aljb-boole-new.ppt

GERBANG LOGIKA
DAN ALJABAR BOOLEAN

Aljabar Boolean
 Bekerja dengan dua keadaan: (switching algebra)
 Menggunakan variabel Boolean (x, y, dll) u/ menyatakan
sebuah input / output rangkaian.
 Variabel hanya mempunyai dua nilai (0, 1)
 X = 0 atau X = 1
 Simbul ini bukan bilangan biner, hanya representasi 2 -
keadaan variabel Boolean.
 Juga bukan nilai tegangan listrik, walaupun nilai ini mengacu
pada nilai tegangan rendah dan tinggi di input / output
rangkaian.

Jadi, nilai 0 dan 1 bukan menyatakan bilangan, tapi hanya
menyatakan keadaan variabel tegangan, atau disebut tingkat logika
(logic level).
Suatu tegangan dalam sebuah rangkaian digital, dapat dikatakan
bernilai logika 0 atau 1, tergantung atas nilai aktual tegangan
tersebut. Misalnya :
0 : nilai tegangan 0 – 0,8 Volt
1 : nilai tegangan 2 – 5 Volt
Konstanta dan Variabel Boolean
0 – 0,8 V
2 – 5 V Logika : 1
Logika : 0
Volt

Konstanta dan Variabel Boolean
 Nilai logika 0 dan 1 sering dinyatakan dengan istilah lain:
Logika 0 Logika 1
False True
Off On
Low Hight
No Yes
Open switch Closed switch

Variabel dan fungsi Boolean
 Elemen biner yang sangat sederhana adalah saklar (switch)
yang memiliki 2 keadaan.
 Jika saklar dikontrol dgn x, misal saklar terbuka jika x = 0 dan
tertutup jika x = 1.
X = 0 X = 1
Saklar dgn 2-keadaan
Simbol saklar yg dikontrol oleh X
S
X
S S

Variabel dan fungsi Boolean
 Misalkan, sebuah saklar mengontrol
sebuah bola lampu (L)
- keluaran didefinisikan sebagai
keadaan nyala lampu L, yaitu:
* jika menyala : L = 1
* jika padam : L = 0
 Keadaan lampu L, sebagai fungsi
dari x (ditentukan oleh X):
- L(x) = x
 L(x) disebut sebagai sebuah fungsi
 x sebagai variabel input (masukan)

Variabel dan fungsi : AND
 Pandang, dua saklar mengontrol keadaan nyala lampu L.
 Gunakan hubungan seri, lampu akan menyala hanya jika kedua
saklar menutup (closed),
- L (x1, x2) = x1 • x2
- L = 1 jika dan hanya jika x1 AND x2 adalah 1
Rangkaian listrik mengimplementasikan fungsi
logika AND (saklar hubung seri)
Tanda “•” adalah lambang
operator AND :
x1 • x2 = x1x2

Variabel dan fungsi : OR
 Gunakan saklar hubungan paralel untuk mengontrol lampu L.
 L akan menyala hanya jika salah satu atau kedua saklar menutup:
- L (x1, x2) = x1 + x2
- L = 1 jika x1 OR x2 adalah 1 (atau kedua-duanya).
logika OR (saklar hubung paralel)
Tanda “+” adalah lambang
operator OR.

Variabel dan fungsi
 Kombinasi saklar hubungan seri-paralel dapat merealisasikan
bermacam-macam fungsi. Misalkan fungsi
L (x1, x2, x3) = (x1 + x2) • x3
dapat diimplementasikan sebagai berikut.
 Bagaimana fungsi logika berikut jika diimplementasikan dengan
diagram saklar?
L (x1, x2, x3, x4) = (x1 • x2) + (x3 • x4)

Variabel dan fungsi : inverse / NOT
 Perhatikan, apa yg terjadi pada rangkaian listrik berikut.
Apa yg terjadi ketika saklar dalam keadaan terbuka?
- L(x) = x
- Dimana L = 1 jika x = 0 dan L = 0 jika x = 1
 Dalam hal ini, L(x) adalah kebalikan (atau komplemen) dari x.
logika NOT
x, x’ adalah lambang
operator NOT untuk x

