Add m2-2-chapter3
- 1. บทที่ 3 การแปรผัน (20 ชั่วโมง) 3.1 การแปรผันตรง (8 ชั่วโมง) 3.2 การแปรผกผัน (7 ชั่วโมง) 3.3 การแปรผันเกี่ยวเนื่อง (5 ชั่วโมง) นักเรียนไดเรียนเกี่ยวกับความสัมพันธระหวางปริมาณสองปริมาณในรูปของอัตราสวน และไดใช สัดสวนในการแกโจทยปญหามาแลว ในบทนี้จะกลาวถึงความสัมพันธดังกลาวในแงของการแปรผัน ไดแก การแปรผันตรง การแปรผกผันและการแปรผันเกี่ยวเนื่อง นักเรียนจะสามารถนําความรูเหลานี้ไป ใชแกโจทยปญหาตาง ๆ นอกจากวิธีการใชสัดสวนหรือการเทียบสวน (บัญญัติไตรยางค) ที่นักเรียนเคย เรียนมาแลว ในทางวิทยาศาสตรนักวิทยาศาสตรแสดงแบบรูปของความสัมพันธระหวางปริมาณตาง ๆ ที่เกิดขึ้น ตามปรากฏการณธรรมชาติหลาย ๆ ปรากฏการณในรูปของการแปรผัน ทําใหเกิดสูตรตาง ๆ ทาง วิทยาศาสตร แสดงใหเห็นวาคณิตศาสตรเปนพื้นฐานสําคัญในการศึกษาทางวิทยาศาสตร เชน เศรษฐศาสตรและการเงิน จึงมีคํากลาววา คณิตศาสตรเปนราชินีของวิทยาศาสตร นอกจากนี้ยังไดนํา การแปรผันมาใชในศาสตรอื่น ๆ ที่นําไปใชได ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 1. เขียนสมการแสดงการแปรผันระหวางปริมาณสองปริมาณใด ๆ ที่แปรผันตอกันได 2. แกปญหาหรือสถานการณที่กําหนดโดยใชความรูเกี่ยวกับการแปรผันได 3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได
- 2. 51 แนวทางในการจัดการเรียนรู 3.1 การแปรผันตรง (8 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกไดวาปริมาณสองปริมาณที่กําหนดใหแปรผันตรงตอกันหรือไม เมื่อกําหนด ความสัมพันธระหวางสองปริมาณนั้นให 2. เขียนสมการแสดงการแปรผันระหวางสองปริมาณใด ๆ ที่แปรผันตรงตอกันได 3. แกโจทยปญหาหรือสถานการณเกี่ยวกับการแปรผันตรงได 4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูนําสนทนาใหนักเรียนเห็นวา ในชีวิตประจําวันเรามักจะพบความสัมพันธระหวางปริมาณ สองปริมาณในสถานการณตาง ๆ ตามตัวอยางในหนังสือเรียน หรืออาจยกตัวอยางในชีวิตประจําวันเพิ่มเติม ในการดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนเรื่องนี้ ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวา เมื่อมีขอมูลที่แสดงความสัมพันธ ระหวางปริมาณสองปริมาณ ใหวิเคราะหหาแบบรูปซึ่งอาจมีแบบจําลองเปนสมการหรือกราฟ แลวควร แปลความหมายเพื่อหาขอสรุปและนําขอสรุปที่ไดไปใชในการแกปญหาตอไป เชน จากขอมูลในตารางแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณน้ํามันและจํานวนเงินที่จาย ครูควรให นักเรียนสังเกตวา จํานวนเงินที่จายแปรเปลี่ยนไปตามปริมาณของน้ํามันอยางไร นักเรียนควรสรุปไดวา เมื่อปริมาณน้ํามันเพิ่มขึ้น 1 ลิตร จํานวนเงินที่จายจะเพิ่มขึ้น 18 บาท ซึ่งเปนอัตราที่คงที่ ทําใหสามารถ กําหนดสมการไดเปน y = 18x เมื่อนําขอมูลเหลานี้ไปเขียนกราฟจะไดกราฟเปนสวนหนึ่งของเสนตรงที่ ผานจุด (0, 0) ครูอาจตั้งคําถามเพิ่มเติมใหนักเรียนไดเห็นวา จากสมการหรือกราฟ เราสามารถนําไป ใชหาคําตอบบางอยางไดดังเชน 1) ถานักเรียนมีเงิน 500 บาท จะเติมน้ํามันไดประมาณกี่ลิตร 2) ถังน้ํามันรถคันหนึ่งจุได 35 ลิตร ถาตองการเติมน้ํามันเต็มถัง จะตองจายเงินกี่บาท โดยทั่วไปขอมูลที่ปรากฏในชีวิตประจําวัน มักจะทําใหเขาใจผิดวา เมื่อมีความสัมพันธ ระหวางปริมาณสองปริมาณที่เมื่อปริมาณหนึ่งเพิ่มขึ้นอีกปริมาณหนึ่งเพิ่มตาม หรือเมื่อปริมาณหนึ่งลดลง อีกปริมาณหนึ่งลดตามไปดวยแลว ความสัมพันธนั้นเปนความสัมพันธแบบการแปรผันตรงเทานั้น ซึ่ง ไมถูกตอง ในหนังสือเรียนจึงไดยกตัวอยางขอมูลเกี่ยวกับการทดลองปรับอุณหภูมิของหองควบคุมอุณหภูมิ ใหเห็นเปนตัวอยางขัดแยงและในตัวอยางนี้นักเรียนจะไดเห็นคาคงตัวที่นอยกวาศูนยดวย
- 3. 52 ตัวอยางของสถานการณทั้งสองจะชวยเสริมใหนักเรียนเห็นความหมายของบทนิยามของ การแปรผันตรงไดชัดเจนขึ้นวา คาคงตัว k ที่ไมเทากับศูนยนั้น อาจมากกวาศูนยหรือนอยกวาศูนยก็ได นอกจากนี้ครูควรใหนักเรียนสังเกตวา กราฟของสมการแปรผันตรงจะอยูในจตุภาคที่ 1 หรือจตุภาคที่ 4 แตในชีวิตจริงเรามักจะพบวา กราฟของสมการแปรผันตรงจะอยูในจตุภาคที่ 1 สาระสําคัญอีกประการหนึ่งที่นักเรียนควรจะทราบคือ นอกจากจะพิจารณาความสัมพันธ ระหวางปริมาณสองปริมาณจากแบบรูป สมการหรือกราฟแลว อาจจะพิจารณาขอมูลที่กําหนดใหในรูป ของผลหารหรืออัตราสวน x y เมื่อ x ≠ 0 หรือ y x เมื่อ y ≠ 0 ทุกคูของ x และ y ที่ไดคาคงตัวเปน ตัวเดียวกันหรือไม ซึ่งเปนวิธีที่งายกวา 2. สําหรับกิจกรรม “บอกไดไหม” มีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นความเกี่ยวของกันระหวางการ แปรผันตรงกับสมการแสดงการแปรผัน ในกิจกรรมนี้ครูอาจใชการถามตอบและใหนักเรียนบอกเหตุผล แทนการเขียนตอบก็ได โดยเฉพาะขอ 4 ครูควรใหมีการอภิปรายแสดงเหตุผลและครูควรใชคําถามกระตุน ใหไดขอสรุปวา เมื่อ y ∝ x จะได x ∝ y ดวย 3. สําหรับกิจกรรมเกี่ยวกับการทดลองปลอยลูกบอลบนพื้นเอียง มีเจตนาใชเปนตัวอยางให นักเรียนไดเห็นวาระยะทาง d ไมไดแปรผันตรงกับเวลา t แต d แปรผันตรงกับ t2 ซึ่งจะทําใหนักเรียน ไดเรียนรูและตระหนักวา เมื่อโจทยกําหนดขอมูลชุดหนึ่งที่มีความสัมพันธระหวางปริมาณสองปริมาณ ถาพิจารณาไมพบวาปริมาณที่หนึ่งแปรผันตรงกับปริมาณที่สอง ก็ควรพิจารณาและวิเคราะหตอ ซึ่งอาจพบ วาปริมาณที่หนึ่งแปรผันตรงกับกําลังสองของปริมาณที่สองหรือในรูปอื่น ๆ เชน พบวา y ไมแปรผันตรง กับ x แตอาจพบวา y ∝ x2 หรือ y ∝ x ก็ได 4. สําหรับกิจกรรม “ยังบอกไดไหม” เปนกิจกรรมที่ตองการเสริมความเขาใจเกี่ยวกับ การแปรผันตรง ในกรณีที่ปริมาณหนึ่งไมไดแปรผันตรงกับอีกปริมาณหนึ่งโดยตรง แตอาจจะแปรผันตรง กับกําลังสามหรือกรณฑที่สองของอีกปริมาณหนึ่ง เชน s ∝ t3 และ t ∝ 2 l 5. สําหรับกิจกรรม “กฎของโอหม” มีเจตนาใหเห็นวาในปรากฏการณทางวิทยาศาสตร นักวิทยาศาสตรมักพบความสัมพันธของปริมาณตั้งแตสองปริมาณใด ๆ โดยใหปริมาณอื่น ๆ คงที่ และจาก ขอมูลที่ไดจากการทดลองเมื่อวิเคราะหหาความสัมพันธเหลานั้น อาจคนพบกฎหรือสูตรตาง ๆ หลังจากที่นักเรียนไดศึกษาคําถามตามหนังสือเรียนและไดคําตอบแลว ครูควรกลาวสรุปให เห็นวากฎของโอหมที่วิเคราะหไดวา I ∝ V นั้น เปนกฎพื้นฐานที่มีความสําคัญเกี่ยวกับเรื่องของไฟฟา เปนกฎที่มีชื่อเสียงมาก นักเรียนควรจํากฎของโอหมไวและควรนําไปใชแกปญหาได 6. สําหรับแบบฝกหัด 3.1 โจทยบางขอที่ตองการใหปริมาณหนึ่งแปรเปลี่ยนไปเปนพหุคุณของ ปริมาณนั้นหรือคิดเปนเศษสวนของปริมาณนั้น ในการคํานวณหาอีกปริมาณหนึ่งซึ่งตองแปรเปลี่ยนตาม ดวย เปนเรื่องที่นักเรียนบางคนอาจทําความเขาใจไดยาก ครูควรใหเวลาในการสอนเรื่องนี้และยกตัวอยาง ประกอบใหมากพอ เชน ตัวอยางที่ 3 คําถามขอ 2) หนา 87 ครูจะตองศึกษาขอสังเกตที่แนะนําไวทาย
- 4. 53 ตัวอยางนี้ และชี้ใหนักเรียนสังเกตไดวาในการหาคําตอบไมจําเปนตองรูคา k แตตองจัดรูปสมการใหมให อยูในรูป s = kt2 จะเห็นวา kt2 คือปริมาณเดิมของ s และ 16 1 (kt2 ) คือ 16 1 เทาของปริมาณเดิมของ s สําหรับนักเรียนที่สามารถเขาใจเกี่ยวกับการใชตัวแปร ครูอาจอธิบายขยายใหเขาใจอยาง ชัดเจน ดังนี้ ให s0 เปนปริมาณเดิม ขณะเวลา t0 และ s1 เปนปริมาณใหม ขณะเวลา 4 1 t0 จาก s = kt2 ดังนั้น s0 = k 2 0t จะได s1 = k( 4 1 t0)2 s1 = k( 2 0 t 16 1 ) = 16 1 (k 2 0t ) นั่นคือ s1 = 16 1 s0 โจทยสวนใหญในเรื่องของการแปรผันเปนโจทยที่เกี่ยวของกับทางวิทยาศาสตร อาจมีโจทย บางขอที่นักเรียนอาจมีความสนใจเปนพิเศษ ครูควรถือโอกาสนี้แนะนําใหนักเรียนไดศึกษาเรียนรูดวย ตนเอง โดยแนะนําใหไปศึกษาคนควาเพิ่มเติมในหองสมุด หรือขอคําแนะนําจากครูวิทยาศาสตร 7. สําหรับกิจกรรม “นารู” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นวาในชีวิตจริงโดยเฉพาะขอมูลที่ปรากฏอยู ตามสื่อตาง ๆ มักใชคําวา “เปนสัดสวน” แทนคําวา “การแปรผันตรง” เชนกลาววา y เปนสัดสวนกับ x แทนการกลาววา y แปรผันตรงกับ x ถาครูหาตัวอยางสถานการณที่มีการใชคําดังกลาวมาเพิ่มเติม ประกอบกิจกรรมนี้ไดก็จะเปนการดี และครูอาจแนะนําวาโจทยที่เกี่ยวของกับการแปรผันตรง อาจแก ปญหาหรือหาคําตอบไดโดยใชความรูเรื่องสัดสวน หรือใชการเทียบสวน (บัญญัติไตรยางค) ก็ได
