Operad and Recognition Principle

Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
2016/04/28 ロマンティック数学ナイト
s.t.@simizut22
Operad と Recognition Principle

2Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
内容
0. Historical Reasons and Motivation
1. What is an Operad…
2. Operad Algebra
3. Recognition Principle(Delooping Machine)
※ 0 章を追加(4/30)

Historical Reason and Motivation
 Stasheff の Associahedra
円周 𝑆1 を 0,1 / 0,1 i.e. 区間を端点をくっつけたもので考える(基点 * はくっつけ
た件の点)
基点付き位相空間 𝑋,∗ のループ空間
Ω𝑋 = 𝑓: 𝑆1 → 𝑋 𝑓 ∗ =∗
には “積” 𝑚: Ω𝑋 × Ω𝑋 → Ω𝑋 が入る. たとえば
𝑓1 ∗ 𝑓2 𝑡 ≔ 𝑚 𝑓1, 𝑓2 𝑡 =
𝑓1 2𝑡 , 𝑡 ≤ 1
2
𝑓2 2𝑡 − 1 , 1
2
≤ 𝑡
𝑓1 ∗ 𝑓2 ∗ 𝑓3= 𝑓1 ∗ 𝑓2 ∗ 𝑓3 =

𝑓𝑖 𝑖 = 1,2,3 の積を定めると、次の 2 通りが考えられる
この2つは一般的には異なる。ただし連続的に変形して互いに移り合うことは可能
である。
この homotopy を
𝑚3: 0,1 × Ω𝑋 3 → Ω𝑋
で現すことにする。これを形式的に表すと、以下の図になる(* や f は省略
これを、 4 つの積、 5 つの積... と繰り返していく。
𝑓1 ∗ 𝑓2 ∗ 𝑓3= 𝑓1 ∗ 𝑓2 ∗ 𝑓3 =
(12)3 1(23)

例) 4 つの積は 5 通りの結合方法が考えることができ、例えば
𝑓1 𝑓2 𝑓3 𝑓4 ↝ 𝑓1 𝑓2 𝑓3 𝑓4
なる連続変形には次の 2 つの path が存在する
この二つの経路をつなぐ homotopy(面) を
𝑚4: 𝐾4 × Ω𝑋 4
→ Ω𝑋
((12)3)4
(1(23))4
1((23)4)
1(2(34))
(12)(34)

 5 つの場合は以下の 14 頂点の polytope で表される
ここで、各 5 角形の面は先の 4 積の homotopy 結合性を表した K4 である

Stasheff はより一般に次の概念を導入した
Def(𝐴∞ 𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒) [J. D. Stasheﬀ(1963)]
位相空間 Y が(高次の)積の列
𝑚 𝑛: 𝐾 𝑛 × 𝑌 𝑛 → 𝑌
を持ち、“適切な” compatibility を unit が存在するときが𝐴∞ 構造を持つという ∎
Fact
今までの議論よりループ空間 Ω𝑋 (𝑓𝑜𝑟 ∃
𝑋 ) は 𝐴∞ 𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 ∎
実は、これの逆が成立する
Thm
連結成分が群を成す Hopf 空間 Y が 𝐴∞ 構造を持てば、Y はループ空間のホモト
ピー型を持つ． i.e.
𝑌~Ω ∃
𝑋 ∎
同様の議論を多重ループ空間にも拡張したい

What is an Operad…
 Remark
D.Borisov, Y.Manin[2007] は Operad の解釈として次の 3 つを挙げている
1. グラフ理論の圏化(Categorification) を実現するもの
2. 計算プロセスの形式化
3. 射の合成(with relation) がある集合上の代数構造を調べる道具

What is an Operad…
 Def(Operad)
𝐶 = 𝐶 𝑛 𝑤/𝐶 𝑛 ↶ Σ 𝑛と ∘𝑖: 𝐶 𝑛 × 𝐶 𝑚 → 𝐶 𝑛+𝑚−1 Operadic Compositionの集まりが次の
条件
1. 𝑓 ∈ 𝐶 𝑎, 𝑔 ∈ 𝐶 𝑏, ℎ ∈ 𝐶𝑐 に対し
𝑓 ∘𝑗 𝑔 ∘𝑖 ℎ =
𝑓 ∘𝑖 ℎ ∘𝑗+𝑐−1 𝑔, 1 ≤ 𝑖 < 𝑗
𝑓 ∘𝑗 𝑔 ∘𝑖−𝑗+1 ℎ , 𝑗 ≤ 𝑖 < 𝑏 + 𝑗
𝑓 ∘𝑖−𝑏+1 ℎ ∘𝑗 𝑔, (𝑏 + 𝑗 ≤ 𝑖 ≤ 𝑎 + 𝑏 − 1)
2. 1 ∈ 𝐶1 ∶ 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚. 𝑖. 𝑒.
1 ∘1 𝑓 = 𝑓 かつ 𝑓 ∘𝑖 1 = 𝑓
を満たすとき、 Operad という
 自明な（でも大切な例)
位相空間 X に対し
ℰ𝓃𝒹X = 𝑀𝑎𝑝 𝑋 𝑛
, 𝑋 with ∘𝑖: 𝑀𝑎𝑝 𝑋 𝑛
, 𝑋 × 𝑀𝑎𝑝 𝑋 𝑚
, 𝑋 → 𝑀𝑎𝑝 𝑋 𝑛+𝑚−1
, 𝑋
𝑓 ∘𝑖 𝑔 𝑥1, … , 𝑥 𝑛+𝑚−1 = 𝑓 𝑥1, … , 𝑥𝑖−1, 𝑔 𝑥𝑖, … , 𝑥𝑖+𝑚−1 , 𝑥𝑖+𝑚, … , 𝑥 𝑛+𝑚−1
とすると、これは Operad

