PROJETO SABERMAT Mathematicspdfcooll.pdf

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN
Planalto Norte
Projeto de Ensino SABERMAT 1
PROJETO SABERMAT
MATEMÁTICA BÁSICA
2024
COORDENADORA: Professora Cleide Vieira
e-mail: cleide.vieira@udesc.br
Acadêmico:
_____________________________________________________
SUMÁRIO
MÓDULO I
1 Números e Operações 02
1.1 Conjuntos Numéricos 02
1.2 Operações Numéricas 03
1.3 Valor Absoluto 10
1.4 Operações com Frações 11
Exercícios 14
MÓDULO II
2 Álgebra 26
2.1 Operações Algébricas 27
2.2 Produtos Notáveis 29
2.3 Fatorações 30
2.4 Frações Algébricas 31
Exercícios 32
MÓDULO III
3 Equações e Inequações 39
3.1 Equações 1° Grau 39
3.2 Equações 2° Grau 41
3.3 Inequações 1° Grau 45
3.4 Inequações 2° Grau 46
Exercícios 47
MÓDULO IV
4 Trigonometria 52
4.1 Relações do Triângulo Retângulo 52
4.2 Ciclo Trigonométrico 52
4.3 Relações Trigonométricas 53
4.4 Unidades de Medidas 54
4.5 Funções Trigonométricas 55
Exercícios 56
Referências Bibliográficas

Planalto Norte
1 NÚMEROS E OPERAÇÕES
1.1 Conjuntos Numéricos
1.1.1 Conjunto dos números Naturais
São todos os números inteiros positivos e inclusive o zero.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
1.1.2 Conjunto dos números Inteiros
São todos os números inteiros positivos e negativos inclusive o zero.
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
1.1.3 Conjunto dos números Racionais
São todos os números que podem ser escrito sob a forma de fração
b
a
, com Z
b
e
a  e 0

b .








= 0
,
Z
,
Q b
b
a
b
a
onde
r
denominado
numerador
=
b
a
.
1.1.4 Conjunto dos números Irracionais
É um número que não pode ser escrito sob a forma de fração.
Os números irracionais têm infinitos decimais não-periódicos.
Encontramos esses números nas raízes não exatas, no número 
(pi) e na exponencial e .
Por exemplo:
2 = 1,414213562 ...
 = 3,14159265 ...
8...
2,71828182
=
e
1.1.5 Conjunto dos números Reais
A união dos conjuntos dos números racionais com o
conjunto dos números irracionais constitui o conjunto dos números
reais, representado pela letra IR.
I N
Z
Q
IR

Planalto Norte
1.2 Operações Numéricas
1.2.1 Adição e Subtração
Sinais iguais: Somam-se os valores e dá-se o sinal comum.
Sinais diferentes: Subtraem-se os valores e dá-se o sinal do valor maior.
Exercícios resolvidos:
a) 2 + 4 = 6
b) – 2 – 4 = – 6
c) 5 – 3 = + 2 = 2
d) – 5 + 3 = – 2
1.2.2 Multiplicação e Divisão
Sinais iguais → resposta positiva
Sinais diferentes → resposta negativa
a) 12 . 3 = 36 e) 22 : 2 = 11
b) (-12) . (-3) = 36 f) 20 : ( - 5) = - 4
c) 7 . (-5) = - 35 g)
5
20
−
−
= + 4 = 4
d) (-2) . 9 = - 18 h)
5
20
−
= - 4
1.2.3 Potenciação
Existe uma forma abreviada de escrever uma multiplicação de
fatores iguais. No caso
Nessa operação, que é denominada potenciação, temos:
 potência, indica um produto de fatores iguais;
 base, o fator que se repete;
 expoente, indica quantas vezes a base se repete como fator.
Expoente
Base
3 fatores iguais a 7
7 . 7 . 7 = 7 3
)
(
)
(
.
)
(
)
(
)
(
.
)
(
)
(
)
(
.
)
(
)
(
)
(
.
)
(
−
=
+
−
−
=
−
+
+
=
−
−
+
=
+
+
)
(
)
(
:
)
(
)
(
)
(
:
)
(
)
(
)
(
:
)
(
)
(
)
(
:
)
(
−
=
+
−
−
=
−
+
+
=
−
−
+
=
+
+

Planalto Norte
Assim:
 2³ = 2 . 2 . 2 = 8  2³ = 8
 (- 1)4
= (- 1) . (- 1) . (- 1) . (- 1) = 1  (- 1)4
= 1
CASOS PARTICULARES:
a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base:
a1
= a 21
= 2
b) Toda potência de base 1 é igual a 1:
1² = 1 117
= 1
c) Toda potência de base 0 é igual a 0:
0² = 0 09
= 0
d) Toda potência de expoente par é positiva:
(- 2)4
= 16 24
= 16 (- 3)² = 9 3² = 9
e) Toda potência de expoente ímpar mantém o sinal da base:
3³ = 27 (- 3)³ = - 27
(+2)5
= 32 (- 2)5
= - 32
f) Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual
a uma unidade.
a0
= 1, com a ≠ 0
50
= 1
( - 72)0
= 1
Realmente: 1
a
1
a
:
a
a
a
a
:
a 0
4
4
0
4
-
4
4
4
=
→





=
=
=
g) Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da base:
2
2
a
1
a =
−
25
1
5
1
5 2
2
=
=
−
25
49
5
7
7
5
2
2
=






=






−
( ) 49
7
7
1 2
2
=
−
=






−
−
h) Toda potência de base 10, escrevemos à direita da unidade
tantos zeros quantas forem às unidades do expoente.

Planalto Norte
a) 10² = 100
b) 200 = 2 . 100 = 2 . 10²
c) 300 000 = 3 . 100000 = 3 . 105
d) 3 . 108
= 300 000 000
e) 107
= 10 000 000
f) 4000 = 4 . 10³
Propriedades da Potenciação:
Operações com potências
i) Multiplicação de potências de mesma base:
Mantém-se a base comum e somam-se os expoentes.

5
2
3
vezes
5
vezes
2
vezes
3
2
2
2
.
2
.
2
.
2
.
2
2²
.
³
2 =
=
= +






ii) Divisão de potências de mesma base:
Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes.
2
4
-
6
vezes
6
vezes
4
4
6
5
5
5
.
5
.
5
.
5
5
.
5
.
5
.
5
.
5
.
5
5
5
=
=
=

 

 






iii) Multiplicação de potências de mesmo grau:
Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum.
2² . 7² = 2 . 2 . 7 . 7 = (2 . 7)²
iv) Divisão de potências de mesmo grau:
Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum.
2
2
2
7
2
7
2
.
7
2
7
.
7
2
.
2
7
2






=
=
=
am . an = am + n
am : an = am - n (com a ≠ 0)
(am)n = am . n
an . bn = (a . b)n
n
n
n
b
a
b
a






= (com b ≠ 0)

Planalto Norte
v) Potenciação de potência:
Eleva-se a base ao produto dos expoentes.
( ) 6
3
3
vezes
2
3
3
2
2
2
.
2 =
=
= +



2
3
2
( ) 6
2
.
3
3
2
2
2 =
=
2
1.2.4 Radicais
Dizemos que 9 é uma raiz quadrada de 81 porque 9 . 9 = 81.
Representamos a raiz pelo símbolo .
Assim:
 4
16 = porque 4² = 16
 2
8
3
= porque 2³ = 8
 IR

81
-
4
De modo geral podemos escrever:
onde
a) Propriedades dos radicais
i) a
a
n n
=
Exemplo:
a) 4
4
64 3 3
3
=
=  43
= 64
ii) n
n
n
b
a
b
a .
. =
Exemplos:
a) 5
.
5
5 2
2
x
x
x =
=
b) 14
2
.
7 =
índice
radicando
raiz
b
a
n =
5
25 =
Radicando
Raiz
quadrada
Índice
.
2
*


=

= n
e
N
n
a
b
b
a n
n

Planalto Norte
iii)
n
n
n
b
a
b
a
=
Exemplos:
a) 2
8
3
24
3
24 3
3
3
3
=
=
=
b)
5
2
5
4
5
4
=
=
iv)
p
n p
m
n m
a
a
: :
=
Exemplo:
a) 4 3
2
:
8 2
:
6
8 6
x
x
x =
=
v)
n
m
n m
a
a
.
=
Exemplos:
a) 2
2
64
2
8
64 6 6
6
3
3
=
=

=
=
b) 24
3 4
3 3
=
vi) n
m
n m
a
a =
Exemplos:
a) 10
10
10 2 1
2
1
=
=
b) 4
4
64
8
8 3 3
3
3 2
3
2
=
=
=
=
c) 3
9
9
9 2
1
5
,
0
=
=
=
vii) ( ) n p
m
p
n m
a
a .
=
Exemplos:
a) ( ) 7
7
7 2
2
=
=
b) ( ) 4
3
4
3 27
3
4 3
=
=
c) ( ) ( ) 5 2
4
2
5
3
.
2
3
.
2
3
. =
= 5 2
2
2
2
b) Simplificação de radicais
Simplificar um radical significa obter uma expressão mais
simples equivalente ao radical dado. Para isso utilizamos as
propriedades já citadas. Observe:
Potenciação de radicais:
Eleva-se o radicando à potência
indicada e conserva-se o índice.
Expoente fracionário:
Uma potência com expoente fracionário pode
ser convertida numa raiz, cujo radicando é a
base, o índice é o denominador do expoente,
sendo o numerador o expoente do radicando.

