Real Number(ระบบจำนวนจริง)

1
•สมบัติการเทากัน
•สมบัติการบวก
•สมบัติการคูณ
•สมบัติการไมเทากัน
ประเภทของจํานวนสมบัติของจํานวนจริง
การแกสมการ
•พหุนามดีกรี2
•พหุนามดีกรีมากกวา2
•คาสมบูรณ
•รากที่สอง
•ทฤษฎีบทเศษเหลือ
•การแยกตัวประกอบ
•การหารสังเคราะห
•สมบัติของคาสมบูรณ
•เสนจํานวน
การแกอสมการ
•ชวงของจํานวนจริง
•พหุนามดีกรี2
•พหุนามดีกรีมากกวา2
•คาสมบูรณ
โจทยปญหาเกี่ยวกับจํานวนจริง

2
ระบบจํานวนจริง
1.ประเภทของจํานวน
ในระบบจํานวนที่เราใชในปจจุบัน ไดถูกพัฒนามาตั้งแตสมัยโบราณ เพราะจํานวนหรือ
ตัวเลขมีความเกี่ยวของกับเรามาตั้งแตสมัยโบราณ โดยจํานวนชนิดแรกที่มนุษยใชคือ จํานวนนับ
หรือจํานวนเต็มบวก การนับจํานวนของมนุษยในสมัยโบราณเปนการจับคูระหวางสัตวหรือสิ่งของ
กับรอยขีด เมื่อเวลาผานไปมนุษยจึงมีการพัฒนาแบงแยกเปนจํานวนประเภทตางๆดังตอไปนี้
1.1 จํานวนนับ ใชสัญลักษณแทนดวย N ไดแก 1,2,3,4,5,…
1.2 จํานวนเต็ม ใชสัญลักษณแทนดวย I ไดแก
1) จํานวนเต็มบวก ใชสัญลักษณแทนดวย I +
ไดแก 1,2,3,4,5,…
2) จํานวนเต็มศูนย ใชสัญลักษณแทนดวย 0
I ไดแก 0
3) จํานวนเต็มลบ ใชสัญลักษณแทนดวย I −
ไดแก -1,-2,-3,-4,-5,…
1.3 จํานวนตรรกยะ ใชสัญลักษณแทนดวย Q คือจํานวนที่เขียนใหอยูในรูป
a
b
ไดโดยที่
a,b เปนจํานวนเต็มและ 0b ≠ ไดแก
1) จํานวนเต็ม เพราะจํานวนเต็มสามารถเขียนใหอยูในรูปเศษสวน 1 ไดทุกจํานวน เชน
3 5 2 0
3 , 5 , 2 , 0
1 1 1 1
−
= = − = = เปนตน
2) เศษสวน ไดแก
5 1 13
, 1 ,
6 2 4
− เปนตน

3
3) ทศนิยมซ้ํา เชน
6
3.6 3.6000... 3
10
735
1.735 1.735735... 1
999
162 1 161
0.162 0.1626262...
990 990
= =
= =
−
= = =
1.4 จํานวนอตรรกยะ ใชสัญลักษณแทนดวย Q′คือจํานวนที่ไมสามารถเขียนใหอยูในรูป
a
b
ไดแก
1) ทศนิยมไมซ้ํา เชน 0.17578932781…
2) กรณฑ ซึ่งไมสามารถหาคาที่แนนอนได เชน 3,2 5, 2+ − เปนตน
3) π
1.5 จํานวนจริง ใชสัญลักษณแทนดวย R คือจํานวนที่สามารถหาคาได ไดแก
1) จํานวนตรรกยะ
2) จํานวนอตรรกยะ
1.6 จํานวนเชิงซอน ไดแก
1) จํานวนจริง
2) จํานวนเชิงซอนซึ่งไมใชจํานวนจริง คือจํานวนซึ่งไดจากการแกสมการกําลังสองซึ่ง
เทากับจํานวนลบ เชน 2
5x = − เปนตน
การแบงประเภทของจํานวนตางๆสามารถแสดงไดตามแผนผังดังตอไปนี้

4
แบบฝกหัด
1. จงหาวาขอความตอไปนี้ถูกหรือผิด
1.1)
1
9, 4, , 3
2
− ทุกจํานวนเปนจํานวนจริง
1.2) คําตอบของสมการ 2
1x = − เปนจํานวนเชิงซอน
จํานวนเชิงซอน
จํานวนจริง จํานวนเชิงซอนซึ่งไมใชจํานวนจริง
จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ
ทศนิยมไมซ้ํา กรณฑซึ่งไมสามารถ
หาคาที่แนนอนได
π
จํานวนเต็ม เศษสวน ทศนิยมซ้ํา
จํานวนเต็มบวก ศูนย จํานวนเต็มลบ

5
1.3)
2
4
ไมเปนจํานวนตรรกยะ
1.4) 100 เปนจํานวนอตรรกยะ
1.5) 0.16 เปนทศนิยมซ้ํา
1.6) 0.439 เปนจํานวนอตรรกยะ
1.7) 1.4396742…เปนจํานวนอตรรกยะ
1.8) จํานวนนับเปนสับเซตของจํานวนเต็ม
1.9) กรณฑทุกจํานวนเปนจํานวนอตรรกยะ
1.10) จํานวนบางจํานวนเปนทั้งจํานวนตรรกยะและจํานวนอตรรกยะ
1.11) 3 เปนจํานวนอตรรกยะ แตไมเปนจํานวนเชิงซอน
1.12) -4 เปนจํานวนเต็มลบ จํานวนเต็ม และจํานวนอตรรกยะ
1.13)
1
3
จัดเปนจํานวนเชิงซอน
1.14) จํานวนเต็มทุกจํานวนจัดเปนจํานวนจริง
1.15) จํานวนเชิงซอนทุกจํานวนเปนจํานวนอตรรกยะ
2. ให a เปนจํานวนตรรกยะ และ b เปนจํานวนอตรรกยะ ขอใดสรุปถูก
ก. ab เปนจํานวนอตรรกยะ
ข. a+b เปนจํานวนอตรรกยะ
ค. ab เปนจํานวนตรรกยะ

6
ง.
a
b
เปนจํานวนอตรรกยะ
3. พิจารณาขอความตอไปนี้ ขอใดถูก
ก. มีจํานวนตรรกยะที่เขียนไดในรูปทศนิยมซ้ํา
ข. มีจํานวนอตรรกยะที่เขียนไดในรูป
2
x
4. ให R แทนสัญลักษณของจํานวนจริง
ให Q แทนสัญลักษณของจํานวนตรรกยะ
ให Q′ แทนสัญลักษณของจํานวนอตรรกยะ
ให I แทนสัญลักษณของจํานวนเต็ม
ให I+
แทนสัญลักษณของจํานวนเต็มบวก
ให I−
แทนสัญลักษณของจํานวนเต็มลบ
จงพิจารณาขอความตอไปนี้ขอใดกลาวถูก
ก. Q I I Q+
′∩ = ∩
ข. I I I+ −
∪ =
ค. Q I I Q+ +
′∪ = ∪
ง. ( )I Q I+
∩ ⊂

7
5. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปของเศษสวน
5.1) 0.4
5.2) 0.439
5.3) 0.439
5.4) 1.234
5.5) 2.89
5.6) 56.4123

8
2. สมบัติของจํานวนจริง
2.1 สมบัติการเทากันของจํานวนจริง
1) สมบัติการสะทอน-จํานวนจริงใดๆยอมมีคาเทากับจํานวนจริงนั้น เชน
a=a, 10=10
2) สมบัติการสมมาตร-ถาจํานวนจริงที่หนึ่งมีคาเทากับจํานวนจริงที่สอง แลวจํานวนจริงที่
สองมีคาเทากับจํานวนจริงที่หนึ่ง เชน
ถา a=b แลว b=a หรือ
a+1=6 แลว 6=a+1
3) สมบัติการถายทอด- ถาจํานวนจริงที่หนึ่งเทากับจํานวนจริงที่สอง และจํานวนจริงที่สอง
เทากับจํานวนจริงที่สาม แลวจํานวนจริงที่หนึ่งเทากับจํานวนจริงที่สาม เชน
ถา a=b และ b=c แลว a=c
ถา a+1=15 และ 15=16-1 แลว a+1=16-1
4) สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากัน-จํานวนสองจํานวนมีคาเทากัน เมื่อบวกจํานวนทั้ง
สองดวยจํานวนเดียวกัน ผลบวกมีคาเทากัน เชน
ถา a=b แลว a+3=b+3
5) สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน-จํานวนสองจํานวนมีคาเทากัน เมื่อคูณจํานวนทั้งสอง
ดวยจํานวนเดียวกัน ผลคูณมีคาเทากัน เชน
ถา a=b แลว a x (-5) = b x (-5)

