Basic m5-1-chapter2
- 1. บทที่ 2 ความนาจะเปน ( 18 ชั่วโมง ) เนื่องจากความนาจะเปนเปนเรื่องที่จะชวยใหผูเรียนรูจักการแกปญหาที่เกี่ยวของกับ การคาดการณบางอยาง ดังนั้น การศึกษาเรื่องนี้จะชวยใหผูเรียนสามารถนําความรูในเรื่องนี้ ไปชวยในการตัดสินใจไดอยางมีหลักเกณฑมากขึ้น ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. หาจํานวนผลลัพธที่อาจเกิดขึ้นของเหตุการณโดยใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับและ แผนภาพตนไมอยางงายได 2. อธิบายการทดลองสุม เหตุการณ ความนาจะเปนของเหตุการณ และหาความนาจะเปน ของเหตุการณที่กําหนดใหได 3. นําความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนไปใชในการคาดการณและชวยในการตัดสินใจและ แกปญหาได ผลการเรียนรูดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้น ทางดานความรู ในการเรียนการสอนทุกครั้งผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูทางดาน ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนและสอดแทรกกิจกรรมแกปญหา หรือคําถาม ที่เสริมสรางทักษะกระบวนการเหลานั้นดวย นอกจากนั้นควรปลูกฝงใหผูเรียนทํางานอยาง เปนระบบ มีระเบียบวินัยมีความรอบคอบ มีความรับผิดชอบมีวิจารณญาณและมีความเชื่อมั่น ในตัวเอง
- 2. 72 ขอเสนอแนะ 1. ในการใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับหาคําตอบของโจทยปญหานั้นผูสอน ควรใหผูเรียนอานโจทยใหเขาใจวาในปญหานั้นกําหนดเงื่อนไขอะไรบาง การพิจารณาเงื่อนไข ของปญหาจะชวยใหสามารถกําหนดขั้นตอนในการแกปญหา ซึ่งจะชวยใหสามารถหาคําตอบ ไดงายขึ้น ดังตัวอยางตอไปนี้ ปญหาที่ 1 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนบวก โดยที่ เลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากันไดทั้งสิ้นกี่จํานวน วิธีคิด จากโจทยปญหาไดเงื่อนไข 3 ขอ คือ 1) ใหใชเลขโดดได 6 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 2) จํานวนที่ตองการเปนจํานวนบวกที่มีสามหลัก 3) เลขโดดในแตละหลักของแตละจํานวนที่ตองการ ตองไมซ้ํากัน จากเงื่อนไขทั้งสามขอนี้นํามาพิจารณาประกอบการใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับ การนับ เพื่อพิจารณาวาจะเขียนจํานวนที่ตองการไดกี่จํานวน โดยพิจารณาวิธีที่จะเขียน เลขโดดในหลักตาง ๆ คือ หลักหนวย หลักสิบ และหลักรอย เนื่องจากการเขียนจํานวนที่มี สามหลักนั้น หลักรอยตองไมใชเลขโดด 0 สวนหลักอื่น ๆ นั้นจะใชเลขโดดใดก็ไดใน 6 ตัว ที่กําหนด การเริ่มแกปญหาจึงควรเริ่มดวยการหาจํานวนวิธีที่จะเขียนเลขโดดในหลักรอย เพราะมีขอจํากัดมากกวาหลักอื่น ๆ ดังนั้น วิธีหาคําตอบปญหาขางตน ผูสอนอาจแนะนํา ใหผูเรียนหาคําตอบตามขั้นตอนดังนี้ วิธีที่ 1 (1) ใหผูเรียนหาจํานวนวิธีที่จะเขียนเลขโดดในหลักรอย ซึ่งเทากับ 5 วิธี (2) ใหผูเรียนหาวาในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักรอย จะเขียนเลขโดด ในหลักสิบไดกี่วิธี ซึ่งจะไดคําตอบเทากับ 5 วิธี คือ ใชเลขโดด 5 ตัว ที่เหลือ (3) ใหผูเรียนหาวาในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักรอยและหลักสิบ จะเขียน เลขโดดในหลักหนวยไดกี่วิธี ซึ่งจะไดคําตอบเทากับ 4 วิธี คือ ใชเลขโดด 4 ตัว ที่เหลือ
- 3. 73 จากนั้นจึงใหผูเรียนใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ จะไดวา จํานวนเต็มบวก ที่มีสามหลักที่เขียนโดยใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยที่เลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากัน มีทั้งสิ้น 5 × 5 × 4 = 100 จํานวน วิธีหาคําตอบขางตนเปนเพียงวิธีหนึ่งเทานั้น สําหรับผูเรียนที่มีความสามารถทาง คณิตศาสตรผูสอนอาจแนะนําใหลองหาคําตอบโดยวิธีอื่น ๆ ก็ได เชน พิจารณาโดยเริ่มจาก การเขียนหลักหนวยกอน แตเนื่องจากจะมีปญหาวา เหลือ 0 อยูหรือไม จึงแยกกรณีพิจารณา ดังตอไปนี้ วิธีที่ 2 ถาเริ่มเขียนตัวเลขในหลักหนวยกอน แยกกรณีพิจารณาไดดังนี้ (1) หาจํานวนที่มีสามหลักที่เปนบวก และมี 0 อยูในหลักหนวยเขียนเลขโดดใน หลักสิบได 5 วิธี แตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักสิบ เขียนเลขโดดในหลักรอยได 4 วิธี