Planalto Norte
a) 5)
(x
5)
(x 2
+
+
=
+
+
=
+ )
5
(
)
5
.(
)
5
( 3
x
x
x
b) 5x
6x
5x
3.x.x
.
2
5.x
.
3
.
2 2
2
2
2
=
=
= x
x
x .
.
180 2
5
c) 9
3
.
3 4 4
4 8
=
=
= 2
4
3
3
Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se
o expoente do fator pelo índice do radical. Observe:
i) 3 3
2
.
3
2 =
3
3
ii) ( ) 5
2
2
2
2
180
5
.
.
6
5
.
6 x
x
x
x
x =
=
c) Operações com os radicais.
 Adição e subtração de radicais semelhantes
Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são
semelhantes. Na adição e subtração de radicais semelhantes,
operam-se os coeficientes e conserva-se o radical. Observe:
a) 2
2
-
2
10
-
2
8
2
10
-
2
5
2
3 =
=
+
b) 3
3
3
3
3
3
3
2
3 2
3
2
6
-
9
2
-
2
5
-
2
6
2 =
=
+
 Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice
Multiplicam-se ou dividem-se os radicandos e os coeficientes
entre si e dá-se ao produto ou quociente o índice comum. Observe:
a) 6
3
.
2
3
. =
=
2
3x
2x
x
.
x
.
3
.
2
.x
.3.x
2
x
12 2
2
1
2
2
3
=
=
=
Fatoramos: 12 = 22.3
Aplicamos o produto de potências de
mesma base para extrair fatores do
radicando.
x
x
x
x
x 5
5
5
)
1
7
11
(
5
5
7
5
11 =
+
−
=
+
−
Coeficientes
3 4
2
3
3 2
3
20
.
2
.
)
4
.
2
(
.
5 x
y
x
y
x
y
x −
=
−

Planalto Norte
b)
2
3
-
2
6
2
1
- =
=
−
.
2
8
6
4
c) 4
4
4
4
30
.
)
2
(-a.
.
5
3a
.
) 3
6
3
.
2
( a
a =
−
d) 4
4
4
2
15
2
15
2
3
.
=
=
4
4
4
5
d) Racionalização de denominadores
A fração
3
5
tem no seu denominador um número irracional. A
racionalização de denominadores consiste na obtenção de uma fração
com denominador racional, equivalente. A essa transformação, damos o
nome de racionalização de denominadores.
Para racionalizar o denominador de uma fração devemos
multiplicar os termos dessa fração por uma expressão com radical,
denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração
equivalente com denominador sem radical.
1º Caso: O denominador é um radical de índice 2. Neste caso, o fator
racionalizante é o próprio radical do denominador. Observe:
a)
3
6
3
3
.
3
2
=
=
=
9
6
3
2
b)
6
3
3
.
2
3
9
2
3
3
3
.
3
2
7
- 7
7
7
3
2
7 −
=
−
=
−
=
=
−
c)
15
12
30
12
2
6
.
5
12
2
36
5
12
2
6
.
6
.
2
2
=
=
=
=
=
6
5
6
5
2
2
2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos
em que um deles, ou ambos, são radicais. Neste caso, o
fator racionalizante será a expressão conjugada do
denominador, onde a expressão conjugada de (a + b) é
(a – b). Observe:
Fator racionalizante
5
5
25
5
5
5
.
5
1
=
=
=
5
1

Planalto Norte
Na racionalização aparecerá no denominador um produto notável
do tipo (a + b)(a – b) = a² - b². Por exemplo:
1. (5 + 3x)(5 – 3x) = 5² - (3x)² = 25 – 9x2
2. ( )( ) ( ) ( ) 3
2
5
2
5
2
5
2
5
2
2
=
−
=
−
=
+
−
Exercício resolvido:
a) ( )
( )
( ) ( ) ( )
3
-
2
5
3
-
2
5
3
-
3
-
2
5.
3
-
3
-
2
.
5
3
-
2
3
-
2
.
3
2
5
3
=
=
=
=
+
=
+ 1
4
2
2
5
2
2
1.3 Valor absoluto ou Módulo
Observe a reta numérica, onde estão representados alguns
números inteiros:
À distância entre um número e o zero na reta, chamamos de
módulo ou valor absoluto do número. Indicamos o módulo de um
número pelo símbolo .
Por exemplo, a distância do – 4 até a origem é 4 unidades, ou
seja, o módulo do – 4 é 4.
Exercícios Resolvidos:
a) 9
9 =
−
b) 5
5 =
+
c) 0
0 =
( ) ( ) 3
5
5
5
1
2
2
2
-
5
2
-
2
-
5
2
-
2
-
5
2
-
5
2
-
5
.
2
5
1
2
=
=
=
+
=
+
O fator racionalizante é
a expressão conjugada
do denominador.
2
5 + → 2
5 − 0
- 2
- 3
- 4 - 1 + 1 + 2 + 3 + 4
4
4
- =

Planalto Norte
1.4 Operações com frações
FRAÇÕES COM DENOMINADORES IGUAIS
“Para adicionar ou subtrair frações com mesmo denominador, devemos
adicionar ou subtrair os numeradores e conservar o denominador”.
Exercício Resolvido
1) Joaquim gasta
9
4
do seu salário com aluguel e
9
1
com alimentação.
Pergunta-se:
a) Que fração do salário Joaquim gastou no total?
b) Que fração do salário sobrou?
Resolução
a) Adicionando os gastos, temos:
9
5
9
1
9
4
=
+
b) O salário de Joaquim corresponde a um inteiro 





= 1
9
9
9
4
9
5
9
9
9
5
1 =
−
=
−
Portanto, Joaquim gastou
9
5
do salário e sobraram
9
4
.
1.4.2 Fatoração
A decomposição de um número em um produto de fatores
primos é feita por meio do dispositivo prático que será mostrado
nos exemplos a seguir.
1) 30 = 2 . 3 . 5
2) 45 = 32
. 5
OBS: Número primo é um número que possui apenas dois
divisores: o próprio número e o número 1. Veja os primeiros
números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
30
15
5
1
2
3
5
2 . 3 . 5
45 3
15 3
5 5
1
32
. 5
Fatoração
multiplicação

Planalto Norte
1.4.3 Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)
O mínimo múltiplo comum de vários números é o menor número
divisível por todos eles.
1) Calcular o m.m.c. (12, 16, 8) = 48
FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES
Exercícios Resolvidos
1)
3
16
6
32
6
5
27
6
5
2
9
=
=
+
=
+ mmc (2, 6) = 6
2) Joaquim e Francisco estão pintando um muro. Joaquim já pintou
4
3
do muro, e Francisco
8
1
.
a) Que parte do muro eles já pintaram no total?
b) Quanto que Joaquim pintou a mais que Francisco?
Resolução
a)
8
7
8
1
6
8
1
4
3
=
+
=
+
b)
8
5
8
1
6
8
1
4
3
=
−
=
−
Portanto, eles pintaram juntos
8
7
do muro e Joaquim pintou
8
5
a
mais que Francisco.
1.4.4 Multiplicação
Para multiplicar as frações, devemos multiplicar numeradores com
numeradores e denominadores com denominadores.
1)
14
15
2
5
.
7
3
+
=






−






−
2)
3
8
3
2
.
4 −
=






−
: 2
12 , 16 , 8 2
6 8 4 2
3 4 2 2
3 2 1 2
3 1 1 3
1 1 1 48

Planalto Norte
1.4.5 Divisão:
Para dividir uma fração por outra fração, devemos multiplicar a primeira
fração pelo inverso da segunda fração.
1)
2
15
6
45
2
9
.
3
5
9
2
:
3
5
=
+
=






−
−
=






−
−
2)
24
1
8
1
.
3
1
8
:
3
1
−
=
−
=
−
3)
3
4
-
1
2
.
3
2
-
2
1
3
2
=






=






−
4)
6
1
3
1
.
2
1
3
2
1
=
=
1.4.6 Potenciação
1)
25
9
5
3
.
5
3
5
3
2
=






−






−
=






−
2)
64
27
4
3
3
−
=






−
3) 1
9
17
0
=






1.4.7 Radiciação
1)
5
3
25
9
25
9
=
=
2)
2
1
8
1
3 =
3)
4
1
− IR

4)
2
1
8
1
3 −
=
−
: 3
Inverter a segunda fração

Planalto Norte
Exercícios - MÓDULO I
1) Simplifique as expressões numéricas:
a) 9 + 3 . 2 =
b) 8 . 7 – 18 =
c) 6 . 12 + 6 . 8 =
d) 9 . 15 – 6 .15 =
e) 8 . 3 – 20 + 4 . 2 =
f) 100 – 3 . 24 =
g) 256 – 2 . 72 – 2 . 36 =
h) 9 . 7 – 7 . 9 + 1 =
i) 40 . 8 : 2 =
j) 28 : 4 . 7 =
l) 45 : 5 – 45 : 9 =
m) 48 : 16 + 3 . 2 =
n) 98 : 7 – 6 : 3 =
o) 42 : 6 – 5 =
p) 27 : 3 : 3 : 3 . 10 =
q) 45 – 15 : 5 . 3 =
r) 100 – 0 : 4 . 10 =
s) 0 : 12 + 3 . 9 =
2) Calcule:
a) 9(10 + 2 ) =
b) 9(2 + 5) – 10(6 – 2) =
c) 54 : (9 . 3 – 3 . 3) + 3 . 1 =
d) 6(42 : 7 – 4) – 0 : 3 =
e) (4 . 8 : 2) : 8 + 2 . 5 =
f) 256 : (32 : 2 : 2 : 2) : 4 =
g) [15 + 2(3 + 4)] =
h) [45 – (3 . 5 – 2)] : 8 =
i) 6[(36 : 9 – 3) . (8 : 2)] : 3 =
j) 6 . 8 + [48 : 12 – 48 : (4 + 12)] =
l) 48 – 2[125 : 5 – (8 – 36 : 6)] : 2 =
m) 100 – {2[25 – (27 : 9 + 24 – 7)]} : 2 =
n) 6{48 : [6 . 6 – (16 : 4 + 8)]5} =
o) 200 : {3[3 . 10 : 30] + (2 . 1)} =
p) {54 + [72 : 2 + (7 . 9 – 6 : 2)] + 3} : 9 =
a) 302
: [23
. 22
– (92
: 32
) + 2 . 16 - 1] =
b) 44
– [96 : (22
. 9 ) + 82
: 64 ]24
=
c) 16 . 33
– [112
– ( 9 . 49 )1100
] + 23
=

Planalto Norte
d) 122
– 122
: [(92
- 3
1 ) : 100 ]7 =
e) 63
: 81 : 22
- 3
8 =
f) 4
16 [103
: 52
– (72
– 32
) : 100 ] : 9 =
4) Calcule o valor de cada expressão numérica:
a) =
+ 81
4
b) =
− 72
81
c) =
− 64
100
d) =
− 64
100
e) =
− 2
2
12
13
f) =
− 2
2
4
5
g) =
+ 2
2
12
5
h) ( ) =
2
100
i) =
− 4
81
3
j) =
+
− 64
2
3
52
l) =
+
+
+ 1
2
3
2
3
3
2
4
m) =
−1
10
:
100
n) ( ) =
2
81
o) ( ) =
−
−
2
49
p) =
− 2
2
3
5
q) =
−
+
−
− 2
2
)
3
(
)
4
(
r) =
−
−
− 2
2
)
8
(
)
10
(
s) =
−
−
− 2
2
)
4
(
5
t) =
−
+
−
− )
4
)(
7
(
4
)
3
( 2
a) 2 + 3 – 1 =
b) – 2 – 5 + 8 =
c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 =
d) – 15 + ( - 25) – ( - 81) =
e) 18 + ( - 29) – (+ 45) =
f) 104 – 45 – 28 =
g) ( - 73) + ( - 98) =
h) + ( + 9 – 5 + 1) – ( - 4 – 3 + 2) =
i) – ( + 10 – 20) + ( - 40 + 50 – 60) =