9
2.2 สมบัติการบวกจํานวนจริง เมื่อ a,b,c เปนจํานวนจริง
1) สมบัติปด-เมื่อนําจํานวนจริงมาบวกกัน ผลบวกยอมเปนจํานวนจริงเสมอ เชน
a R∈ และ b R∈ แลว a b R+ ∈
7 R∈ และ 2 R− ∈ แลว 7 ( 2) R+ − ∈
2) สมบัติการสลับที่- เมื่อนําจํานวนจริงที่หนึ่งบวกกับจํานวนจริงที่สอง ผลบวกเทากับเมื่อ
นําจํานวนจริงที่สองบวกกับจํานวนจริงที่หนึ่ง เชน
a+b = b+a
9+(-1) = (-1)+9
3) สมบัติการเปลี่ยนหมู-เมื่อนําจํานวนจริงที่หนึ่งบวกกับจํานวนจริงที่สอง แลวจึงบวกกับ
จํานวนจริงที่สาม ผลบวกเทากับเมื่อนําจํานวนจริงที่สองบวกกับจํานวนจริงที่สาม แลวจึงบวกกับ
จํานวนจริงที่หนึ่ง เชน
(a+b)+c = a+(b+c)
[9+(-1)]+6 = 9+[(-1)+6]
4) สมบัติการมีเอกลักษณ-เมื่อนําจํานวนจริงบวกกับเอกลักษณการบวก ผลบวกเทากับ
จํานวนจริงนั้น โดยที่เอกลักษณการบวกเทากับ 0 เชน
a+0 = a = 0+a
8+0 = 8 = 0+8
5) สมบัติการมีอินเวอรส-เมื่อนําจํานวนจริงบวกกับอินเวอรสการบวก ผลบวกเทากับ
เอกลักษณการบวก ซึ่งเทากับ 0 โดยที่อินเวอรสการบวกคือ จํานวนตรงขามของจํานวนจริงนั้น
เชน
a+(-a) = 0 = (-a)+a
7+(-7) = 0 = (-7)+7
(-1)+1 = 0 = 1+(-1)

10
2.3 สมบัติการคูณจํานวนจริง เมื่อ a,b,c เปนจํานวนจริง
1) สมบัติปด-เมื่อนําจํานวนจริงมาคูณกัน ผลคูณยอมเปนจํานวนจริงเสมอ เชน
a R∈ และ b R∈ แลว ab R∈
9 R∈ และ 2 R− ∈ แลว 9( 2) R− ∈
2) สมบัติการสลับที่- เมื่อนําจํานวนจริงที่หนึ่งคูณกับจํานวนจริงที่สอง ผลคูณเทากับเมื่อนํา
จํานวนจริงที่สองคูณกับจํานวนจริงที่หนึ่ง เชน
ab = ba
3(-2) = (-2)3
3) สมบัติการเปลี่ยนหมู-เมื่อนําจํานวนจริงที่หนึ่งคูณกับจํานวนจริงที่สอง แลวจึงคูณกับ
จํานวนจริงที่สาม ผลคูณเทากับเมื่อนําจํานวนจริงที่สองคูณกับจํานวนจริงที่สาม แลวจึงคูณกับ
จํานวนจริงที่หนึ่ง เชน
(ab)c = a(bc)
[8(-1)]9 = 8[(-1)9]
4) สมบัติการมีเอกลักษณ-เมื่อนําจํานวนจริงคูณกับเอกลักษณการคูณ ผลคูณเทากับจํานวน
จริงนั้น โดยที่เอกลักษณการคูณเทากับ 1 เชน
a • 1 = a = 1• a
1• 2 = 2 = 2 • 1
5) สมบัติการมีอินเวอรส-เมื่อนําจํานวนจริงคูณกับอินเวอรสการคูณ ผลคูณเทากับเอกลักษณ
การคูณ ซึ่งเทากับ 1 โดยที่อินเวอรสการคูณคือ จํานวนจริงนั้นยกกําลัง-1 หรือสวนกลับของ
จํานวนจริงนั้น เชน
1 1
1a a a a− −
• = = •
1 1
5 1 5
5 5
• = = •

11
6) สมบัติการแจกแจง เชน
a(b+c) = ab+ac
5[4+(-3)] = 5 4 [5( 3)]• + −
1. บอกสมบัติของประโยคสัญลักษณตอไปนี้
1.1) 6+3=3+6
1.2) a• (5-7)=(5-7)• a
1.3) b• 1=b=1• b
1.4) a+0=a=0+a
1.5) (2a+b)+5=2a+(b+5)
1.6) a(2b+c)=2ab+ac
1.7) 3 ( 3) 0 ( 3) 3+ − = = − +
1.8)
2 3 3 2
( )( ) 1 ( )( )
3 2 2 3
− − − −
= =
1.9) [(2a)(-b)](-4)=2a[(-b)(-4)]
1.10) 1 1π π π• = = •
1.11) ถา a=b แลว a+(-2)=b+(-2)

12
1.12) ถา a=b และ b=-5 แลว a=-5
1.13) -5a-5b=-5(a+b)
1.14) a+(-3) เปนจํานวนจริง
1.15) [(x+3)+(y ÷5)]+(-1)=(x+3)+[(y÷5)+(-1)]
2. จงแสดงใหเห็นวาตัวดําเนินการตอไปนี้มีคุณสมบัติการสลับที่หรือไม
2.1) 3a b ab⊕ = +
2.2) 2a b a b⊕ = +
2.3)
2
a b
a b
−
⊕ =
3. จงหาเอกลักษณของการดําเนินการตอไปนี้
3.1) 3a b a b⊕ = + −

13
3.2) a b a b ab⊕ = + −
3.3) 2a b ab⊕ = −
4. จงหาอินเวอรสของตัวดําเนินการตอไปนี้
4.1) 3a b a b⊕ = + −
จงหาอินเวอรสการ ⊕ ของ 4

14
4.2) a b a b ab⊕ = + −
จงหาอินเวอรสการ ⊕ ของ -3
4.3) 2a b ab⊕ = −
5. ถา
2 2
( )x x y x y∗ − = + จงหาคาของ 5 3∗

15
6. ให { 1,0,1}A = − พิจารณาขอความตอไปนี้ขอใดถูก
ก. เซต A มีสมบัติปดการบวก
ข. เซต A มีเอกลักษณการบวก
ค. สมาชิกทุกตัวของเซต A มีอินเวอรสการบวก
7. กําหนดให , ,a b c R∈ ที่มี a เปนอินเวอรสการบวกของ b จงหา c ที่ทําให
4 4 2 12a b c+ − =

16
2.4 สมบัติการไมเทากัน ให a,b,c เปนจํานวนจริงใดๆ
1) การเปรียบเทียบจํานวนบวกและจํานวนลบกับศูนย
a เปนจํานวนบวก ก็ตอเมื่อ a > 0
a เปนจํานวนลบ ก็ตอเมื่อ a < 0
2) สมบัติการถายทอด
ถา a b แลว a+c > b+c
ถา 2 > -1 แลว 2+3 > -1+3
4) สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากันที่ไมเทากับศูนย
ถา a 0 แลว ac < bc เชน
2 < 5 และ c = 3 แลว 2(3) < 5(3)
ถา a bc เชน
1 < 5 และ c = -3 แลว 1(-3) > 5(-3)

17
5) สมบัติการตัดออกของการบวก
ถา a+c < b+c แลว a 0 แลว a 0 แลว 3 < 8
ถา ac < bc และ c < 0 แลว a > b
6(-2) < 4(-2) และ -2 < 0 แลว 6 > 4
1. เติม ถูก หนาขอที่ถูกตองหรือ ผิด หนาขอที่ไมถูกตองตามสมบัติการไมเทากัน
1.1) ถา a 4 แลว 8a > 4a เมื่อ a < 0
1.3) ถา 2+a > -3+a แลว 2 > -3
1.4) ถา a > b แลว a-3 > b-3
1.5) ถา a เมื่อ a และ b เปนจํานวนลบ
1.6) ถา a+c < b+c แลว a < b เมื่อ a และ b เปนจํานวนบวกเทานั้น

18
1.7) ถา a bc เมื่อ c < 0
1.8) -3 เปนจํานวนบวก ก็ตอเมื่อ -3 > 0
1.9) ถา a > b แลว
1 1
a b
< เมื่อ a และ b เปนจํานวนบวก
1.10) ถา a > b แลว
1 1
a b
< เมื่อ a และ b เปนจํานวนลบ
1.11) ถา a และ b เปนจํานวนจริง ซึ่ง
2 2 2
( )a b a b+ > + แลว 0ab <
1.12) สําหรับจํานวนจริง a ถา 0 1a< < แลว
2
0 a a< <
1.13) ถา a>0 แลว a a≤ เมื่อ a เปนจํานวนจริงใดๆ
1.14) ถา ab=b แลว a=1 เมื่อ a,b เปนจํานวนจริงใดๆ
1.15) ถา a,b,c ปนจํานวนจริงใดๆ ที่ ac=bc แลว เราสรุปไดวา a=b

19
1.16) ถา a,b เปนจํานวนจริงใดๆ ที่ 0a b≤ ≤ แลว เราสรุปไดวา
2 2
a b ab>
2. จงหาคา a และ b จากขอตอไปนี้
2.1) ให -1 < x < 3 และ 2 < y < 5
ก. a < x + y < b
ข. a < x - y < b
ค. a < xy < b
ง.
y
a b
x
< <

20
2.2) ให -1 < x < 3 และ -8 < y < 2
จ. a < x + 2y < b
ฉ. a < x - 2y < b
ช. a < xy < b
ซ.
x
a b
y
< <