- 5. 54 3.2 การแปรผกผัน (7 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกไดวาปริมาณสองปริมาณที่กําหนดใหแปรผกผันตอกันหรือไม เมื่อกําหนด ความสัมพันธระหวางสองปริมาณนั้นให 2. เขียนสมการแสดงการแปรผันระหวางสองปริมาณใด ๆ ที่แปรผกผันตอกันได 3. แกโจทยปญหาหรือสถานการณเกี่ยวกับการแปรผกผันได 4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูนําสนทนาใหเห็นขอมูลในชีวิตประจําวันที่พบความสัมพันธระหวางปริมาณสองปริมาณ เปนแบบการแปรผกผันดังตัวอยางในหนังสือเรียน และดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนในทํานองเดียวกัน กับหัวขอ 3.1 ใหนักเรียนสังเกตขอมูล วิเคราะหแบบรูปหาความสัมพันธในรูปสมการหรือกราฟ และชี้ ใหเห็นวากราฟที่แสดงการแปรผกผันเชน y = k × x 1 หรือ xy = k เมื่อ k เปนคาคงตัว และ k ≠ 0 นั้น มีกราฟเปนเสนโคง สวนใหญอยูในจตุภาคที่ 1 และจตุภาคที่ 4 กราฟจะไมตัดแกน x และไมตัด แกน y ดังเชนตัวอยางกราฟของความสัมพันธระหวางอัตราเร็วเฉลี่ยของรถยนตกับเวลาที่ใชในการเดินทาง ในทํานองเดียวกัน ครูไมควรใหนักเรียนจําวา ความสัมพันธแบบการแปรผกผันมีลักษณะ ที่ปริมาณหนึ่งเพิ่มขึ้นอีกปริมาณหนึ่งลดลง หรือปริมาณหนึ่งลดลงอีกปริมาณหนึ่งเพิ่มขึ้น แตควรให นักเรียนพิจารณาจากผลคูณของปริมาณทั้งสองวามีผลคูณเปนคาคงตัวตัวเดียวกันหรือไม 2. สําหรับกิจกรรม “เขียนไดไหม” ก็มีเจตนาใหนักเรียนเห็นความเกี่ยวของระหวาง การแปรผกผันกับสมการแสดงการแปรผัน ครูควรดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนเชนเดียวกันกับกิจ กรรม “บอกไดไหม” 3. สําหรับกิจกรรม “ความเขมเสียง” มีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นความสัมพันธระหวางปริมาณ สองปริมาณที่ปริมาณหนึ่งอาจแปรผกผันกับกําลังสองของอีกปริมาณหนึ่ง ครูอาจดําเนินกิจกรรมการเรียน การสอนในทํานองเดียวกันกับกิจกรรมการทดลองปลอยลูกบอลบนพื้นเอียงในหัวขอ 3.1 หลังจบกิจกรรม นี้ใหครูชี้ใหนักเรียนเห็นถึงความสําคัญของกฎกําลังสองผกผัน ซึ่งเปนกฎพื้นฐานสําคัญทางวิชาฟสิกส นัก เรียนอาจจะไดเรียนรูเกี่ยวกับการนํากฎนี้ไปใชแกปญหาที่หลากหลายในชั้นเรียนที่สูงขึ้นตอไป 4. สําหรับตัวอยางที่ 2 ครูควรทําความเขาใจกับนักเรียนเกี่ยวกับโจทยที่มีการแปรเปลี่ยนปริมาณ เปนเทา เชนเดียวกันกับเรื่องการแปรผันตรง และในแบบฝกหัด 3.2 ก็ยังคงมีโจทยเกี่ยวกับสถานการณทาง วิทยาศาสตร เชน ขอ 6 และขอ 11 เปนโจทยเกี่ยวกับคลื่นวิทยุ ถามีนักเรียนสนใจและตองการเรียนรูให มากขึ้น ครูควรแนะนําใหศึกษาเพิ่มเติมจากหองสมุด ขอคําแนะนําจากครูวิทยาศาสตรหรือเชิญวิทยากรที่ เกี่ยวของในชุมชนมาใหความรูเพิ่มเติมก็ได
