ความน่าจะเป็นและวิธีนับ(Probability)
6 likes59,706 views
เนื้อหาเบื้องต้นของหลักการนับแบบรูปต่างๆ(Combination) รวมถึงการหาค่าความน่าจะเป็นเบื้องต้น(Probability)
ความน่าจะเป็นและวิธีนับ(Probability)
- 2. 2 ความนาจะเปน 1. กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ จํานวนวิธีที่เราใชในการนับ แบงออกเปนหลักการคูณ และ หลักการบวก ในการนับจํานวน วิธีที่ตองมีขั้นตอนการนับ หลายขั้นตอน และมีการทํางานที่ตอเนื่องกันได เราสามารถใชหลักการ คูณการทํางานแตละขั้นตอน ออกมาเปนจํานวนวิธีนับรวมได เชน การนับจํานวนวิธีใสเสื้อและ กางเกง กอนออกจากบาน ถามีเสื้อ 3 ตัว 3 สี และมีกางเกง 3 ตัว 3 สี เชนเดียวกัน เราสามารถ นับจํานวนวิธีการแตงตัวกอนออกจากบานได โดยมีการทํางานตามขั้นตอนตางๆดังนี้ ขั้นตอน 1 ขั้นตอนการใสเสื้อ -สามารถเลือกใสเสื้อได 3 แบบ ขั้นตอน 2 ขั้นตอนการใสกางเกง –สามารถเลือกใสกางเกงได 3 แบบ เชนเดียวกัน รวมจํานวนวิธีที่จะเลือกทั้งเสื้อและกางเกงได 3x3 = 9 แบบ ถาการทํางานมี r ขั้นตอน คือ ขั้นตอน 1 สามารถทํางานได n1 วิธี ขั้นตอนที่ 2 สามารถทํางานได n2 วิธี, ขั้นตอนที่ 3 สามารถทํางานได n3 วิธี,… ขั้นตอนที่ r สามารถทํางานได nr วิธี⇒ สามารถนับจํานวนวิธีการทํางานรวมได 1 2 3 4 ... rn n n n n⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ตัวอยาง เชน 1. มีหีบอยู 5 ใบ ถาเรานําลูกบอล 3 ลูกใสลงในหีบจะมีวิธีการใสไดกี่วิธี วิธีทํา 1) นําลูกบอลลูกแรก เลือกใสหีบ สามารถเลือกได 5 แบบ คือ 2) นําลูกบอลลูกที่ 2 เลือกใสหีบ สามารถเลือกได 5 วิธี เชนกัน 1 2 3 4 5
- 3. 3 3) นําลูกบอลลูกที่ 3 เลือกใสหีบ สามารถเลือกได 5 วิธี เชนกัน รวมจํานวนวิธีทั้งหมด เทากับ 5x5x5=125 วิธี 2. กําหนดใหใชตัวเลข 0,1,2,3,4 และ 5 สรางจํานวนที่มี 3 หลัก (ตั้งแต 100 ถึง 999) โดยมีเงื่อนไขตอไปนี้ ก. ตัวเลขที่ใชในแตละหลักตองไมซ้ํากัน ข. ตัวเลขที่ใชในแตละหลักตองไมซ้ํากันและเปนจํานวนคี่ ค. ตัวเลขที่ใชในแตละหลักตองไมซ้ํากันและมีคามากกวา 300 ง. ตัวเลขที่ใชในแตละหลักตองไมซ้ํากัน และเปนจํานวนที่ 10 หารลงตัว วิธีทํา ก. สรางจํานวนที่มี 3 หลัก (100-999) ไมซ้ํา -ตัวเลขหลักรอย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 5 ตัว คือ 1,2,3,4,5 -ตัวเลขหลักสิบ สามารถเลือกตัวเลขไดจํานวน 5 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอยไป แลว(ทั้งหมดมี 6 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5 …. เลือกไปแลว 1 เหลือ 5) -ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกตัวเลขไดจํานวน 4 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอย และหลักสิบไปแลว(ทั้งหมดมี 6 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5 …. เลือกไปแลว 2 เหลือ 4) ∴สามารถสรางได 5x5x4=100 จํานวน ข. สรางจํานวน 3 หลักไมซ้ํากัน และเปนจํานวนคี่ -ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 3 ตัว คือ 1,3,5 -ตัวเลขหลักรอย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 4 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักหนวย ไปแลว และหามเปนศูนย(ทั้งหมดมี 6 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5……เลือกไปแลว 1 และหาม เปนศูนย เหลือ 4) 5 5 4 (1,2,3,4,5) × × 4 4 3 (1,3,5) × ×
- 4. 4 -ตัวเลขหลักสิบ สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 4 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักหนวย และหลักรอยไปแลว(ทั้งหมดมี 6 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5……เลือกไปแลว 2 เหลือ 4) ∴สามารถสรางได 4x4x3=48 จํานวน ค. สรางจํานวน 3 หลักไมซ้ํากัน และมีคามากกวา 300 -ตัวเลขหลักรอย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 3 ตัว คือ 3,4,5 -ตัวเลขหลักสิบ สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 5 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอยไป แลวจากทั้งหมด 6 ตัว -ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 4 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอย และหลักสิบไปแลว ∴สามารถสรางได 3x5x4=60 จํานวน ง. สรางจํานวน 3 หลักไมซ้ํากัน และเปนตัวเลขที่ 10 หารลงตัว -ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 1 ตัว คือ 0 (ตัวเลขที่ 10 หารลงตัว ตองลง ทายดวย 0) -ตัวเลขหลักสิบ สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 5 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักหนวยไป แลวจากทั้งหมด 6 ตัว - ตัวเลขหลักรอย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 4 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักหนวย และหลักสิบไปแลว 2 ตัวจากทั้งหมด 6 ตัว ∴สามารถสรางได 4x5x1=20 จํานวน 3 5 4 (3,4,5) × × 4 5 1 (0) × ×
