Bahan ajar program linear
8 likes7,312 views
Dokumen tersebut membahas tentang pembelajaran program linear dua variabel di SMAN 1 Terara, meliputi: 1) Kompetensi dasar dan indikator pencapaian siswa dalam memahami program linear dua variabel 2) Contoh-contoh soal pertidaksamaan dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel beserta penyelesaiannya 3) Membentuk model matematika dari masalah-masalah program linear dua variabel berdasarkan kendala dan fungsi tujuan yang
Bahan ajar program linear
- 1. SMAN 1 TERARA KABUPATEN LOMBOK TIMUR NTB
- 2. Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran Program Linear, siswa mampu : 3.2. Menjelaskan program linear dua variable dan metode penyelesaian dengan menggunakan masalah kontekstual. 4.2. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variable.
- 3. Pertemuan I
- 4. Pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu pertidaksamaan yang di dalamnya memuat dua variabel berderajat satu. Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel x dan y dapat dituliskan sebagai berikut. ax + by ≤ c ; ax + by ≥ c ; ax + by < c ; ax + by > c dengan a, b, c є bilangan real. a dan b dinamakan koefisien c dinamakan konstanta x dan y dinamakan variabel
- 6. Alternatif Penyelesaian Dengan memisalkan harga seragam sekolah = x dan harga buku = y, maka permasalahan di atas dapat dimodelkan sebagai berikut : Santi membeli 2 seragam sekolah dan 3 buku dan mendapatkan uang kembalian, mempunyai arti 2x + 3y < 250.000. Untuk menentukan himpunan penyelesaian masalah di atas, kita pilih x dan y yang memenuhi masalah di atas. Selengkapnya kita sajikan dalam table berikut.
- 7. Tabel semua kemungkinan nilai x dan y yang memenuhi 2x + 3y < 250.000 x (Rp) y (Rp) 2x + 3y (Rp) Uang Kembalian (Rp) 20.000 5.000 55.000 195.000 30.000 6.000 …. …. 40.000 10.000 …. …. 50.000 20.000 …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….
- 11. 1.Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Himpunan penyelesaian (HP) atau daerah penyelesaian (DP) dari suatu pertidaksamaan linear dua variable biasanya ditampilkan dalam bentuk grafik yang digambarkan pada sebuah bidang cartesius. Langkah-langkah menentukan HP atau DP dari suatu pertidaksamaan linear dua variable sebagai berikut : a.Gambarlah garis ax + by = c pada bidang cartesius dengan cara menghubungkan titik potong garis dengan sumbu x dan
- 12. sumbu y, sehingga garis ini membagi bidang cartesius menjadi dua bagian bidang. b. Ambillah sembarang titik 𝑃(𝑥1, 𝑦1 ) yang terletak di luar garis ax + by = c dan carilah nilai ax + by, kemudian hasilnya bandingkan dengan nilai c. Jika (𝑥1, 𝑦1 ) dimasukkan dalam pertidaksamaan ax + by * c bernilai benar, maka bagian bidang yang memuat titik 𝑃(𝑥1, 𝑦1 ) merupakan HP atau DP, sebaliknya jika (𝑥1, 𝑦1 ) dimasukkan dalam pertidaksamaan ax + by * c bernilai salah, maka bagian bidang yang memuat 𝑃(𝑥1, 𝑦1 ) bukan merupakan HP atau DP. Catatan, tanda * є { <, ≤, >, ≥,}
- 13. Contoh : Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut : a.−3𝑥 − 𝑦 ≥ 3 b. 5𝑥 − 2𝑦 < 10 Uji Kompetensi 1. Gambarlah setiap pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian (jika ada). a.2𝑥 + 5𝑦 > 10 b. 𝑥 − 3𝑦 < 9 c.2𝑥 − 9𝑦 ≥ 36/2 d. 𝑥 − 6𝑦 ≥ 0
- 14. e.2𝑥/𝑦 ≥ 5/4 f. (𝑥 + 3𝑦)/3 ≥ (4𝑥 + 2𝑦)/2
- 15. Indikator 3.2.4. Menemukan syarat pertidaksamaan memiliki penyelesaian. 3.2.5. Menemukan syarat pertidaksamaan tidak memiliki penyelesaian. 3.2.6. Mendefinisikan daerah penyelesaian suatu masalah program linear dua variable. Pertemuan II
- 16. 2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Sistem pertidaksamaan linear dua variable terbentuk dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variable. Daerah atau himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variable merupakan irisan dari masing-masing daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variable yang membentuknya.