21
3. สมการพหุนามตัวแปรเดียว
3.1 การแยกตัวประกอบพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีสอง
พหุนามตัวแปรเดียวดีกรีสอง คือพหุนามในรูป 2
ax bx c+ + เมื่อ a,b,c คือคาคงที่ โดย
ที่ 0a ≠ และ x คือตัวแปร การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง คือ การเขียนพหุนามดีกรี
สองในรูปผลคูณของพหุนามที่มีดีกรีต่ํากวาตั้งแตสองพหุนามขึ้นไป แยกเปนกรณีการแยกตัว
ประกอบไดดังนี้
กรณีที่ 1 – ใชวิธีการดึงตัวประกอบรวม ( 2
ax bx c+ + และ c=0)
สมการพหุนามจะเหลือเปน
2
( )ax bx x ax b+ = + ดึงตัวรวม x ออกมา เชน
2
3 4 (3 4)x x x x+ = +
2
2 14 2 ( 7)x x x x− + = − − เปนตน
กรณีที่ 2 – ใชวิธีการผลตางกําลังสอง ( 2
ax bx c+ + , b=0 และ c<0)
สมการพหุนามจะเหลือเปน 2
ax c+ และใชสูตร 2 2
( )( )A B A B A B− = − +
ตัวอยางเชน
2 2 2
100 10 ( 10)( 10)x x x x− = − = − +
2 2 2
25 144 (5 ) 12 (5 12)(5 12)x x x x− = − = − +
2 2 2 2
48 75 3(16 25) 3((4 ) 5 ) 3(4 5)(4 5)x x x x x− = − = − = − +
เปนตน
กรณีที่ 3 – ใชวิธีการแจกแจงการแยกตัวประกอบ ( 2
ax bx c+ + a,b,c ≠ 0)
-ถา a=1 พหุนามเขียนในรูป 2
x bx c+ + แยกตัวประกอบไดเปน(x+m)(x+n)
(x)(x) = 2
x
(n)(x)+(m)(x) = bx
(m)(n)= c เชน
2
12 ( 3)( 4)x x x x− − = + −

22
2
3 2 ( 1)( 2)x x x x− + = − −
2
4 4 ( 2)( 2)x x x x+ + = + + เปนตน
-ถา a≠ 1 พหุนามเขียนในรูป 2
ax bx c+ + แยกตัวประกอบไดเปน(kx+m)(px+n)
(kx)(px) = 2
ax
(n)(kx)+(m)(px) = bx
(m)(n)= c เชน
2
2 5 3 (2 1)( 3)x x x x− − = + −
2
6 13 5 (3 1)(2 5)x x x x+ − = − +
2
16 24 9 (4 3)(4 3)x x x x+ + = + + เปนตน
กรณีที่ 4 – ใชวิธีทําใหเปนกําลังสองสมบูรณ( 2
ax bx c+ + a,b,c ≠ 0)
โดยสูตรกําลังสองสมบูรณ คือ
2 2 2
( ) 2A B A AB B+ = + + และ
2 2 2
( ) 2A B A AB B− = − + เชน
2 2
2 2
2
2 2
2 8 [ 2( )(1) (1)] 1 8
2( )(1) (1) ] 1 8
( 1) 9
( 1) 3
( 1 3)( 1 3)
( 4)( 2)
x x x x
x x
x
x
x x
x x
+ − = + + − −
= [ + + − −
= + −
= + −
= + + + −
= + −
หรือ

23
2 2
2
2 2
2
2 2
9 5
2 9 5 2[ ]
2 2
9 81 81 5
2[ 2( )( ) ( ) ]
4 16 16 2
9 9 81 5
2( )( ) ( ) ]
4 4 16 2
9 121
2[( ) ]
4 16
9 11
2[( ) ( ) ]
4 4
x x x x
x x
x x
x
x
− − = − −
= − + − −
= 2[ − + − −
= − −
= − −
9 11 9 11
2( )( )
4 4 4 4
1
2( )( 5)
2
(2 1)( 5)
x x
x x
x x
= − + − −
= + −
= + −
เปนตน

24
1.แยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้
1.1 2x-10
1.2
2
3 3x− −
1.3
3
6x x+
1.4
2
5 35x x−
1.5
3 2
4x x+
1.6
4 3
8 24x x−
1.7
3 2
4 12 4x x x− +
1.8
4 3 2
3 6x x x− − +
1.9
2
8 15x x+ +
1.10
2
6 7x x+ −
1.11
2
2 8x x− −
1.12
2
13 42x x− +
1.13
2
2 3x x+ −

25
1.14
2
3 2 8x x+ −
1.15
2
6 1x x− −
1.16
2
12 5 2x x+ −
1.17
2
16x −
1.18
2
81x −
1.19
2
9 1x −
1.20
2
25 16x −
1.21
2
12 36x x+ +
1.22
2
6 9x x− +
1.23
2
4 12 9x x+ +
1.24
2
36 12 1x x− +

26
3.2 การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกวาสอง
ใชทฤษฎีบทเศษเหลือชวยในการวิเคราะหมีดังนี้
เมื่อ p(x) คือพหุนาม
1
1 1 0...n n
n na x a x a x a−
−+ + + + โดยที่ n เปนจํานวนเต็ม
บวก 1 1 0, ,..., ,n na a a a− เปนจํานวนจริงซึ่ง 0na ≠ ถาหารพหุนาม p(x) ดวยพหุนาม x-c
เมื่อ c เปนจํานวนจริงแลว เศษเหลือเทากับ p(c)
ตัวอยางเชน
1) หาเศษซึ่งไดจากการหารพหุนาม
2
2 11 6x x+ − ดวย x+6
2x - 1
x+6
2
2 11 6x x+ −
2
2 12x x+
6x− −
6x− −
0
จากการตั้งหารพหุนาม จะไดเศษเทากับ 0 แทนที่จะตั้งหารพหุนามเพื่อหาเศษ เราจะใช
ทฤษฎีบทเศษเหลือไดวา เศษซึ่งไดจากการหารพหุนาม
2
2 11 6x x+ − ดวย x+6 เทากับ
p(c) ในกรณีนี้ c=-6 เพราะฉะนั้น p(c) =p(-6)
p(-6) =
2
2( 6) 11( 6) 6− + − −
p(-6) = 72-66-6
p(-6) = 0
เศษที่ไดจากการหารพหุนามจึงเทากับ 0

27
3 2
5 2 4x x x− + − ดวย x-1
2
4 2x x− −
x-1
3 2
5 2 4x x x− + −
3 2
x x−
2
4 2x x− +
2
4 4x x− +
2 4x− −
2 2x− +
6−
จากการหารพหุนามไดเศษเทากับ -6
จากทฤษฎีเศษเหลือ เศษที่ไดจากการหารเทากับ p(c) = p(1)
p(1) =
3 2
(1) 5(1) 2(1) 4− + −
p(1) = 1-5+2-4
p(1) = -6
เศษที่ไดจากการหารพหุนาม
3 2
5 2 4x x x− + − ดวย x-1 คือ -6
2
3 11 5x x− − ดวย 3x+1
x - 4
3x+1
2
3 11 5x x− −
2
3x x+
-12x - 5
-12x - 4
- 1
ใชทฤษฎีบทเศษเหลือ x-c = 3x+1 c =
1
3
−
21 1 1
( ) 3( ) 11( ) 5 1
3 3 3
p
− − −
= − − = −
เศษที่ไดจากการหารพหุนาม
2
3 11 5x x− − ดวย 3x+1 คือ -1

28
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
1
1 1 0...n n
n na x a x a x a−
−+ + + + โดยที่ n เปนจํานวนเต็มบวก
1 1 0, ,..., ,n na a a a− เปนจํานวนจริงซึ่ง 0na ≠ พหุนาม p(x) จะมี (x-c) เปนตัวประกอบ
ก็ตอเมื่อ p(c)=0
ตัวอยาง
1) 5x-1 เปนตัวประกอบของ
2
5 4 1x x+ − หรือไม
p(x) =
2
5 4 1x x+ −
x-c = 5x-1
1
5
c =
21 1 1
( ) 5( ) 4( ) 1 0
5 5 5
p = + − =
5 1x∴ − เปนตัวประกอบของ
2
5 4 1x x+ −
2) x-3 เปนตัวประกอบของ
3 2
7 5 75x x x− − + หรือไม
p(x) =
3 2
7 5 75x x x− − +
x-c = x-3 c = 3
3 2
(3) (3) 7(3) 5(3) 75 24p = − − + =
3x∴ − ไมเปนตัวประกอบของ
3 2
7 5 75x x x− − +
ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ
1
1 1 0...n n
n na x a x a x a−
−+ + + + โดยที่ n เปนจํานวนเต็ม
บวก 1 1 0, ,..., ,n na a a a− เปนจํานวนเต็มซึ่ง 0na ≠ ถา
k
x
m
− เปนตัวประกอบของพหุ
นาม p(x) โดยที่ m และ k เปนจํานวนเต็มซึ่ง 0m ≠ และห.ร.ม.ของ m และ k เทากับ 1
แลว m หาร na ลงตัว และ k หาร 0a ลงตัว
ตัวอยาง เชน
1) จงแยกตัวประกอบของ
3 2
12 8 13 3x x x− − −
ตัวประกอบของ -3 ไดแก 1, 3± ± k