ดังนั้น จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนบวก และมี 0 อยูในหลักหนวย และใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยที่เลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากัน ได 1 × 5 × 4 = 20 จํานวน (2) หาจํานวนที่มีสามหลักที่มี 0 อยูในหลักสิบ ในทํานองเดียวกับขอ (1) จะไดวา จํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักในขอนี้ มีทั้งหมด 20 จํานวน (3) หาจํานวนที่มีสามหลักที่เปนบวกและไมมี 0 ปรากฏอยูเลย จะไดวา มีทั้งหมด 5 × 4 × 3 = 60 จํานวน จาก กรณีที่ (1), (2) และ (3) จะได จํานวนที่แตกตางกันทั้งหมด ดังนั้น จํานวน ที่มีสามหลักที่เปนบวก ซึ่งไดจากการใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 เขียน โดยเลขโดดใน แตละหลักไมซ้ํากัน มีทั้งสิ้น 20 + 20 + 60 = 100 จํานวน
- 4. 74 ปญหาที่ 2 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนบวกและเปน จํานวนคี่ โดยที่เลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากัน ไดกี่จํานวน วิธีคิด เงื่อนไขของปญหานี้เหมือนของปญหาที่ 1 แตเพิ่มเงื่อนไขอีกหนึ่งขอ คือ จํานวนที่ตองการตองเปนจํานวนคี่ เงื่อนไขนี้มีผลตอจํานวนวิธีเขียนเลขโดดใน หลักหนวย ถาเริ่มหาคําตอบโดยพิจารณาจํานวนวิธีที่จะเขียนเลขโดดในหลักรอย กอนเชนเดียวกับ ในการแกปญหาที่ 1 จะพบวา เมื่อจะพิจารณาวา เลขโดดใน หลักหนวยมีไดกี่วิธีจะมีปญหาเพราะใน 5 วิธีที่เขียนเลขโดดในหลักรอยนั้นมี 3 วิธี ที่ใช 1, 3 และ 5 ไปแลว ดังนั้น วิธีหาคําตอบของปญหานี้ จึงควรพิจารณาวิธีเขียน เลขโดดในหลักหนวยกอน แลวจึงพิจารณาจํานวนวิธีการเขียนเลขโดดในหลักรอย จากนั้นจึงไปพิจารณาจํานวนวิธีเขียนเลขโดดในหลักสิบเปนอันดับสุดทายดังนี้ วิธีทํา เขียนเลขโดดในหลักหนวยไดตาง ๆ กัน 3 วิธี (คือเลขโดด 1, 3, 5) ในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักหนวย เขียนเลขโดดในหลักรอยได 4 วิธี (2, 4 และเลขโดดที่เปนจํานวนคี่ที่เหลืออีก 2 ตัว) ในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักหนวยและหลักรอย เขียนเลขโดดในหลักสิบ ได 4 วิธี (เลขโดดที่เหลือ 4 ตัวจากทั้งหมด 6 ตัว) ดังนั้น การใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 เขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลัก ที่เปนจํานวนคี่ที่มีเลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากัน จะเขียนไดทั้งหมด 3 × 4 × 4 = 48 จํานวน ปญหาที่ 3 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 จะเขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคู และเลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากัน ไดกี่จํานวน วิธีคิด ปญหาที่ 3 นี้ ถาพิจารณาไมรอบคอบอาจจะสรุปวาใชวิธีการในทํานองเดียวกับที่ใช ในการหาคําตอบปญหาที่ 2 คือ พิจารณาจํานวนวิธีเขียนเลขโดดในหลักหนวย หลักรอย และหลักสิบ ตามลําดับ แตวิธีดังกลาวมีปญหาเพราะเลขโดดที่อาจใชใน หลักหนวยมี 3 ตัว คือ 0, 2 และ 4 การที่เลขโดด 0 อาจถูกใชหรือไมถูกใชในการ เขียนเลขโดดในหลักหนวยมีผลตอการพิจารณาจํานวนวิธีเขียนเลขโดดในหลักรอย การหาคําตอบจึงอาจทําไดโดยการแยกกรณีพิจารณา เมื่อใช 0 ในหลักหนวย และเมื่อไมไดใช 0 ในหลักหนวยดังนี้
- 5. 75 วิธีทํา แยกกรณีและพิจารณาดังนี้ 1. เมื่อเลขโดดในหลักหนวยเปน 0 เขียนเลขโดดในหลักรอยได 5 วิธี ในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักรอย เขียนเลขโดดในหลักสิบได 4 วิธี ดังนั้น จํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักที่หลักหนวยเปน 0 ที่เขียนโดยใช เลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 และเลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากันมี 1 × 5 × 4 = 20 จํานวน 2. เมื่อเลขโดดในหลักหนวยไมใช 0 เขียนเลขโดดในหลักหนวยได 2 วิธี (คือ 2 หรือ 4) ในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักหนวย เขียนเลขโดดในหลักรอยได 4 วิธี (เลขโดดที่เหลือไมใชศูนย) ในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักหนวยและเลขโดดในหลักรอย เขียนเลขโดดในหลักสิบได 