![44
แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2
แบบฝกหัดนี้จัดไวเปนแบบฝกหัดระคน เพื่อใชทบทวนความรูเรื่องการแกระบบสมการและการนําไปใช
แกโจทยปญหา
1. จงหาคําตอบของระบบสมการตอไปนี้
1) x + 2y = 1
x2
+ xy = 28 [(7, -3) และ (-8, 9
2
)]
2) 3x – y = -9
3x2
– y2
= -33 [(-1, 6) และ (-8, -15)]
3) x2
– 3x – y = 6
2x – y = 0 [(6, 12) และ (-1, -2)]
4) 2xy – x2
= -95
3xy + x2
= -80 [(5, -7) และ (-5, 7)]
5) 4x2
– 5y2
= 1
5x2
+ 4y2
= 61
16
[( 3
4
, 1
2
), ( 3
4
,−
1
2
), (−
3
4
, 1
2
) และ (−
3
4
, −
1
2
) ]
2. ผลบวกของจํานวนสองจํานวนเทากับ 208 และกําลังสองของผลตางของจํานวนทั้งสองเทากับ 16,384
จงหาจํานวนทั้งสองนั้น [40 และ 168]
3. ∆ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีความยาวรอบรูป 70 เซนติเมตร ดานประกอบมุมฉากดานหนึ่ง
ยาว 20 เซนติเมตร ผลตางของกําลังสองของอีกสองดานที่เหลือเทากับ 400 จงหาพื้นที่ของ ∆ABC
[210 ตารางเซนติเมตร]
4. จากรูป ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก จุด E และ
จุด F เปนจุดกึ่งกลางของ AB และ BC ตามลําดับ
AC = 17 หนวย และความยาวรอบรูปของ BEOF
เทากับ 23 หนวย จงหาความยาวของ AB และ BC
[15 และ 8 หนวย]
5.
จากรูป ABCD และ CEFG เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่
ของ ABCD มากกวาพื้นที่ของ CEFG เทากับ 458
ตารางหนวย อยากทราบวาความยาวของดานของ ABCD
มากกวาความยาวของดานของ CEFG เทาไร
[4 เซนติเมตร]A B
CD E
F G
A B
CD
F
E
O](https://image.slidesharecdn.com/jiwg6eihsww4otxemhk2-140528021508-phpapp01/85/Add-m3-2-chapter2-8-320.jpg)
Add m3-2-chapter2
- 1. บทที่ 2 ระบบสมการ (11 ชั่วโมง) 2.1 ระบบสมการที่ประกอบดวยสมการเชิงเสนและสมการดีกรีสอง (5 ชั่วโมง) 2.2 ระบบสมการที่ประกอบดวยสมการดีกรีสองทั้งสองสมการ (6 ชั่วโมง) เนื้อหาในบทนี้ขยายความรูตอจากระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่มีสองสมการและกราฟของ ระบบสมการดังกลาว การแกระบบสมการที่มีดีกรีไมเกินสองโดยใชสมบัติของการเทากัน และนําความรู ที่ไดไปแกโจทยปญหาที่กําหนดให สาระในบทนี้ไมเนนการหาคําตอบของระบบสมการโดยใชกราฟ สําหรับกราฟที่เสนอไวใน ตัวอยาง มีเจตนาใหเห็นความสอดคลองกันระหวางคําตอบของระบบสมการที่หาไดจากการใชสมบัติของ การเทากันและคําตอบที่หาไดจากกราฟ ทั้งยังเปนการเติมเต็มความรูเกี่ยวกับการหาคําตอบของระบบ สมการจากกราฟ ซึ่งเปนแนวโนมของการศึกษาคณิตศาสตรประยุกตในปจจุบัน ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 1. แกระบบสมการสองตัวแปรที่สมการมีดีกรีไมเกินสองที่กําหนดใหได 2. แกโจทยปญหาเกี่ยวกับระบบสมการสองตัวแปรที่สมการมีดีกรีไมเกินสองที่กําหนดใหได 3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได หมายเหตุ สําหรับกราฟในหนังสือเรียนหนา 50 เปนกราฟของระบบสมการ y = 0.1x3 – 0.6x2 – 1.5x + 5.6 y = 0.3x2 – 1.2x – 1.5 y = 0.6x – 1.2 กราฟของ y = 0.6x – 1.2 เปนเสนตรง กราฟของ y = 0.3x2 – 1.2x – 1.5 เปน พาราโบลา และที่เหลือเปนกราฟของ y = 0.1x3 – 0.6x2 – 1.5x + 5.6
