continue a tarefa na planilha. Isso será muito importante
para o seu desenvolvimento e para, quem sabe, você usar depois com os seus alunos.
Vamos agora aprender a fazer o cálculo na planilha
As planilhas são compostas por linhas e colunas. As linhas são representadas por números
(1,2,3, ...); e as colunas, por letras (A,B,C,...). No encontro das duas, temos as células,
no caso do desenho a seguir, a célula é A1 – linha 1, coluna A.
Célula A1

100
Seção2
Vamos completar a coluna A com os valores de x. Basta você digitar os valores,
conforme mostramos abaixo:
Complete até o 3.
Em seguida, vamos pensar um pouco em como seria a forma literal da expressão.
Ou seja, se o valor digitado na coluna A for x, como será a expressão que calculará. Se
você ficar em dúvida, dê uma olhada nos cálculos anteriores.
Agora, digite na coluna B a fórmula que será usada pelo cálculo. Ao invés de usar-
mos a incógnita x, vamos usar o nome da célula que encontra o valor.
Toda célula que
é usada para fór-
mula deve come-
çar com “=”.
A variável x de-
verá ser substi-
tuída pela célula
que encontra o
valor, no primei-
ro caso: A2.
A multiplicação
é representada
por “*”.
= (20 – 2 * A2) * (10 – 2 * A2) * A2

101
Unidade19
Terminando de digitar e apertando “enter”, será calculado o valor determinado. Para
fazer o cálculo nas outras linhas, existe o recurso de cópia automática da célula. Veja
como ela é feita:
Ao se clicar sobre a célula B2, surge um retângulo que possui um quadradinho na
parte inferior esquerda. Clique nesse quadradinho e segure. Vá descendo na coluna B, e
a fórmula será copiada para cada célula da coluna A.
Por um dos métodos usados por você, o volume máximo é quanto?
Quadradinho a ser clicado.
Soltando o mouse, o cálculo é feito.
Segure até a célula onde estiver o número 3.
Atividade 9
Vamos agora fazer a representação gráfica dos resultados obtidos. Uma das maneiras é
pelo papel e pela forma que já conhecemos. A outra é usando a própria planilha. Mais
uma vez, sugerimos que você procure usar a planilha.
Vamos fazer a representação gráfica dos dados.

102
Seção2
4. Clicando em Avançar, aparece a tela:
Clique em Avançar.
5. Na próxima tela, clique mais uma vez em Avançar e, na última tela, clique em Con-
cluir. Assim você terá o seu gráfico pronto.
1. Clique na célula A1 e, sem soltá-la, vá até a célula B27. Assim, você terá toda a tabela
selecionada.
2. Clique no Assistente de Gráficos, no botão .
3. Na abertura do Assistente de Gráficos, sugerimos a escolha do gráfico do tipo de dis-
persão. Depois, clique em Avançar.

103
Unidade19
Sugerimos que você explore um pouco o Assistente e veja as opções que ele oferece.
Você já deve ter observado que o ponto mais alto do gráfico representa o volu-
me máximo da caixa. Então, valem as perguntas: É mais fácil observar o ponto mais
alto pela tabela ou pelo gráfico? Será que o valor observado na tabela é realmente o
valor máximo assumido? Você não acha que, dependendo da função e do intervalo,
a tabela pode não mostrar o ponto máximo ou mínimo corretamente? E no gráfico,
isso também acontece?
Atividade 10
Agora pensemos na seguinte situação: foi construída uma caixa com o reaproveita-
mento de outras caixas recolhidas por um grupo de alunos. A área final e total da
caixa planificada é de 1m². Os alunos lembram que usaram outros pedaços de caixas
para construir a nova. Para isso, usaram quatro tiras de 30 cm nas laterais, mas não
se lembravam do comprimento. No entanto, as tiras se encaixaram corretamente na
caixa inicial.
Então, a situação pode ser representada assim:

104
Seção2
A caixa final obtida era como esta:
a) Faça a representação algébrica da situação acima:
b) Vamos resolver a situação usando um gráfico. Para começo de conversa, faça uma
tabela variando de 10 a 70, de 5 em 5. Para os cálculos, use calculadora ou planilha
eletrônica. Se utilizar um computador, imprima o gráfico e o coloque aqui. Ou copie
abaixo.
c) Observando o gráfico, você pode dizer qual é o tamanho aproximado do lado do qua-
drado?
x
x xx
x

105
Unidade19
Aprendendo sobre Educação Matemática
A possibilidade do uso de softwares para o ensino e o estudo da Matemática é uma perspec-
tiva que tem aparecido em vários estudos da atualidade. Na verdade, alguns pesquisadores
consideram que isso pode mudar até mesmo a forma de se conceber a Matemática.
Se considerarmos que o desenvolvimento da álgebra, como conhecemos hoje,
deu-se por causa da tecnologia que existia e existe hoje – argila, papel, lápis – o apa-
recimento da informática deve mudar consideravelmente o seu estudo. A dificuldade
na confecção de um gráfico e da análise gráfica de um resultado era muito maior do
que a da análise algébrica. Hoje em dia, isso já não acontece.
As novas tecnologias permitem fazer uma representação gráfica em questão de
minutos e muito mais facilmente do que um cálculo algébrico.
Para resolver o problema anterior, usamos um programa de fácil acesso e gratuito,
o Winplot. Pode ser conseguido facilmente pela Internet.
Com ele podemos construir o gráfico e perceber, por exemplo, que a resposta do
problema, o zero da função que desejamos como resposta, está à esquerda do eixo y,
pois isto envolve medida e não existem medidas negativas.
E aproximando temos o seguinte resultado:

106
Seção2
Para saber mais
O Winplot foi criado pelo professor Richard Parris, da Philips Exeter Academy, por
volta de 1985. O Winplot faz parte de uma série de softwares matemáticos gratuitos
criados por Parris. As vantagens do programa são muitas, dentre elas: é fácil de usar, é
excelente para montagens rápidas nas áreas em que pode atuar e cabe em um disquete.
Como ferramenta didática para o ensino da Geometria Analítica (plana e espacial), o
Winplot é um dos softwares mais completos. Além da versão original, em inglês, ele
possui versões em mais seis idiomas, incluindo o português. No Brasil, o trabalho de
tradução resultou da iniciativa e do empenho de Adelmo Ribeiro de Jesus.
Existem várias maneiras de se resolver uma equação quadrática, uma delas é usando
gráficos, quando há fácil acesso a computadores.
Por exemplo, ao resolvermos a equação x2
- 14x + 48 = 0, podemos considerar a
função f(x) = x2
- 14x + 48. E os valores, ou o valor, de x em que f(x) = 0 são as raízes,
ou raiz, da equação.
Neste ponto:
f(x) = x² - 14x + 48 = 0
Quando x é igual a 6 e 8, a função é
igual a zero, ou seja, f(x) = 0.

107
Unidade19
No exemplo anterior, ao resolvermos a equação x2
- 14x + 48 = 0, usamos a função
f(x) = x2
- 14x + 48, logo, procuramos na tabela e na representação gráfica o f(x)=0. Logo,
usando-se o conceito de função, a raiz da equação é o x, para um valor determinado da
função. Achou confuso? Vamos com calma para você entender melhor.
Quando você resolveu a equação, os valores 6 e 8 fizeram a expressão valer 0:
Articulando
conhecimentos
Mas isso poderia ser feito de outra forma. Por exemplo, poderíamos considerar:
x2
- 14x = -48. A função seria f(x) = x2
- 14x, e o valor de x será determinado quando
f(x) = -48. Também encontraríamos os valores 6 e 8.
Resolva a equação x2
- 3x - 4 = 0, usando uma tabela ou gráfico. Varie os valores
de x de -2 a 5. Pense em várias funções possíveis para resolver o problema.
Atividade 12
Um dos primeiros métodos usados para resolver a equação quadrática foi o racio-
cínio geométrico. Você o conhece? Alguns autores falam que esse método de resolução
foi o mesmo usado por Al-Khowarizmi, um dos grandes matemáticos da álgebra. Vamos
resolver a equação: x2
+12x - 28 = 0.
a) Primeiro vamos construir um quadrado qualquer e chamar os seus lados de x:
x
Atividade 11

108
Seção2
b) Em seguida, vamos construir, em cada um dos lados deste quadrado, retângulos de
lado 3, para termos o total de 12x.
c) Em seguida, vamos completar o quadrado.
A equação inicial é x2
+ 12x - 28 = 0, ou melhor, x2
+ 12x = 28.
O quadrado perfeito que se aproxima da primeira parte da equação é x2
+ 12x +36.
Mas, como temos que x2
+ 12x = 28, devemos somar 36 aos dois membros para obter-
mos o (x + 6)2
:
x2
+ 12x + 36 = 28 +36
x2
+ 12x + 36= 64.
Pois, se resolvermos a equação acima, encontramos o x2
+ 12x = 28.
Então, a área do quadrado grande é 64, ou seja, cada lado mede 8.
xxx
x
x
x
x
x
x x
x
Como o lado mede x + 6, podemos concluir que x + 6 = 8. Então, x = 2.
Observando esse método, você acha que é possível resolver todas as equações por
ele?

109
Unidade19
Para trabalhar esta Atividade com os seus alunos, use material manipulável. Faça, com
cartolina, papel cartaz ou outro tipo de papel rígido, peças com as quais o estudante possa
completar o quadrado pela manipulação.
Um recado para
sala de aula
Atividade 13
Um outro método de resolução para a equação quadrática, parecido com o anterior, é o
de completar os quadrados, os quais têm como objetivo transformar toda a equação em
um quadrado perfeito.
Vamos resolver a equação x² - 10x +21=0:
Sabemos que, quando elevamos ao quadrado a soma de dois termos, temos:
(x + a)² = x² + 2 x x x a + a²
Para facilitar, sugerimos que se faça o quadrado perfeito apenas com termos que
possuem incógnita. Então, reescrevemos a equação assim:
x² - 10x = -21.
Analise a situação e complete o quadrado.
x² - 2 x x x + = - 21 +
Não se esqueça de que o valor adicionado não estava na primeira equação, assim
é preciso acrescentá-lo, ou tirá-lo, do outro membro para manter a equivalência.
Depois de completar o quadrado, resolva a equação.

110
Seção2
A fatoração pode ser usada em várias situações para a resolução de equações quadráticas.
É comum muitos professores acharem mais complicado trabalhar esse enfoque com os
seus alunos. Porém, ele é muito mais significativo e é possível que o aluno encontre as
soluções mais intuitivamente.
Veja alguns exemplos:
1)
Articulando
conhecimentos
A resolução das equações incompletas pode ser feita por meio da fatoração.
2) Partindo da relação em que (x +a)(x +b) = x² + (a+b)x + (a x b)
x2
- 6x - 16 = 0
(x + 2) (x - 8) = 0
x = -2
x = 8
Atividade 14
Voltemos à equação apresentada na Atividade 11, x² - 3x - 4 = 0. Resolva-a por algum
dos métodos algébricos vistos até aqui, em qual conclusão você pode chegar?
5
2
2
7
2
3
4
49
2
3
4
49
2
3
2
310
2
32
103x-
010-3x-
2
2
2
3
2
x
x
x
x
x
xx
x2
x
x2
x
2

111
Unidade19
É muito comum encontrarmos alunos que relacionam a representação gráfica com a não
solução da equação no conjunto dos Reais. Por exemplo, na equação mostrada, como a
função não toca o eixo x, ela não tem zeros da função, logo não tem raízes Reais. Porém,
existe a representação gráfica da função.
Um recado para
sala de aula
Você já deve ter observado que os métodos de fatoração não são suficientes para todas
as equações. Por isso, foi desenvolvido um método que foi chamado de Báskara, apesar
de não ter sido ele o matemático responsável pelo modelo. A partir do que foi estudado
até aqui, procure uma forma de chegar ao modelo:
Articulando
conhecimentos
Sugerimos que você dê uma olhada na Revista do Professor de Matemática (no
43,
1999), que traz vários métodos de resolução de equação do 2o
grau no decorrer da história
por vários povos. Na Internet é possível acessar pelo:
http://bibvirt.futuro.usp.br/textos/periodicos/revista_do_professor_de_matematica/vol_0_no_43
Atividade 15
Nós vimos, nas Atividades anteriores, a importância das novas tecnologias no ensino da
Matemática. Algumas delas facilitam a aprendizagem e podem ajudar na visualização de
algumas propriedades da Matemática. No ensino de Geometria, isto é mais visível ainda. Com
determinados programas, é possível mostrar algumas propriedades matemáticas importantes
e que, com outras tecnologias, como lápis, papel, compasso, são de difícil visualização.
Alguns programas são bastante usados em Geometria. Como um exemplo, temos:
o Cabri-geométre e o Geometricks. Outro que é muito usado é o Régua e Compasso,
que tem uma característica fundamental para o usuário: é gratuito e pode ser encon-
trado na Internet.
No site http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/software/softw.htm, você pode co-
piar uma série de programas gratuitos para uso em sala de aula. Sugerimos que peça
a ajuda do responsável pelo laboratório de informática da escola para baixar alguns
desses programas.
Vamos trabalhar nesta Atividade com o Régua e Compasso. Peça ajuda ao responsá-
vel pelo laboratório da escola e mãos à obra. O desafio do Gestar é fazer com que você,
x

112
Seção2
além de revisar algumas aplicações de Matemática, aprenda algo mais: o uso das novas
tecnologias, incluindo uma nova ferramenta.
Vamos construir uma atividade sobre o valor do ângulo inscrito e central da circun-
ferência? Então, siga os passos:
1) Clique em “Circunferência” e marque o centro da circunferência. Marque outro ponto.
Você terá construído a sua circunferência.
2) Crie dois outros pontos na circunferência. Para isso, existe a função “Ponto no Objeto”,
assim, esse botão não sairá da circunferência. Clique, primeiro, em “Ponto no Objeto” e,
depois, clique em um ponto qualquer da circunferência.
Botão
“Circunferência”.
Clique em “Ponto no Objeto”.
Outros pontos.

113
Unidade19
3) Agora vamos criar semi-retas formando os ângulos. A função que o programa usa para
criar uma semi-reta chama-se “Raio”. Clique nela e marque, em seguida, o vértice, e de-
pois o ponto. Repita isso para todos os pontos. Se errar alguma coisa, use a seta “Eliminar
o Último Objeto”. Mesmo procedimento para ligar dois pontos na circunferência.
4) Para determinar a medida dos ângulos, é preciso usar duas funções. Clique em “Ângulo”
e em “Mostrar Valores dos Objetos”. Em seguida, marque o ângulo na seguinte ordem:
ponto da circunferência, vértice, ponto da circunferência. Veja no desenho a seqüência.
Depois, faça a mesmo para o ângulo inscrito.
Botão “Eliminar o Último Obje-
to”, usado em caso de erro.
Botão “Raio”.
Botões “Mostrar Valores de
Objetos” e “Ângulos”.
1o
ponto
2o
ponto
3o
ponto

114
Seção2
5) O Régua e Compasso permite que você altere o desenho e tenha situações dife-
rentes. Clique no botão “Mover Ponto” e mova um dos pontos, incluindo o centro da
circunferência.
Deslocando-se os pontos, qual propriedade dos ângulos da circunferência você
pode observar?
Em sua opinião, trata- se de uma demonstração matemática? Faça uma releitura do
Texto de Referência da Unidade 16 do TP 4.
Resumindo
Nesta Seção, você aprendeu a:
• Usar planilhas para resolver uma equação do terceiro grau.
• Usar métodos para a resolução de equações do segundo grau.
• Usar o software Régua e Compasso para determinar o ângulo central e inscrito
em uma circunferência.
“Mover Ponto”
Quando se clica sobre o
ponto, ele muda de cor.

115
Seção 3
Transposição didática: trabalhando o uso da calculadora
e a fatoração para a resolução de equações quadráticas
Ao longo desta Seção, esperamos que você possa:
Conhecer e produzir situações didáticas adequadas ao nível de ensino em que atua, en-
volvendo:
• o uso da calculadora para produzir situações matemáticas que levem os alunos a pensar
matematicamente;
• desenvolvimento de estratégias para promover a resolução de equações quadráticas por
outros métodos.
Objetivo
da seção
Atividade 16
Vimos até aqui a importância do uso de novas tecnologias na aula de Matemática. Isso
inclui desde o uso de calculadoras até mesmo o uso do computador. Leia o trecho do
texto a seguir.
“(...) Mas o que sempre emperrou uma tomada de posição mais firme sobre presença
das calculadoras no ensino foram as crenças, desprovidas de investigação consistente,
de que alunos e alunas, não importa a faixa etária ou condição social, (...) ficariam
preguiçosos, (...) desaprenderiam os algoritmos e (...) deixariam de raciocinar, caso
usassem calculadoras na escola. Isto é tanto verdade como o velho mito de que “manga
com leite faz mal à saúde”. (...)”
BIGODE, Antônio.
Em http://www.matematicahoje.com.br/telas/autor/artigos/artigos_publicados.asp?aux=Calculadoras#Anchor-BB,
visitado em 26/05/2005.
O que você acha da afirmação acima? Você concorda que a calculadora deixa os
alunos mais preguiçosos? Na sua opinião, é possível aprender Matemática com a calcu-
ladora? Se sim, em que momentos?
Você sabia que existe um museu da calculadora e que você pode ver pela Internet.
O endereço é www.boselli.com.br/museu.

116
Transposição didática: trabalhando o uso da calculadora e a fatoração para a resolução de equações quadráticas
Seção3
Atividade 17
Com o uso de uma calculadora de quatro operações, escreva a seqüência numérica que
aparece no visor:
a) 1+2= = = = = = =
b) 1x2= = = = = = =
Agora vamos ver outra situação. Que teclas devem ser apertadas para termos a se-
qüência:
c) 7, 12, 17, 22, 27,...
d) 6, 12, 24, 48,...
Nesta Atividade você poderá discutir com os seus alunos vários elementos relacio-
nados à seqüência numérica, podendo chegar até a sua generalização.
Atividade 18
Uma atividade que os alunos gostam muito e que os ajuda bastante a perceberem as pro-
priedades das operações é a de calcular sem usar algumas teclas.
Veja alguns exemplos:
a) 35 x 9, sem a tecla 9.
b) 73 - 23, sem “-”.
c) 875 ÷ 125, sem “÷”.
d) Sem a tecla 8, 5 x 8, 9 x 8, 12 x 18, 1888 ÷ 2.
Atividade 19
Discutimos rapidamente na Seção 2 sobre alguns professores que acham difícil resolver
equação por outros métodos. É muito comum encontrarmos alunos que também acham
difícil. Porém, é preciso compreender que se trata de uma mudança de paradigma por
parte de professores e alunos. A resolução de equações quadráticas por fatoração, apesar
de no início não parecer muito simples, torna o aluno capaz de resolver algumas equações
mais rapidamente.
Encontramos alguns professores que até começam a resolver as equações do segundo
grau quando são estudados os casos de fatoração na sétima série, por exemplo. Você já
pensou em fazer isso com os seus alunos?
Depois que os alunos se habituarem a resolver algumas equações por fatoração,
você verá que a “fórmula de Báskara” não é tão prática assim.

