Practical topology
- 2. 自己紹介 • s.t.@simizut22 • 某会社勤務の数理計画屋さん/プログラマ • 代数トポロジーが好き • s.t. は such that または subject to (as you like)
- 3. 本日の内容 • Robotics と topology • その他応用
- 4. 1. Robotics & Topology • 次の問題を考える N 台のロボットが地点 𝐴𝑖(𝑖 = 1, … , 𝑁) にいる。 時刻 T の後に各ロボットは地点 𝐵𝑖(𝑖 = 1, … , 𝑁) に移るとする。 各ロボットは障害物やお互いのぶつかってはいけないとする(※) Q1. 上記のような移動は可能か？？ Q2. そのような計画を algorithmic に計算することは可能か？？ Q3. 複雑度はどのくらいか？？(現実的な時間で計算できるか) ※耐久性に難があり故障してしまうのだ
- 5. 例1：線分 • 線分 I 上の 2 台のロボットを入れ替えることはできない 𝐴1 = 𝐵2 𝐴2 = 𝐵1
- 6. 例2：Y 字のグラフ • 直線から分岐を作ってあげた Y 字のグラフだと、任意の 2 点を交換 することが可能 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
- 7. Configuration Space • 空間 X 上の N 点が互いにぶつからずに移動できるか、先のような 簡単な例なら分かるが一般的に考えるには… • 全体をひとつの空間と見よう i.e. 𝐶 𝑁 𝑋 = 𝑥1, … , 𝑥 𝑁 ∈ 𝑋 𝑁 𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗 (𝑖 ≠ 𝑗) = 𝑋 𝑁 − Δ w/ Δ = ∃ 𝑖, 𝑗 𝑠. 𝑡. 𝑥𝑖 = 𝑥𝑗 ⊂ 𝑋 𝑁 • N 台のロボットがぶつからずに進む ⇔ 𝐶 𝑁 𝑋 内の道を選択するということ
- 8. 例：平面上の n 点 • 各点の軌跡をちょっと動かすことで、 衝突を避けられる • 右図は、 平面内の 3 点が互いにぶ つかることなく移動している様子(※) • 実用で現れる場合、ロボットは rail の上など→ base space はグラフ ※画像は Wikipedia(組み紐) より抜粋
- 9. 線分の 2 点配置空間 • 𝐶2 𝐼 = 𝐴, 𝐵 ∈ 𝐼2 𝐴 ≠ 𝐵 = • 2 点の入れ替えができないことは、左上の三角形から右下の三角形 への path がとれないことに対応
- 10. Y 字グラフの配置空間 • 𝐶2 𝑌 の cell structure は以下で表される
- 11. Y 字グラフの配置空間 • 𝐷2 𝑌 : 𝐶2 𝑌 の変位レトラクト(連続変形できる部分空間)
- 12. Discretization Method • Y 字グラフでは変位レトラクトを配置空間の記述から考えた • より一般的には?? • Consider 𝐷 𝑛 Γ = Γ 𝑛 − Δ Δ =∪ 𝜎∩Δ≠𝜙 𝜎 • remark: 𝐷 𝑛 Γ ⊂ 𝐶 𝑛 Γ : 𝑠𝑢𝑏 − 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥 • 先の Y 字グラフの例は 𝐷2 𝑌 ⊂ 𝐶2 𝑌 が連続変形での同値
- 15. Discretization Method • 𝐷 𝑛 Γ ⊂ 𝐶 𝑛 Γ はいつホモトピー同値を与えるか?? 𝑇ℎ𝑚 𝐴𝑏𝑟𝑎𝑚𝑠 2000 𝐷 𝑛 Γ ⊂ 𝐶 𝑛 Γ がホモトピー同値(連続変形で同値) ⇔ 異なる 2 頂点を通る 𝑝𝑎𝑡ℎ は長さ 𝑛 − 1 以上 𝑛𝑢𝑙𝑙ℎ𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑝𝑖𝑐 でないループは長さ 𝑛 + 1 以上 Q 字グラフには非自明な長さ 1 のループが存在するので、ホモトピー 同値でない
- 16. 例：𝐾5 • 𝐷2 𝐾5 は次のデータを持つ 2 次元の向 き付られた連結な曲面 #𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 = 20 #𝐸𝑑𝑔𝑒𝑠 = 60 #𝐹𝑎𝑐𝑒𝑠 = 30 • 従って特に euler 標数 𝜒 𝐷2 𝐾5 = #𝑉 − #𝐸 + #𝐹 = −10 完全グラフ 𝐾5
- 17. 例：𝐾5 • 曲面の分類定理から、𝐷2 𝐾5 ≈ Σ 𝑔: (種数 g の曲面) • Euler 標数を比べると 𝜒(𝐷2 𝐾5 ) = 𝜒(Σ 𝑔) ∥ ∥ −10 2 − 2𝑔 • 上の等式を解くと 𝑔 = 6 • また、先の定理の仮定を満たすことはあきらか