29
ตัวประกอบของ 12 ไดแก 1, 2, 3, 4, 6, 12± ± ± ± ± ± m
ให
k
m
=
1
3
− 1 1
( )
3 3
k
x x x
m
−
− = − = +
p(x) =
3 2
12 8 13 3x x x− − −
3 21 1 1 1
( ) 12( ) 8( ) 13( ) 3 0
3 3 3 3
p
− − − −
= − − − =
สวนการหารพหุนามใหใชวิธีการหารสังเคราะหดังนี้
1
3
−
12 -8 -13 -3
-4 4 3
12 -12 -9 0
จากการหารสังเคราะหจะได
3 2 2
2
1
12 8 13 3 ( )(12 12 9)
3
1
)(3)(4 4 3)
3
1)(2 1)(2 3)
x x x x x x
x x x
x x x
− − − = + − −
= ( + − −
= (3 + + −
2) แยกตัวประกอบของ
4 3 2
60 4 383 25 50x x x x− − + +
ตัวประกอบของ 50 ไดแก 1, 2, 5, 10, 25, 50± ± ± ± ± ± k
ตัวประกอบของ 60 ไดแก
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± m
เลือก
2 1
,
5 3
k
m
−
=
2 1
,
5 3
k
x x x
m
− = − +
ตรวจสอบ p(
k
m
)=0 โดยการหารสังเคราะห

30
2
5
60 -4 -383 25 50
24 8 -150 -50
1
3
−
60 20 -375 -125 0
-20 0 125
60 0 -375 0
4 3 2 2
2
2
2 1
60 4 383 25 50 ( )( )(60 375)
5 3
2 1
( )( )(15)(4 25)
5 3
2 1
( )( )(5)(3)(4 25)
5 3
x x x x x x x
x x x
x x x
− − + + = − + −
= − + −
= − + −
2 2
(5 2)(3 1)((2 ) 5 )
(5 2)(3 1)(2 5)(2 5)
x x x
x x x x
= − + −
= − + − +
3 2
3 16 12x x x+ − +
กรณี na =1
ตัวประกอบของ 12 ไดแก 1, 2, 3, 4, 6, 12± ± ± ± ± ± c
เลือก c = 1 x-c = x-1
1 1 3 -16 12
1 4 -12
1 4 -12 0

31
3 2 2
3 16 12 ( 1)( 4 12)
1)( 6)( 2)
x x x x x x
x x x
+ − + = − + −
= ( − + −
3 2
30 71 43 6x x x− + −
กรณี 1na ≠
ตัวประกอบของ 6 ไดแก 1, 2, 3, 6± ± ± ± k
ตัวประกอบของ 30 ไดแก 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30± ± ± ± ± ± ± ± m
เลือก
1
5
k
m
=
1
5
k
x x
m
− = −
1
5
30 -71 43 -6
6 -13 6
30 -65 30 0
3 2 2
2
1
30 71 43 6 ( )(30 65 30)
5
1
)(5)(6 13 6)
5
(5 1)(3 2)(2 3)
x x x x x x
x x x
x x x
− + − = − − +
= ( − − +
= − − −
4 3 2
12 44 5 100x x x x− − +
กรณี 1na ≠ ,สามารถดึงตัวรวม x ได
4 3 2 3 2
12 44 5 100 (12 44 5 100)x x x x x x x x− − + = − − +
นํา
3 2
12 44 5 100x x x− − + มาแยกตัวประกอบ
ตัวประกอบของ 100 ไดแก 1, 2, 4, 5, 10, 20, 50, 100± ± ± ± ± ± ± ± k
ตัวประกอบของ 12 ไดแก 1, 2, 3, 6, 12± ± ± ± ± m
เลือก
5
2
k
m
=
5
2
k
x x
m
− = −

32
5
2
12 -44 -5 100
30 -35 -100
12 -14 -40 0
4 3 2 3 2
2
2
12 44 5 100 (12 44 5 100)
5
( )(12 14 40)
2
5
( )(2)(6 7 20)
2
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
− − + = − − +
= − − −
= − − −
(2 5)(3 4)(2 5)x x x x= − + −
1) หาเศษที่ไดจากการหารพหุนามตอไปนี้
1.1)
2
( 3 4) ( 2)x x x+ − ÷ +
1.2)
2
(5 4 3) ( 1)x x x− + ÷ −
1.3)
2
(3 11 4) (3 1)x x x− − ÷ +

33
1.4)
3 2
( 2 4) ( 2)x x x x− + − ÷ −
1.5)
3 2
(4 8 11 3) (2 1)x x x x− − − ÷ +
1.6)
3 2
(9 45 4 20) (3 2)x x x x+ − − ÷ +
2) หาคา k เมื่อ A เปนตัวประกอบของ B
2.1) A=x-1
B=
2
5x kx+ −
2.2) A=2x+3
B=
2
6 7x x k+ +

34
2.3) A = 2x-3
B=
3 2
128 170 75kx x x− + −
2.4) A = 3x-4
B=
3 2
75 70 4x x kx− − −
3) แยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้
3.1)
3 2
3 9 5x x x+ − +

35
3.2)
3 2
3 25 75x x x− − +
3.3)
4 3 2
14 68 130 75x x x x+ + + +

36
3.4)
3 2
125 25 125 25x x x− − +
3.5)
4 3 2
6 18 12x x x x+ − − +

37
4) ให a และ b เปนจํานวนจริง ถา
5
4ax bx+ + หารดวย
2
( 1)x − ลงตัวแลว
a b− เทากับเทาใด
5) ถา
3 2
x px q+ + หารดวย
2
2x x+ เหลือเศษ 1 แลวจงหาคา p q+

38
3.3 การแกสมการกําลังสอง
การแกสมการกําลังสอง คือ การหาคําตอบของสมการซึ่งอยูในรูป
2
0ax bx c+ + =
สามารถทําได 2 วิธี
1. โดยการแยกตัวประกอบ ใชหลักการแยกตัวประกอบสมการพหุนามดีกรีสอง
2. โดยการใชสูตร โดยตองตรวจสอบคา
2
4b ac−
ถา
2
4 0b ac− ≥ สมการกําลังสองมีคําตอบ คือ
2
4
2
b b ac
x
a
− ± −
=
ถา
2
4 0b ac− < สมการกําลังสองไมมีคําตอบ
1) หาคําตอบของสมการ
2
3 18 0x x− =
สามารถทําโดยการแยกตัวประกอบได
2
3 18 0
3 ( 6) 0
0,6
x x
x x
x
− =
− =
=
และสามารถทําโดยการใชสูตรก็จะไดคําตอบเดียวกันคือ
จาก
2
3 18 0x x− =
3 หารตลอดได
2
6 0x x− = 2
0ax bx c+ + =
a=1 , b=-6 , c=0

39
2
2
4
2
( 6) ( 6) 4(1)(0)
2(1)
6 36 0
2
6 36
2
6 6 6 6
,
2 2
6,0
b b ac
x
a
x
x
x
x
x
− ± −
=
− − ± − −
=
± −
=
±
=
+ −
=
=
หมายเหตุ ใหใชวิธีการแยกตัวประกอบกอน ถาแยกตัวประกอบไมไดใหใชสูตร
2
4
2
b b ac
x
a
− ± −
= โดยถา
2
4 0b ac− < สมการกําลังสองไมมีคําตอบ
2
8 1 0x x− + =
ใชการแจกแจงแยกตัวประกอบ จะเห็นวาไมสามารถแยกตัวประกอบไดเปนจํานวนเต็ม จึงใชสูตร
ในการหาคําตอบ
จาก
2
8 1 0x x− + = 2
0ax bx c+ + =
a=1 , b=-8 , c=1
2
2
4
2
( 8) ( 8) 4(1)(1)
2(1)
8 64 4
2
b b ac
x
a
x
x
− ± −
=
− − ± − −
=
± −
=

40
8 64 4
2
8 60
2
8 2 15
2
4 15
4 15,4 15
x
x
x
x
x
± −
=
±
=
±
=
= ±
= + −
2
4 9 2 3 7x x x− + = −
2
2
4 9 2 3 7
4 12 9 0
(2 3)(2 3) 0
3
2
x x x
x x
x x
x
− + = −
− + =
− − =
=
1. จงหาคําตอบของสมการตอไปนี้
1)
2 2
2 6 11 4x x x+ − = −

41
2)
2
6 7 3 0x x+ − =
3)
2
9 1x =
4)
2
5 3 0x x− + − =
5)
2 2
3 5 4 2 10 4x x x x− − = − −
2. เกาเทาของกําลังสองของจํานวนหนึ่งเทากับ 25 จํานวนนั้นมีคาเทาไร

42
3. ผลคูณของจํานวนสองจํานวนเรียงกันเทากับ 182 จํานวนทั้งสองมีคาเทาไร
4. สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีดานประกอบมุมฉากยาว x+5 เซนติเมตร และ 2x
เซนติเมตร ดานตรงขามมุมฉากยาว 2x+5 เซนติเมตร สามเหลี่ยมมีพื้นที่เทาใด

43
5. ดําอายุมากกวาแดง 5 ป กําลังสองของอายุของดําและกําลังสองของอายุของแดงรวมกัน
เปน 1025 ป แดงและดําอายุเทาไร
6. สามเหลี่ยมหนาจั่วรูปหนึ่งมีความสูงมากกวาความยาวฐาน 2 เซนติเมตร สามเหลี่ยมมีดาน
ประกอบมุมยอดยาว 13 เซนติเมตร สามเหลี่ยมมีความยาวรอบรูปเทาใด

