Abstract image of a woman sitting on books and studying on a laptop

Analiza

G
guesta23d9c

Documentul oferă un plan de studiu pentru disciplina de matematică și informatică la Universitatea Spiru Haret, detaliind metodele numerice utilizate pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare și neliniare, interpolare, cuadratură și soluționarea ecuațiilor diferențiale. Se face referire la diverse metode precum Gauss, metoda bisectiei, metode iterative și formule de cuadratură. Bibliografia include lucrări esențiale în domeniu, evidențiind importanța metodologiei numerice în analiza și rezolvarea problemelor matematice.

EducationBusiness
1 of 24
Downloaded 57 times
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI • Metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaŃii liniare: metoda lui Gauss, metoda rădăcinii pătrate, metoda lui Iacobi, metoda Gauss Seidel, metode de relaxare, pseudoinversa unei matrici. • Metode de aproximare a spectrului: metoda rotaŃiilor, metoda puterilor. • Metode numerice de rezolvare a ecuaŃiilor neliniare: principiul contracŃiei, metoda lui Newton, metoda bisectiei. • Interpolare cu polinoame: formula lui Hermite, interpolare cu noduri simple, diferenŃe divizate, interpolare cu funcŃii spline cubice. • Formule de cuadratură: formulele Newton-Côtes, formula trapezului, formula lui Simpson, polinoamele lui Legendre şi formulele lui Gauss, formula lui Hermite, formula lui Romberg. • Metode numerice de rezolvare a ecuaŃiilor diferenŃiale: metoda lui Taylor, metoda lui Euler, metoda Euler-Cauchy, metoda lui Runge-Kutta, consistenŃă, stabilitate, convergenŃă. BIBLIOGRAFIE MINIMALĂ OBLIGATORIE 1. Gh. Grigore, LecŃii de analiză numerică. Editura Universitară Bucureşti, 1990 2. Gh Grigore, Sinteze, Biblioteca virtuala, www.spiruharet.ro 3. Berbente, S. Mitran, S. Zancu, Metode Numerice (Numerical Methods), Editura Tehnica, 1997. 304 pages (in Romanian), http://www.amath.unc.edu/Faculty/mitran/papers/metodenumerice.pdf Subiecte propuse analiza numerica ____ 1. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) nodurile se aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata. ____ 2. Metoda bisectiei converge liniar. ____ 3. Se considera ecuatia Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei. ____ 4. Daca f este un polinom de grad 4 atunci metoda lui Newton-Cotes cu 3 noduri echidistante pe [a,b] va calcula in mod exact integrala
____ 5. Polinomul lui Legendre de grad 3 este ortogonal pe polinomul lui Legendre de grad 4 adica ____ 6. In general metoda de interpolare a lui Lagrange e mai rapida decat metoda de interpolare cu diferente divizate. ____ 7. Metoda bisectiei e intotdeauna mai rapida decat metoda lui Newton. ____ 8. Polinoamul lui Legendre de grad 4 este ortogonal pe adica ____ 9. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) ponderile se aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata. ____ 10. Intotdeauna metoda lui Newton produce un sir de numere care converge catre solutia ecuatiei careia ii aplicam metoda. ____ 11. Se considera ecuatia f(x)=0 cu f continua pe intervalul [a,b] si f(a)f(b)<0. Atunci metoda bisectiei produce un sir ce converge catre una din solutiile ecuatiei de mai sus. ____ 12. Se considera ecuatia Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei. ____ 13. Formulele Newton-Cotes sumate se obtin prin impartirea intervalului de integrare in subintervale de lungime egala, aplicarea formulelor Newton-Cotes pe fiecare subinterval si sumarea rezultatelor obtinute. ____ 14. Daca f este un polinom de grad n atunci metoda lui Newton-Cotes cu n+1 noduri echidistante pe [a,b] va calcula in mod exact integrala
____ 15. Se considera ecuatia Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. In formula de mai sus [x] este partea intreaga a numarului x . Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei. ____ 16. Pentru A= sa se calculeze . ____ 17. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda …… ____ 18. Se da tabelul Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2]. ____ 19. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala Fixam pasul h si consideram formula iterativa: la pasul i unde
Aceasta este metoda …… ____ 20. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel. ____ 21. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 22. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este Care este a doua iteratie? ____ 23. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa . Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara …….. ____ 24. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa . Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara ……. ____ 25. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi. ____ 26. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 2 noduri echidistante 0,2. Conform metodei Newton-Cotes Cat este ?
____ 27. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala Notam . Fixam pasul h si consideram formula iterativa Aceasta este metoda ……… ____ 28. Pentru A= sa se calculeze . ____ 29. Pentru A= sa se calculeze . ____ 30. Se considera ecuatia Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda …… ____ 31. Se da tabelul Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0) ? ____ 32. Metoda trapezului aproximeaza integrala lui f pe [a,b] dupa formula …… ____ 33. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa
. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara …… ____ 34. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 3 noduri echidistante 0,1,2. Conform metodei Newton-Cotes Cat este A0 ? ____ 35. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata simetrica si pozitiv definita. Ce metode numerice pot fi utilizata pentru rezolvarea lui? ____ 36. Aproximati integrala cu metoda trapezului. ____ 37. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare se numeste metoda …… ____ 38. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul este ……… ____ 39. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este 1. Care este a doua iteratie? ____ 40. Aproximati integrala