- 5. 5 กรณีการนับ แบบใชวิธี หลักการบวก คือจะออกแบบวิธีนับแยกเปนกรณี วามีทั้งหมดกี่กรณี และนับจํานวนวิธีในแตละกรณี วามีจํานวนแบบวิธีเทาใด แลวนํามาบวกกัน เชน จากตัวอยางขอที่ แลว จงหาจํานวนวิธีสรางตัวเลข 3 หลัก ที่แตละหลักไมซ้ํากัน และมีคามากกวา 350 แบงเปน กรณีที่ 1 –ตัวเลขในหลักรอย เปน 3 มีจํานวนวิธีในการสรางดังนี้ -ตัวเลขหลักรอยเปน 3 สามารถเลือกได 1 วิธี -ตัวเลขหลักสิบเปน 5 สามารถเลือกได 1 วิธี -ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกได 4 ตัว คือ 0,1,2,4 ∴สามารถสรางได 1x1x4= 4 จํานวน กรณีที่ 2 –ตัวเลขในหลักรอย เปน 4,5 มีจํานวนวิธีในการสรางดังนี้ -ตัวเลขหลักรอยเปน 4,5 สามารถเลือกได 2 วิธี -ตัวเลขหลักสิบ สามารถเลือกได 5 วิธี คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอยไป 1 ตัวจาก ทั้งหมด 6 ตัว -ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกได 4 วิธี คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอยและหลักสิบไป 2 ตัวจากทั้งหมด 6 ตัว ∴สามารถสรางได 2x5x4= 40 จํานวน รวมจํานวนวิธีทั้งหมดโดยใชหลักการบวกทั้ง 2 กรณี คือ 4+40= 44 จํานวน 2. แฟกทอเรียล (Factorial) เราใชสัญลักษณ !n แทนแฟคทอเรียล มีความหมายดังนี้ ! ( 1)( 2)( 3)...(2)(1)n n n n n= − − − 1 1 4 (5) × × (3) (0,1,2,4) 2 5 4× × (4,5)
- 6. 6 ตัวอยาง เชน 1. จงหาคาของ 5! 5!=5x4x3x2x1 2. จงหาคาของ 5! 3!2! 5! 3!2! = 5 4 3 2 1 3 2 1 2 1 × × × × × × × × 3. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (Permutation) 3.1 วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนของสิ่งที่แตกตางกันทั้งหมด เราใชสูตร r ! P ( )! n n n r = − หมายถึง มีของ n สิ่ง เลือกมา r อยางแลวจัดเรียงสับเปลี่ยน เปนเสนตรง และในการวางสิ่งของ n สิ่ง เรียงเปนเสนตรง เราสามารถทําได n! วิธี ตัวอยาง เชน 1. ในการแขงขันวิ่งระยะทาง 100 ม. มีผูเขาแขงขัน 8 คน จะมีกี่วิธีที่ผูเขาแขงขันไดรับ เหรียญทอง เหรียญเงิน และเหรียญทองแดง ถาผูเขาแขงขันมีโอกาสที่จะชนะเทาๆกันทุก คน วิธีทํา จากจํานวนผูเขาแขงขัน 8 คน จะมีเพียง 3 คน ที่จะไดรับรางวัล 3 รางวัลที่แตกตางกันคือ เหรียญทอง เหรียญเงิน และเหรียญทองแดง ใชสูตร r ! P ( )! n n n r = − 8 3 8! P (8 3)! = − 8 3 8! P 8 7 6 336 5! = = × × = 3.1 วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนของสิ่งที่มีบางสวนซ้ํากัน เราใชสูตร 1 2 3 ! ! ! !... !r n n n n n โดยของ n สิ่งมีของซ้ํากัน n1,n2,…,nr สิ่ง ตัวอยาง เชน
- 7. 7 1. จะมีวิธีนําตัวอักษรในคําวา MISSISSIPPI มาเรียงสับเปลี่ยนกันใหมทั้งหมดไดกี่วิธี โดยไมจําเปนตองมีความหมาย(ตัวอักษรในคําวา MISSISSIPPI มีทั้งหมด 11 ตัว) วิธีทํา มีอักษรทั้งหมด 11 ตัว มี m 1 ตัว มี I 4 ตัว มี S 4 ตัว มี P 2 ตัว 4. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม ใชสูตร ( 1)!n − เมื่อ n คือ สิ่งของที่นํามาเรียงเปนวงกลมทั้งหมด ตัวอยาง เชน 1. จงหาจํานวนวิธีที่สามารถจัดคน 6 คน นั่งรอบโตะกลม วิธีทํา ( 1)! (6 1)! 5!n⇒ − = − = 2. จงหาจํานวนวิธีในการจัดคน 6 คน นั่งเปนวงกลม โดยที่ นาย ก. และ นาย ข. ก. ตองนั่งติดกัน ข. หามนั่งติดกัน วิธีทํา ก. นั่งติดกัน วาดรูป ⇒ นําคน 5 คน มานั่งเรียงกันเปนวงกลม (5 1)! 4! 24⇒ − = = วิธี ⇒ สลับที่ ก และ ข ได 2! วิธี ⇒ รวมจํานวนวิธี 24(2!)= วิธี 11! 34,650 1!4!4!2! ⇒ = วิธี ก ข นํา นาย ก และนาย ข มาผูก ติดกันนับเปน 1 คน จะเหลือ คนทั้งหมด 5 คน (จาก ทั้งหมด 6 คน)
- 8. 8 ข. หามนั่งติดกัน (จํานวนวิธีที่ ก และ ข หามนั่งติดกัน) = (จํานวนวิธีทั้งหมด)-(จํานวนวิธีที่ ก และ ข นั่งติดกัน) (6 1)! 24(2!) 5! (24)(2!) 120 48 72 = − − = − = − = 5. วิธีจัดหมู(Combination) หมายถึง วิธีการเลือกสงของจํานวน r สิ่ง จากของทั้งหมด n สิ่ง จะสามารถเลือกไดดังนี้ r ! !( )! n n C r n r = − ตัวอยาง เชน 1. มีนักเรียนอยูในหองทั้งหมด 30 คน ตองการเลือกนักเรียนมา 2 คน จะมีวิธีการเลือกกี่ แบบ วิธีทํา 1) พิจารณาโจทย เปนการเลือกของ 2 สิ่ง จากสิ่งของทั้งหมด 30 สิ่ง โดยไมสนใจลําดับ 2) จะมีวิธีการเลือกได 30 2 30! 2!(30 2)! C = − 30! 2!(28)! 30 29 2 435 = × = = 2. เสนขนานชุดหนึ่งมี 4 เสน ตัดกับเสนขนานอีกชุดหนึ่งซึ่งมี 3 เสน ทําใหเกิดรูปสี่เหลี่ยม ดานขนานกี่รูป วิธีทํา 1) พิจารณาวาสี่เหลี่ยมดานขนาน 1 รูป เกิดจากเสนขนานในแนวตั้ง 2 เสน ตัดกับเสนขนาน ในแนวนอน 2 เสน 2) ออกแบบการทํางานโดย แบบ