- 17. Contoh : 1.Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut : 5𝑥 + 6𝑦 ≤ 30 x + 4y ≥ 8 x ≥ 0 y ≥ 0
- 18. 2.Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut : 𝑥 − 𝑦 ≤ 3 2x + y < 12 x ≥ 2
- 19. Uji Kompetensi 1.Gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan linear di bawah ini : 𝑥 − 𝑦 ≤ 3 2𝑥 + 𝑦 ≤ 12 𝑥 ≥ 2 2.Gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan linear di bawah ini : 2𝑥 + 𝑦 ≥ 24 𝑥 ≥ 5
- 20. 3.Gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan linear di bawah ini : 2𝑦 ≤ 5 − 6𝑥 1 ≤ 𝑦 ≤ 6
- 21. Pertemuan 3 B. Model Matematika dari Masalah Program Linear Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi program linear dua variabel; 2. Membentuk model matematika dari suatu masalah program linear dua variabel; 3. Menjelaskan definisi daerah penyelesaian
- 22. Definisi Program Linear Matematika mempunyai kaitan yang erat dengan persoalan- persoalan real yang terjadi di tengah kehidupan kita. Persoalan- persoalan seperti ini di antaranya dapat diselesaikan melalui program linear. Program linear adalah suatu metode atau program untuk memecahkan masalah optimasi yang mengandung kendala-kendala atau batasan-batasan yang dapat diterjemahkan dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear ini dapat disajikan dalam daerah himpunan penyelesaian. Di antara beberapa penyelesaian yang terdapat dalam daerah penyelesaian
- 23. terdapat satu penyelesaian terbaik yang disebut penyelesaian optimum. Jadi, tujuan program linear adalah mencari penyelesaian optimum yang dapat berupa nilai maksimum atau nilai minimum dari suatu fungsi. Fungsi tersebut dinamakan fungsi sasaran. Fungsi sasaran disebut juga fungsi tujuan atau fungsi objektif. Untuk dapat menyelesaiakan dengan program linear, terlebih dahulu harus menerjemahkan persoalan(kendala-kendala atau batasan-batasan yang tedapat dalam masalah program linear) ke dalam bahasa matematika yang disebut model matematika. Jadi model matematika adalah suatu rumusan matematika (berupa
- 24. persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi) yang diperoleh dari hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah program linear ke dalam bahasa matematika. Model matematika yang baik memuat bagian-bagian yang diperlukan.
- 25. Contoh : Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian, yaitu pakaian anak-anak dan pakaian dewasa. Satu pakaian anak-anak memerlukan waktu 1 jam untuk tahap pemotongan, 0,5 jam untuk tahap pengobrasan, dan 1,5 jam untuk tahap penjahitan. Sedangkan satu pakaian dewasa memerlukan waktu 1,5 jam untuk tahap pemotongan, 1 jam untuk pengobrasan, dan 2,5 jam untuk tahap penjahitan. Penjahit tersebut memiliki waktu untuk mengerjakan pesanan selama 20 jam untuk tahap pemotongan, 15 jam untuk tahap pengobrasan, dan 40 jam untuk tahap penjahitan. Keuntungan bersih pakaian anak-anak dan pakaian dewasa adalah Rp. 15.000,- dan Rp. 30.000,-. Buatlah model matematika dari masalah program linear tersebut, kemudian gambarkan daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaannya.
- 26. Penyelesaian : Produk : pakaian anak-anak dan pakaian dewasa Kendala-kendala : waktu pengerjaan yang dalam tiga tahapan, yaitu pemotongan, pengobrasan dan penjahitan (3 fungsi kendala). Fungsi sasaran/tujuan : memaksimalkan keuntungan Memisalkan : banyaknya pakaian anak-anak = x, dan banyaknya pakaian dewasa = y Agar lebih mudah membuat model matematikanya, persoalan tersebut disajikan dalam tabel terlebih dahulu.
