Basic m3-1-chapter3
- 1. บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเสน (14 ชั่วโมง) 3.1 ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร (3 ชั่วโมง) 3.2 การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรและกราฟ (5 ชั่วโมง) 3.3 โจทยสมการเชิงเสนสองตัวแปร (6 ชั่วโมง) เนื้อหาในบทนี้ตองการใหนักเรียนมีความรูเกี่ยวกับระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่มีสองสมการ และกราฟของระบบสมการ การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยใชสมบัติของการเทากันและ ใชกราฟของระบบสมการ และนําความรูที่ไดไปแกโจทยปญหา ในบทนี้ไมเนนการฝกทักษะในการหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยใชกราฟ ที่นําเสนอไวมีเจตนาเพียงใหนักเรียนไดรูจักวิธีการเทานั้น เพราะปจจุบันมีเครื่องมือที่สามารถแสดงกราฟ และคําตอบของระบบสมการใหเห็นไดโดยงาย เชน เครื่องคํานวณเชิงกราฟ แตในการเรียนเรื่องนี้ยัง ตองการใหนักเรียนไดรูจักใชกราฟเพื่อการวิเคราะหเกี่ยวกับคําตอบของระบบสมการ สําหรับโจทยปญหาในบทนี้ จะเนนเฉพาะโจทยปญหาเกี่ยวกับจํานวน อัตราสวนและรอยละ ระยะทาง อัตราเร็วและเวลา สําหรับโจทยปญหาอื่น ๆ ที่เกี่ยวกับระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร เชน โจทยเกี่ยวกับกระแสน้ํา รถไฟ และแรงงานจะเปนสาระที่นักเรียนจะไดเรียนในหนังสือเรียนสาระ การเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 3 ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 1. แกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรและแปลความหมายกราฟของระบบสมการได 2. นําระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรไปใชแกปญหาได 3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได
- 2. 60 แนวทางในการจัดการเรียนรู 3.1 ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร (3 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1) เขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร และแปลความหมายกราฟของ ระบบสมการได 2) หาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรจากกราฟที่กําหนดใหได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูทบทวนความรูเรื่องสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่นักเรียนเคยเรียนมาแลวในบทที่ 2 เรื่อง กราฟ อาจใชการอภิปรายซักถามเกี่ยวกับรูปทั่วไปของสมการเชิงเสนสองตัวแปร ใหนักเรียนยกตัวอยาง สมการ บอกคูอันดับที่สอดคลองกับสมการและเขียนกราฟของสมการ แลวเพิ่มเติมความรูเกี่ยวกับการหา คําตอบและกราฟแสดงคําตอบของสมการที่กลาวไวในหัวขอนี้ จากนั้นใหชวยกันสรุปวาสมการเชิงเสน สองตัวแปร Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B, C เปนคาคงตัวที่ A และ B ไมเทากับศูนยพรอมกัน มีคูอันดับ ที่เปนคําตอบมากมายนับไมถวน 2. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับปญหาที่นักเรียนพบเห็นในชีวิตประจําวัน เชน ปญหาเกี่ยวกับจํานวน ดังเสนอไวในหนังสือเรียน ใหนักเรียนเห็นความสัมพันธของปริมาณสองปริมาณ เพื่อนําไปสูระบบ สมการเชิงเสนสองตัวแปร ซึ่งระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่เราจะศึกษาในหัวขอนี้ เปนระบบสมการ เชิงเสนที่มีตัวแปรสองตัวและมีสมการสองสมการเทานั้น 3. การเขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ในชั้นนี้ครูควรใหนักเรียนใชกระดาษ กราฟ แนะนําใหนักเรียนใชมาตราสวนเดียวกันและความยาวตอหนวยเทากันบนแกนทั้งสอง ทั้งนี้เพื่อ ความสะดวกในการเขียน อาน และแปลความหมายกราฟของระบบสมการ 4. ตัวอยางการใชกราฟหาคําตอบของระบบสมการ นอกจากแสดงการหาคําตอบของระบบ สมการแลว ยังมีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นวา จํานวนคําตอบของระบบสมการเปนอยางหนึ่งอยางใดใน 3 แบบ คือ มีคําตอบเดียว มีหลายคําตอบ หรือไมมีคําตอบ 5. การเขียนกราฟในแบบฝกหัด 3.1 ครูควรแนะนําใหนักเรียนหาคูอันดับที่สอดคลองกับ สมการมาอยางนอย 3 คู ดังที่เคยเรียนมาแลวในเรื่องกราฟ แมวาจะไมมีการแสดงคูอันดับที่สอดคลองกับ สมการใหเห็นในตัวอยาง
- 3. 61 3.2 การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรและกราฟ (5 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1) แกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยใชสมบัติของการเทากันได 2) ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. การหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยใชสมบัติของการเทากัน ในที่นี้ไมได แสดงการตรวจสอบคําตอบดวยเหตุผลดังกลาวไวในหนังสือเรียนหนา 127 ซึ่งเปนไปตามทฤษฎีบท เกี่ยวกับสมการ ครูควรย้ํากับนักเรียนวาหากไมแนใจในการคํานวณ นักเรียนควรตรวจสอบคําตอบใน กระดาษทดโดยไมตองเขียนแสดงการตรวจสอบใหเห็นก็ได 2. ครูทบทวนสมบัติของการเทากันโดยยกตัวอยางประกอบเพื่อใหเห็นจริง ใหนักเรียนรวมกัน อภิปรายและระบุสมบัติที่นํามาใช พรอมทั้งทําความเขาใจเกี่ยวกับสัญลักษณที่ใชในขั้นตอนการแกระบบ สมการ เชน 1 + 2 และ 2 × 3 เปนตน 3. ในตัวอยางที่ 1 ถึงตัวอยางที่ 3 หลังจากแกระบบสมการโดยใชสมบัติของการเทากันแลว ได เขียนกราฟของระบบสมการเพื่อตรวจสอบคําตอบ และแสดงใหเห็นวาคําตอบที่อานจากกราฟและจากการ คํานวณตรงกัน ในกรณีที่ระบบสมการมีคําตอบมากมายไมจํากัด นักเรียนตองระบุคําตอบในรูปทั่วไปซึ่ง ในชั้นนี้เพื่อใหนักเรียนเขาใจงายขึ้น จึงเขียนคําตอบอยูในรูปคูอันดับที่ติดคา x เมื่อให x เปนคาคงตัวที่ไม ทราบคา ดังในตัวอยางที่ 3 เขียนคําตอบอยูในรูป ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 3x ,x เมื่อ x แทนจํานวนจริงใด ๆ 4. ในตัวอยางที่ 6 ไดแสดงการขจัดตัวแปรโดยใชการแทนคา ซึ่งการแทนคาที่อางถึงนี้เปนการ ใชสมบัติของการเทากันอยูหลายขั้นตอน
