Integerprogramming 130704084052-phpapp01
- 1. INTEGER PROGRAMMING (Pemrograman Bilangan Bulat ) Oleh : ASRI NURSIWI, S.T.P., M.Sc. 27 Maret 2013
- 2. Contoh soal Sebuah perusahaan mie kering memproduksi 2 jenis produk, yaitu jenis A dan jenis B. Masing-masing jenis produk melalui tahapan proses yaitu pembuatan adonan dan pengeringan. Waktu yang diperlukan untuk pembuatan adonan mi jenis A adalah 6 jam, sedangkan untuk mi jenis B adalah 5 jam. Sedangkan waktu yang diperlukan untuk pengeringan mi jenis A adalah 2 jam dan untuk mi jenis B adalah 3 jam. Perusahaan tersebut hanya mempunyai waktu untuk pembuatan adonan selama 30 jam dan waktu pengeringan 12 jam per minggu. Mi jenis A menghasilkan keuntungan Rp8.000,00 per kg sedangkan mi jenis B menghasilkan keuntungan Rp7.000,00 per kg. Berapa banyak mi jenis A dan mi jenis B yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimal?
- 3. Penyelesaian Misal : x1 = mi jenis A x2 = mi jenis B Keuntungan max. : Z = 8 x1 + 7 x2 Kendala : 6x1 + 5x2 ≤ 30 2x1 + 3x2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0 Model matematis
- 4. Dengan metode grafik 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 X2 X1 6x1 + 5x2 ≤ 30 2x1 + 3x2 ≤ 12 Solusi optimal
- 5. Solusi optimal : X1 = 3,75 X2 = 1,5 Keuntungan max : Z = 8x1 + 7 x2 = 8(3,75) + 7(1,5) = 40,5 Jadi...
- 6. Jadi untuk mendapat keuntungan yang maksimal pabrik harus menghasilkan mi kering jenis A sebesar 3,75 kg dan mi kering jenis B 1,5 kg. Tidak masalah, karena produk bisa dijual dalam bentuk pecahan. Untuk jenis produk lain??
- 7. Contoh soal untuk produk lain Sebuah perusahaan alat pengolahan pangan memproduksi 2 jenis alat, yaitu kabinet dryer dan oven dryer. Masing- masing jenis produk melalui tahapan proses yaitu bagian kelistrikan dan perakitan. Waktu yang diperlukan untuk kelistrikan untuk kabinet dryer adalah 6 jam, sedangkan untuk oven dryer adalah 5 jam. Sedangkan waktu yang diperlukan untuk perakitan untuk kabinet dryer adalah 2 jam dan untuk oven dryer adalah 3 jam. Perusahaan tersebut hanya mempunyai waktu untuk bagian kelistrikan selama 30 jam dan waktu perakitan 12 jam per minggu. Kabinet dryer menghasilkan keuntungan Rp8.000.000,00 per unit sedangkan oven dryer menghasilkan keuntungan Rp7.000.000,00 per unit. Berapa banyak kabinet dryer dan oven dryer yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimal?
- 8. Penyelesaian Dengan menggunakan cara penyelesaian yang sama dengan soal sebelumnya diperoleh : Untuk menghasilkan keuntungan maksimal, pabrik harus memproduksi kabinet dryer sebanyak 3,75 unit dan oven dryer sebanyak 1,5 unit . Siapa yang mau beli alat tidak utuh?!?
- 9. INTEGER PROGRAMMING Integer Programming ( Pemrograman bilangan bulat) adalah sebuah program linier dengan persyaratan tambahan bahwa semua variabelnya merupakan bilangan- bilangan bulat. Cara Penyelesaian : -Metode Round off -Metode Branch and Bound (Algoritma pencabangan) -Metode Gomory (Algoritma pemotongan)
- 10. METODE ROUND OFF Dengan metode pembulatan ( Round off) dari solusi optimal (x1=3,75 ; x2=1,5) diperoleh hasil : X1 = kabinet dryer = 4 unit X2 = oven dryer = 2 unit Tidak mungkin, di luar area Paling memungkinkan : X1 = kabinet dryer = 4 unit X2 = oven dryer = 1 unit
- 11. METODE BRANCH AND BOUND (PENCABANGAN) Jika hasil yang diperoleh mengandung variabel yang tidak bulat maka dilakukan pencabangan (branching). Jika terdapat variabel yang tidak bulat (misal : xj* ) maka dibentuk dua program bilangan bulat yang baru dengan kendala xj ≤ i1 atau kendala xj ≥ i2 i1 dan i2 adalah dua bilangan bulat tak negatif yang berurutan .
