Remember 09

REMEMBER - IX Temos então a expressão:
Cód.958 x +1
+1
x −1 x + 1 + ( x − 1) 1
Prof.Edir Reis Bessa = =x=
x +1
− 1 x + 1 − ( x − 1) 2
x −1
1. O valor de [2 – 3 (2 – 3) -1] -1 é:
a) 5 b) -5 c) 1/5 d) – 1/5 e) 5/3 05. A expressão
1 1
Sol: ( C ) 2+ 2 + + =?
Usaremos a propriedade potência 2+ 2 2 −2
a-n = 1/ an. a) 2 b) 2 - 2 c) 2 + 2 d) 2 2
[2 – 3 (2 – 3) -1] -1 = [2 – 3 (-1) -1] -1 = e) 2 /2
= [2 – 3/-1] -1 = [2 + 3] -1 = 5-1 = 1 / 5.
Sol: ( A )
1 1 1 Executando o m.m.c e operando termos
02. − = , portanto z é igual a: semelhantes, temos:
x y z
a) y – x b) x – y c) (x – y) / xy (2 + 2 )²( 2 − 2) + 2 − 2 + 2 + 2 − 4
= =2
d) xy / (y – x) e) xy / (x – y) (2 + 2 )( 2 − 2) −2

Sol: ( D ) 06. A média aritmética entre
Executando o m.m.c. no 1º membro e x+a x−a
em seguida isolando z, temos: e quando x ≠ 0 é:
a x
1 1 1 y−x 1 xy a) 2, se a 0 b) 1 c) 1, se a = 0
− = => = => z =
x y z xy z y−x d) a / x e) x

03.Uma das expressões seguintes é Sol: ( B )
a −1b −1 Como a média aritmética entre A e B é
igual a − 3 M. A = (A + B) / 2 temos que:
a − b−3
1 x+a x−a 1 2x
a ²b ² a ²b ² ab M. A = ( + ) = ( ) =1
a) b) c) 2 x x 2 x
b² − a ² b³ − a ³ b³ − a³
a ³ − b³ a ³b ³
d) e) 07. Uma reta que passa pelos pontos
ab a−b A(-1,1) e B( 3, 9) ela corta o eixo x em:
a) -2/3 b) -2/3 c) 2/5 d) 2 e) 3
Sol: ( B )
Multiplicando a fração por a³b³ temos: Sol: ( A )
Sendo a equação reduzida da reta
a −1b −1 a ³b³ a ²b ² y = mx + b e que passa pelos pontos
. =
a − b a ³b³ b ³ − a ³
−3 −3
(-1,1) e (3, 9), temos então:
1 = - m + b e 9 = 3m + b.
x +1 Resolvendo o sistema temos: m = 2 e b
04. Na expressão cada x é = 3 e formamos a equação: y = 2x + 3.
x −1
x +1 Para o cálculo do ponto de interseção
substituído por . A expressão com o eixo x, usamos ordenada y = 0,
x −1 então: 0 = 2x + 3 => x = -3/2 .
resultante calculada para x = 1 / 2 toma
o valor: 08. Qual (quais) dos números a seguir é
a) 3 b) -3 c) 1 d) -1 e) n.r.a (são) racional:
Sol: ( E ) π ² ; 3 0,8 ; 4 0,00016 ; 3 − 1. (0,09) −1