Planalto Norte
6) Calcule:
a) – 8 – ( 2 + 3) =
b) – 20 – ( 5 – 1 ) =
c) – 16 – 9 – ( 4 + 3) – ( -12 + 7) =
d) ( - 3 + 6 – 11) – ( - 1 2 – 15 + 16) + ( 17 – 20 + 3) =
e) – (- 8 + 1) – ( - 9 – 3) =
f) ( -1 – 2 – 3) – ( +7 -6 +8) =
g) (-5 + 3 – 10) – ( -16 + 8 - 9) =
7) Calcule:
a) o triplo de – 2:
b) o quádruplo de -1:
c) o dobro de – 4 adicionado a – 5:
d) o triplo de + 2 adicionado a – 10:
e) o dobro de – 2 adicionado ao triplo de – 1:
f) o quádruplo de -3 adicionado ao dobro de 12:
8) Efetue as multiplicações:
a) – 2 . 8 =
b) (+ 5) . (- 3) =
c) – 6 . (+ 1,75) =
d) (+ 5) . (- 4) =
e) 10 . (- 9) =
f) (- 1,2) . (-1,5) =
g) 4 . (- 15) =
h) -10 . (+ 10) =
i) (- 0,7) . (+ 0,8) =
j) 100 . 10 =
l) (- 15) . ( + 16) =
m) (- 0,5) . (- 0,5) =
n) 2 . (- 2) . (- 2) =
o) (- 3) . (- 4 ) . (- 1) =
p) – 1. ( + 5) . (- 10) =
q) (+ 6) . (- 6) . (+ 2) . (- 2) =
r) (- 10) . (- 1) .(+ 4) . (+ 17) . 0 =
9) Calcule os quocientes:
a) 30 : (- 6) =
b) – 50 : (+ 2) =
c) 30 : (+ 5) =
d) – 121 : (- 11) =
e) 20 : (- 20) =
f) – 20 : (- 1) =
g) [(- 16) : (- 2)] : (- 2) =
h) [(- 4) : (- 1)] . [(- 20) : (- 4)] =
i) [(+ 8) : (- 4)] : [(- 20) : (- 10)] =

Planalto Norte
j) =
4)
(+
:
4)
(-
3)
(-
.
7)
(+
l) =
−
−
−
−
1
.
2
)
5
(
:
)
5
(
:
100
m) =
−
+
−
−
+
−
−
−
−
2
2
3
3
)
5
(
)
5
)(
2
(
)
2
(
)
5
(
)
2
(
n)
2
4
−
=
o)
2
8
−
=
p)
5
20
−
−
=
q)
2
)
1
).(
4
(
−
−
−
=
r)
1
7)
-
(2
.
5)
-
3
1
(
−
+
−
=
s)
1
(
−
+ 3)
-
5
.
2
-
4
.
3
2
=
10) Calcule:
a) a metade de – 80:
b) a terça parte de 60:
c) a quarta parte de – 20:
d) a quinta parte de 100:
e) a metade de -10 multiplicado por 4:
f) o dobro de - 8 dividido por - 4:
g) a terça parte de + 60 dividida por -10:
h) a quarta parte de – 100 adicionada à metade de – 18:
11) Calcule as potências:
a) 1³ =
b) 04
=
c) (- 2)³ =
d) (- 4)³ =
e) (- 2)4
=
f) (- 4)4
=
g) 2³ . 25
=
h) 2 . 3-1
=
i) 35
: 34
=
j) 34
: 3² . 35
=
l) 24
. 54
=
m) (2 . 3²)0
=
n) 153
: 33
=
o) (- 4)6
: 26
=
p) (3³)2
=
q) (-22
)5
=

Planalto Norte
r) (- 3³)2
=
s) 4
3
2
−
=
t) (2 . 3)³ =
u) (3² . 5 . 2)-1
=
v)
5
3
5






− =
x)
2
4
3
2






− =
z) 4-2
=
12) Calcule:
a) o quadrado de – 9:
b) o cubo de – 1:
c) a quarta potência de – 2:
d) a quinta potência de zero:
e) o quadrado de – 5 adicionado ao cubo de -1:
f) a terça parte do cubo de – 3:
g) o cubo de – 1 multiplicado pelo quadrado de 6:
h) a quarta parte do quadrado de – 6:
13) Use os símbolos de > (maior), < (menor) ou = (igual) e compare
as potências:
a) – 53
___ (- 5)3
b) (- 2)2
___ - 22
c) – 43
___ (- 4)3
d) – 14
___ ( - 1)4
e) (- 3)2
___ (- 3)3
f) ( - 4)1
___ (- 4)0
g) – 42
___ (- 2)3
h) – 52
___ - 5- 2
i) 3
3
1
−
___ 3- 3
14) O produto dos resultados das três expressões representa o
número de anos que durou a construção de um castelo na
Espanha. Se ele começou a ser construído no ano 250 a.C., em
que ano terminou a construção?
{(- 2) + (- 3)( - 9) + 4(- 5) – [- 5. (- 1)]}(- 2) - 5
[6(-6 )(- 3) + 100(- 1)](- 3) + 19
{- 100 + (- 64)(- 2) – (- 2)(- 2)(- 2)(- 2) – 1. 17}(- 1)
1ª
2ª
3ª
Fique
atento aos
sinais e
parênteses.
s

Planalto Norte
15) Reduza a expressão com uma única potência de base – 3. Depois,
efetue a potenciação.
a) [(- 3)5
]2
: (- 3)8
=
b) [(- 3)1
]2
(-3)3
: (- 3)4
=
c) (- 3)10
(- 3)6
: [(- 3)2
]8
=
d) (- 3)6
: (- 3)2
: [(- 3)1
]0
=
e) =
−
−
−
−
3
0
3
6
3
8
)
3
(
)
3
(
]
)
3
[(
:
)]
3
[(
f) =
−
−
−
5
2
5
10
]
)
3
[(
)
3
(
)
3
(
16) Determine o mínimo múltiplo comum de 8 e 12.
17) Qual é o mmc do 10 e 18?
18) Calcule as operações com as frações:
=
−
=
−
=
−
=
−
=
+
=
+
=
+
=
+
7
5
14
13
h)
15
7
4
3
g)
5
2
6
5
f)
9
2
2
1
e)
15
10
3
2
d)
9
6
6
5
c)
12
4
9
1
b)
6
1
2
3
a)
i) 2
-
3
4
4
3
-
12
1
=
+
j) 4
-
4
5
3
7
=
+
19) Determine cada produto e escreva na forma mais simples:

Planalto Norte
=












+






−
=






−






−
=






−






+
=






+






−
−
=






−






−
=






+






−
2
3
.
3
4
.
4
f)
10
7
.
5
2
e)
6
8
.
4
3
d)
2
5
.
3
2
6.
c)
7
10
.
2
5
b)
4
3
.
6
8
a)
g)
5
3
-
.
2
1
=






h)
2
1
. =






−
4
1
i)
5
16
.
4
11
=






+
−
j) =
−
5
2
.
3
1
l) =












+






−
5
2
-
.
3
1
.
3
7
m) =












5
2
-
.
6
1
-
20) Efetue e simplifique se possível:
=
−
=
=






+
−
=






+
+
5
1
:
4
d)
3
1
:
0,5
c)
8
1
:
2
1
b)
2
9
:
4
3
a)
=
−






−
=
2)
(
:
2
1
f)
2
:
6
7
e)
21) Calcule:
a) =
4
1
.
3
2
:
2
1
b) =






5
1
:
5
2
-
.
2
c) =






+
2
1
:
4
2
3
1
g) 2
1
=
−
−
3
1
h)
3
2
5
=
−
i)
4
9
3
13
=
−

Planalto Norte
d) =
+
3
3
1
1
e) =
+
+
2
1
2
2
1
1
1
f) =
+
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
g) =






+
+
+
+
1
17
9
:
4
3
3
2
4
1
3
1
2
1
22) Efetue as operações:
a) 2,31 + 4,08 + 3,2 =
b) 4,03 + 200 + 51,2 =
c) 32,4 – 21,3 =
d) 48 – 33,45 =
e) 2,1 . 3,2 =
f) 48,2 . 0,031 =
g) 3,21 . 2,003 =
h) 8,4708 : 3,62 =
i) 682,29 : 0,513 =
j) 2803,5 : 4450 =
l) (FUVEST)
0
,
2
2
,
3
3
,
0
.
2
,
0
−
=
m) 0,041 . 21,32 . 401,05 
n) 0,0281 : 0,432 
o)
1
,
5
4,82
.
31
,
2

p)
285
,
0
4,32
.
021
,
0

23) Qual é a soma do dobro de – 4,75 e o triplo de -1,2?
24) Calcule:
a) o quádruplo de 1,3:
b) o dobro de -5,2:

Planalto Norte
25) Rafaela apostou que 1,6 . (- 0,25) é
10
4
− . Ele ganhou a aposta?
26) Calcule o módulo do resultado da expressão 2
3
1
.
2 −






− .
27) Decomponha o radicando em fatores primos e simplifique os
radicais:
a) =
8
64
b) =
288
c) =
3
40
d) =
− 320
5
e) =
xy
y
x 4
6
16
f) =
3 7
3
4
c
b
a
g) =
3 4
6
9 b
a
h) =
3
4
3
4
16
2
x
b
a
28) Calcule:
a) =
+ 5
10
5
2
-
5
b) =
+ 8
-
2
3
32
c) =
+ 3
3
3
d) =
+
−
− 3
3
3
5
5
8
5
12
e) =
+
−
− 72
3
75
12
2
32
f) =
−
+
− a
a
a
a 128
32
2
2
5
8
3
29) Efetue:
a) =
6
.
3
b) ( ) ( )=
4
-
.
2
- 3 3
c) =
2
8
4
4
d) =
5
2
5
3
4
2
.
y
x
y
x
e) =
3 7
5
3 2
2
3
5
.
2
.
6 b
a
b
a
ab
f) =
+
− )
1
5
)(
1
5
(
g) ( )( )=
−
+ 8
7
8
7
h) ( )( )=
+
− 5
3
2
5
3
2
i) ( ) =
2
6
3

Planalto Norte
j) ( ) =
3
.
2
2
3 2
l) =
3
3 3
m) =
2
3
n) =
+
−
2
4
2
x
x
o) =
xy
y
x
6
48 2
30) Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes:
a) 4
3
2 =
b) 2
1
2
−
=
c)
2
1
2
1
2 







=
d) ( )6
1
2 3
. =
e) =
−
3
2
5
31) Racionalizar o denominador das frações seguintes:
a)
7
1
=
b)
7
3
=
c)
2
2
3
=
d)
2
-
5
2
=
e)
11
-
4
5
=
f) =
+1
2
6
g) =
− 2
3
3
9
32) Encontre o valo numérico da expressão 2x2
– 4x, para x =
1
2
4 + .
33) Calcule o valor da expressão 4
3
4y , para y = 16.
34) Calcule o valor da expressão 4
1
10
−
a , para a = 625.

