Intersec rectas

GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Intersecções – Resumo © antónio de campos, 2010

INTERSECÇÃO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO

GENERALIDADES – Intersecção entre recta e plano Uma recta e um plano não paralelos intersectam-se num ponto. α f α h α I r x xz xy

INTERSECÇÃO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – geral 1 - Conduzir pela recta dada um plano auxiliar (em geral um plano projectante, mas não necessariamente) que contenha a recta dada; 2 - Determinar a recta de intersecção entre os dois planos. Esta recta e a recta dada são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar; 3 - O ponto de concorrência das duas rectas é o ponto de intersecção da recta dada com o plano dado. ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – recta com plano projectante Para um plano projectante horizontal, é no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, aonde se situa a projecção horizontal do ponto de intersecção. ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – recta projectante com plano não projectante Para um plano projectante horizontal, primeiro obtem-se no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, a projecção horizontal do ponto de intersecção. Depois é utilizada uma recta auxiliar qualquer, que contém o ponto de intersecção, para assim se obter a projecção frontal do ponto de intersecção.

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I , de uma recta oblíqua r (não projectante) com um plano oblíquo α (não projectante). α f α h α f α h α r 2 r 1 r 2 r 1 I I 2 I 1 f θ ≡ h θ r θ F H i 2 ≡ i 1 f θ ≡ h θ ≡ i 1 i i 2 1. Conduzir pela recta r um plano auxiliar vertical θ que contenha a recta r ; 2. Determinar a recta de intersecção i entre os dois planos. Esta recta i e a recta dada r são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar θ ; 3. O ponto de concorrência das duas rectas I é o ponto de intersecção da recta dada r com o plano dado α . x xz xy x F 2 F 1 H 2 H 1 I 2 I 1

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA PROJECTANTE COM UM PLANO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I , de uma recta de topo t (projectante frontal) com um plano vertical α (projectante horizontal). α f α h α h α f α t (t 2 ) t 1 t 1 (t 2 ) I I 1 ≡ I 2 ≡ I 2 É no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, aonde se situa a projecção horizontal do ponto de intersecção, dado ser um plano projectante horizontal. x xz xy x I 1

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I , de uma recta oblíqua r com um plano de topo θ (projectante frontal). θ f θ h θ r r 2 r 1 f θ h θ r 2 r 1 I 1 I 2 I É no cruzamento da projecção frontal da recta com o traço frontal do plano, aonde se situa a projecção frontal do ponto de intersecção, dado ser um plano projectante frontal. x xz xy x I 2 I 1

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I , de uma recta vertical v com um plano de rampa ρ (não projectante). ρ f ρ h ρ f ρ h ρ v 2 (v 1 ) v v 2 (v 1 ) I ≡ I 1 I 2 ≡ I 1 É utilizada uma recta auxiliar r qualquer, que contém o ponto I , para assim se obter a projecção frontal do ponto I . r 2 r 1 r r 1 r 2 H F x xz xy x H 2 H 1 F 2 F 1 I 2

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS

GENERALIDADES - Intersecção entre dois planos Dois planos não paralelos (planos secantes) intersectam-se numa recta, a recta comum a ambos os planos. α i δ x xz xy

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS ENTRE DOIS PLANOS – projectantes e não projectantes As projecções da recta de intersecção são coincidentes com as respectivas projectantes, quando a situação for projectante. A situação de não projectante implica a obtenção das projecções da recta de intersecção através dos traços da recta , localizados no cruzamento dos traços dos dois planos. ENTRE DOIS PLANOS – um projectante e o outro não definido pelos traços Uma das projecções da recta de intersecção é coincidente com as respectiva projectante; enquanto a outra é obtida pelos pontos de intersecção das rectas que definem um plano com o outro plano. ENTRE DOIS PLANOS – de rampa, passantes A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal . Através de um plano auxiliar projectante , obtem-se duas rectas complanares auxiliares, rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com o ponto coincidente das duas rectas a localizar a recta fronto-horizontal. ENTRE DOIS PLANOS – plano passante e plano projectante com ponto comum O ponto comum e o ponto que define o plano passante definem a recta de intersecção.