- 6. 55 3.3 การแปรผันเกี่ยวเนื่อง (5 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. เขียนสมการแสดงการแปรผันเกี่ยวเนื่องระหวางปริมาณตาง ๆ ได 2. นําความรูไปใชแกโจทยปญหาหรือสถานการณเกี่ยวกับการแปรผันเกี่ยวเนื่องได 3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจดําเนินกิจกรรมการสอนใหเห็นความสัมพันธของปริมาณตั้งแตสองปริมาณขึ้นไป ในทํานองเดียวกันกับหัวขอ 3.1 และหัวขอ 3.2 และอาจหาตัวอยางโดยใชขอมูลในทองถิ่น หรือขอมูลใน ชีวิตประจําวันที่นักเรียนเคยพบมาเปนตัวอยางเพิ่มเติมก็ได เชน การจางเหมารถตูไปทัศนศึกษา มีคาใชจาย ซึ่งแปรผันเกี่ยวเนื่องกับจํานวนวันที่ไปทัศนศึกษาและปริมาณน้ํามันที่ใชในการเดินทาง และปริมาณน้ํามัน ที่ใชก็ยังแปรผันตรงกับระยะทางที่เดินทางอีกดวย 2. สําหรับกิจกรรม “พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม” และกิจกรรม “การหาดอกเบี้ย” ใหไวเพื่อเปน ตัวอยางการแปรผันเกี่ยวเนื่อง ครูอาจใชการอภิปรายรวมกันโดยครูใชคําถามและใหนักเรียนชวยกันตอบคํา ถามพรอมแสดงเหตุผล หรืออาจใหนักเรียนทํางานเปนกลุมและนําเสนอแนวคิดและเหตุผลของกลุมก็ได เมื่อจบกิจกรรมทั้งสองแลว ครูอาจชี้ใหนักเรียนเห็นวาโจทยแบบฝกหัดแตละขออาจแกได โดยใชสัดสวนหรือเทียบบัญญัติไตรยางค ครูอาจเลือกโจทยบางขอใหนักเรียนลองคิดแกโดยไมใชสมการ แสดงการแปรผัน และนําเสนอแนวคิดหนาชั้นเพื่ออภิปรายสรุปผลอีกครั้งก็ได 3. กอนขึ้นตัวอยางที่ 2 ครูควรอธิบายและยกตัวอยางใหนักเรียนทราบวา y แปรผันตรงกับ x และแปรผกผันกับ z มีความหมายเชนเดียวกับ y แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ x และ z 1 4. สําหรับแบบฝกหัด 3.3 โจทยบางขอมีขอมูลมากนักเรียนบางคนอาจทําความเขาใจโจทยไดชา ครูอาจใหนักเรียนชวยกันวิเคราะหโจทยเปนกลุมกอน แลวจึงใหทําเปนการบาน หรือครูอาจนําโจทยมา วิเคราะหดวยกัน โดยครูใชคําถามเพื่อใหนักเรียนไดแนวคิดในการแกปญหาแลวจึงใหทําเปนการบาน 5. สําหรับกิจกรรม “จายเทาไร” เปนกิจกรรมที่แสดงใหนักเรียนเห็นประโยชนของการแปรผัน ที่นํามาใชในชีวิตประจําวัน ครูอาจเพิ่มเติมกิจกรรมนี้ โดยใหนักเรียนหาคาใชจายอื่น ๆ เชน คาน้ําประปา คาไฟฟา อาจ ใหนักเรียนนําใบเสร็จคาน้ําประปา หรือคาไฟฟาที่บานตนเองมาเปรียบเทียบกับของเพื่อน ๆ เพื่อหาขอสรุป ใหไดวา ปริมาณคาใชจายในใบเสร็จนั้นแปรผันกับจํานวนใดและมีคาใดเปนคาคงตัวของการแปรผัน ครูอาจใหโจทยเพิ่มเติมโดยใชขอมูลในทองถิ่น เชน คาน้ําประปาในหมูบานซึ่งอาจไม ซับซอนมากนัก หรือถาเปนคาไฟฟาครูควรดัดแปลงโจทยใหงายเหมาะสมกับนักเรียน เพราะคาไฟฟาหรือ คาประปาในภูมิภาคจะคิดเปนอัตรากาวหนา ครูจึงควรดัดแปลงโจทยใหนักเรียนคิดในอัตราชวงใด ชวยหนึ่งก็พอ