Dari uraian terdahulu dapat disimpulkan ada 3 operasi
logika dasar, yaitu :
1.Operasi OR (OR operation), simbol tanda plus (+)
2.Operasi AND (AND operation), simbol tanda kali (.)
3.Operasi NOT (NOT operation), simbol batang-atas (¯,’)
Logika AND, OR dan NOT

Logika AND, OR dan NOT
 Operasi dasar logika AND, OR, NOT
Tabel kebenaran OR
Tabel keneran operasi AND
Tabel kebenaran NOT
0
1
1
0
X
X

Gerbang logika (logic gate)
 Setiap operasi dasar: AND, OR, NOT dapat
diimplementasikan dalam sebuah rangkaian
yang disebut gerbang logika.
 Gerbang logika adalah suatu rangkaian
elektronika yang beroperasi atas satu atau
lebih sinyal input untuk menghasilkan satu
output, yaitu sebagai fungsi dari inputnya.
 Yang dimaksudkan sinyal disini adalah
tegangan atau arus listrik yg mengalir di
sepanjang sistem digital.

Gerbang logika dan operasi dasar
 Gerbang OR
Tabel kebenaran OR
Perhatikan : output = 1
jika salah satu atau
kedua inputnya = 1.

• Gerbang OR 3-input serta tabel kebenaran.
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
x
C
B
A

 Gerbang AND
Tabel keneran operasi AND
Output bernilai 1 jika
semua inputnya 1,
bernial 0 jika ada
inputnya 0.

x = A.B.C = ABC
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
x
C
B
A
A
B
C
x
TK operasi AND dengan tiga input:

o Gerbang NOT
Gerbang NOT hanya mempunyai satu input.
A
A x = Ā
x = Ā, dibaca “x sama dengan
NOT A” atau “x sama dengan
komplemen A”
Tabel kebenaran
0
1
1
0
Ā
A

Gerbang logika – chip (keping IC)
 Dalam praktenya, gerbang logika dibuat
dalam rangkaian terintegrasi (IC). Contoh
kemasan gerbang OR, AND, NOT.

Aljabar Boolean
 Aljabar Bolean adalah aljabar yang
berurusan dengan dengan variabel-
variabel biner dan operasi logika.
 Variabel-variabel biner ditunjukkan
dengan huruf abjad, dan tiga operasi
logika dasar AND, OR dan NOT.

Fungsi Boolean
 Fungsi Boolean adalah suatu pernyataan
aljabar yang dibentuk dengan variabel biner,
operator AND, OR dan NOT, tanda kurung
dan sama dengan.
 Fungsi Boolen dapat dinyatakan dalam
bentuk:
 Pernyataan secara aljabar
 Tabel kebenaran
 Diagram logika (implementasi dgn
gerbang)

Fungsi Boolean
1. Fugsi Boolean dalam bentuk aljabar
Misalnya seperti fungsi berikut.
F = X + YZ
Fungsi F akan bernilai 1 jika X = 1 atau Y
= 0 dan Z = 1, selain itu F = 0.
Contoh lain sbb:
F = BC + AC + AB + ABC

Fungsi Boolean
2. Fungsi Boolean dalam tabel kebenaran
(TK)
Tk berikut memperlihatkan fungsi
F = X + YZ

Fungsi Boolean
3. Fungsi Boolean dalam diagram rangkaian
logika
Fungsi Boolean dapat ditransformasikan
dari ekspresi aljabar ke dalam suatu
diagram yang menggunakan gerbang-
gerbang logika.
Misal fungsi F = X + YZ, rangkaian
logikanya adalah sbb.

Fungsi Boolean
LATIHAN
Nyatakan fungsi Boolean berikut ke dalam tabel
kebenaran dan diagram logika dengan gerbang AND, OR,
NOT.
a) f = x’y’z + x’yz + xy’
b) y = AC + BC’ + A’BC
c) z = (A + B)(C + D)(A’ + B + D)
d) x = (AB + A’B’)(CD’ + C’D)
Tip : Untuk mewakili fungsi Boolean dengan TK diperlukan 2n
kombinasi 0 dan 1 yang berbeda untuk n buah variabel biner.