4 วิธี (เลขโดดที่ยังไมไดเขียนทั้งหมด) ดังนั้น จํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูที่หลักหนวยไมเปน 0 และเขียนโดยใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 และเลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากัน มี 2 × 4 × 4 = 32 จํานวน ดังนั้น การใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 เขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลัก ที่เปนจํานวนคูโดยเลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากันเขียนไดทั้งหมด 20 + 32 = 52 จํานวน หมายเหตุ ถาปญหาที่ 1, 2 และ 3 เปนปญหาที่ถามตอเนื่องกัน ดังนั้น การหา คําตอบของปญหาที่ 3 อาจใชคําตอบของปญหาที่ 1 และ 2 ชวย โดยใชคําตอบ ของปญหาที่ 2 ลบออกจากคําตอบของปญหาที่ 1 ก็ได
- 6. 76 2. ในการแกโจทยปญหาเกี่ยวกับการนับจํานวนวิธี บางกรณีก็ใชเฉพาะการคูณ บางกรณีก็ใชการบวกดวย ซึ่งผูสอนควรอธิบายใหผูเรียนเขาใจลักษณะของโจทยที่จะตอง ใชการคูณหรือการบวก การกระทําใด ๆ ที่ยังไมสิ้นสุดการคํานวณหาจํานวนวิธีสําหรับการ กระทํานั้น ๆ เราใชการคูณ แตถาการกระทําใด ๆ สามารถแยกไดเปนหลายกรณีและแตละ กรณีสิ้นสุดลงแลว ในการคํานวณหาจํานวนวิธีสําหรับการกระทํานั้นเราใชการบวกจํานวน วิธีในแตละกรณีเขาดวยกัน ดังจะเห็นไดจากตัวอยางขางตนที่ใหหาจํานวนที่มีสามหลักที่เปน จํานวนคู เราแยกเปนจํานวนคูที่ลงทายดวย 0 ซึ่งมี 20 จํานวน และจํานวนคูที่ไมลงทายดวย 0 ซึ่งมี 32 จํานวน เมื่อการคํานวณหาจํานวนวิธีทั้งสองกรณีสิ้นสุดลงแลว เมื่อเราตองการ ทราบวา จํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูมีกี่จํานวน เราจึงนําจํานวนวิธีที่หาได ในแตละกรณีมาบวกกันกลาวคือ มี 20 + 32 = 52 จํานวน ซึ่งจะเห็นวาในการคํานวณหา จํานวนคูดังกลาวในแตละกรณีนั้น แตละขั้นตอนเปนการกระทําที่ตอเนื่องกัน เราจึงใชวิธี คูณดังไดกลาวแลวในกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ
- 7. 77 กิจกรรมเสนอแนะ กิจกรรมที่ 1 จุดประสงค เพื่อใหผูเรียนมีความเขาใจในเนื้อหาเรื่องกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ ลักษณะกิจกรรม 1) ผูสอนแบงกลุมผูเรียนใหปฏิบัติในเรื่องเดียวกันโดยกําหนดให เนื้อหาของแตละกลุมตางกัน 2) ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปผลจากกิจกรรมของแตละกลุม อุปกรณ กระดาษตัดเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่รูปละ 1 ตารางหนวย ตอกัน จํานวน 6 รูป ดังรูปที่ (1) และเมื่อพับกระดาษ จะไดลูกบาศกดังรูปที่ (2) รูปที่ (1) รูปที่ (2) กิจกรรม ผูสอนใหผูเรียนหาจํานวนวิธีที่จะเขียนตัวเลข 1 , 2 , 3 , 4 , 5 และ 6 แตละตัวลงบนดานแตละดานของลูกบาศกเพื่อใหผลบวกของจํานวนที่อยูบน ดานตรงขามกันเทากับ 7 ผูสอนอาจใหขอแนะนําโดยใชคําถามดังนี้ ตัวอยางคําถาม 1) มีจํานวน 2 จํานวนใดที่มีผลบวกเทากับ 7 (ผูเรียนควรตอบไดวามี 1 + 6 , 2 + 5 และ 3 + 4) 2) ผูสอนใหผูเรียนพับกระดาษในรูปที่ (1) ใหเปนลูกบาศก ดานใดที่อยู ตรงขามกัน ใหกําหนดตําแหนงของดานที่อยูตรงกันขามไวดังรูปตอไปนี้
- 8. 78 ดานที่อยูตรงขามกันมีทั้งหมด 3 คู ไดแก ดานที่มีรูป ในตําแหนงที่ 1 และ 5 ดานที่มีรูป ในตําแหนงที่ 2 และ 4 และ ดานที่มีรูป ในตําแหนงที่ 3 และ 6 เมื่อทราบวา มีดานใดบางที่อยูตรงขามกันแลว จึงใหผูเรียนเขียนจํานวนลงบน แตละดาน เพื่อใหผลบวกของจํานวนที่อยูบนดานตรงขามกันมีคาเทากับ 7 ตัวอยางวิธีเขียนจํานวนบนรูปที่ (1) เพื่อใหผลบวกของจํานวนที่อยูบนดาน ตรงขามกันของลูกบาศกมีคาเทากับ 7 หมายเหตุ ผูสอนอาจจะแบงนักเรียนออกเปนกลุม ๆ โดยใหแตละกลุมหาจํานวนวิธี ทั้งหมดที่มีจํานวนในตําแหนงใดตําแหนงหนึ่งเปน 1, 2, 3, ... หรือ 6 เชน ใหกลุมที่ 1 หาจํานวนวิธีทั้งหมดเมื่อกําหนดให 1 อยูในตําแหนงดังภาพ จากนั้นผูสอนใชคําถามเพื่อชวยใหผูเรียนสรุปคําตอบไดดังนี้ 1 ตําแหนงที่ 2 ตําแหนงที่ 1 ตําแหนงที่ 4 ตําแหนงที่ 5 ตําแหนงที่ 6 ตําแหนงที่ 3 1 2 6 43 5 2 3 5 61 4 3 1 4 52 6