- 2. 38 แนวทางในการจัดการเรียนรู 2.1 ระบบสมการที่ประกอบดวยสมการเชิงเสนและสมการดีกรีสอง (5 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. แกระบบสมการที่ประกอบดวยสมการเชิงเสนและสมการดีกรีสองที่กําหนดใหโดยใชสมบัติ ของการเทากันได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการเริ่มบทเรียนนี้ ครูอาจทบทวนความรูเกี่ยวกับการแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร และอาจยกตัวอยางโจทยปญหาเชนที่เสนอไวในบทนําของบทเรียนนี้ เพื่อใหนักเรียนไดเห็นวาบางปญหา หรือบางสถานการณจะแทนดวยสมการดีกรีสอง ซึ่งการหาคําตอบดวยการลองแทนคาในตัวแปรอาจทําได ยาก จึงตองศึกษาวิธีการแกระบบสมการ ครูควรทบทวนความรูเกี่ยวกับคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร คูอันดับที่ สอดคลองกับสมการทั้งสอง และจํานวนคําตอบของระบบสมการ จากนั้นจึงแนะนํารูปทั่วไปของระบบ สมการที่ประกอบดวยสมการเชิงเสนและสมการดีกรีสอง Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 และ Px + Qy + R = 0 ครูอาจใชคําถามใหนักเรียนพิจารณาวา ถา A, B และ C เทากับศูนยพรอมกัน และ P, Q เทากับศูนยพรอมกัน แลวระบบสมการดังกลาวจะเปนอยางไร 2. ในการแกระบบสมการในตัวอยางไดแสดงการเขียนตัวแปรตัวหนึ่งในสมการเชิงเสนใหอยูใน รูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง แลวนําตัวแปรนั้นไปแทนในสมการดีกรีสอง เชน ระบบสมการ x + y = 2 ……. 1 y – x2 = 0 ……. 2 แทน y ในสมการ 2 ดวย 2 – x ไดเปน (2 – x) – x2 = 0 หรือ x2 + x – 2 = 0 ครูอาจชี้ใหนักเรียนเห็นวา ในบางระบบสมการอาจแทนตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งในรูปพหุนาม ดีกรีสองก็ได เชน ระบบสมการขางตนอาจเขียน y = x2 และแทน y ดวย x2 ในสมการ x + y = 2 ไดเปน x + x2 = 2 หรือ x2 + x = 2 หรือ x2 + x – 2 = 0 ก็ได แตวิธีนี้อาจไมสะดวกถา ระบบสมการนั้นมีสมการดีกรีสองที่ซับซอนปรากฏอยู
- 3. 39 3. ในตัวอยางที่แสดงใหเห็นคําตอบของระบบสมการโดยการใชสมบัติของการเทากันและจาก กราฟ มีเจตนายกตัวอยางเฉพาะระบบสมการที่ประกอบดวยสมการดีกรีสองที่มีกราฟเปนพาราโบลาและ สมการเชิงเสน ทั้งนี้เพราะนักเรียนมีความรูพื้นฐานเกี่ยวกับกราฟเสนตรงและพาราโบลาอยูแลว ตัวอยาง จึงไมไดกลาวถึงระบบสมการที่แสดงกราฟวงกลม วงรีหรือไฮเพอรโบลากับกราฟเสนตรง และครูควร ชี้ใหเห็นลักษณะของคําตอบของระบบสมการในหัวขอนี้ซึ่งมีอยู 3 แบบคือ มีคําตอบสองคําตอบ มีคําตอบ เพียงคําตอบเดียวและไมมีคําตอบ การพิจารณาคําตอบจากกราฟใหอานจากพิกัดของจุดตัดของกราฟทั้ง สอง 4. สําหรับตัวอยางที่ 1 ถึงตัวอยางที่ 4 เปนการแกระบบสมการที่ประกอบดวยสมการเชิงเสน และสมการดีกรีสองในรูปทั่วไป โดยใชสมบัติของการเทากันนั้น ครูควรย้ํากับนักเรียนในเรื่องการ ตรวจสอบคําตอบซึ่งตองแทนคา x และ y ที่หาไดในสมการทั้งสองของระบบสมการ และในกรณีโจทย ปญหาเชนตัวอยางที่ 5 