Evaluasi keluaran rangkaian logika
Misal diketahui rangkaian berikut.
Jika nilai input A = 0, B = 1, C = 1, D = 1, tentukan nilai
keluaran rangkaian.
A = 0
B = 1
C = 1
D = 1
x = 0
0
1
1
1
Keluaran rangkaian di atas, juga dapat ditentukan melalui
pernyataan aljabar Boolea dari keluaran x.
x = A’BC(A + D)’

Evaluasi keluaran rangkaian logika
x = A’BC(A + D)’
A = 0, B = 1, C = 1, D = 1
Aturan umum evaluasi pernyataan Boolean:
1. Pertama lakukan operasi NOT
2. Lakukan operasi dalam kurung
3. Lakukan operasikan AND sebelum operasi OR
4. Jika pernyataan mempunyai operasi batang di atasnya (¯),
lakukan operasi awal kemudian balik hasilnya.
x = A’BC(A + D)’
= 0’ . 1 . 1 . (0 + 1)’
= 1 . 1 . 1 . (1)’
= 1 . 0
= 0
Contoh di atas:

Menuliskan pernyataan aljabar dari diagram logika
A
B
C
D
A’
A’BC
A+D (A+D)’
x = A’BC(A+D)’
= ?
Tuliskan pernyataan aljabar dari rangkaian logika berikut.

Menuliskan pernyataan aljabar dari
diagram logika - lanjtn
Tuliskan pernyataan aljabar dari rangkaian logika berikut.

Aturan (hukum-hukum) Aljabar Boolean
• Variabel tunggal
Jika x adalah variabel logika yang bernilai 0 dan 1, maka:
1. x . 0 = 0
2. x . 1 = 1
3. x . x = x
4. x . x’ = 0
5. x + 0 = x
6. x + 1 = 1
7. x + x = x
8. x + x’ = 1
• Multivariabel
9. x + y = y + x
10.x . y = y . x
11.x + (y + z) = (x + y) + z
= x + y + z
12.x(yz) = (xy)z = xyz
13.a) x (y + z) = xy + xz
13.b) (w + x)(y + z)
= wy + wz + xy + xz
14. x + xy = x
15. x + y.z = (x + y)(x + z)
(9, 10): hkm komutatif, (11, 12): hkm asosiatif, (13.a,b) : hkm distributif

Aturan (hukum-hukum) aljabar Boolean - lanjtn
• Aturan Demorgan
16. x + y = x . y
17. x . y = x + y
Aturan-aturan aljabar Boolean digunakan untuk
menyederhanakan fungsi Boolean dan diagram
logika.

Metode penyederhanaa fungsi Boolean
Pada fungsi yang rumit, terdapat jenis operasi yang dapat
disederhanakan. Penyederhanaan dimaksudkan untuk
dapat memperoleh fungsi yang masih menghasilkan nilai
yang sama dengan jumlah operasi yang minimum. Bentuk
yang terbaik ini dimaksudkan untuk memperoleh :
- biaya minimum dalam pembuatan rangkaian
elektronis, dan
- kinerja yang cepat dalam pengoperasian.
Terdapat tiga cara dalam penyederhanaan fungsi Boolean, yaitu:
1. Cara aljabar
2. Peta Karnaugh (K-map)
3. Metode Quine-McCluskey

Penyederhanaa fungsi Boolean secara aljabar
Karakteristik cara ini:
- Bersifat trail and error, tidak ada pegangan.
- Dalam penyederhanaan menggunakan seluruh aturan
dalam aljabar Boolean
Contoh 1. Sederhanakan z = ABC + ABC’ + AB’C
z = ABC + ABC’ + AB’C
= AB(C + C’) + AB’C
= AB + AB’C
= A(B + B’C)
= A [(B + B’)(B + C)]
= A(B + C) = AB + AC
Kedua eksprsi logika
ini adalah ekivalen.
Artinya keduanya
memiliki keluaran yg
sama dalam tabel
kebenaran.

Penyederhanaa fungsi Boolean secara
aljabar
 Implementasi fungsi dg gerbang
 Berdasarkan gambar di atas, implementasi gambar b)
lebih sederhana dari pada a), karena jumlah gerbang yg
terlibat lebih sedikit.