例１
 Tree Operad
𝒯 = 𝒯𝑛 w/ 𝒯𝑛 ={root が n 個、葉が 1 つからなる tree}
 合成は接ぎ木をすることで得られる
例：𝑡5 ∘4 𝑡3 w/ 𝑡3 ∈ 𝒯3, 𝑡5 ∈ 𝒯5

例2
 Little n-Disks Operad
𝐷𝑗 は次のもので構成される
単位円盤 𝐷 𝑛 = 𝑥 ∈ 𝑅 𝑛 𝑥 ≤ 1 に埋め込まれた j 個の n 次元円盤で
1. それぞれの内部は互いに交わらない
2. 平行移動とサイズの縮小のみ(ゆがめたりしない)
このような埋め込み全体を 𝐶𝑗 とする
 合成 ∘𝑖: 𝐶𝑗 × 𝐶 𝑘 → 𝐶𝑗+𝑘−1 は
𝑐 𝑘 ∈ 𝐶 𝑘 の大外の円盤を 𝑐𝑗 ∈ 𝐶𝑗 の第 i 円盤の中に adjust して、ぶち込む
 Def
Little n-Disks Operad と homotopy 同値な operad を 𝐸 𝑛 operad という

例２(Little n-disks Operad)
Little 2-disks での合成例: ∘2: 𝐶2 × 𝐶2 → 𝐶3
画像は math.stackexchange より拝借
http://math.stackexchange.com/questions/1459369/clarification-regarding-little-n-discs-
operads

Operad Algebra
 Def(Operad Algebra)
Operad C に対し空間 X が C -Algebra の構造を持つとは射 𝜌: 𝐶 → ℰ𝓃𝒹X が存在する
具体的には各 n に対し
𝜌 𝑛: 𝐶 𝑛 → 𝑀𝑎𝑝 𝑋 𝑛, 𝑋 が存在し、
𝜌 𝑛+𝑚−1 𝑓 ∘𝑖 𝑔 = 𝜌 𝑛 𝑓 ∘𝑖 𝜌 𝑚 𝑔
が成立する(合成と compatible)
これは、
𝜌 𝑛: 𝐶 𝑛 × 𝑋 𝑛
→ 𝑋
を考えても同じ(compatibility は省略)

Operad Algebra
 Operad Algebra の構造からわかることの例
(仮定) 𝜌: 𝐶 → ℰ𝓃𝒹X ∶ 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 𝑜𝑣𝑒𝑟 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑 𝑔𝑖𝑣𝑒𝑛
𝑐 ∈ 𝐶2 に対し，𝜌 𝑐 : 𝑋2
→ 𝑋 が定まる．これは algebra X に積構造が入ったことと
思える
0. 𝐶1が弧状連結
⇒ 𝑋 は homotopy unital！(∗∈ 𝑋 が hom. unit)
∵) c ∘1∗↝ c ∘2∗ という道が作れる
2. 𝐶3 が弧状連結(任意の二点をつなぐ道が存在)
⇒𝜌 𝑐 homotopy assoc. ！！
∵) c ∘1 𝑐 ↝ c ∘2 𝑐 という道が作れる in 𝐶3
3. 𝐶2 が弧状連結
⇒𝜌 𝑐 homotopy comm.！！！
∵) 𝑐 ↝ c ⋅ 𝜎 𝑤/𝜎 ∈ Σ2
2. Homotopy associativity
3. Homotopy commutativity

Operad Algebra
 ループ空間と En-algebra
空間 X に対し n 重ループ空間
Ω 𝑛
𝑋 = 𝑓: 𝐷 𝑛
, 𝜕𝐷 𝑛
→ 𝑋,∗ 境界はすべて基点に移す写像全体
は En-algebra の構造を持つ
実際、 𝑑, 𝑓1, … , 𝑓𝑘 ∈ 𝐷 𝑘 × Ω 𝑛
𝑋 𝑘
に対し次のループをにより
𝜌 𝑘: 𝐷 𝑘 × Ω 𝑛 𝑋 𝑘 → Ω 𝑛 𝑋
を定めることとする：
d の小円盤の外 ⟼ 基点
d の第 j 小円盤 ⟼ 𝑓𝑗で写す

Recognition Principle
 Theorem(Recognition Principle) [J.P.May(1972)][J.M.Boardman, R.M.Vogt(1973)]
弧状連結な空間 X が En-algebra の構造を持つならば、 X は n 重ループ空間の弱ホ
モトピー型を持つ
つまり、先ほどの自明な主張の逆がある意味で成立しているということ
𝐵𝑛 𝑋 で 𝑋 のループを解消した空間をあらわすとする i.e.
𝑋~Ω 𝑛
𝐵𝑛 𝑋
実際には Bn を構成して、その後に弱同値を示すので、このような functor は存在
する
⇒こういうものは Delooping Machine と言われる

まとめ
 Operad は、代数的な操作 (積とか和というものを)を抽象化したもの
 空間を調べるために、その operad algebra としての構造を調べる
 代数的な話から位相空間としての性質が見えてくる
 付加的な代数構造が分かる⇒以下、できるまで…

代数トポロジーはいいぞぉ！！！！

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