- 9. 9 2.1) เลือกเสนขนานในแนวตั้งจํานวน 2 เสน จากทั้งหมด 4 เสน 4 2 4 3 2! 6 2!2! C × × ⇒ = = วิธี 2.2) เลือกเสนขนานในแนวนอนจํานวน 2 เสน จากทั้งหมด 3 เสน 3 2 3 2! 3 2!1! C × ⇒ = = วิธี 2.3) รวมวิธีการทํางาน 6 3 18⇒ × = วิธี 3) เสนขนาน 4 เสน ตัดกับเสนขนาน 3 เสน สามารถทําใหเกิดรูปสี่เหลี่ยมดานขนานจํานวน ทั้งหมด 18 รูป 3. มีลูกตุมขนาดตางๆกัน คือ ขนาด 2,6,10,11,15 และ 19 กิโลกรัม จะใชตุมน้ําหนัก เหลานี้ชั่งของไดทั้งหมดกี่วิธี วิธีทํา 1) ออกแบบการทํางาน โดยแบงเปนกรณีการทํางาน ไดดังนี้ 1.1) เลือกลูกตุมน้ําหนักมาใชเพียง 1 ลูก 6 1C⇒ วิธี 1.2) เลือกลูกตุมน้ําหนักมาใช 2 ลูก 6 2C⇒ วิธี 1.3) เลือกลูกตุมน้ําหนักมาใช 3 ลูก 6 3C⇒ วิธี 1.4) เลือกลูกตุมน้ําหนักมาใช 4 ลูก 6 4C⇒ วิธี 1.5) เลือกลูกตุมน้ําหนักมาใช 5 ลูก 6 5C⇒ วิธี 1.6) เลือกลูกตุมน้ําหนักมาใช 6 ลูก 6 6C⇒ วิธี 2) จะมีวิธีการใชตุมน้ําหนักเหลานี้ชั่งของได 6 6 6 6 6 6 1 2 3 4 5 6 6 15 20 15 6 1 63 C C C C C C= + + + + + = + + + + + = 4. มีคน 10 คน ตองเดินทางไปตางจังหวัดดวยรถยนต 3 คัน ซึ่งจุคนได 2,4 และ 5 คน ตามลําดับ จะมีกี่วิธีที่จะจัดคนทั้ง 10 คน ขึ้นรถ 3 คันนี้ วิธีทํา 1) พิจารณาวา รถยนตทั้ง 3 คัน จุคนรวมกันได 2+4+5=11 คน เมื่อนําคน 10 คน ให ขึ้นรถทั้ง 3 คัน จะตองมีที่วาง 1 ที่เหลืออยู 2) ออกแบบการทํางานดังนี้ วิธี
- 10. 10 2.1) เลือกที่วาง 1 ที่ที่เหลืออยู ใหอยูบนรถคันที่จุคนได 2 คน นั่นคือ รถยนตที่จุคนได 2 คน จะมีคนนั่ง 1 คน รถยนตที่จุคนได 4 คน จะมีคนนั่ง 4 คน รถยนตที่จุคนได 5 คน จะมีคนนั่ง 5 คน 10 9 5 1 4 5 10 126 1 1,260C C C⇒ × × = × × = 2.2) เลือกที่วาง 1 ที่ที่เหลืออยู ใหอยูบนรถคันที่จุคนได 4 คน นั่นคือ รถยนตที่จุคนได 2 คน จะมีคนนั่ง 2 คน รถยนตที่จุคนได 4 คน จะมีคนนั่ง 3 คน รถยนตที่จุคนได 5 คน จะมีคนนั่ง 5 คน 10 8 5 2 3 5 45 56 1 2,520C C C⇒ × × = × × = 2.3) เลือกที่วาง 1 ที่ที่เหลืออยู ใหอยูบนรถคันที่จุคนได 5 คน นั่นคือ รถยนตที่จุคนได 2 คน จะมีคนนั่ง 1 คน รถยนตที่จุคนได 4 คน จะมีคนนั่ง 4 คน รถยนตที่จุคนได 5 คน จะมีคนนั่ง 4 คน 10 8 4 2 4 4 45 70 1 3,150C C C⇒ × × = × × = 3) รวมจํานวนวิธี = 1,260+2,520+3,150=6,930 วิธี 5. มีนักเรียน 12 คน จะมีกี่วิธีที่จะแบงนักเรียนเพื่อทําแบบทดสอบ 3 ชุด ที่ไมเหมือนกัน โดยใหทําชุดละ 4 คน วิธีทํา 1) ออกแบบการทํางาน 1.1) เลือกนักเรียน 4 คน มาทําแบบทดสอบชุดที่ 1 12 4C⇒ วิธี 1.2) เลือกนักเรียน 4 คน มาทําแบบทดสอบชุดที่ 2 8 4C⇒ วิธี 1.3) เลือกนักเรียน 4 คน มาทําแบบทดสอบชุดที่ 3 4 4C⇒ วิธี 2) รวมจํานวนวิธี 12 8 4 4 4 4 34,650C C C⇒ × × = วิธี 10 คน วิธี 10 คน วิธี 10 คน วิธี
- 11. 11 6. ทฤษฎีบททวินาม ถา n เปนจํานวนเต็มบวก ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 ( 1) 1 ( 2) 2 ( 1) 0 0 1 2 1( ) ...n n n n n n n n n n n n na b a b a b a b ab a b− − − −+ = + + + + + หรือถาใช 1rT + แทนพจนที่ r+1 ของการกระจาย ( )n a b+ จะไดวา ( ) ( ) 1 n n r r r rT a b− + = ตัวอยาง เชน 1. จงกระจาย 5 (1 )x+ วิธีทํา ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 0 5 4 1 5 3 2 5 2 3 5 1 4 5 0 5 0 1 2 3 4 5(1 ) (1) (1) (1) (1) (1) (1)x x x x x x x+ = + + + + + 2 3 4 5 1 5 10 10 5x x x x x= + + + + + 2. จงหา ส.ป.ส. ของ 2 x ในการกระจาย 101 ( )x x + วิธีทํา ใชสูตร ( ) ( ) 1 n n r r r rT a b− + = โดยที่ a x= และ 1 b x = และ n=10 ( ) ( ) ( ) ( ) 10 (10 ) 1 10 (10 ) ( ) 1 10 (10 ) 1 10 (10 2 ) 1 1 r r r r r r r r r r r r r r r T x x T x x T x T x − + − − + − − + − + ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = = แสดงวา (10 2 ) 2r x x− = ⇒ สามารถหาคา r ไดคือ
- 12. 12 10 2 2 8 2 4 r r r − = = ∴ = ( )10 (10 2 ) 1 r r rT x − +⇒ = เมื่อ r=4 ( ) ( ) 10 (10 2(4)) 4 1 4 10 2 5 4 2 5 210 T x T x T x − + = = = ∴ พจนที่ 5 มีสัมประสิทธของ 2 x เทากับ 210 3. จงหา ส.ป.ส. ของ 2 x ในการกระจาย 3 10 ( ) a x x + วิธีทํา ใชสูตร ( ) ( ) 1 n n r r r rT a b− + = โดยที่ 3 a x= และ a b x = และ n=10 ( )( ) ( ) ( ) ( ) (10 )10 3 1 10 (30 3 ) ( ) 1 10 (30 3 ) ( ) 1 10 (30 4 ) 1 r r r r r r r r r r r r r r r r r r a T x x T x a x T a x x T a x − + − − + − − + − + ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = = เทียบ (30 4 ) 2r x x− = 30 4 2r⇒ − = 28 4 7 r r = ∴ = ( )10 (30 4 ) 1 r r r rT a x − +⇒ = เมื่อ r=7