cu metoda lui Simpson. ____ 41. Metoda lui Simpson aproximeaza integrala lui f pe [a,b] cu formula …….. ____ 42. Aproximam integrala cu metoda sumata a lui Simpson cu 3 subintervale. Formula de calcul este ……….. ____ 43. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare functiei . Alegem predictie initiala si notam cu urmatoarea iteratie si cu z solutia exacta a ecuatiei considerate. Observam ca pe intervalul [0,1]. Estimati eroarea conform teoremei de estimare a erorii in metoda aproximatiilor succesive. ____ 44. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este . Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru , unde y este solutia exacta a ecuatiei de mai sus? ____ 45. Pentru A= sa se calculeze . ____ 46. Care metode de rezolvare de sisteme liniare sunt metode iterative(adica sunt metode ce teoretic produc un sir ce in anumite conditii converge catre solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi rezolvat)? ____ 47. Se da tabelul x 0 1 2 y 1 1 3 si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia spline este data de . Cat este m?
____ 48. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este . Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru ? ____ 49. Care metode de rezolvare de sisteme liniare nu sunt metode iterative(adica sunt metode ce teoretic produc solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi rezolvat)? ____ 50. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel. ____ 51. Se da tabelul Fie polinomul de grad 2 interpolant al valorilor din tabel, adica . Cat este ? ____ 52. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie ? ____ 53. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi. ____ 54. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie ? ____ 55. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul este ……..
____ 56. Aproximati integrala cu metoda trapezului. ____ 57. Pentru A= sa se calculeze . ____ 58. Se considera functia si P(x) polinomul de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe nodurile 0,1. Cat este atunci P(2)? ____ 59. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau cel mult egal cu ……. ____ 60. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala Notam . Fixam pasul h si consideram formula iterativa Aceasta este metoda …… ____ 61. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda ……
____ 62. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si se calculeaza matricea ____ 63. Se da tabelul Fie polinomul lui Lagrange interpolant al valorilor din tabel, adica , grad P , calculat cu metoda lui Lagrange. Care e cu aproximatie numarul de operatii efectuate pentru calcularea valorii presupunand ca 2 nu este printre valorile . ____ 64. Se rezolva sistemul cu matricea A data de Se doreste a se aplica metoda lui Gauss-Seidel cu predictie initiala De ce este metoda lui Gauss-Seidel garantata sa convearga? ____ 65. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel. ____ 66. Pentru A= sa se calculeze . ____ 67. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal decat ……….
____ 68. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala Utilizam metoda Euler-Cauchy cu h=1 . Notam . Care este prima iteratie ? ____ 69. Se da tabelul Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] . ____ 70. Se da tabelul x 0 1 2 y 0 2 3 si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia spline este data de . Calculati valoarea lui m. ____ 71. Se da tabelul x 0 1 2 y 1 1 4 si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia spline este data de . Cat este m? ____ 72. Pentru A= sa se calculeze . ____ 73. Se da tabelul Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] .
____ 74. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y’=y-6x, y(0)=1 cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Cat este prima iteratie produsa de metoda lui Euler? ____ 75. Se da tabelul Sa se calculeze diferenta divizata f[2,3]. ____ 76. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 77. Care este forma polinoamelor Lagrange de interpolare pe nodurile ? ____ 78. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie ? ____ 79. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y’=y+x, y(0)=1 cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(1), unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus? ____ 80. Se considera functia si P(x) polinomul lui Lagrange de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe nodurile 0,1 . Cat este atunci P(2)? ____ 81. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1. Conform metodei Newton-Cotes
este aproximata de unde este un anumit polinom de grad cel mult 2. Cat este ? ____ 82. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare cu trei noduri se numeste metoda …… ____ 83. Se rezolva sistemul compatibil determinat cu matricea extinsa A data de Se doreste a se aplica metoda lui Jacobi cu predictie initiala . De ce este metoda lui Jacobi garantata sa convearga? ____ 84. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este 1. Care este a doua iteratie? ____ 85. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si se calculeaza matricea ____ 86. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala , y(1)=1 Utilizam metoda Euler-Cauchy cu pas h= . Notam . Efectuam zece iteratii in metoda Euler- Cauchy. Obtinem iteratiile succesive . Atunci este aproximatia produsa de metoda numerica pentru ……
____ 87. Se considera ecuatia Pentru rezolvarea ei vom alege si apoi vom defini recursiv . Aceasta este metoda ……. ____ 88. Aproximam integrala cu metoda sumata a trapezului cu 3 subintervale. Formula utilizata este ….. ____ 89. Se considera functia si polinomul de grad 4 care interpoleaza valorile lui f pe nodurile 1,2,3,4,5 . Cat este ? ____ 90. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa . Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara ____ 91. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi. ____ 92. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi. ____ 93. Se da tabelul
Notam cu polinomul lui Lagrange corespunzator nodului i adica are grad n si daca si . Atunci polinomul lui Lagrange ce interpoleaza valorile din tabelul de mai sus este dat de formula: ____ 94. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata si termen liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul si calculam urmatoarea iteratie dupa formula ----------------------- pentru i de la 1 la n ----------------------- Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula recursiva? ____ 95. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel. ____ 96. Ce metoda de interpolare utilizeaza polinoamele ____ 97. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare functiei . Alegem predictie initiala si notam cu urmatoarea iteratie si cu z solutia exacta a ecuatiei considerate. Observam ca pe intervalul [0,1]. Estimati eroarea conform teoremei de estimare a erorii in metoda aproximatiilor succesive. ____ 98. Se da tabelul