Planalto Norte
35) Um encanador quer colocar um cano condutor
de água ligando os pontos A e C do terreno
quadrangular indicado na figura ao lado. Sabendo
que a área do terreno é de 484 m2
, quantos reais
o encanador gastará na compra do cano, se o
metro custa R$ 5,00.
36) Quanto mede a diagonal do quadrado de lado 5 cm?
(Sugestão: Use o teorema de Pitágoras)
37) Qual é a altura de um triângulo equilátero de lado igual a 3 cm?
(Sugestão: Use o teorema de Pitágoras)
38) Qual é a distância entre os pontos A(1, 3) e B(9, 9)?
39) O cubo é um prisma em que todas as faces são quadradas.
Determine a medida da diagonal do cubo da figura dada abaixo.
Respostas:
1) a.15 b.38 c.120 d.45 e.12 f.28 g.40 h.1 i.160 j.49 l.4 m.9 n.12
o.2 p.10 q.36 r.100 s.27
2) a.108 b.23 c.6 d.12 e.12 f.16 g.29 h.4 i.8 j.49 l.25 m. 95 n. 60
o.40 p. 17
3) a.30 b.0 c.16 d.18 e.4 f. 8
4) a.11 b.3 c.2 d.6 e.5 f.3 g.13 h.100 i.25 j.23 l.6 m.3 n.81 o.-49
p.4 q.-5 r.6 s.-3 t.11
5) a.4 b.1 c.-15 d.41 e.-56 f.31 g.-171 h.-4 i.-40
6) a.- 13 b.- 24 c.- 27 d.3 e.19 f.- 15 g.5
7) a.- 6 b.- 4 c.- 13 d.- 4 e.- 7 f.12
8) a.-16 b.-15 c.-10,5 d.-20 e.-90 f.1,8 g.-60 h.-100 i.-0,56 j.1000 l.-
240 m.0,25 n. 8 o. -12 p. 50 q.144 r.0
9) a.-5 b.-25 c.6 d.11 e.-1 f.20 g.-4 h.20 i.-1 j.21 l.2 m.3 n.-2 o.-4
p.4 q.-2 r.-12 s.-1
10) a.-40 b.20 c.-5 d.20 e.-20 f.4 g.-2 h.-34
1 9
3
9
0
x
A
B
y
10 m
10 m
10 m
d
A
B C
D

Planalto Norte
11) a.1 b.0 c.-8 d.-64 e.+16 f.256 g.256 h.
3
2
i.3 j.2187 l.10000
m.1 n.125 o.64 p.729 q.-1024 r.729 s.162 t.216 u.
90
1 v.
243
3125
−
x.
6561
4 z.
16
1
12) a.81 b.-1 c.16 d.0 e.24 f.-9 g.-36 h.9
13) a.= b.> c.= d.< e.> f.< g.< h.< i.>
14) 1ª.-5 2ª.-5 3ª.5 R.125a.C.
15) a.(-3)2 = 9 b.(-3)1 = 3 c.(-3)0 = 1 d.(-3)4 = 81 e.(-3)3 = -27 f.(-3)5 = -243
16) mmc(8, 12) = 24 17) mmc(10, 18) = 90
18) a.
3
5
b.
9
4
c.
2
3
d.
3
4
e.
18
5
f.
30
13
g.
60
17
h.
14
3
i.
4
3
− j.
12
5
-
19) a.-1 b.
7
25
c.10 d.-1 e.
25
7
f.-8 g.
10
3
- h.
8
1
- i.
5
44
− j.
15
2
−
l.
35
2
m.
15
1
20) a.
6
1
b.-4 c.
2
3
d.-20 e.
12
7
f.
4
1
g.
2
3
h.
2
15
− i.
27
52
-
21) a.
16
3
b.-4 c.
3
5
d.
9
4
e.
2
7
f.
10
9
g.
2
1
22) a.9,59 b.255,23 c.11,1 d.14,55 e.6,72 f.1,4942 g.6,43 h.2,34
i.1,33 j.0,63 l.0,05 m.350,57 n.0,065 o.2,18 p.0,32
23) -13,1 24) a.5,2 b.-10,4
25) Sim 26)
3
8
27) a.
4 3
2 b. 2
12 c. 3
5
2 d. 5
40
− e. xy
y
x2
4 f. 3
2
ac
abc
g. 3
2
9b
b
a h. 3
2x
a
x
ab
28) a. 5
9 b. 2
5 c. 3
4 d. 3
5
19
− e. 3
9
2
22 − f. a
2
29) a. 2
3 b. 2 c. 2 d. 5
2
y
x
e.
3 2
3
2
60 b
a
b
a f. 4 g. -1 h. -13
i. 4 j. 3
12
3 l. 9
3 m. 6
2 n. 2
−
x o. 8 x
30) a.
4 3
2 b.
2
1
c. 4
2 d. 12
6 e.
3
25
1
31) a.
7
7
b.
7
7
3
c.
4
6
d. )
2
5
.(
2 + e. ( 11
4+ )
f. )
1
2
(
6 − g.
23
)
2
3
3
(
9 + 32) 62
33) 32 34) 2 35) R$ 155,56 36) d = 10 cm
37) h =
2
3
cm 38) d = 10 unid. 39) d = cm
3
10

Planalto Norte
2 Álgebra
3
Introdução
A Álgebra é considerada a aritmética simbólica porque emprega
letras para representar números. Observe o retângulo:
A área desse retângulo é A = 3.2 = 6 cm2
. Agora, como
representaríamos, algebricamente, a área do retângulo?
De modo geral, podemos representar por b a base do retângulo
qualquer e por h a sua altura, escrevemos por meio de uma expressão
o cálculo de área:
A = b . h ou A = bh
onde as letras b e h são chamadas de variáveis.
Observe o exemplo:
 Qual é o número cujo dobro adicionado a 5 dá como resultado 25?
Solução
Representamos o número desconhecido por x, então:
2 . x + 5 = 25
2x = 25 – 5
2x = 20
x =
2
20
x = 10
Portanto o número desconhecido é o número 10.
Expressões algébricas
Expressões matemáticas formadas por somente letras ou
números e letras são chamadas de expressões algébricas.
Por exemplo: – 7a2
b
3 cm
2 cm
- 7 a2
b
Coeficiente numérico: - 7
Variável ou parte literal: a2 b
A expressão algébrica – 7a2b é formada por um
termo ou monômio.
O valor
desconhecido
representado pela
letra x é chamado
de incógnita da
equação.

Planalto Norte
Dois ou mais monômios que possuem a mesma parte literal são
chamados monômios ou termos semelhantes. Por exemplo:
a) – 8a e 12a
b) 3xy2
e 2
7
5
xy
c) – a2
b3
, 9a2
b3
e 11 a2
b3
Uma expressão algébrica formada por um monômio ou por uma
soma de monômios chama-se polinômio.
Valor Numérico
Valor numérico de uma expressão é o número obtido quando se
substituem as variáveis por números e se efetuam as operações
indicadas.
a) Qual é o valor numérico da expressão x2
– 5x + 6 para x = -3?
(-3)2
– 5.(-3) + 6
9 + 15 + 6
30
2.1 Operações algébricas
Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes.
Quando estamos adicionando ou subtraindo os termos
semelhantes de uma expressão, dissemos que estamos
simplificando ou reduzindo os termos semelhantes. Para isso,
repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes.
a) 3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy²
b) 3x + 7x – x – 10x = - x
c) (x2
– 5x + 6) – (3x2
+ x – 1) = x2
– 5x + 6 - 3x2
- x + 1
= - 2x2
– 6x + 7
2.1.2 Multiplicação
Multiplicam-se os coeficientes e, a seguir, multiplicam-se as
partes literais. Para a multiplicação das partes literais, usamos a
propriedade da potência:
an
. am
= an + m

Planalto Norte
a) ( - 3a²y) . ( + 2ay) = - 6a³y²
b) 2x . ( 5x + 4) = 10x2
+ 8x
c) (2x + 1).(4x - 3) = 8x2
- 6x + 4x – 3 = 8x2
– 2x - 3
2.1.3 Divisão
1º Caso: Divisão de monômios. Divide-se o coeficiente numérico e
a parte literal correspondentes. Para dividir as partes literais, usamos a
propriedade da potência:
an
: am
= an – m
(com a ≠ 0)
a) (+6x3
) : (- 2x) = - 3x2
b) ( - 8 a4
b3
c) : ( - 12 a2
b2
c) =
12
8
−
−
a2
b =
3
2
a2
b
c) (+ 42a³bx4
) : (+ 7ax²) = 6a²bx²
Ao dividirmos um monômio por outro, o quociente obtido nem
sempre é um novo monômio. Observe:
(- 6x) : 2x2
=
x
3
2x
6x
2
−
=
−
2a
7y
y
4a
14ay
2
2
=
3
4
5
2
5
p
m
3mp
p
3m
=
−
−
 Esses resultados são expressões fracionárias chamadas de
frações algébricas.
2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada
termo do polinômio pelo monômio.
a) (6x2
+ 8x) : (- 2x) = - 3x – 4
b) (9a2
b2
– ab3
+ 6a3
b5
) : 3ab2
= 3a -
3
1
b + 2a2
b3
3º Caso: Divisão de polinômio por polinômio:
a) (2x2
– 5x + 8) : (x – 1) = 2x – 3 e resto: 5
b) (9x2
– 36) : (3x +6) = 3x – 6
Usamos
aqui a
propriedade
distributiva
: 4

Planalto Norte
a) b)
2.2 Produtos notáveis
Existem produtos de polinômio muito importantes no cálculo
algébrico, que são conhecidos por produtos notáveis. Vele a pena
reconhecê-los e resolvê-los de forma imediata.
2.2.1 Quadrado da soma de dois termos:
Podemos dizer que:
“ O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do
primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais
o quadrado do segundo. ”
a) (2 + x)² = 2² + 2 . 2.x + x² = 4 + 4x + x²
b) (7x + 2y)2
= 49x2
+ 28xy + 4y2
2.2.2 Quadrado da diferença de dois termos:
Podemos dizer que:
“ O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do
primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo
mais o quadrado do segundo.”
a) (x – 3) = x² + 2 . x . (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9
b) (7x - 2y)2
= 49x2
- 28xy + 4y2
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
1º Termo
2º Termo
Quadrado do
primeiro termo.
+ o dobro do
produto do 1º
pelo 2º termo.
+ quadrado do
segundo termo
(a - b)² = a² - 2ab + b²
- 2x
2
+ 2x
0 - 3x + 8
+ 3x – 3
0 + 5
2x
2
– 5x + 8 x – 1
2x - 3
9x
2
+ 0x - 36 3x +6
3x - 6
- 9x
2
- 18x
0 - 18x - 36
+ 18x + 36
0

Planalto Norte
2.2.3. Produto da soma pela diferença de dois termos:
Podemos dizer que:
“ O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao
quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.”
a) (1 - 3 ) . (1 + 3 ) = 1² - ( 3 )² = 1 – 3 = - 2
b) (7x + 2y) . (7x - 2y) = 49x2
- 4y2
2.3 Fatoração
Fatorar um polinômio é escrevê-lo sob a forma de um produto.
1° CASO: Fator comum
ax + bx = 





+
x
bx
x
ax
x. = x(a + b)
Na expressão fatorada, x é o fator comum colocado em evidência.
Por exemplo:
a) 4c – 18 = 





−
2
18
2
4
.
2
c
= 2(2c – 9)
Na expressão fatorada, 2 é o máximo divisor comum dos
coeficientes numéricos 4 e 18, logo é o fator comum colocado em
evidência.
b) 7ax3
+ x2
= =