1

a) nenhum b) todos c) o primeiro e Temos uma equação irracional em que
o quarto d) apenas o quarto e) apenas sua condição de existência é: 5 – x ≥ 0.
o primeiro Para iniciar a resolução da equação,
vamos elevar os dois membros ao
Sol: ( D ) quadrado, ficamos então com:
Temos: π ² = π é irracional; 5 – x = x²(5 – x) => x²(5 - x) – (5 – x)=0
=> (5 – x)(x² - 1) = 0. Daí então:
8 2
3
0,8 = 3 =3 é irracional; i) 5 – x = 0 => x = 5
10 10 ii) x² - 1 = 0 => x = ± 1.
0,00016 = 16.10 −5 = 4.10 −2 10 −1 é Usando a condição de existência todos
os valores satisfazem, mas temos que
irracional;
fazer a verificação, ou seja:
9 −1
3
− 1. 0.09 −1 = −1. ( ) = −1.10 / 3 = −10 / 3 i) Para x = 5 =>
100
é racional. 5 − 5 = 5 5 − 5 => 0 = 5.0
(Verdade)
09. O valor de x que satisfaz a equação ii) Para x = 1 =>
x² + b² = ( a – x )² é: 5 − 1 = 1 5 − 1 => 2 = 1.2
a) (b² + a² ) / 2 a b) (b² - a²) / 2 a (Verdade)
c) ( a² - b² ) / 2 a d) (a – b) / 2 iii) Para x = -1 =>
e) (a² - b²) / 2 5 − ( −1) = −1. 5 − (−1) =>
Sol: ( C ) 6 = − 6 (Falso). Logo -1
Operando o quadrado da diferença no não é raiz.
segundo membro da equação, seus Daí então o conjunto solução da
termos semelhantes e isolando x, temos: equação inicial é: S = {1,5}
x² + b² = a² - 2ax + x² => 2ax = a² - b²
=> x = (a² - b²) / 2 a. s
12. Se P = então n é igual a:
(1 + k ) n
10. Para que valores reais de k, log( s / P ) s
diferentes de k = 0, a equação x² + kx + a) b) log
k² = 0 tem raízes reais? log(1 + k ) P (1 + k )
a) k < 0 b) k > 0 c) k ≥ 1 s−P
c) log d) log s/P + log (1 + k)
d) qualquer valor e) nenhum valor 1+ k
log s
Sol: ( E ) e)
log P (1 + k )
Vamos determinar o valor de delta da
equação. Para que uma equação admita Sol: ( A )
raízes reais temos:  ≥ 0. Então: Aplicando log nos dois membros da
 ≥ 0 => k² - 4k² ≥ 0 => -3k² ≥ 0 é igualdade e algumas propriedades de
impossível, pois não existe nenhum log, temos:
valor real de k para o fato. s
log P =log =log s – n log(1 + k)
(1 + k ) n
11. O número de raízes da equação
log s − log P log(s / P )
5 − x = x 5 − x é: ∴n= =
a) ilimitado b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 log(1 + k ) log(1 + k )

13. A soma de dois números é 10. Seu
Sol: ( C ) produto é 20. A soma dos inversos é:
a) 1/10 b) ½ c) 1 d) 2 d) 4

2

Sol: ( B ) 16. A área de um círculo inscrito em um
Denominando os números de x e y hexágono regular é 100π. A área do
temos: hexágono é:
1 1 y + x 10 1 a) 600 b) 300 c) 200/2
+ = = =
x y xy 20 2 d) 200/3 e) 120/5.

14. Num baile, um grupo de moças e Sol: ( D )
rapazes monta pares da seguinte i)Área círculo = π r² = 100 => r = 10.
maneira: um rapaz dança com 5 moças; ii)Temos que apótema(ap) = r = 10
o segundo rapaz com 6 e assim por iii)No hexágono: apót.=(Lh.i 3)/2 =>
diante de modo que o último dança com Lh = 20/ 3 (Lh = lado do hexágono)
todas. Se r é o número de rapazes e m o iv)Área hex. = 6. área do triângulo =
número de moças, então: = 6. ½. ap.Lh = 3.10.20/ 3=60033/3
a) r = m b) r = m/5 c) r = m – 4 = 200 3.
d) r = m – 5 e) é impossível saber a
relação entre rapazes (r) e moças (m) 17. Se x é positivo e
sem saber o número total de r e m. log x ≥ log 2 + 1 / 2 log x então:
a) x não tem valor máximo ou mínimo
Sol: ( C ) b) o valor máximo de x é 1
Formando a tabela abaixo, temos: c) o valor mínimo de x é 1
Nº de rapazes:..............1 – 2 – 3 ... r d) o valor máximo de x é 4
Nº de moças q.dançou: 5 - 6 – 7... 4 + r e) o valor mínimo de x é 4
∴ m = 4 + r ou r = 4 – m.
Sol: ( E )
15. Um quadrilátero está inscrito em um Aplicando transposição de termos e
círculo. Se um ângulo é inscrito em propriedade de logarítmos:
cada um dos quatro segmentos fora do log x - 1 / 2 log x ≥ log 2 ∴
quadrilátero, então a soma desses quatro 1 / 2 log x ≥ log 2 ∴ log x ≥ 2. log 2 ∴
ângulos, expressa em graus, é: log x ≥ log 2² ∴ x ≥ 4.
a) 1080 b) 900 c) 720
d) 540 e) 360 18. A área de um círculo dobra quando
o raio r cresce de uma quantidade n.
Sol: ( D) Então r é igual a:
A B
a) n(a2 + 1) b) n(22 - 1) c) n
X d) n(2 - d2) e) nπ / ( 2 + 1)
90º 90º E
Sol: ( A )
D BC Considerando: Área círculo = A = π r² e
90º
Área do círculo aumentado de n>0 :
Vamos considerar ABCD um quadrado 2 A = π ( r + n )² = π ( r² + 2r n + n² ) =
inscrito no círculo. = π r² + 2π r n + π n² = A+ 2π r n + π n²
Temos então quatro ângulos inscritos ∴ A = 2π r n +π n² ∴π r² = 2π r n +π n²
em cada vértice do quadrado conforme ∴ r² - 2 r n - n² = 0 ( Eq. 2ºgrau em n)
o ângulo x de onde vem: Então: Delta =  = 4n² + 4n² = 8n²
x = ⊇ABE = 270º / 2 = 135º. Raízes: r‘= n(1 - R2) (não satisf. é < 0 )
Então a soma = 4x = 4. 135º = 540º. e r” = n(1 + e2).

