4. to use sequence and series
- 2. ดอกเบี้ยทบต้น คือ การนาดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นไปรวมกับเงินต้น เพื่อนามาเป็นเงินต้นของงวดถัดไป ซึ่งจะเรียก ว่า เงินรวม (Compound Interest)
- 3. รูปแบบของเงินรวม เมื่อเงินต้น P บาท คิดอัตราดอกเบี้ย แบบทบต้นต่องวด i % คิดทั้งหมด n งวด ดังนี้ เงินรวมสิ้นงวดที่ 1 คือ 𝑨 𝟏 = 𝐏 + 𝐏𝐢 = 𝐏(𝟏 + 𝐢) เงินรวมสิ้นงวดที่ 2 คือ 𝑨 𝟐 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 + 𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝐢 = 𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝟐 เงินรวมสิ้นงวดที่ 3 คือ 𝑨 𝟑 = 𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝟐+𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝐢 = 𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝟑 เงินรวมสิ้นงวดที่ n คือ 𝑨 𝒏 = 𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝒏−𝟏 +𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝐢= 𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝐧 สูตรการหาเงินรวมแบบดอกเบี้ยทบต้น คือ 𝐀 = 𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝐧
- 4. สูตรการหาเงินรวมแบบดอกเบี้ยทบต้น คือ 𝐀 = 𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝐧 เมื่อ A แทนเงินรวมทั้งหมด P แทนเงินต้น i แทนอัตราดอกเบี้ยต่องวด n แทนจานวนงวดที่คิดดอกเบี้ยทบต้น
- 5. ตัวอย่างที่ 1 ชะเอมฝากเงินกับธนาคารเป็นจานวนเงิน 50,000 บาท ซึ่งธนาคาร ให้อัตราดอกเบี้ย 2.5 % ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 3 เดือน เมื่อเวลา ผ่านไป 2 ปี ชะเอมจะได้รับดอกเบี้ยทั้งหมดเท่าไร วิธีทา จากโจทย์กาหนด P = 50,000 , i = 𝟐.𝟓% 𝟒 = 0.625% , n = 8 งวด A = P(1 + i)n จากสูตร A = 50,000 1 + 0.625 100 8 = 50,000 1 + 0.00625 8 ≈ 52,555.38 ดังนั้น เมื่อฝากเงินครบ 2 ปี ชะเอมจะได้รับดอกเบี้ยทั้งหมดประมาณ 52,555.38 − 50,000 = 2,555.38 บาท
- 6. ตัวอย่างที่ 2 แอมฝากเงินกับธนาคารเป็นจานวนเงิน 100,000 บาท เมื่อเวลา ผ่านไป 2 ปี แอมได้ตรวจสอบเงินในบัญชีแล้วพบว่า ในบัญชีมีเงินประมาณ 106,152.02 บาท ถ้าธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 4 เดือน อยาก ทราบว่าธนาคารให้อัตราดอกเบี้ยเท่าไรต่อปี วิธีทา จากโจทย์กาหนด P = 100,000 , A = 106,152.02 , n = 6 งวด A = P(1 + i)n จากสูตร 106,152.02 = 100,000 1 + i 6 1 + i 6 = 1.0615 1 + i ≈ 1.0100 ดังนั้น ธนาคารให้อัตราดอกเบี้ยประมาณ 0.0100 x 3 x 100% = 3% i ≈ 0.0100
- 8. มูลค่าของเงิน เมื่อเวลาเปลี่ยน ค่าของเงินจะมีการเปลี่ยนแปลง (Value of Money) แบ่งเป็น – มูลค่าปัจจุบัน (present value) – มูลค่าอนาคต (future value) เช่น นักเรียนซื้อเครื่องคิดเลขราคา 1,000 บาท ถ้านักเรียน จ่ายตอนสิ้นเดือน จะต้องจ่ายเงิน 1,100 บาท ซึ่งเงิน 1,000 บาท จะเรียกว่า มูลค่าปัจจุบัน และเงิน 1,100 บาท จะเรียกว่า มูลค่าอนาคต
- 9. แสดงมูลค่าของเงิน ณ เวลาใด ๆ ด้วย เส้นเวลา 100 100 100 100 100 . . . 100 เวลา 0 1 2 3 4 n. . . สิ้นปีที่ 0 หรือต้นปีที่ 1 สิ้นปีที่ 1 หรือต้นปีที่ 2 สิ้นปีที่ 2 หรือต้นปีที่ 3 สิ้นปีที่ n ตัวเลขด้านบนแสดงถึงจุดสิ้นสุดของเวลา(งวด)ที่เกี่ยวข้อง ตัวเลขด้านล่างแสดงถึงมูลค่าของเงินที่เกิดขึ้น ณ เวลานั้น หมายเหตุ งวดเวลาจะเป็นปี เดือน หรือวัน ก็ได้