Penyederhanaa fungsi Boolean secara aljabar
Contoh 2. Sederhanakan z = AB(A + BC)
z = AB(A + BC)
= AB (A . BC)
= A.A.B(B + C)
= AB(B + C)
= A.BB + ABC
= A.0 + ABC
= ABC
A
B
C
z
Bandingkan: (a) dan (b)
C
B
A
z = ABC
(a)
(b)

Penyederhanaan fungsi Boolean secara aljabar
LATIHAN
A. Sederhanakan :
1. Z = (A’ + B)(A + B)
2. Z = (A’ + B)(A + B + D)D’
3. Z = (B + C’)(B’ + C) + A + B + C
4. F = X’YZ + X’YZ’ + XZ
B. Buktikan identitas fungsi x’y’ + xy + x’y = x’ + y

Suatu variabel biner dapat berupa bentuk normal
(x) atau dalam bentuk komplemennya (x’).
Variabel biner : x
x (bentuk normal)
x (bentuk komplemen)
Bentuk Kanonik

Bentuk Kanonik
• Pandang variabel x dan y yang digabungkan dengan operator
AND. Berarti ada empat kemungkinan
x y
x y
x y
x y
Keempat suku AND ini disebut
sebagai sukumin (minterm)
• Sekarang bila x dan y digabungkan dengan operator OR
x + y
x + y
x +y
x + y
Keempat suku OR ini disebut
sebagai sukumax (maxterm)

Bila sukumin dan sukumax tersebut ditabelkan :
M3
x’ + y’
m3
x y
1
1
M2
x’ + y
m2
x y’
0
1
M1
x + y’
m1
x’ y
1
0
M0
x + y
m0
x’ y’
0
0
NAMA
SUKU
NAMA
SUKU
y
x
SUKUMIN SUKUMAX
Terlihat bahwa: SUKUMIN = SUKUMAX
Bentuk Kanonik

Daftar sukumin dan sukumax untuk tiga variabel Boolean:
M7
x’ + y’ + z’
m7
xyz
1
1
1
M6
x’ + y’ + z
m6
xyz’
0
1
1
M5
x’ + y + z’
m5
xy’z
1
0
1
M4
x’ + y + z
m4
xy’z’
0
0
1
M3
x + y’ + z’
m3
x’yz
1
1
0
M2
x + y’ + z
m2
x’yz’
0
1
0
M1
x + y + z’
m1
x’y’z
1
0
0
M0
x + y + z
m0
x’y’z’
0
0
0
NAMA
SUKU
NAMA
SUKU
z
y
x
SUKUMIN SUKUMAX
Bentuk Kanonik

Dari uraian terdahulu fungsi Boolean juga dapat diwakili oleh suatu
tabel kebenaran. Pandang fungsi Boolean F dalam TK berikut.
x y z F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
x’ y’ z
x y z
x y’ z’
Fungsi F ditulis dalam bentuk
jumlah-sukumin:
F = x’ y’ z + x y’ z’ + x y z
= m1 + m4 + m7
Atau dalam bentuk notasi singkat:
F(x, y, z) = Σ(1, 4, 7)
Lambang penjumlahan Σ
menyatakan peng-OR-an suku-
sukunya, sedangkan bilangan
dalam kurung menunjukkan
nomor sukumin.
Bentuk Kanonik

Jika diambil komplemen F:
F = x y z + x y z + x y z + x y z + x y z
F = x y z + x y z + x y z + x y z + x y z
F = x y z . x y z . x y z . x y z . x y z
= (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)
= M0 M2 M3 M5 M6
= M0 M2M3M5M6 atau dalam bentuk notasi hasil kali sukumax:
F(x, y, z) = ∏(0, 2, 3, 5, 6)
Lambang hasil-kali ∏ menyatakan peng-AND-an suku-sukunya
Kesimpulan : fungsi Boolean yang dinyatakan dalam bentuk
jumlah-sukumin atau hasil-kali sukumax disebut bentuk kanonik.
Bentuk Kanonik

Jumlah sukumin
Kadang-kadang lebih memudahkan untuk menyatakan fungsi
Boolean dalam jumlah sukuminnya. Jika tidak tersedia dalam bentuk
itu, dapat dibentuk dengan cara berikut:
- Uraikan f Boolean menjadi jumlah suku AND
- Periksa tiap suku apakah mengandung semua variabel, jika
belum lengkap : AND-kan dengan x + x
Contoh 1. Nayatakan F = A + BC kedalam jumlah sukumin
A = A . 1 = A (B + B’) = AB + AB’ = AB (C + C’) + AB’ (C + C’)
= ABC + ABC’ + AB’C + AB’C’
B’C = B’C (A + A’) = AB’C + A’B’C
F = A + B’C = ABC + ABC’ + AB’C + AB’C’ + A’B’C
= m7 + m6 + m5 + m4 + m1
Atau F(A, B, C) = Σ(1, 4, 5, 6, 7)