Sa se calculeze diferenta divizata f[3,4]. ____ 99. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel. ____ 100. Se da tabelul x 0 1 2 y 0 1 3 si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia spline este data de . Cat este m? ____ 101. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare functiei . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei aproximatiilor succesive? ____ 102. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 103. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare functiei . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei aproximatiilor succesive? ____ 104. Se da tabelul Notam cu polinomul de grad n ce interpoleaza valorile din tabelul de mai sus adica . Atunci coeficientii pot fi determinati prin rezolvarea sistemului ____ 105. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y-x, y(0)=1 cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(1) unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus? ____ 106. Se da tabelul Sa se calculeze unde este polinomul interpolant al valorilor din tabel. ____ 107. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie ? ____ 108. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda ….. ____ 109. Se da tabelul Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 0.5) ____ 110. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu n noduri pentru aproximarea unei integrale pe intervalul [-1,1]. Care sunt pasii efectuati in aceasta metoda de cuadratura ? ____ 111. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa . Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara …… ____ 112. Aproximati integrala
cu metoda trapezului. ____ 113. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 114. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare functiei . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei aproximatiilor succesive? ____ 115. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este 1 iar a doua este notata . Notam cu solutia exacta a ecuatiei ce este aproximata de metoda bisectiei. Estimati eroarea | - | cu teorema de estimare a erorii corespunzatoare metodei bisectiei. ____ 116. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri pentru aproximarea integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Atunci in mod necesar sunt …… ____ 117. Formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre este o metoda de …….. ____ 118. Consideram formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre pe intervalul [-1,1] cu n noduri. Aceasta metoda este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal cu ….. ____ 119. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie ? ____ 120. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala cu metoda lui Euler cu pas h=0.5 . Notam . Formula iterativa din metoda lui Euler in acest caz este …. ____ 121. Aproximati integrala
cu metoda lui Simpson. ____ 122. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si se calculeaza matricea ____ 123. Se considera ecuatia Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda …… ____ 124. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa . La primul pas in aplicarea metodei lui Gauss se permuta liniile …. ____ 125. Se rezolva sistemul cu matricea Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda ….. ____ 126. Ce conditii sunt suficiente pentru ca metoda lui Jacobi pentru rezolvarea de sisteme liniare sa produca un sir ce converge catre solutia exacta a sistemului liniar? ____ 127. Consideram un prim pas: ----------------------- -----------------------
intr-o metoda numerica utilizata pentru rezolvarea unui anumit tip de sisteme liniare. Ce metoda numerica incepe cu acest pas? ____ 128. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 129. Pentru A= sa se calculeze . ____ 130. Metoda lui Simpson se incadreaza in metodele mai generale de tip ….. ____ 131. Se da tabelul x 0 1 2 y 1 1 2 si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia spline este data de . Cat este m? ____ 132. Se da tabelul Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 2) ____ 133. Pentru A= sa se calculeze . ____ 134. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi. ____ 135. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si se calculeaza matricea ____ 136. Metoda Newton-Cotes este o metoda de ….. ____ 137. Se considera ecuatia Pentru rezolvarea ei vom alege si apoi vom defini recursiv , n numar natural. Aceasta este metoda …. ____ 138. Radacinile polinomului lui Legendre de grad 2 sunt . Se considera urmatoarea metoda de integrare numerica: Cum alegeti pentru ca aceast metoda numerica sa fie exacta pe polinoame de grad cel mult 3? ____ 139. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y’=y, y(0)=1 cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Calculati aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(1) unde y(x) e solutia exacta a ecuatiei de mai sus. ____ 140. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 141. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala , y(1)=1
Utilizam metoda Euler cu h=1/20. Notam . Efectuam 20 de iteratii in metoda Euler. Obtinem iteratiile succesive . Atunci este aproximatia produsa de metoda numerica pentru …… ____ 142. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si se calculeaza matricea ____ 143. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata si termen liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul si calculam urmatoarea iteratie dupa formula ----------------------- pentru i de la 1 la n ----------------------- Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula iterativa? ____ 144. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda ….. ____ 145. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri pentru aproximarea integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Aceasta metoda este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal ca ….
____ 146. Pentru A= sa se calculeze .
Analiza

