Program linear ema

Program linierOleh: AinunHakiemah, S.S., S.Pd.Si., M.S.I.

MATERI PROGRAM LINIERMateriprasyarat :1. Pertidaksamaan Linier2. SistemPertidaksamaan LinierKalo’ kira-kiramateriprasyaratdiatas kalian udahbisa….so lewatiaja. Gakperludibacalagi…MATERI PROGRAM LINIER: model matematikafungsi optimumpersamaangaris(prasyarat)

PERTIDAKSAMAAN LINIERDefinisi Pertidaksamaan LinearPertidaksamaan linear adalahkalimatterbukamatematika yang memuatvariabel, denganmasing-masingvariabelberderajatsatudandihubungkan dengan tanda ketidaksamaan.Tanda ketidaksamaan yang dimaksudadalah>, <, ≥, atau ≤

Contohpertidaksamaan linierManakahdiantarapertidaksamaan-pertidaksamaanberikut yang merupakanpertidaksamaan linear duaVariabel?1. 2x < 152. 2x + 3y ≥ 63. xy + x > 34. x² + 2y ≤ 55. –x ≥ y + 1Jawaban: no 2 dan no 5Coba perhatikankembalicontoh di atas & temukanperbedaannya!

mengGAMBARdaerahhimpunanpenyelesaianpertidaksamaan linierLangkah-langkahmencaridaerahpenyelesaiandaripertidaksamaan linear duavariabel.1. Gantitandaketidaksamaan >, <, ≤ , atau ≥ dengan “ =“2. Tentukan titik potongdengansumbux jikay = 0 dandengansumbuyjika x = 03. Gambarkan grafiknya berupa garis yang menghubungkan titik (x,0) dengantitik (0,y). 4. Jikapertidaksamaanmemuat > atau <, gambarlahgrafiktersebutdengangarisputus-putus.5. Arsirlahdaerahhimpunanpenyelesaiannya. Jikatandanya < atau ≤ makaarsirannyakekiriataukebawah.Jikatandanya > atau ≥ makaarsirannyakekananataukeatas.

CONTOH menggambardaerahhimpunanpenyelesaianpertidaksamaan linierGambarlahdaerahhimpunanpenyelesaianpertidaksamaan3x + 4y ≤ 12, x, y € RJawab:3x+4y ≤12 menjadi3x+4y=12Titikpotongdengansumbux, y = 03x + 4(0) = 12 3x = 12 x = 4Titikpotongdengansumbuy, x = 03(0) + 4y = 12 3x = 12 y = 3Sehinggatitikpotongdengansumbukoordinatdi (4, 0) dan (0, 3). Diperolehgrafik3x + 4y=12.

Grafiknya…….(0, 3)Garis: 2x + 4y ≤ 12 3 2 1(4, 0)z 2 3 0 1 4Daerah himpunanpenyelesaian

SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIERDefinisi Sistem Pertidaksamaan LinearSistempertidaksamaan linear adalahsuatusistem yang terdiriatasduaataulebihpertidaksamaandansetiappertidaksamaantersebutmempunyaivariabel

menggambardaerahpenyelesaiansistempertidaksamaan linierLangkah-langkahmenentukandaerahpenyelesaiandarisistempertidaksamaan linear:a. Gambarkansetiapgarisdarisetiappertidaksamaan linear yang diberikandalamsistempertidaksamaan linear b. Arsirlahdaerah yang memenuhisetiappertidaksamaan linear.Gunakanarsiran yang berbedauntuksetiapdaerah yangmemenuhipertidaksamaan yang berbeda.c. Tentukandaerah yang memenuhisistempertidaksamaan linear, yaitudaerah yang merupakanirisandaridaerah yang memenuhipertidaksamaan linear pada langkah b.

CONTOH menggambardaerahpenyelesaiansistempertidaksamaan linierTentukandaerahpenyelesaiandarisistempertidaksamaan linear berikut: 5x + 4y ≤ 20 ; 7x + 2y ≤ 14; x ≥ 0 dan y ≥ 0Jawab:5x + 4y ≤ 20 memotongsumbu x maka (4,0) danmemotongsumbu y maka (0,5)7x + 2y ≤ 14 memotongsumbu x maka (2,0) danmemotongsumbu y maka (0,7). Jadigrafiknyaadalah………….