19. Os lados de um  retângulo são a e
b e a hipotenusa é c. Uma perpendicular

3

partindo do vértice C divide c em dois Então a razão =
segmentos r e s, adjacentes =Área CED / Área AOB = 2.
respectivamente a a e b. Se a : b = 1 : 3
então a proporção r e s é: 22. Uma partícula é colocada sobre a
a) 1 : 3 b) 1 : 9 c) 1 : 10 parábola y = x² - x – 6 em um ponto P
d) 3 : 10 e) 1 : d10 cuja ordenada é 6. Essa partícula
percorre a parábola até chegar à menor
Sol: ( B ) distância do ponto Q cuja ordenada é -6.
Temos: a / b = 1 / 3 ; r / s = ? A distância horizontal percorrida pela
C partícula (isto é, o valor numérico da
diferença das abscissas de P e Q) é:
b a
Usando as relações h
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
métricas no  A r s B
retângulo, temos c Sol: ( C )
(ver figura). i) Vamos inicialmente determinar a(s)
b² = r.c => r = b²/c abscissa(s) de P(xp ;6). Usando a
a² = s.c => s = a²/c função dada: 6 = xp² - xp – 6 =>
Então: r / s = b² / a² = (b / a )² = (1/3)² xp² - xp –12 = 0 => xp’ = -3 e xp”= 4
 r / s = 1 / 9. => P1(-3;6) e P2(4;6) (Pontos em que a
partícula pode ser solta).
20. Se 4x – 4x – 1 = 24, então (2x)x é igual ii) Cálculo do ponto onde a partícula
a: pode chegar possui (em) ordenada -6.
a) 5a5 b) 55 c) 2555 d) 125 e) 25 Novamente usaremos a função inicial:
Q(xq;-6) => -6 = xq² - xq – 6 =>
Sol: ( C ) xq² - xq = 0 => xq’= 0 e xq” = 1 =>
Temos: 4x – 4x / 4 = 24 ∴ 3.4x = 4.24 Q1(0;-6) e Q2(0;1).
∴ 4x = 32 ∴ 22x = 25 ∴ x = 5 / 2. Em qualquer caso, a menor distância
Então: (2x)x = (2.5/2)5/2 = 55/2 = horizontal é 3, pois a partícula rola de:
= 25=5. (4; 6) à (1; -6) ou de (-3; 6) à (0; -6).

21. Na figura, CE e DE são duas cordas 23. Se, na expressão x² - 3, x aumenta
iguais de um círculo cujo E centro é ou diminui de uma quantidade positiva
0. O arco AB mede um a, então a expressão varia de uma
quarto da quantidade igual a:
circunferência. a) ± 2ax + a² b) 2ax ± a² c) ± a² - 3
0 d) (x + a)² - 3 e) (x – a)² - 3
Então a C D
proporção entre a
área do  CED e A Sol: ( A )
B a Temos: i) y = x² - 3 e aumentando ou
área do AOB é:
a) a2 : 1 b) 23 : 1 c) 4 : 1 diminuindo x de a:
ii) y = (x ± a)² - 3 = x² ±2ax +a² -3
d) 3 : 1 e) 2 : 1
Fazendo (ii) – (i) = ± 2ax + a².
Sol: ( E ) E A rc o C D = 1 8 0 °
24. Um homem caminha m unidades de
Temos: CE = DE; arco
comprimento na direção norte, a uma
AB = ¼ π r².
A = C
1 80°
0
velocidade de 2 minutos por quilômetro.
Na figura, 90°
D
Ele retorna depois ao sul, para o ponto
consideremos um
de partida a 2 km/minuto. A velocidade
caso especial: i) A rc o B C = 9 0 °

B média em km/h para a viagem completa
Área CED = 2r.r/2 = r²
é:
ii) Área AOB = r . r= r / 2 = r²/ 2.

