Metoda bisectiei
Download as PPTX, PDF1 like1,061 views
Metoda bisecției este o tehnică de rezolvare a ecuațiilor de forma f(x) = 0, utilizată pentru funcții continue pe un interval [a,b] cu condiția că f(a) * f(b) < 0. Procesul constă în împărțirea segmentului [a,b] în jumătate și analiza semnelor funcției la extremități, continuând căutarea pe segmentul unde semnele sunt opuse. Algoritmul se repetă până când se obține o soluție suficient de precisă, demonstrând convergența segmentelor iterativ generate.
![METODA BISECTIEI
FIE DATA ECUATIA F(X) = 0 (1)
VOM CONSIDERA CAZUL, CAND FUNCTIA ESTE CONTINUA PE [A,B] SI F(A)*F(B) < 0. SUPLIMENTAR
VOM CONSIDERA CA PE [A,B] SEMNUL DERIVATEI 1 A FUNCTIEI ESTE CONSTANT, DECI AVEM
DOAR O SINGURA SOLUTIE.](https://image.slidesharecdn.com/metodabisectiei-141210130846-conversion-gate02/85/Metoda-bisectiei-2-320.jpg)
![Pentru determinarea solutiei ecuatiei (1) vom detecta mijlocul segmentului [a,b],x = (a+b)/2, si vom
calculavaloarea functiei in acest punct. Daca f(x) = 0, atunci x este solutia ecuatiei. In caz contrar cercetam
segmentele [a, x] si [x, b].
• Pentru aproximarea urmatoare vom selecta acel segment, pentru care valoarea functiei in extremitati
are semne opuse. Daca sign(f(a)) = sign(f(x)), atunci vom continua cercetarea pe segmentul [a1, b1],
unde a1¬ x, b1¬b . In caz contrar extremitatile vor fi a1¬a, b1¬x. Noul segment [a1, b1] iarasi se divizeaza,
apoi se repeta cercetarea semnelor valorilor functiei in extremitati si in mijlocul segmentului. Procedura
se repeta pana cand nu se obtine solutia exacta sau (in majoritatea absoluta a cazurilor!) devierea
solutiei aproximative de la cea exacta nu devine suficient de mica.
• In procesul de constructie a segmentelor succesive obtinem consecutivitatea segmentelor
• [a,b], [a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], [an, bn]
• Pentru fiecare din ele are loc relatia f(ai)*f(bi) < 0 , i=1,,n (2)
• Deoarece lungimea fiecarui segment urmator este egala cu ½ din lungimea celui precedent putem
exprima lungimea oricarui segment prin cea a segmentului initial:
• bi - ai = (½ )i * (b – a) (3)
• Din constructie si proprietatile functiei f(x), rezulta ca sirul extremitatilor stangi a, a1, a2, , an , este
monoton crescator, marginit superior, iar sirul extremitatilor drepte b, b1, b2, , bn , este monoton
descrescator, marginit inferior. De aici rezulta convergenta ambelor siruri si existenta limitei pentru
fiecare din ele.](https://image.slidesharecdn.com/metodabisectiei-141210130846-conversion-gate02/85/Metoda-bisectiei-3-320.jpg)
![METODA BISECTIEI
Trecand la limita in egalitatea (3) obtinem:
Trecand la limita in inegalitatea (2) din continuitatea f(x) primim ( f(x))2 0. Prin urmare f(x)=0 deci x e solutia ecuatiei (1).
Deoarece x e un punct din segmentul [an, bn] rezulta
0 x - an 1/2n(b - a)
In cazul cand semnul derivatei intai alterneaza pe segmentul [a, b] , adica radacinile ecuatiei nu sunt separate, metoda permite
determinarea doar a unei solutii.](https://image.slidesharecdn.com/metodabisectiei-141210130846-conversion-gate02/85/Metoda-bisectiei-4-320.jpg)
![ALGORITMIZAREA METODEI
Datorita simplitatii sale metoda este usor de realizat in forma algoritmica:
0. Ecuatia se aduce la forma y=f(x) (pentru o prezentare mai comoda in forma de functie in interiorul
programului)
1. Se introduc valorile a, b – extremitatile segmentului si e – exactitatea cu care trebuie obtinuta
solutia
2. Se calculeaza c=(a+b)/2, f(a), f(b), f(c).
3. Daca sign( f(a)) = sign( f(c)), atunci vom considera ca a trece in c. In caz contrar
(sign( f(b) ) = sign( f(c) )) b va primi valoarea lui c.