117
Unidade19
A nossa proposta é que você parta da resolução de equações a partir das funções
e, se a sua escola tiver, com o uso do computador. Depois use outros métodos, como os
que envolvem fatoração, e, por fim, a fórmula conhecida.
Propomos que, baseado nas atividades, você formule várias situações para serem
realizadas com os seus alunos de 7a
e 8a
séries, as quais comecem a levá-los a resolver as
equações quadráticas por fatoração. Se você não for professor dessas séries, não fique de
braços cruzados: pense em uma situação em que você possa introduzir a solução de uma
equação simples. O que acha de usar o material manipulável da Atividade 12?
Leve na próxima oficina, pois discutiremos esta Atividade.
Resumindo
Nesta Seção, você teve a oportunidade de:
• Usar a calculadora para generalizar seqüências numéricas e aplicar algumas
propriedades dos números.
• Desenvolver situações para a resolução de equação do segundo grau por métodos
que usam a fatoração.

118
Leituras sugeridas
BORBA, M.C.; PENTEADO, M.G. (org). Informática em ação: formação de professores,
pesquisa e extensão. São Paulo: Olho d´Água, 2000.
O livro apresenta uma rica discussão sobre a formação de professores e pesquisas relevan-
tes na área de informática educativa. Mostra também os vínculos que articulam pesquisa,
extensão e ensino. Todos os capítulos trazem contribuições para o uso da informática na
ação docente. O livro traz resultados de um dos mais importantes centros de pesquisa
sobre novas tecnologias na Educação Matemática atualmente.
PENTEADO, M.G. Novos atores, novos cenários: discutindo a inserção dos computa-
dores na profissão docente. Em: Pesquisa em Educação Matemática: Concepções &
Perspectivas. Organizadora Maria Aparecida Viggiani Bicudo. P. 297-313. São Paulo:
Unesp, 1999.
Neste artigo, você encontrará uma interessante pesquisa sobre a ação que o uso dos
computadores provoca na sala de aula. São discutidas questões como: diferentes fontes
de informação na sala de aula; autoridade e poder; relação entre os alunos e entre pro-
fessor-aluno e a interação com diferentes mídias.

119
Unidade19
Bibliografia
ARMSTRONG, A.; e CASEMENT, C. A criança e a máquina. Como os computadores
colocam a educação de nossos filhos em risco. Porto Alegre: Artmed, 2001.
BORBA, M. C; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 2a
ed. Belo Ho-
rizonte: Autêntica, 2001.
D’AMBRÓSIO, U. Etnomatemática – elo entre as tradições e a modernidade. Coleção
Tendências em Educação Matemática, v. 1. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.
FARIA, C.O. O computador e a co-construção de conceitos matemáticos por alunos do
Ensino Fundamental em uma situação planejada: uma análise microgenética dos processos
de mediação. Dissertação de mestrado. Goiânia, 2001.
FREIRE, P. Educação como prática da liberdade. Paz Terra, 1987.
_________. Ética, Utopia e Educação. Vozes, 2000.
_________. Pedagogia do Oprimido. Paz Terra, 1987.
KOPP, R. Novas tecnologias da comunicação: interfaces a serviço de quem? In: Novas
Tecnologias: Educação e Sociedade na era da Informação. P. 57-72. Autêntica, 2001.
LÉVY, P. Cibercultura. Rio de Janeiro: Ed. 34, 1999.
_______. As Tecnologias da Inteligência: o futuro do pensamento na era da informática.
Rio de Janeiro: Ed. 34, 1993.
_______. A Revolução Contemporânea em Matéria de Comunicação. In: MARTINS, F.
M; SILVA, J. M. Para navegar no século XXI: Tecnologias do Imaginário e Cibercultura.
Porto Alegre: Sulina/Edipurs, 1999.

120
Educação Matemática e Informática:
caminho e utopias de inclusão
Celso de Oliveira Faria
Durante o TP, discutimos sobre as novas tecnologias e o ensino da Matemática. Vi-
mos alguns exemplos de atividades. Mas será que nós, professores da Educação Pública,
temos condições de inserir o computador, a calculadora etc. em sala de aula enquanto
não temos outros equipamentos fundamentais para a escola?
Discutir sobre a inclusão de alunos no processo de construção de uma Matemática
que inclua o uso das novas tecnologias não parece tarefa fácil, por motivos óbvios: a
complexidade e os paradoxos presentes nesta nova tecnologia. E passam pelos conceitos
de democratização e liberdade.
Vamos conversar um pouco sobre isso? Então pretendemos levantar algumas ques-
tões: O que é tecnologia do pensamento? O que significa tecnologias informáticas? E a
serviço de quem está a exclusão desta nova tecnologia? A partir daí, vamos nos ater um
pouco sobre a Educação Matemática. Para isso, vamos partir das idéias de dois pensadores
brasileiros: Paulo Freire e Ubiratan D’Ambrósio.
O desenvolvimento tecnológico humano deve inicialmente ser pensado como um
processo de devir e de construção humano-social-histórica, onde todos os seus membros
e componentes, físicos ou metafísicos e dos sentidos, controlam a sua gênese. É funda-
mental pensarmos que o computador não é uma máquina construída, a priori, apenas
como uma necessidade humana. Mas a sua elaboração e utilidade no mundo moderno
está impregnada de construções e reconstruções humanas.
É significante dizer isto, pois muitos educadores precisam compreender que a tec-
nologia é uma construção humana e que o seu sentido e utilidade somos nós, homens,
sociedade, cultura, que vamos alterando-a e dando- lhe sentido, ao mesmo tempo. As tec-
nologias informáticas são muito mais do que máquinas, pois significam uma reestruturação
do pensamento humano no mundo das possibilidades da linguagem e da comunicação.
As tecnologias informáticas trazem no seu núcleo uma nova linguagem. É preciso
compreendê-la e apropriá-la. Porém, é preciso também entendê-la como uma nova forma
de comunicação, por novas teias, por uma série de informações desconectadas ou com
conexões embrionárias ainda do que quer expressar.
Portanto, mesmo que esta nova tecnologia parta de uma construção humana datada
e marcada por necessidades dos mais variados níveis, isto não significa que ela não esteja
repleta de contradições. E a história mundial e brasileira não demonstra que o surgimento
de novos meios de comunicação ou tecnologias de grande amplitude representou, por
conseqüência, a sua democratização.
Por exemplo, a imprensa de Gutemberg já dera início a este processo no século XV.
Com ela, o poder da escrita dos monges copistas sofreu as primeiras vertigens. O poder não
deixava de existir, apenas migrava das mãos de uns para as de outros. (Kopp, 2001).

121
Esta “mudança de mãos” do poder parece nos mostrar que o desenvolvimento tecno-
lógico não consegue resolver os problemas de exclusão ou acesso. Lévy (1999a) declara
que cada sistema de comunicação fabrica os seus excluídos. Basta observarmos que a
escrita e a leitura criaram um grupo de excluídos.
Porém, vale a pena perguntar se uma nova tecnologia produz um novo exército de
excluídos ou se eles somam ou contrapõem. Lévy (1999b), no texto A revolução contem-
porânea em matéria de comunicação, diz que “o domínio dessas tecnologias intelectuais
dá uma vantagem considerável aos grupos e aos contextos humanos que as utilizam de
maneira adequada”.
Parece-nos que a maneira adequada de apropriação das novas tecnologias é fun-
damental nessa discussão. Os problemas de exclusão não estão resolvidos em países do
primeiro mundo; é ilusão imaginarmos que as escolas dos países desenvolvidos estão cheias
de computadores e com todos os alunos utilizando-os de forma adequada. Armstrong
(2001), por exemplo, traz vários exemplos da má utilização do computador nas escolas
americanas e canadenses.
Então precisamos garantir, no sentido lato do termo, uma educação nas novas tec-
nologias de maneira adequada. O acesso à informática deve ser visto como um direito,
e portanto, nas escolas públicas e particulares, o estudante deve poder usufruir de uma
educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização tecnológica”.
(Borba e Penteado, 2001, p. 17).
É preciso alfabetizar para a tecnologia. O que significa isso? Como acontece essa al-
fabetização tecnológica? No intuito de compreender o que seria alfabetização tecnológica,
vamos buscar, na pedagogia de Paulo Freire, um possível “modelo” para esta missão.
Para Paulo Freire, a escola deve ser um espaço aberto para o diálogo, para o embate
das idéias, onde os alunos trazem as suas construções, os seus conceitos ou “pré-concei-
tos”, a sua visão de mundo e ideologias. O método freiriano parte das necessidades das
pessoas, por meio de um processo de conectividade, por meio de uma gestão coletiva do
conhecimento social a ser socializado de baixo para cima.
Na alfabetização do sujeito, vislumbram-se quatro possibilidades:
• A possibilidade de o sujeito ler o mundo, ou seja, pela sua curiosidade ao compreen-
der o mundo, pela sua experimentação e vivência no seu grupo social ou até mesmo
navegando na Internet. Traga as suas questões, dúvidas, palavras, temas geradores ou
complexos temáticos. A escola é o local para se colocar tudo em cima da mesa e dis-
cutir, para que as idéias e as informações sejam avaliadas.
• O compartilhar da sua leitura do mundo. As leituras não são fechadas em si mesmas. É
preciso compartilhá-las, trocá-las, alterá-las, colocá-las à prova. É preciso incorporá-las
à inteligência coletiva. Inteligência esta que poderá ser alterada pelas novas leituras de
mundo, afinal, é assim que se constrói e se reconstrói a inteligência coletiva.
• É preciso aprender a aprender, ou seja, é preciso que o aluno entenda os processos de
se obter informações e de discuti-las, validá-las ou não, para a leitura do mundo. A
partir dos temas complexos ou de situações-problema geradas pela vivência dos seus
elementos, o aluno precisa aprender a organizar as suas idéias e a usar os conteúdos
como instrumentos para entender o mundo em que vive. Assim, os conteúdos tornam-
se o meio para a leitura do mundo: o importante é aprender a aprender.
• Em sujeitos autônomos que sabem aprender, que sabem colocar as suas idéias, que não
temem o seu embate, que encontram interlocutores, só é possível reconhecer sujeitos

122
livres. Freire, neste sentido, propõe uma educação voltada para a libertação do sujeito,
uma educação utópica, onde no seu projeto deve estar reinstalada a esperança.
Ao pensarmos sobre alfabetização tecnológica, estes quatro elementos do pensamento
de Paulo Freire são fundamentais, como balizadores do que concebemos ser necessário
para a inclusão dos nossos alunos.
É preciso pensar em uma escola que trabalhe com a curiosidade do aluno, que parta
de situações-problema que são existenciais para os seus alunos. A Educação Matemática
tem buscado um ensino contextualizado na vida do aluno e da sua comunidade. Então,
as tecnologias informáticas, pensadas como tecnologias da linguagem e da comunicação,
no uso da Matemática, devem ter essas quatro possibilidades como seus pressupostos na
formação do indivíduo.
É preciso ter liberdade para apresentar idéias, para divulgá-las e estar pronto para
colocá-las em prova. Nesse processo, é possível esperar a formação de um indivíduo
cidadão que aprenda a ler o mundo em que vive e, assim, aprenda a ser livre.
Mas como pensar esses sujeitos utópicos e de esperança em um mundo tão para-
doxal como o nosso?
Então falar de inclusão em Educação Matemática com novas tecnologias, para nós
parece uma relação imediata pensarmos em Etnomatemática, quando entendemos que
os sistemas de conhecimento são conjuntos de respostas que um grupo dá às pulsações
de sobrevivência e de transcendência, inerentes à espécie humana. São os afazeres e os
saberes de uma cultura.(D’Ambrósio, 2001).
D’Ambrósio afirma que, na transição do século XX para o século XXI, espera-se que
os alunos adquiram e utilizem instrumentos comunicativos, analíticos e materiais para
exercer o seu papel de cidadão. Assim, ele propõe um ensino voltado para três vertentes:
literacia, materacia e tecnoracia.
Literacia trata-se da capacidade de os educandos processarem informações que estão
expressas na forma oral, escrita, por cálculo, diálogo, nas mais variadas mídias, Internet etc.
Quando os símbolos são processados, o educando precisa interpretá-los e analisá-
los, a fim de trazer alterações na sua vida cotidiana por meio de abstrações. E este sentido
analítico dado aos símbolos é a materacia.
Nesta interpretação, é preciso que o aluno utilize instrumentos dos mais variados
tipos, simples ou complexos, podendo estar contida a compreensão até mesmo do seu
próprio corpo, permitindo avaliar a sua utilidade e aplicabilidade no campo das possibi-
lidades e limitações. D’Ambrósio chama esta interpretação de tecnoracia.
Parecem-nos conceitos complicados, mas entendemos que, quando lemos a proposta
de alfabetização de Paulo Freire em conjunto com o que D’Ambrósio propõe, estamos
falando de teorias extremamente inter-relacionadas.
A escola é este local aberto, onde os alunos trazem as suas idéias, os seus problemas
e as suas perguntas. Ali encontram um professor, perito, mais experiente e sabedor de
algumas das ferramentas e conhecimentos necessários para interpretar o problema. Este
professor sabe até onde pode ir e tem um olhar mais amplo.
A leitura do mundo passa a ser feita por meio das suas várias simbologias e formas
que estão expressas por cálculos, textos lineares, hipertextos, links etc. (Literacia), for-

123
mando idéias complexas e situações-problema. O educando e o professor fazem análises,
simulações, conclusões, generalizações, obtendo assim um extrato analítico (materacia),
sendo o mais importante aprender a aprender. Aprendem a levantar hipóteses, aprendem
como comprová-las e discuti-las por meio de uma rede de informações, conteúdos, con-
ceitos e significados e sentidos.
É necessário compartilhar idéias, pensamentos, ser compreendido. Assim, é pre-
ciso que exista comunicação entre os elementos, é preciso compartilhar tecnologias,
até mesmo as do pensamento. Esta tecnologia começa no próprio controle do corpo,
passando pelas tecnologias/máquinas e indo até as tecnologias da linguagem e da co-
municação (tecnoracia).
Mas como é possível haver uma alfabetização informática libertadora?
Pensamos que um elemento importante é a desmistificação do computador como
uma máquina “mágica”, para isto acreditamos na importância de o aluno conhecer os
elementos da máquina – hardware e software, seus limites e inclusive a sua linguagem
binária. Porém, essa introdução deve ser rápida e informativa.
Em compensação, é preciso conhecer mais profundamente algumas linguagens
ou ferramentas computacionais. Hoje não é necessário conhecer linguagens especí-
ficas de programação para usar o computador, mas algumas tarefas lúdicas com a
linguagem logo seriam muito válidas para que os alunos tivessem algumas idéias do
que seja uma programação.
Daí, parte-se para as ferramentas ou aplicativos, portanto não se deve privilegiar
uma linguagem por outra, mas sim procurar fazer com que o aluno aprenda a lin-
guagem de forma analítica, como propõe D’Ambrósio no termo materacia. É preciso
que o aluno aprenda a linguagem de uma ferramenta como um meio para aprender
a aprender qualquer aplicativo. Ou seja, deve-se estimular os alunos a lerem as telas
de ajuda do programa e as mensagens de erro. Portanto, o que objetivamos é que o
aluno aprenda a aprender.
Assim, o objetivo da aula de Matemática que utiliza a informática não deve estar
centrado na utilização da máquina meramente. Mas, a partir dos problemas trazidos para
a sala de aula, que o computador possa ser utilizado como ator na elaboração e compro-
vação de hipóteses e na simulação de idéias. Só assim é possível aprender a ler, escrever,
compreender textos, entender gráficos, fazer cálculos simples ou complexos, fazer análises
geométricas planas ou espaciais.
Quanto mais ativamente uma pessoa participar da aquisição de um conhecimento,
mais ela irá integrar e reter aquilo que aprender. Ora, a multimídia interativa, graças à
dimensão reticular ou não linear, favorece uma atitude exploratória, ou mesmo lúdica,
face ao material a ser assimilado. É, portanto, um instrumento bem adaptado a uma
pedagogia ativa.
LÉVY, 1993.

124
Conclusão
Sem dúvida, podemos nos perguntar sobre como fazer tudo isto se estamos em uma escola
pública, sem elementos fundamentais para o seu funcionamento. Como então pensar em
uma alfabetização neste nível?
O que apresentamos aqui são pontos norteadores. A informática tem um papel
paradoxal na nossa sociedade. É necessária a inclusão do sujeito, mas podemos correr
o risco de estar formando indivíduos apenas para o trabalho e servindo para um projeto
capitalista.
É verdade que devemos tomar muito cuidado para não entrarmos no jogo capitalista,
ao mesmo tempo, não podemos excluir o acesso, principalmente, dos alunos da escola
pública, pois muitos deles, se não tiverem esta formação na escola pública, possivelmente
não conseguirão obtê-la fora dela.
Somente com a continuidade e o progresso das pesquisas é que poderemos afirmar com
certeza que a informatização mudará o panorama escolar, trazendo novas habilidades
para os alunos, provavelmente em detrimento de outras, e também impondo mudanças
para a carreira profissional do docente. Mas não esperemos que todos os problemas
da educação e do ensino-aprendizagem estejam resolvidos a partir da introdução da
informática na escola.
FARIA, 2001.
Ao encerrar este texto, gostaria de buscar uma visão utópica, similar à sonhada por
Paulo Freire, ou seja, devemos instaurar a esperança de uma educação libertadora. Pre-
cisamos garantir aos nossos alunos a inclusão no processo de alfabetização informática.
Vale lembrar que o Brasil possui leis que garantem a compra de computadores para esco-
las com dinheiro de empresas de telefonia privatizadas. Então, existe dinheiro para isso.
Precisamos lutar para que esta verba seja realmente aplicada na compra de máquinas e
que elas sejam instaladas nas escolas.
É uma luta, mas Freire, quando propôs uma escola libertadora, com a alfabetização
para todos, também vivíamos em um país com níveis de analfabetismo altíssimos. Era
um sonho conseguir formar uma sociedade alfabetizada na língua materna. Hoje ainda
temos muitos analfabetos na língua materna, temos um outro contingente de analfabetos
matematicamente falando e precisamos continuar lutando por mais uma alfabetização: a
informática. Só assim poderemos ter uma sociedade livre para ler o mundo.

127
Atividade 6
(20 - 2x) . (10 - 2x) . x
Volume máximo: 192,44 cm2
Atividade 8
Lado maior: 20 - 2x
Lado menor: 10 - 2x
a) (20 - 2x) . (10 - 2x)
b) (20 - 2x) . (10 - 2x) . x
c) 4x3
- 60x2
+ 200 . x
Atividade 10
a) x2
+ 120x = 1
b) Tabela
x
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
Área
1300
2025
2800
3625
4500
5425
6400
7425
8500
9625
10800
12025
13300
Atividade 7
Resposta pessoal.
c) O 1m2
ou 10.000 cm2
está entre 55 e 60.