More Related Content

PDF
123
guestf40a04
 
PDF
an num new
peter020000
 
PDF
an num old
peter020000
 
PDF
Analiza matematica
sorinsiacob
 
PDF
9 клас
Тетяна Герман
 
PPTX
9 клас
Тетяна Герман
 
PDF
9 клас
Тетяна Герман
 
PDF
Calculul numeric teorie
Colegiul de Industrie Usoara
 
123
guestf40a04
 
an num new
peter020000
 
an num old
peter020000
 
Analiza matematica
sorinsiacob
 
9 клас
Тетяна Герман
 
9 клас
Тетяна Герман
 
9 клас
Тетяна Герман
 
Calculul numeric teorie
Colegiul de Industrie Usoara
 

What's hot (13)

PDF
Analiza matematica-mircea-olteanu
Popa Tudor
 
DOC
Algebra si analiza de 11
Happysadrock Blackpinkforyou
 
PPTX
Proiect nr complexe (1)
Carmen Mrn
 
PPT
Ecuatia de gradul al ii lea
rades_florin
 
PPT
Aplicatii ale matematicii abordari interdisciplinare
Carmen Delcea
 
PPTX
презентация1
miklleee
 
PDF
Determinanţi
ADRIANAGUU
 
PDF
Matematica model subiect
costy72
 
PPT
Lectie relatiile lui viet ec gr ii
Rebenciuc
 
PDF
Matrice determinanti sisteme liniare
Cirlig Danut
 
PDF
tap alfa
uidivo
 
PPT
Rebus
silviabraica
 
PPT
Matrice
oles vol
 
Analiza matematica-mircea-olteanu
Popa Tudor
 
Algebra si analiza de 11
Happysadrock Blackpinkforyou
 
Proiect nr complexe (1)
Carmen Mrn
 
Ecuatia de gradul al ii lea
rades_florin
 
Aplicatii ale matematicii abordari interdisciplinare
Carmen Delcea
 
презентация1
miklleee
 
Determinanţi
ADRIANAGUU
 
Matematica model subiect
costy72
 
Lectie relatiile lui viet ec gr ii
Rebenciuc
 
Matrice determinanti sisteme liniare
Cirlig Danut
 
tap alfa
uidivo
 
Rebus
silviabraica
 
Matrice
oles vol
 
Ad

Viewers also liked (7)