- 12. Dari soal di atas diperoleh hasil solusi optimal dengan : x1 = 3,75 ; x2 = 1,5 ; dan Z = 40,5 Karena x1 = 3,75, ; tidak bulat, maka dicabangkan menjadi 2, yaitu : Cabang A : Maksimumkan : Z = 8x1 + 7x2 kendala : 6x1 + 5x2 ≤ 30 2x1 + 3x2 ≤ 12 x1 ≤ 3 x1, x2 ≥ 0 , dan bulat Dengan LP sederhana X1 = 3 ; x2 = 2 ; Z = 38 Cabang B : Maksimumkan : Z = 8x1 + 7x2 kendala : 6x1 + 5x2 ≤ 30 2x1 + 3x2 ≤ 12 x1 ≥ 4 x1, x2 ≥ 0 , dan bulat Dengan LP sederhana X1 = 4 ; x2 = 1,2 ; Z = 40,4 Sudah feasible Belum feasible
- 13. Dari Percabangan B diperoleh hasil x1 = 4 ; x2 = 1,2 ; dan Z = 40,4 Karena x2 = 1,2 ; tidak bulat, maka dicabangkan menjadi 2, yaitu : Cabang C : Maksimumkan : Z = 8x1 + 7x2 kendala : 6x1 + 5x2 ≤ 30 2x1 + 3x2 ≤ 12 x1 ≥ 4 x2 ≤ 1 x1, x2 ≥ 0 , dan bulat Dengan LP sederhana X2 = 1 ; x1 = 4,16 ; Z = 40,33 Cabang D : Maksimumkan : Z = 8x1 + 7x2 kendala : 6x1 + 5x2 ≤ 30 2x1 + 3x2 ≤ 12 x1 ≥ 4 x2 ≥ 2 x1, x2 ≥ 0 , dan bulat Syarat x1 ≥ 4 dan x2 ≥ 2, di luar area Belum feasible Tidak layak
- 14. Dari Percabangan C diperoleh hasil x2 = 1 ; x1 = 4,16 ; dan Z = 41 Karena x1 = 4,16 ; tidak bulat, maka dicabangkan menjadi 2, yaitu : Cabang E : Maksimumkan : Z = 8x1 + 7x2 kendala : 6x1 + 5x2 ≤ 30 2x1 + 3x2 ≤ 12 x1 ≥ 4 x2 ≤ 1 x1 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0 , dan bulat Dengan LP sederhana X1 = 4 ; x2 = 1 ; Z = 39 Sudah feasible Sudah feasible Cabang E : Maksimumkan : Z = 8x1 + 7x2 kendala : 6x1 + 5x2 ≤ 30 2x1 + 3x2 ≤ 12 x1 ≥ 4 x2 ≤ 1 x1 ≥ 5 x1, x2 ≥ 0 , dan bulat Dengan LP sederhana X1 = 5 ; x2 = 0 ; Z = 40
- 15. x1= 3,75 x2= 1,5 Z = 40,5 x1= 3 x2= 2 Z = 38 x1= 4 x2= 1,2 Z = 40,4 x1= 4,16 x2= 1 Z = 40,33 Tidak layak x1= 4 x2= 1 Z = 39 x1= 5 x2= 0 Z = 40 A B C D E F x1≤ 3 x2≤ 1 x1≤ 4 x1≥4 x2≥2 x1≥5 Feasible integer solution Feasible integer solution Feasible integer solution Optimal solution
- 16. Jadiiiii... keuntungan maksimal dari soal di atas dengan metode linier programming adalah 40,5 dan dengan integer programming adalah 40.
- 17. LATIHAN SOAL Maksimumkan : Z = 10 x1 + x2 dengan kendala : 2x1 + 5x2 ≤ 11 x1, x2 ≥ 0 dan bulat