- 7. 56 6. สําหรับกิจกรรม “เลนไมกระดก” มีเจตนาเชื่อมโยงการเลนไมกระดกกับการแปรผกผัน ยังสอดคลองกับเรื่องโมเมนต ในวิทยาศาสตรอีกดวย ครูอาจสนทนาเชื่อมโยงตอใหนักเรียนเห็นวา คณิตศาสตรยังเกี่ยวของกับการละเลนพื้นบานอื่น ๆ อีก เชน การเลน “มอญซอนผา” ก็มีความเกี่ยวของกับ สาระเรื่องความนาจะเปน การเลน “หมากเก็บ” ผูเลนใชการประมาณคาในการประมาณความสูงของกอน หินที่โยนขึ้นไปใหสัมพันธกับอัตราเร็วในการเก็บกอนหินที่อยูบนพื้น และอัตราเร็วก็สัมพันธกับจํานวน กอนหินที่จะตองรวบเก็บบนพื้นในแตละครั้ง คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบกิจกรรม “บอกไดไหม” 1. 1) y = 4x 2) u = 3 1 v 3) s = 0.7t 2. 1) x แปรผันตรงกับ y และมี 3 2 เปนคาคงตัวของการแปรผัน 2) F แปรผันตรงกับ x และมี 1 เปนคาคงตัวของการแปรผัน 3) u แปรผันตรงกับ v และมี -0.5 เปนคาคงตัวของการแปรผัน 4) s แปรผันตรงกับ v และมี t เปนคาคงตัวของการแปรผัน 5) u แปรผันตรงกับ v และมี -1 เปนคาคงตัวของการแปรผัน 3. 1) y แปรผันตรงกับ x มีสมการแสดงการแปรผันเปน y = 5x และมี 5 เปนคาคงตัวของ การแปรผัน 2) y ไมแปรผันตรงกับ x 3) y แปรผันตรงกับ x มีสมการแสดงการแปรผันเปน y = - 2 1 x และมี - 2 1 เปนคาคงตัว ของการแปรผัน 4) y ไมแปรผันตรงกับ x
- 8. 57 4. 1) จากขอ 3 กรณีที่ y ∝ x แลวจะได x ∝ y ดวย และมีสองขอดังนี้ ขอ 3 ขอยอย 1) มีสมการแสดงการแปรผันเปน x = 5 1 y และมี 5 1 เปนคาคงตัวของ การแปรผัน ขอ 3 ขอยอย 3) มีสมการแสดงการแปรผันเปน x = -2y และมี -2 เปนคาคงตัวของ การแปรผัน 2) ถา y ∝ x แลวจะได x ∝ y เนื่องจาก ถา y ∝ x จะได y = kx โดยที่ k เปนคาคงตัว และ k ≠ 0 ดังนั้น x = k 1 y โดยที่ k 1 เปนคาคงตัว นั่นคือ x ∝ y คําตอบกิจกรรม “ยังบอกไดไหม” 1. 1) s = 2t3 2) t = 2 3 1 l 3) H = -3I2 2. 1) พื้นที่ของวงกลมแปรผันตรงกําลังสองของรัศมี มี π เปนคาคงตัวของการแปรผัน 2) พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแปรผันตรงกําลังสองของความยาวของดาน มี 1 เปนคาคงตัว ของการแปรผัน 3) ปริมาตรของทรงกลมแปรผันตรงกับกําลังสามของรัศมี มี 3 4 π เปนคาคงตัวของการแปรผัน 4) ความหนาแนนของสารแปรผันตรงกับสวนกลับของปริมาตรของสารที่ไมเทากับศูนย โดยมี มวลของสารเปนคาคงตัวของการแปรผัน คําตอบกิจกรรม “กฎของโอหม” 1. V I เปนคาคงตัวเทากับ 3 50 สําหรับทุกคูของ V และ I 2. I แปรผันตรงกับ V
- 9. 58 3. I = 3 50 V 4. 5. 400 มิลลิแอมแปร 6. 18 โวลต คําตอบแบบฝกหัด 3.1 1. 1) s = 60t 2) P = 10d 3) I = 0.15P 4) s = 0.5t 5) A = 2 1 d2 6) A = 4πr2 2. 1) A แปรผันตรงกับ r2 และมี π เปนคาคงตัวของการแปรผัน 2) e แปรผันตรงกับ m และมี 0.05 เปนคาคงตัวของการแปรผัน 3) T แปรผันตรงกับ w 1 และมี 2π เปนคาคงตัวของการแปรผัน 4) P แปรผันตรงกับ q และมี 2 3 เปนคาคงตัวของการแปรผัน 5) V แปรผันตรงกับ P และมี T เปนคาคงตัวของการแปรผัน 3. 1) 2 2) 22 3) 3 เทาของปริมาณเดิม 4) เพิ่มขึ้น 50% I (มิลลิแอมแปร) V (โวลต)0 20 40 60 80 100 120 82 4 6 10
