Preliminary number theory
- 2. 2 ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน 1. การหาร กําหนดให a,b เปนจํานวนเต็ม ( , )a b I∈ a หาร b ลงตัว เราเขียนสัญลักษณ |a b หมายความวา b เปนพหุคูณของ a หรือเขียนไดวา a หาร b ไมลงตัว เราเขียนสัญลักษณ |a b/ หมายความวา b ไมเปนพหุคูณของ a หรือ a หาร b แลวเหลือเศษ r เขียนไดวา เราเรียก a วาตัวหาร b วาตัวตั้ง n วาผลหาร และ r วาเศษจากการหาร ( ) + ตัวอยาง เชน 1. จงพิจารณาการหารตอไปนี้ 1.1) 3 หาร 7 |a b b an= เมื่อ n I∈ |a b/ b an r= + เมื่อ n I∈ และ 0 r a< < ตัวตั้ง = ตัวหาร × ผลหาร เศษ
- 3. 3 ตัวตั้ง คือ 7 ตัวหารคือ 3 หาผลหารกับเศษ โดยการเขียน 3 หาร 7 ใหอยูในรูป b an= หรือ b an r= + เพราะฉะนั้น ผลหารคือ 2 และ เศษคือ 1 1.2) -3 หาร 7 ตัวตั้ง คือ 7 ตัวหารคือ -3 หาผลหารกับเศษ โดยการเขียน -3 หาร 7 ใหอยูในรูป b an= หรือ b an r= + เพราะฉะนั้น ผลหารคือ -2 และ เศษคือ 1 1.3) 3 หาร -7 ตัวตั้ง คือ -7 ตัวหารคือ 3 หาผลหารกับเศษ โดยการเขียน 3 หาร -7 ใหอยูในรูป b an= หรือ b an r= + เพราะฉะนั้น ผลหารคือ -3 และ เศษคือ 2 1.4) -3 หาร -7 ตัวตั้ง คือ -7 ตัวหารคือ -3 หาผลหารกับเศษ โดยการเขียน -3 หาร -7 ใหอยูในรูป b an= หรือ b an r= + เพราะฉะนั้น ผลหารคือ 3 และ เศษคือ 2 7=3(2)+1 7=-3(-2)+1 -7=3(-3)+2 -7=-3(3)+2
- 4. 4 2. ให a,b และ c เปนจํานวนเต็ม โดยที่ 0a ≠ และ 0b ≠ จงพิสูจนวา ถา |a b และ |b c และ |a c วิธีทํา 1. |a b b an⇒ = เมื่อ n I∈ 2. | ,b c c bm m I⇒ = ∈ 3. จาก (1) และ (2) ( ) ( ), | c an m c a nm nm I a c = = ∈ ∴ 3. ให m และ n เปนจํานวนเต็มบวก ถา 5 หาร m เหลือเศษ 4 และ 5 หาร n เหลือเศษ 2 แลว 5 หาร m+n เหลือเศษเทาใด วิธีทํา 1) ตีความหมายของ 5 หาร m เหลือเศษ 4 2) 5 หาร n เหลือเศษ 2 3) 1 2(5 4) (5 2)m n k k+ = + + + 1 2 1 2 1 2 5 5 6 5( ) 5 1 5( 1) 1 k k k k k k = + + = + + + = + + + 4) 1 2 1 25( 1) 1,( 1)m n k k k k I+ = + + + + + ∈ ……………แสดงวา 5 หาร m+n เหลือเศษ 1 1 15 4,m k k I= + ∈ 2 25 2,n k k I= + ∈
- 5. 5 4. จงหาจํานวนเต็มตั้งแต 1 ถึง 500 ที่หารดวย 3 หรือ 5 ลงตัว วามีกี่จํานวน วิธีทํา ใชเรื่องเซตมาอธิบายวิธีทําขอนี้ 1) ใหเซต A = เซตของจํานวนเต็มตั้งแต 1 ถึง 500 ที่ หารดวย 3 ลงตัว เซต B = เซตของจํานวนเต็มตั้งแต 1 ถึง 500 ที่หารดวย 5 ลงตัว A B∪ = เซตของจํานวนเต็มตั้งแต 1 ถึง 500 ที่หารดวย 3 หรือ 5 ลงตัว 2) จาก ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩ {3,6,9,15,...,498} ( ) 166 {5,10,15,20,...,500} ( ) 100 {15,30,45,60,...,495} ( ) 33 ( ) 166 100 33 233 A n A B n B A B n A B n A B = ⇒ = = ⇒ = ∩ = ⇒ ∩ = ∴ ∪ = + − = 5. ให A,B และ C เปนจํานวนเต็ม