- 4. 62 3.3 โจทยสมการเชิงเสนสองตัวแปร (6 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1) ใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรแกโจทยปญหาได 2) ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 3.3 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูนําเขาสูบทเรียนโดยใชปญหาในกิจกรรมเสนอแนะ 3.3 เพื่อใหนักเรียนเห็นประโยชน ของการใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรมาแกโจทยปญหา ซึ่งถาใชสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวอาจทํา ไมได หรือถาทําไดก็จะยุงยากมาก ตอจากนั้นใหนักเรียนรวมกันวิเคราะหโจทยปญหาเปนขั้นตอนดังที่ เสนอเปนตัวอยางไว 2. การแกโจทยปญหาโดยใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรยังตองมีการตรวจสอบคําตอบกับ เงื่อนไขในโจทย ทั้งนี้เพื่อตรวจสอบวาระบบสมการที่หามาไดและการคํานวณถูกตองหรือไม 3. โจทยปญหาบางขออาจตองใชความรูอื่น ๆ ที่นักเรียนเคยทราบมาแลว เชน สัดสวน เพื่อนําไปสูสมการเชิงเสนสองตัวแปรดังในตัวอยางที่ 4 4. กิจกรรม “หาไดอยางไร” แสดงใหเห็นการนําระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรไปใชในการ สรางสมการเชิงเสนสองตัวแปรตามเงื่อนไขที่โจทยกําหนดในรูป y = ax + b เมื่อ a และ b เปนคาคงตัว ที่ไมทราบคา ในที่นี้ไดกําหนดคา x และ y มา 2 ชุด เพื่อหาคา a และ b หลังจากไดคา a และ b แลวจะไดสมการเชิงเสนสองตัวแปรตามตองการซึ่งสามารถนําไปใชแกปญหาตอไป สําหรับนักเรียนที่เรียนเรื่องการแปรผันมาแลว ครูอาจเชื่อมโยงใหเห็นวาโจทยปญหาเกี่ยวกับ การแปรผันบางเรื่อง อาจตองใชความรูในเรื่องระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรมาใชในการแกปญหา ดังตัวอยางในกิจกรรมนี้
- 5. 63 คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบแบบฝกหัด 3.1 1. 1) Y 2 2 4 4 6 8 6 80 -2 -2-4 -4 -6 -6 -8 2x + 3y = 7 x + 2y = 4 -8 X จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้มีคําตอบเดียว 2) 2 2 4 4 6 8 6 80 -2 -2-4 -4 -6 -6 -8 2y + 2x = -4 y + x = -2 -8 Y X จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้มีหลายคําตอบ
- 6. 64 3) 2 2 4 4 6 80 -2 -2-4 -4 -6 -6 -8 2x – 6y = 8 x – 3y = 6 -8 6 8 Y X จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้ไมมีคําตอบ 4) 2 2 4 4 6 6 8 8 0 -2 -2-4 -4 -6 -6 -8 -8 4x + 2y = -6 2x + y = -3 Y X จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้มีหลายคําตอบ
- 7. 65 5) Y X 2 2 4 4 6 8 2y – x = 6 6 80 -2 -2-4 -4 -6 -6 -8 -8 2y = x – 4 จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้ไมมีคําตอบ 6) 2 2 4 4 6 6 8 8 0 -2 -2-4 -4 -6 -6 -8 -8 2x – 3y – 14 = 0 3x + 2y = 8 Y X จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้มีคําตอบเดียว 2. 1) มีคําตอบ 2) ไมมีคําตอบ 3) มีคําตอบเดียว คือ (2, 1)
- 8. 66 4) มีคําตอบเดียว คือ (3, -3) 5) มีคําตอบเดียว คือ (-2, 3) 6) มีคําตอบ คําตอบแบบฝกหัด 3.2 1. 1) คําตอบคือ (1, 1) 2 2 4 4 6 6 8 8 0 -2 -2-4 -4 -6 -6 -8 -8 3x + 2y = 5 x + 7y = 8 (1, 1) Y X 2) คําตอบคือ (2, -1) 8 2 2 4 4 60 -2 -2-4 -4 -6 -6 -8 -8 3x – y = 7 4x – 3y – 11 = 0 (2, -1) 6 8 Y X
