Program_Linier_Rudi_Susanto-program linier.pdf
- 2. Pengunaan Program linier Keputusan manajemen harus segera diambil untuk segera mencapai tujuan – profit maksimal Namun hal ini tidak mudah karena faktor pembatas meliputi sumber daya : Waktu Tenaga kerja Energi Bahan baku dll. Upaya pemecahan masalah keterbatasan dengan memaksimalkan tujuan dapat diselesaikan dengan program linier
- 3. 3 tahap program linier • Identifikasi masalah • Formulasi model matematika • Teknik matematika
- 4. Variabel apakah yang dapat diidentifikasi dari produksi:
- 5. Komponen Model Program Linier Variabel keputusan Simbol matematik yang menggambarkan aktifitas perusahaan (pabrik ingin memproduksi x1=radio, x2 televisi, x3 mesin cuci. Dimana x1, x2, dan x3 lambang jumlah variabel setiap jenis produksi yang merupakan keputusan dari jumlah produk. Misalnya produksi radio = 100 unit, tv = 200 unit dst) Fungsi tujuan Merupakan hubungan matematika linier yang menjelaskan tujuan perusahaan dalam terminologi variabel keputusan. Targetnya adalah : memaksimalkan / meminimalkan. Batasan model Menunjukkan keterbatasan perusahaan karena lingkungan operasi.
- 6. Ada dua program linier • Model Maksimisasi • Model Minimisasi
- 7. Contoh Model Maksimisasi Sebuah perusahaan keramik Akan memproduksi mangkok dan cangkir. Sumber daya utama pembuatannya : tanah liat dan tenaga kerja. Dengan keterbatasan tanah liat dan tenaga kerja perusahaan ingin mengatahui berapa banyak mangkok dan cangkir yang harus dibuat untuk memaksimalkan laba. Masalah ini merupakan jenis masalah kombinasi produk.
- 8. Tabel identifikasi masalah Produk Tenaga Tanah Laba Jam kerja/ unit Pon/ unit Rp/ unit Mangkok 1 4 40 Cangkir 2 3 50 Sumber daya yang dimiliki perusahaan adalah : 120 pon tanah liat dan 40 jam tenaga kerja. Variabel keputusan : Berapa jumlah mangkok (x1) dan cangkir (x2) yang harus dibuat untuk memperoleh laba maksimal?
- 9. Penyelesaian • Fungsi tujuan : – Jika fungsi tujuan dilambangkan dengan Z – Dan variabel keputusan dilambangkankan dengan x – Maka fungsi tujuan dapat dimaksimalkan menjadi model matematika sbb : Z = 40X1 + 50 X2 • Dimana : • Z = total laba • X1 = laba dari tiap mangkok • X2 = laba dari tiap cangkir
- 10. Batasan Model • Jam Kerja X + X • Tanah Liat X + X • Mangkok X • Cangkir X
- 11. Dengan demikian ada 5 model matematika • Faktor Tujuan – Memaksimalkan Z = 40X1 + 50 X2 • Faktor pembatas – Jam Kerja X + X – Tanah Liat X + X – Mangkok X – Cangkir X
- 12. Cara Penyelesaian Program Linear 1. Solusi matematika 2. Solusi grafik 3. Solusi excel 4. Solusi QM for Windows
- 13. Solusi Matematika • Dengan cara substitusi-eliminiasi faktor pembatas – X + X x 4 – X + X x 1 Elimiminasi X1 dan X2 4X1 + 8X2 ≤ 160 4X1 + 3X2 ≤ 120 - 5 X2 ≤ 40 X2 ≤ 8 Nilai X2 disubstitusikan ke : X1 + 2X2 ≤ 40 X1 + 2.8 ≤ 40 X1 ≤ 40 – 16 X1 ≤ 24 • Dengan demikian mangkok yang harus dibuat adalah X 24 buah dan cangkir X 8 • Keuntungan maksimal Z = 40X1 + 50 X2, yaitu : 40x24 + 50 x 8 = Rp. 1360
- 14. Solusi Grafik Faktor pembatas : model matematika jam kerja dan tanah liat dibuat perpotongan garis dengan sumbu X dan Y 1. Produksi X1 0 dan X2 ≥ 0 2. Jam kerja • X1 + 2X2 = 40 • Jika X1 = 0, maka X2 = 20 • Jika X2 = 0, maka X1 = 40 • Diperoleh titik A (0,20) dan titik B (40,0) 3. Tanah liat • 4X1 + 3X2 = 120 • Jika X1 = 0, maka X2 = 40 • Jika X2 = 0, maka X1 = 30 • Diperoleh titik C (0,40) dan D (30,0) A B C D E DAERAH PENYELESAIAN Titik potong faktor tanah liat dan tenaga kerja yang ideal E (24,8)
- 15. Kasus 1 Seorang penjual ayam goreng membutuhkan 1/8 ekor ayam untuk membuat 1 porsi ayam goreng. Tiap porsi membutuhkan biaya Rp. 10.000,- dan dijual dengan harga Rp. 12.500,-. Jika ia hanya memiliki 20 ekor ayam. a.Buatlah dua model matematiknya b.Tentukan jumlah maksimal porsi yang dibuat c.Dan berapa keuntungannya.
- 16. Jawaban • Batasan : 1/8X= 20 • Tujuan : Z=12500X-10000X
- 17. Kasus 2 Pabrik tekstil memproduksi 2 jenis kain, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kain tersebut diperlukan : benang sutera, benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60kg/ hari, benang wol 30kg/ hari dan tenaga kerja 40 jam/ hari. Kebutuhan setiap unti produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat pada tabel berikut : Jika keuntungan kain sutera adalah Rp. 40 juta dan kain wol adalah Rp 30 juta. a. Buatlah model matematiknya b. Tentukan manakah variabel tujuan dan variabel kendala c. Berapakah jumlah kain sutera dan wol yang diproduksi maksimal. d. Berapakah keuntungannya Jenis bahan baku dan tenaga kerja Kebutuhan bahan baku dan tenaga kerja Maksimum penyediaan Kain sutera Kain wol Benang sutera 2 3 60 kg Benang wol - 2 30 kg Tenaga kerja 2 1 40 jam
- 18. Jawaban • Z=40X1+30X2 • 2x1+X2<=40 • 2X1+3x2<=60 • 2X2<=30 • X1>0 • X2>0
- 19. Penyelesaian
- 20. Kasus 3 Perusahaan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu roral bee dan royal jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Royal bee paling sedikit diproduksi 2 unit, sedangkan royal jelly paling sedikit 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan : a. Buatlah model matematiknya b. Tentukanlah variabel tujuan dan variabel kendala c. Bagaimana mengkombinasikan produksi kedua jenis makanan tersebut agar meminimumkan biaya produksi. Jenis makanan Vitamin (unit) Protein (unit) Biaya perunit (Rp.1000) Royal bee 2 2 100 Royal Jelly 1 3 80 Minimum kebutuhan 8 12
- 21. Jawaban • X1>=2 • X2>=1 • 2X1+x2>=8 • 2x1+3x2>=12 • Z=100X1+80X2
- 22. Solusi
- 23. Latihan 1. Maksimumkan Z = 3X1 +5X2 1. 2X1 <=8 2. 3X2 <= 15 3. 6X1 + 5X2 <=30 4. X1>= 0 dan X2>=0 2. Maksimumkan Z = 5X1+2X2 1. 6X1+X2>=6 2. 4X1+3X2>=2 3. X1+2X2>=4 4. X1>=0