Hasil kali sukumax
Jika fungsi Boole tidak tersedia dalam bentuk hasil-kali sukumax,
dapat dibentuk dengan cara berikut:
- Uraikan f Boolean menjadi suku OR
- Bagi variabel yang hilang dalam setiap suku OR, OR-kan
dengan x x’
Contoh 1. Nayatakan F = x y + x’ z kedalam hasilkali sukumax
F = x y + x’ z = (x y +x’)(x y + z) = (x + x’)(y + x’)(x + z)(y + z)
= (y + x’)(x + z)(y + z)
(y + x’) = y + x’ + zz’ = (x’ + y + z)(x’ + y + z’)
(x + z) = x + z + yy’ = (x + y + z)(x + y’ + z)
(y + z) = xx’ + y + z = (x + y + z)(x’ + y + z)
Jadi, F = (x’ + y + z)(x’ + y + z’) (x + y + z) )(x + y’ + z)
= M4 M5 M0 M2
= M0 M2 M4 M5
Atau dalam notasi singkat:
F(x, y, z) = ∏(0, 2, 4, 5)

Perubahan bentuk kanonik
Secara umum, untuk mengubah salah satu bentuk kanonik ke
bentuk kanonik yang lain, pertukarkan lambang Σ dengan ∏ dan
tulislah semua bilangan yang hilang dari bentuk aslinya, dan
sebaliknya.
Misalnya untuk fungsi:
F(x, y, z) = ∏(0, 2, 4, 5) diubah kedalam bentuk jumlah
sukumin:
F(x, y, z) = Σ(1, 3, 6, 7)
Disini harus disadari bahwa, banyaknya sukumin atau sukumax
untuk n variabel adalah 2n.

LATIHAN
I. Nyatakan fungsi berikut kedalam bentuk jumlah-
sukumin dan hasilkali-sukumax.
1. f(A, B, C) = (A’ + B)(B’ + C)
2. h(x, y, z) = x’ + y z’
3. f(A, B, C) = A’B + AC
II. Ubah fungsi berikut kedalam bentuk kanonik yang lain.
4. F(x, y, z) = Σ(1, 3, 7)
5. f(A, B, C, D) = ∏(0, 2, 6, 11, 13, 14)

Penyederhanaan menggunakan K-map mempunyai
karakteristik berikut:
- Mengacu pada diagram Venn
- Menggunakan bentuk-bentuk K-map
K-map digambarkan dengan kotak bujur sangkar. Setiap
kotak merepresentasikan sebuah sukumin (minterm).
Jumlah kotak dan sukumin tergantung pada jumlah
variabel dari fungsi Boolean.
Penyederhanaan fungsi Boolean
dengan Peta Karnaugh (K-map)

1. Penyusunan peta Karnaugh
• K-map dua variabel
A’B’
A’B
AB
AB’
m0
m1
m2
m3
Ada 22 = 4 sukumin (ada empat segiempat)
Penyederhanaan fungsi Boolean dengan
peta Karnaugh (K-map)

 K-map tiga variabel
m0 m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
m0 = A’B’C’
m1 = A’B’C
m6 = ABC’
1 1 02 = 610
Perhatikan tiap pergerakan
satu segi-4 ke segi-4 yang
lain di sebelahnya hanya satu
variabel (0 / 1) yang berubah !

 K-map empat variabel
m0 m1
m4 m5
m15
m8 m9 m11 m10
Ada 24 = 16 segi
empat (sukumin)
dalam K-map

 K-map lima variabel
Pembatas (cermin)

2. Memplot 0 dan 1
0
F
Ubah tiap sukumin ke
biner setaranya, dan
tanda 1 diberikan di
segiempat yang
sesuai.

3. Menggabungkan “1” yang letaknya bersebelahan, membentuk
yg namanya: pasangan, kuad, oktet.
a. Pasangan (dua buah “1” bersebelahan)
Perhatikanlah: setiap satu pasangan
menghapuskan satu varibel.

b. Kuad (quad) (empat buah “1” bersebelahan)
Perhatikanlah: setiap kuad
menghapuskan dua varibel.

c. Oktet (delapan “1” bersebelahan)
Perhatikanlah: setiap oktet
menghapuskan tiga varibel.