- 13. 13 ( ) ( ) ( ) 10 7 (30 4(7)) 7 1 7 10 7 2 8 7 7 2 8 120 T a x T a x T a x − + = = = ∴ สัมประสิทธของ 2 x ในการกระจาย 3 10 ( ) a x x + เทากับ 7 120a 4. จงหาพจนที่ 5 จากการกระจาย 2 6 ( 2 )x y− วิธีทํา ใชสูตร ( ) ( ) 1 n n r r r rT a b− + = โดยที่ 2 a x= และ 2b y= − และ n=6 และ r+1=5 นั่นคือ r=4 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) (6 4) 46 2 4 1 4 2 46 2 5 4 46 4 4 5 4 4 4 5 4 4 5 2 2 2 (15)(16) 240 T x y T x y T x y T x y T x y − + = − = − = − = = 5. จากการกระจาย 2 8 ( 2 )x x+ จงหาส.ป.ส.ของพจนที่มี 4 x วิธีทํา ใชสูตร ( ) ( ) 1 n n r r r rT a b− + = โดยที่ 2 a x= และ 2b x= และ n=8 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (8 )8 2 1 8 (16 2 ) 1 (16 2 ) 8 2 1 3 (16 ) 8 2 1 2 2 2 2 rr r r r r r r r r r r r r r r r r T x x T x x T x T x − + − + − + + − + = = = =
- 14. 14 เทียบ 3 (16 ) 42 r x x − = 3 16 4 2 r ⇒ − = 3 12 2 8 r r = ∴ = ( ) 3 (16 ) 8 2 1 2 r r r rT x − +⇒ = เมื่อ r=8 ( ) ( ) 3(8) (16 ) 8 8 2 8 1 8 8 8 4 9 8 4 9 2 2 256 T x T x T x − + = = = ∴ส.ป.ส. ของพจนที่มี 4 x เทากับ 256 7. ความนาจะเปน การทดลองสุม คือ การทดลองที่ผลลัพธจะสามารถเกิดขึ้นไดแตกตางกันหลายอยาง แตเราไม ทราบวาผลลัพธใดจะเกิดขึ้น ผลลัพธ คือ ผลที่เกิดขึ้นหลังจากการทดลองสุมไดเสร็จสิ้นเรียบรอยแลว ปริภูมิตัวอยาง(Sample Space) คือ เซตของผลลัพธที่อาจจะเกิดขึ้นไดทั้งหมดจาก การทดลองสุม และเปนสิ่งที่เราสนใจจะนําไปศึกษา เขียนแทนดวยสัญลักษณ S
- 15. 15 เหตุการณ(Event) คือ สับเซตของปริภูมิตัวอยาง เขียนแทนดวยสัญลักษณ E การหาความนาจะเปนของเหตุการณใดๆ คือ การหาวาโอกาสที่จะเกิดเหตุการณดังกลาวนั้นมี มากนอยเพียงใด ซึ่งก็คือ ความนาจะเปนของเหตุการณ A เขียนแทนดวย P(A) มีคาเทากับ ( )P A = = ( ) ( ) n A n S ตัวอยาง เชน 1) ทอดลูกเตา 2 ลูก จงหาปริภูมิตัวอยาง(Sample Space) ของลูกเตาที่หงายขึ้น วิธีทํา {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5, S = 4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} 2) ทอดลูกเตา 2 ลูก จงหาปริภูมิตัวอยาง(Sample Space) ของผลรวมของแตมบน ลูกเตาทั้งสองลูก วิธีทํา {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}S = 3) ในการทอดลูกเตา 2 ลูก จงหาเซตของเหตุการณที่ผลรวมของแตมบนลูกเตามีคานอยกวา 5 วิธีทํา E(ผลรวมของแตมนอยกวา 5)={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)} จํานวนสมาชิกใน A จํานวนสมาชิกในปริภูมิตัวอยาง
- 16. 16 4) ในการทอดลูกเตาที่สมดุล 2 ลูก จงหาความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมบนลูกเตาทั้ง 2 ลูก มีคามากกวา 3 วิธีทํา 1) หาเซตของเหตุการณที่ผลรวมของแตมบนลูกเตามีคามากกวา 3 E(ผลรวมของแตมมากกวา 3) = {(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3), (2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3), (6,4),(6,5),(6,6)} n(E)=33 2) หา Sample Space ของการทอดลูกเตา 2 ลูก ได n(S)=36 3) หาความนาจะเปนของเหตุการณผลรวมของแตมมีคามากกวา 3 ( ) 33 11 ( ) 36 12 n E P n S = = = 5. ถาเราเลือกหลอดไฟ 3 หลอด จากหลอดไฟ 15 หลอด ซึ่งในหลอดไฟ 15 หลอดนี้ มี หลอดไฟเสียอยู 5 หลอด จงหา ก. ความนาจะเปนที่หลอดไฟทั้ง 3 หลอด ไมเสียเลย ข. ความนาจะเปนที่หลอดไฟเสียเพียง 1 หลอด ค. ความนาจะเปนที่หลอดไฟเสียทั้ง 3 หลอด วิธีทํา ก. ความนาจะเปนที่หลอดไฟทั้ง 3 หลอดไมเสียเลย ( ) ( ) 10 3 15 3 ( ) 120 24 ( ) 455 91 n E P n S = = = =
- 17. 17 ข. ความนาจะเปนที่หลอดไฟเสียเพียง 1 หลอด ( )( ) ( ) 5 10 1 2 15 3 ( ) 5 45 225 45 ( ) 455 455 91 n E P n S × = = = = = ค. ความนาจะเปนที่หลอดไฟเสียทั้ง 3 หลอด ( ) ( ) 5 3 15 3 ( ) 10 2 ( ) 455 91 n E P n S = = = = 6. ถาจัดสามี- ภรรยา 4 คู นั่งเกาอี้รอบโตะกลมแลว จงหาความนาจะเปนที่สามีคนหนึ่งนั่ง ติดกับภรรยาของเขา วิธีทํา 1) หาจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่สามีคนหนึ่งนั่งติดกับภรรยาของเขา(n(E)) 2) หาจํานวนวิธี(Sample Space) ของการจัดสามี-ภรรยา 4 คู นั่งรอบโตะกลม (n(S)) 3) ( ) 6!2! 2 ( ) 7! 7 n E P n S = = = สามี-ภรรยา (7-1)!2! =6!2! แทนคน1คน (8-1)! =7!