Grafiknya………7y ≥ 06Garis: 5x + 4y ≤ 20 543Garis: 5x + 4y ≤ 20Daerahpenyelesaian2x ≥ 0 101243

PROGRAM LINIERProgram linearmerupakansalahsatubagiandarimatematikaterapan yang mempelajaribagaimanamemecahkanmasalahsehari-hari yang terkaitdengan model matematika yang terdiridaripertidaksamaan-pertidaksamaan linier yang mempunyaibanyakpenyelesaian, satuataulebihdiantaranyamemberikanhasil yang diharapkan (optimum)Istilah-istilahdalam program linier:Model matematikamerupakansuaturumusanmatematika (dapatberupapersamaan, pertidaksamaan, ataufungsi) yang diperolehdaripenafsiraansuatumasalah program linear kedalambahasamatematika.FungsiSasaranadalahbentuk ax + by yang hendakdioptimalkan (dimaksimumkanataudiminimumkan).

Langkah-langkahMenyelesaikan Program Linear:1. Merumuskanpermasalahankedalam model matematika;2. Gambargrafikdari model tersebut;3. Menentukandaerahfisibel (daerahhimpunanpenyelesaian)4. Menentukantitik-titikverteks (titikpojok)5. Mencaripenyelesaian optimum (maksimumatau minimum);Janganditiruyamaksudgambarini…….

MenentukanNilai Optimum denganMetodeUjiTitikSudutMetodeujititiksudutyaitumencarinilai optimum (max/min) denganmenghitungnilai-nilaipadatitikverteks yang terdapatpadadaerahfisibelkemudianhasilnyadiperbandingkan. Nilai yang paling besarmerupakannilaimaksimum, sedangkannilai yang paling kecilmerupakannilai minimum.

Menentukannilai optimum denganmenggunakangarisselidikax + by = kLangkah-langkah:gambarlahgaris ax + by = k ( k=0 ) garis yang melaluititikpangkalatausembaranganggota lain misalnya ax + by = ab.Gunakanpenggarisuntukmelukisgaris-garis yang sejajardengangaris ax + by = 0 atau ax + by = ab.

CONTOH masalah………..Untukmembuat 1 mejatulisdiperlukanWaktupemasahan 2 jam, pemasangan 1 jam, danpengecatan 1 jam. Sedangkanuntukmembuat 1 mejamakandiperlukanwaktupemasahan 1 jam, waktupemasangan 2 jam, danwaktupengecatan1 jam. Dari tenagakerja yang adawaktu yang tersedia (dalam1 bulan) untukmasing-masingtahappekerjaanituadalahsebagaiberikut. Padatahap I tersediawaktu 180 jam, tahap II tersedia 160 jam, dantahap III tersedia 100 jam. Keuntungan yang dapatdiraihdaripenjualan 1 buahmejatulisadalahRp 60.000,00 danuntuk 1 buahmejamakanadalahRp 40.000,00.

Permasalahannya………..Buatgrafiknyaduluya!

Berapabanyakmejatulisdanmejamakanharusdibuatsupaya agar keuntungan yang diperolehsebesar-besarnya?

Berapa rupiah keuntunganmaksimumitu?

Jawabanmasalah…….Model matematikamasalahdiatasadalah:

Keterangantabel model matematikaMisalkanmejatulisdiproduksisebanyak x danmejamakandiproduksisebanyak y, maka: Waktuyang diperlukan (dalam jam) :untukpemasahan x + y  180untukpemasangan x + 2y 160untukpengecatan x + y  100Karenax dan y menyatakanbanyakbarang, maka x dan y mustahilnegatifdanharusmerupakanbilangancacah, makax 0, y  0, danx,y CKeuntunganbersih (dalam rupiah ) = 60.000x + 40.000y denganharapankeuntungan yang sebesar-besarnya (maksimum)

250(0, 180)200garis pemasahan2x + y = 180150100 50(90, 0)100 0150200250 50Grafiknya….Gambarkendalapertama

250200150garis pengasahan(0, 80)100x + 2y = 160 50(160, 0)100 0150200250 50Gambarkendalapertamadankedua

250200150(0, 100)garis pengecatanx + y = 100100 50(100, 0)100 0150200250 50Gambarsemuakendala

250200150(0,100)100(80,20)(40,60) 50(90,0)100 0150200250 50MetodeUjiTitikSudut

Nilai-nilaipadaTitikSudutNilaimaksimum

250250200200Fungsi objektif15015060.000x + 40.000y = 2.400.00060.000x + 40.000y = 2.400.000(0,90)Fungsi objektif(0,60)10010060.000x + 40.000y = 3.600.000(60,0)(40,0) 50 50100100 0150 0150200250200250 50 50Metodegarisselidik

PerhitunganPenyelesaianOptimalPerhitunganpenyelesaian optimal diperolehdariirisankendala “pemasahan” dan “pemasangan” sebagaiberikut:x + 2y = 160x + y = 100 - y = 60x + 60 = 100 x = 40Jadipenyelesaianoptimalnya : x = 40 dan y = 60Total keuntungan : (60.000 x 40) + (40.000 x 60) = 4.800.000

Contohpermasalahanlagi…..Seorang pedagang semen hendak mengangkut 60 ton beras dari gudang ke tokonya. Untuk keperluan tersebut, ia menyewa dua jenis ken-daraan, yaitu truk dan pick up. Dalam sekali jalan, satu truk dapat mengangkut 3 ton semen. Sedangkan pick up dapat mengangkut 2 ton semen. Untuk sekali jalan, sewa truk adalah Rp 20.000,00 sedangkan pick up Rp 15.000,00.

