Sf2n1 2011
- 1. OBMEP 2011 – 2 a Fase Soluções– Nível 1 1 Questão 1 – Solução a) Primeiro multiplicamos os algarismos de 79, obtendo7 × 9 = 63, e depois somamos os algarismos desse produto, obtendo 6 + 3 = 9. Logo o transformado de é 79 é 9. b) A brincadeira de Cláudia tem duas etapas: a primeira, na qual ela multiplica os algarismos, e a segunda, na qual ela soma os algarismos do produto encontrado, no caso de esse produto ter mais de um algarismo. Para que 3 seja obtido como o transformado de um número na primeira etapa, esse número só pode ser 13 ou 31. Para que 3 seja obtido como o transformado de um número na segunda etapa, o resultado da primeira etapa deve ser um número de dois algarismos cuja soma seja 3, ou seja, deve ser 12, 21 ou 30. A tabela abaixo mostra todos os números de dois algarismos cujo produto é um desses três números. 12 26, 62, 34, 43 21 37, 73 30 56, 65 Assim, os números 13, 31,26, 62, 34, 43, 37, 73,56 e 65 são os únicos números de dois dígitos cujo transformado é 3. c) 1a solução: Na segunda etapa da brincadeira temos uma soma de algarismos, que é sempre diferente de 0; portanto, 0 nunca será obtido como transformado de um número de três algarismos nessa etapa. Para se obter 0 como transformado de algum número de três algarismos na primeira etapa, esse número deve ter 0 como algarismo das unidades, das dezenas ou de ambas. Os números de três algarismos que tem 0 tanto nas unidades quanto nas dezenas são 100, 200,...,900, num total de 9. Os números que tem 0 apenas nas unidades são da forma XY0, onde X e Y representam algarismos de 1 a 9; há 9 × 9 = 81 números desse tipo, e o mesmo raciocínio mostra que há 81 números de três algarismos com 0 apenas no algarismo das dezenas. No total, há 9 + 81+ 81= 171 números de três algarismos cujo transformado é 0. 2a solução: Como na solução acima, concluímos que o 0 deve aparecer na casa das unidades, das dezenas ou em ambas. O algarismo das centenas pode ser qualquer algarismo de 1 a 9. Depois de escolhido esse algarismo, pode-se escolher os algarismos das dezenas e das unidades de 19 maneiras diferentes; por exemplo, 100, 101, 102,..., 109, 110, 120, ..., 190 são as 19 possibilidades com o 1 na primeira posição. Logo o total procurado é . 3a solução: Como na solução acima, concluímos que o 0 deve aparecer na casa das unidades, das dezenas ou ambas. Há 90 números com 0 nas unidades e 90 com 0 nas dezenas, bem como 9 que tem 0 tanto nas dezenas quanto nas unidades. No total, há números de três algarismos cujo transformado é 0. 9 ×19 = 171 90 + 90 − 9 = 171
- 2. OBMEP 2011 – 2 a Fase Soluções– Nível 1 2 Questão 2 – Solução a) Juquinha, ao marcar cinco pontos sobre uma circunferência e traçar todas as ligações possíveis, sempre obtém cinco pontos-pares, pois cada ponto está ligado aos outros quatro pontos restantes. Retirando qualquer uma dessas ligações, dois desses cinco pontos-pares passam a ser pontos-ímpares. Logo, ao marcar cinco pontos sobre uma circunferência e fazer todas as ligações possíveis, exceto uma, Juquinha obtém 2 pontos-ímpares e 3 pontos-pares.. b) Na figura abaixo mostramos duas maneirasde obter 0, 2, 4 e 6 pontos-ímpares (assinalados com ×) com exatamente cinco conexões. c) Antes de Juquinha começar a fazer ligações, todos os pontos são pares, pois 0 é par. Vamos agora pensar emJuquinha desenhando as ligações uma a uma. Quando ele desenha a primeira, os dois pontos ligados passam a ser ímpares. A partir daí, cada nova ligação pode • ligar dois pontos pares: nesse caso, esses pontos tornam-se ímpares e o número de pontos ímpares aumenta de dois; ou • ligar dois pontos ímpares: nesse caso, esses pontos tornam-se pares e o número de pontos ímpares diminui de dois; ou • ligar um ponto par a um ponto ímpar: nesse caso, o ponto par torna-se ímpar, o ponto ímpar torna-separ e o número de pontos ímpares continua o mesmo. Em resumo, a cada nova ligação o número de pontos ímpares aumenta ou diminui de dois ou então permanece o mesmo. Como o número inicial de pontos ímpares é 0, que é par, segue que o número de pontos ímpares é sempre par, independentemente do número de pontos iniciais e do número de ligações Uma solução perfeitamente análoga parte de um desenho pronto, retirando as ligações uma a uma. 2a solução: suponhamos que Juquinha tenha acabado de desenhar a figura. Para cada vértice, contamos a quantos outros vértices ele está ligado e somamos todos esses números. Essa soma é par; de fato, como cada ligação conecta dois vértices, essa soma é duas vezes o números de ligações. Cada vértice par contribui com uma parcela par e cada vértice ímpar com uma parcela ímpar para essa soma; como a soma é par, o número de parcelas ímpares deve ser par, ou seja, o número de vértices ímpares é par.