- 18. 18 สมบัติที่สําคัญของความนาจะเปน ให A เปนเหตุการณใดๆ(Event) และ S เปนปริภูมิตัวอยาง(Sample Space) โดยที่ A S⊂ 1) 0 ( ) 1P A≤ ≤ 2) ถา A = ∅ แลว ( ) 0P A = 3) ถา A S= แลว ( ) 1P A = 4) ( ) 1 ( )P A P A′= − 5) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ หรือ ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + เมื่อ A B∩ = ∅ เรียก A และ B วาเปนเหตุการณที่ไมเกิดรวมกัน(Mutually exclusive events) 6) ( ) ( ) ( )P A B P A P A B− = − ∩ ตัวอยาง เชน 1. ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะชนะในการแขงขันวายน้ําแบบฟรีสไตลเทากับ 1 5 ความนาจะเปนที่นักเรียนผูนี้จะชนะในการแขงขันวายน้ําแบบผีเสื้อเทากับ 3 7 ความนาจะ เปนที่เขาจะชนะทั้ง 2 ประเภท เทากับ 2 5 จงหาความนาจะเปนที่นักเรียนผูนี้จะชนะการ แขงขันวายน้ําอยางนอย 1 ประเภท จาก 2 ประเภทดังกลาว วิธีทํา ให A = ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะชนะในการแขงขันวายน้ําแบบฟรีสไตล B = ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะชนะในการแขงขันวายน้ําแบบผีเสื้อ ∴ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะชนะการแขงขันวายน้ําอยางนอย 1 ประเภท คือ ( )P A B∪ จาก ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ 1 3 2 ( ) 5 7 5 8 ( ) 35 P A B P A B ∪ = + − ∴ ∪ =
- 19. 19 แบบฝกหัด 1. นางสาวอั้มมีเสื้อ 10 แบบ มีกระโปรง 8 แบบ และมีรองเทา 5 คู นางสาวอั้มจะมีวิธีการ แตงตัวกี่แบบ 2. โยนลูกเตา 3 ลูก และโยนเหรียญ 5 เหรียญพรอมกัน จะมีวิธีการออกแตมของลูกเตาและ การออกหนาของเหรียญกี่วิธี
- 20. 20 3. จงหาจํานวนวิธีจะสรางจํานวน 3 หลักจากเลขโดด 4 ตัว คือ 4,7,8,9 โดย 3.1) ไมมีเงื่อนไข 3.2) เลขตองไมซ้ํากัน 3.3) เลขตองไมซ้ํากัน และจํานวนนั้นตองไมเกิน 800
- 21. 21 4. จํานวนเต็ม 4 หลัก ที่มีคาระหวาง 2000 ถึง 5000 โดยแตละหลักไมมีตัวเลขใดซ้ํากัน เลย จะมีกี่จํานวน 5. จากตัวเลข 0,1,2,3,4,5 ถานํามาสรางตัวเลข 3 หลัก จะไดกี่วิธี ถา 5.1) ถาตัวเลขใชซ้ํากันได 5.2) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได
- 22. 22 5.3) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได และเปนเลขคี่ 5.4) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได และเปนเลขคู
- 23. 23 5.5) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได และเปนเลขที่มากกวา 300 5.6) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได และเปนเลขที่นอยกวา 250
- 24. 24 5.7) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได และเปนเลขที่มากกวา 150 แตนอยกวา 450 6. ในการแจกขนม 3 ชิ้นใหกับเด็ก 6 คน จะแจกไดกี่วิธี เมื่อ 6.1) แจกอยางไรก็ได 6.2) ไมแจกซ้ําคน
- 25. 25 6.3) มีการแจกซ้ําคน 7. ในการโยนลูกเตา 2 ลูก 1 ครั้ง จงหาจํานวนวิธีที่ลูกเตาจะขึ้นแตมตามเงื่อนไขดังนี้ 7.1) ผลรวมของแตมเปนเลขคู 7.2) ผลรวมของแตมเปนเลขคี่
- 26. 26 7.3) ผลรวมของแตมนอยกวา 10 8. คน 3 คน ตองการขึ้นลิฟทซึ่งมีอยู 5 ตัว จะมีวิธีการขึ้นลิฟทกี่วิธี เมื่อ 8.1) ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม 8.2) แตละคนขึ้นลิฟทไมซ้ํากัน
- 27. 27 8.3) มีอยางนอย 2 คน ขึ้นลิฟทตัวเดียวกัน 8.4) ไมขึ้นลิฟทตัวเดียวกันทั้ง 3 คน
- 28. 28 9. ขอสอบชุดหนึ่งเปนขอสอบกาถูกกาผิด จํานวน 10 ขอ จะมีวิธีการทํากี่วิธี เมื่อ 9.1) ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม และตองตอบทุกขอ 9.2) กาถูก 1 ขอ และกาผิด 9 ขอ 9.3) ตองตอบทุกขอ และ กาถูกและกาผิดอยางนอย 1 ขอ
- 29. 29 10. ในการสรางจํานวน 3 หลัก จากตัวเลข 0,1,2,5,6,7 จะมีวิธีการสรางกี่วิธี เมื่อ 10.1) ใชเลขซ้ํากันได 10.2) หามใชเลขซ้ําและเปนเลขคู