128
Atividade 11
x
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
Solução da equação: -1 e 4.
Outras funções:
f(x) = x2
- 3x e f(x) = 4
f(x) = x2
- 3x + 5 e f(x) = 9
Atividade 12
Não é possível resolver todas as equações quadráticas por este método, principalmente
as equações com raízes irracionais e negativas.
Atividade 17
a) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
b) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.
c) 2 + 5.
d) 3 x 2.
Atividade 18
a) 10 - 1 = x 35 ou 8 + 1= x 35.
b) 23 + 10 + + + + +, como foram apertados 5 vezes, são 5 vezes 10, resposta 50.
Ou pode-se fazer 1 por 1 ÷ 23+1= = = = =... = . Assim, aperta-se o igual 50 vezes.
c) 875 – 125 = = = = = = = . O igual foi apertado 7 vezes, então o resultado da divisão
é 7.
d) 5x (7 + 1), 9x (9 - 1), 12x (17 + 1), 1890 – 2 ÷ 2.

129
Unidade 20
Os triângulos na vida dos homens –
Congruência de Triângulos
Nilza Eigenheer Bertoni
Iniciando a
nossa conversa
Nesta Unidade, você terá a oportunidade de rever alguns conhecimentos e avançar
em outros, relativos à Geometria.
Na Unidade 15, você aprendeu sobre semelhança de triângulos. Nesta Unidade,
desenvolveremos conhecimentos sobre congruência de triângulos. Assim como o conceito
de equivalência de fração tem a ver com o de igualdade de fração, sendo, entretanto, mais
preciso; congruência é um conceito que se relaciona com o de igualdade, tomando-o de
modo mais preciso, como você verá, ao ler a Unidade.
Foi Euclides, que viveu do século IV ao século III antes de Cristo, que, com o seu livro
Os Elementos – uma série de 13 rolos de pergaminhos dos quais nenhum sobreviveu até
hoje –, nos deu as ferramentas necessárias para revelar a natureza do universo. Esses conhe-
cimentos e outros avanços da Geometria foram essenciais para que matemáticos e cientistas
pudessem construir novas perspectivas sobre o nosso lugar no cosmos. É interessante notar
que a congruência de triângulos foi trabalhada por Euclides no livro I de sua obra.
Como nas Unidades anteriores, esta também constará de três Seções.
Na Seção 1, você vai trabalhar em uma situação-problema ligada a contextos da
vida diária.
Na Seção 2, desenvolveremos o conceito de congruência de figuras planas e vamos
explorar algumas condições específicas que permitem concluir que dois triângulos são
congruentes.
Na Seção 3, você conhecerá algumas idéias para trabalhar esses conceitos com os
seus alunos, já que eles fazem parte do currículo do Ensino Fundamental e são relevantes
para a vivência no mundo atual.
Definindo o
nosso percurso
- Trabalhar sobre situações-problema da vivência cotidiana envolvendo decomposição
de polígonos em triângulos.

130
- Identificar o conceito de polígonos congruentes e de triângulos congruentes.
- Identificar condições de igualdade de medidas de elementos correspondentes dos
triângulos, as quais garantam a congruência de triângulos ou de polígonos.
- Identificar transformações do plano que garantam a congruência entre um triângulo
e a sua imagem.
- Comprovar a congruência de polígonos ou de triângulos, em situações do mundo
físico-social.
Esses conhecimentos serão desenvolvidos nas Seções 1 e 2.
- Aprofundar a compreensão sobre argumentação e raciocínio dedutivo, dois aspectos
importantes do conhecimento matemático. Isso será feito no Texto de Referência.
- Conhecer e produzir situações de manipulação concreta e problemas do contexto
físico-social para a exploração, junto aos alunos, dos conceitos de congruência e
das condições que garantem a congruência entre triângulos.
- Conhecer translações, rotações e simetrias do plano, relacionando-as com a congru-
ência de figuras planas.
Esses objetivos serão tratados na Seção 3.
Seção 1
Resolução de situação-problema: como o
desconhecimento da Matemática causa
transtornos na solução de problemas práticos
• Perceber a importância para a vida humana do conhecimento sobre triângulos, desde
os tempos antigos até os atuais.
• Conhecer fatos relevantes da história da Matemática, associando-os a épocas históricas.
• Trabalhar em situações-problema do contexto cotidiano, percebendo como fatos básicos
da Matemática são essenciais para resolvê-las e evitar transtornos práticos.
Objetivo
da seção

131
Os triângulos na vida dos homens – Congruência de Triângulos
Unidade20
Os triângulos na história das construções e das descobertas humanas
O primeiro imperativo para o desenvolvimento da Geometria veio provavelmente com
os egípcios, quando, no sexto milênio a.C., começaram a estabelecer comunidades
fixas, calcadas na vida agrícola, e sentiram a necessidade de cobrar impostos sobre
a terra. Eles desenvolveram métodos para calcular a área de quadrados, triângulos,
retângulos, trapézios e círculos, já que o governo determinava os valores com base na
altura da enchente do ano e na área de superfície das propriedades.
Daí em diante, a humanidade ousou medir a Terra e o Universo, até mesmo a
altura de pirâmides, árvores e morros, a largura de rios, o raio e a circunferência da
Terra etc. Atualmente, o homem esmiuça o espaço cósmico do mesmo modo como
fazia com o nosso planeta, há milênios.
O triângulo sempre teve um lugar especial na construção desses conhecimentos.
Vamos começar lembrando de quatro gigantes da história da Matemática, que
viveram entre os séculos VI e II a.C.
Séc. VI Séc. V Séc. IV Séc. III Séc. II Séc.I
Tales Euclides
Pitágoras Arquimedes
Tales nasceu por volta de 620 a.C. Você já viu, na Unidade 15, como Tales usou
triângulos semelhantes para a determinação da altura de uma pirâmide.
Também já leu sobre Pitágoras e o seu famoso teorema, relativo a medidas dos
lados em um triângulo retângulo. Pitágoras viveu no século VI a.C.
Dois séculos depois, entre os séculos IV e III a.C., viveu Euclides. No livro I, encontram-
se postulados a teoria sobre retas paralelas e teoremas de congruência para triângulos.
No século III a.C., de 287 a 212, viveu Arquimedes. Um problema sobre o qual
Arquimedes mostrou toda a sua habilidade como matemático foi, sem dúvida, o cál-
culo da área de um círculo de raio R.
Para isso ele usou um raciocínio que só mais tarde (1600 a 1700 d.C.) iria ser
utilizado por Newton e Leibniz, na invenção do cálculo infinitesimal. Veja qual foi o
seu raciocínio:
Seja S a área do círculo. Dividimos tal círculo em um número muito grande de
triângulos iguais (na figura, são apenas 12). Obtemos assim um polígono cuja área
A é menor do que S (área do círculo). Colocamos agora tais triângulos sobre um
segmento AB, de medida P. P é menor do que o comprimento C da circunferência
do círculo, porque a base de cada triângulo é menor do que o arco de círculo cor-
respondente ao triângulo.
Com essa tira de triângulos, podemos formar um “retângulo” de altura R (aproxi-
madamente) e de base P/2, obtido dobrando-a ao meio (para um número finito de
triângulos, temos um paralelogramo) e encaixando uma das partes sobre a outra. A
área desse “retângulo” é A e é menor do que S.
0

132
Resolução de situação-problema: como o desconhecimento da Matemática causa transtornos na solução de problemas práticos
Seção1
A área de A se aproximará de S quanto maior for o número de divisões. Se o número
n de divisões for infinito, a área A coincidirá com S, e o comprimento P coincidirá
com C.
Arquimedes conhecia também a relação entre o comprimento C da circunferência e
o seu diâmetro 2R, chamada de , e determinou uma aproximação para esse valor:
10
71
< < 3
1
7
Em notação decimal, que não existia naquele tempo, isso significa:
3,140845 < < 3,142857. Uma aproximação impressionante para a época!
Dessa relação, obtém-se C = x 2R, e a área da circunferência fica
A =
1
2
( x 2R) x R, ou seja, R² (em notação atual, pois a notação para
potências não existia na época).
Outra realização importante foi feita por Eratóstenes, que viveu na mesma época
que Arquimedes. Usando varetas, a sombra do sol e o conhecimento sobre triângulos,
Eratóstenes determinou a medida da circunferência da Terra (Guelli, p.49-50, 1993).
O desenvolvimento posterior do estudo dos triângulos levou ao desenvolvimento
da Trigonometria.
Atualmente, resultados antigos, como os teoremas de Pitágoras e de Tales, congru-
ência e semelhança de triângulos, triangulação de figuras para cálculo de suas áreas,
bem como resultados da Trigonometria, são constantemente usados como recursos
para se resolver problemas complexos em construções civis, industriais, medições
agrárias, cálculos espaciais etc.
A ciência e a tecnologia atuais têm no conhecimento dos triângulos um recurso
valioso para a solução dos mais variados problemas.
3
C x R
R

133
Unidade20
Situação-problema
Um espelho deveria ser colocado recobrindo exatamente o fundo de um vão, aparente-
mente retangular, com base igual a 1,5m e altura igual a 2m. Cortado o espelho, ele não
entrou no vão, mesmo ajeitando-se a parede esquerda e a base para as posições corretas
o espelho não afundava no vão, dando a impressão de que, a menos da base, ele estaria
muito largo.
As medidas do espelho foram verificadas e comprovou-se que ele era um retângulo
exato, com as medidas indicadas. A seguir, foram verificadas as medidas do vão, que
ficaram assim determinadas:
Base inferior = 1,5m
Base superior = 1,53m
Lateral esquerda = 2m
Lateral direita = 2,02m
Cortou-se o espelho com essas medidas, mas ele, novamente, não entrou.
Investigando melhor as medidas do vão, verificou-se o seguinte:
A lateral esquerda não acompanhava o fio de prumo (representado pelo segmento
pontilhado), e a lateral direita apresentava um ligeiro ângulo, como na figura.
A verdade sobre o que aconteceu é quase inacreditável: a firma fez mais cinco
espelhos! Evidentemente, antes disso, ela quis desistir e devolver o dinheiro, mas o enge-
nheiro, que era um cliente assíduo, impediu isso. Assim, na sétima tentativa, o espelho
encaixou-se corretamente. Isso nos leva a cogitar se a Geometria não poderia ter auxilia-
do em uma solução precisa do problema desde o início. Neste sentido, colocamos três
questões para você:
1 - Por que o espelho cortado com as quatro medidas dos lados não se encaixou?
2 - Que medições você faria no vão e como, com o auxílio delas, você construiria um
espelho que se encaixasse perfeitamente neste?
3 - Você acha que um desenho do espaço existente, respeitando-se as proporções, serviria
para auxiliar na resolução da situação?

134
Seção 2
Construção do conhecimento matemático
em ação: polígonos e triângulos congruentes
• Identificar os conceitos de polígonos e triângulos congruentes.
• Identificar condições de igualdade de medidas de elementos correspondentes dos tri-
ângulos que garantam a congruência de triângulos ou de polígonos.
• Identificar transformações do plano que garantam a congruência entre um triângulo e
a sua imagem.
• Comprovar a congruência de polígonos ou de triângulos em situações do mundo físico-
social.
Objetivo
da seção
Revendo os seus conhecimentos:
congruência e congruência de triângulos
Veja a ilustração de quatro figuras congruentes.
Afinal, qual é a relação entre igualdade e congruência?
Dois triângulos serem congruentes é o mesmo que serem iguais?
Em Matemática, o que ocorre é o seguinte: uma figura só é igual a si mesma. Se
ela é idêntica a uma outra que não ocupe a mesma posição, dizemos que as duas são
congruentes. Intuitivamente, no caso de figuras físicas ou concretas, podemos dizer que
são congruentes se coincidem por sobreposição.
Em alguns casos, para que essa sobreposição seja possível, é necessária uma inver-
são de uma das figuras, como foi o caso da primeira para a quarta figura. Na verdade, os
movimentos necessários para haver a sobreposição são:
• da primeira para a segunda: uma translação ou deslizamento no plano, seguindo uma
mesma direção;

135
Unidade20
• da primeira para a terceira: uma rotação, e uma translação;
• da primeira para a quarta: uma inversão, ou melhor, uma simetrização e uma translação.
Na figura a seguir, todos os triângulos menores são congruentes. Veja que movimen-
tos levam um sobre o outro.
O triângulo A vai se sobrepor ao B por uma translação (ou deslizamento) sem inversão.
O mesmo ocorre com os triângulos C e D. Os triângulos A e C (assim como os triângulos
B e D) também são “sobreponíveis”, mas é necessária uma inversão em um deles, a qual
pode ser vista como uma simetrização ou rotação espacial – pense, por exemplo, em girar
A em torno do lado comum que este tem com C, até tombar sobre C. Portanto, os quatro
triângulos, A, B, C e D, são congruentes entre si.
Ao longo desta Unidade, procuraremos dar maior precisão a essas noções intuitivas.
Provavelmente, os seus conhecimentos sobre congruência podem ser sintetizados
como segue:
Triângulos congruentes – definição
Dizemos que dois triângulos são congruentes se todos os seus elementos são idênticos.
Ou seja, os lados de um têm as mesmas medidas que os lados do outro, e os ângulos
compreendidos entre lados de mesma medida têm o mesmo valor.
Condições que garantem a congruência
de triângulos (casos de congruência)
São os famosos casos de congruência. Eles nos dizem que, para se verificar a congruência
de dois triângulos, não é necessário verificar se os seis pares de elementos correspondentes
são idênticos (três pares de lados e três pares de ângulos). Eles afirmam que apenas três
determinados pares idênticos podem ser suficientes para garantir a congruência. Você se
lembra de quais são esses pares? Antes de citar todos, vamos ver como esta igualdade de
três pares funciona na prática.

136
Construção do conhecimento matemático em ação: polígonos e triângulos congruentes
Seção2
Você pode ter desenhado o lado menor na horizontal.
E agora que você já marcou os três elementos dados, como fazer para completar o
triângulo? Só existe um jeito: ligando as extremidades livres dos dois lados.
Atividade 1
Você deve desenhar um triângulo com três elementos conhecidos: um lado medindo 4cm,
um lado medindo 2,4cm e um ângulo de 60° entre os dois lados.
Tente!
Pois é. De posse de uma mesma régua e de um transferidor, você deve ter desenhado
algo como:

137
Unidade20
É claro que você pode ter escolhido qualquer posição para desenhar o triângulo.
Moral da estória: com todas essas possibilidades de desenho, o que ocorreu é que
qualquer dos triângulos desenhados pode ser sobreposto ao outro (se quiser, tire uma cópia
da folha e recorte-os. Você verá que são todos “sobreponíveis”). Ou seja, com esses três
elementos, só existe um triângulo possível. Ou melhor, não é exatamente um único, mas
é uma série de triângulos congruentes.
E quanto ao caso dos três pares de elementos iguais? É uma outra maneira de se
dizer a mesma coisa – se os três elementos determinam um único triângulo, então dois
triângulos que tiverem esses três elementos serão congruentes. Resumindo, dizemos que
este é o caso lado, ângulo, lado de congruência de triângulos, referido como LAL.
LAL – lado, ângulo, lado
Se dois triângulos têm dois lados e o ângulo entre eles respectivamente iguais (lados
com comprimentos iguais e ângulos com as mesmas medidas), então os triângulos são
congruentes.
Mas você deve saber que não são apenas esses três elementos que determinam um
triângulo. Veja quais são os outros:
ALA – ângulo, lado, ângulo
Se dois triângulos têm dois ângulos e um lado comum a ambos respectivamente
iguais (lados com comprimentos iguais e ângulos com as mesmas medidas), então os
triângulos são congruentes.
Suponhamos que exista um triângulo com um lado de 3,3cm, entre dois ângulos:
um de 75° e outro de 35°.

138
Seção2
Neste caso, a nossa intuição não funciona tão facilmente. Suponhamos que o triângulo
tenha um ângulo de 30°, um ângulo de 50° e um lado, não comum a ambos os ângulos,
porém adjacente a um mesmo ângulo (o de 30° ou o de 50°), medindo 2,5cm. Na figura,
apenas o segmento com 2,5cm não pode ser alterado; os outros segmentos servem apenas
para dar a abertura dos ângulos e podem ser maiores ou menores.
Vamos tentar formar o triângulo com esses três elementos, aproximando o ângulo
de 30° do resto da figura.
Repare: O tamanho dos segmentos que usamos para traçar os lados de cada ângulo
não tem qualquer influência na medida do ângulo. Neste caso, um dos lados deve medir
3,3cm, pois esta será a medida do lado do triângulo. O tamanho dos outros lados fica
livre até o momento de definir o triângulo pedido. Intuitivamente, percebemos que haverá
um único jeito de fechar o triângulo, de modo que existam os três elementos dados. Ou
seja, dadas as medidas de dois ângulos e do lado entre eles, fica determinado um único
triângulo.
LLL – lado, lado, lado
Se dois triângulos têm os três lados respectivamente iguais (de mesmo comprimento),
então os triângulos são congruentes.
AAL – ângulo, ângulo, lado
Se dois triângulos têm: dois ângulos respectivamente iguais, um lado igual, não
compreendido entre os dois ângulos iguais, mas adjacente a um mesmo ângulo, então os
triângulos são congruentes.
Vemos que existe uma posição em que se forma o triângulo, com os ângulos de 30°
e 50° e o lado (adjacente ao ângulo de 50° e não comum aos ângulos) de 2,5cm.
Não importa que os dois lados horizontais, um de cada ângulo, estejam parcialmente
sobrepostos. Também não importa que tenha sobrado um pequeno segmento no lado do

139
Unidade20
Atividade 2
Para enfeitar a fachada da casa, o desenhista planejou colocar dois triângulos iguais, isto
é, congruentes, nas laterais da janela retangular, que já tem moldura de madeira.
Para fazer os dois triângulos, o construtor usou os lados da janela e comprou:
ângulo de 30°. Esse segmento pode ser descartado sem afetar o ângulo. O importante é
que conseguimos um único triângulo com os dois ângulos dados e com o lado dado.
Esse caso pode ser formulado de outro modo:
AAL – ângulo, ângulo, lado
Se dois triângulos têm um lado igual, um ângulo adjacente a esse lado igual e o
ângulo oposto ao lado também igual, então os triângulos são congruentes. (Uma formula-
ção mais precisa seria: se dois triângulos têm um par de lados iguais, um par de ângulos
adjacentes a esses lados iguais e os ângulos opostos aos lados iguais também iguais, então
os triângulos são congruentes).
Existe ainda o caso LLA. Como no caso AAL, é preciso se ter atenção. Podemos
enunciar assim:
LLA – lado, lado, ângulo
Se dois triângulos têm: dois lados respectivamente iguais, um ângulo igual, não
compreendido entre os dois lados iguais, mas adjacente a um mesmo lado igual, então
os triângulos são congruentes.
Este mesmo caso pode ser formulado de outro modo: se dois triângulos têm um
ângulo igual, um lado adjacente a esse ângulo igual e o lado oposto ao ângulo também
igual, então os triângulos são congruentes.
- dois pedaços de madeira maiores e iguais;
- dois pedaços menores, também iguais.
Como o construtor sabia que os dois triângulos ficariam iguais?

