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1) O resumo apresenta a solução de uma prova da OBMEP de 2013 com 14 questões, resolvendo problemas de matemática e raciocínio lógico. 2) A primeira questão trata de divisão de valores pagos por livros. A segunda, de soma de números para obter determinado resultado. A terceira compara dados sobre dengue. 3) As demais questões abordam tópicos como área de figuras, operações com algarismos, posições de formigas, diferença entre números trocando algarismos e outros.
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- 1. Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2013 − Nível 2 1 QUESTÃO 1 ALTERNATIVA E Como Ana contribuiu com 43 reais e Aurora com 68 reais, os três livros juntos custaram reais; desse modo, cada livro custou reais, que é o que cada uma das três colegas deveria ter pago. Logo, Ana deve receber de Alice a quantia de reais e Aurora deve receber de Alice reais. Observamos que Ana vai pagar a Alice e Aurora, no total, a quantia de reais. QUESTÃO 2 ALTERNATIVA D A única maneira de somar três números distintos entre 1, 2, 3, 4, 5 e 6 e obter o resultado 6 é . Logo os cartões com as letras O, B e E têm, em seu verso, os números 1, 2 ou 3 (não necessariamente nessa ordem). Ao olhar para o verso dos cartões com as letras O e P, Caetano vê no verso do cartão O um dos números 1, 2 e 3. Observando as somas , e , e lembrando que o número no verso do cartão P é no máximo 5, vemos que os números no verso dos cartões O e P são, respectivamente, 3 e 5. Resta o número 4, que é o que está no verso do cartão M. QUESTÃO 3 ALTERNATIVA D Vamos analisar as afirmativas uma a uma, de acordo com a figura ao lado. a) falsa: o período de maior precipitação (1º semestre 2008) teve o maior número de casos notificados de dengue, mas não foi o período de maior temperatura média (2º semestre 2010). b) falsa: o período com menor número de casos notificados de dengue (2º semestre 2007) não foi o de maior temperatura média (2º semestre 2010). c) falsa: o período de maior temperatura média (2º semestre 2010) não foi o de maior precipitação (1º semestre 2008). d) verdadeira: o período de maior precipitação (1º semestre 2008) não foi o período de maior temperatura média (2º semestre 2010) e teve o maior número de casos notificados de dengue. e) falsa: basta comparar o 1º semestre de 2007 com o 2º semestre de 2009: no primeiro a precipitação é maior do que no segundo, mas o seu número de casos de dengue é menor. 43 + 68 = 111 111÷ 3 = 37 43 ! 37 = 6 68 ! 37 = 31 6 + 31= 37 1 2 3 6+ + = 1 7 8+ = 2 6 8+ = 3 5 8+ =
- 2. Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2013 − Nível 2 2 QUESTÃO 4 ALTERNATIVA B A área do quadrilátero é a soma das áreas dos triângulos. Traçando por P uma paralela a um dos lados do retângulo, como na figura, este fica dividido em dois retângulos menores. A área de cada um dos triângulos é igual à metade da área do retângulo menor correspondente; como a soma das áreas dos retângulos menores é igual à área do retângulo maior, segue que a soma das áreas dos triângulos é igual à metade da área do retângulo maior, ou seja, é igual a 1 2 !10 !12 = 60 cm2 ; essa é a área do quadrilátero. QUESTÃO 5 ALTERNATIVA A Ao somar os algarismos das unidades, encontramos 77 7 539× = .Logo, o algarismo das unidades da soma é 9 e 53 deve ser adicionado à casa das dezenas. A soma dos algarismos 7 que aparecem nas dezenas é 76 7 532× = , que somada a 53 dá 585. Logo, o algarismo das dezenas é 5. Alternativamente, podemos observar que os algarismos das dezenas e unidades da soma só dependem da soma dos algarismos das unidades e das dezenas das parcelas, ou seja, são os mesmos que os algarismos correspondentes da soma 7 + 77 + 77 +…+ 77 76 vezes ! "## $## = 7 + 76 ! 77 = 5859 ; logo, o algarismo das dezenas da soma indicada é 9 e o das dezenas é 5. QUESTÃO 6 ALTERNATIVA A A soma de todas as faces de um cubo é 1 2 3 4 5 6 21+ + + + + = . A soma das faces visíveis é então igual a a soma das faces escondidas)6 21 126 (× = − . Logo, para que a soma das faces visíveis seja máxima, devemos posicionar os cubos de modo que a soma dos números das faces escondidas seja mínima. Vamos minimizar essa soma considerando um cubo de cada vez, de acordo com a numeração da figura ao lado. • Cubo 1: há apenas uma face escondida, que deve ser a de número 1. • Cubos 2 e 4: em cada um há três faces escondidas. Dessas faces, duas são opostas e somam 7; a terceira face deve ser a de número 1. A soma dessas faces é 2 (1 7) 16× + = . • Cubos3 e 6: em cada um há duas faces vizinhas escondidas, que devem ser as de número 1 e 2 (como esses números não somam 7, as faces correspondentes não são opostas, logo são adjacentes). Essas faces somam 2 (1 2) 6× + = . • Cubo 5: há dois pares de faces opostas escondidas, que somam 14. Logo, a soma máxima possível é .126 ! (1+16 + 6 +14) = 126 ! 37 = 89