4

a) 75 b) 48 c) 45 d) 24 a) 12 b) -12 c) ±12
e) impossível calcular sem conhecer o d) 12 ou 6 e ) 6 ou 6 2/3
valor de m.
Sol: ( A)
Sol: ( B ) Se os pontos pertencem a uma mesma
Seja a = velocidade p/norte = (1km)/ reta os pontos possuem o mesmo
(2.1/60) = 30 km/h. coeficiente angular dois a dois. Então:
Sendo b = retorno p/ sul = ∆ y 3 − (−3) k 2 − 3
= (2 km)/(1/60 h) = 120 km/h. m= = = =>
∆x 4−2 5−4
Calculo da velocidade média total: (k − 6)
2/Vm = 1 / a + 1 / b => 6
= 2 => 3 = k − 6 ⇒ k = 12
Vm = (2ab)/(a+b) = 2.30.120/(30+120) 2 1 2
=> Vm = 48 km/h.
28. Um radiador com capacidade para
25. Se log k x . log 5 k = 3 então o valor 16 litros é cheio com água pura. Depois
de x é: são retirados 4 litros e substituído por
a) k5 b) 5k³ c) k³ d) 243 e) 125 líquido anticongelante. Depois, 4 litros
da mistura são retirados e substituídos
Sol: ( E ) por 4 litros de líquidos do líquido
Aplicando a propriedade mudança de anticongelante. Repete-se esse processo
bases no 2º logarítmo e a igualdade: uma terceira e uma quarta vez. No final,
log k x . log 5 k = 3 => a porção de água na mistura é:
1 a) ¼ b) 81 / 256 c) 27 / 64
log k x . = 3 => d) 37 / 64 e) 175 / 256
log k 5
3
log k x = 3. log k 5 = log k 5 => x = 5³ Sol: ( B )
 x = 125.
Operação Água Água Anticong Anticong
Retirad. q.resta Retirado q.Resta
26. Um conjunto de n elementos tem 1 4 12 0 4
soma igual a s. Cada elemento do 2 3 12-3 1 3 + 4= 7
=9
conjunto é aumentado de 20, 3 2,25 9- 2,25 1,75 5,25+ 4=
multiplicado por 5 e depois se subtrai = 6,75 9,25
20. A soma dos elementos no novo 4 1 11/16 5 1/16 2 5/16 615/16+4
=1015/16
conjunto assim obtido é:
a) s + 20n b) 5s + 80n c) s
51
d) 5s e) 5s + 4n Água Restante na mist.= 16 = 81
16 256
Sol: ( B )
Seja s = a1 + a2 + a3 + . . . + a n. 29. Em um triângulo qualquer ADE (ao
Seja s1 = 5(a1+20)-20 + 5(a2+20)-20 + lado) as linhas EB e EC são traçadas.
5(a3+20)-20 + . . . + 5(a n+20)-20 = Qual das seguintes relações entre
= 5 a1 + 80 + 5 a2 + 80 + 5 a3 + 80 + . . . ângulos é correta?
E

+ 5 a n + 80 = a) x + z = a + b
y
w b

= 5(a 1 + a 2 + . . . + a n) + 80 n = b) y + z = a + b
= 5 s + 80 n. c) m + z = w = n A x z Bm n c
C
a
D

d) x + z + n = w + c + m
27. Os pontos (2 , - 3); (4, 3) e (5, k/2) e) x + y + n = a + b + m
estão sobre uma reta. O(s) valores de k
é(são):