140
Seção2
Atividade 3
Desenhe dois triângulos retângulos:
a) o primeiro com um cateto medindo 5cm e um ângulo adjacente igual a 35°.
b) o segundo com a hipotenusa medindo 4cm e um ângulo adjacente de 50°.
Verifique em cada caso anterior, se os triângulos possíveis são todos congruentes.
ALA – ângulo, lado, ângulo AL
Este caso recai no caso anterior: basta dar um ângulo não reto e um lado adjacente,
especificando se o lado é um cateto ou a hipotenusa.
LLL – lado, lado, lado LL
Para que um triângulo retângulo fique determinado, a menos de congruência, basta
dar dois lados, especificando se são:
- dois catetos;
ou
- um cateto e a hipotenusa.
Pela relação de Pitágoras, o terceiro lado estará determinado e, portanto, conhece-
remos os três lados.
Casos de congruência em triângulos retângulos
Para triângulos retângulos, essas condições vistas anteriormente, as quais determinam
um único triângulo ou permitem inferir a congruência de dois triângulos, ficam ainda
mais simples (dizemos que as condições podem ser enfraquecidas). Isso ocorre porque os
triângulos já têm um elemento comum, que é o ângulo reto, e os três lados estão amarra-
dos pela relação de Pitágoras, a qual garante que, conhecendo-se dois dos lados em um
triângulo retângulo, o terceiro lado está determinado. Veja como ficam algumas dessas
condições simplificadas:
LAL – lado, ângulo, lado LA
Na verdade, é preciso especificar se o lado dado é um cateto ou uma hipotenusa.
Ou seja, o que garante a existência de um único triângulo são os elementos:
- cateto, ângulo não reto adjacente;
ou
- hipotenusa, ângulo adjacente.

141
Unidade20
Será que a nossa competência em triângulos congruentes pode nos dar algo além do co-
nhecimento da definição e dos casos de congruência?
Qual seria a importância de se estudar corpos ou figuras congruentes?
A indústria produz objetos ou corpos congruentes, como peças metálicas, com a
ajuda de moldes, do mesmo modo como alguns objetos decorativos são produzidos.
Os matemáticos resolvem o problema de construir uma figura congruente a qualquer
figura dada.
Se pensarmos inicialmente em figuras limitadas por linhas retas, a tarefa é simples,
pois tais figuras podem ser subdivididas em triângulos. Ou seja, a teoria da congruência
de triângulos nos dá a teoria da congruência de todas as demais figuras limitadas por
linhas retas.
Articulando
conhecimentos
Por esta razão, a teoria de triângulos é tão importante na Geometria. Isto explica
também por que a teoria da congruência refere-se apenas à congruência de triângulos
– não é necessário estudar a congruência entre quadrados, retângulos, paralelogramos,
trapézios ou polígonos em geral.
Verificando a não congruência de
triângulos por meio de contra-exemplos
Voltando aos casos de congruência de triângulos, há algo em que ainda se deve pensar.
Triângulos congruentes têm seis pares de elementos com a mesma medida, certo?

142
Seção2
1) Â = Â´
2) Ê = Ê´
3) Ô = Ô´
4) a = a´
5) e = e´
6) o = o´
Mas já vimos que é possível haver casos em que apenas três dessas igualdades ga-
rantam a congruência. São:
LLL - igualdades 4-5-6.
LAL - igualdades 3-4-5; 2-4-6; 1-5-6.
ALA - igualdades 1-6-2; 1-5-3; 2-4-3.
AAL - igualdades 1-2-4; 1-2-5; 1-3-4; 1-3-6; 2-3-5; 2-3-6.
LLA - igualdades 4-5-1; 4-5-2; 4-6-1; 4-6-3; 5-6-2; 5-6-3.
Entretanto, não foi considerada a igualdade do tipo:
AAA (três ângulos respectivamente congruentes);
Para definir o caso AAA, as igualdades seriam 1-2-3.
Talvez os matemáticos tenham tentado provar, mesmo sem a condição de adjacência,
que os casos AAL e LLA sempre asseguravam a congruência, mas não conseguiram. Em
certo ponto das tentativas, eles devem ter começado a desconfiar que estavam tentando
provar algo que não era verdade. É comum, nesses casos, que a investigação seja suspensa
e que seja procurado um contra-exemplo. O que significa isso? Que vai ser procurado um
caso particular de dois triângulos para os quais essas condições valem, mas os triângulos
não são congruentes. Isso será um contra-exemplo da validade geral da propriedade que
estavam querendo demonstrar. Tendo-se um contra-exemplo, não faz mais sentido procurar
a demonstração. Na próxima Atividade, você deverá buscar tais contra-exemplos.
Não exigir a adjacência significa, no casso AAL, dizer que dois triângulos que te-
nhan dois ângulos iguais e um lado qualquer igual, são congruentes. Ou seja, estaríamos
afirmando que seriam congruentes dois triângulos com elementos iguais AEa em um deles
e A’E”e’ no outro. Parece o caso AAL, mas a é adjacente a E, já e’ é adjacente a A’.
Atividade 4
Não exigir a adjacência significa, no caso AAL, dizer que dois triângulos que tenham dois
ângulos iguais e um lado qualquer igual, são congruentes. Ou seja, estaríamos afimando
que seriam congruentes dois triângulos com elementos iguais AEa em um deles e A’E’e’
no outro. Parece o caso AAL, mas a é adjacente a E, já e’ é adjacente a A’.
a) Apresente dois triângulos que tenham os três ângulos (AAA) respectivamente congruentes
(mesma medida) e que NÃO sejam triângulos congruentes.
b) Apresente dois triângulos que tenham:

143
Unidade20
- dois pares de lados correspondentes iguais (mesmo comprimento);
- um par de ângulos congruentes (mesma medida), que não seja o ângulo determinado
pelos dois lados considerados no triângulo;
e que NÃO sejam triângulos congruentes.
Esta Atividade acaba com a expectativa de que os casos AAA e LLA possam
garantir, de modo geral, a congruência de triângulos.
Mas repare: existem casos particulares de triângulos com três pares de ângulos
iguais e que são congruentes. O que não se garante é que quaisquer triângulos com
três pares de ângulos iguais sejam congruentes. Nessas condições, é possível garantir
apenas semelhança.
Na verdade, a definição de congruência de triângulos e os casos de congruência
que apresentamos constituem uma síntese da teoria da congruência de triângulos.
Mas ainda perguntamos: o que mais podemos e devemos estudar?
Justificar ou demonstrar esses casos de congruência é uma tarefa a fazer. Ou
seja, como garantir, matematicamente (e não apenas por recortes e sobreposição),
que aquelas igualdades entre alguns pares de elementos correspondentes garantam a
igualdade dos seis pares de elementos? Essa já é uma boa tarefa. As demonstrações
podem ser feitas por métodos matemáticos tradicionais. Mas, como congruência
articula-se com sobreposição e, portanto, com movimentos planos que garantam
sobreposição, as demonstrações poderiam ser feitas com o uso de conceitos de
rotação, translação, reflexão ou composição, como transformações no plano que
levam um triângulo a estar exatamente sobre o outro. Uma transformação deste tipo
é chamada de isometria.
Isometria é uma transformação do plano, que leva pontos do plano a pontos do plano,
conservando as distâncias entre eles. Veja:
Iso metria
mesma medida
As translações, rotações e reflexões do plano são isometrias.
Qualquer composição dessas transformações é também uma isometria.
Articulando
conhecimentos
Além dessa parte mais técnica, relacionada aos métodos próprios e essenciais da
Matemática que garantem a precisão e a confiabilidade de muitos dos resultados mate-
máticos, há outro aspecto, mais dinâmico, que é a competência em trabalhar com esses
resultados, relacionando-os e aplicando-os à resolução de problemas.
Vamos começar pelas últimas competências, deixando para mais adiante as de-
monstrações. Sobre o que faremos agora, você pode tomar como verdadeiros os casos de
congruência e pode usá-los, quando necessário.

144
Seção2
Um artefato engenhoso
Para prosseguir trabalhando neste módulo, você deverá preparar um material auxiliar
muito simples:
Pegue dois canudos de refrigerante de certa cor e corte-os com o comprimento de
aproximadamente 25cm (pode ser mais ou menos). Separe outro canudo, de cor diferente,
e corte-o em dois pedaços de aproximadamente 12cm. Passe um fio grosso (ou linha du-
pla) por dentro dos quatro pedaços, alternando os canudos: maior, menor, maior, menor.
Amarre bem e corte o fio.
Embora você tenha montado um retângulo, os lados podem ser cruzados, como na
segunda figura. Veja que você pode abrir e fechar a segunda figura:
Atividade 5
Considerando a figura imobilizada e completando-a com um segmento que forma uma
base, você pode achar quatro triângulos, congruentes dois a dois (porém os quatro não
são congruentes).
a) Identifique quais são os pares de triângulos congruentes.
b) Justifique a congruência de cada um dos pares, usando qualquer caso de congruência.
Observação: Não jogue fora o modelo construído. Ele ainda será usado nesta
Unidade.

145
Unidade20
Atividade 6
Uma área rural triangular tem uma frente de 1000m,
com pontos extremos conhecidos, ao longo de um tre-
cho retilíneo de estrada. Os outros dois lados, contudo,
não estão demarcados. Sabe-se que o lado esquerdo
passa por uma grande árvore, dentro do terreno e afas-
tada da estrada; e que o lado direito forma um ângulo
de 60° com a frente. Com base nessas informações, é
possível a demarcação precisa da área?
O terreno das demonstrações
Vamos entrar em um terreno não muito usual nesta proposta: o terreno das demons-
trações matemáticas.
Terreno este em que estão envolvidos conceitos como axioma, teorema, hipó-
tese, tese.
Axiomas e postulados são afirmações tomadas como verdadeiras, para iniciar
a construção de uma teoria matemática. São, na maioria das vezes, óbvias e aceitas
pelo senso comum. Por exemplo:
Por um ponto passam infinitas retas.
Por dois pontos passa uma única reta.
Teoremas compõem-se do enunciado e da demonstração. No enunciado, aparece
a tese, que é aquilo que se afirma ser verdadeiro, desde que ocorram determinadas
hipóteses que o enunciado também menciona quais são. A demonstração aponta
o caminho do raciocínio lógico que chega à evidência de que a tese é verdadeira,
usando as hipóteses e, possivelmente, axiomas – fatos aceitos como verdadeiros,
sem demonstração, ou usando outros teoremas já demonstrados. Construindo-se
vários teoremas, uns apoiados nos outros, forma-se uma cadeia de conhecimentos
lógico-dedutíveis que constituem uma teoria matemática. A Geometria Euclidiana é
um exemplo de tal teoria.
O raciocínio lógico nem sempre nos parece tão lógico assim, porque há inúme-
ras facetas da lógica matemática. Existem demonstrações que partem das hipóteses
e que, por junção de fatos e construções, chegam à tese. Existem outras, chamadas
de demonstrações por absurdo, que são bastante lógicas e que de absurdo não têm
nada. O esquema delas, quando usado para demonstrar determinada tese, é mais ou
menos assim: querem ver o que ocorre se imaginarmos que a tese não é verdadeira?
O raciocínio matemático junta fatos e mostra que aparece uma baita contradição. Ou
seja, supondo, por absurdo, que a tese não seja válida, agüente as conseqüências,
que são gritantes contradições matemáticas. O que nos leva a concluir que, para se
evitar desordens na Matemática, a tese deve ser verdadeira.
Articulando
conhecimentos

146
Seção2
Existem outras demonstrações que não usam esse esquema de negar a tese. Vão
indo, mansas, partindo das hipóteses, e de repente mostram que só faltava uma “coi-
sinha” valer para surgir a tese. Vira e revira a argumentação, e nada de se conseguir
provar a tal “coisinha” resolvedora da demonstração. Então, acontece o estalo da idéia
da negação: quer ver só o que ocorre se tal “coisinha” não valer? E aí o raciocínio
consegue chegar a contradições matemáticas. Então, o jeito é voltar atrás e aceitar
que a tal “coisinha” tem que valer mesmo.
Ainda há outros tipos de demonstrações, mas vamos parando por aqui.
Há dois aspectos a se considerar em um teorema. Por um lado, demonstrá-lo é
conhecer uma parte importante da natureza da Matemática que procura dar provas
consistentes do que esta ciência considera como verdadeiro. Por outro lado, mesmo
que não se conheça a sua demonstração, cada teorema torna-se um fato instituciona-
lizado da Matemática, passando a ser usado e reusado por milhares de pessoas que
realizam atividades matemáticas. É o caso do teorema de Pitágoras ou da fórmula
de Báskhara – mesmo que se desconheça como foram demonstrados, eles são ins-
trumentos poderosos na solução de problemas e são usados e aceitos sem que haja
dúvidas sobre suas validades.
Os instrumentos são úteis quando se sabe exatamente o que significam e onde
podem ser utilizados. Assim, recorre-se ao teorema de Pitágoras quando são conhe-
cidos dois lados de um triângulo retângulo e se quer determinar o terceiro lado.
O problema ocorre quando os instrumentos são apresentados por si e sem sig-
nificado. Ao se apresentar ao aluno o processo multiplicativo de 15 x 24, não há
qualquer desenvolvimento no sentido de levá-lo a perceber que o processo envolve
procedimentos pelos quais se conta 15 vezes a quantidade 24, mediante etapas: pri-
meiro, o cálculo ou a contagem de 5 vezes 24; depois, o cálculo ou a contagem de
10 vezes 24; e, finalmente, a soma dos dois. Não percebendo nada disso, o aluno
tem dificuldade para, em determinadas situações, concluir que aliar esse recurso à
multiplicação lhe daria um caminho para obter a solução. Do mesmo modo, apenas
a memorização de que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados
dos catetos não basta para a compreensão dos aspectos algébricos e geométricos
aí envolvidos e para a capacidade de se perceber quando, em situações-problema,
recorrer a esse teorema seria relevante.
Cada ramo da Matemática é uma teoria que se faz com entes primitivos, axiomas
e com a construção de uma longa cadeia de verdades, ou teoremas, que vão sendo
puxadas umas das outras, entremeadas por novas definições que se fazem necessárias
e sempre regidas pelas regras do raciocínio lógico matemático.
Não obstante aparentarem ser fundamentadas exclusivamente na rigidez lógica,
essas teorias têm, por trás, fortes doses de intuição. Otte (1991) afirma que tanto a
intuição quanto a lógica servem à mesma função cognitiva, ou seja, a de dar cer-
teza. Ele também cita (p.281) Fischbein, que escreveu: As coisas tornam-se muito
mais claras se admitirmos que o conceito de intuição, embora aparentemente vago e
inconsistente, expressa uma tendência fundamental, bastante consistente, da mente
humana: a procura por certeza.
A maioria dos teoremas (antes de provados) foi intuída, a partir de muitos casos
particulares observados.

147
Unidade20
Justificativas matemáticas para os
casos de congruência de triângulos
Os casos de congruência de triângulos são fortemente respaldados na intuição. Em geral,
toma-se um deles como um axioma, deduzindo-se os outros.
Nesta Unidade, vamos tomar como axiomático o caso ALA. Na concretização física,
a intuição aponta fortemente para a sua validade. A justificativa será uma prova empírica,
isto é, baseada na experiência.
Pois, se temos um lado igual (AC = AĆ´) nos dois triângulos e se de suas extre-
midades saem lados formando ângulos correspondentes de mesma medida (Â = Â´ e
C = C’) e se sabemos que, em cada triângulo, esses lados vão se interceptar em um
ponto (G e G´), então, pelo fato de os lados serem igualmente inclinados, as distâncias
desses pontos às extremidades esquerdas dos lados iguais serão iguais (GA = GÁ´),
e as suas distâncias às extremidades direitas dos lados iguais também serão iguais
(GC=GĆ´). Logo, teremos três lados de um triângulo respectivamente iguais aos la-
dos do outro triângulo. Além disso, por já haver dois pares de ângulos congruentes
e pelo fato de a soma dos ângulos de um triângulo ser igual a 180°, conclui-se que
os terceiros ângulos também serão iguais. Os triângulos têm, portanto, seis pares de
elementos com medidas iguais e são congruentes.
Esta argumentação que acabamos de fazer constitui uma justificativa intui-
tiva do teorema de congruência de triângulos, com a hipótese ALA: dois pares
de ângulos com a mesma medida e um par de lados, entre esses ângulos, de
mesma medida.
Veja agora como, tomando-se como um axioma o caso ALA, poderemos demonstrar
o caso LAL.
Congruência de triângulos – LAL
Primeiro, apresentaremos este teorema do modo como é usualmente feito, situação
em que tudo é apresentado rapidamente.
Depois, vamos explicitar melhor o enunciado e dissecar a demonstração, para o
caso de você ter tido dúvidas na demonstração anterior. Nesta segunda apresentação,
vamos apresentar uma sucessão de etapas visuais. Será o único caso que demonstraremos
e esperamos que você faça um esforço para compreendê-lo. Temos certeza de que isso
aumentará o nível da sua relação com a Matemática.
^ ^

148
Seção2
Lembrete
Vamos representar um ângulo com vértice B e lados que passam pelos pontos A e C
como ângulo ABC e a sua medida como m(ABC):
A ângulo ABC
B
C
medida do ângulo ABC = m(ABC)
Teorema – Modo usual
Enunciado
Dois triângulos ABC e A´BĆ´ são congruentes se têm ângulo ABC = ângulo A´BĆ’ e AB
= A´B´ e BC = BĆ´, ou seja, como se costuma enunciar: se têm um ângulo igual, com-
preendido entre lados respectivamente iguais.
Demonstração
Se m(BCA) m(BĆÁ´), tem-se: m(BCA) > m(BĆÁ´) ou m(BCA) < m(BĆÁ´).
Seja m(BCA) > m(BĆÁ´), então tomemos em AB um ponto D, tal que m(BCD) =
m(BĆÁ´).
O triângulo DBC é congruente ao triângulo A´BĆ´pelo caso ALA e então DB = A´B´.
Por hipótese AB = A´B´ e, portanto, DB = AB o que é absurdo. Daí, concluímos que m(BCA)
= m(BĆÁ´) e que o triângulo ABC é congruente ao triângulo A´BĆ´ pelo caso ALA.
Teorema – Modo mais detalhado
Enunciado
Se dois triângulos ABC e A´BĆ´ são tais que AB e A´B´ têm o mesmo comprimento, BC
e BĆ´ têm o mesmo comprimento e ainda m(ABC) = m(A´BĆ´), então os dois triângulos
são congruentes.
Nas ilustrações a seguir, as figuras servem como um rumo para o seu raciocínio. O
fato de terem sido desenhadas iguais não significa que estamos assumindo esta igualdade
(ou melhor, congruência). Apenas observe os elementos assinalados em cores, dos quais
temos certeza da congruência.

149
Unidade20
Estamos partindo das hipóteses:
m(AB) = m(A´B´), m(BC) = m(BĆ´) e m(ABC) = m(A´BĆ´).
Se tivéssemos m(BCA) = m(BĆÁ´), poderíamos afirmar a congruência dos triângulos,
pelo caso (que tomamos como axioma) ALA. De fato, teríamos a igualdade dos elementos
assinalados na mesma cor.
Nesta demonstração, provar que m(BCA) = m(BĆÁ´) é a tal “coisinha” que nos falta.
Como não vemos meios de justificar diretamente isso, vamos usar aquele recurso de supor
que essas medidas não são iguais (esperando com isso chegar a um absurdo matemático).
Se não fossem iguais, um dos ângulos seria maior do que o outro. Vamos supor que:
m(BCA) > m(BĆÁ´)
Neste caso, poderíamos marcar, dentro do ângulo BCA, um ângulo igual a BĆÁ´.
Em outras palavras, existiria um ponto D em AB tal que m(BCD) = m(BĆÁ´).
Com isso, poderíamos afirmar que os triângulos DBC e A´BĆ´ seriam congruentes,
pelo caso ALA, que foi o único tomado como axioma. (Verifique se você percebe que,
realmente, esses dois triângulos teriam um par de lados iguais: BC = BĆ´, compreendidos
entre ângulos iguais DBC = A’B’C’ e BCD =B’C’A’). Em particular, os lados correspondentes
DB e A´B´ seriam iguais, ou melhor, teriam medidas iguais:
m(DB) = m(A´B´).

