Mat77a
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O documento discute conceitos de aumentos, descontos, juros e taxas. Exemplos mostram como calcular percentuais de aumento, desconto e taxas de juros embutidas em diferentes situações como compras, empréstimos e salários. A fórmula para cálculo de juros é apresentada. A diferença entre juros simples e compostos é explicada. Por fim, exemplos ilustram cálculos de aumentos e descontos sucessivos.
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- 1. A UA U L A L A 77 77 Aumentos e descontos sucessivos Introdução N a Aula 39, estudamos o que é lucro e prejuízo. Na aula de hoje, estudaremos os juros, as taxas, os aumentos e os descontos que fazem parte de nosso cotidiano. Nossa aula Veja alguns exemplos: EXEMPLO 1 Ao comprar uma mercadoria de R$ 40,00, o dono da loja me concedeu um desconto de R$ 5,00. Qual foi o percentual relativo a esse desconto? 5 1 A proporção entre o desconto e o preço inicial é de 40 ou 8 . Para sabermos o percentual, calculamos uma fração equivalente a essa pro- porção, cujo denominador seja 100. Sendo x o percentual, temos: x 1 100 = ® x= _ = 12, 5 100 8 8 Assim, concluímos que o desconto foi de 12,5%. EXEMPLO 2 O salário de uma pessoa passou de R$ 70,00 para R$ 100,00. Qual o foi o percentual do aumento? Como o aumento foi de R$ 30,00, a proporção entre o aumento e o salário 30 3 era de 70 = 7 . Sendo x o percentual, temos: x 3 = ® 7x = 300 ® x = 42, 85 _ _ 100 7 Portanto, o aumento foi de aproximadamente 42,85%. Observação: A proporção ou o percentual que representa o aumento são chamados de taxa de aumento. Assim, no exemplo acima, a taxa de aumento foi 3 de 7 ou 42,85%.
- 2. EXEMPLO 3 A U L A Oferecendo um desconto de 20% para pagamento à vista, a quanto sairia um artigo cujo preço é R$ 48,00? 77 Desconto de 20% sobre o preço = 20% de 48,00 = 0,20 x 48 = 9,6 Logo, o preço à vista seria de: R$ 48,00 - R$ 9,60 = R$ 38,40 Juros De modo geral, os juros são expressos como uma porcentagem, que é chamada taxa de juros. Assim, há os juros que correspondem à compra de uma mercadoria a prazo, ao atraso de uma conta, ao empréstimo de dinheiro etc. Observe: EXEMPLO 4 Pedro comprou um eletrodoméstico por R$ 100,00 e pretende pagá-lo em quatro prestações iguais. Consultando uma tabela, o vendedor diz que cada uma das prestações sairá por R$ 37,00. Qual o valor da taxa de juros embutida na compra? Sabendo que R$ 37,00 x 4 = R$ 148,00, temos um aumento de R$ 48,00 sobre o preço à vista, ou seja, um aumento de 48%. Dividindo esse percentual por meses, temos 48 : 4 = 12 Portanto, a taxa de juros foi de 12% ao mês. Nesse exemplo os juros são todos iguais porque foram calculados sobre o mesmo valor (R$ 100,00). EXEMPLO 5 Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 500,00 reais para pagar ao fim de quatro meses. O banco cobra uma taxa de juros de 18% ao mês. Qual será o total da quantia a ser paga por essa pessoa ao final desse período? Juros por mês: R$ 500,00 x 0,18 = R$ 90,00 Total de juros: R$ 500,00 x 0,18 x 4 = R$ 360,00 Total devolvido ao banco: R$ 500,00 + R$ 360,00 = R$ 860,00 Assim, o total da quantia a ser paga por essa pessoa será de R$ 860,00.