Jawabannya…….Perhatikan kembali masalah 2.Misalkan :x = banyaknya truky = banyaknya pick up

Dari tabeltersebut, diperoleh sistem pertidaksamaan:x + y ≥ 243x + 2y ≥ 60x, y ≥ 0Fungsi objektif: meminimumkan z = 20.000x + 15.000y

y5040garisbanyaknya kendaraan30(0, 24)x + y = 242010(24, 0)20x 030405010Gambarkendalapertama

y5040(0, 30)garis banyaknya muatan303x + 2y = 602010(20, 0)20x 030405010Gambarkendalapertamadankedua

y50Nilai obj. : 450.00040(0, 30)30Nilai obj. : 410.000(12,12)2010Nilai obj. : 480.000(24, 0)20x 030405010Metode Uji Titik Sudut

Nilai-nilai pada Titik SudutNilai minimum

yPenyelesaian optimum50(0, 40)Fungsi objektif4020.000x + 15.000y = 750.00030Fungsi objektif20.000x + 15.000y = 600.0002010(30, 0)20x 030405010Metode Garis Selidik

Perhitunganpenyelesaian optimal diperolehdariirisankendala “pemasahan” dan “pemasangan” sebagaiberikut:x + y = 24 x 2 2x + 2y = 483x + 2y = 60 x 1 3x + 2y = 60 -- x= - 12 x = 12x + y = 24 Jadipenyelesaianoptimalnya : x =12, y =1212 + y = 24 Total keuntungan : y = 1220.000 x 12 + 15.000 x 12 = 410.000Perhitunganpenyelesaian optimal

SoalLatihan…….Tentukannilaimaksimumdari 3x + 2y yang memenuhi x + y 11, x 0, y 0 danx,y R denganmenggunakangarisselidik.Tentukannilaimaksimumdari x + 2y yang memenuhi x + 3y 9, 2x + y 8, x 0, y 0 danx,y R denganmenggunakangarisselidik.Tentukannilai minimum dari 15x + 10y yang memenuhi, 3x + y 6,x + y 3, x 0, y 0 danx,y R denganmenggunakangarisselidik.

4. Sebuahperusahaankonveksimemproduksiduajenispakaian, yaitupakaiandewasadanpakaiananak-anak. Untukmembuatkeduajenispakaianitudiperlukan 4 tahappekerjaan, yaitupemotongan, pengobrasan, penjahitandan finishing. Waktuuntukmembuatsatupakaianpadatiap-tiappekerjaandanwaktu yang tersediaperbulanuntuksetiaptahapitudiperlihatkandalamtabelberikutini :KeuntunganuntuksatupakaiandewasaRp 20.000,00 danuntukpakaiananak-anakRp 15.000,00.

Berdasarkanfakta-faktatersebutdiatas,a. berapakahbanyakpakaiandewasadanpakaiananak-anak yang harusdibuatdaalam 1 bulan agar keuntungan yang diraihnyasebesarmungkin?b. berapakahkeuntunganmaksimumitu?

5. Seorangpemborongakanmendirikanrumahsusununtukdihuni 700 orang. Rumaahyaangakandibangunsebanyak 120 buahdenganduatipe. Tiaptipe I berpenghuni 4 orangdantiaptipe II berpenghuni 6 orang. RumahsusunituakandisewakansebesarRp 100.000,00 sebulanuntuktipe I danRp 15.000,00 sebulanuntuktipe II.Beraparumahtipe I dantipe II masing-masingharusdibangun agar pendapatanmaksimum?

6. Suatujenisrotimemerlukan 100 grtepungdan 150 grmentega. Rotijenis lain memerlukan 200 grtepungdan 50 grmentega. Tersediatepung 4 kg dan 2,25 kg mentega. JikakeduarotiitudijualdenganhargaRp 5.000,00 danRp 2.000,00 sebuah. Berapajenisrotidibuat agar pendapatanmaksimum?

Program linear ema

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Program linear ema (20)

Recently uploaded (20)

Program linear ema