+ 2
2
2
3
2 7
.
x
x
x
ax
x x2
(7ax + 1)
Na expressão fatorada, x2
é a parte literal de menor grau, logo é
o fator comum colocado em evidência. Podemos ter as três
situações em uma única expressão. Veja:
c) 8a5
b + 12a3
= 4a3
(2a2
b + 3)
d) ( )
a²
4ax²
2x
2ax
2a³x
8a²x³
4ax² +
+
=
+
+
2° CASO: Fatoração por agrupamento
a) ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y)
= (x + y)(a + b)
b) 2mx – 5ny – 2nx + 5my = -n(5y + 2x) + m(2x + 5y)
= (5y + 2x)(m – n)
(a + b) . (a – b) = a² - b²

Planalto Norte
Na expressão fatorada, os quatro termos não apresentam um
fator comum. Logo agrupamos os termos de dois em dois, onde a é o
fator comum do primeiro grupo e b é o fator comum do segundo grupo.
E fatoramos novamente.
3° CASO: Diferença entre dois quadrados
b) 16m2
– 25n4
= (4m – 5n2
)(4m + 5n2
)
4° CASO: Trinômio Quadrado Perfeito
b) 9x2
– 48xy + 64y2
= (3x – 8y)2
2.4 Frações Algébricas
Frações algébricas são expressões escritas na forma
de fração, em que ao menos uma das variáveis aparece
no denominador. Como não existe divisão por zero, o denominador
de uma fração algébrica necessariamente tem que ser diferente de
zero. Caso contrário, ela não representa um número real. Observe:
y
x
4
1
2
−
+
y
x
1
7
9 2
+
−
a
a
O conjunto dos números reais para os quais o denominador
de uma fração algébrica é diferente de zero é denominado domínio
ou campo de existência da fração.
Assim, para a fração
3
2
2
−
+
x
y
x
, o campo de existência é
qualquer número real diferente de 3, já que a fração não tem
nenhum significado quando x = 3, pois anula o seu denominador.
Dada uma fração algébrica, vamos considerar que sempre
estão excluídos os números reais que, colocados no lugar das
letras, anulam o seu denominador. Logo:
 A fração
x
7
, devemos ter x ≠ 0.
 A fração
9
4
2
3
−
+
x
x
, devemos ter x ≠ 3 e x ≠ - 3.
a) a2
– 9 = (a – 3)(a + 3)
2
a 9
a) x2
+ 20 x + 100 = (x + 10)2
x
x =
2 100
2.x.10 = 20x
perfeito
Sinal do
perfeito

Planalto Norte
2.4.1 Simplificação de frações Algébricas.
1.
3y
z
4x
y
18x
z
y
24x 2
4
2
3
4
=
2.
2
x
1)
2(x
1)
x(x
2
2x
x
x2
=
+
+
=
+
+
3.
b
a
b
a
b)
(a
b)
b)(a
(a
b
2ab
a
b
a
2
2
2
2
2
−
+
=
−
−
+
=
+
−
−
Exercícios – MÓDULO II
1) Ache o valor numérico da expressão 4x + 2y –3 para x=5 e y= -2.
2) A área do trapézio da figura é
dada pela fórmula
2
).
( 2
1 h
b
b
A
+
=
, em que b1 e b2 representam
suas bases e h sua altura.
Determine a área do trapézio, sendo b1 = 12 cm, b2 = 8 cm e h =
3,5 cm.
3) Escreva a expressão algébrica que representa a área da figura.
4) Calcule o valor numérico de 9x3
– x2
+
3
1
para x =
3
1
− .
5) Se a expressão algébrica a3
representa o volume de um cubo de
aresta a = 8 cm, qual é o volume desse cubo?
a + b
a
b2
b1
h

Planalto Norte
6) Encontre o valor numérico da expressão ( )
c
b
a +
+
2
4
3
para a = 9, b =
12 e c = - 12.
7) Ache a expressão algébrica que representa a área do retângulo.
8) Que polinômio representa o volume do paralelepípedo?
9) calcule o valor numérico para x4
– 8x3
+ x2
– x, para:
a) x = 3
b) x = -2
10) Reduza os termos semelhantes:
a) (4a – 7) + (-2a + 9) =
b) (13x – 1) + (2x – 1) =
c) (2x2
– 3x – 2) + (2x2
– 5x + 2) =
d) (-4y2
+ 5y – 3) + (4y2
+ 3) =
e) (8y3
– 6y2
+ 16y – 1) + ( - 8y3
– 6y2
+ 16y – 1) =
f) (4y – 2) – (2y + 3) + ( - 2y + 4) =
g) (b2
– 3b + 2) – (- b2
+ 3b – 2) – (2b2
– 4b + 1) =
h) (4x – 2) – (3x2
+ 7x – 2) + ( - x2
+ 1) =
i) (x3
– y3
) + (2x3
– 4x2
y + xy2
) – (x3
– 8) =
11) Efetue as multiplicações:
a) 3x2
. 4x3
=
b) -2a4
. 5a =
c) 6pq2
. ( - 2p³q² ) =
d) –ab . ( - a2
b3
) =
e) 3(2x2
– 5x + 1) =
f) -4(a3
– a2
+ 2a – 3) =
g) 2x2
(3x2
– 4x + 5) =
h) – a(a3
– a2
– 2) =
i) y
x2
2
1
(2x3
– xy + 4y2
) =
j) (x2
– 5x + 6)(x + 3) =
l) (2x + 3)(x – 2)(4x – 1) =
m) (2x + 1)(4x + 3) =
n) (2y – 6)(3y + 5) =
5x + 4
3x - 1
x + 3
x + 2
x + 1

Planalto Norte
12) Calcule as divisões:
a) x7
: x2
= e) =
− 6
2b
b
b) y4
: y2
= f) =
7
10
3
10
5
xy
y
x
c) 4n4
: ( - n) = g) =
−
4
4
3
4
27
9
p
n
p
n
d) - a6
: (- a10
)= h) =
3
5
5
3
8
4
a
b
b
a
13) Efetue as divisões:
a) (16x3
– 4x2
+ 8x) : ( - 4x) =
b) (m4
– 2m3
+ m2
) : ( - m) =
c) (am
– a2m
+ a3m
) : (+ am
) =
d) (6a4
b2
– 9a3
b + ab) : ab =
e) (20a3
– 15a2
+ 30a) : 5a =
f) (7m8
– 14m6
+ 28m5
) : 7m4
=
14) Simplifique 2
2
3
2
)
6
)(
8
2
(
x
x
x
x −
+
.
15) Efetue [(y2
– 2y + 4)(y + 2) + (y2
+ 2y + 4)(y – 2)] : y2
.
16) Calcule:
a) (x2
– 7x + 10) : (x – 2) =
b) (2y2
– 3y – 2) : (y – 2) =
c) (2n2
– 5n + 7) : (n – 3) =
d) (10a2
– 3a – 7) : (a – 1) =
e) (x2
– 81) : (x + 9) =
f) (81 – 18y + y2
) : (- y + 9) =
g) (k3
– 3k2
+ 3k – 2) : (k – 1) =
h) (8b3
+ 12b2
+ 6b + 1) : (2b + 1) =
17) Determine
4
4
8
12
6
2
2
3
+
−
−
+
−
x
x
x
x
x
.
18) Efetue:
a) (x + y)2 =
b) (a + 3)2 =
c) (5x + 2)2 =
d) (-3 + 4x)2 =
e) (2x + y)2 =
f) (5a + 2b)2 =
g) (3a + 4b)2 =
h) (x - 5)2 =
i) (2a - 7)2 =
j) (6x – 2y)2 =
l) (11x - y)2 =
m) (a - 3)2 =

Planalto Norte
19) Fatore as expressões algébricas:
a) 5x + 5y =
b) ba – bc =
c) 7a + 7b – 7c =
d) 8x – 10y =
e) 27m + 3n =
f) =
+ y
x
4
1
4
1
g) =
− bx
b
3
8
5
2
h) y
x
15
12
5
6
+ =
i) 24x2
– 8x3
=
j) a3
m4
– 3a2
m3
+
2
1
a2
m =
l) 5x3
+ 5ax6
=
m) 12a3
b4
– 16b3
a4
=
n) 14x2
y – 21x3
z =
o) 8a5
b + 12a3
=
20) Fatore a expressão 2ax + 2bx + ay + by.
21) Fatore os polinômios:
a) 4x2
+ 36x + 81 =
b) 16 – 40x + 25x2
=
c) 1 – 20y + 100y2
=
d) 121x2
– 25 =
e) 64x2
– 36y2
=
f) =
−
49
25
4 2
2
b
a
g) 49x2
+ 42xy + 9y2
=
h) m2
n2
– 2mn + 1 =
i) =
−
25
9
4
2
2
y
x
22) Fatore:
a) 3x2
+ 30x + 75 =
b) -3ax2
+ 18ax – 27a =
c)
16
45
4
5 2
2
m
x
m
y
+
−
=
d) 1000 – 10x2
=
e) 3x2
– 27 =
23) Qual é a expressão fatorada de 5m + 5n – m2
– 2mn – n2
?

Planalto Norte
24) Simplifique as frações algébricas:
a)
6
2
9
6
2
+
+
+
x
x
x
=
b) =
+
+
−
2
2
2
2
9
36
36
9
36
y
xy
x
y
x
c) =
−
−
9
15
5
2
x
x
d) =
−
+
+
2
2
2
2
7
7
14
28
14
n
m
n
mn
m
e) =
+
−
−
2
2
2
8
6
12
y
y
xy
y
x
f) =
+
−
1
3
3 2
a
a
g) =
−
−
3
9
1
9 2
x
x
h) =
−
2
3
4
b
b
ab
i) =
−
+
a
ax
a
ax
24
6
6
3
2
j)
12
6
12
3 3
+
−
x
x
x
=
l) =
−
−
2
3
2
3
5
5
8
8
dm
d
dm
d
25) Qual é a forma mais simples de escrever a fração
a
a
a
a
4
4 2
2
3
−
−
?
26) Simplifique 2
2
2
2
2 a
ax
x
a
x
+
−
−
.
27) Qual é o domínio da fração:
a)
8
3
−
x
x
b)
1
4
1
5
−
+
x
x
c) 2
4
1
a
a
+
−
+
28) Efetue:
a) =
+
+
y
ax
y
ax
y
ax 3
2
9
b) =
+
+
−
+
−
3
5
3
1
a
y
a
y
c) =
−
+
x
y
x 2
1
4
3
5
2

Planalto Norte
d) =
+ a
a
5
2
1
29) Obtenha o valor da expressão 2
2
)
1
3
2
(
)
2
3
( +
+
− .
30) Efetue as operações e simplifique se possível:
a)
y
x
x
y
x
x
−
−
.
9 3
=
b) =
+
+ y
x
xy
y
x
x 2
.
4
c) =
−
−
−
+
x
x
x
x
x
x
3
9
:
3
2
2
2
d) =
+
−
− xy
x
y
x
y
xy
x
2
2
2
2
2
.
e) =
+
+
−
2
a
b
b
a
a
b
b
a
f) =
+
+
−
+
+
−
10
7
25
:
8
4
25
10
2
2
2
x
x
x
x
x
x
g) =
−
+
−
−
+
−
+
−
b
a
a
a
a
a
bx
ax
b
a 1
.
1
3
3 2
2
3
h) =
−
+
+
+
)
(
2
2
4
:
4
4 2
2
2
2
b
a
ab
b
a
ab
b
ab
a
31) Efetue a expressão 







