Sol 1afase2010 n1
- 1. Solução da prova da 1a fase 1 OBMEP 2010 − Nível 1 QUESTÃO 1 ALTERNATIVA C Alvimar recebeu de troco 5,00 − 3,50 = 1 reais. Dividindo 1,50 por 0,25, obtemos o número de moedas de ,50 25 centavos que ele recebeu. Como 1,50 ÷ 0,25 = 6, segue que ele recebeu de troco seis moedas de 25 centavos. Podemos também pensar como segue. Duas moedas de 25 centavos totalizam 50 centavos. Como R$1,50 é o mesmo que três vezes 50 centavos, para dar o troco serão necessárias 3 × 2 = 6 moedas de 25 centavos. QUESTÃO 2 ALTERNATIVA B Trocamos a posição de dois algarismos vizinhos do número 682479, conforme a tabela algarismos trocados resultado 6e8 862479 8e2 628479 2e4 684279 4e7 682749 7e9 682497 e verificamos que o menor dos números obtidos é 628479. Logo, os algarismos que devem ser trocados são 8 e 2. QUESTÃO 3 ALTERNATIVA C Elisa está na 7ª posição da fila pois na sua frente há 6 pessoas. Como atrás de Samuel há 9 pessoas e a fila tem 21 pessoas, sua posição é a de número 21 – 9 = 12. Logo Samuel está atrás de Elisa, e entre eles existem pessoas nas posições de 8 a 11, ou seja, 4 pessoas. A situação está representada no desenho abaixo, onde as letras S e E correspondem, respectivamente, a Samuel e Elisa e a fila começa na direita. • • • •24• • S • • • • E • • • • • • 14 • • •3 { 123 9 4 6 O que está errado com a seguinte solução? Juntos, as pessoas atrás de Samuel, o próprio Samuel, as pessoas na frente de Elisa e a própria Elisa totalizam 6 + Elisa + Samuel + 9 = 17 pessoas. Logo sobram 21 − 17 = 4 pessoas, que são as que estão entre Elisa e Samuel. A resposta é que esse raciocínio está incorreto, pois a expressão 6 + Elisa + Samuel + 9 = 17 só é válida quando Samuel está atrás de Elisa. Para ver isso, basta pensar (por exemplo) no seguinte diagrama • • • • • • E • • S• • • 123 { { 6 2 3 que mostra uma fila de 13 pessoas com 9 atrás de Samuel e 6 na frente de Elisa. De fato, é fácil ver (exercício) que se o Samuel estiver na frente de Elisa uma fila que obedeça às condições dadas pode ter no máximo 15 pessoas. Para garantir que o Samuel está atrás de Elisa, é necessário usar o fato de que a fila tem 21 pessoas, como na solução apresentada. QUESTÃO 4 ALTERNATIVA D Em expressões aritméticas sem parêntesis, colchetes ou chaves, as operações de multiplicação e divisão têm prioridade sobre as de soma e subtração; ou seja, as multiplicações e divisões devem ser realizadas antes das somas e subtrações. Desse modo temos 2 + 4 × 8 − 4 ÷ 2 = 2 + 32 − 2 = 34 − 2 = 32.