44
7. พอคาตั้งราคาสินคา 60 บาท จึงขายสินคาได 40 ชิ้น เมื่อขึ้นราคาสินคาครั้งละ 1 บาท
จะขายสินคาไดลดลง 3 ชิ้น ถาพอคาขึ้นราคาสินคาทําใหขายสินคาไดเงิน 1792 บาท
การขึ้นราคาครั้งนั้นพอคาขายสินคาไดกี่ชิ้น
8. กําไรของรานคาแหงหนึ่งเปนไปตามสมการ
2
4 2500y x= − เมื่อ x คือตนทุน y
คือกําไร ตอบคําถามตอไปนี้
8.1) ถารานคามีตนทุน 60 บาท จะไดกําไรเทาไร
8.2) ถารานคามีกําไร 37500 รานคามีตนทุนเทาไร

45
3.4 การแกสมการกําลังมากกวาสอง
สามารถทําไดโดยใชหลักการแยกตัวประกอบทําใหเปนพหุนามกําลังหนึ่ง หรือพหุนามกําลัง
สอง และดําเนินการแกสมการตอไป ตัวอยางเชน
1. จงหาคําตอบของสมการ
3 2
6 13 5 0x x x+ − =
3 2
2
6 13 5 0
(6 13 5) 0
(3 1)(2 5) 0
1 5
0, ,
3 2
x x x
x x x
x x x
x
+ − =
+ − =
− + =
−
=
2. จงหาคําตอบของสมการ
3 2
11 16 176 0x x x+ − − =
จะทําโดยการแยกตัวประกอบโดยการหารสังเคราะหก็ได แตจากโจทยจะสังเกตเห็นวาสามารถ
แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุมและดึงตัวรวมได
3 2
2
2
11 16 176 0
( 11) 16( 11) 0
( 11)( 16) 0
( 11)( 4)( 4) 0
11,4, 4
x x x
x x x
x x
x x x
x
+ − − =
+ − + =
+ − =
+ − + =
= − −
ถาทําโดยการหารสังเคราะหก็จะไดคําตอบเดียวกันคือ
ตัวประกอบของ -176 คือ 1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 44, 88, 176± ± ± ± ± ± ± ± ± ±
เลือก c = 4 x-c=x-4

46
4 1 11 -16 -176
4 60 176
1 15 44 0
3 2
2
11 16 176 0
( 4)( 15 44)
4)( 11)( 4) 0
x x x
x x x
x x x
+ − − =
− + + = 0
( − + + =
4,4, 11x = − −
1. จงหาคําตอบของสมการตอไปนี้
1)
3 2
20 0x x x− − =

47
2)
4 2
27 48 0x x− =
3)
3 2
27 63 12 28 0x x x− − + =

48
4)
4 3 2
2 4 10 0x x x+ − =
5)
3
39 70 0x x− − =
6)
4 3 2
9 17 9 18 0x x x x+ + − − =

49
7)
3 2
6 29 43 20 0x x x+ + + =
8)
4 3 2
45 246 389 152 48 0x x x x+ + + − =

50
2. จงแกสมการตอไปนี้
2.1) 2
1 1 1
( 2) ( 1) 12x x x
− =
+ +
2.2) 2 2
4 5
2
4 5x x
+ =
+ +

51
2.3)
2 2
2 2
2 1 2 2 7
2 2 2 3 6
x x x x
x x x x
+ + + +
+ =
+ + + +
2.4)
2 2 2
( 6 ) 2( 3) 81x x x− − − =

52
2.5)
2
2
21
4 6
4 10
x x
x x
− + =
− +
2.6)
4 2
13 36 0x x− + =

53
2.7)
4 4
( 1) ( 5) 82x x+ + + =
2.8)
4 2 2
10( 1) 63 ( 1) 52 0x x x x+ − − + =

54
3.5 การแกสมการที่อยูในรูปคาสัมบูรณ
คาสัมบูรณของจํานวนจริง a เขียนแทนดวยสัญลักษณ a โดยมีความหมายคือ
a เมื่อ 0a >
a = 0 เมื่อ 0a =
a− เมื่อ 0a <
1. 3 3= เพราะ 3>0 [ ]a a=
2. 3 3− = เพราะ -3<0 [ ]a a= −
3. 0 0= ……………เปนตน
สมบัติของคาสัมบูรณ
ให ,a b R∈
1) 0a ≥ 5)
aa
b b
= เมื่อ 0b ≠
2) a a≥ 6)
2 2
a a=
3) a a= − 7) a b a b+ ≤ +
4) ab a b= 8) a b a b− ≥ −

55
หลักในการแกสมการที่ติดคาสัมบูรณ คือ ตองทําใหคาสัมบูรณนั้นหายไป โดยอาศัยนิยาม
ของคาสัมบูรณ มีหลักดังนี้
[( ) ( )]x a x a x a= → = ∨ = −
1. จงแกสมการ 3 4x + =
วิธีทํา
3 4x + =
3 4
4 3
1
x
x
x
+ =
= −
∴ =
3 4
4 3
7
x
x
x
+ = −
= − −
∴ = −
1x∴ = หรือ -7
2. จงแกสมการ
1
4
2
x
x
+
=
−
2x ≠
1
4
2
x
x
+
=
−
1
4
2
x
x
+
= −
−
1 4( 2)
1 4 8
3 9
3
x x
x x
x
x
+ = −
+ = −
=
∴ =
1 4( 2)
1 4 8
5 7
7
5
x x
x x
x
x
+ = − −
+ = − +
=
∴ =
3x = หรือ
7
5
x =
1
4
2
x
x
+
=
−

56
2
3 1 1x x− + =
4. จงแกสมการ 3 2 1 5x x+ + − =
1) พิจารณาคา x ที่เปนคาวิกฤตจากสมการโจทย
2
3 1 1x x− + =
2
3 1 1x x− + = 2
3 1 1x x− + = −
2
3 0
( 3) 0
0, 3
x x
x x
x
− =
− =
∴ = −
2
3 2 0
( 2)( 1) 0
2,1
x x
x x
x
− + =
− − =
∴ =
0, 3,2,1x∴ = −
3 2 1 5x x+ + − =
3 0
3
x
x
+ =
∴ = −
2 1 0
1
2
x
x
− =
∴ =

57
2) นําคาวิกฤต 2 คาของ x มาเขียนบนเสนจํานวน จะแบงคา x ไดเปน 3 ชวงดังนี้
3) พิจารณาคา x ในแตละชวง แลวหาคําตอบของสมการ
•
•1
2
3
1
2
3−
ชวง 1 3x→ < −
ชวง 2
1
2
x→ − 3≤ < ชวง 3
1
2
x→ ≥
3 2 1 5
[ ( 3)] [ (2 1)] 5
3 2 1 5
3 7
7
3
x x
x x
x x
x
x
+ + − =
− + + − − =
− − − + =
− =
−
∴ =
3 2 1 5
( 3) [ (2 1)] 5
3 2 1 5
1
1
x x
x x
x x
x
x
+ + − =
+ + − − =
+ − + =
− =
∴ = −
3 2 1 5
( 3) (2 1) 5
3 2 1 5
3 3
1
x x
x x
x x
x
x
+ + − =
+ + − =
+ + − =
=
∴ =
7
( 3) ( )
3
x x
−
< − ∧ =
1
( 3 ) ( 1)
2
x x− ≤ < ∧ = −
1
( ) ( 1)
2
x x≥ ∧ =
1x = −x∈∅ 1x =
1,1x = −

58
2
3 1 2 3x x x− + − − =
1) จากสมการ……………
2
3 1 2 3x x x− + − − =
3 1 ( 2)( 1) 3
3 1 2 1 3
x x x
x x x
− + − + =
∴ − + − + =
2) พิจารณาคาวิกฤติของ x
3) นําคาวิกฤต 3 คาของ x มาเขียนบนเสนจํานวน จะแบงคา x ไดเปน 4 ชวงดังนี้
4) พิจารณาคา x ในแตละชวง แลวหาคําตอบของสมการ
3 1 2 1 3x x x− + − + =
3 1 0
1
3
x
x
− =
∴ =
2 0
2
x
x
− =
∴ =
1 0
1
x
x
+ =
∴ = −
•
•1
2
3
1
3
1− 2
•
4

59
ชวง 1 1x→ < −
2
2
2
3 1 2 1 3
(3 1) [ ( 2)][ ( 1)] 3
3 1 ( 2)( 1) 3
3 1 2 3
4 4 0
( 4) ( 4) 4(1)( 4)
2(1)
4 16 16
2
4 4 2
2
2 2 2
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x
x
x
x
− + − + =
− − + − − − + =
− + + − + =
− + + − − =
− − =
− − ± − − −
=
± +
=
±
=
∴ = ±
( 1) ( 2 2 2)x x< − ∧ = ±
x∈∅
ชวง 2
1
3
x→ −1≤ <
2
2
2
3 1 2 1 3
(3 1) [ ( 2)][( 1)] 3
3 1 ( 2)( 1) 3
3 1 ( 2) 3
3 1 2 3
2 0
( 2) 0
0, 2
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x
− + − + =
− − + − − + =
− + − − + =
− + − − − =
− + − + + =
+ =
+ =
∴ = −
1
( 1 ) ( 0, 2)
3
x x− ≤ < ∧ = −
0x =