- 27. Kendala Produk Ketersediaan Waktu Satuan Pakaian Anak-anak (x) Pakaian Dewasa (y) Pemotongan 1 1,5 20 Jam Pengobrasan 0,5 1 15 Jam Penjahitan 1,5 2,5 40 Jam Keuntungan 15.000 30.000 rupiah
- 28. Menyusun fungsi kendala Waktu pemotongan : 𝑥 + 1,5𝑦 ≤ 20 ↔ 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 40 Waktu pengobrasan : 0,5𝑥 + 1𝑦 ≤ 15 ↔ 𝑥 + 2𝑦 ≤ 30 Waktu penjahitan : 1,5𝑥 + 2,5𝑦 ≤ 40 ↔ 3𝑥 + 5𝑦 ≤ 80 Banyaknya barang positif (kendala non negative) : 𝑥 ≥ 0 : 𝑦 ≥ 0 Fungsi tujuan/fungsi sasaran/fungsi objektif : 𝑓൫𝑥, 𝑦൯ : 15.000𝑥 + 30.000𝑦
- 29. Jadi model matematikanya adalah sbb: 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 40 𝑥 + 2𝑦 ≤ 30 3𝑥 + 5𝑦 ≤ 80 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0 Fungsi tujuan : 𝑓൫𝑥, 𝑦൯ : 15.000𝑥 + 30.000𝑦
- 30. Contoh : Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30 gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi, sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp. 1.000,- dan harga sebuah tablet Rp. 800,-. Buatlah model matematika dari kondisi di atas, agar biaya yang dikeluarkan seminim mungkin dengan harapan dapat memenuhi kebutuhan anak balita tersebut! Penyelesaian : Produk : kapsul dan tablet (ada 2 fungsi kendala)
- 31. Kendala-kendala/Batasan-batasan : kalsium dan zat besi Kandungan kalsium harus ada (kendala non negatif) Fungsi tujuan/fungsi sasaran/fungsi objektif : meminimkan biaya Memisalkan : kapsul =x, dan tablet =y Agar lebih mudah membuat model matematikanya, persoalan tersebut disajikan dalam tabel terlebih dahulu. Kendala Produk Konsumsi minimum Satuan kapsul (x) tablet (y) kalsium 5 2 20 Gram Zat besi 2 2 15 Gram
- 32. Meminimkan 1.000 800 Rupiah Menyusun Fungsi kendala : Kandungan kalsium : 5𝑥 + 2𝑦 ≥ 20 Kandungan zat besi : 2𝑥 + 2𝑦 ≥ 15 Kendala non negative : 𝑥 ≥ 0 : 𝑦 ≥ 0 Fungsi sasaran/tujuan/objektif : 𝑓൫𝑥, 𝑦൯ = 1.000𝑥 + 800𝑦
- 33. Jadi, model matematikanya adalah sbb: 5𝑥 + 2𝑦 ≥ 20 2𝑥 + 2𝑦 ≥ 15 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0 Fungsi tujuan : 𝑓൫𝑥, 𝑦൯ = 1.000𝑥 + 800𝑦
- 34. Uji Kompetensi 1. PT Lasin adalah suatu pengembang perusahaan di daerah pemukiman baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 m2 berencana akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe mawar dengan luas 130 m2 dan tipe melati dengan luas 90 m2 . Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih 150 unit. Pengembang merancang laba tiap-tiap tipe rumah Rp. 2.000.000,- dan Rp. 1.500.000,-
- 35. 2. Seorang atlet diwajibkan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, atlet itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Harga tiap-tiap 1 tablet Rp. 1.500,- dan Rp. 2.000,-. Modelkan masalah di atas. Kemudian gambarkan grafik model matematikanya untuk daerah penyelesaian. 3. Luas lahan parkir adalah 400 m2 . Luas rata-rata satu mobil dan satu bus masing-masing adalah 8 m2 dan 24 m2 . Lahan parkir tersebut hanya memuat paling banyak 20 kendaraan. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut, kemudian gambarkan daerah penyelesaian untuk system pertidaksamaannya.
- 36. Pertemuan ke-4. Tujuan Pembelajaran 1.Menggunakan uji titik pojok untuk menentukan nilai optimum suatu program linear 2.Menggunakan garis selidik untuk menentukan nilai optimum suatu program linear. 3.Menginterpretasikan penyelesaian secara kontekstual.