- 2. Solução da prova da 1a fase 2 OBMEP 2010 − Nível 1 QUESTÃO 5 ALTERNATIVA D Vamos ler as informações contidas no gráfico: • 5 alunos não compraram bilhetes (isto é, compraram 0 bilhetes cada um): total 5 × 0 = 0 bilhetes • 20 alunos compraram 1 bilhete cada um: total 20 × 1 = 20 bilhetes • 16 alunos compraram 2 bilhetes cada um: total 16 × 2 = 32 bilhetes • 7 alunos compraram 3 bilhetes cada um: total 7 × 3 = 21 bilhetes • 4 alunos compraram 4 bilhetes cada um: total 4 × 4 = 16 bilhetes Logo o número total de bilhetes comprados foi 0 + 20 + 32 + 21 + 16 = 89. QUESTÃO 6 ALTERNATIVA B Na conta apresentada podemos observar o seguinte: • coluna das unidades: como 7 + 5 = 12 , vai 1 para a coluna das dezenas; • coluna das dezenas: como 1 +♣+9 = 10 +♣ , o algarismo das dezenas do resultado é ♣ e vai 1 para a coluna das centenas; • coluna das centenas: como 1 + 4 + 8 = 13 , o algarismo das centenas da soma é 3 e vai 1 para a coluna dos milhares. Em resumo, concluímos que 1♣♣2 = 13♣2 , o que nos mostra que ♣= 3 (e a conta é 437 + 895 = 1332 ). Logo ♣×♣+♣ = 3 × 3 + 3 = 12. QUESTÃO 7 ALTERNATIVA A Ao lado marcamos com linha mais forte o corte, tanto no cartão original quanto no cartão formado após o corte. Na figura 1, vemos que o corte mede 11 cm, pois a parte com OB é um retângulo e os lados opostos de um retângulo são iguais. Na figura 2 vemos que o lado superior da parte com MEP também mede 11 2 cm. Desse modo o lado menor da parte com OB mede 18 − 11 = 7 cm e sua área é 7 × 11 = 77 cm . QUESTÃO 8 ALTERNATIVA E A figura mostra o que acontece ao desdobrar o papel.
- 3. Solução da prova da 1a fase 3 OBMEP 2010 − Nível 1 QUESTÃO 9 ALTERNATIVA A Devemos completar as oito casas vazias na figura à direita escolhendo números entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, e 8, de modo que não apareçam números repetidos. Começaremos pela coluna da esquerda, escolhendo dois números diferentes com soma igual a 4; a única escolha possível é 1 e 3. Se o 3 aparecesse na casa acima do 0, os outros dois números da linha central deveriam ser escolhidos entre 2, 4, 5, 6, 7 e 8 e ter soma igual a 4, o que é impossível. Logo na casa acima do 0 deve aparecer o 1 e o 3 aparece acima do 1. Obtemos então a figura à esquerda. Passamos agora para a linha superior. Como 3 e 9 ocupam duas casas dessa linha e 3 + 9 = 12 , na casa entre o 3 e 9 deve aparecer o 6, ou seja, temos a figura à direita. Notamos que a essa altura só podemos escolher números entre 2, 4, 5, 7 e 8. Finalmente passamos para a linha do meio. Os números das casas que faltam na linha do meio devem somar 6, ou sejam, devem ser 2 e 4. Se o 2 estiver na casa central, teremos na coluna do meio 6 + 2 = 8 ; como a soma dos números dessa coluna é 18, isso não pode acontecer, pois 18 − 8 = 10 . Logo o número que aparece na casa central é o 4. A figura à esquerda mostra o quadrado completamente preenchido. QUESTÃO 10 ALTERNATIVA C O quadrado está dividido em 16 quadradinhos. A área sombreada é a soma das áreas de 8 triângulos iguais, cada um com área igual a metade da área de um quadradinho. Portanto, a 1 4 1 área sombreada é igual à área de 8 × = 4 quadradinhos, o que corresponde a = da 2 16 4 área do quadrado. QUESTÃO 11 ALTERNATIVA D A face colada do dado da esquerda é oposta à face com 1, logo essa face tem o número 6. Na face colada do dado da direita não aparecem nem o 1 nem o 3, e logo não aparecem também nem o 6 nem o 4. Restam para essa face os