Mat numeros primos
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1) O documento apresenta números primos identificados em laranja entre 0 e 100. 2) Um número primo tem exatamente dois divisores naturais distintos. 3) Os números primos entre 0 e 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Mat numeros primos
- 1. NÚMEROS PRIMOS: Um número primo é um número natural com exatamente dois divisores naturais distintos. Na tabela abaixo, temos números primos identificados na cor LARANJA entre o número LARANJA zero ( 0 ) e o número cem (100 ): NÚMEROS PRIMOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Figura 1: tabela dos números primos entre zero e cem. Representação do CONJUNTO dos números primos entre zero (0) e cem (100): P={ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 } Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série 1
- 2. Decomposição em fatores primos 1 Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores fatores. Decomposição do número 24 num produto: 24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3 No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3. De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos. • Regra prática para a fatoração Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo: 1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessi sucessivamente até obter o quociente 1. er A figura 2 ao lado mostra a fatoração do número 630. Figura 2: fatoração do número 630 : Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 32 x 5 x 7. 1 http://www.somatematica.com.br/fundam/decomp.php Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série 2
- 3. Máximo divisor comum de dois ou mais números Dados dois números inteiros a e b diferentes de zero, define-se o máximo divisor comum - MDC, como sendo o maior inteiro que divide simultaneamente a e b. O MDC de dois números será indicado por MDC (a, b). Exemplos: 1 - Determine o MDC dos inteiros 10 e 14. Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10. Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14. Os divisores comuns, são, portanto: 1 e 2. Portanto, o máximo divisor comum é igual a 2 e, indicamos: MDC(10,14) = 2. 2 - Determine MDC (4, 10, 14, 60) Os divisores positivos de 4 são: 1, 2, 4 Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10 Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14 Os divisores positivos de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Os divisores comuns são, portanto: 1 e 2. Portanto o máximo divisor comum é igual a 2, ou seja: MDC (4, 10, 14, 60) = 2 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série 3
- 4. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA - Um número inteiro positivo P ¹ é denominado número primo, se e somente se os seus divisores positivos são 1 e p. Sabe-se que o conjunto dos números primos é um conjunto infinito. - Todo número inteiro maior do que 1, que não é primo, pode ser decomposto num produto único de fatores primos. Esta afirmação é conhecida como o Teorema Fundamental da Aritmética - TFA. Para melhor entendimento do que lhe foi apresentado, veja os exemplos a seguir: • 15 = 5.3 • 40 = 5.8 = 5.2.2.2 = 5.23 • 120 = 40.3 = 5.2.2.2.3 = 5.23.3 • 240 = 2.120 = 2.5.2.2.2.3 = 5.24.3 Na prática, usamos uma forma mais fácil de calcular, veja como podemos fazer com o número 240: 240 2 120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1 240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5 A decomposição de um número em fatores primos é conhecida também como fatoração, já que o número é decomposto em fatores de uma multiplicação. Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série 4
- 5. O método de decomposição de um número num produto de fatores primos sugere uma nova forma para o cálculo do MDC de dois números inteiros não nulos, a e b, ou seja, para o cálculo de MDC (a,b). Para calcularmos o MDC de 408 e 240,vamos decompor os dois números: • 408 = 2.2.2.3.17 = 23.3.17 • 240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5 Tomando os fatores comuns elevados aos menores expoentes: MDC (408, 240) = 23.3 = 8.3 = 24, que é o MDC procurado. Portanto, MDC (408, 240) = 24. O MDC acima poderia ser também determinado pelo método das divisões sucessivas, cujo dispositivo prático é mostrado a seguir: 1 1 2 3 408 | 240 | 168 | 72 | 24 168 | 72| 24| 0 Para entender o dispositivo prático acima, basta observar que: • 408:240 = 1 com resto 168 • 240:168 = 1 com resto 72 • 168:72 = 2 com resto 24 • 72:24 = 3 com resto zero. Portanto o MDC procurado é igual a 24, conforme já tínhamos visto antes. Para fixar o aprendizado, vamos realizar os exercícios a seguir: Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série 5
- 6. Exercícios de fixação: I. Responda as perguntas a seguir: 1. O que são números primos? _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ 2. Represente os números primos entre ZERO e CEM: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 3. O que é a fatoração de um número natural? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 4. O que é máximo divisor comum? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 5. O que diz o teorema fundamental da aritmética? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série 6
- 7. II. Fatorar os números a seguir: Cálculos: 1) 240 = 2) 450 = 3) 375 = 4) 981 = 5) 2250 = 6) 125 = 7) 136 = III. Calcule o máximo divisor comum entre os números 408 e 240: Cálculo: Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série 7
- 8. Bibliografia CASTRO, Alfredo e MULLER, Armando. Matemática Vol.1. Porto Alegre: Editora Movimento, 1981. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. SCHEIDMANDEL, Nilo Alberto. Organizador. Chapecó, 2008. Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série 8