- 10. 59 4. 4 25 5. 3 8 6. 2 17 7. เนื่องจาก y ∝ (x + 1) จะได y = k(x + 1) เมื่อ k เปนคาคงตัวของการแปรผัน แทน y ดวย 3 และแทน x ดวย 5 ในสมการ y = k(x + 1) จะได 3 = k(5 + 1) 3 = 6k k = 2 1 นั่นคือ y = 2 1 (x + 1) 2y = x + 1 หรือ 2y – x = 1 8. 1) 4 เทาของปริมาณเดิม 2) 9 1 เทาของปริมาณเดิม 3) ลดลง 51% 9. t = 100 25 p เมื่อ t แทนภาษีขาเขา และ p แทนตนทุน 10. y = 2x2 x 1 2 3 4 5 7 y 2 8 18 32 50 98 11. 1) 180 เมตร 2) ประมาณ 1.7 วินาที 12. 2,304 แคลอรี 13. 1) ได 2) P = 6d 3) 0.9 เมตร 4) 6 นิวตัน
- 11. 60 14. 1) 2 วินาที 2) 16 เซนติเมตร 15. 1) 9.375 เมตร 2) 120 กิโลเมตรตอชั่วโมง 16. 1) C = 9 5 (F – 32) 2) 9 5 3) 32 องศาฟาเรนไฮต 4) -15 องศาเซลเซียส 5) 98.6 องศาฟาเรนไฮต คําตอบกิจกรรม “เขียนไดไหม” 1. 1) y = 2 x 2 2) s = 2t5 1 3) v = t 0.5 2. 1) y แปรผกผันกับ x และมี 2 k เปนคาคงตัวของการแปรผัน 2) y แปรผกผันกับ t3 และมี 2 1 เปนคาคงตัวของการแปรผัน 3) y แปรผกผันกับ x + 1 และมี 7 เปนคาคงตัวของการแปรผัน 4) y แปรผกผันกับ (x – 1)2 และมี k2 เปนคาคงตัวของการแปรผัน 3. 1) y แปรผกผันกับ x 1 มีสมการแสดงการแปรผันเปน y = x 12 และมี 12 เปนคาคงตัวของ การแปรผัน 2) y ไมแปรผกผันกับ x
- 12. 61 3) y แปรผกผันกับ x 1 มีสมการแสดงการแปรผันเปน y = - x 4 และมี -4 เปนคาคงตัวของ การแปรผัน 4) y แปรผกผันกับ x 1 มีสมการแสดงการแปรผันเปน y = 2x 3 และมี 2 3 เปนคาคงตัวของ การแปรผัน 4. 1) จากขอ 3 ถา y แปรผกผันกับ x แลว x จะแปรผกผันกับ y ดวย และมี 3 ขอดังนี้ ขอ 3 ขอยอย 1) มีสมการแสดงการแปรผันเปน x = y 12 และมี 12 เปนคาคงตัวของ การแปรผัน ขอ 3 ขอยอย 3) มีสมการแสดงการแปรผันเปน x = - y 4 และมี -4 เปนคาคงตัวของ การแปรผัน ขอ 3 ขอยอย 4) มีสมการแสดงการแปรผันเปน x = 2y 3 และมี 2 3 เปนคาคงตัวของ การแปรผัน 2) y แปรผกผันกับ x แลว x แปรผกผันกับ y เนื่องจาก ถา y แปรผกผันกับ x จะได y = k × x 1 โดยที่ k เปนคาคงตัว และ k ≠ 0 ดังนั้น x = k × y 1 นั่นคือ x แปรผกผันกับ y 5. y แปรผกผันกับ x แลวสามารถกลาวไดวา y แปรผันตรงกับ x 1 เนื่องจาก y แปรผกผันกับ x จะได y = k × x 1 โดยที่ k เปนคาคงตัว และ k ≠ 0 นั่นคือ y แปรผันตรงกับ x 1 คําตอบแบบฝกหัด 3.2 1. 1) h = b 120 2) A = h 154