5

de bezerro b e o número de novilhas n
Sol: ( E ) são ambos inteiros positivos, então:
Aplicando que a soma ângulos internos a) o problema não tem solução
 = 180°, temos que: b) há 2 soluções com b > n
i)No  AEC : x + y + w + n = 180° c) há 2 soluções com n > b
d) há 1 solução com b > n
ii)No  BED: m + w + b + a = 180° e) há 1 solução com n > b
Temos então: x + y + n = a + b + m
Sol: ( E )
1 1 Pelos dados temos:
30. Se xy = b e 2 + = a então 25b + 26n = 1000 => 25b = 1000 – 26n
x y²
(x + y)² é igual a: 1000 − 26n 26n
=> b = = 40 −
a) (a + 2b)² b) a² + b² c) b(ab+2) 25 25
1 Para n = 25 => b = 40 – 26 = 14
d) ab (b + 2) e) + 2b Para n = 50 => b = 40 – 26 x 2 =
a
= -12 (não satisfaz).
Sol: ( C ) Logo temos n = 50 e b = 14, ou seja:
Temos: xy = b ( i ) n > b.
1 1 x² + y ²
+ =a⇒ =a⇒ 33. Para que uma raiz de ax² + bx + c =
x² y ² ( xy )² 0 seja o dobro da outra, os coeficientes
x² + y² = a.(xy)² => x² + y² = a.b² (ii) a, b e c devem estar assim relacionados:
a) 4b² = 9c b) 2b² = 9ac c) 2b² = 9 a
Então: (x + y)² = x² + y² + 2xy = ab²+2b d) b² - 8ac = 0 e) 9b² = 2ac.
 (x + y)² = b( ab + 2 ).
Sol: ( B )
31. A altura relativa à base de um Temos: ( i ) x1 = 2x2
triângulo isóscele é 8 e o perímetro é ( ii ) x1 + x2 = 3x2 = - b/a =>
32. A área do triângulo é: x2 = -b/3 a
a) 56 b) 48 c) 40 d) 32 e) 24 Usando ( i ), temos: x1 = -2b/3 a.
( iii ) x1.x2 = c/a =>
Sol: ( B ) -2b/3 a. –b/3 a = c/a =>2b²/9 a² = c/a
Sendo: altura = h = 8; Base = 2 a; => 2b² = 9ac.
Perímetro = 2 a + 2 b = 32 =>
a + b = 16 ( i ) 34. O numerador de uma fração é
Aplicando Pitágoras em um dos  6x + 1; o denominador é 7 – 4x e x pode
relacionados com a altura: ter um valor entre -2 e 2, inclusive. Os
b² = a² + 8 => b² - a² = 8² => valores de x para os quais o numerador
(a + b)(a – b) = 64 => 16.(a – b) = 64=> é maior que o denominador são:
a – b = 64/16 => a – b = 4 ( ii ) a) 3/5 < x ≤ 2 b) 3/5 ≤ x ≤ 2
Cálculo de a e b: c) 0 < x ≤ 2 d) 0 ≤ x ≤ 2
Formando um sistema com ( i ) e ( ii ) e) 2 ≤ x ≤ 2.
determinamos: a = 6 e b = 10.
Cálculo da área do  : Sol: ( A )
At = (base. Altura) / 2 = (2 a . h) / 2 => Pela condição do problema para x:
At = (12 . 8) / 2 = 48
-2 ≤ x ≤ 2 ( i ).
Valores de x para os quais o numerador
32. Com R$ 1 000,00 um fazendeiro
é maior que o denominador são:
compra bezerro a R$ 25,0 cada e
6x + 1 > 7 – 4x => 10x > 6 =>
novilhas a R$ 26,00 cada. Se o número
x > 3/5 (ii).