PPT
Adaction Prezentacja Reklama W Grach Advergaming
Maciej Czerwinski
 
PDF
11122 Data
Will Lewellyn
 
PPTX
poradnik dla reklamodawców
Maciej Czerwinski
 
PPT
Adaction Prezentacja Reklama W Grach Advergaming Wrigley
Maciej Czerwinski
 
PPTX
Guitar Hero Pl
Maciej Czerwinski
 
PPT
7 2 Rates
rlowery
 
PPT
9.1 Simple Events
rlowery
 
Adaction Prezentacja Reklama W Grach Advergaming
Maciej Czerwinski
 
11122 Data
Will Lewellyn
 
poradnik dla reklamodawców
Maciej Czerwinski
 
Adaction Prezentacja Reklama W Grach Advergaming Wrigley
Maciej Czerwinski
 
Guitar Hero Pl
Maciej Czerwinski
 
7 2 Rates
rlowery
 
9.1 Simple Events
rlowery
 
Ad

Similar to Analiza (20)

PPT
Ecuatii neliniare rom
Herpy Derpy
 
PPT
Ode rom
Herpy Derpy
 
PPT
Metoda bisecției
Balan Veronica
 
PPTX
MBc
Balan Veronica
 
PPT
Metoda bisecţiei
miklleee
 
PPTX
Metoda bisectiei
Marina Avram
 
DOC
Culegere de probleme pentru admiterea la scoala militara de maisti
Raul Katana
 