+
−
−






+
−
+
ab
a
ab
ab
a
b
a
1
1
:
1
2
e simplifique se
possível.
32) Encontre o valor numérico da
expressão 







+
−
+








+
−
+
xy
xy
x
xy
x
y
x
1
1
:
1
2
, para x = 17 e y = 53.
Respostas:
1) 13 2) 35 cm2
3) a(a + b) 4)
9
1
− 5)512 cm3
6)
2
27 7) 15x2
+ 7x – 4 8) x3
+ 6x2
+ 11x + 6 9) a.-129 b. 86
10) a. 2a + 2 b. 15x – 2 c. 4x2
– 8x d. 5y e. -12y2
+ 32y – 2
f. -1 g. -2b + 3 h. -4x2
– 3x + 1 i. 2x3
– 4x2
y + xy2
– y3
+ 8
11) a. 12x5
b. -10a5
c. – 12p4
q4
d. a3
b4
e. 6x2
– 15x +3
f. -4a3
+ 4a2
- 8a + 12 g. 6x4
– 8x3
+ 10x2
h. – a4
+ a3
+ 2a
i.
3
2
2
3
5
2
2
1
y
x
y
x
y
x +
− j. x3
– 2x2
– 9x + 18 l. 8x3
– 6x2
– 23x + 6
m. 8x2
+ 10x + 3 n. 6y2
– 8y – 30
12) a. x5
b. y2
c. - 4n3
d. 4
1
a
e. 5
2
1
b
− f.
2
1 3
2
y
x
g.
p
3
1
− h.
2
1

Planalto Norte
13) a. - 4x2
+ x – 2 b. -m3
+ 2m2
– m c. 1 – am
+ a2m
d. 6a3
b – 9a2
+ 1 e. 4a2
– 3a + 6 f. m4
– 2m2
+ 4m
14) x2
– 2x – 24 15) 2y
16) a. x – 5 b. 2y + 1 c. 2n + 1, resto: 10 d. 10a + 7
e. x – 9 f. –y + 9 g. k2
– 2k + 1, resto: -1 h. 4b2
+ 4b + 1
17) x - 2
18) a. x2
+ 2xy + y2
b. a2
+ 6a + 9 c. 25x2
+ 20x + 4
d. 9 – 24x + 16x2
e. 4x2
+ 4xy + y2
f. 25a2
+ 20ab + 4b2
g. 9a2
+ 24ab + 16b2
h. x2
– 10x + 25
19) a. 5(x + y) b. b(a – c) c. 7(a + b – c) d. 2(4x – 5y) e. 3( 9m + n)
f. ( )
y
x +
4
1 g. 





− x
b
3
8
5
2 h. 





+ y
x
3
2
5
6 i.8x2
(3 – x)
j. a2
m(am3
– 3m2
+
2
1
) l. 5x3
(1 + ax3
) m. 4a3
b3
(3b – 4a) n. 7x2
(2y – 3xz)
o. 4a3
(2a2
b + 3)
20) (a + b)(2x + y)
21) a. (2x + 9)2
b. (4 – 5x)2
c. (1 – 10y)2
d. (11x – 5)(11x + 5)
e. (8x – 6y)(8x + 6y) f. 





−






+
7
5
2
7
5
2 b
a
b
a g. (7x + 3y)2
h. (mn – 1)2
i. 





+






−
5
3
2
5
3
2
y
x
y
x
22) a. 3(x + 5)2
b. -3a(x – 3)2
c. 





−






+
−
4
3
2
4
3
2
5
x
y
x
y
m
d. 10(10 – x)(10 + x) e. 3(x – 3)(x + 3)
23) (m + n)(5 – m – n)
24) a.
2
3
+
x
b.
y
x
y
x
+
−
2
2
c.
3
5
+
x
d.
n
m
n
m
−
+ )
(
2
e.
y
x
x
+
−
−
4
3
6 2
f. 3(a – 1)
g.
3
1
3 +
x
h.
b
a
3
4
−
i.
4
2
1
−
x
j.
2
)
2
( −
x
x
l.
5
8
25)
4
a
26)
a
x
a
x
−
+
27) a.  - [8] b.  - 





4
1
c.  - [-2 ou +2]
28) a.
y
ax
14
b.
3
6
+
−
a
c.
xy
y
x
20
2
15 −
d.
a
a
2
²
10
1+
29) 20
30) a.
y
x
x
−
2
3
b.
y
x
xy
+
2
c.
1
1
−
x
d.
y
x
e.
b
a
b
a
+
−
f.
4
5
−
x
g.
1
3
−
+
a
x
h.
2
2
b
a
b
a −
31) b 32) 53

Planalto Norte
3 Equações e Inequações
Introdução
Equações são nada mais do que uma igualdade entre as
expressões, que as transformam em uma identidade numérica, para um
ou para mais valores atribuídos as suas variáveis. Observe:
A incógnita é o valor que precisamos achar para encontrar a
solução para a equação. A variável que não conhecemos (incógnita)
costumamos representá-la na equação pelas letras x, y e z.
Os termos localizados à esquerda do sinal de igualdade formam o
1º membro da equação, e os localizados à direita formam o 2º membro.
Observe:






membro
2º
membro
1º
3
x
1
-
2x +
=
O valor atribuído à incógnita x para esta equação que torna
verdadeira a igualdade é x = 4. Logo o 4 é a solução da equação,
denominado raiz da equação.
3.1 Equação do 1º Grau
Denomina-se equação do 1º Grau na incógnita x, toda
equação da forma:
3.1.1 Solução da equação do 1º Grau.
Resolver uma equação do 1º Grau significa determinar a
sua raiz, ou seja, o valor da variável x. Observe:
a) 2x - 1 = x + 3
2x – x = 3 + 1
x = 4
S = { 4 }
b) 2(- 3 – y) + 4 = y + 6
- 6 – 2y + 4 = y – 6
- 2y – y = + 6 - 4 + 6
- 3y = + 8 . (- 1)
3y = - 8
3
8
−
=
y
 S =






−
3
8
2x – 1 = x + 3
Equação Polinomial
do 1º Grau na
incógnita x.
4a3 – a2 + 3a – 2 = 0
do 2º Grau na
incógnita y.
2y2 – 5y = 0
do 3º Grau na
incógnita a.
ax + b = 0 , com a e b  IR e a  0

Planalto Norte
c)
5
6
-
4x
3
1
3x
-
2
2
-
3x
=
+
m.m.c. (2, 3, 5) = 30
30
)
6
4
.(
6
)
1
3
.(
10
)
2
3
.(
15 −
=
+
−
− x
x
x
15(3x – 2) – 10(3x + 1) = 6(4x – 6)
45x – 30 – 30x – 10 = 24x – 36
45x – 30x – 24x = - 36 + 30 + 10
-9x = 4 .(- 1)
9
4
-
x =  S =






−
9
4
VERIFICAÇÃO OU “PROVA REAL”
Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da
equação dada. Os valores numéricos devem ser iguais. De acordo com
o exemplo a anterior:
2x - 1 = x + 3
2 . 4 – 1 = 4 + 3
8 – 1 = 7
7 = 7
Logo a solução para x = 4 é verdadeira.
d) Qual é o número cujo dobro aumentado de 9 é igual ao seu
quádruplo diminuído de 21?
Representamos o número desconhecido por x. Então,
2x + 9 = 4x – 21
2x – 4x = - 21 – 9
- 2x = - 30 .(- 1)
2x = 30
2
30
=
x
x = 15  S = {15}

Planalto Norte
3.2 Equação do 2º Grau
Denomina-se equação do 2º Grau na incógnita x, toda equação da
forma:
Nas equações escritas na forma ax2
+ bx + c = 0, chamamos de
a, b e c de coeficientes. E a equação está na forma reduzida.
Observe:
 x2
– 5x + 6 = 0 a = 1, b = - 5 e c = 6
 7x2
– x = 0 a = 7, b = 1 e c = 0
 x2
– 36 = 0 a = 1, b = 0 e c = - 36
3.2.1 Solução de Equações de 2º Grau
Resolver uma equação do 2º Grau significa determinar as suas
raízes. Observe os casos:
1º Caso. Se b = 0 e c = 0, dizemos que a equação é incompleta.
Observe:
1) 3 x² = 0
x² =
3
0
x = 0  S = {0}
2º caso: Se c = 0 e b  0, dizemos que a equação é incompleta.
Observe:
1) 3 x² - 12 x = 0
x . (3 x – 12) = 0
x’ = 0 ou 3 x – 12 = 0
3 x = 12
x” = 4  S = {0, 4}
3º caso: Se b = 0 e c  0, dizemos que a equação é incompleta.
Observe:
a x² = 0
a x² + bx = 0
ax² + c = 0
ax2
+ bx + c = 0 , com a, b e c  IR e a  0

Planalto Norte
1) x² - 4 = 0
x² = 4
x = 4

x’ = 2 ou x’’ = -2  S = {-2, 2}
4º caso: Se b  0 e c  0, dizemos que a equação é completa.
Observe:
A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através de
uma fórmula que foi demonstrado por Bhaskara, matemático hindu
nascido em 1114. Por meio dela sabemos que o valor da incógnita
satisfaz a igualdade:
2a
4.a.c
b
b
x
2
−

−
=
Denominamos discriminante o radicando c
a
b .
.
4
2
− que é
representado pela letra grega  (delta). Assim, c
a
b .
.
4
2
−
=

Podemos escrever a fórmula de Bhaskara como:
2a
b
x


−
=
De acordo com o discriminante, temos três casos a
considerar:
 > 0 → têm-se duas raízes reais e diferentes;
 = 0 → têm-se duas raízes reais e iguais;
 < 0 → têm-se duas raízes imaginárias.
OBS: Nunca teremos a = 0, pois se houver, não existirá a equação
de segundo grau visto que o x² seria anulado.
1) x2
– 9x + 20 = 0
20
9
1
=
−
=
=
c
b
a
4
2
8
2
1
9
'
'
5
2
10
2
1
9
2
1
9
2
1
9
2
80
81
9
1
.
2
20
.
1
.
4
)
9
(
)
9
(
'
2
=
=
−
=
=
=
+
=