6

Fazendo a interseção de ( i ) com ( ii ) consecutivos é k² + 1. A soma de 2k+1
=> 3/5 ≤ x ≤ 2. termos desta série pode ser expressa
como:
35. Um triângulo é formado, ligando-se a) k³ + (k + 1)³ b) (k – 1)³ + k³
três pontos cujas coordenadas são c) (k + 1)³ d) (k + 1)² e) (2k+1)(k+1)²
números inteiros. Se as unidades dos
eixos x e y são iguais e medem 1 cm, Sol: (A)
então a área do triângulo, em cm²: Seja (a1, a2, a3, . . .an) uma PA de
a) deverá ser um número inteiro inteiros consecutivos => razão = r =1; e
b) poderá ser um número irracional mais: a1 = k²+1 e nºde termos = n=2k+1
c) deverá ser um número irracional Como a n = a1 + ( n – 1).r => Soma =
d) deverá ser um número irracional n(a1 + a n ) n(2a1 + nr − r )
Sn = = =
e) deverá ser um número racional. 2 2
(2k + 1)(2k ² + 2 + 2k + 1 − 1)
Sol: ( D ) =
2
Vamos considerar os pontos: O (0,0),
A (a, c) e B(b, d) onde, pela condição (2k + 1)(k ² + k + 1)
=
do problema, a, b, c e d são números =>Sn = 2
inteiros. 2k ³ + 3k ² + 3k + 1 =
A área do  é dada por: = k ³ + k ³ + 3k ² + 3k + 1 =
At = ½ AD , onde D = determinante
= (k + 1)³ + k ³.
formado pelas coordenadas dos três
pontos.
Calculando o determinante, temos: 38. Seja r a distância da origem até o
D = bc – ad. ponto P(x, y). Seja s a razão y/r e c a
Então: At = ½ (bc – ad). razão x/r. Então os valores s²- c² estão
Como a, b, c e d são números inteiros, o limitados pelos números:
resultado é número racional. a) menor que -1 e maior que +1, ambos
excluídos.
36. Os lados de um triângulo medem b) menor que -1 e maior que +1, ambos
30, 70 e 80 unidades. Se a altura relativa incluídos.
ao lado de comprimento 80 for traçada, c) entre -1 e +1, ambos excluídos.
ela deverá cortar esse lado em dois d) entre -1 e +1, ambos incluídos.
segmentos cujo lado maior medirá: e) +1 e -1 apenas.
a) 62 b) 63 c) 64 d) 65 e) 66
Sol: (D)
Sol: (D) Como s = y / r => s² = y²/ r² e c = x / r
i) No  ADB (reto)=> h² = 30² - x²; => c² = x² / r².
ii) No ADC (reto)=> h² = 70² -(80-x)² y ² − x²
Daí então: s² - c² = .
Fazendo i = ii => 30² - x² = 70² -(80-x)² r²
=> [(80- x+ x)(80- x – x )]= 70² - 30² => Os valores máximo e mínimo da fração
=> 80.(80-2x) = 4x.100=> 80 – 50 acima são dados por:
A
= 2x y²
i) Valor máximo = (qdo x = 0) =
=> x = 30/2 => x = 15. 3 0 h 70 r²
Resp: Segmentos: x = x
= 1 / 1 = 1.
8 0 -x
15 e 80-x=65 => B
80
C

Maior segmento = 65. − x²
ii) Valor mínimo = (qdo y = 0) =
r²
37. O primeiro termo de uma = -1 / 1 = -1.
progressão aritmética de inteiros

7

39. O símbolo 3 x significa x se x for B ² − 2 AC
 r² + s² =
positivo e – x se x for negativo. A²
Podemos dizer, então, com relação à
equação e x ² + ² x - 6 =0 que: Vamos ao cálculo de p:
a) ela tem apenas uma raiz Usando x² + px + q = 0 temos:
b) a soma das raízes é 1 r² + s² = -p / 1( iii )e r² / s² = q / 1( iv).
c) a soma das raízes é 0 Usando ( iv ) temos que:
d) o produto das raízes é 4 B ² − 2 AC
e) o produto das raízes é -6 p = - (r² + s²) = - ( ) =>
A²
2 AC − B ²
Sol: ( C ) p= .
Fazendo y temos a equação: A²
y² + y – 6 = 0 , de onde temos as raízes
y’ = - 3 e y” = 2.
Cálculo de x: 42. Em um círculo cujo centro é O, a
Para y = -3 => P x = - 3 Não satisfaz. corda AB = corda AC. A corda AD
corta BC em E. Se AC = 12 e AE = 8
Para y = 2 => P x = 2 => x = ∀ 2, então AD é igual a:
Logo a soma = 2 + (-2) = 0 a) 27 b) 24 c) 21 d) 20 e) 18
40. Dados a0 = 1, a1 = 3 e a relação geral Sol: ( E )
A