- 37. Penyelesaian akhir dari masalah program linear adalah menentukan nilai optimumdari fungsi objektif. Nilai optimum (nilai maksimum dan minimum) dengan metode sebagai berikut : 1.Metode Uji Titik Pojok (Langkah-langkah ada di LKS) hal.17
- 39. Uji Kompetensi 1. UN 2016 Sebuah toko menyediakan dua macam tenda. Tenda jenis I dapat menampung 10 orang dengan harga Rp150.000,00. Tenda jenis II dapat menampung 4 orang dengan harga Rp100.000,00. Satu regu pramuka dengan anggota 110 orang berencana mengadakan kemah. Jika banyak tenda yang dibutuhkan paling sedikit 20 tenda. Tentukan banyak tenda II yang harus dibeli agar pengeluaran seminimum . Buatlah model matematika dari kondisi di atas serta gambarkan daerah penyelesaiannya. 2. UN 2016 Pak Amir mengelola usaha jasa parkir pada daerah parkir seluas 600m2 yang hanya mampu menampung 58 mobil besar dan mobil kecil. Mobil kecil membutuhkan tempat parkir dengan luas 6 m2 dengan biaya parkir Rp2.000,00/jam, sedangkan mobil besar membutuhkan tempat parkir dengan luas 24 m2 dengan biaya parkir Rp3.000,00/jam. Jika dalam satu jam tempat parkir tersebut terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang keluar atau masuk. Tentukan hasil maksimum usaha jasa parkir tersebut selama 1 jam. Buatlah model matematika dari kondisi di atas serta gambarkan daerah penyelesaiannya.
- 40. 3. Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30 gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi,sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp800,00. Tentukan biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut. Buatlah model matematika dari kondisi di atas serta gambarkan daerah penyelesaiannya.
- 41. 2.Metode Garis Selidik Definisi Garis selidik adalah grafik persamaan fungsi sasaran/tujuan yang digunakan untuk menentukan solusi optimum (maksimum atau minimum suatu masalah program linear). Untuk menentukan persamaan garis selidik 𝑘 = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑦 dengan 𝑘 bilangan real, kita memilih minimal dua titik ൫𝑥1, 𝑦1൯ dan ൫𝑥2, 𝑦2൯ yang terdapat di daerah penyelesaian. Dengan dua titik tersebut, nilai optimum fungsi sasaran dapat ditemukan melalui
- 42. pergeseran (ke atas atau ke bawah; ke kanan atau ke kiri) garis selidik di daerah penyelesaian.
- 43. Uji Kompetensi 1. Suatu perusahaan transportasi harus mendistribusikan 1200 paket (yang besarnya sama) melalui dua truk pengangkut. Truk 1 memuat 200 paket untuk setiap pengangkutan dan truk 2 memuat 80 paket untuk setiap pengangkutan. Biaya pengangkutan untuk truk 1 dan truk 2 masing-masing Rp400.000,00 dan Rp200.000,00. Padahal biaya yang tersedia untuk mengangkut 1200 paket hanya Rp3.000.000,00. Hitunglah biaya minimal biaya pengangkutan paket tersebut. 2. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi maksimum 60 kilogram sedangkan kelas ekonomi maksimum 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi maksimum 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp 150.000,00 dan kelas ekonomi Rp100.000,00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, tentukan jumlah tempat duduk kelas utama. 3. Rani dan Ratu menjalankan suatu bisnis kecil, mereka bekerja sama
- 44. untuk menghasilkan blus dan rok. Untuk menyelesaikan 1 blus, Rani dan Ratu harus bekerja sama selama 1 jam. Untuk menyelesaikan 1 rok, Rani harus bekerja 1 jam dan Ratu harus bekerja 0,5 jam. Setiap hari, Rani hanya mampu menyediakan 7 jam kerja, dan Ratu hanya 5 jam. Mereka hendak membuat blus dan rok yang sama banyaknya. Mereka mendapat keuntungan Rp80.000,00 untuk setiap blus dan Rp60.000,00 untuk setiap rok (Anggap semua blus dan rok habis terjual). a. Rancang model matematikanya. b. Berapa banyak blus dan rok yang selesaikan mereka? Berapa keuntungan maksimal yang mereka peroleh?