จะตองตรวจสอบคาที่หาไดกับเงื่อนไขในโจทยวาสอดคลองตามเงื่อนไขในโจทย หรือไม 5. สําหรับกิจกรรม “มีเพียงคําตอบเดียว” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นการนําความรูเกี่ยวกับการ หาคําตอบของสมการกําลังสองไปใชในการวิเคราะหหาเงื่อนไขเกี่ยวกับคําตอบของระบบสมการ โจทยใน ลักษณะของกิจกรรมนี้ครูไมควรนําไปวัดผลกับนักเรียน 6. สําหรับกิจกรรม “ใชกราฟหาคําตอบ” มีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นวา สามารถหาคําตอบ ของระบบสมการจากกราฟที่กําหนดใหไดโดยพิจารณาที่จุดตัดของกราฟทั้งสองของระบบสมการ พิกัดของ จุดตัดทุกจุดคือ คําตอบของระบบสมการ โจทยในลักษณะของกิจกรรมนี้ครูไมควรนําไปวัดผลกับนักเรียน เชนกัน 2.2 ระบบสมการที่ประกอบดวยสมการดีกรีสองทั้งสองสมการ (6 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. แกระบบสมการที่ประกอบดวยสมการดีกรีสองทั้งสองสมการที่กําหนดใหโดยใชสมบัติของ การเทากันได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูใหขอสังเกตกับนักเรียนเกี่ยวกับการจํากัดลักษณะของพจนที่อยูในระบบสมการทั้งสอง สมการใหเปนไปตามเงื่อนไขที่กําหนด ทั้งนี้เพราะไมตองการใหเกิดความยุงยากเกินไปในการหาคําตอบ ของระบบสมการ
- 4. 40 2. ครูควรยกตัวอยางการแกระบบสมการที่ประกอบดวยสมการดีกรีสองทั้งสองสมการโดยใช สมบัติของการเทากันใหนักเรียนเห็นวา ระบบสมการอาจมีคําตอบเพียงคําตอบเดียว มีคําตอบหลายคําตอบ หรือไมมีคําตอบเลยก็ได ถาครูมีความรูเกี่ยวกับเครื่องคํานวณเชิงกราฟหรือโปรแกรมทางคอมพิวเตอรก็อาจเขียนกราฟ ของระบบสมการเพื่อแสดงคําตอบใหนักเรียนเห็น และอาจเพิ่มเติมระบบสมการที่มี 3 คําตอบ นอกเหนือจากตัวอยางในหนังสือเรียนเชน x2 + y2 = 4 และ y = x2 – 2 3. การแกระบบสมการในหัวขอนี้แมจะไมไดเนนถึงการแสดงการตรวจสอบคําตอบของระบบ สมการ ทั้งนี้เพราะไมตองการใหนักเรียนเกิดความยุงยากในการเขียนแสดงการตรวจสอบคําตอบ แตครู ควรย้ํากับนักเรียนวาการตรวจสอบคําตอบของระบบสมการยังจําเปนตองทําเสมอ อาจตรวจสอบในใจหรือ ในกระดาษอื่น ๆ ทั้งนี้เพราะนักเรียนอาจดําเนินการคํานวณผิดพลาดได สําหรับโจทยปญหาที่เกี่ยวกับ ระบบสมการ นักเรียนตองแสดงการตรวจสอบคําตอบใหสอดคลองกับเงื่อนไขในโจทยเสมอ 4. สําหรับกิจกรรม “คิดหนอยนะ” โจทยขอ 1 เปนปญหาที่ตองการใหนักเรียนไดเห็นระบบ สมการที่คําตอบของปญหาอยูในรูปตัวแปร และโจทยขอ 2 เปนโจทยที่นักเรียนจะไดวิเคราะหและ ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได 5. สําหรับกิจกรรม “คําตอบจากกราฟ” มีเจตนาใหนักเรียนหาคําตอบของระบบสมการไดจาก การหาพิกัดของจุดตัดของกราฟที่กําหนดให ครูอาจทําความเขาใจเกี่ยวกับคําสั่งของกิจกรรมกอนก็ได ถา ครูคิดวานักเรียนสวนใหญจะไมทราบ และกิจกรรมนี้ครูไมควรนําไปใชในการวัดผลและไมจําเปนตองหา โจทยในลักษณะนี้เพิ่มเติม 6. ครูอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 เสริมทักษะการคํานวณเกี่ยวกับระบบสมการเพิ่มเติมก็ได 0 X Y x2 + y2 = 4 y = x2 -2 (0, -2) ( 3 , 1)(- 3 , 1)