- 9. 79 คําถามที่ 1 ผูสอนถามผูเรียนวา มีวิธีเลือกเขียนจํานวน 1 - 6 ในตําแหนงที่กําหนด ใหในภาพไดกี่วิธีจงอธิบาย คําตอบ 6 วิธีคือ จะเขียนจํานวน 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6 จํานวนใดก็ได คําถามที่ 2 เมื่อผูเรียนเลือกจํานวนที่ตองการมาหนึ่งจํานวนและเขียนลงใน ตําแหนงที่กําหนดใหในภาพ แลวผูเรียนจะเลือกเขียนจํานวนที่อยูใน ตําแหนงที่อยูในดานตรงกันขามไดกี่วิธี เพราะเหตุใด คําตอบ 1 วิธี เพราะจะตองเลือกจํานวนที่นําไปบวกกับจํานวนที่เลือกไว แลวใหมีผลบวกเทากับ 7 เชน คําถามที่ 3 เมื่อเลือกจํานวนไปแลวสองจํานวน ผูเรียนจะเลือกจํานวนมาเขียนในตําแหนง ที่สาม และตําแหนงที่หกไดกี่วิธี คําตอบ จะตองเลือกจํานวนใดจํานวนหนึ่งจากจํานวนที่เหลือ 4 จํานวน หรือเลือกได 4 วิธี มาเขียนในตําแหนงที่สาม และเลือกจํานวนที่นํามาบวกกับจํานวนที่อยูใน ตําแหนงที่สาม แลวมีผลบวกเทากับ 7 มาเขียนในตําแหนงที่หกไดอีก 1 วิธี 1 6 ตําแหนงที่ 1 ตําแหนงที่ 5 1 6 ตําแหนงที่ 3 ตําแหนงที่ 6
- 10. 80 คําถามที่ 4 จากจํานวนที่เหลือผูเรียนจะเลือกจํานวนมาเขียนในตําแหนงที่สอง และ ตําแหนงที่สี่ไดกี่วิธี คําตอบ จะตองเลือกจํานวนใดจํานวนหนึ่งจากจํานวนที่เหลือ 2 จํานวน หรือเลือกได 2 วิธี มาเขียนในตําแหนงที่สองและนําจํานวนที่เหลือมาเขียนในตําแหนงที่สี่ ไดอีก 1 วิธี ตัวอยางเชน ถาใหจํานวน 1 อยูในตําแหนงที่หนึ่ง ในตําแหนงที่หา จะตองเลือก 6 ซึ่ง เลือกได 1 วิธี ในตําแหนงที่สามจะเลือก 2 , 3 , 4 หรือ 5 ก็ไดรวม 4 วิธี เชน ถาเลือก 2 ในตําแหนงที่สามจะตองเลือก 5 มาเขียนในตําแหนงที่หก 1 6 1 2 6 5
- 11. 81 ในตําแหนงที่สองจะมีจํานวนใหเลือก คือ จํานวนที่เหลืออีก 2 จํานวนคือ 3 หรือ 4 ซึ่งเขียนไดทั้งหมดสองวิธีดังนี้ หรือ จากคําตอบที่ไดผูสอนและผูเรียนชวยกันเขียนขอสรุปในตารางดังนี้ ตําแหนงที่ 1 2 3 4 5 6 จํานวนวิธีที่เลือก 6 2 4 1 1 1 ผูสอนถามผูเรียนวา จํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวน 1 ถึง 6 บนลูกบาศก เพื่อใหผลบวกของจํานวนที่อยูบนดานตรงขามเทากับ 7 มีทั้งหมดเทาใด ผูเรียนควรสรุปคําตอบโดยใชคําตอบที่ไดจากการทํากิจกรรมประกอบของแตละกลุม ซึ่งคําตอบเทากับ 48 หรือ 6 × 2 × 4 วิธี 3 4 4 3
- 12. 82 ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท 1. เมือง ก. เมือง ข. และเมือง ค. มีถนนเชื่อมระหวางเมืองทั้งสามดังรูป จงหาจํานวนวิธีที่จะเลือกเสนทางจากเมือง ก. ไปเมือง ค. 2. รานอาหารแหงหนึ่งจัดรายการอาหารไวดังนี้ อาหารคาว 8 ชนิด อาหารหวาน 5 ชนิด ผลไม 3 ชนิด เครื่องดื่ม 3 ชนิด ถาตองการจัดรายการอาหารที่มีอาหารคาว อาหารหวาน ผลไม และเครื่องดื่ม อยางละ 1 ชนิด จะจัดรายการอาหารที่แตกตางกันไดทั้งหมดกี่วิธี 3. 1) จงเขียนแผนภาพตนไม เพื่อแสดงบุตรชาย หรือหญิงของครอบครัวที่มีบุตร สองคนและ (1) มีบุตรคนแรกเปนชาย (2) มีบุตรคนแรกเปนหญิง 2) จงหาความนาจะเปนที่ครอบครัวหนึ่งจะมีบุตรสามคนโดยที่ (1) บุตรทั้งสามเปนบุตรชาย (2) เปนบุตรชายอยางนอย 1 คน (3) ไมมีบุตรชายเลย • • •ก. ข. ค.
- 13. 83 4. หยิบแผนปายสามแผนทีละแผนออกจากกลองโดยไมใสคืน แผนปายสามแผนเขียนอักษร ไวดังนี้ แผนที่ 1 เขียนอักษร ช แผนที่ 2 เขียนอักษร น แผนที่ 3 เขียนอักษร ว จงหาความนาจะเปนที่แผนปายที่หยิบไดครั้งที่ 1, 2 และ 3 จะอานวา “ชวน” 5. ทอดลูกเตาทรงสี่หนาสองลูกที่มีดานแตละดานเปนรูปสามเหลี่ยมดานเทาและมีตัวเลข 1, 2, 3 และ 4 เขียนไวบนหนาลูกเตาหนาละหนึ่งจํานวน 1) จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดที่ผลบวกของแตมที่อยูบนหนาที่สัมผัสกับพื้นจะเทากับ 2, 3, 4, 5, 6, 7 หรือ 8 ผลบวก 2 3 4 5 6 7 8 จํานวนวิธี 2) จงหาความนาจะเปนที่ผลบวกของแตมนอยกวา 4 3) จงหาความนาจะเปนที่ผลบวกของแตมมีคาไมเกิน 4 4) จงหาความนาจะเปนที่ผลบวกของแตมไมเทากับ 5 5) จงหาความนาจะเปนที่ผลบวกของแตมเทากับ 2 หรือ 3
- 14. 84 เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท 1. ถากําหนดให a, b และ c แทนเสนทางแตละเสนทางจากเมือง ก ไปเมือง ข และ x, y แทนเสนทางแตละเสนทางจากเมือง ข ไปเมือง ค จะแสดงการเดินทางจากเมือง ก ไปเมือง ค ดังภาพ เมือง ก เมือง ข เมือง ค เสนทาง สรุปวา จํานวนวิธีที่จะเลือกเสนทางจากเมือง ก ไปเมือง ค มีทั้งหมด 3 × 2 หรือ 6 วิธี 2. มีวิธีจัดอาหารไดทั้งหมด 8 × 5 × 3 × 3 หรือ 360 วิธี a b c x y x y x y ax ay bx by cx cy • •ก ข คa b c x y