an² - a n – 1 a n+1 = (- 1) n para n ≥ 1 então o 12
8
12

valor assumido por a3 será: B
E
C
80 80
a) 13/27 b) 33 c) 21 d) 10 e) -17 O
0

Sol: (B)
D
Atribuindo valores a n, temos: Temos: AB = AC = 12; AD 1 BC = {E}
Para n = 1=> a 1² - a 1 – 1 a 1 + 1 =(-1)1 AE = 8; e vamos considerar que as
 3² - 1. a2 = 1 => a2 = 10. cordas AD ⊥ BC.
Para n = 2=> a 2² - a2- 1. a 2 + 1=(- 1)² No  AEC (retângulo) temos:
=> 10² - 3. a3 = 1 => a3 = 33. AC² = AE² + EC² => 12² = 8² + EC² =>
EC = E80.
41. As raízes de Ax² + Bx + C = 0 são r
No círculo temos em relação as cordas:
e s. Para que as raízes de x² + px + q = 0
AE.ED = BE.EC => 8.ED = A 88080.
sejam r² e s² o valor de p deverá ser
igual: => ED = 10. Daí então:
AD = AE + ED = 8 + 10 = 18.
B ² − 4 AC B ² − 2 AC
a) b)
A² A² 43. AB é a hipotenusa de um 
2 AC − B ² retângulo ABC. A mediana AD = 7 e a
c) d) B² - 2C e) 2C – B²
A² mediana BE = 4. O comprimento de AB
é:
Sol. ( C ) a) 10 b) 5 a3 c) 5 32
Sendo Ax² + Bx + C = 0 e r e s suas d) 2d13 e) 2115
raízes temos: ( i ) r + s = - B / A e A
( ii ) r . s = - C / A. Sol; ( D )
Quadrando ( i ) e usando ( ii ) temos: c= ?
E
r² + s² + 2rs = B² / A² =>
b /2
 r² + s² = B² / A² - 2.C / A => C B
D
a

8

No  retângulo ACD temos: c) o valor do cheque não pose ser
AD² = AC² + CD² => 7² = b² + (a/2)² => múltiplo de 5
=> b² = 49 – a² / 4 ( i ) . d) o valor incorreto pode ser igual ao
No  retângulo ECB temos: dobro do valor correto
BE² = EC² + BC² => 4² = ( b/2)² + a² => e) a soma dos dígitos do valor correto é
b² = 64 – 4 a² ( ii ) divisível por 9.
Fazendo ( i ) = ( ii ), temos:
49 – a²/4 = 64 – 4 a² => a = ∀ 2(como a Sol: ( B ) O valor que deveria ser pago
é um segmento -2 não satisfaz). era x+ y/100 reais, e foi pago y+ x/100
Daí então, usando ( ii ) : reais, pagando - se 17,82 a mais, então:
b² = 64 – 4.2² => b = b48. x + y/100 + 17,82 = y+x/100 (. 100)
∴ No  retângulo ACB temos: 100x + y + 1782 = 100y + x
c² = a² + b² => c² = 2² + (c48)² => 99y – 99y = 1782
c = 2c 13 99(y - x) = 1782
y - x = 18
44. São dadas 3 afirmações verdadeiras: Vamos ver qual alternativa é a correta:
(1) se a é maior que b então c é maior
que d; (2) se c é menor que d então e é a) x não pode ser maior que 70.
maior que f. Uma conclusão válida é: Falsa, pois x pode ser 71 e y 89 assim:
a) se a é menor que b então e é maior y - x= 18 e x > 70
que f b) y pode ser igual a 2x
b) se e é maior que f então a é menor Pode, pois se y = 2x=> 2x – x = 18 =>
que b x=18 e y = 2x = 36 que x e y tem 2
c) se e é menor que f então a é maior algarismos!
que b (b) é verdadeira!
d) se a é maior que b então e é menor
que f 46. Para que valores de x menores que 1
e) nenhuma das anteriores. e maiores que -4, a expressão
x² − 2 x + 2
tem:
Sol: ( E ) 2x − 2
Trata-se de uma questão de lógica com a) nenhum valor máximo ou mínimo
as afirmações: b) o valor mínimo é + 1
p: a é maior que b c) o valor máximo é + 1
q: c é maior que d d) o valor mínimo é -1
r: e é maior que f. e) o valor máximo é – 1.
Destes dados, podemos escrever que:
p 6 q e ~q 6 r . S0l: ( E )
Pela regra da contraproposta: Fazendo para -4 < x < 1 o valor:
~q 6 ~p e ~r 6 q. x ² − 2 x + 2 1 ( x ² − 2 x + 2)
y= = ⋅ =
Portanto as alternativas: (a); (b); (c); e 2x − 2 2 ( x − 1)
(d) não são conclusões válidas. 1 ( x − 1)² + 1 1 1
= ⋅ = ⋅ (x − 1 + )
2 ( x − 1) 2 ( x − 1)
45. Um cheque é escrito no calor de x
A soma de um número e seu recíproco
reais e y centavos, ambos os números de
(inverso) é mínimo quando esse valor é
dois dígitos. Por engano, na ocasião do
recebimento, é pago o valor de y reais e ∀ 1.
x centavos, aumentando de R$ 17,82 o - Para x – 1 = 1 => x = 2 (é excluído,
valor correto. Então: não satisfaz).
a) x não pode ser maior que 70 - Para x – 1 = - 1 => x = 0 =>
b) y pode ser igual a 2x

