Metoda-bisectiei
Download as PPTX, PDF1 like1,502 views
Metoda bisecției, sau metoda dihotomiei, este o tehnică simplă pentru rezolvarea ecuațiilor algebrice și transcendente prin localizarea unei rădăcini exacte într-un interval dat. Procesul implică împărțirea intervalului în jumătate și determinarea semnului funcției pentru a restrânge intervalul următor, repetând acest lucru până când lungimea intervalului devine mai mică decât o precizie specificată. La final, se calculează o aproximare a rădăcinii prin mediana intervalului, garantând o eroare controlată față de soluția exactă.
![DESCRIEREA METODEI
Metoda bisectiei, numita uneori si metoda dihotomiei sau a injumatatirii
intervalelor, este cea mai simpla dintre metodele de rezolvare a ecuatiilor
algebrice si transcendente. Se considera ca, printr-un procedeu oarecare, s-a
reusit localizarea radacinii exacte δ a ecuatiei f(x)=0 in intervalul [α, β ].
In ipoteza in care functiaf(x) este continua, iar radacina δ este singurul zerou al
lui f(x) in [α , β ], la extremitatile intervalului functia ia valori de semne
contrare: f(α ) * f(β )<0.](https://image.slidesharecdn.com/metodabisectiei-141116122523-conversion-gate02/85/Metoda-bisectiei-2-320.jpg)
![Determinarea aproximatiei δ' a radacinii exacte δ cu o precizie E folosind
metoda bisectiei foloseste urmatoarea schema (vezi si figura de mai sus):
intervalul [α, β ] se injumatateste prin punctul m=( α + β )/2 si se
calculeaza produsul f(m) * f(β). Daca f(m) * f(β ) este pozitiv, radacina δ se
gaseste intre α si m.In acest caz, se retine valoarea lui m ca extremitatea
dreapta a intervalului (β <-- m) si se reia procedeul. Daca f(m) * f(β ) este
negativ, radacina δ se gaseste intre m si β . De aceasta data, se modifica
extremitatea stanga a intervalului (α <-- m) si se reia procedeul. Aceasta
schema se aplica in mod repetat pana cand lungimea intervalului [α , β ] -
modificat de la o iteratie la alta - scade sub valoarea limita 2* E , adica β -
α < 2* E . Daca, in acest moment, se considera ca radacina aproximativa
δ'=( α + β )/2, acesta nu se indeparteaza de solutia exacta δ cu mai mult de
E . Desigur, intr-un caz banal, este posibil ca, in cursul injumatatirii
intervalelor succesive [α , β ], punctul m sa coincida cu radacina exacta δ .
Aceasta situatie se recunoaste prin anularea produsului f(m) * f(β ), caz in
care schema de calcul se intrerupe, dispunand in acest caz chiar de radacina
exacta δ '=m= δ .](https://image.slidesharecdn.com/metodabisectiei-141116122523-conversion-gate02/85/Metoda-bisectiei-3-320.jpg)
![ECUATII NELINIARE - METODA
BISECTIEI
1.Definirea functiei f(x), a intervalului de lucru [α , β ], a preciziei E si a numarului
maxim de iteratii Nmax.
2.Procesul iterativ:
I. Initializarea procesului iterativ: It <-- 0;
II. Daca s-a atins precizia doritta (β -α < 2* E ) sau numarul maxim de
iteratii Nmax se incheie bucla iterativa si se trece la pasul 3.