- 10. พิจารณาข้อความดังนี้ ทรายฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่งจานวน 15,000 บาท ซึ่งธนาคารให้อัตราดอกเบี้ย 1.8% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นทุกปี เป็นระยะ เวลา 4 ปี เมื่อฝากเงินครบ 1 ปี จะมีเงินรวมเท่ากับ 15,000(1+0.018) = 15,270 บาท เมื่อฝากเงินครบ 2 ปี จะมีเงินรวมเท่ากับ 15,000(1 + 0.018)2 = 15,544.86 บาท เมื่อฝากเงินครบ 3 ปี จะมีเงินรวมเท่ากับ 15,000(1 + 0.018)3= 15,824.67 บาท เขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างมูลค่าปัจจุบันกับมูลค่าอนาคตได้ ดังนี้ 𝐅𝐕 = 𝐏𝐕(𝟏 + 𝐢) 𝐧 เมื่อ FV แทนมูลค่าอนาคต PV แทนมูลค่าปัจจุบัน i แทนอัตราดอกเบี้ยต่องวด n แทนจานวนงวดเวลา หรือ 𝐏𝐕 = 𝐅𝐕 𝟏 + 𝐢 −𝐧
- 11. ตัวอย่างที่ 1 ป่านฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่งซึ่งให้อัตราดอกเบี้ย 2.5% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 6 เดือน ถ้าป่านต้องการให้มีเงินในบัญชี 250,000 บาท ในอีก 4 ปีข้างหน้า ป่านต้องฝากเงินต้นเท่าไร วิธีทา จากโจทย์กาหนด FV = 250,000 , i = 𝟐.𝟓% 𝟐 = 1.25% , n = 8 งวด เขียนเส้นเวลาแสดงจานวนเงินฝาก ดังนี้ 250,000(1 + 0.0125)−8 . . . 250,00 0 1 2 3 8 PV = FV(1 + i)−n จากสูตร PV = 250,000 1 + 0.0125 −8 ≈ 226,349.61 จะได้ ดังนั้น ป่านต้องฝากเงินต้นประมาณ 226,349.61 บาท
- 12. ตัวอย่างที่ 2 เอกเป็นสมาชิกของสหกรณ์ออมทรัพย์และได้กู้เงินจากสหกรณ์ ออมทรัพย์จานวน 2 ยอด ซึ่งยอดแรกต้องชาระคืน 28,654.56 บาท ในอีก 2 ปี ข้างหน้า และยอดที่สองต้องชาระคืน 39,267.27 บาท ในอีก 3 ปีข้างหน้า ถ้า สหกรณ์ออมทรัพย์คิดอัตราดอกเบี้ย 6.9 % ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 4 เดือน ให้หาจานวนเงินทั้งหมดที่เอกกู้จากสหกรณ์ออมทรัพย์ วิธีทา จากโจทย์กาหนด เวลา 2 ปี : FV = 28,654.56 , I = 6.9% , n = 6 งวด เวลา 3 ปี : FV = 39,267.27 , I = 6.9% , n = 9 งวด 28,654.56(1 + 0.023)−6 39,267.27 0 1 2 3 28,654.56 39,267.27(1 + 0.023)−9
- 13. ยอดที่ 1 เนื่องจาก FV = 28,654.56 , i = 𝟔.𝟗% 𝟑 = 2.3% = 0.023 , n = 6 งวด PV = FV(1 + i)−nจากสูตร PV = 28,654.56 1 + 0.023 −6 ≈ 25,000 จะได้ ดังนั้น เอกกู้เงินจากสหกรณ์ออมทรัพย์ทั้งหมดประมาณ 25,000 + 32,000 = 57,000 บาท ยอดที่ 2 เนื่องจาก FV = 39,267.27 , i = 𝟔.𝟗% 𝟑 = 2.3% = 0.023 , n = 9 งวด PV = FV(1 + i)−nจากสูตร PV = 39,267.27 1 + 0.023 −9 ≈ 32,000 จะได้
- 15. ค่ารายงวด หมายถึง การจ่ายเงินหรือฝากเงินเป็นงวด ๆ ติดต่อกันหลายงวด (Annuity) แต่ละงวดมีระยะเวลาห่างเท่า ๆ กัน เช่น การซื้อสินค้าเงินผ่อน การออมเงินแบบฝากประจากับธนาคาร
- 16. มูลค่าในอนาคตของค่ารายงวดสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณี คือ 1. ค่ารายงวด ณ ตอนปลายงวด หมายถึง มูลค่ารวมในอนาคตของ ค่ารายงวด ซึ่งเท่ากับผลรวมของค่ารายงวดแต่ละงวด ทบต้นด้วย ดอกเบี้ยตามระยะเวลา เขียนเส้นเวลาแสดงค่ารายงวด ณ ตอนปลายงวดได้ ดังนี้ A A A 0 1 2 n. . . A n-1 A(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟐 A(1+i) ... A(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟏
- 17. เงินปลายงวดที่ 1 คิดดอกเบี้ยทบต้น n-1 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ 𝐀(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟏 เงินปลายงวดที่ 2 คิดดอกเบี้ยทบต้น n-2 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ 𝐀(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟐 เงินปลายงวดที่ 3 คิดดอกเบี้ยทบต้น n-3 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ 𝐀(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟑 เงินปลายงวดที่ n คิดดอกเบี้ยทบต้น 0 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ 𝐀 เงินรวมทั้งหมด A + A(1+i) + + + . . . +A(1 + i)2 A(1 + i)3 A(1 + i)n−1 สรุป สูตรเงินรวมทั้งหมด =𝐅𝐕𝐀 𝐧 = เมื่อ FVAn แทนเงินรวมทั้งหมดเมื่อสิ้นงวดที่ n A แทนจานวนเงินที่ได้รับหรือจ่ายแต่ละงวด i แทนอัตราดอกเบี้ยต่องวด n แทนจานวนงวดเวลา 𝐀 𝟏− 𝟏+𝐢 𝐧 𝟏−(𝟏+𝐢) A (𝟏+𝐢) 𝐧−𝟏 𝐢
- 18. ตัวอย่างที่ 1 เปาวลีฝากเงิน 3,000 บาท กับธนาคารแห่งหนึ่งทุกสิ้นเดือนเป็นเวลา 2 ปี ซึ่งธนาคารให้อัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือน เมื่อสิ้นปีที่ 2 เปาวลีจะได้รับเงินทั้งหมดเท่าไร วิธีทา จากโจทย์กาหนด P = 3,000 , i = 3 12 x 100 = 0.0025 , n = 24 งวด เขียนเส้นเวลาแสดงจานวนเงินรวมทั้งหมดเมื่อสิ้นปีที่ 2 ได้ ดังนี้ 3,000 0 1 2 24 . . . 23 3,000(1.0025)22 3,000(1.0025) ... 3,000 3,000 3,000 3,000(1.0025)23 จะได้ FVA24 = 3,000 + 3,000 1.0025 + + … +3,000(1.0025)2 3,000(1.0025)23 ดังนั้น FVAn = ≈ 74,108.453,000 (1.0025)24 −1 0.0025 นั่นคือ เมื่อสิ้นปีที่ 2 เปาวลีจะได้รับเงินทั้งหมดประมาณ 74,108.45 บาท . . .
- 19. 2. ค่ารายงวด ณ ตอนต้นงวด หมายถึง มูลค่ารวมในอนาคตที่เกิดขึ้น ณ ตอนต้นงวด โดยจะเกิดขึ้นเร็วกว่ากรณีที่เกิด ณ ตอนปลายงวด มีผลทาให้ค่ารายงวดมีการทบต้นดอกเบี้ยเพิ่มขึ้นอีก 1 งวด เขียนเส้นเวลาแสดงค่ารายงวด ณ ตอนต้นงวดได้ ดังนี้ A A 0 1 2 n. . . A n-1 A(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟐 A(1+i) ... A(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟏 A A(𝟏 + 𝐢) 𝐧
- 20. เงินต้นงวดที่ 1 คิดดอกเบี้ยทบต้น n ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ 𝐀(𝟏 + 𝐢) 𝐧 เงินต้นงวดที่ 2 คิดดอกเบี้ยทบต้น n-1 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ 𝐀(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟏 เงินต้นงวดที่ 3 คิดดอกเบี้ยทบต้น n-2 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ 𝐀(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟐 เงินต้นงวดที่ n คิดดอกเบี้ยทบต้น 1 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ 𝐀(𝟏 + 𝐢) เงินรวมทั้งหมด A(1+i) + + + . . . +A(1 + i)2 A(1 + i)3 A(1 + i)n สรุป สูตรเงินรวมทั้งหมด =𝐅𝐕𝐀 𝐧 = เมื่อ FVAn แทนเงินรวมทั้งหมดเมื่อสิ้นงวดที่ n A แทนจานวนเงินที่ได้รับหรือจ่ายแต่ละงวด i แทนอัตราดอกเบี้ยต่องวด n แทนจานวนงวดเวลา 𝐀(𝟏+𝐢) 𝟏− 𝟏+𝐢 𝐧 𝟏−(𝟏+𝐢) A(1+i) (𝟏+𝐢) 𝐧−𝟏 𝐢
- 21. ตัวอย่างที่ 2 คีตาฝากเงิน 10,000 บาท กับธนาคารแห่งหนึ่งทุกต้นปี ซึ่งธนาคาร ให้อัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี ให้หาเงินรวมทั้งหมด ของคีตาเมื่อสิ้นปีที่ 4 วิธีทา จากโจทย์กาหนด P = 10,000 , i = 3 100 = 0.03 , n = 4 งวด เขียนเส้นเวลาแสดงจานวนเงินรวมทั้งหมดเมื่อสิ้นปีที่ 2 ได้ ดังนี้ 0 1 2 10,000(1.03)2 10,000(1.03) จะได้ FVA4 = 10,000 1.03 + + + ดังนั้น FVA4 = ≈ 43,091.3610,000 1.03 (1.03)4 −1 0.03 นั่นคือ เมื่อสิ้นปีที่ 4 คีตาจะได้เงินรวมทั้งหมดประมาณ 43,091.36 บาท 10,000 3 4 10,000 10,000 10,000 10,000(1.03)3 10,000(1.03)4 10,000 1.03 2 10,000(1.03)3 10,000(1.03)4