![О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ...
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
16
УДК 535.135
О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ
В ПРОЗРАЧНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ ИСХОДНО
ОДНОПЕРИОДНОГО ОПТИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА
Ю.А. Капойко, С.А. Козлов
Получены выражения для скоростей движения центра тяжести и дисперсионного расплывания импульсов, содержа-
щих на входе в волноведущую среду лишь одно полное колебание светового поля. Показано, что для таких предель-
но коротких по числу колебаний входных оптических импульсов эти скорости прямо пропорциональны дисперсион-
ным характеристикам волновода и обратно пропорциональны квадрату исходной длительности импульса.
Ключевые слова: однопериодные импульсы, распространение, дисперсия.
Введение
При теоретическом анализе распространения импульсного излучения в волноведущих средах, в
которых можно пренебречь изменением поперечной структуры светового пучка, рассматривается де-
формация формы и фазовая модуляция оптического импульса. Это дает исчерпывающую информацию
об изменении его структуры в среде [1]. Когда такой полный анализ является трудоемким или не необ-
ходимым, часто ограничиваются рассмотрением изменения в среде интегральных параметров импульса,
например, его длительности [2, 3]. Так, в работе [4] получены широко используемые на практике выра-
жения, характеризующие эволюцию в оптических средах среднеквадратичной длительности квазимоно-
хроматических световых импульсов произвольной на входе в среду формы (обзор статей в развитие ре-
зультатов этой работы можно найти, например, в [2, 3]).
Бурное развитие в последние два десятилетия оптики волн из малого числа колебаний [5] привело
к необходимости изучения распространения сверхширокополосных импульсов, которые не могут быть
рассмотрены в рамках квазимонохроматического приближения. В работе [6] были получены аналитиче-
ские выражения, описывающие динамику в прозрачных оптических средах средних параметров (центра
тяжести и длительности) импульсов без ограничения на их начальную длительность. В настоящей работе
показано, что для предельно коротких по числу колебаний однопериодных входных оптических импуль-
сов эти выражения могут быть записаны в виде элементарных функций от характеристик среды и вход-
ных параметров импульсов.](https://image.slidesharecdn.com/336-140707020607-phpapp02/85/-1-320.jpg)
![Ю.А. Капойко, С.А. Козлов
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
17
Модель динамики поля импульса в волноведущей среде
В настоящей работе ограничимся простейшей моделью дисперсии эффективного показателя пре-
ломления волноведущей среды
2
0 1n = N +a c , (1.1)
где ω – частота, c – скорость света в вакууме, N0, a1 – константы, характеризующие волноводную и мате-
риальную дисперсию оптического волновода. Дисперсии (1.1) соответствует уравнение динамики поля
световой волны вида [7]
3
0
1 3
0
NE E E
+ a =
z c t t
, (1.2)
где E – напряженность электрического поля, z – направление распространения волны, t – время.
Анализ движения средних параметров импульсов, динамика поля которых описывается уравнени-
ем (1.2), проведем для входного импульса вида
2 2
0
0
0
/t t t
E = E e
t
, (1.3)
где E0 – амплитуда, t0 – длительность импульса. На рис. 1 иллюстрирован всплеск электромагнитного
поля (1.3), представляющий собой лишь одно его полное колебание, и спектр импульса. Такие однопери-
одные импульсы устойчиво получают, например, в терагерцовом спектральном диапазоне [8, 9].
0 1/t0 , отн. ед.
g, отн. ед.Е, отн. ед.
–t0 0 t0 t, отн. ед.
Рис. 1. Поле и спектр однопериодного импульса
Движение центра тяжести импульса
Рассмотрим зависимость от координаты z момента распределения поля E первого порядка [10]
21
+
t = tE dt
W
, (2.1)
где 2
+
W = E dt
– энергия импульса. Найдем
d t
dz
, для этого продифференцируем (2.1) по z, заменив
dE
dz
из волнового уравнения (1.2) и полагая
0,
0 1,
t ±
n
t ±
n
E
E
,n
t
(2.2)
получим
2
0
1
3
2
Nd t E
= + a dt
dz c t
. (2.3)
Используя (1.2) и (2.2), можно показать, что производная (2.3) по координате z равна нулю, т. е.