ENTRE DOIS PLANOS – oblíquos ou passantes com um ponto comum no eixo x Através de um plano auxiliar projectante , obtem-se duas rectas complanares auxiliares , rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com o ponto coincidente das duas rectas a localizar um dos pontos da recta de intersecção entre os dois planos dados. O outro ponto será o ponto comum para definir a recta de intersecção. ENTRE DOIS PLANOS – não definidos pelos seus traços Através de um plano auxiliar projectante , obtem-se quatro rectas complanares auxiliares , rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com os dois pontos coincidentes das quatro rectas a localizar a recta de intersecção.

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção entre um plano de topo θ (projectante frontal) e um plano vertical α (projectante horizontal). α f α h α h α f α i ≡ i 2 A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo θ (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). θ f θ h θ f θ h θ ≡ i 1 ≡ i 2 ≡ i 1 x xz xy x

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção entre um plano vertical α (projectante horizontal) e um plano oblíquo θ (não projectante). α f α h α i θ f θ h θ h α f α i 2 f θ h θ ≡ i 1 A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. A partir dos traços da recta i , é possível obter a sua projecção frontal. F H x xz xy x H 2 H 1 F 2 F 1

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS NÃO PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção entre dois planos oblíquos. α f α h α f α h α θ i f θ h θ f θ h θ H F i 1 i 2 Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. x xz xy x H 2 H 1 F 2 F 1

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo α (definido por duas rectas paralelas). (f υ ) r 2 r 1 s 1 s 2 i 1 ≡ i 2 υ (f υ ) r s α i R S Como o plano υ é projectante frontal, a projecção frontal da recta i é coincidente com o traço frontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas r e s com o plano υ , se obtem os pontos R e S , que permitem obter a projecção horizontal da recta i . x R 2 R 1 S 2 S 1 x xz xy

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS DE RAMPA Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção entre dois planos de rampa, ρ e σ . h σ h ρ f ρ f σ ρ f ρ h ρ i f σ h σ σ f α h α α f α h α A recta comum aos dois planos tem que ser uma recta fronto-horizontal, sendo assim já se conhece a orientação da recta i . Para obter a localização da recta, são necessárias duas rectas complanares auxiliares contidos num plano projectante auxiliar. F H a 2 ≡ a 1 a ≡ F’ 1 ≡ b 1 b 2 F’ H’ b I i 2 i 1 x x xz xy F 1 F 2 H 2 H 1 H’ 2 H’ 1 F’ 2 I 2 I 1

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS OBLÍQUOS COM UM PONTO COMUM SOBRE O EIXO X Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção entre dois planos oblíquos, α e δ , cujos traços são concorrentes entre si num ponto do eixo x , o ponto A . α f α h α f α h α f δ f δ h δ h δ A 1 ≡ A 2 A i Sendo o traço frontal e horizontal o mesmo ponto, o ponto A , é necessário obter um outro ponto comum aos dois planos para definir a recta i . Um plano horizontal auxiliar ν permite obter as rectas de intersecção do plano ν com os planos α e δ. (f ν ) (f ν ) F F’ I a b ≡ a 2 ≡ b 2 a 1 b 1 i 2 i 1 x xz xy x F 2 F 1 F’ 2 F’ 1 I 2 I 1

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano vertical α , concorrentes num ponto A . O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P . ≡ f ρ ≡ h ρ f α h α ρ ≡ f ρ ≡ h ρ P α A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). ≡ i 1 Através de uma recta auxiliar fronto-horizontal r , que pertence ao plano ρ , obtem-se o ponto de intersecção com a recta i , o ponto I . Como o ponto A pertence aos dois planos, a recta de intersecção está definida pelos pontos A e I . A r I r 1 r 2 i 2 i f α h α x P 2 P 1 x xz xy A 1 ≡ A 2 I 2 I 1

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO PROJECTANTE COM PONTO COMUM Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano vertical α , concorrentes num ponto A . O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P . O ponto P está contido no plano α . ρ ≡ f ρ ≡ h ρ P α A ≡ f ρ ≡ h ρ f α h α Nesta situação, a determinação da recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é imediata, pois o ponto P é um ponto comum aos dois planos. ≡ i 1 i 2 i f α h α x xz xy x A 1 ≡ A 2 P 2 P 1