- 15. 85 3. 1) บุตรคนแรก บุตรคนที่สอง บุตรคนแรก บุตรคนที่สอง (1) (2) 2) บุตรคนแรก บุตรคนที่สอง บุตรคนที่สาม ให E1, E2 และ E3 แทนเหตุการณในขอ (1), (2) และ (3) S = {(ช, ช, ช), (ช, ช, ญ), (ช, ญ, ช), (ช, ญ, ญ), (ญ, ช, ช), (ญ, ช, ญ), (ญ, ญ, ช), (ญ, ญ, ญ)} E1 = {(ช, ช, ช)} E2 = {(ช, ช, ช), (ช, ช, ญ), (ช, ญ, ช), (ช, ญ, ญ), (ญ, ช, ช), (ญ, ช, ญ), (ญ, ญ, ช)} E3 = {(ญ, ญ, ญ)} (1) P(E1) = 1 8 (2) P(E2) = 7 8 (3) P(E3) = 1 8 ช ญ ช ช ญ ช ช ญ ช ญ ช ญ ญ ช ญ ช ญ ช ญ ญ
- 16. 86 4. จํานวนวิธีที่จะหยิบแผนปายสามแผนทีละแผนมีไดทั้งหมด 3 × 2 × 1 หรือ 6 วิธี จํานวนวิธีที่จะหยิบแผนปายครั้งที่ 1, 2 และ 3 แลวไดอักษร ช, ว และ น มีไดทั้งหมด 1 × 1 × 1 หรือ 1 วิธี ดังนั้น ความนาจะเปนที่แผนปายที่หยิบไดครั้งที่ 1, 2 และ 3 จะอานไดวา “ชวน” เทากับ 1 6 5. ผลบวกที่จะเกิดจากการทอดลูกเตาสองลูกจะเทากับ 2, 3, 4, 5, 6, 7 หรือ 8 จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะไดผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองลูกเทากับ 4 × 4 หรือ 16 วิธี หรือหาจํานวนวิธีที่จะไดผลบวกทั้งหมดโดยใชตารางดังนี้ 1 2 3 4 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) จากตารางขางตนจะเห็นวา วิธีที่ผลบวกจะเทากับ 2 คือ (1, 1) มี 1 วิธี วิธีที่ผลบวกจะเทากับ 3 คือ (1, 2), (2, 1) มี 2 วิธี วิธีที่ผลบวกจะเทากับ 4 คือ (1, 3), (3, 1), (2, 2) มี 3 วิธี วิธีที่ผลบวกจะเทากับ 5 คือ (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) มี 4 วิธี วิธีที่ผลบวกจะเทากับ 6 คือ (2, 4), (4, 2), (3, 3) มี 3 วิธี วิธีที่ผลบวกจะเทากับ 7 คือ (3, 4), (4, 3) มี 2 วิธี วิธีที่ผลบวกจะเทากับ 8 คือ (4, 4) มี 1 วิธี รวม 16 วิธี
- 17. 87 ผลบวก 2 3 4 5 6 7 8 จํานวนวิธี 1 2 3 4 3 2 1 ให E1, E2, E3 และ E4 เปนเหตุการณในขอ 2), 3), 4) และ 5) 2) P(E1) = 3 16 3) P(E2) = 6 16 หรือ 3 8 4) P(E3) = 12 16 หรือ 3 4 5) P(E4) = 3 16 เฉลยแบบฝกหัด 2.1 1. เสนทางที่จะขับรถจากกรุงเทพฯ ถึงนครราชสีมาโดยผานลพบุรีที่ตางกันมีทั้งหมด 3 × 4 หรือ 12 เสนทาง ใชแผนภาพตนไมแสดงเสนทางการเดินทางขางตนไดดังนี้ ให ล1, ล2 และ ล3 แทนถนนจากกรุงเทพฯ ถึงลพบุรีซึ่งมี 3 สาย ให น1, น2, น3 และ น4 แทนถนนจากลพบุรีถึงนครราชสีมาซึ่งมี 4 สาย
- 18. 88 น1 น2 น3 น4 น1 น2 น3 น4 น1 น2 น3 น4 จะเห็นไดวามีวิธีเลือกเสนทางจากกรุงเทพฯ ถึงนครราชสีมาโดยผานลพบุรีไดทั้งหมด 12 วิธี คือ (ล1, น1), (ล1, น2), (ล1, น3), (ล1, น4), (ล2, น1), (ล2, น2), (ล2, น3), (ล2, น4), (ล3, น1), (ล3, น2), (ล3, น3), (ล3, น4) 2. ให ห1, ห2 และ ห3 แทนเหรียญที่ 1, 2 และ 3 ขึ้นหัว ก1, ก2 และ ก3 แทนเหรียญที่ 1, 2 และ 3 ขึ้นกอย ผลที่เกิดจากการโยนเหรียญแตละครั้งจะเปนหัวหรือกอย มี 2 วิธี ดังนั้น การโยนเหรียญสามเหรียญจะไดผลตางกันทั้งหมด 2 × 2 × 2 = 8 วิธี ล1 ล2 ล3 กรุงเทพฯ ห1 ก1 ห2 ก2 ห2 ก2 ห3 ก3 ห3 ก3 ห3 ก3 ห3 ก3
- 19. 89 3. ตองใชเสื้อทั้งหมดเทากับ 4 × 6 × 3 = 72 ตัว 4. คําตอบของขอแรกมีวิธีใหเลือก 2 วิธี ในแตละวิธีเลือกคําตอบขอแรกจะมีวิธีเลือกคําตอบขอสอง 2 วิธี ในแตละวิธีที่เลือกคําตอบขอแรกและขอสองจะมีวิธีเลือกคําตอบขอสามได 2 วิธี ในแตละวิธีที่เลือกคําตอบขอแรกถึงขอสามจะมีวิธีเลือกคําตอบขอสามได 2 วิธี M M ในแตละวิธีที่เลือกคําตอบขอแรกถึงขอเกาจะมีวิธีเลือกคําตอบขอสิบ 2 วิธี ดังนั้น จะมีวิธีตอบขอสอบชุดนี้ไดตาง ๆ กัน 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 = 210 = 1024 วิธี 5. หมายเลขโทรศัพทประกอบดวยเลขโดด 9 ตัว ซึ่งไดแก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 ตําแหนงที่ 1 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 0 ตําแหนงที่ 2 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 2 ตําแหนงที่ 3 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 