จงแสดงวา ถา |a b และ |a c แลว | ( )a bm cn+ เมื่อ ,m n I∈ วิธีทํา 1) 1 1| ,a b b ak k I⇒ = ∈ 2) 2 2| ,a c c ak k I⇒ = ∈ 3) 1 2( ) ( )bm cn ak m ak n+ = + 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) k m a k n a k m k n a = + = + 4) 1 2 1 2( ) ,bm cn k m k n a k m k n I+ = + + ∈ | ( )a bm cn∴ + ลงตัว 6. จงพิสูจนวา ถา a เปนจํานวนเต็มแลว 2 2 | ( )a a− วิธีทํา 1) กรณีที่ a เปนจํานวนคู 2 ,a n n I⇒ = ∈ 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) (2 ) 4 2 2(2 ) 2(2 ),2 2 | ( ) a a n n n n n n a a n n n n I a a − = − = − = − ∴ − = − − ∈ ⇒ −
- 6. 6 2) กรณีที่ a เปนจํานวนคี่ 2 1,a n n I⇒ = + ∈ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) (2 1) 4 4 1 2 1 4 2 2(2 ) 2(2 ),2 2 | ( ) a a n n n n n n n n n a a n n n n I a a − = + − + = + + − − = + = + ∴ − = + + ∈ ⇒ − 2. การหาตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) การหา ห.ร.ม. ของ a และ b เขียนแทนดวย (a,b) คือ การหาจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่ สามารถหารจํานวนเต็ม a และ b ลงตัว เมื่อ , 0a b ≠ มีวิธีการหา 2 วิธีคือ 2.1 การหา ห.ร.ม. โดยวิธีการแยกตัวประกอบ คือ การนําจํานวนเต็ม a และ b มาแยกตัวประกอบเปนจํานวนเฉพาะ แลวพิจารณาวา มี จํานวนเฉพาะรวมกันใดบาง ตัวอยาง เชน 1. จงหา ห.ร.ม. ของ 30 และ 168 วิธีทํา 30 2 3 5 168 2 3 = × × = × × 3 × 3 × 3 จะเห็นวา ทั้ง 30 และ 168 มีตัวประกอบเฉพาะรวมกัน คือ 2 และ 3 ∴ห.ร.ม.ของ 30 และ 168 คือ 2 3× เทากับ 6 2. จงหา ห.ร.ม. ของ 40 และ 180 วิธีทํา 0 2 2 5 180 2 4 = × 2 × × = × 2 × 3 × 3 × 5 ∴ห.ร.ม.ของ 40 และ 180 คือ 2 2 5 20× × =
- 7. 7 3. จงหา ห.ร.ม. ของ 30 และ 73 วิธีทํา 0 2 5 73 1 73 3 = × 3 × = × ทั้ง 30 และ 73 ไมมีจํานวนเฉพาะรวมกันเลย ∴ห.ร.ม.ของ 30 และ 73 คือ 1 ขอสังเกต จํานวนเต็ม a และ b ที่ห.ร.ม.ของ a และ b เทากับ (a,b)=1 เราเรียกวา “จํานวนเฉพาะ สัมพัทธ” 4. ให a เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง 2|a และ 5|a ถา a และ 7 เปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธ แลว จงหา ห.ร.ม. ของ a และ 70 วิธีทํา 1) 2|a a=2k1, 1k I∈ 5|a a=5k2, 2k I∈ 2) a และ 7 เปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธ หมายความวา ห.ร.ม.ของ a และ 7 เทากับ 1 คือ a และ 7 ไมมีจํานวนเฉพาะที่เปนตัวประกอบรวมกัน ซึ่งก็หมายความวา a ไมใชพหุคูณ ของ 7 3) 3 32 5 ,a k k= × × ไมใชพหุคูณของ 7 70 2 5 7= × × ∴ห.ร.ม. ของ a และ 70 คือ 2x5=10 2.2 การหา ห.ร.ม. โดยวิธีของยุคลิค คือการหา ห.ร.ม. โดยใชวิธีการหารเหลือเศษตอๆกันไปเรื่อยๆ ตัวอยาง เชน 1. จงหา ห.ร.ม. ของ 30 กับ 168 วิธีทํา 168 30(5) 18= + ⇒ 3 32 5 ,a k k I= × × ∈ 30 18(1) 12 18 12(1) 6 12 6(2) = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ 30 หาร 168 ไมลงตัว 18 หาร 30 ไมลงตัว18 หาร 30 ไมลงตัว 12 หาร 18 ไมลงตัว 6 หาร 12 ลงตัว เปน ห.ร.ม.ของ 30 กับ 168