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano oblíquo α , concorrentes num ponto A . O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P . ≡ f ρ ≡ h ρ A 1 ≡ A 2 É necessário utilizar um plano auxiliar frontal φ passando pelo ponto P , para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano ρ é uma recta fronto-horizontal. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano α é uma recta frontal. ρ ≡ f ρ ≡ h ρ P A a H α f α h α f α h α i (h φ ) φ b ≡ a 1 a 2 ≡ b 1 b 2 I A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I , que juntamente com o outro ponto comum aos dois planos ρ e α , permitem a definição da recta de intersecção i . i 1 i 2 x P 2 P 1 x xz xy H 2 H 1 I 2 I 1

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO DE RAMPA Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano de rampa σ . O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P . ρ f σ h σ f σ h σ σ ≡ f ρ ≡ h ρ P P 2 P 1 ≡ f ρ ≡ h ρ f α h α i F H α b a I É necessário utilizar um plano auxiliar vertical α passando pelo ponto P , para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A recta de intersecção i entre o plano ρ e o plano σ é uma recta fronto-horizontal. A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I , que permite a definição da recta de intersecção i . f α h α ≡ a 1 a 2 ≡ b 1 b 2 i 1 i 2 x xz xy x F 2 F 1 H 2 H 1 I 2 I 1

INTERSECÇÃO ENTRE PLANOS NÃO DEFINIDOS PELOS SEUS TRAÇOS Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção entre dois planos α e δ . O plano α está definido pelas rectas paralelas a e b . O plano δ está definido pelas rectas concorrentes r e s , concorrentes no ponto P . b 2 a 2 b 1 a 1 É necessário utilizar um plano auxiliar horizontal ν e determinar as rectas de intersecção entre os planos. A intersecção das rectas m e n vão definir o ponto I . A recta m é a recta de intersecção entre o plano ν e o plano α . A recta n é a recta de intersecção entre o plano ν e o plano δ . Para a definição da recta de intersecção i , será necessário um outro ponto I ’ , obtido utilizando outro plano auxiliar horizontal ν 1 e outras rectas de intersecção de planos. A recta m’ é a recta de intersecção entre o plano ν 1 e o plano α . A recta n’ é a recta de intersecção entre o plano ν 1 e o plano δ . (f ν ) s 2 r 2 s 1 r 1 ≡ m 2 m 1 ≡ n 2 n 1 (f ν 1 ) ≡ m’ 2 m’ 1 ≡ n’ 2 n’ 1 i 1 i 2 x P 2 P 1 A 2 A 1 B 2 B 1 R 2 R 1 S 2 S 1 I 2 I 1 A’ 2 A’ 1 R’ 2 R’ 1 I’ 2 I’ 1

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO E UM BISSECTOR

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO E UM BISSECTOR ENTRE PLANO E BISSECTOR – definido por duas rectas Os traços nos bissectores das duas rectas definem as projecções da recta de intersecção. ENTRE PLANO OBLÍQUO OU DE RAMPA E BISSECTOR – definido pelos seus traços Uma recta auxiliar do plano dado localiza o traço da recta no bissector, que juntamente com ponto do plano no eixo x definem a as projecções da recta de intersecção. ENTRE PLANO PROJECTANTE E BISSECTOR – definido pelos seus traços A projecção homónima com a projectante resulta em projecção coincidente . A outra projecção será simétrica ou coincidente à primeira projecção, consoante o bissector é o β 1,3 ou o β 2,4 .

INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β 1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção de um plano θ com o β 1,3 . O plano θ é definido por duas rectas paralelas. r 2 s 2 s 1 r 1 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β 1,3 , é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β 1,3 . Os traços das duas rectas situados no β 1,3 , Q e Q ’ , são dois pontos que pertencem aos dois planos. i 1 i 2 x Q 2 Q 1 Q’ 2 Q’ 1

INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β 2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção de um plano θ com o β 2,4 . O plano θ é definido por duas rectas paralelas. r 2 s 2 s 1 r 1 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β 2,4 , é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β 2,4 . Os traços das duas rectas situados no β 1,3 , I e I ’ , são dois pontos que pertencem aos dois planos. i 1 ≡ i 2 x I 1 ≡ I 2 I’ 1 ≡ I’ 2

INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β 1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β 1,3 . O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A . f α h α A 1 ≡ A 2 Para definir a recta de intersecção do plano α com o β 1,3 , é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β 1,3 . Como o β 1,3 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α , é possível obter o traço da recta no β 1,3 , o ponto Q , que será o outro ponto da recta de intersecção. h 2 h 1 i 1 i 2 x F 2 F 1 Q 2 Q 1

INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β 2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β 2,4 . O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A . f α h α A 1 ≡ A 2 Para definir a recta de intersecção do plano α com o β 2,4 , é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β 2,4 . Como o β 2,4 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α , é possível obter o traço da recta no β 2,4 , o ponto I , que será o outro ponto da recta de intersecção. r 1 r 2 i 1 ≡ i 2 x H 2 H 1 F 2 F 1 I 1 ≡ I 2

INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA (definido pelos seus traços) COM O β 1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção de um plano de rampa ρ com o β 1,3 . h ρ f ρ A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector. Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β 1,3 , é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β 1,3 . Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ , é possível obter o traço da recta no β 1,3 , o ponto Q , que será um ponto da recta de intersecção. r 1 r 2 i 1 i 2 x H 2 H 1 F 2 F 1 Q 2 Q 1

INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA (definido pelos seus traços) COM O β 2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção de um plano de rampa ρ com o β 2,4 . h ρ f ρ A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector. Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β 2,4 , é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β 2,4 . Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ , é possível obter o traço da recta no β 2,4 , o ponto I , que será um ponto da recta de intersecção. r 1 i 1 ≡ i 2 r 2 x H 2 H 1 F 2 F 1 I 1 ≡ I 2

INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β 1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção de um plano de topo δ com o β 1,3 . f δ h δ A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β 1,3 , tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo x , a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o β 1,3 será simétrica com a sua projecção frontal em relação ao eixo x . ≡ i 2 i 1 x

INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β 2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i , recta de intersecção de um plano de topo δ com o β 2,4 . h δ f δ A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β 2,4 , tem as suas projecções coincidentes, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o β 1,3 será coincidente com a sua projecção frontal. ≡ i 1 ≡ i 2 x

INTERSECÇÃO ENTRE TRÊS PLANOS

INTERSECÇÃO ENTRE TRÊS PLANOS ENTRE TRÊS PLANOS – primeira possibilidade Primeiro é obtido a recta de intersecção entre dois planos dados. A seguir é obtido a recta de intersecção entre outros dois planos dados. O ponto de intersecção entra as rectas obtidas será a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados. ENTRE TRÊS PLANOS – segunda possibilidade Primeiro é obtido a recta de intersecção entre dois planos dados. A seguir é obtido a recta de intersecção entre outros dois planos dados. As rectas obtidas são de facto uma única recta , que será também a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados.

INTERSECÇÃO DE TRÊS PLANOS – Primeira possibilidade O estudo que se segue trata de planos com uma intersecção própria, seja um ponto próprio ou uma recta própria. Pretendem-se a figura geométrica resultante da intersecção de três planos: o plano de rampa ρ , o plano oblíquo α e o plano horizontal ν . (f ν ) f ρ h ρ f α h α Primeiro é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano ν , a recta i . A seguir é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano ρ , a recta i’ . O ponto I será o ponto de intersecção entra as rectas i e i’ , e será também a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados. ≡ i 2 i 1 i’ 1 i’ 2 x F 2 F 1 F’ 2 F’ 1 H’ 2 H’ 1 I 2 I 1

INTERSECÇÃO DE TRÊS PLANOS – Segunda possibilidade Pretendem-se a figura geométrica resultante da intersecção de três planos: o plano de rampa ρ , o plano oblíquo α e o plano vertical δ . h ρ f ρ h α f α f δ h δ Primeiro é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano ρ , a recta i . A seguir é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano δ , a recta i’ . As rectas i e i’ são de facto uma única recta, que será também a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados. ≡ i 1 i 2 ≡ H’ 1 ≡ H’ 2 ≡ F’ 1 ≡ F’ 2 ≡ i’ 1 ≡ i’ 2 x H 2 H 1 F 2 F 1

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