- 30. 30 10.3) หามใชเลขซ้ํา และเปนเลขคี่ที่มีคาอยูระหวาง 200-600 11. ในการสรางคําที่ประกอบดวยตัวอักษร 3 ตัว โดยไมคํานึงถึงความหมายโดยใช ตัวอักษรจากคําวา AMOUNT โดยไมใชอักษรซ้ํากัน จะสามารถสรางคําไดกี่คํา เมื่อ 11.1) ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม
- 31. 31 11.2) มีสระอยางนอย 1 ตัว 11.3) ขึ้นตนดวยสระและลงทายดวยพยัญชนะ
- 32. 32 12. ในการเลือกหัวหนาหองและรองหัวหนาหองอยางนอย 1 คน (เด็ก 1คนเปนได แคตําแหนงเดียวเทานั้น) จากนักเรียนชั้น ป.1/1 ซึ่งมีเด็กนักเรียนชาย 4 คน เด็กนักเรียน หญิง 6 คน จะมีวิธีเลือกกี่วิธี เมื่อ 12.1) ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม 12.2) ใหหัวหนาหองเปนผูชาย 12.3) มีผูหญิงไดรับตําแหนงอยางนอย 1 คน
- 33. 33 13. ครูพัฒนาตองการสงจดหมาย 5 ฉบับ ลงตู 3 ตู จะทําไดกี่วิธี 14. ในการเดินทางจากจังหวัดบุรีรัมยไปจังหวัดเชียงใหม มีถนนจากจังหวัดบุรีรัมยไป ยังจังหวัดพิษณุโลกจํานวน 3 สาย และมีถนนจากจังหวัดพิษณุโลกไปยังจังหวัดเชียงใหม จํานวน 2 สาย ถาผูปกครองนักเรียนขับรถยนตจากจังหวัดบุรีรัมยไปยังจังหวัดเชียงใหม โดยผานจังหวัดพิษณุโลก ผูปกครองจะสามารถเดินทางไดกี่วิธี
- 34. 34 15. รถยนตมีที่นั่งขางหนา 2 ที่ ขางหลัง 3 ที่ ชาย 5 คนที่ขับรถเปน 2 คน ตองการ ขึ้นรถคันนี้ อยากทราบวาพวกเขามีวิธีการนั่งไดกี่วิธี 16. ชาย 2 คน ตองการเขาและออกสวนสนุกที่มีประตูทั้งหมด 8 ประตู อยากทราบ วาชายทั้ง 2 คน จะทําไดกี่วิธี เมื่อ 16.1) ไมมีเงื่อนไขใดๆ
- 35. 35 16.2) ทั้ง 2 คน เขาออกดวยวิธีเหมือนกันได แตเขาประตูใดแลวออกประตูนั้นไมได 16.3) ทั้ง 2 คนเขาออกดวยวิธีที่ตางกัน โดยที่เขาปรนะตูใดแลวสามารถออกประตูนั้นได
- 36. 36 17. ถาตองการสรางคําที่ประกอบดวยตัวอักษรที่ตางกัน 4 ตัว โดยสรางตัวอักษร เหลานี้มาจากคําวา PROBABILITY จะสรางไดทั้งหมดกี่คํา โดยไมคํานึงถึง ความหมายของคําเหลานี้ 17.1) อักษรทั้ง 4 ตัว เปนตัวใดก็ได 17.2) คํานั้นจะตองขึ้นตนและลงทายดวยพยัญชนะ
- 37. 37 18. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปแฟคทอเรียล 18.1) 7 6 5 4 3 2 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 18.2) 6 7 8⋅ ⋅ 18.3) ( 3) ( 2) ...n n n+ ⋅ + ⋅ ⋅ 18.4) 2 2 2 (3 5) (3 4) (3 3)n n n+ ⋅ + ⋅ + 19. จงหาคา n จากสมการตอไปนี้ 19.1) ! 720n =
- 38. 38 19.2) ( 2)! 120 ( 1)! n n + = − 19.3) ! ( 1)! ( 3)! ( 5)! n n n n − = − − 19.4) ( 1)! 8( 2)!( 1)! !n n n n− − − − =
- 39. 39 20. 149!มี 0 ลงทายทั้งหมดกี่ตัว 21. มีคน 8 คน จะมีวิธีการจัดคนเขาแถวกี่วิธี เมื่อ 21.1) นําคนมาจัดแถวเพียง 5 คน 21.2) ใชคนทั้ง 8 คนในการจัดแถว
- 40. 40 21.3) จัดคนทั้งหมดเปน 2 แถว แถวละ 4 คน 22. จากอักษรคําวา “Mississippi” 22.1) ถานํามาเรียงสลับกันทั้งหมดไดกี่วิธี 22.3) ถานํามาเรียงกันทีละ 4 ตัวไดกี่วิธี
- 41. 41 23. มีดินสอสีที่แตกตางกัน 5 แทง นํามาเรียงสับเปลี่ยนทีละ 3 แทง จะมีวิธีเรียง สับเปลี่ยนไดกี่วิธี 24. มีตําแหนงงานวางอยู 5 ตําแหนง สําหรับชาย 3 ตําแหนง สําหรับหญิง 2 ตําแหนง ถามีผูสมัครที่เปนชาย 7 คน และเปนหญิง 4 คน จะมีวิธีบรรจุคนเหลานี้เขา ทํางานไดกี่วิธี
- 42. 42 25. มีชาย 3 คน และหญิง 2 คน จะมีวิธีที่จะจัดใหคนทั้ง 5 มายืนเปนแถว โดยที่ ชายทั้ง 3 คน ตองยืนติดกัน และหญิง 2 คนยืนติดกันดวย 26. มีอักษร E 3 ตัว F 4 ตัว และ G 5 ตัว จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรเหลานี้ ไดกี่วิธี
- 43. 43 27. มีหนังสือเลข 2 เลม เคมี 3 เลม และฟสิกส 4 เลม จะมีวิธีจัดเรียงหนังสือกี่วิธี เมื่อ 27.1) จัดอยางไรก็ได 27.2) หนังสือฟสิกสอยูติดกันเสมอ 27.3) วิชาเดียวกันอยูติดกัน 27.4) หนังสือเคมีไมอยูติดกัน