150
Seção2
Mas, por hipótese, temos m(AB) = m(A´B´).
Juntando as duas últimas igualdades, teríamos m(DB) = m(AB), o que é um absurdo
matemático. Ou seja, foi nisso que deu negar que m(BCA) fosse igual a m(BĆÁ´). Então,
o jeito é voltar atrás e aceitar que isso vale, e os triângulos serão congruentes.
Essa demonstração não pode ser considerada uma demonstração clássica por ab-
surdo. Ela não imagina o que ocorreria se os dois triângulos não fossem congruentes. Ela
visa recair no caso ALA e, para isso, falta haver a igualdade dos ângulos ACB e AĆ´B´.
Nesse ponto, usa como recurso a suposição de que esse fato não vale. Ou seja, ela nega
um pequeno fato necessário à demonstração e não a tese em si.
Observação:
- A existência do ponto D é garantida por um axioma da Geometria, quando temos um
ângulo menor do que outro.
- É mais comum a demonstração ser feita do primeiro jeito, na forma de um texto, sem
tantas etapas. O problema é que, com tantas letras, fica mais difícil acompanhar o ra-
ciocínio.
Embora não tenhamos provado os demais casos, você pode assumir, no restante
da Unidade, que eles são válidos. Pode assumir também que a soma dos ângulos de um
triângulo vale 180°, o que já foi demonstrado na Unidade 10.
Na próxima Atividade, você vai poder mostrar se entendeu o que falamos sobre
teoremas.
Atividade 7
Você sabe que um triângulo isósceles é um triângulo que tem dois lados iguais. Vamos apre-
sentar um teorema que diz que, se um triângulo tem dois ângulos iguais, ele é isósceles.
Leia o enunciado, a demonstração e, depois, faça o seguinte:
a) destaque qual é o enunciado do teorema;
b) destaque qual é a demonstração do teorema;
c) escreva qual é a hipótese do teorema;
d) escreva qual é a tese do teorema.
Teorema
Um triângulo que tem dois ângulos iguais é isósceles.
Seja um triângulo ABC, com os ângulos de vértices A e B iguais, e prove-se que
os lados AC e BC são iguais. Considerem-se os triângulos ABC e BAC. Sabemos que
o lado AB de um é igual ao lado BA do outro; os ângulos de vértices A e B de um são
respectivamente iguais aos ângulos de vértices B e A do outro. Logo, os triângulos
são congruentes pelo caso ALA. Portanto, os lados AB e AC são iguais, e o triângulo
é isósceles.

151
Unidade20
Atividade 8
Nesta Atividade, vamos procurar diminuir as hipóteses e ver se, ainda assim, conseguire-
mos demonstrar a congruência de triângulos.
Pense em dois triângulos que não sejam equiláteros, nem isósceles e nem re-
tângulos. Você deve investigar se existem DOIS pares de elementos correspondentes
com medidas iguais tais que apenas eles garantam a congruência dos triângulos.
Investigue os casos:
a) LL – dois pares de lados correspondentes com medidas iguais.
b) LA – um par de lados correspondentes com medidas iguais; um par de ângulos
adjacentes a esses lados com medidas iguais.
c) LA – um par de lados correspondentes com medidas iguais; um par de ângulos
opostos a esses lados com medidas iguais.
d) AA – dois pares de ângulos correspondentes com medidas iguais.
Em cada caso, você deve, partindo da hipótese assumida, tentar verificar se
dois triângulos, com esses dois pares de elementos iguais, são congruentes. Ou será
que você consegue apresentar dois triângulos que satisfaçam as condições, mas que
não sejam congruentes? Neste caso, você terá dado um contra-exemplo, o que acaba
com qualquer esperança de justificativa ou prova de que apenas duas condições, em
triângulos quaisquer, bastem para garantir congruência entre eles.
Atividade 9
Nesta Atividade, em vez de diminuir o número de condições, vamos aumentá-las.
Isto é, vamos apresentar triângulos com quatro pares de elementos correspondentes con-
gruentes e ver se, em cada caso, podemos garantir a congruência dos triângulos. Lembre-
se: você pode usar os casos de congruência conhecidos.
Investigue os casos:
a) LLLA – três pares de lados correspondentes de mesmo comprimento; um par de ângulos
correspondentes de mesma medida.
b) LALA – dois pares de lados correspondentes de mesmo comprimento; os ângulos
correspondentes compreendidos entre eles com a mesma medida; mais outro par de
ângulos correspondentes com a mesma medida.
c) LLAA – dois pares de lados correspondentes de mesmo comprimento; dois pares de
ângulos correspondentes de mesma medida e que não são o ângulo compreendido
entre os lados congruentes (nada se informa sobre esse ângulo).
d) AAAL – três pares de ângulos correspondentes congruentes; um par de lados corres-
pondentes congruentes.

152
Seção2
Em cada caso, prove se há congruência ou dê contra-exemplo.
Triângulos isósceles
Um triângulo é isósceles se dois de seus lados têm comprimentos iguais. O terceiro lado é
chamado de base do triângulo, e os ângulos adjacentes à base são chamados de ângulos
da base.
Embora a definição de triângulo isósceles exija dois lados de igual comprimento,
veremos que esta condição é equivalente a se ter dois ângulos de igual medida, como é
possível ver no teorema a seguir.
Teorema
Enunciado
a) Se um triângulo ABC é isósceles com base BC, então os ângulos ABC e ACB têm me-
didas iguais.
b) Reciprocamente, se um triângulo ABC tem ângulos ABC e ACB com medidas iguais,
então ele é isósceles com base BC.
Demonstração de a)
Vamos tomar como hipótese que ABC é isósceles com base BC. Portanto, AB e AC têm
o mesmo comprimento (ambos em laranja). Esta é a única informação que temos do
triângulo.
A figura está sem recursos para construir uma argumentação. Talvez seja uma boa
idéia dividi-la em dois triângulos iguais, ou melhor, congruentes. Para isso, devemos tomar
o ponto médio M da base e ligá-lo com o vértice oposto à base.
Os dois triângulos obtidos são congruentes, pois têm três pares de lados iguais:
AB = AC; BM = MC, por M ser o ponto médio; e o lado comum AM.

153
Unidade20
Mas por que é importante sabermos isso? Porque, sendo congruentes, têm seis pa-
res de elementos congruentes. Em particular, os ângulos ABM e ACM, um em cada um
dos triângulos, têm medidas iguais. Mas essa igualdade era exatamente a que queríamos
provar.
O resto fica para você, na próxima Atividade.
Atividade 10
De modo análogo ao que foi feito para a parte a) do teorema anterior, demonstre a parte
b) do mesmo teorema. Observe que esta demonstração será diferente da apresentada na
atividade 7.
Congruência de triângulos isósceles
No caso de triângulos isósceles, as hipóteses que garantem a congruência podem ser sim-
plificadas. Por exemplo, exigindo a igualdade das bases e de um par de lados, já teremos
os três pares de lados iguais. Ou seja, ao invés de LLL, poderemos exigir apenas BL.
Investigue como ficam os demais casos.
Atividade 11
A escritura de uma gleba de terra menciona a sua forma triangular, com dois lados de
igual comprimento, e cita algumas medidas.
Uma visita ao local mostrou que havia uma cerca inteira e um resto de uma outra
cerca. Sabia-se que a cerca inteira correspondia ao total do lado diferente (base).
Como se pode fazer a cerca do outro lado, havendo garantia de que o terreno ficará
com dois lados de igual comprimento?

154
Seção2
Atividade 12
Para fazer a maquete de uma igreja, cuja parede frontal tem a forma de um triângulo isós-
celes, os alunos mediram a sua base, e tiveram dificuldade em medir a altura. Quando
pensaram em medir os ângulos da base, consideraram estes muito grandes (entre o solo
e a parede lateral) e questionaram como usariam escala sobre o valor dos ângulos, para
transportá-los à maquete.
Comente sobre a situação e ajude os alunos a resolverem o problema.
Transformações de figuras em um plano e congruência
Intuitivamente, percebemos que podemos imaginar as figuras planas fazendo certos movi-
mentos nos planos aos quais pertencem, sem perderem a sua forma nem as suas dimensões.
São transformações isométricas ou isometrias.
Um desses movimentos é o de arrastamento em uma certa direção, também chamado
de translação; outro movimento é o de rotação.
Veja um triângulo sendo arrastado em duas direções:

155
Unidade20
Situação 1
Para ilustrar rotações, imagine o seu lápis colocado verticalmente sobre a folha de papel,
no ponto A. Visualize um triângulo fazendo rotações em volta do lápis, que vai funcionar
como um eixo de rotação.
Repare que a forma e as dimensões do triângulo não se alteraram, nem por transla-
ções, nem por rotações.
Podemos dizer que dois triângulos ABC e A´B´C´ são congruentes se um deles é
imagem do outro por uma translação ou por uma rotação no plano.
Situação 2
Existe outra maneira de se obter triângulos congruentes a certo triângulo dado: por meio
de simetrias ou reflexões.
Uma simetria supõe uma reta do plano que será o eixo de simetria e que vai fun-
cionar como um espelho no qual a figura se reflete, gerando outra figura simétrica. Esta
simetria, que usa um eixo, chama-se axial.
Veja um triângulo sendo refletido em dois eixos de simetria.
‘
‘

156
Seção2
Na simetria, um vértice do triângulo e o vértice correspondente no triângulo refle-
tido distam igualmente do espelho. A imagem refletida do ponto A, que chamaremos
de A´, ou de qualquer outro ponto do triângulo, pode ser obtida traçando-se por A uma
perpendicular ao espelho (eixo de simetria) e tomando-se um ponto A´ cuja distância ao
espelho seja a mesma de A ao espelho. Em um desenho geométrico, essa distância pode
ser transportada com o auxílio do compasso.
Repare que não há nenhum movimento físico a ser feito no plano, ou composição de
movimentos, que leve o triângulo ABC a qualquer um de seus simétricos, isto é, arrastar e girar
o triângulo ABC não vai fazer com que ele se sobreponha a qualquer de seus simétricos.
Seria necessário retirar esse triângulo do plano e fazê-lo girar sobre si mesmo, para
poder cair sobre um triângulo simétrico. Se você pensar bem, o movimento poderia ser
uma rotação no espaço, em torno do eixo que representa o espelho.
Embora a simetria não possa ser visualizada como um movimento no plano, ela
também produz figuras congruentes. É chamada de uma transformação do plano, e as
translações e rotações também se encaixam neste conceito.
Veja, a seguir, com mais detalhes, essas transformações do plano.
Translação
É preciso definir, de início, um segmento orientado no plano:
Em seguida, define-se a transformação de um ponto qualquer A pela translação r no
ponto A´, assim obtido:
Veja o resultado de uma translação de segmento orientado r aplicada ao triân-
gulo ABC:
r
r
A
A’
r
r
r
Observe que os triângulos ABC e A´B´C´ são congruentes.

157
Unidade20
Rotação
Devem ser definidos um ponto O do plano, um sentido de rotação e um ângulo a de
rotação.
Define-se transformado de um ponto qualquer A, pela rotação em torno de O com
o ângulo a, ao ponto A´, assim obtido:
Simetrias
Basta considerar, inicialmente, um eixo de simetria r.
De um ponto A da figura deve ser traçada uma perpendicular ao eixo de simetria.
A medida do segmento que vai de A até o eixo deve ser repetida do outro lado do eixo,
para obter-se A´, simétrico de A. Como já observamos, o transporte dessa medida, com
o auxílio do compasso, produz um desenho mais apurado.
O eixo de simetria pode cortar a figura, como no exemplo abaixo.

158
Seção2
Para determinadas figuras, pode haver um eixo de simetria tal que, em relação a ele,
a figura e a sua simétrica coincidam. Nesse caso, dizemos que a figura possui um eixo
de simetria e é simétrica, como na figura abaixo.
As simetrias também podem ser consideradas em relação a um ponto O.
Nesse caso, a imagem A´ de um ponto A da figura é dada pela relação OA´ = - OA.
Revestimento do plano por quatro triângulos congruentes
Na Unidade 11, você viu que é possível revestir o plano usando triângulos iguais. Na
verdade, são triângulos congruentes.
Observe: o triângulo III pode ser obtido do triângulo I por uma translação, assim
como o triângulo IV pode ser obtido do triângulo II por uma translação.
O triângulo IV pode ser obtido do triângulo I por uma rotação em torno de O, no
sentido anti-horário. E III pode ser obtido do triângulo II por uma rotação em torno de O,
no sentido horário. Além disso, o triângulo IV pode ser obtido do triângulo I, assim como
o triângulo III pode ser obtido do triângulo II, por simetrias em relação ao ponto O. Logo,
todos os triângulos são congruentes.
Em revestimentos do plano, não são usadas simetrias em relação a um eixo (axiais),
pois isto corresponderia a virar cada peça do lado do avesso. Isso não é desejável, a menos
que as peças tenham dupla face.
A
A’
O
O

159
Unidade20
Homotetias
Há outras transformações do plano que produzem figuras semelhantes, não necessaria-
mente congruentes.
Existe um tipo de transformação no plano que produz figuras semelhantes e de lados
paralelos. São as homotetias.
Uma homotetia requer um ponto fixo O do plano (centro da homotetia) e um número
k, que será chamado de razão de homotetia.
A imagem homotética de um ponto A é um ponto A´ dado pela relação:
OA´= k x OA
Articulando
conhecimentos
A homotetia faz uma ampliação ou uma redução da figura, conforme k seja maior
ou menor do que 1.
Uma homotetia leva um segmento AB em outro paralelo A´B´. Para provar isso,
consideramos o feixe de retas r e s, cortadas pelas retas suporte dos segmentos AB e A´B´,
que, por homotetia, determinam no feixe segmentos proporcionais: OA´ = OB´ = k.
OA OB
Pelo Teorema de Tales, as retas suporte de AB e A´B´ são paralelas.
(O teorema afirma duas coisas: a) se as retas são paralelas, os segmentos serão pro-
porcionais; e b) se os segmentos são proporcionais, as retas são paralelas).
Isso nos diz que homotetia produz figuras semelhantes especiais, com lados
paralelos.
Você pode observar que uma homotetia de razão –1 coincide com uma simetria em
relação a um ponto que, no caso, será o centro de homotetia.
O

160
Seção2
Semelhanças e Fractais – o Triângulo de Sierpinski
Na Sessão Coletiva da Unidade 9, você teve uma primeira abordagem sobre o que é
um fractal.
Fizemos um cartão no qual o padrão podia se repetir indefinidamente, sempre nas
mesmas proporções, característica que foi chamada de auto-similaridade. Figuras geomé-
tricas com essa característica são chamadas de fractais.
Há um fractal interessante relacionado a triângulos e semelhança de triângulos,
denominado Triângulo de Sierpinski.
Veja como é o processo de geração deste fractal. Na figura, partimos de um triângulo
preto, equilátero, mas poderia ser um triângulo qualquer.
A primeira etapa consiste em achar os pontos médios de cada lado do triângulo,
uni-los e retirar o triângulo formado. O espaço deixado pelo triângulo retirado está em
branco, na segunda figura.
Em seguida, em cada triângulo preto que restou, fazemos o mesmo procedimento:
unimos os pontos médios dos lados e retiramos o triângulo central.
A continuação infinita deste processo gera uma figura denominada como Triângulo
de Sierpinski.
Articulando
conhecimentos
Repare que, em cada etapa, obtemos, em cada triângulo, outros quatro triângulos
semelhantes a ele, todos congruentes entre si.
Observe este fato ao terminar a primeira etapa: foi obtida a figura (superior à direita)
com três triângulos pretos congruentes entre si. Cada um pode ser obtido do outro por
uma translação.
O triângulo que foi retirado também é congruente aos restantes, mas não pode ser
obtido dos anteriores por uma translação. Poderá sim ser obtido de qualquer um deles por
uma rotação ou (para este caso de triângulo eqüilátero) por uma reflexão, na qual o eixo
de simetria é um lado comum ao triângulo branco e a um dos triângulos pretos.

161
Unidade20
Significado do sinal negativo: os segmentos OA e OA´ têm sentidos diferentes. Ou
seja, a homotetia inverte o sentido de cada segmento OA.
O artefato dos triângulos congruentes e a elipse
Você conhece algum processo para traçar uma elipse?
Existe um, bem conhecido pelos jardineiros e carpinteiros. Você pode fazer algo
parecido em papel cartão. Pegue linha e agulha grossas e fita adesiva. Dê um nó na linha
e fure o papel cartão. Faça um segundo furo, a uns seis centímetros do primeiro, e volte
a linha para a parte de baixo, deixando um pouco de linha folgada na parte de cima do
cartão – mais ou menos 10cm de linha. Dê um novo nó por baixo e ponha fita adesiva
nos nós para reforçar.
Articulando
conhecimentos
Portanto, os quatro triângulos produzidos nessa etapa são congruentes. Além disso,
cada um deles é semelhante ao triângulo inicial. Na verdade, é uma semelhança produzida
por uma homotetia – cada um deles é homotético ao triângulo inicial. Veja a homotetia,
em cada caso:
O

162
Seção2
Agora estique a linha com um lápis e mova-o, sempre com a linha esticada. O lápis
vai deixando um risco curvo no papel.Veja alguns pontos que o lápis tocou com a linha
esticada, um pequeno arco percorrido e o trajeto completo que o lápis traça.
Os pontos que formam a elipse estão em vértices de ângulos formados por dois
segmentos, em que a soma dos comprimentos é igual ao tamanho da linha.
Assim como os pontos de um círculo possuem a propriedade de serem todos eqüi-
distantes do centro, os pontos de uma elipse também possuem uma propriedade: a soma
das distâncias de cada um a dois pontos fixos é constante.
Da mesma forma que a medida do raio é própria do círculo, a medida do barbante
é própria de cada elipse.
Chegou a hora de pegar novamente aquele material feito com os canudos.
Fixe ou cole em um cartão um dos canudos menores.

163
Unidade20
Com as mãos, mova o canudo indicado o máximo que puder para um lado e depois
para o outro, fazendo um lápis acompanhar a interseção e deixando sobre uma folha o
desenho da trajetória percorrida. Se precisar, peça ajuda a um colega: enquanto você
imobiliza um canudo e move o outro, ele acompanha a interseção dos canudos azuis
com o lápis.
O caminho percorrido pela interseção será uma elipse. Surpreso?
Para se ter certeza que teremos uma elipse, tome um ponto P qualquer da interseção
dos lados dos triângulos. Mostre que a soma das distâncias de P a A e de P a B é constante;
ou seja, é a mesma, qualquer que seja a posição de P.
Resumindo
Nesta Seção, você:
• Identificou o conceito de polígonos congruentes e de triângulos congruentes.
• Identificou condições de igualdade de medidas de elementos correspondentes que
garantam a congruência de triângulos ou de polígonos.
• Identificou casos de congruência de triângulos.
• Identificou os conceitos de teorema e demonstração.
• Demonstrou teoremas de geometria plana.
• Identificou isometrias do plano – translações, reflexões e rotações, que garantem a
congruência entre triângulos.
• Identificou transformações do plano do tipo homotetia, que garantem a semelhança
entre triângulos.
• Identificou relações entre semelhança e fractais.
• Comprovou a congruência de polígonos ou de triângulos, em situações do mundo
físico-social.