- 18. 例：𝐾5 Σ6 ≈ 𝐷2 𝐾5 ∼ℎ.𝑒. 𝐶2 𝐾5
- 19. Motion Planning 問題 𝑁𝑜𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 空間 Y に対し 𝑃𝑌: = 𝑌 内の道 = {𝜎: 𝐼 → 𝑌 (𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠)} 元問題 N 台のロボットがぶつからずに進む ⇔ 𝐶 𝑁 𝑋 内の道を選択するということ 𝑖. 𝑒. 𝐶 𝑁 𝑋 × 𝐶 𝑁 𝑋 → 𝑃𝐶 𝑁(𝑋) というあるクラスの写像を構成する(連続と限らない)
- 20. Topological Complexity • continuous motion planning とは、 𝑠: 𝐶 𝑛 𝑋 × 𝐶 𝑛 𝑋 → 𝑃𝐶 𝑛 𝑋 : 𝑐𝑜𝑛𝑡. 𝑠. 𝑡. 𝜋 ∘ 𝑠 = 1 𝐶 𝑛 𝑋 ×𝐶 𝑛 𝑋 𝑤/ 𝜋 𝜎 = (𝜎 0 , 𝜎(1)) 𝜋 𝜎 = (𝐴, 𝐵)
- 21. Topological Complexity 𝑇ℎ𝑚 continuous motion planning algorithm が存在 ⇔ 𝐶 𝑛 𝑋 が可縮(連続的に 1 点につぶせる) • 上の定理より全空間で連続な motion planning algorithm が一般的 に設計できるわけではない→ どの程度の不連続度を持つかを知り たい • Topological Complexity とはその不連続度を測る数値
- 22. Topological Complexity 𝐷𝑒𝑓(𝑡𝑜𝑝𝑜𝑙𝑜𝑔𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑖𝑡𝑦) 𝐶 𝑛 𝑋 の topological complexity とは… 𝑠: 𝐶 𝑛 𝑋 × 𝐶 𝑛 𝑋 → 𝑃𝐶 𝑛 𝑋 : 𝑚𝑜𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑎𝑙𝑔𝑜𝑙. 𝐶 𝑛 𝑋 × 𝐶 𝑛 𝑋 = 𝑘=1 𝑛 𝐹𝑘 , 𝑠 𝐹 𝑘 𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖. なる n の最小値 ※連続なアルゴリズムが存在する始点・終点ペアの分割方法のうち、最小のもの
- 23. Topological Complexity 𝑅𝑒𝑚𝑎𝑟𝑘 𝑇𝐶 𝑋 は X の homotopy 不変量 従って、特にグラフ Γ に対し、𝐷 𝑛 Γ ∼ℎ.𝑒. 𝐶 𝑛(Γ) ならば 𝑇𝐶 𝐷 𝑛(Γ) = 𝑇𝐶 𝐶 𝑛 Γ
- 24. Main Theorem 𝑇ℎ𝑚 Γ: 𝑡𝑟𝑒𝑒 𝑤𝑖𝑡ℎ 𝑚 Γ : 𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠. 2𝑚 Γ ≤ 𝑛 のとき 1. 𝑛 ≠ 2 𝑇𝐶 𝐶 𝑛 Γ = 2𝑚 Γ + 1 2. 𝑛 = 2 𝑇𝐶 𝐶2 Γ = 2 Γ ≈ 𝑌 3 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒 Rem: 具体的な algorithm の設計は論文を参考の事
- 25. まとめ ( for motion planning) • optimal path planning(特定の 始点、終点の集合が与えられたときに、 最適の移動戦略)とは、動機が異なる(これはこれで NP-complete • 最適 planning では始点と終点をちょっと動かすことで、全く異なる道 を選択するかもしれない • Topological な解析の目的は stable な motion Planner を設計するこ と • どうしても不安定な path の存在を理論的に保障できる(無理なもの は無理)
- 26. その他応用 • Sensor Network 問題 • Euler Integral • Persistent Homology • タンパク質の構造解析 • Persistent Homology • knot • Discrete Configuration space • ガラスの構造解析 • Persistence weighted Gaussian kernel
- 27. その他応用 • Neural network 解析 → 医学へ • 遺伝子解析 → 創薬へ • 系統樹解析 • 民主主義の分類 • 言語学 etcetc (ほとんど今日話さなかった Persistent の応用)