- 44. 44 27.5) หนังสือเลขอยูริม 2 ขาง 27.6) หนังสือเลขติดกัน แตหนังสือเคมีอยูติดกันทั้ง 4 เลมไมได 28. ชาย 6 คน หญิง 6 คน ตอคิวเขาซื้ออาหาร จะมีวิธีตอคิวกี่วิธี เมื่อ 28.1) เพศเดียวกันยืนติดกัน
- 45. 45 28.2) หญิงทุกคนยืนติดกัน 28.3) ชาย-หญิงยืนสลับกันทีละ 1 คน 28.4) ชาย-หญิงยืนสลับกันทีละ 2 คน
- 46. 46 28.5) ชาย-หญิงยืนสลับกันทีละ 3 คน 28.6) หญิงยืนเปนหัวแถวและชายยืนเปนทายแถว 29. คน 7 คน มีนาย ก,ข และ ค รวมอยูดวย จงหาวิธีในการจัดเรียงคนทั้ง 7 เมื่อ 29.1) นาย ก,ข และ ค อยูแยกกัน
- 47. 47 29.2) นาย ก อยูติดกับ นาย ข แตนาย ค ไมติดกับ นาย ก และ ข 29.3) นาย ก อยูติดกับนาย ข แตไมติดกับ นาย ค 29.4) นาย ข อยูติดกับ นาย ค และ นาย ก
- 48. 48 29.5) นาย ก,ข และ ค หามอยูติดกัน 3 คน 30. สามี-ภรรยา 5 คู นั่งรอบโตะกลม จะมีวิธีการจัดกี่วิธี เมื่อ 30.1) สามี-ภรรยานั่งติดกัน 30.2) สามี-ภรรยาทุกคู นั่งตรงขามกัน
- 49. 49 31. ชาย 6 คน หญิง 6 คน นั่งรอบโตะกลม จะมีวิธีการจัดกี่วิธี เมื่อ 31.1) สลับ ชาย-หญิง ทีละ 1 คน 31.2) สลับ ชาย-หญิง ทีละ 2 คน
- 50. 50 31.3) สลับ ชาย-หญิง ทีละ 3 คน 32. ในการประชุมครั้งหนึ่งมีผูแทนจาก 3 ประเทศ เขารวมประชุมโดยมี ผูแทน ประเทศละ 3 คน จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดใหผูแทนแตละประเทศนั่งติดกันในการ ประชุมโตะกลม คือเทาใด
- 51. 51 33. ในการรอยพวงมาลัยเปนวงกลมพวงหนึ่ง มีดอกไมทั้งหมด 14 ดอก เปนดอก มะลิที่แตกตางกัน 4 ดอก และดอกดาวเรืองที่แตกตางกัน 2 ดอก จะมีวิธีรอยพวงมาลัย ทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ 33.1) ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม 33.2) ดอกมะลิอยูติดกัน และดอกดาวเรืองอยูติดกัน
- 52. 52 34. ตองการคัดเลือกคณะกรรมการ 3 คน จากคนทั้งหมด 5 คน จะไดกี่วิธี 35. โรงเรียนแหงหนึ่งมีผูสมัครเปนกรรมการนักเรียนจํานวน 8 คน โดยเปนนักเรียน หญิงจํานวน 3 คน ชาย 5 คน จงหาจํานวนวิธีที่จะจัดผูสมัครใหเปนกรรมการนักเรียน โดยคณะกรรมการชุดนี้มีจํานวน 5 คน ประกอบดวยหญิง 2 คน และชาย 3 คน
- 53. 53 36. มหาวิทยาลัยแหงหนึ่ง จัดหลักสูตรอบรมบัณฑิตวางงาน 3 หลักสูตร โดย หลักสูตรที่หนึ่งรับได 7 คน หลักสูตรที่สองรับได 3 คน และหลักสูตรที่สามรับได 2 คน ในการจัดบัณฑิตวางงาน 12 คน เขาอบรมใน 3 หลักสูตร ดังกลาว จะไดทั้งหมดกี่วิธี 37. นักเรียนหองหนึ่งมีจํานวน 10 คน ครูประจําชั้นตองการเลือกนักเรียนจํานวน 3 คน ใหมาชวยทํางาน 2 อยาง คือ ลบกระดาน 1 คน และทําความสะอาดหองเรียน 2 คน ครูประจําชั้นจะเลือกนักเรียนใหทํางานดังกลาวไดทั้งหมดกี่วิธีที่แตกตางกัน
- 54. 54 38. ในการคัดเลือกนักศึกษาเพื่อเปนตัวแทนมหาวิทยาลัยไปประกวดการพูดสุนทร พจนครั้งหนึ่ง มีผูสอบผานรอบแรกจํานวน 10 คน ในจํานวนนี้เปนนักศึกษาคณะ มนุษยศาสตรจํานวน 6 คน ที่เหลือเปนนักศึกษาคณะอื่นๆ ถาสุมนักศึกษาที่ผานการ คัดเลือกในรอบแรกจํานวน 3 คน เพื่อเขารับการสัมภาษณ จํานวนวิธีที่จะสุมไดนักศึกษา คณะมนุษยศาสตรอยางนอย 1 คน เทากับเทาใด 39. ในถุงใบหนึ่งมีลูกบอล 12 ลูก เปนสีแดง 4 ลูก สีเขียว 3 ลูก และสีฟา 5 ลูก ถา ตองการหยิบลูกบอลมา 6 ลูก จะมีวิธีการหยิบกี่วิธี เมื่อ 39.1) ไดสีเขียว 2 ลูก และสีฟา 4 ลูก
- 55. 55 39.2) ไดสีแดง 2 ลูก 39.3) ไดสีเขียวอยางนอย 1 ลูก 39.4) ไมไดสีเขียวเลย
- 56. 56 40. ขอสอบฉบับหนึ่งมี 2 ตอน ตอนแรกมี 5 ขอ ตอนที่สองมี 7 ขอ นักเรียนตอง เลือกทํา 8 ขอ จะมีวิธีการทําขอสอบกี่วิธี เมื่อ 40.1) ตองทําตอนแรก 3 ขอ 40.2) ตองทําตอนแรกอยางนอย 2 ขอ 41. ในการเลือกตั้ง สส. ครั้งหนึ่ง ซึ่งมีผูแทนได 3 คน มีพรรคการเมืองสงผูสมัคร 5 พรรค พรรคละ 3 คน จะมีวิธีเลือกผูแทนทั้ง 3 คนไดกี่วิธี เมื่อ 41.1) อยูพรรคเดียวกันทั้ง 3 คน