Langkah :
1. Susun peta Karnaugh sesuai jumlah variabel fungsi.
2. Lingkari “1” yang bersebelahan sebanyak-banyaknya
sehingga menghasilkan: oktet, kuad, atau pasangan.
3. Tentukan suku-suku yang dihasilkan oleh: oktet, kuad,
atau pasangan.
4. Tulis persamaan fungsi Boolean dengan meng-OR-
kan suku yang dihasilkan oleh: oktet, kuad, atau
pasangan.
dengan peta Karnaugh (K-map)

Contoh 1.
Berbagai cara melingkari oktet, kuad, atau pasangan.
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
C’
A’CD’
B’CD’
F = C’ + A’CD’ + B’CD’
• Alternatif 1
dengan peta Karnaugh (K-map)

 Alternatif 2
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
C’
AB’D’
A’D’
F = C’ + A’D’ + AB’D’

 Alternatif 3
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
C’
B’D’
A’D’
F = C’ + A’D’ + B’D’ (pilihan terbaik)

Contoh 1.
Sederhanakan fungsi berikut dengan K-map
F = A’B’C’ + A’B’C + A’BC + A’BC’ + ABC + ABC’
A’
B
F = A’ + B

Contoh 2
Sederhanakan dengan K map.
F =
ABD
C’D’
CD
F = C’D’ + CD + ABD
Bandingkan hasil ini
dengan fungsi aslinya.

Contoh 3.
f(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 4, 5, 7, 12, 13, 15)
Struktur K map:
A’C’
BC’
BD
A’D
f(A, B, C, D) = A’C’ + A’D + BC’ + BD
Penggabungan “1” bersebelahan :

Contoh 4.
f(A,B,C,D, E) = Σm(0,2,4,6,9,11,13,15,17,21,25,29,31)
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
Hasilnya: f = BE + AD’E + A’B’E’

LATIHAN
Selesaikan fungsi Boolean berikut dengan K-map
1) f
2) f(x, y, z) = Σm(0, 2, 4, 5, 6)
3) f(w, x, y, z) = Σm(0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14)
4) f(a, b, c, d) = Σm(0, 4, 6, 7, 12, 13, 14, 15)
5) f(w, x, y, z) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13,
14)
6) F(A,B,C,D,E) = Σm(0, 1, 4, 5, 16, 17, 21, 25, 29)

• Fungsi Boole sederhana yang diperoleh dengan K-map
pada contoh terdahulu dinyatakan dalam bentuk jumlah
hasilkali.
• Dengan sedikit perubahan dapat diperoleh
penyederhanaan dalam bentuk hasilkali-jumlah.
• “1” yang diletakkan pada segiempat dalam peta mewakili
sukumin fungsi. Jadi, sukumin yang tidak termasuk dalam
fungsi berarti komplemen fungsi tersebut. Misal ditandai
dengan 0.
• Jika segiempat yang bertanda 0 yang bersebelahan
digabungkan, maka diperoleh komplemen sederhana
fungsi, yaitu f’.
• Selanjutnya, komplemen f’ akan menghasilkan f dalam
bentuk hasilkali-jumlah.
Penyederhanaan hasilkali-jumlah

Contoh.
Sederhanakan fungsi f(A,B,C,D) = Σm(0, 1, 2, 5, 8, 9, 10)
dalam jumlah-hasilkali dan hasilkali-jumlah.
Penyederhanaan hasilkali-jumlah
1 1 0 1
0 1 0 0
0 0 0 0
1 1 0 1
CD
AB
BD’
f = AB + CD + BD’
komplemenkan f’ diperoleh:
f = AB + CD + BD’
f = (A’ + B’)(C’ + D’)(B’ + D)
(Ini f dalam bentuk hasilkali-jumlah)
Atau f dalam jumlah-hasilkali:
f = B’D’ + B’C’ + A’C’D