164
Seção 3
Transposição didática
Propor e estimular o professor a elaborar situações-problema e situações didáticas visando:
• O desenvolvimento do conceito de congruência de triângulos e o seu uso para o reco-
nhecimento de congruência de polígonos.
• O reconhecimento de condições que asseguram a congruência de triângulos, por pro-
priedades métricas ou de transformações do plano.
Objetivo
da seção
Muitos alunos terminam o Ensino Fundamental e não sabem realmente o que é con-
gruência. É importante enfatizar e repetir situações nas quais fique evidente que se está
estudando figuras planas que coincidem quando são sobrepostas. Essa coincidência pode
ser direta ou inversa. No segundo caso, é necessário inverter as faces de uma figura para
que haja sobreposição. Essa é a idéia intuitiva de congruência de figuras planas – a pos-
sibilidade de sobrepô-las de modo que coincidam, com inversão de uma delas ou não.
Logo de início, situações que levem o aluno a perceber a importância do reconhe-
cimento de triângulos congruentes e a sua aplicação devem ser colocadas.
Por exemplo:
Situação-problema para os alunos
Para descobrir que distância nadavam, alguns alunos queriam saber o comprimento de
um lago, com forma irregular.
Pense em algumas idéias para descobrir essa medida, sem o auxílio de instrumentos
especiais.

165
Unidade20
Algumas idéias que podem surgir:
• atravessar o lago de barco, em linha reta, desenrolando um rolo de barbante cuja ponta
fica presa a uma estaca na margem;
• traçar duas retas paralelas pelas extremidades, medindo a distância entre as retas, em
terra firme.
O professor deve levantar questões para os alunos sobre possíveis problemas que
podem surgir, como: mudanças na direção do barco, devido a ventos e correntes; ou
como obter o paralelismo das retas, pois, sendo a distância grande, é difícil fazer um
traçado preciso.
No caso, o uso da teoria de triângulos congruentes poderá resolver a questão.
A identificação de condições suficientes para que dois triângulos sejam congruentes,
ou seja, o conhecimento dos casos de congruência dos triângulos, será mais adequada aos
alunos, se usarmos verificação concreta, manipulação de canudos ou varetas, desenho
geométrico e outros. Mas é importante a reflexão sobre os resultados obtidos, de modo a
compreendê-los e a reconhecer a sua importância e utilidade.
Congruência, o que é isto?
Em Matemática, não falamos em triângulos idênticos, mas em triângulos congruentes.
Por que usar uma palavra tão difícil?
Repare: você diria que os dois triângulos abaixo são idênticos?
Parece que um está virado, em relação ao outro. Um tem o lado maior à esquerda
e o outro tem o lado maior à direita. Totalmente idênticos eles não são. Mas se recor-
tarmos o desenho de um deles e o invertermos, conseguiremos fazê-lo ficar exatamente
sobre o outro. Então, dizemos que eles são congruentes. Significa que poderemos levar
um deles a coincidir com o outro. Para que isso aconteça, todos os lados e ângulos de
um deles devem ter medidas iguais às dos lados e ângulos do outro.
Em Matemática, considera-se que uma figura só é igual a si mesma. Mesmo que
não haja inversão de posições, figuras que diríamos idênticas são constituídas por
pontos diferentes do plano. Em Matemática, dizemos que são congruentes, como os
três triângulos a seguir:

166
Seção3
Atividade 13
a) Considere a figura e procure identificar formas geométricas que podem ser sobrepostas
(mesmo que haja necessidade de virar a sua face).
b) Verifique, da maneira que achar melhor, se as figuras que você indicou coincidem
realmente quando sobrepostas.
Ao final, o professor poderá sugerir que os alunos usem papel transparente para co-
piar a figura e verificar se há coincidência na sobreposição (se necessário, pode-se virar
o papel do outro lado).
Lembrar que, em Matemática, dá-se um nome a essas figuras que coincidem quando
sobrepostas. Elas são chamadas de congruentes.
Dizemos que duas figuras são congruentes quando coincidem por sobreposição. No
caso de polígonos, eles terão a mesma forma, a mesma medida dos lados e a mesma
medida dos ângulos.
Atividade 14
Levar vários canudos, todos medindo 20cm. Dar quatro canudos a cada aluno, para que
eles montem, com todos eles, uma figura plana. Um modo de se fazer isso é passando um
barbante por dentro dos canudos e amarrando. Nem todas as figuras podem ser sobrepos-
Centro Empresarial Varig
Imagem: Mary D’Artson

167
Unidade20
tas, mas todas são losangos (quatro lados de mesma medida), mesmo no caso de serem
quadrados. Mas eles podem ter sido feitos com ângulos diferentes entre as varetas.
Só quando, além de os lados serem iguais, também os ângulos de um forem iguais
aos ângulos do outro, os losangos poderão coincidir quando sobrepostos e aí, portanto,
serão losangos congruentes.
Observação: este experimento pode ser feito com outros materiais, como, por exem-
plo, palitos de picolé fixados com percevejos.
Atividade 15
Pense sobre: quais desses triângulos são congruentes (podem ser sobrepostos)?
Assinale com x o seu palpite:
a) Os triângulos congruentes (coincidem se sobrepostos) são:
( ) I e II ( ) I e III ( ) II e III
b) Assinale como você acha que poderia verificar se o seu palpite está correto (pode marcar
mais de um item):
• ( ) Recortando os dois triângulos e vendo se coincidem, quando colocados um sobre
o outro.
• ( ) Vendo se as medidas dos lados de um são iguais às medidas dos lados do
outro.
• ( ) Medindo os lados e os ângulos de um deles e verificando se são iguais aos lados
e ângulos do outro.
A questão de três lados com mesmas medidas assegurarem a congruência pode ser
melhor entendida pelos alunos, com o seguinte exemplo:
Pegar três pedaços de madeira de comprimentos diferentes e prendê-los, dois a dois,
nas pontas, formando assim um triângulo. Também se pode trabalhar com palitos de picolé
e percevejos. Ao se tentar deformar o triângulo, observa-se que não é possível mudar a
forma desta montagem, isto é, não é possível alterar os ângulos. Dizemos que o triângulo
é rígido. Logo, dadas as três varetas, só existe um triângulo possível de ser montado. O
triângulo fica determinado pelo comprimento dos seus lados. Não é possível mudar os
ângulos, como no caso do losango.

168
Seção3
(Com os quatro canudos do caso anterior, você verificou que com quatro lados não
há rigidez). Isso nos leva à afirmação:
1 - IMPORTANTE (LLL)
Dois triângulos que têm os três lados com as mesmas medidas são congruentes.
Devido à sua rigidez, o triângulo é muito usado em portões ou na estrutura de te-
lhados.
Um portão de madeira formado só de quadriláteros pode deformar-se. Para que isso não
aconteça, é comum que se coloque uma tábua em diagonal, formando dois triângulos rígidos.
A Atividade 2 da Seção 2 é apropriada para os alunos, assim como a Atividade 12
e outras.
Será útil usar o desenho geométrico em uma atividade que ajudará a internalizar,
mais uma vez, a questão de os lados de mesma medida garantirem a congruência de
triângulos, como na Atividade a seguir:
Atividade 16
a) Os alunos deverão construir um triângulo cujos lados têm as seguintes medidas: 3cm,
4cm e 5cm. O professor deve auxiliá-los no uso do compasso e da régua. Poderão
começar por qualquer lado, em qualquer posição.
1.Traçar, com o auxílio da régua, um dos lados do triângulo, com a medida dada. Para
entender o processo, denominar as extremidades desse segmento de A e B.
2.Abrir o compasso até se chegar à medida de um dos lados restantes. Colocar a ponta
de metal do compasso no ponto A e traçar um arco.
3.Depois, abrir o compasso até ele ter uma abertura igual à do terceiro lado. Colocar a
ponta de metal do compasso no ponto B e traçar um arco, de modo que este arco corte
o primeiro.
• O ponto de encontro dos dois arcos (também chamado de interseção dos dois arcos)
será o vértice C do triângulo.
• Meça os três lados do triângulo e verifique se as medidas são 3cm, 4cm e 5cm.
C
A B

169
Unidade20
Pense um pouco sobre o porquê de este exemplo produzir o triângulo com os lados
que você queria.
Encontrou o triângulo? Alguns colegas podem ter começado a construção com outros
lados, em outras posições. As posições dos triângulos podem ser muito diferentes. Mas
todos eles são congruentes (coincidem se sobrepostos).
b) Reflita um pouco e responda: o que podemos concluir sobre dois triângulos que têm
os três lados com medidas respectivamente iguais?
Trabalhando na situação-problema dos alunos
Dando prosseguimento à situação-problema, o professor pode sugerir que os alunos pro-
curem traçar dois triângulos congruentes: um, com lado apoiado na distância a medir;
outro, que tenha um lado com essa mesma medida, mas em terra firme.
As tentativas devem ocorrer até aparecer, por exemplo, o desenho:
Questionamento: como obter medidas iguais, em terra firme, de modo que os tri-
ângulos sejam congruentes?
Mesmo estando claro que se pode tomar pontos A, B e C (encontro de dois segmentos
de reta traçados a partir de A e de B), onde serão colocadas estacas, e que se pode achar
(na realidade) pontos D e E, tais que EC = CA e DC = CB, será que já há elementos que
garantam que os dois triângulos são congruentes?
Pode-se perceber, também, que os ângulos compreendidos entre esses lados são
iguais: m(ACB) = m(DCE).
Como, até agora, os alunos só sabem que três lados de medidas iguais garantem
congruência, e não se tem isso nos triângulos, ainda não pode haver certeza de que os
triângulos são congruentes. A solução depende de mais conhecimentos.

170
Seção3
Pode-se propor a Atividade 1, da Seção 2, que os levará a constatar que triângulos
que têm dois pares de lados iguais e o ângulo entre eles iguais são congruentes.
2 - IMPORTANTE (LAL)
Dois triângulos que têm dois lados e os ângulos formados por esses lados respectiva-
mente iguais (ou congruentes) são congruentes.
Retomando à situação-problema:
Será que, com esse novo resultado obtido, já podemos afirmar a congruência dos
dois triângulos projetados em papel, cujos vértices sabemos marcar no solo?
Realmente são as condições que temos: dois lados com a mesma medida e os ângulos
formados por eles também com a mesma medida (porque são opostos pelo vértice). Logo,
basta medir, em terra firme, a distância DE, que é igual ao comprimento do lago.
Observando construções e conhecendo
mais sobre congruências de triângulos
Atividade 17
Os alunos observaram o telhado de uma casa com uma viga horizontal e outra vertical.
A viga vertical é lado comum aos dois triângulos, o que nos garante um par de lados
iguais nos dois. (Fizemos um risquinho para indicar este lado comum).
Os alunos verificaram que a viga vertical toca exatamente o meio da viga hori-
zontal. Para isso, um deles posicionou-se sob a viga vertical, rente à casa, e deu passos
para a esquerda e para a direita. Isto resultou na constatação de mais um par de lados
iguais nos dois triângulos. (Fizemos dois risquinhos de cada lado, indicando que são
dois lados iguais).
Quanto aos terceiros lados, que são inclinados, parecem iguais, mas não temos
certeza disto.

171
Unidade20
Mas existe um terceiro elemento que é igual nos dois triângulos. É o ângulo reto,
formado de cada lado da viga vertical.
É possível afirmar que os dois triângulos são congruentes? Por quê?
Aprendendo mais: ângulos adjacentes
e ângulo oposto ao lado de um triângulo
Desenvolva a noção de ângulos adjacentes a um lado e de ângulo oposto a um lado, em
um triângulo. Vamos propor duas situações, mais apropriadas para os alunos, em que,
usando essas noções, eles poderão constatar mais dois casos em que podemos garantir a
congruência dos triângulos:
Situação 1
Um marceneiro pegou dois pedaços iguais de tábua (a e b).
Depois, pegou dois pedaços quaisquer e os colou nas pontas da esquerda, formando
ângulos de 45°.
Pegou ainda mais dois pedaços quaisquer e os colou nas pontas da direita, formando
ângulos de 60°.
Serrou as partes que sobraram e obteve dois triângulos idênticos.

172
Seção3
Ele só planejou que um par de lados (a e b, um em cada triângulo) e os ângulos
adjacentes a estes lados (de 45 e de 60 graus) fossem iguais. Mas, quando isso ocorre, os
triângulos são sempre congruentes.
3 - IMPORTANTE (ALA)
Dois triângulos que têm um lado e os ângulos adjacentes aos lados respectivamente
iguais (isto é, congruentes) são congruentes.
Situação 2
Olhe os triângulos 1 e 2 e veja o que eles apresentam:
• um par de lados iguais (os laranjas);
• um par de ângulos, adjacentes aos lados laranjas, iguais (ângulos amarelos);
• um par de ângulos, opostos aos lados laranjas, congruentes (ângulos de arcos la-
ranjas).
Quando isto ocorre, podemos garantir que os triângulos são congruentes, o que
pode ser demonstrado experimentalmente. Basta olharmos o que foi feito no caso AAL,
na Seção 2. Temos o mesmo que se tinha lá: dois pares de ângulos iguais e um par
de lados, não compreendidos entre os ângulos, também iguais.
4 - IMPORTANTE (AAL)
Dois triângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto ao lado
respectivamente iguais (isto é, congruentes) são congruentes.
Esses quatro casos de congruência podem ser utilizados para determinar elemen-
tos desconhecidos nos triângulos e para demonstrar algumas propriedades importantes
da Geometria.
1 2

173
Unidade20
Congruência por transformações do
plano: translações, rotações, simetrias
É importante que os alunos associem congruências a movimentos ou transforma-
ções no plano.
O reconhecimento de translações, rotações e simetrias pode ser feito de
modo intuitivo, embora atendendo aos aspectos que asseguram a correção desses
conceitos.
Reconhecendo que existe uma dessas transformações que leva um triângulo
a outro, os alunos perceberão que se tratam de triângulos congruentes (o que po-
deria ser comprovado também por um dos casos anteriores, envolvendo medidas
de lados e de ângulos).
Uma atividade interessante consiste em, a partir de figuras ou triângulos con-
gruentes, verificar se a imagem congruente pode ser obtida por uma translação, por
uma rotação, por uma simetria ou por uma composição dessas transformações.
Simetrias
As simetrias, em especial, oferecem oportunidades de atividades que despertam bas-
tante interesse.
A montagem de um grande painel pode ser feita dividindo-o em duas metades.
A linha divisória, que poderá ser horizontal, vertical ou inclinada, será o eixo de
simetria do painel. Parte da classe, ou um grupo, deverá preencher com recortes
e figuras uma das metades. Se usarem figuras, os alunos deverão ter o cuidado de
deixar duplicatas destas, copiadas invertidas. Se usarem papel colorido para recortes,
deverão deixar sobras deste. Depois, o restante da classe, ou outro grupo, montará
o restante do painel, cuidando para que fique simétrico.
A descoberta de eixos de simetria de uma figura pode ser feita por dobradura: se a
dobra produzir sobreposição dos dois lados da figura, então a linha de dobra é um eixo
de simetria.
Há figuras fáceis que enganam: os alunos tendem a dizer que as diagonais
de um paralelogramo de lados diferentes são eixos de simetria do mesmo para-
lelogramo. A atividade de dobrar sobre as diagonais os leva a perceber que essa
afirmação é falsa.

174
Seção3
Resumindo
Nesta Seção, você teve a oportunidade de:
• Desenvolver situações-problema, versando sobre determinação de distâncias
inacessíveis.
• Ter idéias para trabalhar a congruência de triângulos, por meio de materiais
manipulativos, como varetas, dobraduras e recortes.
• Conhecer translações, rotações e simetrias.

175
Unidade20
Leituras sugeridas
GUELLI, O. Contando a História da Matemática. Dando Corda na Trigonometria. São
Paulo: Ática, 1993.
Trata-se de um livro paradidático, com muitas ilustrações e escrito em linguagem agradá-
vel, adequado ao professor e ao aluno. Além de situações relativas ao Teorema de Tales,
as quais nos levaram a recomendá-lo na Unidade 15, o livro traz ainda situações muito
interessantes e variadas sobre o Teorema de Pitágoras e os trabalhos de Arquimedes a
respeito do comprimento da circunferência e a área do círculo. Conta também sobre Era-
tóstenes e sobre o modo como ele mediu a circunferência da Terra; além disso, menciona
as relações de Hiparco e de Ptolomeu com os primórdios da Trigonometria.
O livro associa riqueza de conhecimentos e leitura fácil e agradável.

