Belajar integer programming untuk mahasiswa
- 2. 2 Pendahuluan • Pemecahan dgn Linier Programing menghasilkan nilai variabel yg biasanya berupa pecahan, padahal banyak masalah memerlukan hasil yg bulat. • Misal lokasi fasilitas, Pilihan Investasi, Production planning dll. • Misal hasil optimal X1 = 6,67, X2 = 15,73. Kalau dibulatkan dgn 7 dan 16 apakah tidak melanggar kendala/ sumberdaya yg ada? • Maka diperlukan hasil optimalnya angka utuh (integer), dan kendala tetap diikuti.
- 3. Integer Programming • Definisi : –Suatu model matematis dari Integer Programming adalah Program linier dengan penambahan batasan bahwa beberapa atau semua variabel harus bernilai integer. .
- 4. Kapan Model Integer Diperlukan ? • Produk atau bahan baku tidak dapat dibagi. • Batasan Logikal : if A then B"; A or B" • Biaya tetap. • Merupakan bentuk kombinasi (sequencing, allocation) • Dalam keputusan membeli, investasi, sewa atau lainnya.
- 5. Tipe Dari Integer Programming 1. Pure IP - Semua variable adalah integers. 2. Mixed IP - Beberapa variable adalah integers. 3. 0-1 IP – Semua variable harus sama dengan 0 atau 1.
- 6. LP optimal Vs IP optimal – IP optimal tidak lebih baik dari pada LP optimal, kenapa ? IP Optimal LP Optimal 1 5 3 2 4 0 1 2 3
- 7. Penyelesaian Integer Programming • Branch and Bound – Cara yang effektif untuk mendapatkan solusi integer. – Tahap demi tahap dengan menggambarkan cabang pada solusi yang akan didapatkan nilai integernya. • Grafik, • Komputer
- 8. Contoh Tipe Integer Programming Max z = 3x1 + 2x2 st 2x1 + x2 <= 4 (1) x1 + 3x2 <= 5 (2) x1, x2 >= 0 & Integer (3)
- 9. Solusi Grafis Pure IP : ditambah batasan X1, X2 integer Mixed IP : ditambah batasan X1 atau X2 integer 0-1 IP : ditambah batasan X1, X2 = 0 atau 1 X1 X2
- 10. Solusi Grafis Pure IP – Penambahan batasan x1, x2 integer – Daerah feasible (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (2,0) Mixed IP – Penambahan batasan x2 integer – Daerah feasible x2 = 0 and x1 <= 2; x2 = 1 and x1 <= 3/2 0-1 IP – Penambahan batasan x1, x2 = 0 atau 1 – Daerah feasible (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
- 11. Cara Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming • Max z = 4x1 + 5x2 • s.t. 2x1 + x2 ≤ 5 (1) 2x1 + 3x2 ≤ 5 (2) x1 ≥ 0 (3) x2 ≥ 0 (4) x1 dan x2 = integer
- 12. Cara Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming X1 X2
- 13. Cara Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming Nilai optimal dari LP adalah (2.5,0) dengan z =10 – Dibulatkan keatas : (3,0) menjadi infeasible. – Dibulatkan kebawah : (2,0) nilai z =8. Apakah nilai tersebut optimal untuk IP? Bila dibutuhkan nilai x1 and x2 adalah integer. – Daerah feasibel menjadi: (0,0), (0,1), (1,0),(1,1), (2,0) – Nilai optimal IP adalah (1,1) dengan z =9.