60
ชวง 3
1
2
3
x→ ≤ <
2
2
2
2
3 1 2 1 3
(3 1) [ ( 2)]( 1) 3
3 1 ( 2)( 1) 3
3 1 ( 2) 3
3 1 2 3
4 2 0
( 4) ( 4) 4(1)(2)
2(1)
4 16 8
2
4 2 2
2
2 2
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x
x
x
x
− + − + =
− + − − + =
− − − + =
− − − − =
− − + + =
− + =
− − ± − −
=
± −
=
±
=
∴ = ±
1
( 2) ( 2 2)
3
x x≤ < ∧ = ±
2 2x = −
ชวง 4 2x→ ≥
2
2
2
3 1 2 1 3
(3 1) ( 2)( 1) 3
3 1 2 3
2 6 0
2 2 4(1)( 6)
2(1)
2 4 24
2
2 28
2
2 2 7
2
1 7
x x x
x x x
x x x
x x
x
x
x
x
x
− + − + =
− + − + =
− + − − =
+ − =
− ± − −
=
− ± +
=
− ±
=
− ±
=
∴ = − ±
( 2) ( 1 7)x x≥ ∧ = − ±
x∈∅

61
5) คําตอบของสมการคือ
( ) ( 0) ( 2 2) ( )x x x x∉∅ ∨ = ∨ = − ∨ ∉∅
0,2 2x = −
6. จงแกสมการ 3 1 11 2x x+ = −
2 2
2 2
2 2
3 1 11 2
3 1 11 2
(3 1) (11 2 )
(3 1) (11 2 ) 0
[(3 1) (11 2 )][(3 1) (11 2 )] 0
(3 1 11 2 )(3 1 11 2 ) 0
(5 10)( 12) 0
( 2)( 12) 0
2, 12
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x
+ = −
+ = −
+ = −
+ − − =
+ − − + + − =
+ − + + + − =
− + =
− + =
∴ = −
3.6 การแกสมการที่อยูในรูปรากที่สอง
หลักในการแกสมการรูปแบบนี้ คือ
1) ทําใหเครื่องหมายรากที่สองหายไป โดยการยกกําลังสองสมการ แลวแกสมการหาคําตอบ
ของตัวแปร ตามหลักการดังนี้
2
( ) , 0a a a= ≥
ขอสังเกต
2
2 2
( )
a a a R
a a
= , ∈
∴ ≠

62
2) ตองนําคําตอบเหลานั้นมาตรวจคําตอบกับสมการจากโจทยดวยวาเมื่อแทนคาตัวแปรแลว
ทําใหคาภายในรากที่สองติดลบหรือไม ถาติดลบแสดงวาคําตอบนั้นไมใชคําตอบของ
สมการ โดยตรวจสอบกับคําตอบทุกตัว
1. จงแกสมการ 1x x+ =
2 2
2
2
2
1
( 1)
1
1 0
( 1) ( 1) 4(1)( 1)
2(1)
1 5
2
x x
x x
x x
x x
x
x
+ =
+ =
+ =
− − =
− − ± − − −
=
±
∴ =
ไดคําตอบของสมการมา 2 คา คือ
1 5
1.6
2
x
+
= ≈ และ
1 5
0.6
2
x
−
= ≈ − นําไป
ตรวจคําตอบโดยการแทนคาในสมการจากโจทย
1
1.6 1 1.6
2.6 1.6
1.6 1.6
x x+ =
+ ≈
≈
≈
1
0.6 1 0.6
0.4 0.6
x x+ =
− + ≈ −
≈ −
1. จงแกสมการ 1 2 2 4x x+ + − =
จริง
เท็จ

63
2 2
2 2
2 2
1 2 2 4
2 2 4 1
( 2 2) (4 1)
2 2 4 2(4)( 1) ( 1)
2 2 16 8 1 ( 1)
8 1 19
(8 1) (19 )
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
+ + − =
− = − +
− = − +
− = − + + +
− = − + + +
+ = − +
+ = −
2
2
2
64( 1) 361 38
64 64 361 38
102 297 0
( 3)( 99) 0
3,99
x x x
x x x
x x
x x
x
+ = − +
+ = − +
− + =
− − =
∴ =
……….ตรวจสอบคําตอบ 3x = และ 99x =
1 2 2 4
3 1 2(3) 2 4
4 4 4
2 2 4
4 4
x x+ + − =
+ + − =
+ =
+ =
=
1 2 2 4
99 1 2(99) 2 4
100 196 4
10 14 4
24 4
x x+ + − =
+ + − =
+ =
+ =
=จริง เท็จ

64
1. จงแกสมการตอไปนี้
1.1)
2
3 2 3 7x x x+ − = +
1.2)
2 1
3
3
x
x
−
=
+

65
1.3)
2 2
2 5 3 3 5 2x x x x+ − = − −
1.4) 2 1 3 3x x− − − =

66
1.5) 5 2 2( 3)x x+ = +
1.6) 2 4 5x x+ = −

67
1.7) 2 1 1 2x − + =
1.8)
5 1
4 0
5 1
x
x
x
−
+ =
−

68
1.9)
2 2
(2 1) ( 2 3) 2 1 2 3x x x x x x− − + + = − + + +
1.10) 2 1x x x− + = −

69
1.11)
2
3 2 5 3x x+ − =
1.12)
1 1
2 2
x x
x x
− −
=
+ +

70
1.13)
2
2 0x x− − =
1.14)
2 2
2 40 3 40x x x x x+ + − = + −

71
1.15) 5 6 0x x− + =
1.16)
2
1 1x x x+ + = −

72
1.17) 3 2 1x x+ − − =
1.18)
2 2
2 2 9 2 3 15x x x x− + − − + =

73
3. การแกอสมการ
4.1 การแกอสมการกําลังหนึ่ง-ใชสมบัติการไมเทากันของจํานวนจริงมาประยุกตใชในการ
แกอสมการกําลังหนึ่ง โดยคําตอบของอสมการจะอยูในรูปแบบของ ชวงคําตอบ ซึ่งสามารถเขียน
บนเสนจํานวนไดดังตอไปนี้
- ชวง x > a หรือ ( , )a ∞
a
-ชวง x a≥ หรือ [ , )a ∞
a
-ชวง x a< หรือ ( , )a−∞
a
-ชวง x a≤ หรือ ]( ,a−∞
a

74
-ชวง a x b< < หรือ ( , )a b
a b
-ชวง a x b≤ < หรือ [ , )a b
a b
-ชวง a x b< ≤ หรือ ( , ]a b
a b
-ชวง a x b≤ ≤ หรือ [ , ]a b
a b
ตัวอยาง การหาคําตอบของชวงของจํานวนจริง เชน
1. จงหาชวงที่เกิดจาก [2,5) (3,7]∪
วิธีทํา หาคําตอบจากเสนจํานวน
2. จงหาชวงที่เกิดจาก ( ,9) (3,12]−∞ ∩
วิธีทํา หาคําตอบจากเสนจํานวน
•
32 5 7
[2,5)
•
(3,7]
• •
[2,5) (3,7] [2,7]∪ =

75
ตัวอยาง การแกอสมการกําลังหนึ่ง เชน
1. หาคําตอบของอสมการ 3x-2 < 4
3x < 4+2
3x < 6
x < 2
2
∴คําตอบของอสมการ คือ {x|x < 2}
2. หาคําตอบของอสมการ 3 4 2 1x x− ≤ +
3 4 2 1
3 2 4 1
5
x x
x x
x
− ≤ +
− ≤ +
≤
5
∴คําตอบของอสมการ คือ { | 5}x x ≤
3. หาคําตอบของอสมการ 2 3 4 5x− < − + ≤
93 12
•
(3,12]
•
( ,9) (3,12] (3,9]−∞ ∩ =
•
( ,9)−∞

76
2 3 4 5
2 4 3 5 4
6 3 1
6 1
3 3
1
2
3
1
2
3
x
x
x
x
x
x
− < − + ≤
− − < − ≤ −
− < − ≤
−
< − ≤
− < − ≤
− ≤ <
1
3
− 2
∴คําตอบของอสมการ คือ
1
{ | 2}
3
x x− ≤ <
4. หาคําตอบของอสมการ 7 2 1 5 7x x x− ≤ + < −
7 2 1 5 7
7 2 1 2 1 5 7
7 1 2 1 7 5 2
8 3
8
x x x
x x x x
x x x x
x x
x
− ≤ + < −
− ≤ + ∩ + < −
− − ≤ − ∩ + < −
− ≤ ∩ 8 <
− ≤ ∩
8
3
8
8
3
x
x x
<
≥ − ∩ >
-8
8
3

77
∴คําตอบของอสมการ คือ
8
{ | }
3
x x >
5. หาเทาของจํานวนหนึ่งลบ 12 มากกวา 33 จํานวนนั้นมีคานอยที่สุดเทาไร
ใหจํานวนนั้นเปน x
เขียนอสมการไดเปน 5x-12 > 33
5x > 33+12
5x > 45
x > 9
∴จํานวนนั้นมีคานอยที่สุดคือ 10
6. มีมะมวงจํานวนสองเทาของสม นําสมมาแบงเปนกอง กองละ 4 ผล แลวนํามะมวงมา
แบงเปนกอง กองละ 2 ผล ไดผลไมไมนอยกวา 25 กอง และไมเกิน 75 กอง มีสมกี่ผล
กําหนดให มีสม x ผล แบงสมได
4
x
กอง
มีมะมวง 2x ผล แบงมะมวงได
2
2
x
กอง
เขียนอสมการได
2
25 75
4 2
25 75
4
5
25 75
4
4 4
25( ) 75( )
5 5
20 60
x x
x
x
x
x
x
≤ + ≤
≤ + ≤
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
∴มีสมจํานวน 20 ถึง 60 ผล