III.Se trece la o noua iteratie: It <-- It+1;
IV. Injumatatirea intervalului curent: m <-- (α + β )/2 ;
V. Stabilirea noului interval de lucru:
a) Daca f(m) * f(β )<0, radacina se gaseste in [m , β ]; se actualizeaza
limita stanga: α <-- m si se trece la pasul 2.VI;](https://image.slidesharecdn.com/metodabisectiei-141116122523-conversion-gate02/85/Metoda-bisectiei-4-320.jpg)
![b) Daca f(m) * f(β )>0, radacina se gaseste in [α , m]; se actualizeaza
limita dreapta: β <-- m si se trece la pasul 2.vi;
c) Daca f(m) * f(β )=0, radacina este m; se actualizeaza ambele limite:
α <-- m, β <-- m si se trece la pasul 2.VI;
VI. Se revine la pasul 2.II;
3.Calculul radacinii aproximative: x <-- (α +β)/2.](https://image.slidesharecdn.com/metodabisectiei-141116122523-conversion-gate02/85/Metoda-bisectiei-5-320.jpg)
Metoda-bisectiei
- 1. METODA BISECTIEI Efectuat de către Botnarenco Veronica
- 2. DESCRIEREA METODEI Metoda bisectiei, numita uneori si metoda dihotomiei sau a injumatatirii intervalelor, este cea mai simpla dintre metodele de rezolvare a ecuatiilor algebrice si transcendente. Se considera ca, printr-un procedeu oarecare, s-a reusit localizarea radacinii exacte δ a ecuatiei f(x)=0 in intervalul [α, β ]. In ipoteza in care functiaf(x) este continua, iar radacina δ este singurul zerou al lui f(x) in [α , β ], la extremitatile intervalului functia ia valori de semne contrare: f(α ) * f(β )<0.
- 3. Determinarea aproximatiei δ' a radacinii exacte δ cu o precizie E folosind metoda bisectiei foloseste urmatoarea schema (vezi si figura de mai sus): intervalul [α, β ] se injumatateste prin punctul m=( α + β )/2 si se calculeaza produsul f(m) * f(β). Daca f(m) * f(β ) este pozitiv, radacina δ se gaseste intre α si m.In acest caz, se retine valoarea lui m ca extremitatea dreapta a intervalului (β <-- m) si se reia procedeul. Daca f(m) * f(β ) este negativ, radacina δ se gaseste intre m si β . De aceasta data, se modifica extremitatea stanga a intervalului (α <-- m) si se reia procedeul. Aceasta schema se aplica in mod repetat pana cand lungimea intervalului [α , β ] - modificat de la o iteratie la alta - scade sub valoarea limita 2* E , adica β - α < 2* E . Daca, in acest moment, se considera ca radacina aproximativa δ'=( α + β )/2, acesta nu se indeparteaza de solutia exacta δ cu mai mult de E . Desigur, intr-un caz banal, este posibil ca, in cursul injumatatirii intervalelor succesive [α , β ], punctul m sa coincida cu radacina exacta δ . Aceasta situatie se recunoaste prin anularea produsului f(m) * f(β ), caz in care schema de calcul se intrerupe, dispunand in acest caz chiar de radacina exacta δ '=m= δ .
- 4. ECUATII NELINIARE - METODA BISECTIEI 1.Definirea functiei f(x), a intervalului de lucru [α , β ], a preciziei E si a numarului maxim de iteratii Nmax. 2.Procesul iterativ: I. Initializarea procesului iterativ: It <-- 0; II. Daca s-a atins precizia doritta (β -α < 2* E ) sau numarul maxim de iteratii Nmax se incheie bucla iterativa si se trece la pasul 3. III.Se trece la o noua iteratie: It <-- It+1; IV. Injumatatirea intervalului curent: m <-- (α + β )/2 ; V. Stabilirea noului interval de lucru: a) Daca f(m) * f(β )<0, radacina se gaseste in [m , β ]; se actualizeaza limita stanga: α <-- m si se trece la pasul 2.VI;
- 5. b) Daca f(m) * f(β )>0, radacina se gaseste in [α , m]; se actualizeaza limita dreapta: β <-- m si se trece la pasul 2.vi; c) Daca f(m) * f(β )=0, radacina este m; se actualizeaza ambele limite: α <-- m, β <-- m si se trece la pasul 2.VI; VI. Se revine la pasul 2.II; 3.Calculul radacinii aproximative: x <-- (α +β)/2.