176
Seção3
Bibliografia
BRASIL. MEC. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática (5a
a 8a
séries). Brasília: MEC/SEF, 1998.
FREMONT, H. Teaching Secondary Mathematics through applications. 2a
ed. Boston:
Prindle, Weber & Schmidt, 1979.
GOLDENBERG, E. P. Habits of mind as a organizer for the curriculum. Journal of Education
178 (1): 13-34. Boston University, 1996. Traduzido na revista Educação e Matemática,
números 47 e 48. Lisboa: Associação de Professores de Matemática, 1998.
OTTE, M. O Formal, o Social e o Subjetivo. Uma introdução à Filosofia e à Didática da
Matemática. Tradução. São Paulo: UNESP, 1991.
Sites consultados
http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page02.htm
http://www.math.sunysb.edu/~scott/mat200.fall02/Geometry/Main/2Triangles_congruence_
trian.html
http://oxygen.dana.utexas.edu/dcsite/mathtoolkit/downloads/geoassess/geo_6_tiling.pdf
http://www.jimloy.com/geometry/congrue0.htm

177
O desenvolvimento de hábitos de pensamento
no ensino e na aprendizagem da matemática
E. Paul Goldenberg
Adaptado por Nilza Eigenheer Bertoni
Ao longo dos cadernos desta coleção, temos dado ênfase aos processos de pensamento
dos alunos: investigação, inferência, argumentação, tendo chegado à demonstração.
Este Texto de Referência vem explicar melhor essa opção pelo desenvolvimento de
hábitos de pensamento. Ele foi escrito com base em um artigo de E. Paul Goldenberg
(1996), sob o título “Hábitos de pensamento”. Nele, o autor mostra como os hábitos de
pensamento podem ser um eixo central no desenvolvimento curricular da Matemática e
servir a propósitos educacionais mais amplos. O autor exemplifica alguns dos mais im-
portantes modos de pensar em Matemática.
Tradicionalmente, tem sido defendido que, em um ensino sério de Matemática, co-
nhecimentos serão adquiridos, e as capacidades de raciocínio também serão melhoradas.
A abordagem defendida pelo autor diz praticamente o contrário: tomando determinadas
formas de pensamento a sério e dando-lhes primeira prioridade, capacidades de raciocínio
serão adquiridas, e os conhecimentos matemáticos também melhoram.
Esta concepção vai ao encontro de uma Matemática para todos – que inclua estu-
dantes que um dia possam vir a gostar, desejar, precisar de Matemática genuína, mas que
ainda não compreenderam isso. Defende-se um ensino/aprendizagem que tanto prepare
adequadamente os alunos para estudos sérios de Matemática quanto sirva para estudantes
que não prosseguem estudos avançados em Matemática. A grande questão é se é possível
desenvolver uma tal Matemática e como fazer isso.
Especialistas curriculares têm procurado responder a essa questão definindo quais
seriam os conteúdos nucleares, ou essenciais, para todos os alunos. Entretanto, a utilidade
de qualquer fato ou fórmula depende do que uma pessoa faz. Para que o radar conduza os
nossos aviões e para que as comunicações sem fios nos mantenham em contato, depen-
demos de alguém que tenha compreendido uma grande quantidade de matemática com-
plicada, mas nós não precisamos saber nada para entrar num avião ou ligar a televisão.
Então, há elementos da Matemática essenciais para que as crianças se preparem
para se tornar adultos com sucesso? Na verdade, a afirmação “nenhum fato particular é
essencial” não pode levar à conclusão de que os conteúdos não interessam. Apenas do-
minar bons hábitos de pensamento e saber como procurar conteúdos quando precisamos
deles não é suficiente. É preciso certa familiaridade com a Matemática para que se possa
reconhecer particularidades e saber quando é importante olhar com mais atenção para
determinado fato. Não temos modo de reconhecer uma solução descoberta acidentalmente,
se não conhecemos nada do problema que ela resolve.
Assim, é necessário um conhecimento mais amplo do que aquele que a tarefa imediata
demanda, para se conseguir um trabalho produtivo e criativo. São necessários conheci-
mentos prévios para que possamos perceber conexões entre fatos observados e suspeitar
de sua importância. O conhecimento requerido não se refere apenas aos conteúdos, mas

178
também aos métodos de funcionamento da Matemática ou aos hábitos de pensamento
que possibilitam o seu funcionamento.
O que torna determinada organização do ensino coerente é conferir um enredo
a ela. O que seria um enredo matemático? O que muitos livros didáticos apresentam
constitui mais uma lista de coisas a saber fazer do que um corpo coerente de idéias.
Outra visão, ou enredo, comumente encontrada é a de que a Matemática se constrói a
partir dos seus fundamentos lógicos, um degrau de cada vez, desde os blocos básicos
até os conceitos mais avançados. Ou ainda o desenvolvimento histórico é, por vezes,
utilizado como tema organizador.
Uma outra maneira de ver um curso de Matemática é não centrá-lo tanto em fatos
ou conteúdos matemáticos, mas sobre a maneira como os matemáticos os descobriram,
isto é, sobre os modos de pensar Matemática. Isso, é claro, não pode ser desenvolvido
sem os conteúdos.
Assim, alguns conteúdos e habilidades devem ser selecionados, mas a essência da
Matemática não é esse conjunto de conteúdos e sim o raciocínio que o descobre, que
reúne e dá sentido a esses conteúdos. Nessa concepção, há mais do que uma escolha
possível de conteúdos e habilidades.
A Matemática é, em parte, um modo de pensar, um conjunto de hábitos de pensa-
mento. Passamos da busca de um conjunto de conteúdos nucleares para a busca de um
conjunto de hábitos de pensamentos nucleares.
Voltando ao propósito de uma Matemática para todos, devemos escolher modos
de pensar em Matemática que apóiem todas as vocações (e faltas de vocação) para a
Matemática.
Entretanto, deve ficar claro que o que se defende não é que o ensino de Matemática
se justifique por desenvolver as capacidades de raciocínio. Existem hábitos de pensamento
específicos para a Matemática e outros que se aplicam a domínios mais amplos. Desenvol-
vendo os dois tipos, podemos preparar os alunos para estudos avançados de Matemática
e, ao mesmo tempo, atender às necessidades de alunos que podem não ter desenvolvido
um especial interesse ou aptidão para a Matemática. Desenvolver esses hábitos, além de
fornecer uma base sólida sobre como a Matemática é realmente feita, serve aos objetivos
gerais da educação para a maior parte dos alunos.
Vamos apresentar e desenvolver um pouco mais uma série de hábitos de pensamento
que servem a esse duplo objetivo. São hábitos que estabelecem profundas conexões entre
os diversos ramos da Matemática.
A visualização
Este hábito corresponde à capacidade de criar, manipular e ler imagens mentais de aspectos
comuns da realidade. Compreende: visualizar informação espacial e quantitativa; rever e
analisar passos anteriormente dados; interpretar ou fazer aparecer imagens de objetos ou
idéias que nunca foram vistos. Tarefas que contribuem para o desenvolvimento deste hábito
podem incluir: respostas a perguntas como: “quantas portas tem a sua casa?”; imaginar a
sombra de um cubo colocado obliquamente; ou os sólidos obtidos quando se empilham
camadas finas de material ou quando figuras planas são empilhadas.

179
Interpretação de diagramas
Existem informações não visuais que podem ser representadas visualmente por diagramas.
Diagramas podem ser uma verdadeira “demonstração visual”, como no caso a seguir de
um diagrama associado a uma relação algébrica.
Descrição, formal ou informal, de relações e processos
Para se fazer Matemática, é importante que se estabeleçam relações quantitativas, espa-
ciais, estruturais, de inclusão etc. e conexões lógicas entre idéias. Além disso, é importante
saber descrevê-las, dizer com clareza o que as coisas significam. A linguagem informal é
boa para dizer “do que se trata”. Para exprimir o significado matemático restante, temos
o auxílio das linguagens formais – como a algébrica, a computacional ou a que se usa no
discurso matemático para argumentar com clareza.
Essa capacidade de descrição abrange também o poder de expressar verbalmente
uma informação visual e, reciprocamente, o de visualizar informações verbais.
Procura de invariantes
A capacidade de buscar e reconhecer invariantes, em conjunto com a capacidade de
encontrar argumentos lógicos (demonstração) representa o cerne ou, por assim dizer, o
coração da Matemática. Portanto, essa procura de invariantes deve estar no centro de um
curso de Matemática – abrangendo, entre outros, invariantes algébricos, numéricos, geo-
métricos estáticos ou dinâmicos (por exemplo, a relação de Pitágoras pode ser vista como
um invariante estático, enquanto propriedades que permanecem no deslocamento de um
ponto podem ser vistas como dinâmicas). Qualquer conteúdo pode ser usado para ajudar
os alunos a criarem esse hábito de pensamento. No entanto, muitas vezes o conteúdo é
ensinado sem tornar visível esse aspecto globalizante. É interessante justificar o porquê
de um padrão ocorrer, e isso pode ser feito por meio de uma argumentação lógica, ou
de uma demonstração.

180
A capacidade de misturar experimentação e dedução
Nem só a descoberta de padrões ou apenas argumentações lógicas constituem a Matemá-
tica. A experiência fornece, muitas vezes, uma conjectura de algum fato ou propriedade,
mas fornece também alguma indicação sobre uma demonstração a respeito. Por outro
lado, a procura lógica de uma demonstração sugere, muitas vezes, novas experiências.
É necessário que o aluno reconheça como essas atividades se interagem. Para isso, uma
estratégia possível é levar os alunos a traduzirem uma experiência em palavras, de modo
a construir uma demonstração.
A construção de explicações sistemáticas
e de demonstrações para invariantes observados
A respeito de demonstrações, o que interessa não é saber repeti-las formalmente, mas são
essenciais em Matemática tanto o ato de construir uma demonstração quanto o conheci-
mento da estrutura de uma demonstração. Embora demonstrações sejam uma característica
própria da Matemática, o hábito de pensamento que consiste em mostrar como uma idéia
deriva de outras ocorre na literatura, na argumentação jurídica e na ciência em geral.
Todos os alunos precisam ter essa capacidade básica.
A capacidade de construir algoritmos e raciocinar acerca deles
A Matemática constrói algoritmos com base em argumentos lógicos. Entretanto, a ex-
periência comum dos alunos é memorizar algoritmos e não inventá-los ou analisá-los.
Compreender como funciona um algoritmo explica, por exemplo, o padrão de repetição
obtido na expressão decimal de 1/7 ou de 4/7.
A capacidade de raciocinar por continuidade
Atualmente, programas computacionais como o Cabri ou Sketchpad ajudam a ampliar a
idéia de funções em um domínio contínuo e a relacionar a Geometria à Matemática das
mudanças contínuas. Arrastando pontos sobre o monitor, os alunos vêem o efeito disso
sobre outros objetos, isto é, visualizam a imagem de uma função. Além de estabelecer
ligações entre a Geometria e a Álgebra, eles poderão desenvolver idéias que depois serão
expressas pela linguagem algébrica. Isso difere da abordagem tradicional de estudar uma
linguagem sem ter idéias para expressar com ela e só mais tarde embasar essas idéias em
uma linguagem mal dominada.
Revendo idéias sobre a organização
mais ampla do desenvolvimento curricular
Neste texto, defendeu-se que os modos de pensar, e não os produtos acabados desses
modos de pensar, devam orientar o desenvolvimento do ensino e da aprendizagem de
Matemática. Uma argumentação central é a de que essa é uma forma de servir a todos os
alunos e não apenas a uma parte.

181
Essa abordagem permite a todos a aprendizagem de bons princípios de pensamento,
que transcendem as disciplinas. Assim, ao mesmo tempo que servem à Matemática de
modo admirável, são úteis a todos os alunos independentemente dos seus interesses es-
pecíficos. Do outro modo, quando a ênfase está nos conteúdos matemáticos e os modos
de pensar ficam na retaguarda, diminui a possibilidade de transferência do aprendido
para outras áreas.
Os alunos têm aprendido, no Ensino Básico, coisas que se denominam Matemática
e que pouco têm a ver com o modo como a Matemática é criada ou aplicada fora da
escola. Na atual abordagem, estamos considerando mais importantes do que os resul-
tados específicos da Matemática os hábitos de pensamento que foram utilizados pelas
pessoas que criaram esses resultados.
Uma reflexão nos leva a considerar os hábitos que necessitamos para viver com
saúde, com emprego e produtivos e que nos permitam a adaptação a obstáculos
imprevistos e a novos problemas que tenhamos que enfrentar. Para a maioria das
áreas do conhecimento, e para a gestão da própria saúde, precisamos ser capazes
de nos comunicarmos com clareza; para questões financeiras, jurídicas, ecológicas,
comerciais ou ainda matemáticas, precisamos ser capazes de raciocinar sobre um
conjunto de condições restritivas; para tudo que requeira diagnóstico, precisamos
saber como testar e experimentar, procurar relações de dependência e raciocinar
logicamente.
Ao mesmo tempo, não podemos deixar de refletir sobre as relações entre tais hábitos
de pensamento e a disciplina específica. Experiências têm demonstrado que, quando as
idéias matemáticas se tornam os veículos para os alunos pensarem bem, reinventando
as idéias sempre que precisam delas, os conteúdos ficam melhor compreendidos e serão
menos esquecidos.
Para finalizar, faremos uma breve articulação das idéias defendidas por E. Paul
Goldenberg (1996), em seu artigo “Hábitos de pensamento”, do qual apresentamos um
resumo, com as idéias principais desta Unidade e dos PCN.
Nesta Unidade, fizemos uso da argumentação, do raciocínio lógico e chegamos à
demonstração na aprendizagem da Matemática. Goldenberg afirma que dos hábitos de
pensamento faz parte, entre outros, a demonstração, e que capacidades e estratégias
para construir e apresentar idéias demonstrativas e a propensão para construir uma de-
monstração devem ser introduzidas ao longo dos anos de Ensino Básico.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, da 5a
a 8a
séries, defendem
idéias análogas (página 70):
A argumentação está fortemente vinculada à capacidade de justificar uma afirmação
e, para tanto, é importante produzir alguma explicação, bem como justificá-la. As-
sim, um argumento será aceito se for pertinente, ou seja, se ele estiver sustentado por
conteúdos matemáticos e se for possível responder aos contra-argumentos ou réplicas
que lhe forem impostos.
Uma argumentação não é, contudo, uma demonstração. A argumentação é mais ca-
racterizada por sua pertinência e visa ao plausível, enquanto a demonstração tem por
objetivo a prova, dentro de um referencial assumido. Assim, a argumentação está mais
próxima das práticas discursivas espontâneas e é regida mais pelas leis de coerência
da língua materna do que pelas leis da lógica formal que, por sua vez, sustentam a
demonstração.

182
Se, por um lado, a prática da argumentação tem como contexto natural o plano das dis-
cussões, nas quais se podem defender diferentes pontos de vista, por outro, ela também
pode ser um caminho que conduz à demonstração.
Assim, é desejável que no terceiro ciclo se trabalhe para desenvolver a argumentação,
de modo que os alunos não se satisfaçam apenas com a produção de respostas e afir-
mações, mas assumam a atitude de sempre tentar justificá-las. Tendo por base esse
trabalho, pode-se avançar no quarto ciclo para que o aluno reconheça a importância
das demonstrações em Matemática, compreendendo provas de alguns teoremas.
Os PCN defendem ainda (na página 37), outros hábitos, mencionando, por exem-
plo, que o estabelecimento de relações é fundamental para que o aluno compreenda
efetivamente os conteúdos matemáticos, pois, abordados de forma isolada, eles não se
tornam uma ferramenta eficaz para resolver problemas e para a aprendizagem/construção
de novos conceitos.

185
Unidade20
Atividade 1
Há várias soluções possíveis.
Você pode começar desenhando um ângulo de 60°. Se você tem um esquadro de
três lados diferentes, os ângulos deles valem 30°, 60° e 90°.
Há uma maneira mais precisa de se desenhar esse ângulo sem contornar o vértice:
Desenhe uma linha horizontal AB e apóie nela o esquadro, na mesma posição
anterior. Encoste nele um segundo esquadro e deslize com cuidado o esquadro anterior
para baixo.
O primeiro esquadro corta a linha AB em um ponto O. Mantenha-o firme nesta
posição e afaste o segundo esquadro.
Agora, traçando uma linha ao longo do esquadro, a partir de O, você terá o ângulo
de 60° de um modo mais preciso.
A B
A B A B
60o

186
A partir de O, marque 4cm em um dos lados do ângulo e 2,4cm no outro lado.
Depois feche o triângulo.
Atividade 2
Os dois triângulos teriam que ser iguais por terem três pares de lados congruentes (de
mesma medida).
Atividade 3
a) Começamos desenhando um ângulo reto e um cateto com 5cm.
Em seguida, marcamos o ângulo de 35° adjacente a este cateto. O lado deste ângulo
encontra o outro cateto em um único ponto, de modo que, o triângulo fica determinado.
Poderemos obter triângulos em outras posições, mas serão todos congruentes. Isso está
de acordo com o caso ALA – os triângulos têm um lado congruente, compreendido entre
ângulos congruentes (de 35° e de 90°).
A
B
4cm2,4cm
60o
35
35

187
Unidade20
b) Podemos começar traçando a hipotenusa com 4cm e um ângulo adjacente a ela com
50°. Sabemos que, em um triângulo retângulo, a soma dos ângulos não retos vale 90°.
Logo, o outro ângulo deve valer 40°.
Uma vez traçados os lados que definem esses ângulos, eles se cruzam em um único
ponto, e o triângulo fica determinado, não podendo ter outra forma.
Logo, todos os triângulos possíveis, com esses elementos, serão congruentes. No-
vamente, temos o caso ALA.
Atividade 4
a) Se desenharmos um triângulo qualquer e outro com lados paralelos a ele, ambos terão
os ângulos respectivamente congruentes.
4cm
4cm
Entretanto, se variarmos a dimensão dos lados, os triângulos não serão con-
gruentes.
b) Começamos traçando um ângulo, que deve ser igual nos dois triângulos.
No primeiro triângulo, marcamos o lado vermelho adjacente ao ângulo. Fixamos uma ex-
tremidade do lado azul em A e o giramos de modo a interceptar o outro lado do ângulo.
No segundo triângulo, marcamos o lado azul adjacente ao ângulo. Fixamos uma extremi-
dade do lado vermelho A e o giramos de modo a interceptar o outro lado do ângulo.
Deste modo, obtemos dois triângulos não congruentes, com dois pares de lados iguais
e um ângulo igual, não compreendido entre os dois.
Este exemplo parece ser o caso LLA, que daria congruência. Entretanto, isto só
ocorreria se, nos dois triângulos, marcássemos lados iguais adjacentes ao ângulo igual
– os dois vermelhos adjacentes ao ângulo e os azuis opostos ao ângulo; ou os dois azuis
adjacentes ao ângulo e os vermelhos opostos ao ângulo.

188
Atividade 5
Os triângulos congruentes são:
ABC e ABD – por terem três lados respectivamente iguais (base comum, lados azuis
e lados vermelhos). Da congruência desses triângulos, resulta que o ângulo com vértice
em C é congruente ao ângulo com vértice em D.
ACE e BDE – por terem um lado igual (vermelho), um ângulo adjacente a esse lado
congruente (ângulo C e ângulo D) e um ângulo oposto a esse lado congruente (ângulos
CEA e DEB, opostos pelo vértice).
Atividade 6
É possível demarcar. Um modo é o seguinte:
Marca-se uma linha reta passando por A e pela árvore. Em seguida, marca-se por
B uma linha formando um ângulo de 60º com AB. A interseção das duas linhas dará o
terceiro vértice do terreno triangular.
A justificativa é que a reta partindo de A e passando pela árvore define o valor de
um ângulo; então qualquer triângulo traçado terá a base comum e dois ângulos adjacentes
congruentes (ALA), portanto os triângulos traçados são congruentes. Por terem elementos
fixos (a base e a árvore sobre um dos lados), os triângulos são todos coincidentes.

189
Unidade20
Atividade 7
a) Enunciado: Um triângulo que tem dois ângulos iguais é isósceles.
b) Demonstração: Seja um triângulo ABC, com os ângulos de vértices A e B iguais, e
prove-se que os lados AC e BC são iguais. Considerem-se os triângulos ABC e BAC.
Sabemos que o lado AB de um é igual ao lado BA do outro; os ângulos de vértices A
e B de um são respectivamente iguais aos ângulos de vértices B e A do outro. Logo
os triângulos são congruentes pelo caso ALA. Portanto, os lados AB e AC são iguais,
e o triângulo é isósceles.
c) Hipótese: Certo triângulo tem dois ângulos iguais.
d) Tese: Esse triângulo é isósceles.
Atividade 8
a) Contra-exemplo para LL: os dois triângulos abaixo têm dois pares de lados congruentes,
mas não são congruentes.
b) Contra-exemplo para LA: os dois triângulos a seguir possuem um lado igual e um ângulo
adjacente a esse lado também igual, mas não são congruentes.
c) Contra-exemplo para LA; com A ângulo oposto: os dois triângulos a seguir possuem
um ângulo igual, ou melhor, congruente e um lado oposto a esse ângulo também con-
gruente. Entretanto, os triângulos não são congruentes.
d) Contra-exemplo para AA: os dois triângulos a seguir possuem dois ângulos iguais, ou
melhor, congruentes, mas não são congruentes.