- 3. Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2013 − Nível 2 3 QUESTÃO 7 ALTERNATIVA C Na figura ao lado o quadrilátero AMCN é um paralelogramo, pois tem os lados AM e NC paralelos e iguais. Em particular, AN e MC são paralelos; logo, os ângulos assinalados em M e N têm a mesma medida. Além disso, os ângulos assinalados em O são iguais, pois são opostos pelo vértice; além disso temos , pois O é o centro do retângulo. Segue pelo critério ALA que os triângulos OMP e ONQ são congruentes. A área do quadrilátero CPQN é então igual à área do triângulo CMN, que por sua vez é igual a da área do retângulo, ou seja, igual a 1 4 !120 = 30 m2 . QUESTÃO 8 ALTERNATIVA B Seja n o número que Lucas pensou. O enunciado diz que n = 285q + 77 , onde q é um número inteiro. Como 285 57 5= × , podemos reescrever essa expressão como n = 57 ! (5q) + 57 + 20 = 57 ! (5q +1) + 20 . Logo o resto da divisão de n por 57 é 20. QUESTÃO 9 ALTERNATIVA A Vamos chamar de ! e L, respectivamente, os lados do quadrado menor e do quadrado maior, e de Q a área comum aos dois quadrados. Então Q corresponde a da área do quadrado menor e a da área do quadrado maior. Segue que 48 100 !2 = 27 100 L2 ; logo ! L ! "# $ %& 2 = 27 48 = 9 16 = 3 4 ! "# $ %& 2 , ou seja, ! L = 3 4 . OP = OQ 1 4 100 ! 52 = 48% 100 ! 73 = 27%
- 4. Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2013 − Nível 2 4 QUESTÃO 10 ALTERNATIVA D Vamos chamar de A a formiguinha da esquerda e de B a formiguinha da direita. Na figura 1, A está duas unidades à esquerda do número , ou seja, sobre o número ; na figura 2, ela está sobre o número 2. Na figura 1, B está sobre o número 100 e, na figura 2, sobre o número 98. Desse modo, em um segundo, A anda unidades e B anda unidades. Assim, as posições de A e B são, respectivamente, dadas (em unidades) por a = !3 + 5t e , onde t é o tempo medido em segundos. As formiguinhas se encontrarão quando , ou seja, no tempo t tal que . Temos então 7t = 103 , ou seja, . A posição de B (e de A) nesse instante é 103 494 100 2 7 7 − × = , que é aproximadamente 70,6. Logo as formiguinhas se encontrarão entre os pontos 70 e 71. Outra solução é a seguinte. Já calculamos as velocidades das formiguinhas: A se desloca a 5 unidades por segundo e B a 2 unidades por segundo. Como elas andam em sentido contrário, a distância entre elas diminui 7 unidades por segundo. A distância inicial entre A e B é unidades; como 103 14 7 5= × + , concluímos que após 14 segundos a distância entre as formiguinhas será 5 unidades; nesse instante, A estará no ponto 3 5 14 67− + × = e B no ponto . Dividimos a distância 5 em 7 partes iguais; as formiguinhas se encontrarão quando A tiver percorrido 5 dessas partes e B tiver percorrido 2 dessas partes. Logo o ponto de encontro será o ponto 5 494 67 5 7 7 + × = , que é aproximadamente 70,6. QUESTÃO 11 ALTERNATIVA E Escrevemos o número como cdu, onde c, d e u denotam, respectivamente, o algarismo das centenas, dezenas e unidades; isso quer dizer que o número é 100c +10d + u . O número obtido trocando o algarismo das unidades com o das dezenas é cud, ou seja, 100c +10u + d ; o enunciado nos diz que 18 = (100c +10u + d) ! (100c +10d + u) = 10(u ! d) + (d ! u) = 9(u ! d) e segue que u ! d = 2 . O número obtido trocando o algarismo das dezenas com o das centenas é dcu; do enunciado segue, como acima, que 180 = (100d +10c + u) ! (100c +10d + u) = 100(d ! c) +10(c ! d) = 9(d ! c) e temos d ! c = 2 . Logo u ! c = (u ! d) + (d ! c) = 4. O problema pede para calcular a diferença entre o número original cdu e aquele obtido trocando os algarismos das unidades com o das centenas, que é udc. Essa diferença é então (100u +10d + c) ! (100c +10d + u) = 100(u ! c) + (c ! u) = 99(u ! c) = 99 " 4 = 396 . !1 !3 2 ! (!3) = 5 100 ! 98 = 2 b = 100 ! 2t a = b !3 + 5t = 100 ! 2t t = 103 7 100 ! (!3) = 103 100 ! 2 "14 = 72
