Interseção de uma reta com Poliedros

GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
Interseção de retas com Sólidos
_com poliedros (Pirâmides e Prismas)
11º Ano
E@D

Interseção de uma Reta com um Sólido (Poliedros)
A interseção de uma reta com
um sólido tem por base o
estudo desenvolvido no tema
das Secções.
GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
V
C
B
A
X
Assim, a interseção de uma reta
com um poliedro (pirâmide) é o
segmento de reta [XY]. Ou seja,
os pontos designados por X e Y,
que correspondem aos pontos
de interseção da reta com o
sólido.
s
Y

Método geral para determinar a Interseção de uma Reta com um Sólido
GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
α
V
C
B
Q
A
P
R
Executa-se em três etapas, a saber:
1. conduz-se, pela reta, um
plano auxiliar;
2. determina-se a figura da
secção produzida pelo plano
auxiliar no sólido;
3. os pontos comuns à reta e à
figura da secção, designados
por X e Y são da esquerda
para a direita os pontos de
entrada e de saída reta no
sólido.
A figura ao lado mostra a aplicação
do método geral enunciado na
determinação dos pontos de
interseção de uma reta r com uma
pirâmide
r
X
Y

Interseção de uma Reta com um Sólido (Prismas)
GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
Interseção de uma reta com
pirâmide de base(s) regular(es)
situada(s) em plano(s)
horizontal(ais), frontal(ais) ou de
perfil.
Tratando-se de um poliedro, o
recurso a um dos planos
projetantes da reta simplifica a
resolução dos problemas, porque
a determinação de uma das
projeções da figura de secção é
imediata – nas figura(s) ao lado,
utilizou-se como auxiliar o plano
projetante frontal de cada reta.

Visibilidade e invisibilidade da reta
GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
Tomando como exemplo a imagem de
interseção de uma reta r com um
paralelepípedo. Uma observação
atenta da figura do paralelepípedo e
da figura da pirâmide permite
concluir:
O ponto X é visível e o ponto Y é invisível. Assim, para a esquerda do ponto X, a
reta r é visível. O segmento da reta compreendido entre o ponto Y e a aresta
[CC’] do contorno aparente do sólido é invisível pela interposição do sólido
– o segmento [XY] da reta, situando-
se no interior do sólido, é sempre
invisível;
Y
X
P
Q
R
S
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
r
α
– no exterior do sólido, a reta pode
apresentar, em relação ao observador,
outras invisibilidades provocadas pela
interposição do sólido entre a reta e o
observador.

Interseção de uma Reta com um Sólido (Pirâmides)
GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
X
Exercício_1
Determine as projeções dos pontos
X e Y, resultantes da interseção da
reta r com uma pirâmide triangular
reta de base regular, sabendo que:
– a base da pirâmide, [ABC]
pertence ao p.h.p.;
– o ponto O (0; 6; 0) é o centro da
circunferência com 4,5 de raio
que circunscreve a base;
– o vértice A, com –3 cm de
abcissa, é o de menor
afastamento da base;
– o vértice V da pirâmide tem 7
cm de cota;
– a reta r é definida pelo ponto P
(6; 3; 5) e pelo seu traço
horizontal, com –6 cm de
abcissa e 7 cm de afastamento.
O1
O2
V2
P2
P1
H2
H1
C1
A1
B1
C2 B2 A2
r1
r2
T2
T1
S1
S2
R2
R1
≡fθ
hθ
X2
Y2
X1
Y1
≡V1

GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
Exercício_2
É dada uma pirâmide triangular
oblíqua, situada no 1º Diedro e com a
base contida no P.F.P.
– A (0; 0; 0) e B (6; 0; 2) são dois
vértices do triângulo da base, que é
equilátero;
– o eixo da pirâmide é horizontal e faz
um ângulo de 60º (a.d.) com o
P.F.P.;
– a pirâmide tem 7 cm de altura;
– é dada uma reta r, oblíqua, contida
no β1.3. A reta é concorrente com o
eixo X num ponto com –5 de
abcissa e a sua projeção horizontal
é perpendicular ao eixo da
pirâmide.
Determine as projeções dos pontos E e
S, respetivamente os pontos de entrada
e de saída da reta no sólido.

GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
Determine os pontos de intersecção da reta r
com uma pirâmide pentagonal oblíqua existente
no 1º Diedro, sabendo que:
– a base da pirâmide é horizontal e tem 1 cm
de cota;
– o eixo da pirâmide é a reta e, paralela ao β2/4,
cuja projeção frontal faz, com o eixo X, um
ângulo de 60º (a.e.) e cujo traço horizontal
tem – 1de abcissa e 7 de afastamento;
– o raio da circunferência circunscrita à base é
3,5 cm e a face lateral mais à esquerda da
pirâmide existe num plano de perfil;
– a reta r é oblíqua e o seu traço frontal tem –
7 de abcissa e 1 cm de cota;
– a projeção horizontal de r é perpendicular à
projeção horizontal de e e a sua projeção
frontal faz um ângulo de 15º (a.e.) com o
eixo X.
Exercício_3

GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
Y
X
P
Q
R
S
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
r
α
Assim, a interseção de uma reta
com um poliedro (prisma) é o
segmento de reta [XY]. Ou seja,
os pontos comuns à reta e à
figura da secção, neste estudo
designados por X e Y, que
correspondem aos pontos de
interseção da reta com o
sólido.

GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
Interseção de uma reta com
prisma de base(s) regular(es)
situada(s) em plano(s)
horizontal(ais), frontal(ais) ou de
perfil.
Tratando-se de um poliedro, o
recurso a um dos planos
projetantes da reta simplifica a
resolução dos problemas, porque
a determinação de uma das
projeções da figura de secção é
imediata – nas figura(s) ao lado,
utilizou-se como auxiliar o plano
projetante frontal de cada reta.

GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
X
Exercício_1
Determine as projeções dos pontos X
e Y, resultantes da interseção da reta
horizontal h com um paralelepípedo
retângulo, sabendo que:
– os vértices A (1; 0; 2) e B (–5; 0; 8)
definem uma aresta da face
[ABCD] que pertence ao plano
frontal de projeção;
– as diagonais dessa face medem
10 cm;
– as arestas de topo do
paralelepípedo medem 6 cm;
– a reta h contém o ponto P (0; 4;
7) e faz um ângulo de 35º (a.d.)
com o p.f.p.
F1
(hϕ)
B1
h2
C1
A1
D1
G1
E1
H1
X1
Y1
P1
P2
≡X2
Y2
C2≡G2
B2
A2
H2≡D2
h1
≡(fν)
E2≡
≡F2
M2≡N2
N1
M1
P2≡Q2
P1
Q1

GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
X
Exercício_2
reta s com um prisma oblíquo de
bases quadradas frontais, sabendo
que:
– os pontos O (–2,5; 2; 3,5) e O’
(3; 8; 6,5) são os centros das
bases do prisma;
– o ponto A, com 1 cm de abcissa
e 3,5 cm de cota, é um dos
vértices da base de menor
afastamento;
– a reta s é definida pelo ponto S
(1; 4,5; 3,5) e pelo seu traço no
β2.4 com 5 cm de abcissa e 2 cm
de afastamento.
B2
C1
Y1
C2
s2
fθ
hθ
A1 O1≡B1≡D1
C’1
A’1 O’1≡B’1≡D’1
X1
S1
I1≡I2
A’2
B’2
O2
C’2
D’2
X2
A2≡S2
Y2
(hϕ)
(h’ϕ)
≡s1
O’2
D2

GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
X
Exercício_3
reta de perfil p com um cubo,
sabendo que:
– o cubo tem duas faces
horizontais, com 2 cm e 8 cm
de cota;
– o vértice A (2; 1; 2) é o de
menor afastamento da face
horizontal [ABCD];
– o vértice B tem –3 cm de
abcissa;
– a reta p é definida pelo ponto Q
(–1; 4; 4) e pelo seu traço
frontal com 10 cm de cota.

GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
X
Exercício_4
reta r com um prisma hexagonal
oblíquo de bases regulares
contidas em planos horizontais,
sabendo que:
– os vértices A (4; 0; 8) e D do β1.3
com 4 cm de abcissa, definem
uma diagonal maior da base
[ABCDEF] do prisma;
– o ponto O’ (–2; 5,5; 2) é o
centro da outra base do prisma;
– a reta r contém os pontos R (0;
–4; 2) e S (–2; 11; 7).
r1

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