=

=
−

=
−
−

−
−
=
−

−
=
x
x
x
x
x
x
2a
4.a.c
b
b
x
2
 S = {4, 5}
ax2
+ bx + c = 0

Planalto Norte
3.2.2 Relação entre os Coeficientes e as Raízes.
A relação entre os coeficientes b e c e as raízes x’ e x’’, permitem
obter a soma e o produto sem aplicar a fórmula de Bhaskara.
Denominamos essas relações de Girard.
 Soma das raízes (S) → S = x’ + x”
 Produto das raízes (P) → P = x’ . x”
Logo, a equação será → ax2
- Sx + P = 0
Importante: Esta relação só é verdadeira para a = 1.
1) Se x’ = 4 e x” = 5 a equação será:
S = 4 + 5 = 9
P = 4 . 5 = 20
Logo a equação será x2
– 9x + 20 = 0
2) Se x2
– 8x - 9 = 0, as raízes da equação serão:
S = 9 – 1 = 8
P = 9 . (-1) = -9
Logo as raízes serão x’ = -1 e x” = 9
3.2.3 Fatorando um trinômio do 2º Grau
Podemos expressar um trinômio do 2º Grau ax2
+ bx + c, com a
 0, como um produto de binômios. Para fatorar, basta encontrar as
raízes da equação.
1) Fatorar o trinômio do 2º Grau x2
– 7x + 10.
As raízes da equação x2
– 7x + 10 = 0 pela relação SP são:
S = 2 + 5 = 7
P = 2 . 5 = 10
Logo x’ = 2 e x” = 5. Como a = 1, temos a seguinte fatoração:
1.(x – 2)(x – 5) = (x – 2)(x – 5)
2) Fatorar o trinômio 2x2
– 5x – 3.
As raízes da equação 2x2
– 5x – 3 = 0 pela fórmula de Bhaskara
são:
x’ = 3 e x” =
2
1
− e como a = 2, temos a seguinte fatoração:














−
−
−
2
1
)
3
.(
2 x
x = 





+
−
2
1
)
3
.(
2 x
x
ax2
+ bx + c = a.(x – x’).( x – x”)

Planalto Norte
3.2.4 Equações Irracionais
Uma equação é denominada irracional quando apresenta
incógnita sob radical ou incógnita com expoente fracionário.
Resolução de uma equação irracional
Exercícios Resolvidos:
1) Determinar as raízes da equação: 0
4
5
x =
−
− .
Logo, S = {21}
2) Determinar as raízes da equação: x
2
4
x =
−
+ .
2
x
4
x +
=
+
( ) ( )
0
x
3
x
4
x
4
x
4
x
2
x
4
x
2
2
2
2
=
+
+
+
=
+
+
=
+
As raízes da equação do 2º grau são:
( )
3
0
0
3
0
3
-
x"
x'
x
e
x
x
=
=
=
+
=
+
Verificando as raízes na equação irracional:
Para x’ = 0
0
0
0
2
2
0
2
4
0
x
2
4
x
=
=
−
=
−
+
=
−
+
Para x” = - 3
3
1
3
2
1
3
2
1
3
2
4
3
−

−
−

−
−
=
−
−
=
−
+
−
Observe que apenas x = 0 verifica a igualdade, assim a raiz da
equação original é S = {0}.
4
5
x =
−
( ) 2
2
4
5
x =
−
16
5
x =
−
21
x =
Verificação:
0
0
0
4
16
0
4
5
21
=
=
−
=
−
−

Planalto Norte
3.3 Inequações do 1° grau
Uma inequação é uma sentença matemática aberta expressa por
uma desigualdade.
Os símbolos de desigualdades são:
Inequações do 1° grau podem ser escritas nas seguintes formas:
ax + b < 0 ax + b > 0
ax + b  0 ax + b  0, com a e b  IR e a  0.
Resolver uma inequação do 1º grau significa encontrar todos os
números que tornem a inequação verdadeira.
Por exemplo, vamos determinar o conjunto solução da inequação
3x + 2 < 8.








membro
membro
x
º
2
º
1
8
2
3 
+
3x + 2 < 8
3x < 8 – 2
3x < 6
x <
3
6
x < 2
logo, S = { x  IR | x < 2}
Geometricamente, essa solução é representada na reta real
da seguinte forma:
0
- 2
- 3 - 1 + 1 + 2 + 3 + 4
a  b ( a é diferente de b)
a > b (a é maior do que b)
a < b (a é menor do que b)
a  b (a é maior ou igual a b)
a  b (a é menor ou igual a b)
Verificação:
para x = 1
3x + 2 < 8
3 . 1 + 2 < 8
5 < 8 ( V )
Verificação:
x = 0
3x + 2 < 8
3 . 0 + 2 < 8
2 < 8 ( V )
Observa-se que
as soluções são
satisfeitas para os
números menores
que 2.
Observa-se que a
bolinha está aberta
sob o número 2, isto
significa que este
número não pertence
a solução.

Planalto Norte
1) – 5x + 6  3(1 – x) + 9
- 5x + 6  3 – 3x + 9
- 5x + 3x  3 + 9 – 6
- 2x  6 . ( - 1)
2x  - 6
2
6
−

x
x  - 3
 S = { x  IR | x  - 3}
Geometricamente a solução será:
3.4 Inequação do 2º grau
As inequações do 2º Grau na variável x podem ser escritas
nas seguintes formas:
ax2
+ bx + c  0,
ax2
+ bx + c > 0,
ax2
+ bx + c  0 e
ax2
+ bx + c < 0, com a, b, e c  IR e a  0.
Para resolver uma inequação do 2º Grau devemos proceder
do seguinte modo:
 Realizar um estudo do sinal da função y = ax2
+ bx + c;
 Determinar os valores de x que atendam a desigualdade da
inequação.
1) Resolver a inequação x2
– 5x + 4  0.
Solução:
i) As raízes da equação são x’ = 4 e x” = 1;
ii) Traçar um esboço do gráfico e fazer o estudo do sinal;
iii) Como o sinal de desigualdade é , temos bolinha fechada;
- 4 - 3 - 2 - 1
- 5
Sempre que multiplicar ou
dividir a inequação por um
número negativo, devemos
inverter o sinal da
desigualdade.
Observa-se que a
bolinha está fechada
sob o número - 3, isto
significa que este
número pertence a
solução.

Planalto Norte
iv) Como o sinal de desigualdade é , ou seja, maior ou igual, queremos
os sinais positivos;
S = { x  IR | x  1 ou x  4}
2) Resolver a inequação x2
– 5x + 4 < 0.
Solução:
i) As raízes da equação são x’ = 4 e x” = 1;
ii) Traçar um esboço do gráfico e fazer o estudo do sinal;
iii) Como o sinal de desigualdade é <, temos bolinha aberta;
iv) Como o sinal de desigualdade é <, ou seja, menor, queremos os
sinais negativos;
 S = { x  IR | 1 < x < 4}
Exercícios – MÓDULO III
1) Resolver as seguintes equações do 1º Grau:
a) 8
x
4 =
b) 10
x
5 =
−
c) 8
x
7 =
+
d) 7
x
2
3 −
=
−
e) 12
x
4
x
4
16 +
=
−
+
f) x
5
27
x
13
x
7
8 −
−
=
−
+
g)
4
3
3
x
2
=
h)
10
x
3
4
1
=
i) ( ) 3
x
4
5
x
4
2
x
9 +
=
+
−
+
j) ( ) ( ) 5
4
10
2
7
.
5
2
.
3 +
−
=
−
−
− x
x
x
l) 1
4
36
x
5
2
x
12
3
2
x
−
−
=
−
−
−
m)
6
x
5
9
2
31
2
x
3
x
4
3
8
3
x
5 −
−
=
+
−
−
+
2) Resolva a equação literal 5x – 3a = 2x + 11a na incógnita x.
x
1 4
- - - - - -
+ + + + +
+ + + + +
x
1 4
- - - - - - -
+ + + + + + + + + +

Planalto Norte
3) A área A de um retângulo é dada pela equação A = b . h, em que b é
a medida da base e h é a medida da altura. Se o retângulo tem 91 m2
de área, qual a medida, em metros, da base b?
4) Calcule x de modo que 3
2
4
2
3
−
=
+
+
+ x
x
x
.
5) Resolva as equações:
a)
4
13
2
9
2
−
=
+
y
y
b) 2
3
2
4
=
+
b
c) 15
5
10 =
−
x
6) Determinar as raízes das seguintes equações quadráticas:
a) 0
6
x
7
x2
=
+
−
b) 0
28
x
3
x2
=
−
+
c) 0
2
x
5
x
3 2
=
+
−
d) 0
3
x
16
x
16 2
=
+
+
e) 0
16
x
4 2
=
−
f) 0
18
x
2 2
=
−
g) x
5
x
3 2
=
h) 0
x
8
x
2 2
=
+
i) ( ) ( )2
2
3
x
4
3
x
2 −
=
−
j) ( ) ( ) 18
1
x
2
x
1
x
x −
−
=
−
7) Use a relação do SP e determinar mentalmente as raízes das
equações:
a) 0
5
x
6
x2
=
+
−
b) 0
15
x
2
x2
=
−
+
c) 0
12
x
4
x2
=
−
−
d) 0
21
x
10
x2
=
+
−
e) 0
50
x
5
x2
=
−
+
b = 2x + 3
h = 7 m

Planalto Norte
8) Fatore os trinômios:
a) x2
– 6x + 8 =
b) y2
– 2y – 8 =
c) x2
+ 7x + 6 =
d) 3x2
– 12x + 9 =
e) 4y2
– 3y – 10 =
f) 9x2
– 12x + 4 =
9) Resolva as equações:
a) 6(x – 10) = 0
b) -9(1 – 4y) = 0
c) (4x – 8)(x + 1) = 0
d) (3 – y)(3 + y) = 0
e) 0
1
2
2
1
=






−






+
m
m
f) y(2y – 3)(y – 8) = 0
g) (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0
h) (m + 4)(m2
– 9) = 0
i) 3(x – 2)2
= 12
10) Resolva as equações incompletas:
a) x2
+ 9x = 0
b) y2
– 7y = 0
c) – 8 x2
+ 2x = 0
d) 0
2
3
4
2
=
+
x
x
e) 2y2
– 32 = 0
f) 3x2
– 4 = 0
g) =
−
50
1
2 2
x 0
11) Resolva as equações irracionais:
a) 0
4
2
1
=
−
x
b) 0
2
1
x =
−
+
c) 15
2 2
1
=
− x
x
d) 3
x
9
x 2
=
−
−
e) 3
1
5 =
+
x
f) 0
1
1
2 =
−
−
− x
x
g) 15
9 −
=
−
+ x
x
x
h) x
x −
=
− 13
5
2

Planalto Norte
12) Simplifique as frações algébricas:
a) =
+
+
−
1
2
1
2
2
x
x
x
b) =
−
+
−
+
6
10
3
2
2
x
x
x
x
c) =
−
+
−
4
4
4
2
2
x
x
x
d) =
+
−
−
15
18
3
5
2
2
x
x
x
x
e) =
−
−
+
−
6
4
2
15
8
2
2
x
x
x
x
f) =
+
−
−
+
−
16
8
12
7
2
2
x
x
x
x
13) Quais são as raízes da equação biquadrada 4x4
- 9x2
+ 2 = 0?
14) Resolver as seguintes inequações do 1º Grau:
a) ( ) x
7
5
x
3
1
x
2 −

+
+
b) 1
5
x
4
2
1
x
5
2
−

−
c)
3
2
7
3
7
+

− x
x
d) )
4
3
(
1
)
2
(
2
5 x
x
x −
−

+
−
e)
2
1
4
1
2
)
1
(
3

−
−
+ x
x
f)
3
18
8
)
3
1
(
5
4
3
2
)
1
3
(
5
+
−

−
+ x
x
x
g)
6
2
4
2
)
1
(
4
3
1 x
x
x
x −
+

−
+
−
15) Determine o conjunto solução das inequações:
a) x2
– 3x ≥ 0
b) -2x2
– 10x  0
c) – x2
+ 16 > 0
d) 2x2
– 16 < 0
e) x2
– 5x + 6 > 0
f) x2
+ 5x + 4  0
g) 0
2
2
3
4
2

−
−
− x
x
h) )
3
)(
2
(
7
)
4
)(
5
2
( −
−

−
−
− x
x
x
x
i) 4x2
+ (x + 2)2
<1
16) Determine os valores inteiros de x que satisfazem a inequação
4x(x -1)(3 – x) 





+1
2
x
> 0.

