1+1=2の話(coinsのOCのLTで話したやつ)
- 1. 1+1=2 Akihiro Shoji a.k.a. alphaKAI(@alpha_kai_NET)
- 3. • え、2では? • はい、2ですね。 • 終了… ではなく
- 4. 気を取り直して • ここでは、1+1=2を少し変わった視点から見てみ ましょう • → ラムダ計算で考えてみよう
- 5. ラムダ計算とは • 簡単に言うとラムダ→λを使って関数をλx. xみた いに表すこと(ラムダを用いて表した式をラムダ 式といいます) • すべての計算(手続き)を関数とそれに対する適応 であらわそーみたいな感じ • すごい簡単な体系でありながら，チューリング 完全
- 7. ラムダ計算の基本-書き方 • よく見慣れた関数: f(x) = 2x + 1 • ラムダ式で書くと: f = λx. 2x + 1 • プログラミング言語的に言うと、式を関数として第一級 関数(関数をオブジェクトとしてあつかう)のような感じ。 • 複数の引き数がある場合は慣例的にまとめることができる 例:λx. (λy. x + y)
- 8. ラムダ計算の基本-用語 • 束縛変数と自由変数 • 束縛変数: λx. x ← この場合のx • 自由変数: λx. x + y ←この場合のy • 注意: λxy. x + y (=λx. λy. x + y)この場合、x,yと もに束縛変数
- 9. ラムダ計算の用語-その2 • 適用(後に説明するがβ簡約という) • 簡単に言うと、引き数の変数に値を代入する こと • f(x)=2x+1とするとx=2としてf(2)=2×2+1=5
- 10. 複数の引き数がある場合 • λxy. x + yの場合、yを引き数に持つ`関数`が帰る( ポイント)
- 11. α変換 • (λf. λx. f x)に(λf. λx.f x)を適用する場合、一つ問題が発生 する • 名前が他の場所と衝突しないかぎり、ラムダ式の変数 名は自由に変えて良い(これがα変換) • λx.x ≡ λy.y
- 12. 自然数について • (0を含む)自然数は, 0とある数のその次の数を返す関数( 後者関数)Succを用いることで次のように定義できる • ちなみに，数を表す場合，数字を用いなくても一意に識 別可能であれば数とそのシンボルの対応を数字のように 扱うことができる(つまり，数を表すのに必ずしも数字を 使う必要はない)
- 13. チャーチ数 • ラムダ計算はすべてを関数として表したいので、数 も関数で表す必要があるので、以下のように定義す る • 0 = λfx. x • 1 = λfx. f x • 2 = λfx. f (f x) • 3 = λfx. f (f (f x)) 以下同様にfがふえてく...
- 14. Succもラムダ計算で! • Succをラムダ計算の体系で表すことができれば，自然数全体 を扱うことができそう! →なので，Succを定義します． • これだけ見てもなんでこれでSuccが定義できるの…?ってなる と思うので… • f(n f x)のnにfとxを適用することで，nの最奥のxをf xという構 造に置換することが出来，それによって1増えてる
- 15. お待たせしました • 1 + 1を考えましょう。 • 足し算を行う関数addは次のように定義できます ． • add := λa.λb.λf.λx. b f (a f x) • これを使うと....
- 16. 1+1はこうなる
- 17. どうなってんの • (λa. λb. λf. λx. a f (b f x)) A B • Bの適用によりb(=B)となり，Bの中のf, xをbの横のf, xで置換して得 られたものを，B’とするとa f B’となる． • 同じようにしてaの中のfをその横のfと置換した後に，aの最奥にあ るxをB’で置換することになり，置換して得られたA’は • λf. λx. f(f(f…f B’))と言うような形になる．ここでB’よりも前にfはaこ あり，B’はBなので，つまり，その中にはfがbこある．よって，全 体としてはfがA+B個あることになるので，A+Bが計算できる． • (B’はBと同じ数.Bのf,xとaddのf,xを交換しただけ)
- 18. 他にも… • 掛け算やa^b(aのb乗)といった指数計算，更には 引き算，そして，ある数の一つ前を求める前者 関数predも定義できる． • 興味ある人は是非調べてみてください… • (なお，うまいことやるとif式を表すことが出来た り，carとcdr, consも定義できるのでリストを扱 えたりする．)
- 19. ご静聴ありがとうござ いました