выражение (2.3) является интегралом движения уравнения (1.2). Тогда можно заменить распределение
поля E на начальное (1.3) и, произведя упрощения, получить для однопериодного на входе в среду им-
пульса выражение для скорости его движения в среде вида
1
0 2
0
91 a cd t
= N +
dz c t
. (2.4)
Эволюция длительности импульса
Под длительностью импульса в работе будет пониматься квадратный корень из центрального мо-
мента распределения поля второго порядка [2]](https://image.slidesharecdn.com/336-140707020607-phpapp02/85/-2-320.jpg)
О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ В ПРОЗРАЧНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ ИСХОДНО ОДНОПЕРИОДНОГО ОПТИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА
- 1. О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ... Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71) 16 УДК 535.135 О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ В ПРОЗРАЧНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ ИСХОДНО ОДНОПЕРИОДНОГО ОПТИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА Ю.А. Капойко, С.А. Козлов Получены выражения для скоростей движения центра тяжести и дисперсионного расплывания импульсов, содержа- щих на входе в волноведущую среду лишь одно полное колебание светового поля. Показано, что для таких предель- но коротких по числу колебаний входных оптических импульсов эти скорости прямо пропорциональны дисперсион- ным характеристикам волновода и обратно пропорциональны квадрату исходной длительности импульса. Ключевые слова: однопериодные импульсы, распространение, дисперсия. Введение При теоретическом анализе распространения импульсного излучения в волноведущих средах, в которых можно пренебречь изменением поперечной структуры светового пучка, рассматривается де- формация формы и фазовая модуляция оптического импульса. Это дает исчерпывающую информацию об изменении его структуры в среде [1]. Когда такой полный анализ является трудоемким или не необ- ходимым, часто ограничиваются рассмотрением изменения в среде интегральных параметров импульса, например, его длительности [2, 3]. Так, в работе [4] получены широко используемые на практике выра- жения, характеризующие эволюцию в оптических средах среднеквадратичной длительности квазимоно- хроматических световых импульсов произвольной на входе в среду формы (обзор статей в развитие ре- зультатов этой работы можно найти, например, в [2, 3]). Бурное развитие в последние два десятилетия оптики волн из малого числа колебаний [5] привело к необходимости изучения распространения сверхширокополосных импульсов, которые не могут быть рассмотрены в рамках квазимонохроматического приближения. В работе [6] были получены аналитиче- ские выражения, описывающие динамику в прозрачных оптических средах средних параметров (центра тяжести и длительности) импульсов без ограничения на их начальную длительность. В настоящей работе показано, что для предельно коротких по числу колебаний однопериодных входных оптических импуль- сов эти выражения могут быть записаны в виде элементарных функций от характеристик среды и вход- ных параметров импульсов.
- 2. Ю.А. Капойко, С.А. Козлов Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71) 17 Модель динамики поля импульса в волноведущей среде В настоящей работе ограничимся простейшей моделью дисперсии эффективного показателя пре- ломления волноведущей среды 2 0 1n = N +a c , (1.1) где ω – частота, c – скорость света в вакууме, N0, a1 – константы, характеризующие волноводную и мате- риальную дисперсию оптического волновода. Дисперсии (1.1) соответствует уравнение динамики поля световой волны вида [7] 3 0 1 3 0 NE E E + a = z c t t , (1.2) где E – напряженность электрического поля, z – направление распространения волны, t – время. Анализ движения средних параметров импульсов, динамика поля которых описывается уравнени- ем (1.2), проведем для входного импульса вида 2 2 0 0 0 /t t t E = E e t , (1.3) где E0 – амплитуда, t0 – длительность импульса. На рис. 1 иллюстрирован всплеск электромагнитного поля (1.3), представляющий собой лишь одно его полное колебание, и спектр импульса. Такие однопери- одные импульсы устойчиво получают, например, в терагерцовом спектральном диапазоне [8, 9]. 