PPTX
MbCat
Balan Veronica
 
PPTX
Metode de Integrare numerica
Daniela Baluna
 
PPTX
Metoda-bisectiei
Balan Veronica
 
PPTX
Metoda-bisecției
Balan Veronica
 
PDF
D mt1 i_041
Ionut Ciobanu
 
PPTX
PD
Balan Veronica
 
PPTX
презентация1
stainless1
 
PPT
MBR
Balan Veronica
 
PPTX
Metoda newton informatica
miklleee
 
PDF
7_a_bil_2024_hun-лтв пждяіявь яідів аі яа
7klmail
 
PDF
Curs soa
mihaitgv01
 
PPT
Curs 1 poceduri matematice
guesta3ac0b
 
PDF
E c matematica_m2_var_07_lro
Adi Muresan
 
Ecuatii neliniare rom
Herpy Derpy
 
Ode rom
Herpy Derpy
 
Metoda bisecției
Balan Veronica
 
MBc
Balan Veronica
 
Metoda bisecţiei
miklleee
 
Metoda bisectiei
Marina Avram
 
Culegere de probleme pentru admiterea la scoala militara de maisti
Raul Katana
 
MbCat
Balan Veronica
 
Metode de Integrare numerica
Daniela Baluna
 
Metoda-bisectiei
Balan Veronica
 
Metoda-bisecției
Balan Veronica
 
D mt1 i_041
Ionut Ciobanu
 
PD
Balan Veronica
 
презентация1
stainless1
 
MBR
Balan Veronica
 
Metoda newton informatica
miklleee
 
7_a_bil_2024_hun-лтв пждяіявь яідів аі яа
7klmail
 
Curs soa
mihaitgv01
 
Curs 1 poceduri matematice
guesta3ac0b
 
E c matematica_m2_var_07_lro
Adi Muresan
 

Analiza

  • 1. Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI • Metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaŃii liniare: metoda lui Gauss, metoda rădăcinii pătrate, metoda lui Iacobi, metoda Gauss Seidel, metode de relaxare, pseudoinversa unei matrici. • Metode de aproximare a spectrului: metoda rotaŃiilor, metoda puterilor. • Metode numerice de rezolvare a ecuaŃiilor neliniare: principiul contracŃiei, metoda lui Newton, metoda bisectiei. • Interpolare cu polinoame: formula lui Hermite, interpolare cu noduri simple, diferenŃe divizate, interpolare cu funcŃii spline cubice. • Formule de cuadratură: formulele Newton-Côtes, formula trapezului, formula lui Simpson, polinoamele lui Legendre şi formulele lui Gauss, formula lui Hermite, formula lui Romberg. • Metode numerice de rezolvare a ecuaŃiilor diferenŃiale: metoda lui Taylor, metoda lui Euler, metoda Euler-Cauchy, metoda lui Runge-Kutta, consistenŃă, stabilitate, convergenŃă. BIBLIOGRAFIE MINIMALĂ OBLIGATORIE 1. Gh. Grigore, LecŃii de analiză numerică. Editura Universitară Bucureşti, 1990 2. Gh Grigore, Sinteze, Biblioteca virtuala, www.spiruharet.ro 3. Berbente, S. Mitran, S. Zancu, Metode Numerice (Numerical Methods), Editura Tehnica, 1997. 304 pages (in Romanian), http://www.amath.unc.edu/Faculty/mitran/papers/metodenumerice.pdf Subiecte propuse analiza numerica ____ 1. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) nodurile se aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata. ____ 2. Metoda bisectiei converge liniar. ____ 3. Se considera ecuatia Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei. ____ 4. Daca f este un polinom de grad 4 atunci metoda lui Newton-Cotes cu 3 noduri echidistante pe [a,b] va calcula in mod exact integrala
  • 2. ____ 5. Polinomul lui Legendre de grad 3 este ortogonal pe polinomul lui Legendre de grad 4 adica ____ 6. In general metoda de interpolare a lui Lagrange e mai rapida decat metoda de interpolare cu diferente divizate. ____ 7. Metoda bisectiei e intotdeauna mai rapida decat metoda lui Newton. ____ 8. Polinoamul lui Legendre de grad 4 este ortogonal pe adica ____ 9. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) ponderile se aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata. ____ 10. Intotdeauna metoda lui Newton produce un sir de numere care converge catre solutia ecuatiei careia ii aplicam metoda. ____ 11. Se considera ecuatia f(x)=0 cu f continua pe intervalul [a,b] si f(a)f(b)<0. Atunci metoda bisectiei produce un sir ce converge catre una din solutiile ecuatiei de mai sus. ____ 12. Se considera ecuatia Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei. ____ 13. Formulele Newton-Cotes sumate se obtin prin impartirea intervalului de integrare in subintervale de lungime egala, aplicarea formulelor Newton-Cotes pe fiecare subinterval si sumarea rezultatelor obtinute. ____ 14. Daca f este un polinom de grad n atunci metoda lui Newton-Cotes cu n+1 noduri echidistante pe [a,b] va calcula in mod exact integrala
  • 3. ____ 15. Se considera ecuatia Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. In formula de mai sus [x] este partea intreaga a numarului x . Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei. ____ 16. Pentru A= sa se calculeze . ____ 17. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda …… ____ 18. Se da tabelul Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2]. ____ 19. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala Fixam pasul h si consideram formula iterativa: la pasul i unde
  • 4. Aceasta este metoda …… ____ 20. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel. ____ 21. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 22. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este Care este a doua iteratie? ____ 23. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa . Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara …….. ____ 24. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa . Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara ……. ____ 25. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi. ____ 26. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 2 noduri echidistante 0,2. Conform metodei Newton-Cotes Cat este ?
  • 5. ____ 27. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala Notam . Fixam pasul h si consideram formula iterativa Aceasta este metoda ……… ____ 28. Pentru A= sa se calculeze . ____ 29. Pentru A= sa se calculeze . ____ 30. Se considera ecuatia Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda …… ____ 31. Se da tabelul Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0) ? ____ 32. Metoda trapezului aproximeaza integrala lui f pe [a,b] dupa formula …… ____ 33. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa
  • 6. . Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara …… ____ 34. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 3 noduri echidistante 0,1,2. Conform metodei Newton-Cotes Cat este A0 ? ____ 35. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata simetrica si pozitiv definita. Ce metode numerice pot fi utilizata pentru rezolvarea lui? ____ 36. Aproximati integrala cu metoda trapezului. ____ 37. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare se numeste metoda …… ____ 38. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul este ……… ____ 39. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este 1. Care este a doua iteratie? ____ 40. Aproximati integrala