3 ตําแหนงที่ 4 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 9 ตําแหนงที่ 5 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 2 ตําแหนงที่ 6, 7, 8 และ 9 แตละตําแหนงอาจเปนเลขโดดตัวใดตัวหนึ่งจาก 0 – 9 ซึ่งเปนไปได 10 วิธี ดังนั้น หมายเลขโทรศัพทที่หาตัวแรกเปน 02392 มีไดทั้งหมด 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000 หมายเลข 6. จํานวนวิธีที่จะเขาสนามกีฬาโดยใชประตูใดประตูหนึ่ง มีได 4 วิธี จํานวนวิธีที่จะออกจากสนามกีฬาโดยใชประตูที่ไมซ้ํากับประตูที่เขามา มีได 3 วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีเขาและออกจากสนามกีฬาแหงนี้มีไดทั้งหมด 4 × 3 = 12 วิธี 7. 1) ผลที่ไดจากการทอดลูกเตาลูกแรกมี 6 วิธี คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 และในแตละ วิธีของผลที่ไดจากการทอดลูกเตาลูกแรก จํานวนวิธีที่แตมที่ไดตรงกันมีได 1 วิธี ดังนั้น วิธีที่จะใหจํานวนแตมตรงกันมี 6 × 1 = 6 วิธี
- 20. 90 2) การที่ผลรวมของแตมบนหนาลูกเตาสองลูกจะเทากับ 10 มี 3 วิธี คือ แตมของ ลูกเตาลูกแรกเปน 4, 5 หรือ 6 (เพราะแตม 1, 2, 3 ไมมีโอกาสที่จะรวมกับ แตมของลูกที่สองแลวเทากับ 10) และในแตละวิธีของการทอดลูกเตาลูกแรก จะไดผลรวมของแตมเทากับ 10 มีเพียง 1 วิธี คือ 4 และ 6, 5 และ 5, 6 และ 4 ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะไดผลรวมของแตมเทากับสิบมีได 3 วิธี 3) ในแตละครั้งที่ปรากฏผลจากการทอดลูกสองลูกพรอมกัน การที่แตมของ ลูกเตาลูกที่สองจะตางจากลูกแรกมีได 5 วิธี แตเนื่องจากในการทอดลูกเตาลูกแรกจะปรากฏผลไดทั้งหมด 6 วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีที่แตมของลูกเตาสองลูกตางกันเทากับ 6 × 5 = 30 วิธี 4) จํานวนวิธีที่เกิดผลลัพธทั้งหมดในการทอดลูกเตา 2 ลูกมี 6 × 6 หรือ 36 วิธี จํานวนวิธีทั้งหมดที่ผลรวมของแตมเทากับสิบมี 3 วิธีคือ 4 + 6, 5 + 5, 6 + 4 จํานวนวิธีทั้งหมดที่ผลรวมของแตมเทากับสิบเอ็ดมี 2 วิธี คือ 5 + 6, 6 + 5 จํานวนวิธีทั้งหมดที่ผลรวมของแตมเทากับสิบสองมี 1 วิธี คือ 6 + 6 จะไดวา จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะไดผลลัพธมากกวาหรือเทากับสิบจะเทากับ 3 + 2 + 1 หรือ 6 วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะไดผลรวมของแตมนอยกวาสิบมี 36 – 6 หรือ 30 วิธี 8. เลขโดดในหลักทั้งสี่ตางเปนสมาชิกของเซต S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 1) ในหลักพันจะมีเลขโดดที่เปนไปได 9 วิธี คือ เปนสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต S ก็ได ยกเวน 0 ในหลักรอยจะมีเลขโดดที่เปนไปได 10 วิธี คือ เปนสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต S ในหลักสิบจะมีเลขโดดเปนไปได 10 วิธี คือ เปนสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต S ในหลักหนวยจะมีเลขโดดที่เปนไปได 10 วิธี คือ เปนสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต S ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวนเต็มบวกซึ่งมีสี่หลักมีทั้งหมดเทากับ 9 × 10 × 10 × 10 หรือ 9,000 วิธี
- 21. 91 2) จํานวนคี่ใด ๆ จะตองมีหลักหนวยเปน 1, 3, 5, 7, 9 ซึ่งมีได 5 วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวนคี่บวกซึ่งเปนจํานวนที่มีสี่หลักมีทั้งหมด 9 × 10 × 10 × 5 = 4,500 วิธี 3) จํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสี่หลักและมีหลักหนวยเปน 0 มีทั้งหมด 9 × 10 × 10 × 1 = 900 วิธี 9. ทะเบียนรถยนตประกอบดวยพยัญชนะ 1 ตัว และเลขโดดอีก 4 ตัว ดังนั้น จํานวนทะเบียนรถที่จะมีไดทั้งหมด 44 × 104 ทะเบียน แตถาคิดวาหมายเลข 0000 ซึ่งมีทั้งหมด 44 รายการ กองทะเบียนจะไมออก ทะเบียนให จะมีทะเบียนรถยนตไดทั้งหมด 44(104 – 1) ทะเบียน ในกรณีที่กองทะเบียนรถยนตเปลี่ยนระบบใหมโดยใชตัวเลข 1 ถึง 9 นําหนา พยัญชนะและตามดวยเลขโดด 4 ตัว ดังนั้น ในระบบใหมกองทะเบียนจะออกทะเบียนไดทั้งหมด (9)(44)(104 – 1) ทะเบียน นั่นคือ กองทะเบียนจะออกหมายเลขทะเบียนรถยนตเพิ่มขึ้นจากเดิมได 9 × 44(104 – 1) – 44(104 – 1) = 44(104 – 1)(9 – 1) = 352(104 – 1) ทะเบียน = 3,519,648 ทะเบียน 10. จํานวนทะเบียนที่มีตัวเลข 1 หลัก มีได 9 แบบ (1 – 9) จํานวนทะเบียนที่มีตัวเลข 2 หลัก มีได 90 แบบ (10 – 99) จํานวนทะเบียนที่มีตัวเลข 3 หลัก มีได 900 แบบ (100 – 999) จํานวนทะเบียนที่มีตัวเลข 4 หลัก มีได 9000 แบบ (1000 – 9999) ดังนั้น จํานวนหมายเลขทะเบียนที่แตกตางกันมีไดทั้งหมด 44 × 44 × 9999 หรือ 19,358,064 ทะเบียน 11. มีวิธีเขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสองหลักจากตัวเลข 1 ถึง 7 ได 7 × 7 = 49