9

1 1 Seja Q o ponto de interseção entre a
y= ⋅ (0 – 1 + ) = −1
2 0 −1 perpendicular a AB que passa por P, e a
Temos então que, todos os valores de x reta PB.
no intervalo dado produzem valores de Fazendo QB = x, então PQ ² = x (10 –
y < - 1, logo -1 é o máximo. x) ; CP = x(10 − x ) + (6 − x)² ;
A P B e DP = x(10 − x ) + (4 − x)² .
Daí então:
T S
CP + DP = 36 − 2 x + 16 + 2 x .
Esta soma será máxima quando
Q E
R 36 − 2 x = 16 + 2 x , ou seja, quando
F x = 5. Então, (e) é a alternativa correta.
D C
47. ABCD é um retângulo e P é um
49. Na expansão de (a + b)n há n + 1
ponto qualquer sobre AB. PS ⊥ BD e termos distintos. O número de termos
PR ⊥ AC. AF ⊥ BD e PQ ⊥ AF. Então distintos de (a + b + c)10 é:
PR + PS é igual a: a) 11 b) 33 c) 55 d) 66 e) 132
a) PQ b) AE c) PT + AT Sol; ( D )
d) AF e) EF No desenvolvimento do binômio de
Newton (a + b) n, temos n + 1 termos,
Sol: (D) então:
Observando a figura observa-se que o ( a + b + c )10 = [ (a + b) + c ]10 =
 PTR  ATP =>  10   10   10 
 PR / AQ = PT / AT. =  (a + b) .c +  (a + b) .c¹+ (a + b) .c ² + ...
 0
10 0

 1
9

2
8

 Como PT = AT pois P PAT =
PBS = PAPT;  10   10 
+  9 (a + b)¹.c +  10 (a + b) .c
9 0 10.

 PR = AQ; PS = QF, então:    
 PR + PS = AF + QF = AF. Daí então temos (a+b)10 possui 11
termos; (a+b)9 possui 10 termos; ...;
48. O diâmetro AB de um círculo cujo (a+b)¹ possui 2 termos e (a + b)º possui
centro é O mede 10 unidades. C é um 1 termo.
ponto a 4 unidades de A, sobre AB: D é O Nº. de termos então = 11 + 10 + 9
outro ponto a 4 unidades de B, sobre + . . . + 2 + 1 = 66.
AB. P é um ponto qualquer sobre o
círculo. Uma linha pontilhada ligando C 50. Na figura a seguir existe um
a P e depois a D: esquema que associa a cada ponto de
a) tem o mesmo comprimento, qualquer AB um ponto de A’B’ e vice-versa.
que seja a posição de P Para se descrever essa associação
b) mede mais que 10 unidades qualquer analítica, seja x a distância de um ponto
que seja a posição de P P sobre AB até D e seja y a distância de
c) nunca é maior que 10 unidades P’ sobre A’B’ até D’. Dado um par de
d) é mínima quando CPD é um pontos associado, se x = a então x + y é
triângulo retângulo igual a:
e) é máxima quando P é eqüidistante de a) 13 a b) 17 a – 51 c) 17 – 3 a
C e D. d) (17 – 3 a) / 4 e) 12 a – 34

Sol: ( E)

10

A P B
D o o o o o o
oo
4 5
o

0 1 2 3

B' A'
D'o o o o o
o
oo
4 5
o

0 1 2 P '3

Sol: ( C )
Pela figura temos: DP = x = a ; D’P’ =
y; PB / P’B’ = 1 / 4.
Daí então:
y = D’B’ + B’P’ = 1 + B’P’ = 1 + 4PB;
Como PB = 4 – x = 4 – a, temos:
y = 1 + 4(4 – a) = 17 – 4 a.
Assim: x + y = a + 17 – 4 a = 17 – 3 a.

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