  • 7. cu metoda lui Simpson. ____ 41. Metoda lui Simpson aproximeaza integrala lui f pe [a,b] cu formula …….. ____ 42. Aproximam integrala cu metoda sumata a lui Simpson cu 3 subintervale. Formula de calcul este ……….. ____ 43. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare functiei . Alegem predictie initiala si notam cu urmatoarea iteratie si cu z solutia exacta a ecuatiei considerate. Observam ca pe intervalul [0,1]. Estimati eroarea conform teoremei de estimare a erorii in metoda aproximatiilor succesive. ____ 44. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este . Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru , unde y este solutia exacta a ecuatiei de mai sus? ____ 45. Pentru A= sa se calculeze . ____ 46. Care metode de rezolvare de sisteme liniare sunt metode iterative(adica sunt metode ce teoretic produc un sir ce in anumite conditii converge catre solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi rezolvat)? ____ 47. Se da tabelul x 0 1 2 y 1 1 3 si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia spline este data de . Cat este m?
  • 8. ____ 48. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este . Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru ? ____ 49. Care metode de rezolvare de sisteme liniare nu sunt metode iterative(adica sunt metode ce teoretic produc solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi rezolvat)? ____ 50. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel. ____ 51. Se da tabelul Fie polinomul de grad 2 interpolant al valorilor din tabel, adica . Cat este ? ____ 52. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie ? ____ 53. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi. ____ 54. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie ? ____ 55. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul este ……..
  • 9. ____ 56. Aproximati integrala cu metoda trapezului. ____ 57. Pentru A= sa se calculeze . ____ 58. Se considera functia si P(x) polinomul de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe nodurile 0,1. Cat este atunci P(2)? ____ 59. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau cel mult egal cu ……. ____ 60. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala Notam . Fixam pasul h si consideram formula iterativa Aceasta este metoda …… ____ 61. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda ……
  • 10. ____ 62. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si se calculeaza matricea ____ 63. Se da tabelul Fie polinomul lui Lagrange interpolant al valorilor din tabel, adica , grad P , calculat cu metoda lui Lagrange. Care e cu aproximatie numarul de operatii efectuate pentru calcularea valorii presupunand ca 2 nu este printre valorile . ____ 64. Se rezolva sistemul cu matricea A data de Se doreste a se aplica metoda lui Gauss-Seidel cu predictie initiala De ce este metoda lui Gauss-Seidel garantata sa convearga? ____ 65. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel. ____ 66. Pentru A= sa se calculeze . ____ 67. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal decat ……….
  • 11. ____ 68. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala Utilizam metoda Euler-Cauchy cu h=1 . Notam . Care este prima iteratie ? ____ 69. Se da tabelul Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] . ____ 70. Se da tabelul x 0 1 2 y 0 2 3 si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia spline este data de . Calculati valoarea lui m. ____ 71. Se da tabelul x 0 1 2 y 1 1 4 si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia spline este data de . Cat este m? ____ 72. Pentru A= sa se calculeze . ____ 73. Se da tabelul Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] .
  • 12. ____ 74. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y’=y-6x, y(0)=1 cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Cat este prima iteratie produsa de metoda lui Euler? ____ 75. Se da tabelul Sa se calculeze diferenta divizata f[2,3]. ____ 76. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 77. Care este forma polinoamelor Lagrange de interpolare pe nodurile ? ____ 78. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie ? ____ 79. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y’=y+x, y(0)=1 cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(1), unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus? ____ 80. Se considera functia si P(x) polinomul lui Lagrange de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe nodurile 0,1 . Cat este atunci P(2)? ____ 81. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1. Conform metodei Newton-Cotes
  • 13. este aproximata de unde este un anumit polinom de grad cel mult 2. Cat este ? ____ 82. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare cu trei noduri se numeste metoda …… ____ 83. Se rezolva sistemul compatibil determinat cu matricea extinsa A data de Se doreste a se aplica metoda lui Jacobi cu predictie initiala . De ce este metoda lui Jacobi garantata sa convearga? ____ 84. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este 1. Care este a doua iteratie? ____ 85. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si se calculeaza matricea ____ 86. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala , y(1)=1 Utilizam metoda Euler-Cauchy cu pas h= . Notam . Efectuam zece iteratii in metoda Euler- Cauchy. Obtinem iteratiile succesive . Atunci este aproximatia produsa de metoda numerica pentru ……
  • 14. ____ 87. Se considera ecuatia Pentru rezolvarea ei vom alege si apoi vom defini recursiv . Aceasta este metoda ……. ____ 88. Aproximam integrala cu metoda sumata a trapezului cu 3 subintervale. Formula utilizata este ….. ____ 89. Se considera functia si polinomul de grad 4 care interpoleaza valorile lui f pe nodurile 1,2,3,4,5 . Cat este ? ____ 90. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa . Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara ____ 91. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi. ____ 92. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi. ____ 93. Se da tabelul