- 22. 92 12. 1) จํานวนคูจะตองมีหลักหนวยเปน 2, 4, 6, 8 เนื่องจากจํานวนคูที่ตองการใหเลือกจากเลขโดด 2 – 9 ซึ่งมีทั้งหมด 8 ตัว ดังนั้น การเขียนจํานวนคูซึ่งเปนจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักจากเลขโดดที่กําหนด ใหเขียนไดทั้งหมด 8 × 8 × 4 = 256 วิธี 2) จํานวนคี่จะตองมีหลักหนวยเปน 1, 3, 5, 7 ดังนั้น การเขียนจํานวนคี่ซึ่งเปนจํานวนเต็มบวกที่มีสี่หลักจากเลขโดดที่กําหนด ใหเขียนไดทั้งหมด 8 × 8 × 8 × 4 = 2,048 วิธี 13. จํานวนวิธีทั้งหมดที่เกิดขึ้นจากการทอดลูกเตาสามลูก มีทั้งหมด 6 × 6 × 6 หรือ 216 วิธี ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสามที่นอยกวาหรือเทากับ 4 มีทั้งหมด 4 วิธี ดังนี้ แตมบนหนาลูกเตา ลูกที่ 1 ลูกที่ 2 ลูกที่ 3 ผลรวม ของแตม 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 3 4 4 4 ดังนั้น จํานวนวิธีที่ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาสามลูกมากกวาสี่ เทากับ 216 – 4 หรือ 212 วิธี 14. เนื่องจากจํานวนนับที่เปนจํานวนสามหลักที่มากกวา 400 จะตองมีเลขโดดในหลักรอย เปน 4 หรือ 5 การเขียนจํานวนดังกลาวมีได 2 วิธี ดังนั้น จํานวนนับที่มีสามหลักที่ตองการจะมีได 2 × 3 × 2 = 12 จํานวน จํานวนนับที่มีสี่หลักมีได 4 × 3 × 2 ×1 = 24 จํานวน นั่นคือ จํานวนนับที่มากกวา 400 และเปนจํานวนไมเกินสี่หลักตามตองการ มีทั้งหมด 12 + 24 = 36 จํานวน
- 23. 93 เฉลยแบบฝกหัด 2.2 1. มีถุงเทา 4 คู เปนถุงเทาสีดํา 2 คู ใหเปน ด1, ด2 และเปนถุงเทาสีขาว 2 คู ใหเปน ข1, ข2 ดังนั้น S = {(ด1, ด2), (ด1, ข1), (ด1, ข2), (ด2, ข1), (ด2, ข2), (ข1, ข2)} E เปนเหตุการณที่จะหยิบถุงเทาสองคูใหไดสีเดียวกัน นั่นคือ E = {(ด1, ด2), (ข1, ข2)} ดังนั้น P(E) = 2 6 หรือ 1 3 2. มีนักเรียนทั้งหมด 30 คน เปนนักเรียนชาย 18 คน นักเรียนหญิง 12 คน 1) ความนาจะเปนที่จะจับสลากใบแรกเปนนักเรียนชายเทากับ 18 30 = 3 5 2) ความนาจะเปนที่จะจับสลากใบแรกเปนนักเรียนหญิงเทากับ 12 30 = 2 5 3. มีเบี้ย 6 อัน แตละอันเขียนตัวเลข 3, 4, 7, 9, 10, 11 กํากับไว 1) เบี้ยที่เขียนเปนจํานวนคูไวมีสองอันคือ 4 และ 10 ดังนั้น โอกาสที่จะไดเบี้ยที่มีตัวเลขที่เปนจํานวนคูเทากับ 2 6 หรือ 1 3 2) เบี้ยที่เขียนเปนจํานวนเฉพาะไวมี 3 อัน คือ 3 , 7 และ 11 ดังนั้น โอกาสที่จะไดเบี้ยที่มีตัวเลขที่เปนจํานวนเฉพาะเทากับ 3 6 หรือ 1 2 3) เบี้ยที่เขียนเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว มี 2 อัน คือ 3 และ 9 ดังนั้น โอกาสที่จะไดเบี้ยที่มีตัวเลขที่เปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัวเทากับ 2 6 หรือ 1 3 4) เบี้ยที่เขียนตัวเลขที่เปนจํานวนที่เปนกําลังสองสมบูรณมี 2 อัน คือ 4 และ 9 ดังนั้น โอกาสที่จะไดเบี้ยที่มีตัวเลขที่เปนจํานวนที่เปนกําลังสองสมบูรณ เทากับ 2 6 หรือ 1 3
- 24. 94 4. เหรียญบาท 100 เหรียญ แตละเหรียญเขียนตัวเลขกํากับไวตั้งแต 1 ถึง 100 1) ให E1 เปนเหตุการณที่จะสุมเหรียญแลวไดตัวเลขบนเหรียญเปนจํานวนคู จะได E1 = {2, 4, 6, ..., 98, 100} P(E1) = 50 100 = 1 2 2) ให E2 เปนเหตุการณที่จะสุมเหรียญแลวไดตัวเลขบนเหรียญเปนจํานวน ที่มีรากที่สองเปนจํานวนเต็ม จะได E2 = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100} P(E2) = 10 100 = 1 10 3) ให E3 เปนเหตุการณที่จะสุมเหรียญแลวไดตัวเลขบนเหรียญเปนจํานวน ที่หารดวย 5 ลงตัว จะได E3 = {5, 10, 15, 20, 25, ...., 90, 95, 100} P(E3) = 20 100 = 1 5 4) เนื่องจาก 1 ถึง 100 มีจํานวนที่เปนจํานวนคี่อยู 50 จํานวน