Bitmap
- 1. Bit Map writer ： komiya tester ： tomerun
- 2. 問題概要 ビット演算を用いて定義された写像が与えられるの で、 50 文字以下に縮めてください。
- 3. 着眼点 ビット演算は and, or, xor だけで、各ビットは互いに 干渉せず全て独立である。 したがって、関数 f を表現するには f(0) と f(~0) の 値が分かれば十分。
- 4. 解の構成 各ビット毎に、 0 と 1 の行き先の組み合わせはたか だか 4 通り。 (0, 1) → (0, 0) なら and を噛ませる。 (0, 1) → (0, 1) ならなにもしない。 (0, 1) → (1, 0) なら xor を噛ませる。 (0, 1) → (1, 1) なら or を噛ませる。 結局、任意の関数は次の形で書ける。 f(x)=(((x|a)^b)&c)
- 5. 構文解析 今回は特にスタックオーバーフローの心配もないの で、再帰下降構文解析器などで楽にかけます。
- 6. 注意点 f^n(x) を計算する時は、定義どおりに計算すると O(n) かかり TLE するので、何らかの方法で高速化 する必要がある。
- 7. TLE 回避 (1) 関数の合成は単位元 ( 恒等関数 ) をもち、結合法 則を満たす。 したがって、バイナリ法 ( 繰り返し二乗法 ) を用いる ことができる。 バイナリ法を用いると f^n(x) は O(log n) で計算で きる。
- 8. TLE 回避 (2) 各ビット毎への作用を考えると、 and, or, xor の どれかを繰り返しているだけ。 and や or 演算を繰り返すことに意味はない。 xor 演算は偶数回作用させたか奇数回作用された かだけ調べれば良い。
- 9. TLE 回避 (2) なので、 f^( 奇数 ) = f f^( 偶数 ) = f^2 となる。 ただし、 f^0 の場合は例外なので注意。