- 57. 57 41.2) อยูตางพรรคกันทั้ง 3 คน 41.3) อยูพรรคเดียวกัน 2 คน 42. ตองการหยิบไพ 5 ใบจากไพสํารับหนึ่งซึ่งมี 52 ใบ จะมีวิธีหยิบไดกี่วิธี เมื่อ 42.1) หยิบไดไพตางชนิดกันทั้งหมด
- 58. 58 42.2) หยิบไดไพโพธิ์ดํา 3 ใบ และโพธิ์แดง 2 ใบ 42.3) หยิบไดไพดอกเดียวกัน 4 ใบ 42.4) หยิบไดคูสองและตองหา
- 59. 59 42.5) หยิบไดคูสอง ที่เหลือไมเปนคูหรือตอง 43. ในงานเลี้ยงแหงหนึ่ง มีคูสามี-ภรรยา รวม 6 คู ถาตองการเลือกคนเหลานั้นมา 4 คน เปนชาย 2 คน และหญิง 2 คน เพื่อจับคูเตนรํา จะมีวิธีเลือกกี่วิธี เมื่อ 43.1) ทั้ง 4 คนไมมีใครเปนสามี-ภรรยากัน 43.2) ทั้ง 4 คน นี้ มีสามี-ภรรยาอยางนอย 1 คู
- 60. 60 44. จงหาพจนที่ 4 จากการกระจาย 62 1 ( ) 3 3 + 45. ส.ป.ส. ของ 12 x จากการกระจาย 3 81 ( ) 2 x x + มีคาเทากับเทาใด
- 61. 61 46. จงหาพจนที่ 3 จากการกระจาย 9 ( )x y+ 47. จงหาพจนที่ 10 จากการกระจาย 2 13 ( 2 )x y−
- 62. 62 48. ในการกระจาย 2 10 ( 3 )a b− จงหาส.ป.ส.ของพจนที่มีตัวแปร 12 b 49. ในการกระจาย 10 2 1 ( )x x + จงหาส.ป.ส.ของพจนที่มีตัวแปร 5 2 x −
- 63. 63 50. ในการกระจาย 5 (3 2 )x y− จงหาส.ป.ส.ของพจนที่มีตัวแปร 3 x 51. ถา a และ b เปนส.ป.ส. ของ 2 x− และ 4 x ของการกระจาย 4 10 2 1 ( ) 2 x x − ตามลําดับแลว a b มีคาเทากับเทาใด
- 64. 64 52. ในการกระจาย 3 8 ( 2 )xy y− − พจนที่มีผลบวกของกําลังของ x กับกําลัง ของ y เทากับ -4 มีสัมประสิทธิ์เทากับเทาใด 53. พจนที่เปนคาคงตัวที่เกิดจากการกระจาย 8 (tan 2 cot )x x− มีคาเทากับ เทาใด
- 65. 65 54. จงหาส.ป.ส.ของพจนที่มีตัวแปร 3 x จากการกระจาย 2 4 ( 2 1)x x+ − 55. มีจุด 7 จุด เรียงอยูบนวงกลมวงหนึ่ง จงหาจํานวนรูปเหลี่ยมทั้งหมดที่มีจุดเหลานี้ เปนจุดยอด
- 66. 66 56. โยนเหรียญบาทที่เที่ยงตรง 3 เหรียญ พรอมกัน 1 ครั้ง จงหาความนาจะเปนของ เหตุการณดังตอไปนี้ 56.1) เหรียญออกหัวอยางนอย 1 เหรียญ 56.2) เหรียญออกหัวและกอยอยางนอย 1 เหรียญ 56.3) เหรียญออกหัวมากกวาออกกอย
- 67. 67 57. มีหนังสือเลขที่เหมือนกัน 3 เลม หนังสือเคมีที่เหมือนกัน 2 เลม และหนังสือ ฟสิกสที่เหมือนกัน 4 เลม ถาตองการจัดหนังสือทั้งหมดบนชั้นหนังสือ จงหาคาความ นาจะเปนของเหตุการณดังตอไปนี้ 57.1) วิชาเดียวกันอยูติดกัน 57.2) หนังสือเคมีไมอยูติดกัน 57.3) หนังสือเลขอยูริม 2 ขาง 57.4) หนังสือฟสิกสอยูติดกัน
- 68. 68 58. ในกลองใบหนึ่งมีหลอดไฟอยู 5 หลอด ในจํานวนนี้มีหลอดดีอยู 3 หลอด หลอด เสียอยู 2 หลอด ถาหยิบหลอดไฟขึ้นมาโดยสุมจํานวน 2 หลอด จงหาความนาจะเปนที่จะ ไดหลอดเสีย 1 หลอด และหลอดดีจํานวน 1 หลอด 59. รานจําหนายผาไหมไทยแหงหนึ่ง พบวาจากการสั่งซื้อผาไหมมารุนหนึ่งจํานวน 10 ผืน มี 2 ผืน ที่มีรอยตําหนิ ถาสุมหยิบผาไหมไทยในรุนนี้มา 5 ผืน จงหาความนาจะ เปนที่จะไดผาไหมไทยที่มีรอยตําหนิเพียงผืนเดียว
- 69. 69 60. ครอบครัวหนึ่งมีเด็ก 1 คน ผูหญิง 3 คน และผูชาย 3 คน นั่งรับประทานอาหาร รอบโตะกลม ดังนั้นความนาจะเปนที่จะไดผูหญิงนั่งประกบเด็กเทากับเทาใด 61. สมบัติและสมชาติเลนเกมโดยแตละครั้งโยนลูกเตาคนละลูก ถาแตมที่เกิดขึ้น รวมกันได 4 หรือ 7 สมบัติจะเปนผูชนะ แตถาแตมที่เกิดขึ้นรวมกันได 6 หรือ 11 สมชาติจะเปนผูชนะ ผลนอกจากนี้ถือวาเสมอกัน ถามีการโยนทั้งหมด 72 ครั้ง คาดวาจะ เสมอกันกี่ครั้ง
- 70. 70 62. กําหนดความนาจะเปนของเหตุการณ ,A B และ A B∩ ดังนี้ ( ) 0.5 ( ) 0.3 ( ) 0.1 P A P B P A B = = ∩ = แลว ( )P A B′ ′∪ มีคาเทากับเทาใด 63. กําหนดให A และ B เปนเหตุการณใดๆในปริภูมิตัวอยาง ให 1 ( ) 2 P A = , 3 ( ) 5 P B = และ 3 ( ) 4 P A B∪ = จงหาคาของ ( )P A B′ ′∪
- 71. 71 64. กําหนดให A และ B เปนเหตุการณใดๆ จงหา ( )P A B′ ∩ เมื่อ ( ) 0.6, ( ) 0.15P A B P A B∪ = ∩ = และ ( ) 0.75P A B′∪ =