- 8. 8 มีเทคนิคในการหา ห.ร.ม. โดยวิธีของยุคลิคดังนี้ 2. จงหา ห.ร.ม.ของ 85 และ 20 วิธีทํา 4 85 20 4 80 20 5 0 3. จงหา ห.ร.ม.ของ 85 และ -20 วิธีทํา ให หา ห.ร.ม. ของ จํานวนบวกคือ 85 และ 20 ซึ่งก็คือ 5 ∴ห.ร.ม.ของ 85 และ -20 ก็คือ 5 4. ถุงใบหนึ่งมีสมอยู 126 ผล และถุงอีกใบหนึ่งมีมังคุด 198 ผล ถาตองการแบงผลไม เปนกองๆ โดยที่แตละกองตองเปนผลไมชนิดเดียวกัน และแตละกองตองมีจํานวนเทากัน อยากทราบวาแตละกองจะมีผลไมไดมากที่สุดกี่ผลและจะแบงไดกี่กอง วิธีทํา ทําไดโดยการหา ห.ร.ม. ของผลไมทั้ง 2 ชนิด⇒ ซึ่งก็คือ การหาห.ร.ม.ของ 126 กับ 198 ซึ่งในที่นี้จะใชวิธีของยุคลิค 30 168 18 150 12 12 18 12 0 6 5 1 1 คือ ห.ร.ม.ของ 30 กับ 168 คือ ห.ร.ม.ของ 85 กับ 20
- 9. 9 1 126 198 1 72 126 3 54 72 1 54 54 0 18 ∴จะแบงผลไมไดมากที่สุดกองละ 18 ผล และแบงไดสม 7 กอง และแบงไดมังคุด 11 กอง 3. การหาตัวคูณรวมนอย (ค.ร.น.) การหา ค.ร.น. สามารถทําได 2 วิธี 3.1) การหา ค.ร.น. โดยวิธีการแยกตัวประกอบ การแยกตัวประกอบทําเหมือนการหา ห.ร.ม. โดยมีตัวอยางดังนี้ 1) จงหา ค.ร.น.ของ 30 กับ 50 วิธีทํา แยกตัวประกอบของ 30 และ 50 ไดดังนี้ 30 2 3 5 50 2 = × × = × 5 × 5 ∴ตัวประกอบที่ซ้ํากันเอามาแคตัวเดียว⇒ค.ร.น.ของ 30 และ 50 คือ 2 5 3 5× × × การแยกตัวประกอบ ค.ร.น. ห.ร.ม. วิธีการแยกตัวประกอบ วิธีการของยุคลิค ตัวซ้ํา
- 10. 10 2) จงหา ค.ร.น.ของ 100 กับ 150 วิธีทํา 0 2 5 5 50 2 10 = × 2 × × 1 = × 3 × 5 × 5 ∴ตัวประกอบที่ซ้ํากันเอามาแคตัวเดียว⇒ค.ร.น.ของ 100 และ 150 คือ 2 5 5 2 3× × × × 3.2) การหา ค.ร.น. โดยวิธีการหาห.ร.ม.กอน ใชหลักการที่วาการใชวิธีการหา ห.ร.ม.กอน โดยอาจใชวิธีของยุคลิค แลวใชกฎที่วา ผลคูณของเลข 2 จํานวน เทากับ ห.ร.ม.ของ เลข 2 จํานวนนั้น×ค.ร.น.ของเลข 2 จํานวนนั้น ตัวอยาง เชน 1. จงหา ค.ร.น.ของ 12 และ 20 วิธีทํา 1) หาห.ร.ม. ของ 12 และ 20 กอน โดยใชวิธีของยุคลิค 1 12 20 1 8 12 4 8 2 8 0 2) ผลคูณของเลข 2 จํานวน = ห.ร.ม. x ค.ร.น. 12x20 = 4 x ค.ร.น. 240 = 4 x ค.ร.น. ค.ร.น. = 240 4 ค.ร.น. = 60 ตัวซ้ํา
- 11. 11 แบบฝกหัด 1. จงใหเหตุผลการหารลงตัวและไมลงตัวในแตละขอตอไปนี้ 1.1) 4 | 20 1.2) 5| 35 1.3) 7 | 49 1.4) 3 | 25/ 1.5) 8 | 52/ 1.6) 12 | 13/