- 3. OBMEP 2011 – 2 a Fase Soluções– Nível 1 3 Questão 3 – Solução a) Como o quadrado formado com os três retângulos recortados da primeira tira tem área 36 cm2 , seu lado mede 6cm. Logo o comprimento dos retângulos é 6 cm e sua largura é um terço de seu comprimento, ou seja, 2 cm. b) 1a solução: Como no item anterior, o lado do quadrado formado com os seis retângulos recortados da segunda tira mede 6 cm. Como todos os retângulos tem a mesma largura, a figura mostra que essa largura é um quarto da medida do lado, isto é, 1,5 cm. As medidas dos outros retângulos são então determinadas imediatamente, como indicado. Em particular, as dimensões do retângulo destacado são 3 cm e 1,5 cm; logo seu perímetro é 1,5 +1,5 + 3 + 3 + 9 = 9cm e sua área é 1,5 × 3 = 4,5cm2 . 2a solução: O quadrado pode ser decomposto em 16 quadradinhos de lado igual à largura da fita, como na figura à direita. Como o lado do quadrado mede 6 cm, o lado de cada quadradinho mede 1,5 cm. Logo os lados do retângulo destacado medem 1,5 cm e 3 cm e, como acima, seu perímetro é 9 cm e sua área é 4,5 cm2 . Alternativamente, o quadrado pode ser decomposto em 8 retângulos congruentes ao retângulo destacado, conforme figura à esquerda. Como a área do quadrado é 36 cm2 , a área do retângulo destacado é cm2 . c) Na figura abaixo mostramos o retângulo e o quadrado, com pontos correspondentes indicados com a mesma letra; por exemplo, o segmento AB à esquerda corresponde ao segmento A’B’ à direita. A área do retângulo é 2 × 4,5 = 9 cm2 , que é também a área do quadrado; logo o lado do quadrado mede 3 cm. Desse modo, os segmentos A’B’ e B’F’ medem 3 cm e assim AB mede 3 cm. Como o lado do retângulo mede 4,5 cm, segue que BC mede 4,5 − 3 = 1,5cm, que é então a medida de B’C’. Finalmente, a medida de A’B é a mesma que a de AD, que é 2 cm; logo a medida de B’C’ é 3 − 2 = 1cm. Assim, obtemos as medidas 1BG = cm e 1,5BC = cm dos catetos do triângulo retângulo BCG, cuja área é então 1 1 1,5 0,75 2 × × = cm2 . 36 ÷ 8 = 4,5
- 4. OBMEP 2011 – 2 a Fase Soluções– Nível 1 4 Questão 4 – Solução a) Cristina pode preencher cada uma das três linhas do cartão de 6 maneiras diferentes; logo o número de maneiras de preencher o cartão é 6 × 6 × 6 = 216 . b) Se os ratinhos escolhem casinhas diferentes, então o primeiro tem 6 escolhas possíveis, o segundo tem 5 escolhas possíveis e o terceiro tem 4. Logo o número de maneiras em que Cristina pode preencher o cartão é 6 × 5 × 4 = 120 c) 1a solução: Há três pares de ratinhos: ML, MT e LT. Os cartões que Cristina deve preencher correspondem a um par de ratinhos escolher uma casinha e o terceiro ratinho escolher uma casinha diferente. Logo o número de cartões deve ser . 2a solução: Para preencher um cartão supondo que dois ratinhos se esconderão na mesma casinha e o terceiro em uma casinha diferente, Cristina deve colocar duas marcas “X” em uma mesma coluna e uma marca “X” em uma coluna diferente. Para colocar as duas marcas “X” ela tem 6 escolhas de coluna e, depois disso, 3 maneiras de colocar os dois “X” nessa coluna (1a e 2a linhas, 1a e 3a linhas e 2a e 3a linhas), num total de 6 × 3 = 18 maneiras. Isso feito, ela tem 5 escolhas para colocar o terceiro “X”, o que nos dá o total de 18 × 5 = 90cartões. Observamos que a 1a e a 2a solução são essencialmente a mesma. 3a solução:Os ratinhos podem se esconder nas casinhas de três maneiras diferentes: • os três na mesma casinha; temos aqui 6 possibilidades, uma para cada casinha; • os três em três casinhas diferentes; temos aqui 120 possibilidades, que calculamos no item (b); • dois em uma mesma casinha e o terceiro em uma outra casinha, que é o que queremos calcular. Assim, para achar o número procurado, basta subtrair do número total de preenchimentos possíveis as possibilidades para os outros dois casos; o resultado é então 216 − 6 −120 = 90, como antes. 3 × 6 × 5 = 90