4. Pentru noile valori a si b repetam pasii 2 –3 atat timp cat (b - a) ³ e
5. Afisam in calitate de solutie mijlocul ultimului segment [a,b].](https://image.slidesharecdn.com/metodabisectiei-141210130846-conversion-gate02/85/Metoda-bisectiei-5-320.jpg)
Metoda bisectiei
- 1. METODA BISECTIEI ELABORAT:MARINA AVRAM CLASA A XII-A “A”
- 2. METODA BISECTIEI FIE DATA ECUATIA F(X) = 0 (1) VOM CONSIDERA CAZUL, CAND FUNCTIA ESTE CONTINUA PE [A,B] SI F(A)*F(B) < 0. SUPLIMENTAR VOM CONSIDERA CA PE [A,B] SEMNUL DERIVATEI 1 A FUNCTIEI ESTE CONSTANT, DECI AVEM DOAR O SINGURA SOLUTIE.
- 3. Pentru determinarea solutiei ecuatiei (1) vom detecta mijlocul segmentului [a,b],x = (a+b)/2, si vom calculavaloarea functiei in acest punct. Daca f(x) = 0, atunci x este solutia ecuatiei. In caz contrar cercetam segmentele [a, x] si [x, b]. • Pentru aproximarea urmatoare vom selecta acel segment, pentru care valoarea functiei in extremitati are semne opuse. Daca sign(f(a)) = sign(f(x)), atunci vom continua cercetarea pe segmentul [a1, b1], unde a1¬ x, b1¬b . In caz contrar extremitatile vor fi a1¬a, b1¬x. Noul segment [a1, b1] iarasi se divizeaza, apoi se repeta cercetarea semnelor valorilor functiei in extremitati si in mijlocul segmentului. Procedura se repeta pana cand nu se obtine solutia exacta sau (in majoritatea absoluta a cazurilor!) devierea solutiei aproximative de la cea exacta nu devine suficient de mica. • In procesul de constructie a segmentelor succesive obtinem consecutivitatea segmentelor • [a,b], [a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], [an, bn] • Pentru fiecare din ele are loc relatia f(ai)*f(bi) < 0 , i=1,,n (2) • Deoarece lungimea fiecarui segment urmator este egala cu ½ din lungimea celui precedent putem exprima lungimea oricarui segment prin cea a segmentului initial: • bi - ai = (½ )i * (b – a) (3) • Din constructie si proprietatile functiei f(x), rezulta ca sirul extremitatilor stangi a, a1, a2, , an , este monoton crescator, marginit superior, iar sirul extremitatilor drepte b, b1, b2, , bn , este monoton descrescator, marginit inferior. De aici rezulta convergenta ambelor siruri si existenta limitei pentru fiecare din ele.
- 4. METODA BISECTIEI Trecand la limita in egalitatea (3) obtinem: Trecand la limita in inegalitatea (2) din continuitatea f(x) primim ( f(x))2 0. Prin urmare f(x)=0 deci x e solutia ecuatiei (1). Deoarece x e un punct din segmentul [an, bn] rezulta 0 x - an 1/2n(b - a) In cazul cand semnul derivatei intai alterneaza pe segmentul [a, b] , adica radacinile ecuatiei nu sunt separate, metoda permite determinarea doar a unei solutii.
- 5. ALGORITMIZAREA METODEI Datorita simplitatii sale metoda este usor de realizat in forma algoritmica: 0. Ecuatia se aduce la forma y=f(x) (pentru o prezentare mai comoda in forma de functie in interiorul programului) 1. Se introduc valorile a, b – extremitatile segmentului si e – exactitatea cu care trebuie obtinuta solutia 2. Se calculeaza c=(a+b)/2, f(a), f(b), f(c). 3. Daca sign( f(a)) = sign( f(c)), atunci vom considera ca a trece in c. In caz contrar (sign( f(b) ) = sign( f(c) )) b va primi valoarea lui c. 4. Pentru noile valori a si b repetam pasii 2 –3 atat timp cat (b - a) ³ e 5. Afisam in calitate de solutie mijlocul ultimului segment [a,b].