- 5. Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2013 − Nível 2 5 QUESTÃO 12 ALTERNATIVA B Vamos chamar de a, b e h, respectivamente, o comprimento, a largura e a profundidade da piscina, em número de azulejos. Em geral, o comprimento de uma piscina é maior do que a sua largura; vamos então supor que a b≥ . As duas paredes retangulares no comprimento da piscina têm um total de 2ah azulejos e as duas paredes retangulares na largura da piscina têm um total de 2bh azulejos. Como essas quatro paredes juntas têm 1024 azulejos, segue que , ou seja, ; em particular, é um divisor de 512. Por outro lado, temos ; como , as possibilidades para a e b são (21,11), (33,7), (77,3) e (231,1). Dessas, a única que nos dá uma soma a + b que divide 512 é (21,11); logo azulejos. Notamos que essa questão admite (acidentalmente) uma solução por teste de alternativas, como segue. De segue que h divide , ou seja, h (assim como ) deve ser uma potência de 2. Como 15, 18, 20 e 21 não são potências de 2, a única possibilidade é . Deve-se então verificar se o problema é consistente; para isso, determinamos e como acima, e essa tripla de valores de a, b e h satisfaz as condições do enunciado. QUESTÃO 13 ALTERNATIVA A Seja n o número comum de bolas nas caixas. O número de bolas azuis na primeira caixa é 1 15 n e o número de bolas amarelas é n ! 1 15 n = 14 15 n . Logo, o peso das bolas da primeira caixa é n n n 1 14 33 5 2 15 15 15 × + × = kg. Seja agora x o número de bolas azuis na segunda caixa; o número de bolas amarelas nessa caixa é então n ! x e o peso das bolas nessa caixa é 5x + 2(n ! x) = 3x + 2n . Segue que 3x + 2n = 2 ! 33 15 n = 66 15 n , o que nos dá x = 1 3 66 15 ! 2 " #$ % &' n = 4 5 n . Logo a fração de bolas azuis na segunda caixa é 4 5 . QUESTÃO 14 ALTERNATIVA E A tabela ao lado apresenta alguns estágios do jogo. O padrão da coluna dos triângulos é evidente: no estágio 2k , o valor que aparece é k 1 5 2 − × . Logo, o número que aparece no 56o triângulo é 27 5 2× . (2a + 2b)h = 1024 (a + b)h = 512 a + b ab = 231 231= 3 ! 7 !11 h = 512 ÷ (a + b) = 512 ÷ 32 = 16 (a + b)h = 512 512 = 29 a + b h = 16 a = 21 b = 11 Estágio Triângulo Quadrado 1 3 2 2 5 1 3 6 3 2= × 4 4 10 5 2= × 2 5 2 12 3 2= × 8 6 2 20 5 2= × 4 7 3 24 3 2= × 16 8 3 40 5 2= × 8
- 6. Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2013 − Nível 2 6 QUESTÃO 15 ALTERNATIVA C Sejam a e b, respectivamente, os algarismos das dezenas e das unidades do ano em que Sofia nasceu; isto quer dizer que Sofia nasceu em 19ab = 1900 +10a + b . A idade de Sofia em fevereiro de 2013 era 2013 !19ab = 2013 ! (1900 +10a + b) = 113 !10a ! b . Segue do enunciado que 113 !10a ! b = 1+ 9 + a + b = 10 + a + b , o que nos dá 103 = 11a + 2b . Como a e b são algarismos, ou seja, são ambos menores ou iguais a 9, a única possibilidade é a = 9 e b = 2 ; observamos que se a = 8 , a equação 2 15b = não tem solução inteira e que se a 7≤ então b a2 103 11 103 77 26= − ≥ − = , o que não pode acontecer pois b 9≤ . QUESTÃO 16 ALTERNATIVA C Para escrever o número 1, Heloísa pode escolher uma dentre seis faces e o número 6 deve ser escrito na face oposta à escolhida. Para escrever o número 2, ela pode escolher uma entre as quatro faces restantes e o número 5 deve ser escrito na face oposta. Finalmente, restam duas faces para escrever o número 3, e o 4 deve ser escrito na face oposta. Assim, Heloísa pode escrever os números no cubo de 6 4 2 48× × = maneiras diferentes. QUESTÃO 17 ALTERNATIVA B Na tabela abaixo mostramos como analisar as informações do enunciado. Na primeira linha, supomos que Bernardo disse a verdade; na segunda, que Guto disse a verdade e na terceira, que Carlos disse a verdade. Guto Não foi o meu logo Carlos Foi o meu logo Bernardo Não foi o de Guto logo 1 mentiu O celular de Guto tocou mentiu O celular de Carlos não tocou disse a verdade O celular de Guto não tocou 2 disse a verdade O celular de Guto não tocou mentiu O celular de Carlos não tocou mentiu O celular de Guto tocou 3 mentiu O celular de Guto tocou disse a verdade O celular de Carlos tocou mentiu O celular de Guto tocou Nas duas primeiras linhas, chega-se à conclusão de que o celular de Guto tanto tocou quanto não tocou (em vermelho). Essa contradição mostra que o único caso possível é o da terceira linha, ou seja, Carlos disse a verdade e os celulares de Guto e Carlos tocaram.