- 12. 12 2. ใหเติมผลหารและเศษเหลือตอไปนี้ 2.1) 5 8(..........) 5= + 2.2) 28 4(..........) 0= + 2.3) 43 5(8) .............= + 2.4) 24 7( 4) .........− = − + 2.5) 75 9(..........) .........− = + 2.6) 33 5(..........) ...........− = + 2.7) 50 10(..........) .........= + 2.8) 39 40(..........) .........− = + 2.9) 66 3(..........) ..........= + 3. เมื่อหารจํานวนเต็มบวก x ดวย 5 มีเศษเหลือเปน 3 จงหาเศษเหลือเมื่อหาร 3x ดวย 5
- 13. 13 4. เมื่อหารจํานวนเต็มบวก x ดวย 9 มีเศษเหลือเปน 5 จงหาเศษเหลือเมื่อหาร 7x ดวย 9 5. ให n เปนจํานวนเต็มบวก จงหาเศษเหลือเมื่อหาร n(n+1)(n+2) ดวย 3
- 14. 14 6. เมื่อหารจํานวนเต็มบวก x ดวย 7 มีเศษเหลือเปน 3 จงหาเศษเหลือเมื่อหาร 5x ดวย 7 7. จงแสดงวา “กําลังสองของจํานวนคี่เปนจํานวนคี่” 8. จงแสดงวา ถา a เปนจํานวนเต็มแลว 2 a a− เปนจํานวนคู
- 15. 15 9. จงแสดงวา ถา a เปนจํานวนคี่แลว 2 4| ( 1)a − 10. ให n เปนจํานวนเต็มบวก จงหาเศษเหลือเมื่อหาร n(n+1)(n+2) ดวย 3
- 16. 16 11. จงหาจํานวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 406 และ 379 แลวมีเศษเหลือเทากัน 12. จงหาจํานวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 830 และ 1,118 แลวมีเศษเหลือเทากัน
- 17. 17 13. จงหาห.ร.ม. ของ 3348 และ 2592 โดยใชขั้นตอนของยุคลิค 14. จงหาห.ร.ม. ของ 2244 และ 418 โดยใชขั้นตอนของยุคลิค
- 18. 18 15. จงหาจํานวนเต็มที่มีคามากที่สุดที่หาร 325 , 229 และ 157 แลวมีเศษเหลือเทากัน 16. จงหาจํานวนเต็มที่มีคามากที่สุดที่หาร 2479 , 1998 และ 1073 แลวมีเศษเหลือเทากัน พรอมทั้งหาเศษเหลือ
- 19. 19 17. จงหาจํานวนเต็มบวกที่มีคามากที่สุดที่หาร 4770 แลวมีเศษเหลือเปน 13 และหาร 3970 มีเศษเหลือเปน 17 18. นักเรียนคนหนึ่งมีเหรียญบาท 198 เหรียญ เหรียญหาบาท 180 เหรียญ และเหรียญสิบบาท 126 เหรียญ ตองการแบงเหรียญแตละชนิดเปนกองใหมีจํานวนมากที่สุด จงหาวาจะไดเหรียญ ทั้งหมดกี่กองและกองละกี่เหรียญ
- 20. 20 19. จงหาจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยที่สุดที่หารดวย 6,9 และ 10 มีเศษเหลือเปน 1 20. จงหาจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยที่สุดที่หารดวย 26,36 และ 39 มีเศษเหลือเปน 5
- 21. 21 21. จงหาจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยที่สุดที่หารดวย 7,11 และ 13 แลวมีเศษเหลือเปน 2,6 และ 8 ตามลําดับ 22. ที่สถานีรถโดยสารแหงหนึ่ง จะปลอยรถไปจังหวัด A ทุกๆ 15 นาที และปลอยรถไป จังหวัด B ทุกๆ 25 นาที ถาสถานีนี้เริ่มปลอยรถไปจังหวัด A และจังหวัด B พรอมกัน เมื่อเวลา 8.00 น. จงหาวาอีกนานเทาไร สถานีนี้จะปลอยรถไปสองจังหวัดนี้พรอมกันอีกครั้ง
- 22. 22 23. จงหาเศษที่เหลือจากการหาร 10 2 ดวย 23 24. จงหาเศษที่เหลือจากการหาร 30 5 ดวย 31
- 23. 23 25. จงแสดงวา 10 3 9+ หารดวย 51 ลงตัว 26. จงแสดงวา ถา (n,7)=1 แลว 6 1n − หารดวย 7 ลงตัว