Planalto Norte
Respostas:
1) a. {2} b. {-2} c. {1} d. {5} e. {0} f. {-1} g.






8
9 h.






6
5 i. {6}
j . {4} l. {8} m. {9}
2)






3
14a 3) b = 13m 4)






−
3
5
5) a. {- 2} b. {3} c. {-1}
6) a. {1, 6} b. {-7, 4} c.






1
,
3
2 d.






−
−
4
1
,
4
3 e. {-2, 2} f. {-3, 3}
g.






3
5
,
0 h. {-4, 0} i. {-1, 0} j.  
2
3
,
2
3
−
7) a. {1, 5} b. {-5, 3} c. {-2, 6} d. {3, 7} e. {-10, 5}
8) a. (x – 4)(x – 2) b. (y – 4)(y + 2) c. (x + 1)(x + 6) d. 3(x – 3)(x – 1)
e. 4(y – 2) 





+
4
5
y f. 9
2
3
2






−
x
9) a.{10} b.






4
1 c. {-1, 2} d. {-3, 3} e.






− 2
,
2
1 f.






8
,
2
3
,
0
g. {1, 2, 3} h. {-4, -3, 3} i. {0, 4}
10) a. {-9, 0} b. {0, 7} c. {0,
4
1 } d. {-6, 0} e. {-4, 4} f.






−
3
3
2
,
3
3
2 g.






−
10
1
,
10
1
11) a. S = {16} b. S = {3} c. S = {25} d. S = {3} e. S = {16} f. 
g. S = {16} h. {9}
12) a.
1
1
+
−
x
x b.
3
5
+
+
x
x c.
2
2
+
−
x
x d.
)
1
(
3 −
x
x e.
)
1
(
2
5
+
−
x
x f.
4
3
−
−
x
x
13) S =








2
1
,
2
14) a. { x   | x >
4
1
} b. { x   | x
4
5
 } c. { x   | x
4
23
 }
d. { x   | x ≤ - 2} e. { x   | x ≤ - 1} f. { x   | x >
23
11 }
g. { x   | x <
21
16 }
15) a. { x   | x  0 ou x  3} b. { x   | x  - 5 ou x  0}
c. { x   | - 4 < x < 4} d. { x   | 2
2
− < x < 2
2 }
e. { x   | x < 2 ou x > 3} f. { x   | - 4  x  -1 }
g. { x   |
2
1
−  x  2 } h. { x   | x  1 ou x  7} i. 
16) x = -1 ou x = 2

Planalto Norte
4 Trigonometria
A trigonometria é uma ferramenta matemática bastante utilizada
no cálculo de distâncias envolvendo triângulos retângulos.
4.1 Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Considere um triângulo retângulo ABC representado abaixo:
 Hipotenusa ( ) é o lado oposto ao ângulo reto;
 Cateto oposto ( ) é o lado oposto ao ângulo agudo ;
 Cateto adjacente ( ) é o lado que forma o ângulo agudo .
A trigonometria estabelece relações entre o ângulo agudo do
triângulo retângulo e as medidas de seus lados. Observe:
4.2 Ciclo trigonométrico
O ciclo trigonométrico é um ente matemático que possibilita
o cálculo de medidas trigonométricas (seno, cosseno, tangente,
etc.) para qualquer ângulo. O ciclo é uma circunferência de raio 1
e centrada na origem.
Circunferência orientada
A Figura abaixo (a), ilustra a circunferência orientada de
centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas de raio
um (r=1), que é denominada circunferência trigonométrica. É
estabelecido o sentido positivo (+) para o sentido anti-horário e o
sentido negativo (-), o sentido horário. A Figura abaixo (b), ilustra os
quadrantes que são divididos pelas retas x e y.
(a) (b)
III
II I
IV
x
y
+
-
r = 1
x
y
0
Hipotenusa
Cateto
oposto
Cateto adjacente

A
B
C

Planalto Norte
4.3 Relações trigonométricas
O círculo trigonométrico, também chamado de ciclo, é utilizado
para auxiliar nas relações trigonométricas: o eixo da abscissa x
corresponde ao cosseno (cos), o eixo das ordenadas y ao seno (sen).
Ainda temos as relações da tangente (tg), secante (sec), cossecante
(cosec) e cotangente (cotg).
Consideramos os ciclos trigonométricos dado abaixo.
i) Definimos seno do ângulo , a distância do ponto O até C, OC :
OC
sen =

ii) Definimos cosseno do ângulo , a distância OB :
OB
=

cos
iii) Definimos tangente do ângulo , a medida OD:
OD
tg =

Assim, no círculo trigonométrico podemos representar as
razões trigonométricas de um ângulo qualquer entre 

 360
0  .
Chamamos de ângulos notáveis aqueles mais conhecidos
30°, 45° e 60°. A tabela abaixo, apresenta os valores de sen, cos e
tg dos ângulos notáveis.
30o
45o
60o
sen α
cos α
tg α 1
Por exemplo:
1) Um homem de 1,80 m encontra-se a 2,5 m de distância de uma
árvore, conforme ilustração a seguir. Sabendo-se que o ângulo α é
de 42°, determine a altura dessa árvore.
A
cos
sen
O

B
C
D
O
(-)
O
(+)

tg

Planalto Norte
4.4 Unidades de medidas
Grau
Um grau é definido como a medida do ângulo central subtendido
por um arco igual a da circunferência que contém o arco, como
ilustrado abaixo. Símbolo: Grau (o
)
Radianos
O radiano (rad) é definido como a medida de um ângulo central
subtendido por um arco igual ao raio da circunferência que contém o
arco. A tabela abaixo, apresenta algumas relações entre grau e
radianos.
GRAUS 0 90° 180° 270° 360°
RADIANOS 0
A figura abaixo, ilustra o ciclo trigonométrico, relacionando
as medidas dos arcos em graus e radianos, para as medidas do
cos e sen, nesta ordem.
Por exemplo:
a)
2
3
30
cos =

b)
2
1
30 =

sen

Planalto Norte
4.5 Funções trigonométricas
 Função seno
A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é
expressa por:
f(x) = sen x
Características:
i) O sinal da função seno é positivo quando x  I e II quadrantes, ou
seja, 

 180
0 x ;
ii) O sinal é negativo quando x  III e IV quadrantes, ou seja,



 360
180 x ;
iii) O domínio da função é D = x  IR;
iv) A imagem da função é Im = [-1, 1];
v) O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada
de senoide.
 Função cosseno
A função cosseno é uma função periódica e seu período
é 2π. Ela é expressa por:
f(x) = cos x
Características:
i) O sinal da função cosseno é positivo quando x  I e IV
quadrantes, ou seja, 

 90
0 x ou 


 360
270 x
ii) O sinal é negativo quando x  II e III quadrantes, ou seja,



 270
90 x ;
iii) O domínio da função é D = x  IR;
iii) A imagem da função é Im = [-1, 1];
iv) O gráfico da função seno f(x) = cos x é uma curva chamada
de cossenoide.

Planalto Norte
 Função tangente
A função tangente é uma função periódica e seu período é π.
Ela é expressa por:
f(x) = tg x
Características:
i) O sinal da função tangente é positivo quando x  I e III quadrantes, ou
seja, 

 90
0 x ou 


 270
180 x
ii) O sinal é negativo quando x  II e IV quadrantes, ou seja,



 180
90 x ou 


 360
270 x
iii) O domínio da função é D={x ∈ IR│x ≠ de π/2 + kπ; k ∈ Z}
iii) A imagem da função é Im = IR;
iv) O gráfico da função seno f(x) = cos x é uma curva chamada
de tangentoide.
Exercícios – MÓDULO IV
1) Calcule .
(a) (b)
2) Calcule o valor de x e y no triângulo dado abaixo.
(a) (b)
12
x
30°
y
8
y
x
40°
5
4
3
α
2
1
α

Planalto Norte
3) Considere o triângulo equilátero e calcule as medidas de
.
4) Expresse em radianos:
a) 60o
b) 210o
c) 350o
d) 150o
e) 12o
f) 2o
5) Expresse em graus:
a)
9
10
d)
20

b)
18
11
e)
3
4
c)
9

f) 
5
3
6) Quantas voltas completas dá o ângulo abaixo e em que
quadrante o ângulo se situa:
a) 1810o
b)
4
25
c) -1200o
7) Construa o gráfico das seguintes funções, no intervalo .
Identifique o Domínio e a Imagem.
a)
b)
c)
d) x
y cos
2
−
=
8) Determine o valor das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
60°
30°

Planalto Norte
9) Ao empinar uma pipa, João percebeu que estava a uma distância de
6m do poste onde a pipa engalhou. O ângulo formado entre a linha da
pipa e a rua era de 60°, como ilustrado na figura abaixo. Calcule a altura
do poste.
10) Um avião está a 600m de altura quando se vê a cabeceira da pista
sob um ângulo de declive de 30°. A que distância o avião está da
cabeceira da pista?
Respostas:
1)
2)
3) Ver tabela das razões trigonométricas
4)
5)
6) a. 5 voltas/ IQ b. 3voltas/ IQ c. 3voltas/ IIIQ
8) a. 0 b. c. d. 1 e. -1 f. 0 g. 0 h. i.
9) m
h 3
6
=
10) x = 1200m

Planalto Norte
Referências Bibliográficas
AXLER, Sheldon. Pré-cálculo: uma preparação para o cálculo com
manual de soluções para o estudante. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
DEMANA, Franklin D. et al. Pré-cálculo. 2.ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2013.
MEDEIROS, Valéria Zuma. Pré-cálculo. 2. ed. rev. e atual. São Paulo:
Cengage Learning, 2010
RATTAN, Kuldip S.; KLINGBEIL, Nathan W. Matemática básica para
aplicações de engenharia. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
SAFIER, Fred. Pré-cálculo. 2.ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
SCHWERTL, Simone Leal. Matemática básica. 2. ed. Blumenau: Ed.
da FURB, 2010
SENAI-SP EDITORA. MATEMATICA BASICA. [S.l.]: SENAI-SP
EDITORA, 2014.
SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes
Medeiros da. Matemática básica para cursos superiores. 2. ed. São
Paulo: Atlas, 2018
O estudo da matemática é importante no desenvolvimento do
raciocínio lógico, da criatividade, da capacidade de investigação
e da solução de problemas.

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