- 13. 62 3) I = R 220 4) f = L 346 5) P = V 0.004 6) y = - 2x 5 3 + 2. 1) y แปรผกผันกับ x และมี 2 เปนคาคงตัวของการแปรผัน 2) P แปรผกผันกับ q และมี - 5 3 เปนคาคงตัวของการแปรผัน 3) T แปรผกผันกับ w2 และมี 20 เปนคาคงตัวของการแปรผัน 4) h แปรผกผันกับ r2 และมี π 500 เปนคาคงตัวของการแปรผัน 5) y แปรผกผันกับ x3 และมี m เปนคาคงตัวของการแปรผัน 3. 1) y = x 24 2) 7 2 3) 3 8 4) 2 1 เทาของปริมาณเดิม 5) ลดลง 16.7 % 4. 1) 2 2) 9 1 3) 2 เทาของปริมาณเดิม 5. 1) 1.25 แอมแปร 2) 0.75 แอมแปร 6. 1) F = L 103 5 × 2) 1,500 เมตร 3) ประมาณ 647 กิโลเฮิรตซ
- 14. 63 7. 79.85 กิโลกรัม 8. 15 นาที 9. 60 กิโลเมตรตอชั่วโมง 10. 1) 10 คน 2) 30 คน 11. 1) 0.006 วัตตตอตารางเมตร 2) 2 เมตร 12. 4 เทาของปริมาณเดิม คําตอบกิจกรรม “พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม” 1. A แปรผันตรงกับ h เนื่องจาก A = 2 1 × b × h และมี 2 1 × b เปนคาคงตัว ดังนั้น A ∝ h 2. A แปรผันตรงกับ b เนื่องจาก A = 2 1 × b × h = ( 2 1 × h)× b และมี 2 1 × h เปนคาคงตัว ดังนั้น A ∝ b คําตอบกิจกรรม “การหาดอกเบี้ย” 1. ด แปรผันตรงกับ ต เนื่องจาก ด = 100 อปต ×× = ( 100 อป× ) × ต และมี 100 อป× เปนคาคงตัว ดังนั้น ด ∝ ต
- 15. 64 2. ด แปรผันตรงกับ ป เนื่องจาก ด = 100 อปต ×× = ( 100 อต× ) × ป และ 100 อต× เปนคาคงตัว ดังนั้น ด ∝ ป 3. ด แปรผันตรงกับ อ เนื่องจาก ด = 100 อปต ×× = ( 100 ปต× ) × อ และ 100 ปต× เปนคาคงตัว ดังนั้น ด ∝ อ คําตอบแบบฝกหัด 3.3 1. 1) A = 0.75BC 2) Q = -xy2 3) F = 9m1m2d2 4) y = 2 2z x 2. 1) 60 2) 6 2 3. 1) V = 920 P T 2) 2,990 ลูกบาศกเซนติเมตร 3) เพิ่มเปน 2 เทาของปริมาณเดิม 4) ลดลงเปน 2 1 เทาของปริมาณเดิม 4. 180 5. 20 6 5 เมตร
- 16. 65 6. 64 แกลลอน 7. 2,250 นิวตันตอตารางเมตร 8. ลดลง 37.5% 9. 1) A แปรผันตรงกับ t 2) เนื่องจาก V ∝ y x จะได V = y kx เมื่อ k เปนคาคงตัว หรือ y = V kx ดังนั้น y = 2 22 V xk นั่นคือ y แปรผันตรงกับ x2 และแปรผกผันกับ V2 10. กําหนดให x แทนปริมาณถานหิน s แทนระยะทางที่เรือแลน v แทนอัตราเร็วของเรือ t แทนเวลา เนื่องจาก x ∝ sv2 และ s ∝ vt จะได x = k1sv2 เมื่อ k1 เปนคาคงตัวที่ไมเทากับ 0 และ s = k2vt เมื่อ k2 เปนคาคงตัวที่ไมเทากับ 0 แทนคา s ดวย k2vt ในสมการ x = k1sv2 จะได x = k1 k2vtv2 หรือ x = k1 k2(tv3 ) นั่นคือ ความหมดเปลืองถานหินของเรือลํานี้แปรผันเกี่ยวเนื่องกับเวลาในการเดินทางและ กําลังสามของอัตราเร็วเรือ 11. 1) 0.24 ยูนิต 2) 11.25 ยูนิต 12. 1) 100 2) 140 13. 1.55 ชั่วโมง
- 17. 66 คําตอบกิจกรรม “จายเทาไหร” 1. 1) รอยละ 5 ของคาโดยสารที่เก็บไดตลอดเดือน 2) 9,750 บาท 3) 100,000 บาท 2. 1) 4 บาท 2) 368 บาท 3) 3 มวน คําตอบกิจกรรม “เลนไมกระดก” 60 เซนติเมตร