พิจารณาจํานวนคูที่มีคาตั้งแต 1 ถึง 100 และหารดวย 3 ลงตัว จะพบวา จํานวนดังกลาวเขียนไดในรูปลําดับเลขคณิต 6, 12, 18, 24, ..., 96 จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = 6 และ d = 6 จะได 96 = 6 + (n – 1)6 96 = 6 + 6n – 6 n = 16 ดังนั้น จํานวนคี่หรือจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว ซึ่งมีคาตั้งแต 1 ถึง 100 มีทั้งหมด 50 + 16 หรือ 66 จํานวน นั่นคือ ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่เขียนกํากับเหรียญที่หยิบไดจะเปนจํานวนคี่ หรือจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว เทากับ 66 100 หรือ 33 50
- 25. 95 5. ในงานปใหมของอําเภอหนึ่ง มีการขายสลากจํานวน 1,000 ใบ 1) ถาซื้อสลาก 1 ใบ ความนาจะเปนที่จะถูกรางวัลที่ 1 เปน 1 1,000 2) ถาซื้อสลาก 10 ใบ ความนาจะเปนที่จะถูกรางวัลที่ 1 เปน 10 1,000 = 1 100 6. 1) 7 20 2) จํานวนนักเรียนที่สวมรองเทาที่เล็กกวาเบอร 8 มี 3 + 12 + 35 หรือ 50 คน ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทาขนาดเล็กกวาเบอร 8 เทากับ 50 100 หรือ 1 2 3) จํานวนนักเรียนที่สวมรองเทาเบอร 8 หรือ 9 มี 27 + 16 = 43 คน ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทาขนาดเบอร 8 หรือเบอร 9 เทากับ 43 100 4) จํานวนนักเรียนที่สวมรองเทาเบอร 5 หรือ 10 มี 3 + 7 หรือ 10 คน ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทาขนาดเบอร 5 หรือเบอร 10 เทากับ 1 10 5) จํานวนนักเรียนที่สวมรองเทาใหญกวาเบอร 7 มี 27 + 16 + 7 หรือ 50 คน ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทาขนาดเบอร ใหญกวาเบอร 7 เทากับ 50 100 หรือ 1 2 7. ใหหลอดไฟที่ดี 3 หลอด แทนดวย ด1, ด2 และ ด3 หลอดไฟที่เสีย 2 หลอด แทนดวย ส1 และ ส2 ถาหยิบหลอดไฟสองหลอดจะปรากฏผลไดทั้งหมด 10 วิธี ดังนี้ ด1 และ ด2 * ด2 และ ส1 ด1 และ ด3 * ด2 และ ส2 ด2 และ ด3 * ด3 และ ส1 * ด1 และ ส1 * ด3 และ ส2 * ด1 และ ส2 ส1 และ ส2 จากผลขางตนจะพบวา ความนาจะเปนที่จะหยิบไดหลอดดีและหลอดเสีย อยางละ 1 หลอด เทากับ 6 10 หรือ 3 5
- 26. 96 8. ถุงใบหนึ่งมีลูกปงปองสีแดง 15 ลูก สีขาว 1 ลูก สีเหลือง 1 ลูก สีเขียว 1 ลูก สีฟา 1 ลูก และสีดํา 1 ลูก รวมทั้งหมด 20 ลูก 1) ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดงเทากับ 15 20 หรือ 3 4 2) ความนาจะเปนที่จะหยิบไมไดลูกบอลสีดําเทากับ 19 20 3) ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีดําหรือสีขาว 2 20 หรือ 1 10 9. ความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มน้ําผลไมเทากับ 1 4 หรือ 0.25 ความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มนมเทากับ 2 5 หรือ 0.4 ความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มน้ํานมถั่วเหลืองเทากับ 1 20 หรือ 0.05 ความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มน้ําอัดลมเทากับ 3 10 หรือ 0.3 1) เนื่องจากความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มนมเทากับ 0.4 ซึ่งมีคามากที่สุด ดังนั้น นมเปนเครื่องดื่มที่ขายดีที่สุด 2) เนื่องจากความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มน้ํานมถั่วเหลือง เทากับ 0.05 ซึ่งมีคานอยที่สุด ดังนั้น น้ํานมถั่วเหลืองเปนเครื่องดื่มที่ขายไดนอยที่สุด 3) เมื่อเรียงลําดับคาของความนาจะเปนขางตน จะพบวา ความนิยมของเครื่องดื่ม ที่ขายดีมากที่สุดไปนอยที่สุดเปนดังนี้ นม น้ําอัดลม น้ําผลไม และน้ํานมถั่วเหลือง 10. 1) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่ตัวเลข 1 เทากับ 1 10 2) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่ตัวเลข 6 เทากับ 2 10 หรือ 1 5 3) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่จํานวนคู เทากับ 6 10 หรือ 3 5 4) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่จํานวนคี่ เทากับ 4 10 หรือ 2 5 5) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่จํานวนเฉพาะเทากับ 5 10 หรือ 1 2 6) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่จํานวนที่มีคามากกวา 4 เทากับ 4 10 หรือ 2 5