 Keadaan tak-acuh dalah adalah masukan yang tidak dapat
terjadi dalam kondisi operasi normal.
 Misal, pandanglah sandi BCD yang terdiri atas 4-bit: 0000 –
1001, dan bit : 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 tidak mungkin
terjadi selama operasi normal. Inilah yang disebut keadaan tak-
acuh.
 Keadaan tak-acuh dapat digunakan untuk penyederhanaan
fungsi.
 Dalam K-map keadaan tak-acuh biasa ditandai dengan tanda x.
Penyederhanaan dg K-map: keadaan tak acuh (don’t
care)

Contoh 1
Sederhanakan fungsi
f(A,B,C,D) = Σm(0, 2, 5, 9, 15) + d(6, 7, 8, 10, 12, 13)
Penyederhanaan K-map: keadaan tak acuh
(don’t care)
1 1
1 x x
x x 1
x 1 x
BD
AC’
B’D’
Hasil penyederhanaan:
f(A,B,C,D) = AC’ + BD + B’D’
LATIHAN : Sederhanakan fungsi
f(A,B,C,D) = Σm(1, 3, 7, 11, 15) + d(0, 2, 5)

L. Penyederhanaan fungsi Boole dengan Metode
Quine-McCluskey
• Penyederhanaan dengan K-map cukup memudahkan
selama variabel tidak melebihi lima.
• Jika jumlah variabel meningkat, banyaknya segiempat
menjadi berlebihan sehinggan sulit menentukan
segiempat-segiempat yang bersebelahan.
• Kekurangan yang jelas pada K-map adalah karena
metode tersebut adalah cara coba-coba yang
tergantung kepada kemampuan pemakai untuk
mengenali pola-pola tertentu.
• Kesulitan tersebut dapat diatasi dengan Metode Quine-
McCluskey.
• Metode Quine-McCluskey disebut juga metode
tabulasi.

L. Penyederhanaan fungsi Boole dengan Metode
Quine-McCluskey
• Metode tabulasi ini terdiri atas dua bagian, yaitu:
1. Menentukan suku-suku sebagai calon (prime implicant)
2. Memilih prime implicant untuk mendapatkan pernyataan
dengan jumlah literal sedikit.
Contoh 1
Sederhanakan fungsi berikut dengan metode tabulasi.
f(w, x, y, z) = Σ(0, 1, 2, 8, 10, 11, 14, 15)

Penyederhanaan fungsi Boole dengan Metode Quine-
McCluskey
• Langkah pertama: menentukan prime implicant (PI).
a. Kelompokkan perwakilan biner tiap sukumin menurut
jumlah digit ‘1’.
Desimal Biner
0 0000
1 0001
2 0010
8 1000
10 1010
11 1011
14 1110
15 1111
Jumlah digit 1 Desimal
0
1 1, 2, 8
2 10
3 11, 14
4 15

Jadi, tabel kelompok binernya:
McCluskey
w x y z
0 0 0 0 0 √
1 0 0 0 1 √
2 0 0 1 0 √
8 1 0 0 0 √
10 1 0 1 0 √
11 1 0 1 1 √
14 1 1 1 0 √
15 1 1 1 1 √
0,1 0 0 0 -
0,2 0 0 - 0 √
0,8 - 0 0 0 √
2,10 - 0 1 0 √
8,10 1 0 - 0 √
10,11 1 0 1 - √
10,14 1 - 1 0 √
11,15 1 - 1 1 √
14,15 1 1 1 - √
w x y z w x y z
a b c
0,2,8,10 - 0 - 0
0,2,8,10 - 0 - 0
10,11,14,15 1 - 1 -
10,11,14,15 1 - 1 -
Pada kolom c sudah
tadak dapat lagi
dibandingkan. Proses
membandingkan
berakhir ! Suku-suku
tanpa tanda √ adalah PI
yang dicari

• Tabel prime implicant (PI)
McCluskey
√
√
√
√
√
√
√
√
x
x
x
x
10,11,14,15
x
x
x
x
0,2,8,10
x
x
0,1
15
14
11
10
8
2
1
0
X : PI penting
Dari tabel di atas, PI penting telah mencakup /
meliputi semua sukumin dalam fungsi. PI bertanda O
dipilih. Fungsi yang disederhanakan adalah
f = w’x’y’ + x’z’ + wy

McCluskey
Contoh 2
f(w, x, y, z) = Σ(1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15)
Untuk menghindari pekerjaan menjemukan
‘pembandingan’ dilakukan dengan notasi desimal. Dengan
kata lain penentuan PI dilakukan dengan notasi desimal.