- 7. Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2013 − Nível 2 7 QUESTÃO 18 ALTERNATIVA C Lembramos que rendimento = distância percorrida consumo , ou seja, consumo = distância percorrida rendimento . Seja d a distância entre Quixajuba e Pirajuba. Antes da parada Cláudia percorreu 1 3 d km; como o rendimento de seu carro nessa parte da viagem foi de 12 km/l, ela gastou 1 3 d 12 = 1 36 d litros de gasolina até a parada. Analogamente, ela gastou 2 3 d 16 = 1 24 d litros de gasolina após a parada. No total, ela gastou 1 36 d + 1 24 d = 5 72 d litros de gasolina na viagem; o rendimento de seu carro ao longo da viagem completa foi então de d 5 72 d = 72 5 = 14,4 km/l. QUESTÃO 19 ALTERNATIVA C Primeiro pintamos o quadrado e o triângulo superior, o que pode ser feito de 3 2 6× = maneiras diferentes. Uma vez isso feito, dividimos o problema em quatro casos de acordo com as cores dos triângulos menores da parte de baixo, como na figura. As letras minúsculas a e b indicam cores diferentes; notamos que como o quadrado já foi pintado, para os três triângulos menores só restam duas cores disponíveis. As letras maiúsculas A e B servirão apenas para denotar os triângulos maiores no que segue. • Caso 1: temos duas escolhas para a; uma vez feita essa escolha, podemos pintar A com duas cores, bem como B. Isso pode ser feito de 2 2 2 8× × = maneiras diferentes. • Caso 2: temos duas escolhas para a e uma para b; feitas essas escolhas, podemos pintar A com duas cores e B com apenas uma. Isso pode ser feito de 2 1 2 1 4× × × = maneiras diferentes. • Caso 3: esse caso é idêntico ao caso 2. • Caso 4: temos duas escolhas para a e uma para b; feitas essas escolhas, só há uma possibilidade para pintar A e B. Isso pode ser feito de 2 1 1 1 2× × × = maneiras diferentes. No total, temos 6 (8 4 4 2) 6 18 108× + + + = × = maneiras diferentes de pintar a figura.
- 8. Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2013 − Nível 2 8 QUESTÃO 20 ALTERNATIVA E Observamos inicialmente que em qualquer quadradinho, quando o número de trocas de cor é um múltiplo de 3, voltamos à cor original. Assim, para saber, em qualquer momento, qual a cor de um quadradinho, basta conhecer o resto na divisão por 3 do número de trocas de cor. Para isso, identificamos cada quadradinho cinza com o número 0 (o que significa que o número de trocas de cor tem resto 0 na divisão por 3, ou seja, a cor pode não ter sido trocada ou foi trocada em um número múltiplo de 3); identificamos um quadradinho azul com o número 1 (o que significa que o número de trocas de cor tem resto 1 na divisão por 3); e, finalmente, identificamos um quadradinho amarelo com o número 2 (o número de trocas de cor tem resto 2 na divisão por 3). Observamos agora que, sempre que trocamos a cor de um quadradinho da primeira ou da terceira coluna, trocamos também a cor do quadradinho a seu lado na coluna do meio. Portanto, a soma do número de trocas de cor dos quadradinhos de uma mesma linha, que estão na primeira e terceira colunas, é igual ao número de trocas de cor do quadradinho da coluna do meio que está nesta mesma linha. Em particular, o resto da divisão do número de trocas de um quadradinho da coluna do meio por 3 é igual ao resto da divisão por 3 da soma dos restos das divisões por 3 do número de trocas de cores dos quadradinhos vizinhos que estão na primeira e na terceira coluna da mesma linha. Comentário análogo vale para os quadradinhos da linha do meio. Essas observações nos permitem reconstruir o quadriculado completo, conforme a figura abaixo. O problema não acaba aqui, pois ainda não mostramos que esse quadriculado pode, de fato, ser obtido por uma sequência de Adão. Que isso de fato acontece pode ser visto abaixo.