- 5. OBMEP 2011 – 2 a Fase Soluções– Nível 1 5 Questão 5 – Solução a) Na pirâmide cada vértice pertence a três faces. O ponto assinalado se tornará o vértice das faces com os números 2, 3 e 4 ; como esses são os três maiores números que aparecem nas faces, esse vértice terá a maior soma, que é . b) Em um cubo, cada vértice pertence a três faces. Ao montar o cubo, as arestas pontilhadas na figura ao lado coincidirão, o mesmo acontecendo com os pontos A e B. Vemos assim que as faces que se encontram no vértice correspondente ao ponto A são as faces com os números 3, 6 e 2; logo o valor desse vértice é . c) Em um octaedro, cada vértice pertence a quatro faces. A figura mostra que, ao formar o octaedro, o ponto A será o vértice comum das faces com os números 4, 5, 6 e 7; logo seu valor será 4 + 5 + 6 = 7 = 22. d) Ao montar o octaedro, os dois segmentos indicados pela letra a formarão uma aresta e os pontos C e D coincidirão. Logo os segmentos indicados por b também coincidirão e o ponto B será levado no ponto E. Desse modo, as faces que têm o vértice correspondente a B em comum são as faces com os números 1, 2, 4 e 5; o valor desse vértice é então . 2 3 4 9+ + = 3 + 6 + 2 = 11 1+ 2+ 4 + 5 = 12
- 6. OBMEP 2011 – 2 a Fase Soluções– Nível 1 6 Questão 6 – Solução a) A sequência é37 38 19 20 10 5 6 3 4 2 1→ → → → → → → → → → . b) A única sequência de comprimento 3 é 4 2 1→ → . As sequências de comprimento 4 são3 4 2 1→ → → e 8 4 2 1→ → → ; elas são obtidas a partir de 4 2 1→ → , a primeira acrescentando 4 1 3− = à esquerda e a segunda acrescentando 2 4 8× = à esquerda. Do mesmo modo, a sequência ímpar 3 4 2 1→ → → dá origem à sequência par 6 3 4 2 1→ → → → ; a sequência par 8 4 2 1→ → → dá origem à sequência ímpar 7 8 4 2 1→ → → → e à sequência par 16 8 4 2 1→ → → → . Temos assim as três únicas sequências de comprimento 5, sendo 2pares e 1 ímpar. O raciocínio pode ser representado pelo esquema abaixo. c) 1a solução: Repetindo o esquema do item anterior, temos: e assim temos 3 sequências pares e 2 ímpares de comprimento 6 e 5 sequências pares e 3 ímpares de comprimento 7. 2a solução: Observamos que a sequência ímpar de comprimento cinco dá origem a 1 sequência par de comprimento seis; já as 2 sequências pares de comprimento cincodão origem a 2 sequências pares de comprimento seis e 2 sequências ímpares de comprimento seis. Assim, temos 2 sequências ímpares de comprimento seis e 1+ 2 = 3 sequências pares de comprimento seis, num total de 2+ 3 = 5 sequências de comprimento 6. O mesmo argumento mostra que há 8 sequências de comprimento sete, sendo três ímpares e cinco pares. Observação: A repetição desse argumento para valores sucessivos do comprimento mostra que, a partir do comprimento 3, o número de sequências ímpares é 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,..., o número de sequências pares é 2, 3, 5, 8, 13,... e o número total de sequências é 3, 5, 8, 13, 21, ..... Cada termo dessas sequências de valores, a partir do terceiro, é a soma dos dois anteriores; vemos assim que essas sequências, com a 124 36 8 7 16 124 36 510 12 11 24 8 714 13 28 16 1530 32 31 64
- 7. OBMEP 2011 – 2 a Fase Soluções– Nível 1 7 eventual omissão de termos iniciais, são a sequência 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,..., conhecida como sequência de Fibonacci. Apresentamos esse resultado na tabela a seguir. comprimento 5 6 7 ... 15 16 Ímpares 1 2 3 ... 144 233 pares 2 ... 233 233 +144 = 377 total 1+ 2 = 3 2+ 3 = 5 3 + 5 = 8 ... 144 + 233 = 377 233 + 377 = 610 d) 1a solução: As 144 sequências ímpares de comprimento quinze dão origem a 144 sequências pares de comprimento dezesseis; já as 233 sequências pares de comprimento quinze dão origem a 233 sequências pares de comprimento dezesseis e 233 sequências ímpares de comprimento dezesseis. Assim, temos 233 sequências ímpares de comprimento dezesseis e 377 = 233 +144 sequências pares de comprimento dezesseis, num total de 233 + 377 = 610 sequências. 2a solução: A parte da sequência de Fibonacci que nos interessa é 1, 2, 3, 5, 8,....., 144, 233, 377, 610,... . O número de sequências ímpares de comprimento 15 (resp. 16) é o 15º (resp. 16º) termo dessa sequência, que é 144 (resp. 233); o número de sequências pares de comprimento 15 (resp.16) é o 16º (resp. 17º) termo, que é 233 (resp. 377) e o número total é o 17º (resp. 18º) termo, que é 377 (resp. 610). 2 +1= 3 3 + 2 = 5