- 3. A U L A Dando nome aos bois 77 Capital é uma determinada quantia de dinheiro, tomada por empréstimo. Montante é o total a ser pago por essa quantia. No exemplo anterior, o capital foi de R$ 500,00 e o montante foi de R$ 860,00. Há uma fórmula matemática para o cálculo dos juros, que pode ser expressa por: J=C . i . t onde: J = juros C = capital i = taxa de juros t = tempo O montante é a soma do capital com os juros calculado: M=C+J Os juros compostos Os juros usados no Mercado Financeiro são os chamados juros compostos. Observe o exemplo: EXEMPLO 6 Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 200,00 reais, a juros de 10% ao mês. Ao final de um mês, essa pessoa deverá o montante de: J = R$ 200,00 x 0,10 x 1 = R$ 20,00 M = R$ 200,00 : 20 = R$ 220,00 Se essa dívida for adiada por mais um mês, haverá um novo acréscimo. Veja: J = R$ 220,00 x 0,10 x 1 = R$ 22,00 M = R$ 220,00 + 22 = R$ 244,00 Esse tipo de juro, calculado ao fim de cada período sobre o montante
- 4. anterior, é chamado de juro composto. A U L A Aumentos e descontos sucessivos Imagine que um produto sofra dois aumentos sucessivos de 20% e 30%. 77 Qual será a taxa de aumento? Muita gente pensa que esse aumento pode ser calculado pela soma dos percentuais (30% + 20% = 50%); no entanto, esse raciocínio é incorreto. Veja o cálculo correto para essa questão: Vamos imaginar um produto que custa R$ 100,00 (podemos comparar com o preço igual a 100, pois é o mesmo que comparar com a unidade); como o primeiro aumento é de 20% sobre R$ 100,00 (0,20 x R$ 100,00 = R$ 20,00), temos um montante de R$ 120,00. Sabendo que o segundo aumento é de 30% sobre R$ 120,00 (0,30 x R$ 120,00 = R$ 36,00), o preço do produto é elevado a R$ 120,00 + R$ 36,00 = R$ 156,00. Portanto, o aumento é de R$ 56,00 sobre um preço de R$ 100,00. E a taxa 56 total é de 100 = 0,56 = 56%. Vejamos outros exemplos: EXEMPLO 7 O preço de um artigo sofreu dois descontos sucessivos de 15% e 12%. Qual foi a taxa total de descontos? Já vimos que podemos comparar o preço do artigo com o valor de R$ 100,00. Com o desconto de 15% sobre R$ 100,00 (0,15 x R$ 100,00 = R$ 15,00), o artigo passa a custar R$ 85,00. Com o segundo desconto é de 12% sobre R$ 85,00 (0,12 x R$ 85,00 = 10,20), o preço do artigo vai para R$ 74,80. Sabendo que o 25· 20 desconto foi de 100 = 0,252%. Veja que o preço do artigo passou de 100 reais a 74,80, sofrendo um desconto total de 100 - 74,80 = 25,20. EXEMPLO 2 Sabendo que um produto em promoção é vendido com 20% de desconto, qual será a porcentagem de aumento com relação ao preço normal? Desconto: 20% sobre 100 = 0,20 x R$ 100,00 = R$ 20,00 Portanto, o produto é vendido a um preço promocional de: R$ 100,00 - R$ 20,00 = R$ 80,00 Para retornar ao preço inicial ele deve ter um aumento de R$ 20,00 sobre o 20 1 valor de R$ 80,00. Ou seja: 80 = 4 = 0,25.
- 5. A U L A Assim, a taxa de aumento deverá ser de 25%. À vista ou a prazo 77 Muitas lojas costumam atrair os consumidores com promoções do tipo: 20% DE DESCONTO À VISTA OU EM DUAS VEZES SEM ACRÉSCIMO No caso de um artigo que custa R$ 100,00, vejamos as opções oferecidas: À vista com 20% de desconto: R$ 100,00 x 0,20 = R$ 20,00 R$ 100,00 - R$ 20,00 = R$ 80,00 O artigo sairá por R$ 80,00. Em duas vezes sem acréscimo: 100 : 2 = R$ 50,00 O artigo sairá por duas prestações de R$ 50,00, cada. Qual a porcentagem da taxa de juros embutida no preço do artigo? Como a diferença entre o pagamento à vista e a prazo è de R$ 20,00, temos: R$20, 00 1 = = 0, 25 R$80, 00 4 Portanto, a taxa de juros embutida no preço é de 25%.
- 6. Exercícios A U L A Exercício 1 Ao vender um objeto por R$ 90,00, uma pessoa obteve um lucro de 20%. Quanto deve ter lhe custado esse objeto? 77 Exercício 2 Os funcionários de uma empresa foram agrupados em três faixas etárias (A, B e C), que correspondem, respectivamente, às idades de 18 a 25 anos, de 25 a 35 anos e acima de 35 anos. O gráfico abaixo indica o total de funcionários em cada faixa etária. Indique a afirmação errada: a) B tem 50% a mais que A. b) A tem 50% a mais que C. c) B tem 200% a mais que C. d) C tem 50% a menos que A. e) A tem 50% a menos que B e C juntos. Exercício 3 Qual o aumento total correspondente a dois aumentos sucessivos de 20% e 30%? Exercício 4 Sabendo que o salário de Pedro passou para R$ 450,00, após um reajuste de 70%, responda: qual era o salário de Pedro antes do aumento?