números 2 e 5. Observando a posição dos três pontos nas faces superiores dos cubos e lembrando que os cubos são idênticos, vemos que o cubo da direita tem o 2 em sua face direita (oculta), logo sua face colada tem o número 5. Segue que a soma das faces coladas é 6 + 5 = 11. QUESTÃO 12 ALTERNATIVA E Mostramos ao lado dois azulejos. O azulejo 1 é o azulejo do enunciado, com o qual foram formadas as figuras das alternativas A), B), C) e D). A figura da azulejo 1 azulejo 2 alternativa E) foi feita com duas cópias do azulejo 1 e duas cópias do azulejo 2. Como não é possível obter o azulejo 2 por translação ou rotação do azulejo 1, segue que não podemos montar a figura da alternativa E) com cópias do azulejo 1. QUESTÃO 13 ALTERNATIVA D 1ª solução: O 1º treino acontece em uma segunda, o 2º em uma quinta e assim por diante, até o 8º que cai novamente em uma segunda e o ciclo se repete. Logo os treinos de números 1, 8, 15, 22,… são aqueles que caem em uma segunda. Esses números formam a sequência 1, 1 + 1× 7 , 1 + 2 × 7 , 1 + 3 × 7 ,…. Como queremos saber quando ocorrerá o 100º treino, procuramos o termo dessa sequência mais próximo de 100. Esse termo é 99 = 1 + 14 × 7 , ou seja, o 99º treino ocorrerá em uma segunda. Logo o 100º treino ocorrerá em uma quinta. 2ª solução: Um dia de treino e dois dias de folga formam grupos de três dias, totalizando 3 × 99 = 297 dias até a véspera do dia do 100º treino. Como 297 = 7 × 42 + 3 , esses 297 dias correspondem a 42 semanas de segunda a domingo mais 3 dias, que são segunda, terça e quarta. Logo quarta é a véspera do 100º treino, que ocorre então em uma quinta.
- 4. Solução da prova da 1a fase 4 OBMEP 2010 − Nível 1 QUESTÃO 14 ALTERNATIVA C A área de cada quadradinho corresponde a 9% da área do quadrado maior e assim a área dos 4 quadradinhos corresponde a 4 × 9 = 36% da área do quadrado maior. Logo a área em cinza corresponde, a 2 100 − 36 = 64% da área total. Como essa área é 128cm , concluimos que 1% dessa área é igual a 128 2 2 = 2 cm . Segue que a área do quadrado maior é 2 × 100 = 200 cm . 64 QUESTÃO 15 ALTERNATIVA E Alice comprou o creme dental pequeno. De fato, se ela tivesse comprado o creme dental médio, ela teria apenas mais 10,00 − 4,40 = 5,60 reais para gastar, mas a soma dos preços de um sabonete e desodorante é no mínimo 1 + 4,00 = 5,80 ,80 reais, ou seja, ela não poderia comprar os três itens. O mesmo argumento mostra que ela não pode ter comprado um creme dental grande. Notamos que ao comprar um creme dental pequeno sobram 10,00 − 2,40 = 7,60 reais. Com essa quantia Alice pode comprar um sabonete pequeno e um desodorante pequeno ou médio, ou então um sabonete médio e um desodorante pequeno. QUESTÃO 16 ALTERNATIVA B Como não choveu em 12 dias e Janeiro tem 31 dias , choveu em 31 − 12 = 19 dias. Em 17 desses 19 dias choveu à tarde, logo choveu apenas pela manhã em 19 − 17 = 2 dias. Podemos também concluir que choveu apenas à tarde em 19 − 10 = 9 dias. Mais geralmente, podemos raciocinar como segue. Choveu em 19 dias, dos quais em 10 choveu pela manhã e em 17 à tarde. Ao efetuar a soma 10 + 17 = 27 , contamos os dias em que choveu pela manhã e à tarde duas vezes; desse modo, o número de dias em que choveu tanto pela manhã quanto à tarde foi de 10 + 17 − 19 = 8 . Logo choveu apenas pela manhã em 10 − 8 = 2 dias e choveu apenas à tarde em 17 − 8 = 9 dias. O diagrama ao lado conta toda a história. QUESTÃO 17 ALTERNATIVA A Como Jeca e Tatu comeram juntos 