Penyederhanaan fungsi Boole dengan Metode Quine-McCluskey
a b c
0001 1 √
0100 4 √
1000 8 √
0110 6 √
1001 9 √
1010 10 √
0111 7 √
1011 11 √
1111 15 √
1,9 (8)
4,6 (2)
8,9 (1) √
8,10 (2) √
6,7 (1)
9,11 (2) √
10,11 (1) √
7,15 (8)
11,15 (4)
8,9,10,11 (1,2)
8,9,10,11 (1,2)
Kolom a: jika bilangan di grup bawah lebih besar dari bilangan di grup atas
dengan suatu 2 pangkat (yaitu: 1, 2, 4, 8, 16, dst) beri tanda √, berarti
keduanya telah terpakai. Dan tulis kedua bilangan itu pada kolom b. Dst...
• Pembandingan grup di
kolom b, hanya pada
bilangan dalam kurung
sama. Hasilnya di kolom c.
• Suku yang tidak bertanda √
adalah prime implicant (PI)
• Pada kolom c, suku muncul
2 kali, karena PI ambil satu
saja.

Daftar prime implicant
1 4 6 7 8 9 10 11 15
x’y’z √ 1,9 x x
w’xz’ √ 4,6 x x
w’xy 6,7 x x
xyz 7,15 x x
wyz 11,15 x x
wx’ √ 8,9,10,11 x x x x
√ √ √ √ √ √ √
X : PI penting, hanya ada satu tanda x pada kolom sukumin.
• Cakupkan semua kolom ke dalam PI penting dan beri tanda √ di
bawah kolom.

• Amati tabel PI, terlihat bahwa PI-penting telah meliputi / mencakup
semua sukumin dalam fungsi, kecuali sukumin 7 dan 15. Keduanya
harus dimasukkan dengan memilih satu atau lebih PI yang
meliputinya. Dalam kasus ini diambil PI : xyz, karena meliputi kedua
sukumin tersebut (7 dan 15).
• Dengan demikian telah diperoleh himpunan prime implicant
minimum yang jumlahnya memberikan hasil fungsi yang
disederhanakan, yaitu:
f = x’y’z + w’xz’ + wx’ + xyz
LATIHAN
f(A, B, C, D) = Σ(0, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15)

Ada dua jenis gerbang logika lain yang sering digunakan
dalam rangkaian logika, yaitu gerbang NOR dan NAND.
Gerbang ini pada dasarnya gabungan operasi gerbang AND,
OR, dan NOT.
• Gerbang NOR
A
B
x = A + B
A
B
x = A + B
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
A + B
A + B
B
A
• Gerbang NAND
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
AB
A B
B
A
A
B
A
B
x = AB
x = AB
Gerbang NOR dan NAND

Gerbang NOR dan NAND
Misal gambar diagram logika: A + BC jika diimlementasikan dengan
gerbang NOR dan NAND saja.
Jika diketahui x = AB ( C + D ), gambar rangkaian dengan
gerbang NOR dan NAND saja.

Rangkaian terintegrasi (interated
circuit)
 Rangkain digital dibangun oleh rangkaian terntegrasi.

circuit)
 Dua teknologi dasar dalam industri IC adalah:
1) Bipolar 2) MOS (metal oxid
semiconductor)
 Keluarga Bipolar
- DTT (diode transistor logic)
- TTL (transistor-transistor logic)
- ECL (emitter-coupled logic)

circuit)
 Keluarga MOS
- PMOS MOSFET (p-Channel MOSFET)
- NMOS MOSFET (n-Channel MOSFET)
- CMOS MOSFET (Complementary
MOSFET)

circuit)
 2 input AND gate

circuit)
 AND / OR gate

circuit)
 NAND gate

circuit)
 NOR gate

aljb-boole-new.ppt

More Related Content

What's hot (20)

Similar to aljb-boole-new.ppt (20)

More from ginamoina (13)

Recently uploaded (20)

aljb-boole-new.ppt