Pf2n3 2012

Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.
INSTRUÇÕES
1. Verifique se os dados da etiqueta desta prova estão corretos. Caso
as informações não estejam corretas, comunique o erro ao aplicador
imediatamente.
2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro acima.
Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em cada quadradinho
e deixando um espaço em branco entre cada palavra.
3. Lembre-se de assinar o quadro acima e a lista de presença.
4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.
5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a sala de prova 45
minutosapósoiníciodaprova.Aoterminaraprova,entregue-aaoaplicador.
6. A solução de cada questão deve ser escrita na página reservada para
ela, de maneira organizada e legível. Evite escrever as soluções na
folha de rascunho.
7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você
apresentar. Tente resolver o maior número possível de itens de todas
as questões.
8. Respostas sem justificativas não serão consideradas na correção.
9. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou
qualquer fonte de consulta.
10. Não é permitido comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador.
11. Não escreva nos espaços sombreados.
Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que contamos
agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja
um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática.
Um abraço da Equipe da OBMEP!
Assinatura
Nome completo do aluno
Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº)
Complemento
CEPCidade UF
TelefoneDDD
Bairro
Telefone (outro)DDD
Endereço eletrônico (email)
Correção
Regional
1
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2
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3
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4
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Regional
5 6
Correção
Regional
Total
Correção
Nacional
1
Correção
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2
Correção
Nacional
3
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4
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Nacional
5
Correção
Nacional
6
Correção
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Total
Correção Regional
Correção Nacional
Correção
Regional
3
Nível
Ensino Médio
2ª FASE – 15 de setembro de 2012
SBM
Preencha
e confira
os dados
acima com
muita atenção!

NÍVEL 3 Respostas sem justiﬁcativa não serão consideradas
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1. Uma empresa fabrica painéis luminosos retangulares divididos em quadrados de 1
metro de lado. No centro de cada quadrado é colocada uma lâmpada vermelha e nos
vértices dos quadrados são colocadas lâmpadas azuis. A ﬁgura ao lado mostra que um
painel de 2 metros por 3 metros tem 6 lâmpadas vermelhas e 12 azuis, das quais 10 estão
em sua borda.
2
c) Quantas lâmpadas estão na borda de um painel no qual foram colocadas 72 lâmpadas vermelhas e 90 azuis?
b) Quantas lâmpadas azuis há em um painel de 5 metros por 8 metros?
a) Quantas lâmpadas vermelhas há em um painel de 5 metros por 8 metros?

NÍVEL 3Respostas sem justificativa não serão consideradas
3
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2. Uma contaminação em um tabuleiro 5 5× , formado por quadrados de 1 cm de lado, propaga-se em estágios de acordo
com as seguintes regras:
• quadrados contaminados, indicados em cinza, permanecem contaminados no estágio seguinte;
• um quadrado não contaminado, indicado em branco, torna-se contaminado no estágio seguinte quando tem pelo
menos dois lados comuns com quadrados contaminados; caso contrário, permanece não contaminado;
• a contaminação acaba quando não é possível contaminar novos quadrados.
Correção
Regional
Correção
Nacional
O perímetro de contaminação de um estágio é a medida do contorno da área contaminada. Por exemplo, os perímetros de
contaminação do primeiro e do segundo estágios da contaminação ilustrada são 24 cm e 20 cm, respectivamente, como
mostram as linhas em destaque na figura do item a.
e) Explique por que não é possível contaminar todo o tabuleiro a partir de um estágio com menos de 5 quadrados
contaminados.
d) Explique por que o perímetro de contaminação nunca aumenta de um estágio para o seguinte.
c) Desenhe um estágio com apenas 5 quadrados contaminados tal que, ao final da contaminação, todo o tabuleiro fique
contaminado.
Correção
Regional
Correção
Nacional
b) Escreva os perímetros de contaminação do terceiro e do último estágios da contaminação do item a.
a) Complete a figura abaixo, desenhando o terceiro e o último estágios da contaminação nos respectivos tabuleiros.
1º estágio 2º estágio 3º estágio último estágio

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Nacional
3. Juca quer pintar os algarismos do número 2013, como na ﬁgura ao lado, de modo que cada
região seja pintada com uma das cores branca, cinza ou preta e que regiões vizinhas tenham
cores diferentes.
c) De quantas maneiras diferentes Juca pode pintar o algarismo 0?
b) De quantas maneiras diferentes Juca pode pintar o algarismo 3?
a) Observe que Juca pode pintar o algarismo 2 de 3 2 2× × maneiras diferentes. De quantas
maneiras diferentes ele pode pintar o algarismo 1?
Correção
Regional
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d) Escreva uma expressão numérica que permita calcular de quantas maneiras Juca pode pintar o número 2013.

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4. Na ﬁgura ao lado, as retas r e s são paralelas. O segmento AB é perpendicular a essas
retas e o ponto P, nesse segmento, é tal que 2AP = e 1BP = . O ponto X pertence à reta
r e a medida do segmento BX é indicada por x. O ponto Y pertence à reta s e o triângulo
XPY é retângulo em P.
5
d) Determine o valor de x para o qual a área do triângulo XPY é mínima e calcule o valor dessa área.
c) Para quais valores de x a área do triângulo XPY é igual a
5
2
?
Correção
Regional
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Nacional
b) Calcule a área do triângulo XPY em função de x.
a) Explique por que os triângulos PAY e XBP são semelhantes.

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Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
TOTAL
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
5. Em uma caixa há 9 bolas amarelas numeradas de 1 a 9 e, em uma segunda caixa, há 9 bolas brancas, também
numeradas de 1 a 9. Todas as bolas são idênticas, exceto por sua cor e seu número. Uma bola amarela é sorteada e
colocada na segunda caixa; a seguir, uma bola é sorteada da segunda caixa.
6
b) Qual é a probabilidade de que as duas bolas sorteadas tenham o mesmo número?
c) Qual é a probabilidade de que a bola sorteada da segunda caixa tenha o número 1?
a) Qual é a probabilidade de que a bola sorteada da segunda caixa seja amarela?

Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
TOTAL
Correção
Regional
Correção
Nacional
6. Uma pista de ciclismo é formada por duas circunferências tangentes. O
comprimento da maior é 4000 m e o da menor é 2000 m; os pontos marcados
dividem cada circunferência em quatro arcos iguais. Dois ciclistas percorrem
esse circuito com velocidade constante, no sentido das setas, e trocam de
circunferência ao passar por A. Cada um deles percorre a circunferência menor
em 8 minutos.
Correção
Regional
Correção
Nacional
7
c) Dizemos que a distância (d) entre os ciclistas é o comprimento do menor caminho entre eles ao longo da pista,
independente do sentido do percurso. Por exemplo, se os ciclistas estão nos pontos G e D, a distância entre eles é
1500 m, correspondente aos arcos GA e AD. Suponha que os ciclistas partam ao mesmo tempo dos pontos G e D e
esboce o gráﬁco da distância entre os ciclistas, em função do tempo, até que eles retornem aos seus pontos de partida.
b) Suponha que os ciclistas partam ao mesmo tempo e se encontrem 20 minutos após a partida. Quais foram seus pontos
de partida?
a) Suponha que os ciclistas partam ao mesmo tempo dos pontos B e D. Quanto
tempo após a partida eles se encontram pela primeira vez?

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