33 bananas, concluímos que Saci e Pacu comeram juntos 52 − 33 = 19 bananas. Como Saci foi quem mais comeu e Pacu comeu pelo menos 1 banana, Saci comeu no máximo 19 − 1 = 18 bananas. Portanto, Jeca comeu no máximo 17 bananas e, como Jeca comeu mais que Tatu, concluímos que Tatu comeu no máximo 16 bananas. Como 33 = 17 + 16 , não é possível que Jeca tenha comido menos que 17 ou Tatu menos que 16 bananas. Vemos assim que Jeca comeu 17 bananas e Tatu comeu 16 bananas; além disso, Saci comeu 18 bananas e sobrou apenas 1 banana para o Pacu. QUESTÃO 18 ALTERNATIVA B Não existem números circunflexos começando com 8, pois nesse caso o segundo algarismo seria 9, não sobrando nenhum algarismo maior para aparecer no centro. Por outro lado, qualquer número começando com 6 à esquerda é menor do que 77777. Assim, os circunflexos maiores do que 77777 são da forma 789AB, onde A e B denotam algarismos de 0 a 9. Notamos que A não pode ser 0, pois nesse caso não seria possível escolher um algarismo para B. Além disso A também não pode ser 9, pois os três últimos algarismos devem estar em ordem decrescente; logo A só pode assumir valores de 1 a 8. Se A for 8, B pode ser escolhido entre os algarismos de 0 a 7, ou seja, temos 8 escolhas para B. Do mesmo modo, se A for 7 temos 6 escolhas para B e assim por diante, até o caso em que A for 1, quando temos apenas 1 escolha para B. Logo o número total de números circunflexos é 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36.
- 5. Solução da prova da 1a fase 5 OBMEP 2010 − Nível 1 QUESTÃO 19 ALTERNATIVA B Na figura a seguir, admitimos que a estrada de 350 km começa à esquerda e termina à direita; também não faz diferença supor que Quixajuba esteja à esquerda de Paraqui. Vamos explicar como foi feita a figura. Notamos que Quixajuba não pode estar à esquerda do quilômetro 70, pois nesse caso ela estaria antes do início da estrada. Logo ela está à direita do quilômetro 70 e fica no quilômetro 70 + 92 = 162 da estrada. Do mesmo modo vemos que Paraqui está à esquerda do quilômetro 270 e fica no quilômetro 290 − 87 = 203 . Portanto, a distância entre as duas cidades é 203 − 162 = 41 quilômetros. QUESTÃO 20 ALTERNATIVA D Temos duas possibilidades para Adriano: ele é um tamanduá ou uma preguiça. Vamos primeiro supor que ele é um tamanduá e fazer a tabela a seguir, linha por linha, de acordo com as falas dos amigos: é diz que logo 1 Adriano um tamanduá (diz a verdade) Bruno é uma preguiça Bruno é uma preguiça 2 Bruno uma preguiça (mente) Carlos é um tamanduá Carlos é uma preguiça 3 Carlos uma preguiça (mente) Daniel e Adriano são tipos diferentes de animal Daniel e Adriano são o mesmo tipo de animal 4 Daniel um tamanduá (diz a verdade) Adriano é uma preguiça Adriano é uma preguiça As casas sombreadas mostram que nesse caso Adriano, além de ser um tamanduá, é também uma preguiça, o que não pode acontecer pelas regras da brincadeira. Logo Adriano não é um tamanduá, ou seja, ele é uma preguiça. Fazemos agora outra tabela do mesmo modo que a anterior: é diz que logo 1 Adriano uma preguiça (mente) Bruno é uma preguiça Bruno é um tamanduá 2 Bruno um tamanduá (diz a verdade) Carlos é um tamanduá Carlos é um tamanduá 3 Carlos um tamanduá (diz a verdade) Daniel e Adriano são tipos diferentes de animal Daniel e Adriano são tipos diferentes de animal 4 Daniel um tamanduá (diz a verdade) Adriano é uma preguiça Adriano é uma preguiça e vemos que Bruno, Carlos e Daniel são tamanduás.