- 9. 67 3) คําตอบคือ (-4, -3) 2 2 4 4 6 6 8 8 0 -2 -2-4 -4 -6 -6 -8 -8 3x + 4y = -24 3x – 4y = 0 (-4, -3) Y X 4) ไมมีคําตอบ 2 2 4 4 6 8 6 80 -2 -2-4 -4 -6 -6 -8 2x + 4y – 5 = 0 x + 2y – 1 = 0 -8 Y X
- 10. 68 5) ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรมีคําตอบมากมายไมจํากัดอยูในรูป ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 3 124x ,x เมื่อ x แทนจํานวนจริงใด ๆ 6) คําตอบคือ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 12 1 ,12 5 x = 3 4 y + 3 Y X 2 2 4 4 6 8 0 6 8 -2 -2-4 -4 -6 -6 -8 -8 4x – 3y = 12 x + y = 1 2 x – 3y = 1 6 ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ 12 1 , 12 5 -1 1 1 0-1 Y X
- 11. 69 7) ไมมีคําตอบ Y 8) ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้มีคําตอบมากมายไมจํากัดอยูในรูป (x, 2x – 4) เมื่อ x แทนจํานวนจริงใด ๆ 2. 1) (29, 36) 2) ไมมีคําตอบ 3) มีคําตอบมากมายไมจํากัดอยูในรูป ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2x4 ,x เมื่อ x แทนจํานวนจริงใด ๆ X 2 2 4 4 6 8 6 80 -2 -2-4 -4 -6 -6 -6x + 9y = -12 -8 2x – 3y = 5 -8 y – 2x = -4 x – 1 2 y = 2 -8 -6 -4 86 2 2 4 4 6 8 0 -2 -2 -4 -6 -8 Y X
- 12. 70 4) (5, -3) 5) มีคําตอบมากมายไมจํากัดอยูในรูป ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 3 124x ,x เมื่อ x แทนจํานวนจริงใด ๆ 6) (1.1, -0.2) 7) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 19 11 ,19 31 8) ไมมีคําตอบ 9) มีคําตอบมากมายไมจํากัดอยูในรูป ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 9 74x ,x เมื่อ x แทนจํานวนจริงใด ๆ 10) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3,2 1 - 11) (0, 3) 12) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2-,2 9 - คําตอบแบบฝกหัด 3.3 1. 15 และ 2 5 2. 95 แนวคิด ให x แทนเลขโดดในหลักสิบ y แทนเลขโดดในหลักหนวย จํานวนที่มีสองหลักที่ตองการคือ 10x + y เมื่อสลับหลักของเลขโดดทั้งสอง จะได จํานวนใหมเปน 10y + x จะไดระบบสมการเปน x – y = 4 ------------ 1 (10x + y) + (10y + x) = 154 ------------ 2 3. มะลิซื้อสมโอผลเล็ก 20 ผล ผลใหญ 10 ผล 4. 105 องศา, 32 องศา และ 43 องศา 5. ติ๊กมีเหรียญสิบบาท 80 เหรียญ และมีเหรียญหนึ่งบาท 120 เหรียญ 6. ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทากับ 48 เซนติเมตร ความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทา เทากับ 24 เซนติเมตร