78
4.2 การแกอสมการของพหุนามกําลังสอง
อสมการของพหุนามกําลังสอง อยูในรูปดังนี้ กําหนดให , ,a b c R∈
2
2
2
2
0
0
0
0
ax bx c
ax bx c
ax bx c
ax bx c
+ + >
+ + ≥
+ + <
+ + ≤
หลักในการแกอสมการพหุนามกําลังสอง มีดังนี้
1) ทําอสมการใหขวามือของอสมการเปนศูนย
2) ซายมือของอสมการ ใหแยกตัวประกอบของพหุนามกําลังสองนั้น ใหอยูในรูปผลคูณของ
ตัวประกอบกําลังหนึ่ง โดยที่ ส.ป.ส. หนาตัวแปรตองเปนจํานวนบวกเสมอ
3) หาเซตคําตอบของอสมการ โดยใชเสนจํานวน
1. จงแกอสมการ
2
2 7 15 0x x− − <
1) พิจารณา ส.ป.ส. หนาตัวแปร
2
( )x ทําใหเปน( )+
2
2 7 15 0x x− − <
2) แยกตัวประกอบ
(2 3)( 5) 0x x+ − <
3) เขียนเสนจํานวน กําหนดเครื่องหมาย( ),( )+ − สลับกันไป โดยเริ่มมาจากทางขวามือสุด
ใหเปน ( )+
3
2
− 5
+-+

79
4) หาเซตคําตอบ
5)
3
( ,5)
2
x
−
∴ ∈
2 1
0
3
x
x
−
≥
+
1) จัดรูปอสมการใหม จากเศษสวนใหเปนพหุนามกําลังสอง ดังนี้
2
2 1
0, 3
3
(2 1)
( 3) 0
( 3)
(2 1)( 3) 0
x
x
x
x
x
x
x x
−
≥ ≠ −
+
−
+ ≥
+
∴ − + ≥
2) หาเซตคําตอบของอสมการ(2 1)( 3) 0, 3x x x− + ≥ ≠ −
3)
1
( , 3) [ , )
2
x∴ ∈ −∞ − ∪ ∞
3
2
− 5
- ++
3
( ,5)
2
−
2
2 7 15 0x x− − <
3− 1
2
- ++
•
( , 3)−∞ −
1
[ , )
2
∞

80
4.3 การแกอสมการของพหุนามกําลังมากกวาสอง
อสมการของพหุนามกําลังมากกวาสองอยูในรูปดังนี้ เชน กําหนดให , , , ,a b c d e R∈
3 2
3 2
4 3 2
4 3 2
0,
0,
0,
0,...
ax bx cx d
ax bx cx d
ax bx cx dx e
ax bx cx dx e
+ + + >
+ + + <
+ + + + ≤
+ + + + ≥
หลักในการแกอสมการพหุนามกําลังมากกวาสอง มีดังนี้
1) ทําอสมการใหขวามือของอสมการเปนศูนย
2) ซายมือของอสมการ ใหแยกตัวประกอบของพหุนามกําลังมากกวาสองนั้น ใหอยูในรูปผล
คูณของตัวประกอบกําลังหนึ่ง โดยที่ ส.ป.ส. หนาตัวแปรตองเปนจํานวนบวกเสมอ
3) หาเซตคําตอบของอสมการ โดยใชเสนจํานวน
หลักในการแกอสมการพหุนามกําลังมากกวาสองเหมือนกับหลักในการแกอสมการพหุนามกําลัง
สอง แตตางกันตรงการหาเซตคําตอบโดยใชเสนจํานวน ตัวอยาง เชน
1. จงหาคําตอบของอสมการ ( 1)( 2)( 3) 0x x x− − − ≥
ขวามือของอสมการเปนศูนยแลว และซายมือของอสมการแยกตัวประกอบอยูในรูปกําลังหนึ่งโดยที่
ส.ป.ส. หนาตัวแปรเปนบวกแลว…….มีวิธีหาเซตคําตอบของอสมการโดยใชเสนจํานวนดังนี้
[1,2] [3, )x∴ ∈ ∪ ∞
1 2
- +
•
[1,2]
3
- +
• •
[3, )∞
( 1)( 2)( 3) 0x x x− − − ≥

81
2. จงหาคําตอบของอสมการ
( 2)( 3)
0
( 1)
x x
x
− −
≥
−
แปลงอสมการ เขียนเงื่อนไข…............
( 2)( 3)
0, 1
( 1)
x x
x
x
− −
≥ ≠
−
2 2( 2)( 3)
( 1) 0( 1) , 1
( 1)
( 2)( 3)( 1) 0, 1
x x
x x x
x
x x x x
− −
− ≥ − ≠
−
− − − ≥ ≠
(1,2] [3, )x∴ ∈ ∪ ∞
3.1)
2
( 2) ( 1)( 3) 0x x x− − − ≥
3.2)
2
( 2) ( 1)( 3) 0x x x− − − >
3.3)
2
( 2) ( 1)( 3) 0x x x− − − ≤
3.4)
2
( 2) ( 1)( 3) 0x x x− − − <
3.1)
2
( 2) ( 1)( 3) 0x x x− − − ≥
แปลงอสมการ เขียนเงื่อนไข…............( 1)( 3) 0, 2x x x− − ≥ =
1 2
- +
•
[1,2]
3
+
•
[3, )∞
1
- +
•
3
+
[3, )∞
2
•
( ,1]−∞
•
-

82
( ,1] [3, ) {2}x∴ ∈ −∞ ∪ ∞ ∪
3.2)
2
( 2) ( 1)( 3) 0x x x− − − >
แปลงอสมการ เขียนเงื่อนไข…............( 1)( 3) 0, 2x x x− − > ≠
( ,1) (3, )x∴ ∈ −∞ ∪ ∞
3.3)
2
( 2) ( 1)( 3) 0x x x− − − ≤
แปลงอสมการ เขียนเงื่อนไข…............( 1)( 3) 0, 2x x x− − ≤ =
[1,3]x∴ ∈
3.4)
2
( 2) ( 1)( 3) 0x x x− − − <
แปลงอสมการ เขียนเงื่อนไข…............( 1)( 3) 0, 2x x x− − < ≠
1
- +
3
+
(3, )∞
2
( ,1)−∞
1
- +
•
3
+
[1,3]
2
•
1
- +
3
+
2
(1,2) (2,3)

83
(1,2) (2,3)x∴ ∈ ∪
3 2
11 16 176 0x x x+ − − <
1) แยกตัวประกอบของอสมการ
3 2
3 2
2 2
2
11 16 176 0
( 16 ) (11 176) 0
( 16) 11( 16) 0
( 16)( 11) 0
( 4)( 4)( 11) 0
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
+ − − <
− + − <
− + − <
− + <
∴ − + + <
2) หาเซตคําตอบ โดยใชเสนจํานวน
( , 11) ( 4,4)x∴ ∈ −∞ − ∪ −
5.1)
2
( 2)( 3)
0
( 1)
x x
x
− −
≥
−
5.2)
2
( 2)( 3)
0
( 1)
x x
x
− −
>
−
5.3)
2
( 2)( 3)
0
( 1)
x x
x
− −
≤
−
5.4)
2
( 2)( 3)
0
( 1)
x x
x
− −
<
−
11−
- +
4
+
4−
( 4,4)−
-
( , 11)−∞ −

84
5.1)
2
( 2)( 3)
0
( 1)
x x
x
− −
≥
−
แปลงอสมการ เขียนเงื่อนไข…............( 2)( 1) 0, 1, 3x x x x− − ≥ ≠ =
( ,1) [2, )x∴ ∈ −∞ ∪ ∞
5.2)
2
( 2)( 3)
0
( 1)
x x
x
− −
>
−
แปลงอสมการ เขียนเงื่อนไข…............( 2)( 1) 0, 1, 3x x x x− − > ≠ ≠
( ,1) (2,3) (3, )x∴ ∈ −∞ ∪ ∪ ∞
5.3)
2
( 2)( 3)
0
( 1)
x x
x
− −
≤
−
แปลงอสมการ เขียนเงื่อนไข…............( 2)( 1) 0, 1, 3x x x x− − ≤ ≠ =
1
- +
•
2
+
( ,1)−∞
3
[2, )∞
1
- +
2
+
( ,1)−∞
3
(2,3) (3, )∞
1
- +
•
2
+
3
(1,2]
•

85
(1,2] {3}x∴ ∈ ∪
5.4)
2
( 2)( 3)
0
( 1)
x x
x
− −
<
−
แปลงอสมการ เขียนเงื่อนไข…............( 2)( 1) 0, 1, 3x x x x− − < ≠ ≠
(1,2)x∴ ∈
3
2
( 2)( 3)
0
( 1)
x x
x
− −
≥
−
แปลงอสมการ เขียนเงื่อนไข…............( 2)( 3) 0, 1x x x− − ≥ ≠
( ,1) (1,2] [3, )x∴ ∈ −∞ ∪ ∪ ∞
2
3
( 2)( 3)
0
( 1)
x x
x
− −
≥
−
แปลงอสมการ เขียนเงื่อนไข…............( 2)( 1) 0, 1, 3x x x x− − ≥ ≠ =
1
- +
2
+
3
(1,2)
2
- +
•
3
+
1
[3, )∞
•
(1,2]( ,1)−∞
1
- +
•
2
+
3
( ,1)−∞ [2, )∞