190
Atividade 9
a) LLLA
Só o fato de terem os três lados respectivamente congruentes já garante a congruência
dos triângulos; não é necessária a informação adicional de que os triângulos possuem
ainda um ângulo congruente (LLL).
b) LALA
Só o fato de terem dois pares de lados correspondentes de mesmo comprimento e os
ângulos compreendidos entre eles de mesma medida já garante a congruência dos tri-
ângulos; não é necessária a informação adicional de que os triângulos possuem ainda
mais um ângulo congruente. (LAL)
c) LLAA
Os triângulos têm dois pares de lados congruentes e dois pares B e B’ e C e C’ de ân-
gulos cogruentes (nenhum deles é o ângulo compeendido entre os lados congruentes).
Pela soma dos ângulos de um triângulo, temos que os terceiros ângulos A e A’ também
são congruentes, e eles devem ser os ângulos entre os lados congruentes. Logo, temos
o caso LAL – dois lados congruentes e o ângulo compreendido entre eles congruente
– e, portanto, os triângulos são congruentes.
d) AAAL
Poderíamos garantir a congruência se os lados congruentes estivessem entre ângulos
congruentes (caso ALA). Entretanto, pode não ser esse o caso, como veremos no contra-
exemplo a seguir. Os dois triângulos têm os três ângulos congruentes e um lado (azul)
congruente, porém este lado não se encontra entre ângulos congruentes. Os triângulos
não são congruentes.
Lembramos que, se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, então o ter-
ceiro ângulo também será congruente (se a e b são as medidas dos ângulos congruentes
nos dois triângulos, então o terceiro ângulo nos dois triângulos vale 180° – (a + b) e,
portanto, também são congruentes. Mas isso não garante a congruência dos triângulos,
como se vê pelo exemplo abaixo.
^ ^ ^ ^
^ ^

191
Unidade20
Atividade 10
b) Reciprocamente, se um triângulo ABC tem ângulos ABC e ACB com medidas iguais,
então ele é isósceles, com base BC.
Demonstração
Vamos tomar como hipótese que os ângulos ABC e ACB são congruentes.
Como na demonstração da parte a), devemos dividir o triângulo unindo A ao ponto
médio M de BC.
Atividade 11
Os dois triângulos obtidos são congruentes, pois têm dois pares de lados iguais:
AM (lado comum); e BM = MC, por M ser ponto médio; e os ângulos opostos a AM
também iguais (LLA), B = C.
Sendo congruentes, têm seis pares de elementos congruentes. Em particular, os
lados AB e AC, um em cada um dos triângulos, têm medidas iguais. Logo, o triângulo
ABC é isósceles.
^ ^

192
Como o terreno tem a forma de um triângulo isósceles, os ângulos da base devem
ser iguais. Um modo é verificar a medida do ângulo entre a cerca inteira e o pedaço de
cerca e marcar um ângulo igual a partir da outra extremidade da cerca inteira. O ponto
de encontro dos lados dos dois ângulos determina o outro vértice do terreno.
Atividade 14
A atividade é uma ação concreta. Os objetos construídos podem ser abertos ou fechados,
produzindo losangos ou quadrados. Portanto, nem sempre serão congruentes, apesar de
terem lados iguais.
Atividade 15
a) Os triângulos congruentes são I e II.
b) Na verdade, os três modos seriam corretos para verificar que os triângulos são idên-
ticos.
Atividade 13
a) Resposta pessoal. A figura é rica em formas que podem ser sobrepostas. Poderão ser
mencionados, por exemplo: os triângulos do gradeado inferior; as janelas quadradas
(desconsiderando que estão em perspectiva); as duas grandes figuras “triangulares”
brancas simétricas, contendo, cada uma, um lado em escada;dois retângulos altos e
finos na parte central; retângulos brancos superiores, com três janelas cada um.
b) Resposta pessoal.
Atividade 12
Embora os ângulos pareçam grandes, a medida deles, na igreja real e na maquete, é
a mesma – só os lados são maiores, não a abertura (você aprendeu sobre isso na Unidade
9 do TP 3, naquela da piscina, lembra-se?).
Portanto, determinando uma escala, os alunos deverão fazer a frente da maquete,
marcando a base segundo essa escala, e deverão marcar os dois ângulos com as mesmas
medidas que aparecem na realidade. O ponto de encontro dos lados dará um triângulo
semelhante ao da realidade, que é o triângulo certo da maquete.

193
Unidade20
Atividade 16
O desenho feito produz o triângulo com os lados desejados porque:
Partimos de um segmento horizontal AB com a medida de 5cm. Com um compasso
com centro em A e abertura igual a 4cm, traçamos um arco de circunferência. Todos os
raios desta circunferência medem 4cm, em particular AC mede 4cm. Depois, colocamos o
compasso com centro em B e abertura igual a 3cm e traçamos um arco de circunferência.
Todos os raios desta circunferência medem 3cm, em particular BC mede 3cm.
b) Podemos concluir que dois triângulos que têm os três lados com medidas respectiva-
mente iguais são congruentes.
C
A B
Atividade 17
Sim, os triângulos são congruentes, pos têm dois lados congruentes compreendidos
entre ângulos congruentes. LAL.
a)

Socializando o seu
conhecimento e
experiências de
sala de aula
PARTE II
TEORIA E PRÁTICA 5

197
Socializando o seu conhecimento
e experiências de sala de aula – Unidade 18
Este momento final tem por objetivos:
1.Aplicar com os seus alunos o conceito de multiplicação explorando a idéia de combi-
nação.
2.Refletir sobre os desafios propostos na utilização da combinação como uma forma de
resolução de situações-problema que envolvem multiplicação.
3.Refletir sobre a aplicação da Matemática às Ciências Sociais.
4.Elaborar uma produção escrita contendo uma reflexão sobre a importância de se traba-
lhar o conceito de multiplicação por meio de adição de parcelas iguais e de raciocínio
combinatório.
Para tanto, três tarefas devem ser preparadas para serem levadas à oficina e socia-
lizadas entre os colegas:
Tarefa 1
Desenvolva, com pelo menos uma turma de alunos, a Atividade 9 proposta na Seção 2. Se
for necessário, faça algumas adaptações. Em seguida, faça um registro onde constem:
a) as dificuldades encontradas pelos alunos para visualizar as possibilidades de combinação
e as opções de representação;
b) as maiores dificuldades na realização do trabalho da proposta de transposição com os
seus alunos. Esse registro será um apoio para a discussão da transposição didática na
oficina.
Tarefa 2
Escreva aproximadamente dez linhas sobre a importância de trabalhar as idéias da mul-
tiplicação: tanto a adição de parcelas iguais, quanto o raciocínio combinatório. Ilustre o
seu texto com exemplos observados na produção dos alunos em sala de aula.
Tarefa 3
Faça uma releitura do Texto de Referência: “Etnomatemática”, e pense em como a Ma-
temática pode ser aplicada às Ciências Sociais, como proposto na situação-problema da
Seção 1. Registre as suas considerações.
Este material deverá ser entregue ao seu formador ao final da oficina.

199
Socializando o seu conhecimento
e experiências de sala de aula – Unidade 20
Serão desenvolvidos três itens:
• Rever e sintetizar por escrito as principais idéias tratadas na Unidade.
• Refletir sobre os desafios propostos na transposição didática, registrando-os por
escrito.
• Elaborar uma produção escrita a ser entregue ao formador na próxima Oficina, contendo
produções dos seus alunos.
Para tanto, você deverá preparar as três tarefas a seguir, para serem levadas à Oficina
e socializadas entre os colegas.
Tarefa 1
Faça uma síntese por escrito dos principais conceitos trabalhados na Unidade. Esse do-
cumento será para o seu uso pessoal durante a Oficina.
Tarefa 2
Organize uma lista contendo: a) o ponto mais interessante; e b) duas das maiores dificul-
dades encontradas na realização do trabalho da proposta de transposição com os seus
alunos. Esse documento será um apoio seu para a participação na Oficina, no que se
refere à parte da transposição didática.
Tarefa 3
a) Desenvolva com os seus alunos a situação-problema da largura do lago, se eles já
estiverem estudando congruência de triângulos, ou então a Atividade 14, que pode ser
aplicada a qualquer série (da 3a
a 8a
).
b) Organize, registre e catalogue em uma pasta as produções mais significativas de al-
guns dos seus alunos, obtidas no desenvolvimento do item a). Se puder, leve cartazes
ou materiais produzidos por eles. No caso da situação-problema, explique quais idéias
os alunos tiveram, se chegaram sozinhos à idéia dos triângulos congruentes ou se você
teve que introduzi-los. No caso dos quadriláteros produzidos com quatro canudos iguais,
explique se eles perceberam que, com quatro lados iguais, pode-se produzir losangos
ou quadrados; se perceberam que todo quadrado é um losango ou quais foram as outras
reações e observações que fizeram.
c) Escreva aproximadamente dez linhas sobre a importância para a aprendizagem mate-
mática dos seus alunos desta atividade desenvolvida; comente fatos ocorridos em sala e
outros observados na produção dos alunos.
Ao final da Oficina, entregue ao seu formador o material dos itens b) e c) da Tarefa 3.

SESSÃO COLETIVA
PARTE III
TEORIA E PRÁTICA 5

203
Sessão Coletiva 9
Unidade 17
Na Unidade 17, examinamos algumas formas de ajudar seus alunos a desenvolverem
métodos sistemáticos de contagem, utilizando o princípio multiplicativo e em especial,
envolvendo o diagrama de árvore como estratégia de contagem. Na Seção 3 – Trans-
posição Didática, discutimos algumas estratégias de trabalho para explorar este conte-
údo e conhecer as principais necessidades e dificuldades dos alunos na utilização do
princípio multiplicativo de contagem. Vimos que o campo conceitual multiplicativo
inclui as operações de iteratividade e de recursividade, que são importantes para o de-
senvolvimento de habilidades de contagem que não estejam simplesmente baseadas na
aplicação de fórmulas. Destacamos a importância do uso do diagrama de árvore para
ensinar o princípio multiplicativo e a validade dos desenhos para ilustrar e visualizar
este princípio.
Agora, nesta Sessão, será discutida a Unidade 17 e faremos uma introdução ao
estudo da Unidade 18.
A duração prevista para esta Sessão é de aproximadamente quatro horas, incluindo
um intervalo de dez minutos e uma reserva técnica de dez minutos. Ela deve se desen-
volver em três grandes momentos, conforme apresentados a seguir.
Parte A (80 minutos)
Na Unidade 16, na parte de “Socializando o seu Conhecimento e Experiências de Sala de
Aula” do TP4, foi proposto que o professor escolhesse uma situação-problema e a desen-
volvesse em sala de aula, com registro e sistematização de produções de alguns alunos.
Nesta parte da Sessão Coletiva, cada professor deve ter a oportunidade de socializar com
o grupo o relato e os produtos obtidos na experiência realizada, momento este em que
deverão ser socializadas as produções dos alunos, coletadas e organizadas conforme so-
licitado no “Socializando o seu conhecimento”.
Devem ser sorteados ou convidados alguns cursistas para começarem os relatos, de
preferência que tenham aplicado situações-problema distintas.
Em cada caso o cursista apresentador deve:
a) dizer ou ler, com todo o cuidado, qual das situações-problema ele desenvolveu em
sala de aula;
b) apresentar os materiais produzidos pelos alunos, com relação à tarefa proposta no
“Socializando o seu conhecimento” anterior.
Formador, recolha dos cursistas o material que eles trouxeram, incluindo dez linhas
sobre a importância, para a aprendizagem matemática de seus alunos, desta atividade
desenvolvida com comentários. Este é um instrumento que servirá para a avaliação dos
cursistas.

204
SessãoColetiva
Parte B (110 minutos)
Este momento é destinado à realização de uma atividade prática. As atividades propostas
a seguir foram também propostas no Caderno de Atividades de Apoio à Aprendizagem
referente à Unidade 17.
Atividade 1
Na lanchonete da escola, o cardápio é composto por:
Chocolate quente
Suco com água
Suco com leite
Refrigerante
Café
Esfirra
Pão de queijo
Coxinha
R$ 0,50
R$ 0,50
R$ 0,80
R$ 1,20
R$ 0,80
R$ 1,50
R$ 1,00
R$ 0,50
Bebidas Salgados
As crianças geralmente escolhem algo para beber e algo para comer. De quantos
modos diferentes eles podem pedir o seu lanche? Faça a contagem utilizando:
a) Um diagrama.
b) Uma tabela.
c) Uma árvore de possibilidades.
d) Dentre as formas de representar a contagem, qual você observou ser a mais adequada
para esta situação?
Atividade 2
A lanchonete da escola, durante a semana da criança, fez a seguinte promoção: a cada
lanche a criança poderia optar por levar como brinde um pirulito ou um tablete de amen-
doim.
a) De quantas formas diferentes eles podem montar o lanche com uma bebida, um salgado
e um dos brindes?
b) Escolha uma forma para representar as opções e justifique a sua escolha.

205
Parte C (30 minutos)
Conversando sobre a próxima Unidade.
Na Unidade 18, continuaremos o estudo iniciado na Unidade 17 sobre as formas
sistemáticas de contagem. Exploraremos, novamente, os métodos e o princípio fundamental
de contagem e o raciocínio combinatório, priorizando a utilização da tabela como uma
outra forma de representação do princípio multiplicativo.
Para começar a explorar o raciocínio combinatório usando uma outra forma de re-
presentação, tentem resolver a questão proposta na Atividade 8 da Unidade 17, só que,
desta vez, organizando os dados em uma tabela.
A Caminho de St. Ives
A caminho de St. Ives,
Encontrei um homem com sete esposas,
Cada esposa tinha sete sacos,
Cada saco tinha sete gatas,
Cada gata tinha sete filhotes,
Filhotes, gatas, sacos e esposas,
Quantos iam a caminho de St. Ives?
BOM TRABALHO!!!

206
SessãoColetiva
Sessão Coletiva 10
Unidade 19
Agora é o momento de discutir as suas dúvidas e dificuldades com os seus outros
colegas. As oficinas que acontecem quinzenalmente estão divididas em três partes:
Parte A - Discussão da situação-problema e dos tópicos de Matemática: é o momento de
apresentar aquelas idéias que não ficaram muito claras para você quando da resolução da
situação-problema. Você vai discutir e refletir sobre os tópicos de Matemática presentes
no TP, inseridos ou não, em novas situações. Enfim, discuta Matemática!
Parte B - Um dos objetivos do Gestar é o de possibilitar um novo olhar e novas formas
de conceber os conceitos e tópicos matemáticos. Por isso, todas as Unidades possuem a
Seção de Transposição Didática, ou seja, são sugestões de como levar as propostas mate-
máticas ou de Educação Matemática para a sala de aula. Aproveite a oficina para discutir
com os colegas as suas experiências quando realizou a transposição na sua sala. Quais
foram as dificuldades, descobertas e curiosidades?
Parte C - É hora de voltar ao trabalho. É preciso continuar pesquisando sobre o tema que
o TP trata. Então veja o que você encontrará pela frente nessa Sessão.
Parte A
Atividade 1
Algumas perguntas pra começar a nossa oficina: você sabe para que servem os números
primos? Por que estudamos e algumas vezes damos tanta ênfase a esse assunto? Será que
a sua aplicação está apenas no âmbito da própria matemática?
Quando você manda uma mensagem ou coloca uma senha de banco na Internet, você
sabia que são os números primos que garantem a sua segurança?
Não? Então, vamos por partes.
1) A criptografia trata-se do sistema que protege transações pela Internet. Criptografia
(kriptós = escondido, oculto; grápho = grafia): é a arte ou ciência de escrever em cifra ou
em códigos, de forma a permitir que somente o destinatário a decifre e a compreenda.
2) A codificação é feita usando números primos grandes que, mesmo com os computa-
dores atuais, levariam séculos para serem descobertos. Então, só quem tem a chave pode
codificá-lo. Números compostos por primos razoavelmente grandes podem proteger
sistemas de senhas, pois a tarefa de decompô-los empregando métodos braçais e mesmo
computacionais é quase impossível.
É de longa data o fascínio pelos números primos. O tema sempre instigou os ma-
temáticos.

207
Temos uma proposição célebre como a Conjectura de Goldbach de 1742:
Todo número par maior do que ou igual a 4 é a soma de dois números primos.
Vamos pensar sobre isso, então:
20 = 13 + 7 e 100 = 53 + 47.
a) Que outros números pares que são somas de dois números primos você é capaz de
encontrar?
b) Agora é a sua vez. Em grupo, encontre como seria a soma de dois números primos até
200. Use a calculadora!
Atividade 2
Apresente as suas soluções para os outros grupos. E pense no seguinte: a Conjectura de
Goldbach estava certa? Existem apenas dois pares de números primos que satisfazem a
conjectura?
Atividade 3
Dia desses, fazendo esta atividade em classe, um aluno gritou:
Quais são os dois números primos que formam 2000?
E, pelo material que usei de base, já esperava por essa pergunta. Então, respondi:
1997 + 3?
Ele ficou calado. Estava certa a afirmação?
Bom trabalho!

208
SessãoColetiva
Atividade 4
E na sua opinião, este problema seria resolvido sem a calculadora? Qual foi o papel da
calculadora? Além de facilitar os cálculos, ela levou o aluno a raciocinar? Anote as suas
impressões.
Parte B – Discussão da Transposição Didática
Atividade 5
Vamos retomar algumas das questões levantadas na Transposição Didática deste TP. O tema
que discutimos foi o uso de recursos computacionais como calculadora e computador.
Depois de você ter realizado as Atividades 17 e 18 com os seus alunos, quais foram
os resultados?
Atividade 6
Em duplas ou trios, criem uma atividade que utilize a calculadora em sala de aula. Depois
a socialize com os seus colegas.

209
Atividade 7
Na Atividade 19, foi proposta a seguinte situação:
... formule várias situações para serem realizadas com os seus alunos de 7a
e 8a
séries, as quais comecem a levá-los a resolver as equações quadráticas por fatoração. Se
você não for professor dessas séries, não fique de braços cruzados: pense em uma situação
em que você possa introduzir a solução de uma equação simples. O que acha de usar o
material manipulável da Atividade 12?
Apresente a sua proposta ao grupo de professores e discuta. Insira outras que achar
pertinente ao seu trabalho. Dê também sugestões para melhorar as outras atividades.
Parte C
Atividade 8
Vamos pensar agora em algumas situações:
a) O seu batimento cardíaco pode ser registrado em um eletrocardiógrafo. O gráfico é
chamado de eletrocardiograma. Que propriedade do eletrocardiograma indica, em sua
opinião, que o batimento é uniforme?

210
SessãoColetiva
b) A música Die zehn Gebote der Kuns tem uma construção peculiar. Do que se trata?
c) Você pode ver a imagem de uma ameba, que é muito pequena para ser vista a olho
nu, por meio de um microscópio. Então, pergunta-se:
No que essa imagem difere da original?
No que ela é igual?
Isso foi apenas um gostinho de como as isometrias e congruências estão presentes
no nosso dia-a-dia. Na próxima Unidade, você vai estudar mais sobre isso.
Bom trabalho!

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