- 13. 71 7. ในสระนี้มีดอกบัว 3 ดอก และนกกระจาบ 4 ตัว แนวคิด ให x แทนจํานวนนกกระจาบทั้งหมด และ y แทนจํานวนดอกบัวทั้งหมด ถานกจับดอกบัวดอกละ 1 ตัว จะตองมีนกที่จับดอกบัวอยู y ตัว แตโจทยบอกวา เหลือนก 1 ตัวที่ไมมีบัวจับ จะได x – y = 1 ------------- 1 ถานกจับดอกบัวดอกละ 2 ตัว จะมีบัวที่นกจับอยู 2 x ดอก แตโจทยบอกวา เหลือดอกบัว 1 ดอกที่ไมมีนกจับ จะได y – 2 x = 1 ------------- 2 8. แสนดีออมเงินได 764 บาท เสาวนียออมเงินได 588 บาท 9. รัตนานําเงินฝากธนาคาร 40,000 บาท และนําไปลงทุน 80,000 บาท 10. พอคาใชกาแฟชนิดราคากิโลกรัมละ 170 บาท 25 กิโลกรัม ใชกาแฟชนิดราคากิโลกรัมละ 150 บาท 5 กิโลกรัม 11. แมคาขายสมชนิดแรกได 64 กิโลกรัม ขายสมชนิดที่สองได 6 กิโลกรัม 12. อัตราสวนของขาวกลองตอขาวมันปูโดยน้ําหนักเปน 7 : 4 13. 12.30 น. 14. 1) 35 กิโลเมตรตอชั่วโมง 2) 26.25 กิโลเมตร 15. 1) อนขับรถยนตดวยอัตราเร็ว 80 กิโลเมตรตอชั่วโมง เอกขับรถยนตดวยอัตราเร็ว 90 กิโลเมตรตอชั่วโมง 2) 120 กิโลเมตร
- 14. 72 คําตอบกิจกรรม “หาไดอยางไร” สมการแสดงความสัมพันธระหวางรายไดแตละเดือนกับยอดขายตลอดเดือนเปน y = 0.05x + 7,200 เมื่อ x แทนยอดขายตลอดเดือน และ y แทนรายไดแตละเดือน เขาจะมีรายได 19,725 บาท แนวคิด ให x แทนยอดขายตลอดเดือน y แทนรายไดแตละเดือน a แทนเปอรเซ็นตจากยอดขายตลอดเดือน b แทนเงินเดือน ใหสมการแสดงความสัมพันธระหวางรายไดแตละเดือนกับยอดขายตลอดเดือนได เปน y = ax +b เดือนแรกมีรายได 15,000 บาท จากยอดขาย 156,000 บาท จะได 15,000 = 156,000a + b ---------- 1 และเดือนที่สองมีรายได 17,200 บาท จากยอดขาย 200,000 บาท จะได 17,000 = 200,000a + b ---------- 2
- 16. 74 กิจกรรมเสนอแนะ 3.3 กิจกรรมนี้เสนอไวเพื่อใชจูงใจใหนักเรียนเห็นประโยชนและขั้นตอนของการแกโจทย ปญหาโดยใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร หลานและปูสนทนากัน หลานพยายามถามอายุของคุณปู แตปูไมตอบตรง ๆ กลับบอกวา “ปจจุบันครึ่งหนึ่งของอายุของปูเทากับสี่เทาของอายุของหลานลบออกเสีย 6 และอีก 6 ปขางหนา อายุของปู ก็จะเปนหาเทาของอายุของหลาน” นักเรียนคิดวาปจจุบันปูอายุเทาไร คําตอบกิจกรรม ปจจุบันปูมีอายุ 84 ป ขั้นตอนการแกโจทยปญหาโดยใชระบบสมการอาจทําได 5 ขั้นตอน ดังนี้ 1) วิเคราะหโจทยปญหา โจทยถามอะไร : อายุปจจุบันของคุณปู โจทยกําหนดอะไร : ปจจุบันครึ่งหนึ่งของอายุของปูเทากับ 4 เทาของอายุของหลาน ลบดวย 6 และอีก 6 ปขางหนา อายุของปูจะเปน 5 เทาของ อายุของหลาน 2) กําหนดตัวแปร ใหปจจุบันปูมีอายุ x ป หลานมีอายุ y ป 3) เขียนระบบสมการ จะได 2 x = 4y – 6 ---------- 1 และ x + 6 = 5(y + 6) ---------- 2 4) แกระบบสมการ จากสมการ 1 จะได x = 8y – 12 ---------- 3 แทน x ดวย 8y – 12 ในสมการ 2 จะได (8y – 12) + 6 = 5(y + 6) 8y – 6 = 5y + 30 3y = 36 y = 12 แทน y ดวย 12 ในสมการ 3 จะได
- 17. 75 x = 8(12) – 12 = 84 5) ตรวจสอบคําตอบ ถาปจจุบันปูมีอายุ 84 ป และหลานอายุ 12 ป ครึ่งหนึ่งของอายุของปูเทากับ 2 84 = 42 ป สี่เทาของอายุของหลานลบออกเสีย 6 เทากับ 4 × 12 = 48 ป จะได 42 = 48 – 6 อีก 6 ปขางหนา ปูจะมีอายุ 84 + 6 = 90 ป และหลานจะมีอายุ 12 + 6 = 18 ป จะได 90 = 5 × 18 ซึ่งเปนจริงตามเงื่อนไขในโจทย ดังนั้น ปจจุบันปูมีอายุ 84 ป