86
( ,1) [2, )x∴ ∈ −∞ ∪ ∞
4 3
( 2)( 3) ( 1) 0x x x− − − <
แปลงอสมการ เขียนเงื่อนไข…............( 2)( 1) 0, 3x x x− − < ≠
(1,2)x∴ ∈
4.4 การแกอสมการที่อยูในรูปคาสัมบูรณ
ใชหลักในการแกอสมการที่ติดคาสัมบูรณ x โดยถอดคาสัมบูรณไดดังนี้
กําหนดให , 0a R a∈ >
x a a x a
x a a x a
< → − < <
≤ → − ≤ ≤
( ) ( )
( ) ( )
x a x a x a
x a x a x a
> → > ∪ < −
≥ → ≥ ∪ ≤ −
1. จงแกอสมการ 3 4x − <
3 4
4 ( 3) 4
4 3 4 3
1 7
x
x
x
x
− <
− < − <
− + < < +
∴− < <
( 1,7)x∴ ∈ −
1
- +
2
+
3
(1,2)

87
2. จงแกอสมการ 2 1 4x − >
(2 1) 4x − > หรือ (2 1) 4x − < −
2 5
5
2
x
x
>
∴ >
2 3
3
2
x
x
< −
−
∴ <
3 5
( , ) ( , )
2 2
x
−
∴ ∈ −∞ ∪ ∞
3. จงแกอสมการ 2 1x x− >
1) หาคาวิกฤตชอง x………..
1
2 1 0
2
x x− = → =
2) เขียนเสนจํานวน แลวแบงชวงของ x
3) หาเซตคําตอบของอสมการตามชวงของเสนจํานวน
1
2
1
2 •
ชวง 1
1
2
x→ ≥
2 1
2 1
2 1
1
x x
x x
x x
x
− >
− >
− >
∴ >
ชวง 1
1
2
x→ ≥
1
( ) ( 1)
2
x x≥ ∩ >
(1, )x∈ ∞

88
3) เซตคําตอบของอสมการ คือ
4. จงแกอสมการ 2 1x x− >
2 1
(2 1)
2 1
2 1
3 1
1
3
x x
x x
x x
x x
x
x
− >
− − >
− < −
+ <
<
∴ <
ชวง 2
1
2
x→ <
1 1
( ) ( )
2 3
x x< ∩ <
1
( , )
3
x∈ −∞
(1, )x∈ ∞ หรือ
1
( , )
3
x∈ −∞
1
(1, ) ( , )
3
x∴ ∈ ∞ ∪ −∞

89
( ) ( )
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
x x
x x
x x
− >
− >
− >
2 2
(2 1) 0
(2 1 )(2 1 ) 0
( 1)(3 1) 0
x x
x x x x
x x
− − >
− − − + >
∴ − − >
เขียนเสนจํานวนหาคําตอบของอสมการ
1
( , ) (1, )
3
x∴ ∈ −∞ ∪ ∞
3 1
1
1
x
x
+
<
−
3 1
1
1
3 1
1 1
1
x
x
x
x
+
<
−
+
− < <
−
3 1
1
1
x
x
+
> −
− และ
3 1
1
1
x
x
+
<
−
1
3
- +
1
+
1
( , )
3
−∞ (1, )∞

90
3 1
1
1
3 1
1 0
1
(3 1) ( 1)
0
1
3 1 1
0
1
4
0
1
0
1
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x
+
> −
−
+
+ >
−
+ + −
>
−
+ + −
>
−
>
−
∴ >
−
3 1
1
1
3 1
1 0
1
(3 1) ( 1)
0
1
3 1 1
0
1
2 2
0
1
1
0
1
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x
+
<
−
+
− <
−
+ − −
<
−
+ − +
<
−
+
<
−
+
∴ <
−
0 ( 1) 0, 1
1
x
x x x
x
⇒ > → − > ≠
−
( ,0) (1, )x∴ ∈ −∞ ∪ ∞
1
0 ( 1)( 1) 0, 1
1
x
x x x
x
+
⇒ < → + − < ≠
−
0
- +
1
+
(1, )∞( ,0)−∞
1−
- +
1
+
( 1,1)−

91
( 1,1)x∴ ∈ −
เซตคําตอบของอสมการ คือ
6. จงแกอสมการ 2 1 2 2x x− + < +
1) หาคาวิกฤติชอง x………..
1
2 1 0
2
x x− = → = และ
2 0 2x x+ = → = −
2) เขียนเสนจํานวน แลวแบงชวงของ x
3) หาคําตอบของอสมการตามชวงของเสนจํานวน
( ,0) (1, )x∈ −∞ ∪ ∞ และ ( 1,1)x∈ − [ ]( ,0) (1, ) ( 1,1)x∈ −∞ ∪ ∞ ∩ −
( 1,0)x∈ −
2− 1
2
1 •
•2
3
(2 1) 2 ( 2)
2 1 2 2
5 2
5
x x
x x
x x
x
− − + < − +
− + + < − −
< −
∴ >
ชวง 1 2x→ < −
( 2) ( 5)x x< − ∩ >
x∈∅

92
4) เซตคําตอบของอสมการ คือ
(2 1) 2 ( 2)
2 1 2 2
1 2
3 1
1
3
x x
x x
x x
x
x
− − + < +
− + + < +
< +
>
∴ >
ชวง 2
1
2
x→ − 2 ≤ <
1 1
( 2 ) ( )
2 3
x x− ≤ < ∩ >
1 1
( , )
3 2
x∈
(2 1) 2 ( 2)
2 1 2 2
2 1
1
x x
x x
x x
x
− + < +
− + < +
− <
∴ <
ชวง 3
1
2
x→ ≥
1
( ) ( 1)
2
x x≥ ∩ <
1
[ ,1)
2
x∈
x∈∅ หรือ
1 1
( , )
3 2
x∈ หรือ
1
[ ,1)
2
x∈
1 1 1
( , ) [ ,1)
3 2 2
x∈ ∪
1
( ,1)
3
x∈

93
7. จงแกอสมการ 1
5
x
x
<
−
1
5
1 0
5
( 5)
0
5
5
0
5
5
0
5
1
0
5
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
x
<
−
− <
−
− −
<
−
− +
<
−
<
−
∴ <
−
แปลงอสมการ เขียนเงื่อนไข…............ 5 0, 5, 5x x x− < ≠ ≠ −
5, 5, 5
5 5, 5, 5
x x x
x x x
< ≠ ≠ −
∴− < < ≠ ≠ −
( 5,5)x∴ ∈ −

94
1. จงแกอสมการตอไปนี้
1.1)
2
4 4 0x x+ + >
1.2)
2
4 3 0x x− − <
1.3)
2
4 6 0x x+ + ≥

95
1.4) 3 5 1 7 5 11x x x x− < + < + < +
1.5)
2
8 4 3 1 11x x≤ − + <
1.6)
2 2
( 4) 5x x x+ <

96
1.7)
2
12
7
x
x
+
>
1.8)
2
6
5
x
x
+
≤
1.9)
2 3
0
( 2)( 5)
x
x x
−
>
+ −

97
1.10)
(1 )(1 2 )
0
1
x x
x
− +
>
+
1.11) 2 3
2 1
0
( 4) ( 3)
x
x x
+
>
− −
1.12) 2 9
3
0
( 2) ( 7)
x
x x
+
≤
+ −

98
1.13)
2 2
2
( 3 10)( 6)
0
2 15
x x x x
x x
+ − + −
≥
+ −
1.14)
2
0 1 5x≤ + ≤
1.15)
1
2
x
x x
>
+

99
1.16) 2
18 15
6
2 3
x
x
x x
−
> −
+ −
1.17)
4 2
2 1x x
>
− +

100
1.18)
2
2 7 3 7x x+ + <
1.19)
2
8 12 4x x x− + > −

101
1.20)
5 2 2
7
( 5) ( 1)( 4)
0
( 2)
x x x
x
− − −
≥
+
1.21)
11 24 53
( 2) ( 3) ( 4) 0x x x− − − ≥
1.22)
3 4 2
2 2
( 7) ( 4) ( 2)
0
( 1)( 2)
x x x
x x
+ + +
≥
− +

102
1.23) 2 5 3x + <
1.24) 12 5 1x + ≥
1.25) 3 7 5(1 )x x+ > −

103
1.26) 4 2 1 4x x− + − >
1.27) 3 1 2 1x x− + > +

104
1.28)
1
1
x
x
+
>
1.29)
3 1
1
x
x
x
−
< −
−

105
1.30)
2 1
3
1
x
x
+
>
−
1.31) 4 4 2 10x≤ − <

106
1.32) 2 1 1x x+ > −
1.33)
2 2
5 5x x x x+ ≤ +

107
1.34)
1 2 1
3
3
x
x
+ −
≥
+
/

Real Number(ระบบจำนวนจริง)

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (20)

Similar to Real Number(ระบบจำนวนจริง) (20)

More from Thanuphong Ngoapm (20)

Real Number(ระบบจำนวนจริง)