  • 15. Notam cu polinomul lui Lagrange corespunzator nodului i adica are grad n si daca si . Atunci polinomul lui Lagrange ce interpoleaza valorile din tabelul de mai sus este dat de formula: ____ 94. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata si termen liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul si calculam urmatoarea iteratie dupa formula ----------------------- pentru i de la 1 la n ----------------------- Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula recursiva? ____ 95. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel. ____ 96. Ce metoda de interpolare utilizeaza polinoamele ____ 97. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare functiei . Alegem predictie initiala si notam cu urmatoarea iteratie si cu z solutia exacta a ecuatiei considerate. Observam ca pe intervalul [0,1]. Estimati eroarea conform teoremei de estimare a erorii in metoda aproximatiilor succesive. ____ 98. Se da tabelul
  • 16. Sa se calculeze diferenta divizata f[3,4]. ____ 99. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel. ____ 100. Se da tabelul x 0 1 2 y 0 1 3 si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia spline este data de . Cat este m? ____ 101. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare functiei . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei aproximatiilor succesive? ____ 102. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 103. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare functiei . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei aproximatiilor succesive? ____ 104. Se da tabelul Notam cu polinomul de grad n ce interpoleaza valorile din tabelul de mai sus adica . Atunci coeficientii pot fi determinati prin rezolvarea sistemului ____ 105. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
  • 17. y’=y-x, y(0)=1 cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(1) unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus? ____ 106. Se da tabelul Sa se calculeze unde este polinomul interpolant al valorilor din tabel. ____ 107. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie ? ____ 108. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda ….. ____ 109. Se da tabelul Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 0.5) ____ 110. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu n noduri pentru aproximarea unei integrale pe intervalul [-1,1]. Care sunt pasii efectuati in aceasta metoda de cuadratura ? ____ 111. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa . Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara …… ____ 112. Aproximati integrala
  • 18. cu metoda trapezului. ____ 113. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 114. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare functiei . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei aproximatiilor succesive? ____ 115. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este 1 iar a doua este notata . Notam cu solutia exacta a ecuatiei ce este aproximata de metoda bisectiei. Estimati eroarea | - | cu teorema de estimare a erorii corespunzatoare metodei bisectiei. ____ 116. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri pentru aproximarea integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Atunci in mod necesar sunt …… ____ 117. Formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre este o metoda de …….. ____ 118. Consideram formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre pe intervalul [-1,1] cu n noduri. Aceasta metoda este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal cu ….. ____ 119. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie ? ____ 120. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala cu metoda lui Euler cu pas h=0.5 . Notam . Formula iterativa din metoda lui Euler in acest caz este …. ____ 121. Aproximati integrala
  • 19. cu metoda lui Simpson. ____ 122. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si se calculeaza matricea ____ 123. Se considera ecuatia Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda …… ____ 124. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa . La primul pas in aplicarea metodei lui Gauss se permuta liniile …. ____ 125. Se rezolva sistemul cu matricea Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda ….. ____ 126. Ce conditii sunt suficiente pentru ca metoda lui Jacobi pentru rezolvarea de sisteme liniare sa produca un sir ce converge catre solutia exacta a sistemului liniar? ____ 127. Consideram un prim pas: ----------------------- -----------------------
  • 20. intr-o metoda numerica utilizata pentru rezolvarea unui anumit tip de sisteme liniare. Ce metoda numerica incepe cu acest pas? ____ 128. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 129. Pentru A= sa se calculeze . ____ 130. Metoda lui Simpson se incadreaza in metodele mai generale de tip ….. ____ 131. Se da tabelul x 0 1 2 y 1 1 2 si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia spline este data de . Cat este m? ____ 132. Se da tabelul Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 2) ____ 133. Pentru A= sa se calculeze . ____ 134. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala
  • 21. . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi. ____ 135. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si se calculeaza matricea ____ 136. Metoda Newton-Cotes este o metoda de ….. ____ 137. Se considera ecuatia Pentru rezolvarea ei vom alege si apoi vom defini recursiv , n numar natural. Aceasta este metoda …. ____ 138. Radacinile polinomului lui Legendre de grad 2 sunt . Se considera urmatoarea metoda de integrare numerica: Cum alegeti pentru ca aceast metoda numerica sa fie exacta pe polinoame de grad cel mult 3? ____ 139. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y’=y, y(0)=1 cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Calculati aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(1) unde y(x) e solutia exacta a ecuatiei de mai sus. ____ 140. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. ____ 141. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala , y(1)=1
  • 22. Utilizam metoda Euler cu h=1/20. Notam . Efectuam 20 de iteratii in metoda Euler. Obtinem iteratiile succesive . Atunci este aproximatia produsa de metoda numerica pentru …… ____ 142. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si se calculeaza matricea ____ 143. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata si termen liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul si calculam urmatoarea iteratie dupa formula ----------------------- pentru i de la 1 la n ----------------------- Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula iterativa? ____ 144. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda ….. ____ 145. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri pentru aproximarea integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Aceasta metoda este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal ca ….
  • 23. ____ 146. Pentru A= sa se calculeze .