- 14. 14 Contoh 1: Formulasi masalah sbb: • Fungsi tujuan: Maksimum Z = 2X1 + 5X2 • Kendala-kendala: (1) 3X1 + 6X2 < 16 (2) X1, X2 > 0 Kalau diselesaikan dgn metoda grafik sbb:
- 15. 15 • X2 • B (0, 2,67) Z = 13,33 • A(5,33, 0) Z = 10,67 • X1
- 16. 16 • Dgn LP di titik B, memiliki nilai variabel pecahan (noninteger) • Untuk membuat integer harus ditambah kendala X2 = 2 • Jangan dijadikan 3 sebab akan melanggar kendala • X1 juga harus integer, diberi kendala X1 = 1 • Hasil integer-nya sbb: Hasil optimal:
- 17. 17 Grafik untuk integer programming • X2 • B (0, 2,67) Z = 13,33 • • 2 C • A(5,33, 0) • 0 1 X1
- 18. 18 Hasil optimal integer programming: • Untuk membuat nilai X2 integer, maka harus dijadikan 2, kalau 3 melanggar kendala • X1 juga dapat menjadi 1, lihat gambar! • Maka hasil optimal di titik C: X1 = 1, X2 = 2, Z = 12
- 19. 19 Latihan Soal! • F Tujuan: Maks. Z = 7X1 + 6X2 • Kendala-kendala: (1) 2X1 + 3X2 < 12 (2) 6X1 + 5X2 < 30 (3) X1, X2 > 0
- 20. 20 Grafik: X2 6 4 (3,75, 0,5) Z = 35,25 (5, 0) Z = 35 6 X1
- 21. 21 Alternatif titik: X1 X2 Z 0 4 24 1 3 25 2 2 26 3 2 33 4 1 34 5 0 35 Optimal
- 22. Latihan Max z = 5 x1 + 4 x2 • St x1 + x2 <= 5 10 x1 + 6 x2 <= 45 x1, x2 >= 0 x1, x2 adalah integer
- 23. Solusi
- 24. Contoh Model Total Integer • Pemilik Toko Jual Beli mesin merencanakan untuk mengadakan perluasan dengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan keuntungan sebesar $100 per hari dan tiap mesin bubut akan menaikkan keuntungan sebesar $150 per hari. Banyaknya mesin yang dapat dibeli dibatasi dengan biaya mesin dan tersedianya ruang dalam toko. Harga beli mesin dan luas tempat sbb : Mesin Luas Tempat (ft2) Harga Beli ($) Pencetak Bubut 15 30 8.000 4.000
- 25. Contoh Model Total Integer • Anggaran pembelian mesin sebesar $40.000 sedangkan tempat yang tersedia seluas 200 feet persegi. Pemilik ingin mengetahui beberapa banyak tiap jenis mesin dapat dibeli untuk memaksimalkan kenaikan keuntungan per hari. • Maksimalkan Z = 100 x1 + 150 x2 Batasan 8.000 x1 + 4.000 x2 ≤ 40.000 15 x1 + 30 x2 ≤ 200 ft2 x1 , x2 ≥ 0 di mana x1 = jumlah mesin pencetak x2 = jumlah mesin bubut
- 27. Contoh Model Integer 0-1 • Suatu dewan kota harus memutuskan fasilitas rekreasi yang perlu didirikan di kota tersebut. Empat fasilitas rekreasi yang telah diusulkan-sebuah kolam renang, sebuah lapangan tenis, sebuah lapangan atletik, dan sebuah gelanggang olahraga. Dewan berkeinginan mendirikan fasilitas- fasilitas yang dapat memaksimalkan penggunaan harian yang diharapkan oleh penduduk setempat dengan biaya dan lahan yang terbatas. Penggunaan harian sbb: Fasilitas Rekreasi Penggunaan yang Diharapkan (orang/hari) Biaya ($) Lahan yang Diperlukan (acre) Kolam renang 300 35.000 4 Lapangan tenis 90 10.000 2 Lapangan atletik 400 25.000 7 Gelanggang olah raga 150 90.000 3
- 28. Contoh Model Integer 0-1 • Kota menyediakan anggaran sebesar $120.000 dan lahan seluas 12 acre. Karena lahan untuk kolam renang dan lapangan tenis berada di daerah yang sama maka hanya akan didirikan satu dari dua fasilitas rekreasi ini.
- 31. Contoh Model Integer Campuran • Seorang pengusaha memiliki kelebihan uang $250.000 dan akandi investasikan pada 3 alternatif, yaitu : kondominium, tanah, danobligasi. Dia ingin menginvestasikan uangnya dengan tujuanpengembalian terbesar diperoleh pada akhir tahun.Data jenis investasi:
- 33. Terima Kasih