- 5. 41 คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบแบบฝกหัด 2.1 1. 1) (4, 3), (-4, -3) 2) (− 2 9 , − 22 9 ), (2, 2) 3) (-5, -3), (5, 3) 4) (5, 2) 5) (1, 1) 6) (4, -2), (1, 1) 7) (-10, -4), (2, 2) 8) (-3, 1), ( 40 13 , − 27 52 ) 9) (-3, 4), (4, -3) 10) ไมมีคําตอบ 2. 7 2 และ 5 2 3. 12 × 18 ตารางเซนติเมตร 4. 7 เซนติเมตร และ 5 เซนติเมตร คําตอบกิจกรรม “มีเพียงคําตอบเดียว” 17 4 คําตอบกิจกรรม “ใชกราฟหาคําตอบ” 1. (-3, 4), (0, 1) 2. (1, 0) 3. (-2, 0), (0, 2) 4. (0, 1) 5. (2, -1), (5, 2) 6. (-1, -1), (0, 0), (1, 1)
- 6. 42 คําตอบแบบฝกหัด 2.2 1. 1) (0, 2), (0, -2) 2) ( 2 , 3), ( 2 , -3), (- 2 , 3), (- 2 , -3) 3) ( 1 5 , − 11 5 ), (− 1 5 , − 11 5 ) 4) (-2, 3), (2, -3) 5) (2, 5 ), (2, – 5 ) 6) ( 2 3 , 3 2 ) 7) (2, 15 2 ), (2, − 15 2 ) 8) (1, 3), (1, -3), (-1, 3), (-1, -3) 9) ไมมีคําตอบ 10) ( a , − a 2 ), ( a , a 2 ), (– a , − a 2 ), (– a , a 2 ) 2. 8 และ 12 3. 6 และ 5 3 4. 9 เซนติเมตร และ 12 เซนติเมตร คําตอบกิจกรรม “คิดหนอยนะ” 1. 2ax + ah + b 2. ความยาวเปน 7 เซนติเมตร และความกวางเปน 2 เซนติเมตร คําตอบกิจกรรม “คําตอบจากกราฟ” 1. (1, 1), (-1, 1) 2. (1, 0), (-1, 0) 3 (0, 2), (0, -2) 4 (3, 2), (3, -2), (-3, 2), (-3, -2) 5 (1, 1), (-1, -1) 6 (1, 1), (0, 1), (-1, 1) คําตอบกิจกรรม “คิดดูหนอย” 4 กับ 3 และ -3 กับ -4
- 8. 44 แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 แบบฝกหัดนี้จัดไวเปนแบบฝกหัดระคน เพื่อใชทบทวนความรูเรื่องการแกระบบสมการและการนําไปใช แกโจทยปญหา 1. จงหาคําตอบของระบบสมการตอไปนี้ 1) x + 2y = 1 x2 + xy = 28 [(7, -3) และ (-8, 9 2 )] 2) 3x – y = -9 3x2 – y2 = -33 [(-1, 6) และ (-8, -15)] 3) x2 – 3x – y = 6 2x – y = 0 [(6, 12) และ (-1, -2)] 4) 2xy – x2 = -95 3xy + x2 = -80 [(5, -7) และ (-5, 7)] 5) 4x2 – 5y2 = 1 5x2 + 4y2 = 61 16 [( 3 4 , 1 2 ), ( 3 4 ,− 1 2 ), (− 3 4 , 1 2 ) และ (− 3 4 , − 1 2 ) ] 2. ผลบวกของจํานวนสองจํานวนเทากับ 208 และกําลังสองของผลตางของจํานวนทั้งสองเทากับ 16,384 จงหาจํานวนทั้งสองนั้น [40 และ 168] 3. ∆ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีความยาวรอบรูป 70 เซนติเมตร ดานประกอบมุมฉากดานหนึ่ง ยาว 20 เซนติเมตร ผลตางของกําลังสองของอีกสองดานที่เหลือเทากับ 400 จงหาพื้นที่ของ ∆ABC [210 ตารางเซนติเมตร] 4. จากรูป ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก จุด E และ จุด F เปนจุดกึ่งกลางของ AB และ BC ตามลําดับ AC = 17 หนวย และความยาวรอบรูปของ BEOF เทากับ 23 หนวย จงหาความยาวของ AB และ BC [15 และ 8 หนวย] 5. จากรูป ABCD และ CEFG เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่ ของ ABCD มากกวาพื้นที่ของ CEFG เทากับ 458 ตารางหนวย อยากทราบวาความยาวของดานของ ABCD มากกวาความยาวของดานของ CEFG เทาไร [4 เซนติเมตร]A B CD E F G A B CD F E O