0 1/t0 , отн. ед. g, отн. ед.Е, отн. ед. –t0 0 t0 t, отн. ед. Рис. 1. Поле и спектр однопериодного импульса Движение центра тяжести импульса Рассмотрим зависимость от координаты z момента распределения поля E первого порядка [10] 21 + t = tE dt W , (2.1) где 2 + W = E dt – энергия импульса. Найдем d t dz , для этого продифференцируем (2.1) по z, заменив dE dz из волнового уравнения (1.2) и полагая 0, 0 1, t ± n t ± n E E ,n t (2.2) получим 2 0 1 3 2 Nd t E = + a dt dz c t . (2.3) Используя (1.2) и (2.2), можно показать, что производная (2.3) по координате z равна нулю, т. е. выражение (2.3) является интегралом движения уравнения (1.2). Тогда можно заменить распределение поля E на начальное (1.3) и, произведя упрощения, получить для однопериодного на входе в среду им- пульса выражение для скорости его движения в среде вида 1 0 2 0 91 a cd t = N + dz c t . (2.4) Эволюция длительности импульса Под длительностью импульса в работе будет пониматься квадратный корень из центрального мо- мента распределения поля второго порядка [2]
- 3. О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ... Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71) 18 1/2 1/222 1/2 2 2 21 τ = Δt = t t E dt = t t W , (3.1) где 2 2 21 + t = t E dt W – (3.2) момент распределения поля второго порядка. Используя (1.2) и (2.2), можно показать, что первая производная (3.2) по координате z определяет- ся зависящим от z выражением 22 20 1 2 6 + + Nd t E = tE dt + a t dt dz W c W t , (3.3) а вторая производная (3.2) по координате z определяется выражением 2 222 2 2 20 0 1 12 2 2 2 18 12 + + N N ad t E E = + a dt dt W W c tdz c t , (3.4) причем выражение (3.4) не зависит от координаты z, т. е. является интегралом движения уравнения (1.2). С учетом (3.1), а также сохранения величин (2.3) и (3.4) при распространении импульса выраже- ние для квадрата среднеквадратичной длительности импульса можно привести к виду 22 2 2 2 2 2 0 2 0 1 2 d t d t d t τ = τ + z+ z dz dzdz , (3.5) при получении которого полагали 0 0t = (время, в которое центр тяжести импульса проходит плос- кость z = 0), а также ввели обозначение 2 2 1/2 0 0τ = t – длительность импульса на входе в среду. Для однопериодного на входе в среду импульса скорость дисперсионного расплывания определя- ется соотношением 22 2 2 12 4 0 1 1 54 2 d t d t = a dzdz t . (3.6) Заключение В работе получены выражения для скоростей движения центра тяжести и дисперсионного расплы- вания импульсов, содержащих на входе в волноведущую среду лишь одно полное колебание светового поля. Показано, что для таких импульсов эти скорости прямо пропорциональны дисперсионным харак- теристикам волновода и обратно пропорциональны квадрату начальной длительности импульса. Работа поддержана грантами НШ-5707.2010.2 и РНП 2.1.1/4923. Литература 1. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. – М.: Наука, 1979 – 383 с. 2. Ахманов С. А., Выслоух В. А., Чиркин А. С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 312 с. 3. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика – М.: Мир, 1996. – 324 с. 4. Anderson D., Lisak M. Analytic study of pulse broadening in despersive optical fibers // В кн. Physical Review A (Jan 1, 1987) vol. 35, number 1. 5. Козлов С.А., Самарцев В.В. Основы фемтосекундной оптики – М.: Физматлит, 2009. – 292 с. 6. Барсуков В.С., Карасев В.Б., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Дисперсионное расплывание фемтосекундных световых импульсов с континуумным спектром // В кн. Оптические и лазерные технологии – СПб: СПбГУ ИТМО, 2001. – С. 11–17. 7. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах – М.: Наука, 1973. – 176 с. 8. Крюков П. Г. Фемтосекундные импульсы – М.: Физматлит, 2008. – 208 с. 9. Lee Y.-S. Principles of Teraherz Science and Technology – New-York: Springer, 2009. 10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров – М.: Наука, 1968. – 720 с. Капойко Юрий Александрович – Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, kapojko@yandex.ru Козлов Сергей Аркадьевич – Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, декан, kozlov@mail.ifmo.ru